2023届河南省洛阳市第一高级中学高三9月月考数学(理)试题(解析版)

河南省洛阳市第一高级中学2024届高考冲刺模拟化学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(共包括22个小题。

每小题均只有一个符合题意的选项）1、四种短周期元素在周期表中的位置如图所示，其中只有M为金属元素。

下列说法不正确的是()Y ZM XA．简单离子半径大小：M＜ZB．简单氢化物的稳定性：Z＞YC．X与Z形成的化合物具有较高熔沸点D．X的最高价氧化物对应水化物的酸性比Y的强2、下列化学用语的表述正确的是( )A．离子结构示意图：可以表示16O2－，也可以表示18O2－B．比例模型：可以表示甲烷分子，也可以表示四氯化碳分子C．氯化铵的电子式为D．CO2的结构式为O—C—O3、下列说法不正确的是A．C5H12的三种同分异构体沸点不同，因为其分子间作用力大小不同B．NH3和HCl都极易溶于水，均与它们能跟水分子形成氢键有关C．石墨转化为金刚石既有共价键的断裂和形成，也有分子间作用力的破坏D．NaHSO4晶体溶于水和受热熔化时破坏的化学键类型不完全相同4、利用小粒径零价铁（ZVI）的电化学腐蚀处理三氯乙烯，进行水体修复的过程如图所示。

H+，O2，NO3－等共存物的存在会影响水体修复效果，定义单位时间内ZVI释放电子的物质的量为n t，其中用于有效腐蚀的电子的物质的量为n e。

2022-2023学年河南省洛阳市新安县第一高级中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．直线tan120x =︒的倾斜角是（ ） A ．60° B ．90°C ．120°D ．不存在【答案】B【分析】根据直线的方程，利用斜率和倾斜角的关系求解.【详解】解：因为直线tan120x =︒= 所以直线的倾斜角是90°， 故选：B2．平面α的斜线l 与它在这个平面上射影l'的方向向量分别为()1,0,1a =，()0,1,1b =，则斜线l 与平面α所成的角为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【分析】由题意结合线面角的概念可得a 与b 所成的角(或其补角)即为l 与α所成的角，由cos ,||||a ba b a b ⋅<>=⋅即可得解. 【详解】由题意a 与b 所成的角(或其补角)即为l 与α所成的角， 因为11cos ,,,[0,]2||||2a b a b a b a b π⋅<>===<>∈⋅⨯， 所以,60a b <>=，所以斜线l 与平面α所成的角为60°. 故选：C.【点睛】本题考查了利用空间向量求线面角，考查了运算求解能力，属于基础题. 3．如图，空间四边形OABC 中，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，MN xOA yOB zOC =++，则x ，y ，z 的值分别为（ ）A ．12，23-，12B ．23-，12，12C ．12，12，23-D ．23，23，12-【答案】B【分析】利用空间向量的基本定理求解.【详解】因为12()23MN ON OM OB OC OA =-=+-，211322a b c =-++，所以23x =-，12y =，12z =.故选：B.4．下列条件使M 与A ､B ､C 一定共面的是（ ） A ．2OM OA OB OC =-+ B ．0OM OA OB OC +++= C ．121532OM OA OB OC =++D ．0MA MB MC ++=【答案】D【分析】利用共面向量定理判断.【详解】A 选项：MA MB MC OA OM OB OM OC OM ++=-+-+-，30OA OB OC OM =++-≠，∴M ，A ，B ，C 四点不共面；B 选项：由0OM OA OB OC +++=，得()OM OA OB OC =-++，系数和不为1， ∴M ，A ，B ，C 四点不共面；C 选项：1211532++≠，∴M ，A ，B ，C 四点不共面；D 选项：0MA MB MC OA OM OB OM OC OM ++=-+-+-=， 即()13OM OA OB OC =++， 所以能使M 与A ､B ､C 一定共面.故选：D.5．直线l 1与l 2为两条不重合的直线，则下列命题： ①若l 1∥l 2，则斜率k 1=k 2； ②若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2； ③若倾斜角12αα=，则l 1∥l 2； ④若l 1∥l 2，则倾斜角α1=α2. 其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】①若l 1∥l 2，则分当斜率存在时、当斜率不存在时两种情况，判断命题①错误；②若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2，判断命题②正确；③若倾斜角12αα=，则l 1∥l 2，判断命题③正确；④若l 1∥l 2，则倾斜角12αα=，判断命题④正确即可得到答案.【详解】解：直线l 1与l 2为两条不重合的直线：①若l 1∥l 2，当斜率存在时，则斜率k 1=k 2，当斜率不存在时，两条直线都垂直与x 轴，所以命题①错误；②若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2，所以命题②正确； ③若倾斜角12αα=，则l 1∥l 2，所以命题③正确；④若l 1∥l 2，则倾斜角12αα=，所以命题④正确，所以正确的命题个数共3个. 故选：C.【点睛】本题考查两条直线的位置关系，是基础题.6．经过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直的直线方程为（ ） A ．230x y -+= B ．260x y +-= C ．230x y --= D ．230x y +-=【答案】C【分析】由于所求直线与直线250x y +-=垂直，从而可求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程【详解】因为直线250x y +-=的斜率为2-， 所以与直线250x y +-=垂直的直线的斜率为12，因为所求直线经过点()3,0B ，所以所求直线方程为1(3)2y x =-，即230x y --=，故选：C7．“1a =-”是“直线240x ay ++=与直线(1)20a x y -++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据两直线平行可知：12120A B B A +=求出a ，代入验证，再由充分条件、必要条件的定义即可求解.【详解】解：当两直线平行，∴12(1)0a a ⨯--=，解得2a =或1a =-， 当2a =，两直线重合，舍去； 当1a =-时，两直线平行．所以“1a =-”是“直线240x ay ++=与直线(1)20a x y -++=平行”的充要条件． 故选：C8．下列说法正确的是（ ）A ．斜率和倾斜角具有一一对应的关系B ．直线的截距式方程适合于不过原点的所有直线C ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=D ．()()()()121121y y x x x x y y --=--表示经过()11,P x y ，()22,Q x y 的直线方程 【答案】D【分析】根据倾斜角和斜率的定义，以及两点式和截距式的定义，逐个选项进行判断即可. 【详解】对于A ，倾斜角为90时，没有对应斜率，故A 错误；对于B ，直线的截距式方程适合于不过原点，不垂直于x 轴，不垂直于y 轴的所有直线，故B 错误； 对于C ，经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线，还包括y x =这条直线，故C 错误； 对于D ，根据两点式的定义，选项D 明显正确； 故选：D9．若直线l ：20(0,0)ax by a b -+=>>过点(1,2)-，当21a b+取最小值时直线l 的斜率为A ．2B ．12C D ．【答案】A【分析】将点带入直线可得212a b+=，利用均值不等式“1”的活用即可求解． 【详解】因为直线l 过点()1,2-，所以220a b --+=，即212a b+=，所以21212141()(4)(44222a b b a a b a b a b ++=+=++≥+= 当且仅当4b aa b=，即2a b =时取等号 所以斜率2ab=，故选 A 【点睛】本题考查均值不等式的应用，考查计算化简的能力，属基础题．10．已知{},,a b c 是空间的一个单位正交基底，向量23p a b c =++，{},,a b a b c +-是空间的另一个基底，向量p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（ ） A ．31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】设()()p x a b y a b zc =++-+，根据空间向量基本定理建立关于,,x y z 的方程，解之即可得解.【详解】解：设()()p x a b y a b zc =++-+()()23c a b y a x c x y b z =++-+=++，所以123x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得32123x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以向量p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论不正确的是（ ）A ．直线1BD ⊥平面11AC DB ．三棱锥11P ACD -的体积为定值C ．异面直线AP 与1AD 所成角的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为63【答案】C【分析】对于A ，根据线面垂直的判定定理，结合正方体的性质以及线面垂直的性质定理，可得答案；对于B ，根据三棱锥的体积公式，证明底面11AC D 上的高为定值，利用线面平行判定以及性质定理，可得答案；对于C ，根据异面直线夹角的定义，作图，结合等边三角形的性质，可得答案；对于D ，由题意，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，根据公式，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】对于A ，连接11B D ，记1111AC B D E =，如下图：在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，111BB AC ∴⊥，在正方形1111D C B A 中，1111AC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=，111,B D BB ⊂平面11BB D ，∴11A C ⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，111AC BD ∴⊥，同理可得：11DC BD ⊥，1111AC DC C ⋂=，111,A C DC ⊂平面11AC D ，1BD ∴⊥平面11AC D ，故A 正确；对于B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//CB DA ，1DA ⊂平面11AC D ，1CB ⊄平面11AC D ，1//CB ∴平面11AC D ，则1P CB ∀∈，P 到平面11AC D 的距离相同，即三棱锥11P AC D -中底面11AC D 上的高为一个定值，故B 正确； 对于C ，连接1AB ，AC ，AP ，作图如下：在正方体1111ABCD A B C D -中，易知1ACB 为等边三角形，则1π3APC AB C ∠≥∠=， 11//DA CB ，APC ∴∠为异面直线1DA 与AP 所成角或者补角，则异面直线1DA 与AP 所成角的取值范围ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误； 对于D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如下图：设该正方体的边长为2，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()12,2,2B ，()10,2,2C ，设()1,01CP CB λλ=≤≤，且(),,P x y z ，则()12,0,2CB =，(),2,CP x y z =-，即2202x y z λλλ=⎧⎪-=⋅⎨⎪=⎩，可得()2,2,2P λλ，则()12,0,22C P λλ=-，由A 可知1BD ⊥平面11AC D ，则平面11AC D 的一个法向量为()12,2,2BD =--， 设直线CP 与平面11AC D 所成角为θ，则12221404444sin 88412432211143222BD CP BD CPλλθλλλλλ⋅-++-====⋅-+⋅⋅-+⎛⎫⋅-+⎪⎝⎭， 由[]0,1λ∈，则当12λ=时，sin θ取得最大值为63，故D 正确. 故选：C.12．如图，在三棱锥-P ABC 中，5AB AC PB PC ====，4PA =，6BC =，点M 在平面PBC 内，且15AM =，设异面直线AM 与BC 所成的角为α，则cos α的最大值为（ ）A 2B 3C ．25D 5【答案】D【分析】设线段BC 的中点为D ，连接AD ，过点P 在平面PAD 内作PO AD ⊥，垂足为点O ，证明出PO ⊥平面ABC ，然后以点O 为坐标原点，CB 、AD 、OP 分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设BM mBP nBC =+，其中0m ≥，0n ≥且1m n +≤，求出363m n +-的最大值，利用空间向量法可求得cos α的最大值.【详解】设线段BC 的中点为D ，连接AD ，5AB AC ==，D 为BC 的中点，则AD BC ⊥，6BC =，则3BD CD ==，224AD AB BD ∴=-=，同理可得4PD =，PD BC ⊥，PDAD D =，BC ∴⊥平面PAD ，过点P 在平面PAD 内作PO AD ⊥，垂足为点O ，因为4PA PD AD ===，所以，PAD 为等边三角形，故O 为AD 的中点，BC ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，则BC PO ⊥，PO AD ⊥，AD BC D =，PO ∴⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，CB 、AD 、OP 分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，因为PAD 是边长为4的等边三角形，O 为AD 的中点，则sin 6023OP PA == 则()0,2,0A -、()3,2,0B 、()3,2,0C -、(0,0,23P ， 由于点M 在平面PBC 内，可设(()()3,2,236,0,036,2,23BM mBP nBC m n m n m m =+=--+-=---， 其中0m ≥，0n ≥且1m n +≤，从而()()()3,4,036,2,23336,42,23AM AB BM m n m m m n m m =+=+---=---， 因为15AM =()()222336421215m n m m --+-+=， 所以，()()22233616161423m n m m m --=-+-=--+， 故当12m =时，216161m m -+-有最大值3，即()23633m n +-≤， 故33633m n -+-363m n +-3 所以，()6336635cos cos ,615615AM BC m n AM BC AM BCα⋅--=<>==≤=⋅. 故选：D.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.二、填空题13．若()1,1,0a =，()1,0,2b =-，则与a b +反方向的单位向量是______．【答案】0,⎛ ⎝⎭【分析】由与a b +反方向的单位向量为||a ba b +-+代入可得结果. 【详解】∵(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-∴(0,1,2)a b +=，2||01a b +=+=∴a b +反方向的单位向量为(0,1,2)(0,||a b a b +-=-=+故答案为：(0,. 14．有一光线从点()3,5A -射到x 轴以后，再反射到点()2,15B ，则这条光线的入射光线所在直线的方程为______． 【答案】4+70x y +=【分析】根据对称性可知：点()2,15B 关于x 轴对称的点在入射光线所在的直线上，求出点()2,15B 关于x 轴对称的点的坐标即可求解.【详解】因为点()2,15B 关于x 轴对称的点的坐标为()2,15B '-，由直线的对称性可知：这条光线的入射光线经过点()3,5A -和()2,15B '-， 所以条光线的入射光线所在直线的方程为51515(2)32y x ++=---， 也即4+70x y +=， 故答案为：4+70x y +=.15．若直线10ax y +-=与连接()()2,3,3,2A B -的线段总有公共点，则a 的取值范围是______.【答案】(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】画出图形，由图可得，要使直线与线段AB 总有公共点，需满足PA a k -≥或PB a k -≤，从而可求得答案【详解】得直线10ax y +-=的斜率为a -，且过定点()0,1P ，则由图可得，要使直线与线段AB 总有公共点，需满足PA a k -≥或PB a k -≤， 11,3PA PB k k ==-，1a -≥或13a -≤-，1a ∴≤-或13a ≥. 故答案为：(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭16．点P 是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是__.【答案】[﹣12，0]【分析】建立空间直角坐标系，设出点P 的坐标为（x ，y ，z ），则由题意可得0≤x ≤1，0≤y ≤1，z ＝1，计算PA •1PC =x 2﹣x ，利用二次函数的性质求得它的值域即可．【详解】解：以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以DD 1所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示； 则点A （1，0，0），C 1（0，1，1），设点P 的坐标为（x ，y ，z ），由题意可得 0≤x ≤1，0≤y ≤1，z ＝1； ∴PA =（1﹣x ，﹣y ，﹣1），1PC =（﹣x ，1﹣y ，0），∴PA •1PC =-x （1﹣x ）﹣y （1﹣y ）+0＝x 2﹣x +y 2﹣y 22111222x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二次函数的性质可得，当x ＝y 12=时，PA •1PC 取得最小值为12-；当x ＝0或1，且y ＝0或1时，PA •1PC 取得最大值为0， 则PA •1PC 的取值范围是[12-，0]．故答案为：[12-，0]．【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目．三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB a =，AD b =，c AP =.(1)试用,,a b c 表示向量BM ； (2)求BM 的长.【答案】(1)111222b ac -+6【分析】利用空间向量基本定理用基底表示BM ；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算.【详解】（1）()1122BM BC CM AD CP AD CB BA AP =+=+=+++111111222222AD AD AB AP b a c =--+=-+ （2）22222111111111222444222BM b a c b a c a b c b a c ⎛⎫=-+=++-⋅+⋅-⋅ ⎪⎝⎭11111131021214422222=++-+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，所以62BM =BM18．已知ABC 的三个顶点(,)A m n ､(2,1)B ､(2,3)C -. (1)求BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，BC 边上高线AE 过原点，求点A 的坐标. 【答案】(1)240x y +-=(2)3,32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用两点式求得BC 边所在直线方程；（2）由题意可得2360-+=m n ，求出BC 边上高线AE 的方程，将点(,)A m n 代入AE 的方程，解关于,m n 的方程组即可求解.【详解】（1）由()2,1B 、()2,3C -可得311222BC k -==---， 所以BC 边所在直线方程为()1122y x -=--，即240x y +-=. （2）因为BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=， 所以点(,)A m n 在直线2360x y -+=上，可得2360-+=m n ， 因为12BC k =-，所以BC 边上高线AE 的斜率2AE k =，因为BC 边上高线AE 过原点，所以AE 的方程为2y x =，可得2n m =， 由23602m n n m -+=⎧⎨=⎩可得：323m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以点A 的坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭.19．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且12AB AD AA BD DC =====，(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)66【解析】(Ⅰ)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.(Ⅱ) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ) 1AA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故1AA AB ⊥.2AB AD ==，22BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥.1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1x =得到()1,1,2n =，()2,0,0AB =，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ 故26sin cos ,626n AB n AB n ABθ⋅====⋅. 【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 20．已知直线l ：5530ax y a --+=．(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)若直线l 的横截距和纵截距绝对值相等，求a 的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1a =±或3【分析】（1）将直线l 的方程化为点斜式，求出直线所过定点，即可证明结论成立；（2）直线l 的横截距和纵截距绝对值相等，分三种情况讨论：①横截距和纵截距为0，②横截距和纵截距相反，③横截距和纵截距相等，分别求出此时a 的值即可. 【详解】（1）解：直线l 的方程可整理为：3155y a x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 则l 的斜率为a ，且过定点13,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，∵13,55A ⎛⎫⎪⎝⎭在第一象限，所以不论a 取何值，直线l 总经过第一象限． （2）解：由（1）知，直线过定点1355A ⎛⎫⎪⎝⎭，，当直线过原点时，此时，3a =；当直线截距相反且不过原点时，1k =，此时1a =； 当直线截距相等且不过原点时，1k =-，此时1a =-； 综上所述，1a =±或3．21．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．(1)求BC ；(2)求点B 到平面P AM 的距离． 【答案】(1)2 (2)77【分析】（1）建立空间直角坐标系，设2BC a =，写出各点坐标，利用0PB AM ⋅=列出方程，求出22a =，从而得到BC 的长； （2）求出平面P AM 的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解.【详解】（1）∵PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，不妨以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -，设2BC a =，则()0,0,0D 、()0,0,1P 、()2,1,0B a 、(),1,0M a 、()2,0,0A a ， 则()2,1,1PB a =-，(),1,0AM a =-，∵PB AM ⊥，则2210PB AM a ⋅=-+=，解得2a = 故22BC a ==；（2）设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z =，则2AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,1AP =-， 由111120220m AM x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取12x =，可得()2,1,2m =，()0,1,0AB =，∴点B 到平面P AM 的距离177AB m d m⋅===22．如图①，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，222AB AD CD ===.将ADC △沿AC 折起，使得AD BC ⊥，如图②.（1）求证：平面ADC ⊥平面ABC .（2）在线段BD 上是否存在点E ，使得二面角E AC D --的平面角的大小为π4？若存在，指出点E的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点E 在线段BD 上靠近点D 的三等分点处.【分析】（1）先证明AC BC ⊥，再由线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面ADC ，由面面垂直的判定定理即可证明；（2）以C 为原点，以CA ，CB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，然后用坐标法求解即可【详解】（1）在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，222AB AD CD ===， ∴由平面几何知识易得π3ABC ∠=， ∴在ACB △中，222π21221cos 33AC =+-⨯⨯⨯=. 又222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥. 在题图②中，∵AD BC ⊥，ADAC A =，∴BC ⊥平面ADC .又BC ⊂平面ABC ，∴平面ADC ⊥平面ABC .（2）在线段BD 上存在点E ，使得二面角E AC D --的平面角的大小为π4. 以C 为原点，以CA ，CB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，如图.由平面ADC ⊥平面ABC ，ADC △是顶角为2π3的等腰三角形，知z 轴与ADC △底边上的中线平行，又由（1）易得3AC =∴()0,0,0C ，()3,0,0A，()0,1,0B ，312D ⎫⎪⎪⎝⎭，∴()3,0,0CA =，112,23BD ⎛⎫⎪ ⎪⎝=⎭-. 令()01BE tBD t =≤≤，则,,12t E t ⎫⎝-⎪⎪⎭， ∴3,1,22t CE t =-⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 设平面ACE 的一个法向量为(),,m x y z =，则00CA m CE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()0102t t y z =+-+=， ∴()0210x t y tz =⎧⎨-+=⎩，令y t =，则()21z t =-，∴()()0,,21m t t =-. 由（1）知，平面ADC 的一个法向量为()0,1,0n =.要使二面角E AC D --的平面角的大小为π4，则2πcos 4m n m n t ⋅=== 解得23t =或2t =（舍去）. ∴在线段BD 上存在点E ，使得二面角E AC D --的平面角的大小为π4，此时点E 在线段BD 上靠近点D 的三等分点处.。

河南省洛阳市第一高级中学2024-2025学年高二上学期开学摸底考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知定义在R 上的函数满足，，且当时，，则不等式的解集为( )A.或B.或C.D.2．已知函数满足：，，则下列说法正确的有( )A.是周期函数B.C.D.图象的一个对称中心为3．已知函数，，的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为( )A. B. C. D.4．若一枚质地均匀的骰子连续抛两次，则点数之和不小于8的概率是( )5．已知()6．在某城市正东方向200km 处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h ，距离台风中心150km.以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋( )A.2B.4.5C.9.5D.107．若函数在内恰好存在8个则的取值范围为( )A. B. C. D.()f x ()()()2f x y f x f y +=++()12f =0x >()2f x >-()()2128f x x f x ++->{2xx <-∣}1x >{1x x <-∣}2x >{}12x x -<<∣{}21xx -<<∣()f x ()()()()221f x f x f x f x ++++=()10f -=()f x ()20240f =()()22f x f x +=-()f x ()0,1()2x f x x =+2()log g x x x =+3()h x x x =+a b c>>b c a>>c a b>>b a c>>ABC △==1.4)≈()()πsin cos 06f x x x ωωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭()0,πx ω197,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭197,62⎛⎤⎥⎝⎦725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦8．若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为，则该圆锥的体积为( )A. B. C. D.二、多项选择题9．已知，集合，若存在，使得集合恰有五个元素，则的可能取值为( )10．如图，直线与半径为1的圆C 相切于D 点，射线绕着D 点逆时针方向旋转到，在旋转过程中射线交圆C 于E 点，设，，且恒满足，射线扫过圆C 内部（阴影部分）的面积为，则下列正确的是( )A.的单调递增区间为C.点为的对称中心D.在11．已知函数，则( )A.在为偶函数C.为奇函数D.在上单调递减三、填空题12．若函数，存在使得，则实数a 的值为________.13．2023年11月，国家自然资源部公布了四川省9座名山的高度数据，其中最高的是贡嘎山，它的高度数据为7508.9米，三角高程测量法是测量山体高度的方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，A 、B 、C 三点在同一水平面上的投影、、，满4π2π3π4π6π())sin cos (0)f x x x ωωω=+>5π0,4A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ω()()(){,4,,}B x y f x f y x y A =⋅=∈∣ωAB DB DA DB BDE x ∠=[]0,πx ∈2DCE BDE ∠∠=DB ()S f x =ππ44f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭ππ,22⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()f x x π()sin sin ,3f x x x x ⎛⎫=⋅+∈ ⎪⎝⎭R ()f x π0,2⎡⎢⎣π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦()cos f x x a =+12,x x ∈R ()()121f x f x ⋅=-1A 1B 1C足、，.由C 点测得B 点的仰角为，由B 点测得A 点的仰角为，则的高度为________.14．已知三个复数，，，所对应的向量，满足四、解答题15．已知函数.（1）当时，求在上的最值；（2）设函数，若存在最小值，求实数a 的值.16．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.1CC =11100A C =11145A C B ∠=︒11130B C A ∠=︒15︒60︒1AA 1z 2z z 12z 1OZ2OZ 12OZ OZ ⋅=1z --()42x xf x a =-⋅2a =()f x []1,1-()()()g x f x f x =+-()g x 11-()p c ()q c（1）当漏诊率时，求临界值c 和误诊率；（2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值.17．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.（1）求角B 的大小；（2）点D 是上的一点，，且，求周长的最小值.18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E ，F 分别为棱PD ，BC 的中点，点G 在线段AF 上.（1）证明：平面；（2）求点F 到平面的距离；（3）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值.19．设函数.（1）设，在处取得最大值，求；（2）关于x 的方程上恰有12个不同的实数解，求实数k 的取值范围.()0.5p c =%()q c ()()()f c p c q c =+[]95,105c ∈()f c ()f c []95,105ABC △sin2sin cos cos cB AC A a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭AC ABD CBD ∠=∠1BD =ABC △P ABCD -ABCD PAD ⊥ABCD PA CD ⊥60ABC ∠=︒1PA =PA ⊥ABCD PCD EG ABCD PAD PAF 1θ2θ3θ123sin sin sin θθθ++()sin 2cos f x x x =-()00,2x π∈()f x 0x x =0cos2x ()f x k =]0,6π参考答案1．答案：B解析：因为，，令，则，令，则，令，，且，则，整理得，因为，则，可得，所以，即，可知在定义域在R 上单调递增，又因为，即，可得，即，结合在定义域在R 上单调递增，可得，解得或，所以不等式的解集为或.故选：B.2．答案：A解析：对于A ，由于，故.从而，这就得到，所以，即.所以是周期函数，故A 正确；对于B ，C ，D ，取，则满足条件，但，，同时由于，，从而关于的对称点并不在函数图象上，故B ，C ，D 错误；()()()2f x y f x f y +=++()12f =1x y ==()()()21126f f f =++=2,1x y ==()()()321210=++=f f f 2x x =12y x x =-12x x >()()()12122=+-+f x f x f x x ()()()12122-=-+f x f x f x x 12x x >120x x ->()122f x x ->-()()()121220f x f x f x x -=-+>()()12f x f x >()f x ()()2128f x x f x ++->()()212210++-+>f x x f x ()()2123++->f x x x f ()()213f x x f -+>()f x 213x x -+>1x <-2x >()()2128f x x f x ++->{1xx <-∣}2x >()()()()()()()()121122112f x f x f x f x f x f x +++=+++++=+=()()()()1212f x f x +++=()()()()21412f x f x ++++=()()()()()()()()21411210f x f x f x f x ++++=+++≠()()411f x f x ++=+()()4f x f x +=()f x (){}{}{}0,411,411,21x k k f x x k k x k k ⎧∈-∈⎪⎪=∈+∈⎨-∉-∈Z Z Z ()f x ()20241f =()()()()21110321f f f f -==≠==+()10f -=()11f =()1,0-()0,1()1,23．答案：B解析：由得，，由得，由得.在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，由图象知，，.故选：B4．答案：C解析：一枚质地均匀的骰子连续抛两次，两次点数共有36种情况，其中点数之和为8的情况如下：，，，，，点数之和为9的情况如下：，，，，点数之和为10的情况如下：，，，点数之和为11的情况如下：，，点数之和为12的情况如下：，故点数之和不小于8的情况共有种，故选：C 5．答案：B解析：在，整理得，而，解得，所以故选：B3()0h x x x =+=0x =0c ∴=()0f x =2x x =-()0g x =2log x x =-2x y =2log y x =y x =-0a <0b >a c b ∴<<()2,6()3,5()4,4()5,3()6,2()3,6()4,5()5,4()6,3()4,6()5,5()6,4()5,6()6,5()6,65432115++++==ABC △cos sin cos cos sin C B A B A B -=2sin cos sin cos cos sin sin()sin C B A B A B A B C =+=+=sin 0C >cos B =πB <<B =解析：如图，当台风中心向西北方向移动到达点C 时，的距离恰好150km ，此时该城市所在地开始受到影响，设t 小时后该城市所在地开始受到影响，台风中心移动速度的大小为20km/h ，所以km ，由题意知，km ，又台风中心向西北方向移动，所以，由余弦定理可得，解得或（舍），则开始受到影响在之后.故选：B.7．答案：D解析：由题意可得：，因为，，则，AC 20BC t =200AB =45ABC ∠=︒()22222220020150cos cos 452220020t AB BC ACABC AB BCt+-+-∠===︒=⋅⨯⨯4.5h t =≈9.5h t =≈4.5h ()π1sin cos cos cos 62f x x x x x xωωωωω⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭3πcos 23x x x ωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭)0x =0π3x ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭()0,πx ∈0ω>πππ,π333x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭ππ3ω<-≤ω≤所以的取值范围为.故选：D.8．答案：B 解析：如图，由题意知内切圆和外接圆同圆心，即的内心与外心重合，则为正三角形，因为内切球表面积为，设内切圆的半径为r ，则，所以内切圆的半径为1，所以的边长为，故圆锥体积，故选：B.9．答案：AB解析：函数，ω725,26⎛⎤⎥⎝⎦ABC △ABC △ABC △4π24π4πr =ABC △1222tan tan 30OD BD OBD =⨯=⨯=∠33OD =⨯=21π33π3V =⨯⨯⨯=)()π()sin cos 2sin 04f x x x x ωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭则，所以，，或，，因为，所以，因为使得集合恰有五个元素，则故选：AB 10．答案：ACD解析：A ：，，B ：因为，故的单增区间为，因此本选项错误；C ：因为，所以点为的对称中心，因此本选项正确；D ：因为，故在故选：ACD.11．答案：BD解析：对于A ，，所以，所以，则在上的()()ππ4sin sin 444f x f y x y ωω⎛⎫⎛⎫⋅=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 14x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 14y ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 14x ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πsin 14y ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭5π,0,4x y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ω+πππ5π,4444y ω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦()()(){},4,,B x y f x f y x y A =⋅=∈∣ππ44x y ωω+=+=ππ44x y ω+=+=ππ44x y ω+=+=π4x ω+=π4y +=π4x +=π4y +=π5π44ω≤+<ω≤<()22111121sin2sin2222S f x x x x x ==⨯⨯-⨯⨯=- []0,πx ∈ππ44f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1cos20f x x ='-≥()f x []0,π()()()11πsin 2πsin 2π2π22f x f x x x x x +-=-+---=ππ,22⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()π22f f x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭''()f x x 2π11()sin sin sin (sin )sin cos 322f x x x x x x x x x⎛⎫=⋅+== ⎪⎝⎭1cos 2111π22cos 2sin(244426x x x x x -==-+=-π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦π1sin(2,162x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦值域为对于B ，设，则，所以为偶函数，故B 正确；对于C ，设，则，所以不是奇函数，故C 错误；对于D ，，，令，设，则时，单调递减，所以原函数在上单调递减，故D 正确；故选：BD 12．答案：解析：由余弦函数的性质，可得，所以的值域为，当时，，，显然不成立；同理，当时，不成立；所以，存在使得，先满足，即，当时，，，，所以集合与集合的交集不为空集，，亦即，所以，所以实数a 的值为0.故答案为：0.13．答案：解析：因为30,4⎡⎢⎣1π111s πin 2cos 2264)4π2(66F x x f x x ⎡⎤-+=-⎢⎥⎝⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎣⎦()1111cos 2cos 2()4)22(4x F x F x x --=--==π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭1π111sin 2sin 22641)4ππ(1222g x x f x x ⎡⎤-+=+⎢⎥⎛⎛⎫⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎦⎝⎣()1111sin 2=sin 2()()4242g x g x x x -+---=≠π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6ππ5,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦,π2π65π362x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦-5π3ππ3π,,6222π26t x ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎢⎥-∈⎣⎦=⎣⎦11()sin 24h t t =+5π3π,62t ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦()h t ()f x π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦1cos 1x -≤≤()cos f x x a =+[1,1]a a -+10a -≥()[]11,1f x a a ∈-+()[]21,1f x a a ∈-+()()121f x f x ⋅=-10a +≤()()121f x f x ⋅=-12,x x ∈R ()()121f x f x ⋅=-101a a -<<+11a -<<()()120f x f x ⋅≠()[]11,1f x a a ∈-+()[]21,1f x a a ∈-+11,,11a a --⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢+-⎝⎦⎣⎭[]1,1a a -+11,,11a a --⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢+-⎝⎦⎣⎭a ≥-1a +20a ≤0a =()tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 30︒-︒︒=︒-︒==+︒⋅︒()sin105sin 4560sin 45cos 60cos 45sin 60︒=︒+︒=︒︒+︒︒=分别过B ，C 做，，垂足分别为E ，D ，在中，则，可得，在，，，则，在中，，则所以故答案为：14．答案：解析：设复数，，在复平面内对应的点分别为A，B ，C ，且，所对应的向量，满足，即，不妨令，，则，，，即则，1BE AA⊥1CD BB ⊥111A B C △111105B A C =∠︒11111sinA BB C A==∠1111111111sin sin A C A C B A B A B C ∠=⋅∠=1111111111sin 50sin A C B A C C A B C ⋅∠==+∠Rt BCD △1150CD B C ==15BCD ∠=︒tan 50BD CD BCD =⋅∠=Rt ABE △1160BE A B ABE ==∠=︒tan AE BE ABE =∠=11AA CC BD AE =++=1z 2z 3z 1z 2z 1OZ 2OZ 120OZ OZ ⋅=12OZ OZ ⊥ ()2,0A ()0,2B 12z =22i z =)θθ()θ∈R )3i z θθ=+)))312i 22i 22i z z z θθθθ--=+--=-+-所以当故答案为：15．答案：（1）最小值为，最大值为0；（2）6解析：（1）当时，，设，则，开口向上，对称轴，所以函数在单调递减，单调递增，所以所以在上的最小值为，最大值为0.（2），设，当且仅当，即时取得等号，所以，，对称轴，即时，，在单调递增，则，解得，即时，在单调递减，单调递增，所以，解得或（舍去），综上，实数a 的值为6.16．答案：（1），；12z z --====πsin 4θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭1z --12max z z --==1-2a =()()2422222x x x x f x ==-⋅-⋅12,22xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦()22h t t t =-1t =()h t 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]1,2()()()()min max 11,20,h t h h t h ==-==()f x []1,1-1-()()()()42424422x x x x xx x x g a x f x f x a a -----=+-=+-⋅=⋅+-⋅+()()222222x x x x a ---⋅++-=222x x λ-=+≥=22-=x x 0x =()22d a λλλ=--[)2,λ∈+∞λ2≤4a ≤()22d a λλλ=--[)2,+∞()()min 22211d d a λ==-=-a =2>4a >()22d a λλλ=--2,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()2min21124a a d d λ⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭6a =6a =-97.5c =() 3.5%q c =（2），最小值为0.02.解析：（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以，所以，解得：，.（2）当时，；当时，，故，所以在区间的最小值为0.02.17．答案：（1）（2）解析：（1）由二倍角公式得，故由正弦定理得，，而，，故则（2）设，，设，则，在0.0080.82,95100()0.010.98,100105c c f c c c-+≤≤⎧=⎨-<≤⎩50.0020.5%⨯>95100c <<()950.0020.5%c -⨯=97.5c =()()0.0110097.550.0020.035 3.5%q c =⨯-+⨯==[95,100]c ∈()()()(95)0.002(100)0.0150.0020.0080.820.02f c p c q c c c c =+=-⨯+-⨯+⨯=-+≥(100,105]c ∈()()()50.002(100)0.012(105)0.0020.010.980.02f c p c q c c c c =+=⨯+-⨯+-⨯=->0.0080.82,95100()0.010.98,100105c c f c c c -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩()f c []95,105B =2sin cos sin cosC cos cB B A A a⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos cos cos b B a C c A =+2sin cos sin cos sin cos sin B B A C C A B =+=()0,πB ∈sin 0B ∴≠cos B =B =1AD t =2CD t =ADB θ∠=π5π,66θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π6ABD CBD ∠=∠=△sin c θ==1==在周长令，则，，即周长最小值为18．答案：（1）证明见解析；解析：（1）连接，取的中点O ，连接，因为底面为菱形，且，所以、为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面；（2）因为平面，平面，所以，，又，，，所以所以△()sin πa θ==-2==()122sin 1l t t a c θ=+++=+=1sin ,12t θ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦l ===)⎡==+∞⎣1t =min l =AC AD OC ABCD 60ABC ∠=︒ABC △ADC △OC AD ⊥PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD =OC ⊂ABCD OC ⊥PAD PA ⊂PAD PA OC ⊥PA CD ⊥CD OC C = ,CD OC ⊂ABCD PA ⊥ABCD PA ⊥ABCD ,AC AD ⊂ABCD PA AC ⊥PA AD ⊥2CD =1CF =1PA =121sin1202CFD S =⨯⨯⨯︒=△113P FCD V -=⨯=又，设点F 到平面的距离为d ，则解得（3）连接，，则且又平面，所以平面，则为直线与平面所成的角，即，所以取的中点M ，连接，则且，又F 为中点，所以，又，所以，由平面，平面，所以，，又，平面，所以平面，则平面，又，平面，所以平面，连接，，则为直线与平面所成的角，即，所以为直线与平面所成的角，即，所以所以又，，所以所以令，则，PC PD ===1222PCD=⨯=△PCD 13P FCD F PCD PCD V V S d --==⋅=△2d =d =OE OG //OE PA 12OE PA ==PA ⊥ABCD OE ⊥ABCD EGO ∠EG ABCD 1EGO θ∠=1sin EO EG θ==PA ME //ME AD 112EM AD ==BC AF BC ⊥//AD BC AD AF ⊥PA ⊥ABCD ,AF AD ⊂ABCD PA AF ⊥PA AD ⊥AF AP A = ,AF AP ⊂PAF AD ⊥PAF EM ⊥PAF AD AP A = ,AD AP ⊂PAD AF ⊥PAD MG AE EGM ∠EG PAF 3EGM θ∠=3sin ME EG θ==AEG ∠EG PAD 2AEG θ∠=2sin θ=123112sin sin sin AG EG EG EG θθθ++=++=12AE PD ==AG x =(0x ≤≤EG ==12332sin sin sin AG EG θθθ+++==32t x =+33,22t ⎡∈+⎢⎣，因为，所以（2）解析：（1）因为，所以函数关于直线对称，因为当时，，其中所以存在，使得为函数在区间上的最大值，由对称性可知也为在区间上的最大值，所以所以由对称性可知还存在，使得为函数在区间上的最大值，所以综上，（2）因为，所以函数为周期函数，周期为，====33,22t ⎡∈⎢⎣23⎤⎥⎦()123max sin sin sin θθθ++⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝ ()()()()2πsin 2π2cos 2πsin 2cos f x x x x x f x -=---=-=()f x πx =π()0,x ∈()()sin 2cos f x x x x ϕ=-=+sin ϕ=ϕ=0(0,π)x ∈0()f x ()f x (0,π)0()f x ()f x (0,2π)0x ϕ+=0πsin sin cos 2x ϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭0πcos sin 2x ϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭200cos212sin x x =-=0(π,2π)x ∈0()f x ()f x (0,2π)0sin x =200212sin x x =-=0cos 2x =()()()()2πsin 2π2cos 2πsin 2cos f x x x x x f x +=+-+=-=()f x 2π所以原问题等价于关于x 的方程上恰有4个不同的实数解，又由对称性可知关于x 的方程上恰有2个不同的实数解，当时，，，，所以因为，所以，因为，解得，所以k的取值范围为.()f x k =2π]()f xk =π)[0,π]x ∈()()sin 2cosf x x x x ϕ=-=+(0)2f =-()π2f =12k k<+<12k k+>1k ≠1k k +<210+<k ∈⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝。

河南省洛阳市高三“一练”数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（•洛阳模拟）设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z 的共轭复数为=（）A．B．2C．D．1考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：计算题．分析：给出z=﹣1﹣i ，则，代入整理后直接求模．解答：解：由z=﹣1﹣i ，则，所以=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，考查了学生的运算能力，此题是基础题．2．（5分）（•洛阳模拟）已知集合，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．1B．2C．4D．8考点：集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：通过解分式不等式求出好A，无理不等式求出集合B，通过满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数即可．解答：解：∵={1，2}={0，1，2，3，4}，因为A⊆C⊆B，所以C中元素个数至少有1，2；至多为：0，1，2，3，4；所以集合C的个数为{0，3，4}子集的个数：23=8．故选D．点评：本题考查分式不等式与无理不等式的求法，集合的子集的求解，考查计算能力，转化思想．3．（5分）（•洛阳模拟）如果函数y=3sin（2x﹣φ）（φ＞0）的图象关于直线对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．考点：正弦函数的对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数图象对称轴方程的公式，建立关于φ的等式，化简可得﹣φ=+kπ（k∈Z），取k=﹣1得φ=，即为正数φ的最小值．解答：解：∵函数y=3sin（2x ﹣φ）的图象关于直线对称，∴当x=时，函数达到最大或最小值由此可得：2﹣φ=+kπ（k∈Z）∴﹣φ=+kπ（k∈Z），取k=﹣1，得φ=因此，φ的最小值为故选：C点评：本题给出三角函数图象的一条对称轴方程，求参数φ的最小值，着重考查了三角函数和图象与性质和正弦函数图象的对称性等知识，属于基础题．4．（5分）（•揭阳一模）如图，阅读程序框图，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题．分析：据程序框图得到事件“能输出数对（x，y）”满足的条件，求出所有基本事件构成的区域面积；利用定积分求出事件A构成的区域面积，据几何概型求出事件的概率．解答：解：是几何概型所有的基本事件Ω=设能输出数对（x，y）为事件A，则A=S（Ω）=1S（A）=∫01x2dx==故选A点评：本题考查程序框图与概率结合，由程序框图得到事件满足的条件、考查利用定积分求曲边图象的面积；利用几何概型概率公式求出事件的概率．5．（5分）（•洛阳模拟）若函数为常数）在定义域内为奇函数，则k的值为（）A．1B．﹣1 C．±1D．0考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由奇函数定义知f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，进行化简整理即可求得k值．解答：解：因为f（x）为定义域内的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，所以（2﹣x﹣k•2x）（2x+k•2﹣x）=﹣（2x﹣k•2﹣x）（2﹣x+k•2x），所以2﹣x•2x+k•2﹣2x﹣k•22x﹣k2•2x•2﹣x=﹣2x•2﹣x﹣k•22x+•k•2﹣2x+k2•2﹣x•2x，即1﹣k2=﹣1+k2，解得k=±1，故选C．点评：本题考查函数的奇偶性，考查指数幂的运算法则，考查学生的运算能力，属中档题．6．（5分）（•洛阳模拟）在△ABC中，D为BC 边上的点，的最大值为（）A．1B．C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：在△ABC中，D为BC边的点，由D，B，C三点共线可知λ+μ=1，（λ、μ＞0），利用基本不等式即可求得λμ的最大值．解答：解：∵在△ABC中，D为BC边的点，∴D，B，C三点共线且D在B，C之间，∴λ+μ=1，（λ＞0，μ＞0）∴λμ≤==（当且仅当λ=μ时取“=”）．∴λμ的最大值为．故选D．点评：本题考查基本不等式，求得λ+μ=1，（λ＞0，μ＞0）是关键，属于中档题．7．（5分）（•洛阳模拟）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．64+32πB．64+64πC．256+64πD．256+128π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．据此即可计算出．解答：解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．∴该几何体的体积V=8×8×4+π×42×4=256+64π．故选C．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．8．（5分）（•洛阳模拟）已知F是抛物线y2=4x的焦点，过点F1的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|=3|BF|，则线段AB的中点到该抛物线准线的距离为（）A．B．C．D．10考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．解答：解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=3|BF|，∴x1+1=3（x2+1），∴x1=3x2+2∵|y1|=3|y2|，∴x1=9x2，∴x1=3，x2=∴线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为[（x1+1）+（x2+1）]=故选B．点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键．9．（5分）（•洛阳模拟）函数的最大值为（）A．2B．3C．D．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域，即可确定出f（x）的最大值．解答：解：f（x）=1﹣cos （+2x ）﹣cos2x=1+（sin2x ﹣cos2x）=1+2sin（2x ﹣），∵≤x≤，∴≤2x﹣≤，∵≤sin（2x ﹣）≤1，即2≤1+2sin（2x ﹣）≤3，则f（x）的最大值为3．故选B点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）（•洛阳模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．64π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．解答：解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，∴球O的半径R==2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故选C．．点评：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题时要关键．11．（5分）（•洛阳模拟）已知的两个零点，则（）A．B．1＜x1x2＜e C．1＜x1x2＜10 D．e＜x1x2＜10考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：若的两个零点，则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标，在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象，利用对数函数的性质，可判断出x1x2的范围．解答：解：若的两个零点，则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象如下图所示：由图可得即﹣1＜ln（x1•x2）＜1即又∵﹣lnx1＞lnx2∴ln（x1•x2）＜0∴x1•x2＜1综上故选A点评：本题考查的知识点是函数的零点，对数函数的图象和性质，其中画出函数的图象，并利用数形结合的办法进行解答是关键．12．（5分）（•洛阳模拟）设F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过F1引圆x2+y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．4B．3C．2D．1考点：两点间的距离公式；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程，算出c==5，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，并结合双曲线的定义可得|MO|﹣|MT|=4﹣a=1，得到本题答案．解答：解：∵MO是△PF1F2的中位线，∴|MO|=|PF2|，|MT|=|PF1|﹣|F1T|，根据双曲线的方程得：a=3，b=4，c==5，∴|OF1|=5，∵PF1是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，∴Rt△OTF1中，|FT|==4，∴|MO|﹣|MT|=|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=|F1T|﹣（|PF1|﹣|PF2|）=4﹣a=1故选：D点评：本题给出双曲线与圆的方程，求|MO|﹣|MT|的值，着重考查了双曲线的简单性质、三角形中位线定理和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（•洛阳模拟）设变量x，y 满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y 的最小值为7 ．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：先根据条件画出可行域，设z=2x+3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+3y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，1），B（4，5），C（1，2），当直线过A（2，1）时，目标函数z=2x+3y的最小，最小值为7．故答案为：7．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．14．（5分）（•洛阳模拟）曲线处的切线方程为x+y﹣2=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由y=，知，由此能求出曲线处的切线方程．解答：解：∵y=，∴，∴曲线处的切线方程的斜率k=y′|x=0=﹣1，∴曲线处的切线方程为y﹣2=﹣x，即x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．点评：本题考查曲线方程在某点处的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的几何意义的灵活运用．15．（5分）（•洛阳模拟）的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x2的系数为160 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；概率与统计．分析：由的展开式中各项系数之和为729，知3n=729，解得n=6．再由（2x+）6的通项公式为T r+1==，能求出该展开式中x2的系数．解答：解：∵的展开式中各项系数之和为729，令x=1，得3n=729，解得n=6．∵（2x+）6的通项公式为T r+1==，由6﹣=2，得r=3．∴该展开式中x2的系数为=8×=160．故答案为：160．点评：本题考查二项式系数的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．16．（5分）（•洛阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b2=3ac，则角A 的大小为或．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理、诱导公式可得sin2B=sin（A+C），得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，即sin2B=3sinAsinC，利用积化和差公式求得cos（A﹣C）=0，得A﹣C=±90°，由此可得A的大小．解答：解：△ABC中，∵2bcosB=acosC+c•cosA，由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinC•cosA，∴sin2B=sin（A+C）．得2B=A+C （如果2B=180°﹣（A+C），结合A+B+C=180°易得B=0°，不合题意）．A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，故 sin2B=3sinAsinC，∴=3sinAsinC=3×[cos（A﹣C）﹣cos（A+C）]=（cos（A﹣C）+），解得 cos（A﹣C）=0，故A﹣C=±90°，结合A+C=120°，易得 A=，或A=．故答案为A=，或A=点评：本题主要考查正弦定理、诱导公式、积化和差公式的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．三、解答题：本大题共8小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（•洛阳模拟）设数列{a n}满足：a1+2a2+3a3+…+na n=2n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=n2a n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题．分析：（1）根据题意，可得a1+2a 2+3a3++（n﹣1）a n﹣1=2n﹣1，两者相减，可得数列{a n}的通项公式．（2）根据题意，求出b n的通项公式，继而求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）∵a1+2a2+3a3+…+na n=2n①，∴n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1=2n﹣1②①﹣②得na n=2n﹣1，a n=（n≥2），在①中令n=1得a1=2，∴a n=（2）∵b n=．则当n=1时，S1=2∴当n≥2时，S n=2+2×2+3×22+…+n×2n﹣1则2S n=4+2×22+3×23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n相减得S n=n•2n﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n﹣1）2n+2（n≥2）又S1=2，符合S n的形式，∴S n=（n﹣1）•2n+2（n∈N*）点评：此题主要考查数列通项公式的求解和相关计算．18．（12分）（•洛阳模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB的中点．（1）证明：CD⊥平面POC；（2）求二面角C﹣PD﹣O的余弦值的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（1）利用侧面PAB⊥底面ABCD，可证PO⊥底面ABCD，从而可证PO⊥CD，利用勾股定理，可证OC⊥CD，从而利用线面垂直的判定，可得CD⊥平面POC；（2）建立坐标系，确定平面OPD、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角O﹣PD ﹣C的余弦值；解答：证明：（1）∵PA=PB=，O为AB中点，∴PO⊥AB∵侧面PAB⊥底面ABCD，PO⊂侧面PAB，侧面PAB∩底面ABCD=AB，∴PO⊥底面ABCD∵CD⊂底面ABCD，∴PO⊥CD在Rt△OBC中，OC2=OB2+BC2=2在Rt△OAD中，OD2=OA2+AD2=10在直角梯形ABCD中，CD2=AB2+（AD﹣BC）2=8∴OC2+CD2=OD2，∴△ODC是以∠OCD为直角的直角三角形，∴OC⊥CD∵OC，OP是平面POC内的两条相交直线∴CD⊥平面POC…（6分）解：（2）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，0，2），D（﹣1，3，0），C（1，1，0）∴=（0，0，2），=（﹣1，3，0），=（﹣1，﹣1，2），=（﹣2，2，0）假设平面OPD 的一个法向量为=（x，y，z），平面PCD 的法向量为=（a，b，c），则由可得，令x=3，得y=1，z=0，则=（3，1，0），由可得，令a=2，得b=2，c=，即=（2，2，）∴cos＜，＞===故二面角O﹣PD﹣C 的余弦值为．…（12分）点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量方法解决空间角问题，正确运用线面垂直的判定是关键．19．（12分）（•洛阳模拟）随着建设资源节约型、环境友好型社会的宣传与实践，低碳绿色的出行方式越来越受到追捧，全国各地兴起了建设公共自行车租赁系统的热潮，据不完全统计，已有北京、株洲、杭州、太原、苏州、深圳等城市建设成公共自行车租赁系统，某市公共自行车实行60分钟内免费租用，60分钟以上至120分钟（含），收取1元租车服务费，120分钟以上至180分钟（含），收取2元租车服务费，超过180分钟以上的时间，按每小时3元计费（不足一小时的按一小时计），租车费用实行分段合计．现有甲，乙两人相互到租车点租车上班（各租一车一次），设甲，乙不超过1小时还车的概率分别为小时以上且不超过2小时还车的概率分别为小时以上且不超过3小时还车的概率分别为，两人租车时间均不会超过4小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率．（2）设甲一周内有四天（每天租车一次）均租车上班，X表示一周内租车费用不超过2元的次数，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元，然后利用互斥事件的概率公式分别求出相应的概率，最后求和可求出所求；（2）X的取值可能为0，1，2，3，4，然后利用二项分布的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．解答：解：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元两人都付0元的概率为P1=×=两人都付1元的概率为P2=×=两人都付3元的概率为P3=×=两人都付6元的概率为P4=（1﹣﹣﹣）×（1﹣﹣﹣）=×=则甲，乙两人所付租车费用相同的概率为P=P1+P2+P3+P4=（2）依题意，甲某每天租车费用不超过2元的概率为P=+=则P（X=0）=××=，P（X=1）==P（X=2）==，P（X=3）==P（X=4）==∴X的分布列为X 0 1 2 3 4PX的数学期望为E（X ）=1×+2×+3×+4×=3点评：本题主要考查了事件、互斥事件的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．20．（12分）（•洛阳模拟）在平面直角坐标系中xOy中，O为坐标原点，A（﹣2，0），B（2，0），点P为动点，且直线AP与直线BP 的斜率之积为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点D（1，0）的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出△MON 的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设P点坐标为（x，y）根据直线AP与直线BP 的斜率之积为，代入斜率公式，整理可得动点P的轨迹C的方程；（2）设出交点M，N的坐标及直线l的方程为x=ny+1，联立方程根据韦达定理求出y1+y2，y1•y2的值，根据弦长公式求出MN长，求出△MON的面积的表达式，分析出对应函数的单调性，可得答案．解答：解：设P点的坐标为（x，y）∵A（﹣2，0），B（2，0），直线AP与直线BP 的斜率之积为．∴•=（x≠±2）整理得P 点的轨迹方程为（x≠±2）（2）设直线l的方程为x=ny+1联立方程x=ny+1与（x≠±2）得（3n2+4）y2+6ny﹣9=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1•y2=△MON的面积S=•|OP|•|y1﹣y2|====令t=，则t≥1，且y=3t+在[1，+∞）是单调递增∴当t=1时，y=3t+取最小值4此时S 取最大值此时直线的方程为x=1点评：本题考查的知识点是轨迹方程，直线与圆锥曲线的关系，熟练掌握设而不求，联立方程，韦达定理，弦长公式等一系列处理直线与圆锥曲线关系的方法和技巧是解答的关键．21．（12分）（•洛阳模拟）已知函数．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意的，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=2时，求出f（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；（2）对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），等价于f（x0）min＞m（1﹣a2），用导数可求f（x0）min，构造函数g（a）=f（x0）min﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2），问题转化为g（a）min＞0（1＜a＜2），分类讨论可求出m的取值范围．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=，定义域为（﹣，+∞）．f′（x）=2x﹣2+=2x﹣2+=．由f′（x）＞0，得，或x ＞；由f′（x）＜0，得0＜x ＜．所以函数f（x ）的单调递增区间为（，0），（，+∞），单调递减区间为（0，）．（2）y=f（x ）的定义域为（﹣，+∞）．f′（x）=2x﹣a+=2x﹣a+==．当1＜a＜2时，﹣1==＜0，即，所以当1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a+ln （）．依题意，对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），即可转化为对任意的a∈（1，2），1﹣a+ln （）﹣m（1﹣a2）＞0恒成立．设g（a）=1﹣a+ln （）﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2）．则g′（a）=﹣1++2ma==，①当m≤0时，2ma﹣（1﹣2m）＜0，且＞0，所以g′（a）＜0，所以g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，则g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾．②当m＞0时，g′（a）=，若，则g′（a）＜0，g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾；若1＜＜2，则g（a）在（1，）上单调递减，在（，2）上单调递增，且g（1）=0，g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0矛盾；若，则g（a）在（1，2）上单调递增，且g（1）=0，则恒有g（a）＞g（1）=0，所以，解得m，所以m的取值范围为[，+∞）．点评：本题考查综合运用导数求函数的单调区间、最值及函数恒成立问题，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想的运用．22．（10分）（•洛阳模拟）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A，B两点，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D．求证：（1）CE=DE；（2）．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．专题：选作题．分析：（1）由弦切角定理是，及PC为∠APE的平分线，可证得∠ECD=∠EDC，进而证得CE=DE （2）先由AA证明出△PBC∽△ECD，进而证得△PBC∽△PEC，可由相似三角形对应边成比例得到结论．解答：解：（1）PE切圆O于点E∴∠A=∠BEP∵PC平分∠APE，∴∠A+∠CPA=∠BEP+∠DPE∵∠ECD=∠A+∠CPA，∠EDC=∠BEP+∠DPE∴∠ECD=∠EDC，∴EC=ED（2）∵∠PDB=∠EDC，∠EDC=∠ECD∴∠PDB=∠PCE∵∠BPD=∠EPC∴△PDB∽△PEC∴=同理△PDE∽△PCA∴=∴=∵DE=CE∴点评：本题考查的往右点是与圆相关的比例线段，相似三角形的性质，熟练掌握弦切角定理及相似三角形的判定及性质是解答的关键．23．（•洛阳模拟）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．考点：直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）先根据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合直线l 的参数方程：，联解得到关于参数t的二次方程，运用根的判别式列式并解之，即可得到角α的取值范围；（2）由（1）可得曲线C的参数方程，从而得到x+y=3+2sin （θ+），最后结合正弦函数的值域，即可得到x+y的取值范围．解答：解：（1）将曲线ρ2﹣6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程，得圆C：x2+y2﹣6x+5=0直线l 的参数方程为（t为参数）将其代入圆C方程，得（﹣1+tcosα）2+（tsinα）2﹣6tsinα+5=0整理，得t2﹣8tcosα+12=0∵直线l与圆C有公共点，∴△≥0，即64cos2α﹣48≥0，可得cosα≤﹣或cosα≥∵α为直线的倾斜角，得α∈[0，π）∴α的取值范围为[0，]∪[，π）（2）由圆C：x2+y2﹣6x+5=0化成参数方程，得（θ为参数）∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2sin （θ+）∵sin（θ+）∈[﹣1，1]∴2sin （θ+）∈[﹣2，2]，可得x+y的取值范围是[3﹣2，3+2]．点评：本题给出直线与圆的极坐标方程，要求我们将其化成直角坐标方程并研究直线与圆位置关系．着重考查了直角坐标与极坐标的互化、简单曲线的极坐标方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．24．（•洛阳模拟）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a．（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；（2）⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+⇔a+≤4，对a进行分类讨论可求a的取值范围．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣1≥|（x+1）﹣（x﹣4）|﹣1=5﹣1=4．所以函数f（x）的最小值为4．（2）对任意的实数x恒成立⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+对任意的实数x恒成立⇔a+≤4对任意实数x恒成立．当a＜0时，上式显然成立；当a＞0时，a+≥2=4，当且仅当a=即a=2时上式取等号，此时a+≤4成立．综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪{2}．点评：本题考查绝对值函数、基本不等式以及恒成立问题，考查分类讨论思想，恒成立问题一般转化为函数最值问题解决，．四、附加题（满分0分，不计入总分）25．（•洛阳模拟）有小于1的n（n≥2）个正数x1，x2，x3，…，x n，且x1+x2+x3+…+x n=1．求证：．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：由x1，x2，x3，…，x n均为小于1的正数，可得，由均值定理及放缩法，证得成立．解答：证明：∵x1，x2，x3，…，x n均为小于1的正数，∴∴＞≥又∵≤=∴≥n∴＞n2≥22=4即＞4点评：本题考查的知识点是不等式的证明，熟练掌握均值定理及放缩法是解答的关键．。

2022-2023学年河南省洛阳市孟津区第一高级中学高三下学期阶段检测化学试题1.我国科学技术成就显著。

下列化学解读错误的是我国科学家成功制备半导体——纳米晶体我国科学家利用沸石纳米材料成功分离和相同条件下的密度比的大我国科学家利用双核镍高效电催化还原有利于实现“双碳达标”我国科学家发现次晶态金刚A．A B．B C．C D．D2.某化合物A的结构如图所示，其中X、Y、Z、W均为短周期元素且原子序数依次增大，下列说法正确的是A．原子半径：Z>Y>XB．简单氢化物的沸点：W>YC．该物质所有原子和离子均满足8电子稳定结构D．Z的单质可用作太阳能电池3. M、N、P、Q是短周期元素，在元素周期表中的位置如图所示，工业上用M与N形成的化合物冶炼单质N，下列说法正确的是A．M与P形成的化合物能制作太阳能电池，实现光能转化为电能B．M与Q形成的一种化合物和Q单质都有漂白性，都能用作自来水消毒剂C．N与Q形成化合物的水溶液呈酸性，蒸发至干，灼烧得到M与N形成的化合物D．Q元素的最高正价和最低负价的代数和为6，含有Q元素的含氧酸是强酸4.下列有关海水资源综合利用的说法正确的是A．粗盐中的可以分别加入NaOH溶液、溶液、溶液后过滤，在滤液中加盐酸调pH=7可得到纯净的氯化钠溶液B．由制取Mg，灼烧得到MgO，MgO与Al发生铝热反应可得到MgC．在不断通入氯化氢气体的环境中灼烧六水氯化镁可得到氯化镁D．流程中有化合、分解、置换、复分解等反应5.头孢克洛是内酰胺类抗生素，主要适用于敏感菌所致的急性感染。

其结构如图所示，有关头孢克洛的说法正确的是A．头孢克洛是一种复杂的烃类物质B．既能与盐酸反应，也能与氢氧化钠反应C．1mol头孢克洛最多能与7mol 发生加成反应D．头孢克洛分子能发生水解反应，水解产物能催化氧化生成醛基6.下列仪器或标签使用正确的是B．收集NO C．浓硫酸的标识D．制备盐酸A．装溶液的玻璃瓶A．A B．B C．C D．D7.电池级高纯硫酸锰(MnSO4∙H2O)是制备锂电池正极三元材料(镍钴锰酸锂)的前驱体，也是制备电池级高纯四氧化三锰和高纯二氧化锰的基础原料。

河南省洛阳市第一高级中学2023-2024学年高一上学期期中达标数学测评卷（A卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．2-B ．1C ．2D ．37．若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-ÈD ．[]1,7-8．已知幂函数()()22421m m f x m x -+=-在()0+¥，上单调递增，函数()2x g x a =-，[]11,5x "Î，[]21,5x $Î，使得()()12f x g x ³成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ³B ．23a ³-C ．31a ³D ．7a ³12．函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，则（ ）A ．()()11f x f x --=-+B ．()()4f x f x +=-C ．()f x 为偶函数D ．()3f x -为奇函数四、解答题17．已知非空集合{123}A x a x a =-££+∣，{24}B x x =-££∣，全集U =R ．(1)当2a =时，求()()U U A B U ðð；(2)若x A Î是x B Î成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．已知幂函数()()225222k k f x m m x -=-+（k ÎZ ）是偶函数，且在()0,+¥上单调递增．（1）求函数()f x 的解析式；60x \=时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选：B 6．B【分析】分两种情况，求出分段函数在各自区间上的取值范围或最大值，最终求出结果.【详解】当2242x x x -£-+-，即[]0,3x Î时，()2f x x =-在[]0,3x Î上单调递增，所以()max ()3321f x f ==-=，当2242x x x ->-+-，即()(),03,x Î-¥+¥U 时，()()224222f x x x x =-+-=--+在(),0x Î-¥上单调递增，在()3,+¥上单调递减，因为()02f =-，()31f =，所以()()31f x f <=；综上：函数()f x 的最大值为1故选：B 7．C【分析】由题设可得()()30x x m --<，讨论,3m 的大小关系求解集，并判断满足题设情况下m 的范围即可.【详解】不等式()2330x m x m -++<，即()()30x x m --<，当3m >时，不等式解集为()3,m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故67m <£；当3m =时，不等式解集为Æ，此时不符合题意；当3m <时，不等式解集为(),3m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故10m -£<；。

导数的同构思想一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =12e 2x -12ln 2x -ln x -kx -1ex +1，对于任意的x 1、x 2∈0,+∞ ，当x 1≠x 2时，总有f x 1 -f x 2x 1-x 2>2成立，则k 的取值范围是( )A.-∞,-1eB.-∞,-12eC.-∞,-1e 2D.-∞,-13e【答案】A【解析】不妨设x 1>x 2，由f x 1 -f x 2x 1-x 2>2可得出f x 1 -f x 2 >2x 1-2x 2，即f x 1 -2x 1>f x 2 -2x 2，令g x =f x -2x =12e 2x -12ln 2x -ln x -kx -2+1ex +1，其中x >0，则g x 1 >g x 2 ，所以，函数g x 在0,+∞ 上为增函数，则g x =e 2x -ln x +1x -k -2+1e ≥0，则k ≤e 2x -ln x +1x -2+1e ，令h x =e 2x -ln x +1x -2+1e ，其中x >0，h x =2e 2x+ln x x 2=2x 2e 2x +ln x x 2，令p x =2x 2e 2x +ln x ，其中x >0，所以，p x =4x x +1 e 2x +1x>0，所以，函数p x 在0,+∞ 上单调递增，因为p 1e =2e 2e -2-1<2e-1<0，p 1 =2e 2>0，所以，存在x 0∈1e ,1 ，使得p x 0 =2x 20e 2x+ln x 0=0，则2x 0e 2x 0=-1x 0ln x 0=1x 0ln 1x 0，令t x =xe x ，其中x >0，则t x =x +1 e x >0，故函数t x 在0,+∞ 上为增函数，因为x 0∈1e ,1 ，1<1x 0<e ，所以，0<ln 1x 0<1，由2x 0e 2x 0=1x 0ln 1x 0可得t 2x 0 =t ln 1x 0 ，所以，2x 0=-ln x 0，可得e 2x 0=1x 0，且当0<x <x 0时，h x <0，此时函数h x 单调递减，当x >x 0时，h x >0，此时函数h x 单调递增，所以，h x min =h x 0 =e 2x 0-ln x 0+1x 0-2+1e =1-1-2x 0 x 0-2+1e =-1e，所以，k ≤-1e.故选：A .2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =-2x cos x +12a +1 x 3，对于任意的x 1，x 2∈0，π2，且x 1<x 2都有x 2f x 1 -x 1f x 2 >0成立，则实数a 的取值范围是( )A.-∞,-3B.-∞,3C.-∞,-1D.-∞,-1【答案】A 【解析】令g (x )=f (x )x ，则g (x )=-2cos x +12a +1 x 2，由题意知对于任意的x 1 ，x 2∈0，π2，且x 1<x 2都有x 2f x 1 -x 1f x 2 >0成立，即f x 1 x 1>f x 2 x 2，故g (x 1)>g (x 2)，即g (x )=f (x )x 是0，π2上的单调减函数；故g (x )=2sin x +a +1 x ≤0在x ∈0，π2时恒成立，即sin x x ≤-a +12在x ∈0，π2时恒成立，设y =sin x -x ,x ∈0，π2 ，则y =cos x -1<0,x ∈0，π2 ，故y =sin x -x ,x ∈0，π2 单调递减，所以sin x -x <0，即sin x <x ,x ∈0，π2 ,∴sin xx<1，所以-a +12≥1，即a ≤-3 ，故选：A 3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x ln ax+ae x ，g x =-x 2+x ，当x ∈0,+∞ 时，f x ≥g x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.1e 2,+∞ B.1e ,+∞C.1,+∞D.e ,+∞【答案】B【解析】当x ∈0,+∞ 时，由f x ≥g x ，可得x ln ax+ae x ≥-x 2+x ，不等式两边同时除以x 可得ln a -ln x +e x +ln a -ln x ≥-x +1，即e x +ln a -ln x +x +ln a -ln x -1≥0，令t =x +ln a -ln x ，h t =e t +t -1，其中t ∈R ，h t =e t +1>0，所以，函数h t 在R 上为增函数，且h 0 =0，由h t ≥0，可得t ≥0，所以，对任意的x >0，x +ln a -ln x ≥0，即ln a ≥ln x -x ，令p x =ln x -x ，其中x >0，则p x =1x -1=1-xx，当0<x <1时，p x >0，此时函数p x 单调递增，当x >1时，p x <0，此时函数p x 单调递减，所以，ln a ≥p x max =p 1 =-1，解得a ≥1e.故选：B .4.(2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校联考一模)对任意x ∈0,+∞ ，不等式a -1 x +ln ax ≤e x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.0,1 B.0,eC.0,2eD.0,e 2【答案】B【解析】由a -1 x +ln ax ≤e x ，则ax +ln ax ≤e x +ln e x ，因为y =x +ln x 在0,+∞ 上为增函数，所以ax ≤e x ，即a ≤e xx对任意x ∈0,+∞ 恒成立，设函数h x =e x x ，则hx =e x x -1 x 2，由h x <0可得0<x <1，由h x >0可得x >1，所以h x 在0,1 上为减函数，在1,+∞ 上为增函数，所以a ≤h x min =h 1 =e ，因为ax >0对任意的x ∈0,+∞ 恒成立，所以a >0，所以0<a ≤e .故选：B ．5.(2023·全国·高三专题练习)若关于x 的不等式a 2-a x +a ln x ≤e x -2a ln a 在0,+∞ 上恒成立，则实数a 的最大值为( )A.eB.eC.e 3D.e 2【答案】A【解析】由已知可得a >0，x >0，由a 2-a x +a ln x ≤e x -2a ln a 可得a -1 x +ln x ≤e x -ln a -2ln a ，所以，e x -ln a +x -ln a ≥ax +ln x +ln a =e ln x +ln a +ln x +ln a ，构造函数f x =e x +x ，其中x ∈R ，则f x =e x +1>0，故函数f x 在R 上为增函数，由e x -ln a +x -ln a ≥e ln x +ln a +ln x +ln a 可得f x -ln a ≥f ln x +ln a ，所以，x -ln a ≥ln x +ln a ，即2ln a ≤x -ln x ，令g x =x -ln x ，其中x >0，则g x =1-1x =x -1x.当0<x <1时，g x <0，此时函数g x 单调递减，当x >1时，g x >0，此时函数g x 单调递增，则g x min =g 1 =1，∴2ln a ≤1，解得0<a ≤e ，故实数a 的最大值为e .故选：A .6.(2023·上海·高三专题练习)若关于x 的不等式x +ln a ex -a ln xx >0对∀x ∈0,1 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.-∞,1eB.1e ,+∞C.1e ,1D.0,1e【答案】B【解析】由题设可得ln ae x aex >ln x x ，令f (x )=ln x x ，则f (ae x )>f (x )在0,1 上恒成立，由f (x )=1-ln xx2，在0,e 上f (x )>0；在e ,+∞ 上f (x )<0；所以f (x )在0,e 上递增；在e ,+∞ 上递减，且f (1)=0，在0,1 上f (x )<0，(1,+∞)上f (x )>0，而a >0，所以，只需ae x >x 在0,1 上恒成立，即a >xex 恒成立，令g (x )=x e x ，则g (x )=1-x e x>0，即g (x )在0,1上递增，故a ≥g (1)=1e .故a 的取值范围为1e ,+∞ .故选：B 7.(2023·全国·高三专题练习)已知不等式x +a ln x +1ex >x a对x ∈1，+∞ 恒成立，则实数a 的最小值为( )A.-e B.-e2C.-eD.-2e【答案】C【解析】因为x +a ln x +1e x >x a ，所以x +1ex >x a -a ln x =x a -ln x a，即1e x -ln 1ex >x a -ln x a ，构造函数f x =x -ln x ，x >0所以f 1ex >f x af x =1-1x =x -1x，令f x >0，解得：x >1，令f x <0，解得：0<x <1，故f x 在0，1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，当x >1时，0<1ex <1，x a 与1的大小不定，但当实数a 最小时，只需考虑其为负数的情况，此时0<x a <1因为当0<x <1时，f x 单调递减，故1ex <x a ，两边取对数得：-x <a ln x x >1∴a >-xln x，令g x =-x ln x ，则g x =1-ln xln x2，令g x >0得：1<x <e ，令g x <0得：x >e ，所以g x 在1，e 单调递增，在e ,+∞ 单调递减，所以g x ≤g e =-e 故a 的最小值是-e ．故选：C8.(2023春·河南·高三洛阳市第一高级中学校联考阶段练习)已知函数f (x )=xe ax+ln x -ax -1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A.0,1eB.0,1C.0,1D.-∞,1e【答案】A【解析】由题意得f x =x eax +ln x -ax -1=e ln x -ax+ln x -ax -1,x >0 ,令g t =e t +t -1 ，g t =e t +1>0，该函数在R 上为单调增函数，且g (0)=0 ，故函数f (x )=xeax +ln x -ax -1有两个不同的零点，即t =ln x -ax 有两个不同的零点，令t =ln x -ax =0,(x >0)即直线y =a 与h (x )=ln xx,(x >0)的图象有两个不同交点，又h (x )=1-ln xx 2，当0<x <e 时，h (x )>0,h (x )递增，当x >e 时，h (x )<0,h (x )递减，则h (x )max =1e ，当x >0,x →0时，h (x )=ln xx→-∞，作出其图象如图：由图象可知直线y =a 与h (x )=ln xx,(x >0)的图象有两个不同交点，需有a ∈0,1e，故选：A .9.(2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测)已知关于x 的不等式x m -1+1≤m ln x +e xx在1,e 3上恒成立，则正数m 的最大值为( )A.1eB.0C.eD.1【答案】C 【解析】x m -1+1≤m ln x +e xx变形为x m +x ≤m ln x +e x ， 即x m -ln x m ≤e x -ln e x ，其中m >0，x ∈1,e 3 ，故x m >1,e x >1，令f t =t -ln t t ≥1 ，则有f x m ≤f e x ，因为f t =1-1t =t -1t≥0在t ≥1上恒成立，故f t =t -ln t 在t ≥1上单调递增，故x m ≤e x ，两边取对数得：m ln x ≤x ，则ln x x ≤1m，令g x =ln x x ，则g x =1-ln xx 2，故当x ∈1,e 时，g x >0，当x ∈e ,+∞ 时，g x <0，故g x =ln xx 在x ∈1,e 上单调递增，在x ∈e ,+∞ 上单调递减，g x =ln x x 在x =e 处取得极大值，也是最大值，g x max =1e ，所以1e ≤1m ，解得：0<m ≤e ，故正数m 的最大值为e .故选：C10.(2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试)已知函数f x =e x -a ln ax -a +a a >0 ，若关于x 的不等式f x >0恒成立，则实数a 的取值范围( )A.0,e 2 B.0,1 C.1e ,1D.0,e【答案】A【解析】因为a >0，由f x =e x-a ln ax -a +a >0，可得e x a-ln a -ln x -1 +1>0，所以，e x -ln a +x -ln a >x -1+ln x -1 ，令g x =e x +x ，其中x ∈R ，则g x =e x +1>0，所以，函数g x 在R 上单调递增，由e x -ln a +x -ln a >x -1+ln x -1 可得g x -ln a >g ln x -1 ，所以，x -ln a >ln x -1 ，所以，ln a <x -ln x -1 ，其中x >1，令h x =x-ln x-1，其中x>1，则h x =1-1x-1=x-2x-1.当1<x<2时，h x <0，此时函数h x 单调递减，当x>2时，h x >0，此时函数h x 单调递增，所以，h x min=h2 =2，所以，ln a<2，解得0<a<e2.故选：A.11.(2023春·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习)已知函数f x =a ln x+1+x2，在区间3,4内任取两个实数x1，x2且x1≠x2，若不等式f x1-1-f x2-1x1-x2>1恒成立，则实数a的取值范围为( )A.-9,+∞B.-7,+∞C.9,+∞D.7,+∞【答案】A【解析】不妨设3<x1<x2<4，则f x1-1-f x2-1<x1-x2，即f x1-1-x1<f x2-1-x2，令g x =f x-1-x=a ln x+(x-1)2-x=a ln x+x2-3x+1，则g x1<g x2，∴g x 在3,4单调递增，g x =a x+2x-3≥0对x∈3,4恒成立，而a≥x⋅3-2x恒成立，令h x =x3-2x，x∈3,4，则h x 在3,4单调递减，∴h x <h3 =-9，∴a≥-9，a的取值范围是-9,+∞.故选：A12.(2023春·湖北·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习)若不等式e x+a≥ln x-a恒成立，则实数a的取值范围是( )A.0,+∞B.-1,+∞C.-1e,+∞D.-e,+∞【答案】B【解析】构造f x =e x+x，则f x 在R上显然递增，由e x+a≥ln x-a得e x+a+a+x≥ln x+x，即e x+a+a+x≥e ln x+ln x，∴x+a≥ln x，∴a≥ln x-x，令g x =ln x-x x>0，则g x =1x -1=1-x x，由g x >0得0<x <1，g x 递增，由g x <0得x >1，g x 递减，∴g x max =g 1 =-1，∴a ≥-1．故选：B ．13.(2023春·重庆长寿·高三重庆市长寿中学校校考期中)已知函数f x =x +a ⋅e x ，若对任意x 1>x 2>1都有x 1f x 2 -x 2f x 1 <0，则实数a 的取值范围是( )A.-4,+∞ B.-3,+∞C.-2,+∞D.-1,+∞【答案】A【解析】由条件对任意x 1>x 2>1都有x 1f x 2 -x 2f x 1 <0，化为f x 1 x 1>f x 2x 2，构造g x =f xx ，则y =g x 在1,+∞ 上单调递增，∴gx =x 2+ax -a e x x 2≥0在1,+∞ 上恒成立，∴x 2+ax -a ≥0，即-a ≤x 2x -1在1,+∞ 上恒成立，令h x =x 2x -1=(x -1)2+2x -1 +1x -1=x -1 +1x -1+2，∵x >1，∴x -1>0，∴x -1 +1x -1+2≥4，当且仅当x =2时取等号，∴h x =x -1 +1x -1+2≥4，当且仅当x =2时取等号，∴-a ≤4,a ≥-4，故B ，C ，D 错误.故选：A .14.(2023春·宁夏·高三六盘山高级中学校考期中)已知不等式ae x +ln ax≥0对x ∈0,+∞ 恒成立，则实数a 的最小值为( )A.12eB.1eC.1eD.2e【答案】C 【解析】∵ae x +ln ax≥0，∴ae x +ln a -ln x ≥0，∴ae x +ln a +x ≥x +ln x ，即ae x +ln ae x ≥x +ln x ，令f x =x +ln x x >0 ，则不等式化为f ae x ≥f x ，∵f x =1+1x =x +1x，当x >0时，f x >0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，∴ae x ≥x ，即a ≥xex ，令g x =x e x ，则g x =1-xe x，令g x =0，解得x =1，当0<x <1时，g x >0，g x 单调递增；当x >1时，g x <0，g x 单调递减，所以g x max =g 1 =1e，所以a ≥1e，∴实数a 的最小值为1e.故选：C15.(2023春·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习)若关于x 的不等式x 2+x ln a -ae x ln x >0对∀x ∈0,1 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.-∞,1eB.0,1eC.1e ,1D.1e ,+∞【答案】D【解析】由x 2+x ln a -ae x ln x >0，可得x ln ae x -ae x ln x >0，即ln ae x aex >ln x x ，令f (x )=ln x x ，则f (ae x )>f (x )在0,1 上恒成立，所以f (x )=1-ln xx2，由f (x )>0可得x ∈0,e ，由f (x )<0可得x ∈e ,+∞ ，所以f (x )在0,e 上递增，在e ,+∞ 上递减，且f (1)=0，在0,1 上f (x )<0，(1,+∞)上f (x )>0，而a >0，所以，必须且只需ae x >x 在0,1 上恒成立，即a >xe x恒成立，令g (x )=x e x ，则g (x )=1-xe x >0，即g (x )在0,1 上递增，故a ≥g (1)=1e，故a 的取值范围为1e ,+∞ .故选：D .16.(2023春·湖南邵阳·高三邵阳市第二中学校考阶段练习)对∀x ∈12,+∞ ，不等式12e ax -ln 2x a≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.2e ,+∞ B.1e ,+∞ C.-∞,0 ∪2e ,+∞ D.-∞,0 ∪12e,+∞【答案】C【解析】当a <0时，∀x ∈12,+∞，12e ax >0,ln 2x a <0，故12e ax -ln 2x a ≥0显然成立.当a >0时，不等式12e ax -ln (2x )a ≥0恒成立，即12e ax ≥ln (2x )a成立，即ae ax ≥2ln (2x )，进而转化为axe ax ≥2x ln (2x )=e ln (2x )⋅ln (2x )恒成立.令g (x )=xe x ，则g (x )=(x +1)e x ，当x >0时，g x >0，所以g (x )在(0,+∞)上单调递增，则不等式12e ax -ln (2x )a≥0恒成立等价于g (ax )≥g (ln (2x ))恒成立.因为a >0，x ∈12,+∞ ，所以ax >0，ln (2x )>0，所以ax ≥ln2x 对任意的x ∈12,+∞ 恒成立，所以a2≥ln (2x )2x恒成立.设h (t )=ln t t (t >1)，可得h (t )=1-ln tt2.当1<t <e 时，h (t )>0，h (t )单调递增；当t >e 时，h (t )<0，h (t )单调递减.所以当t =e 时，函数h (t )取得最大值，最大值为h (e )=1e ，此时2x =e ，所以a2≥1e ，解得a ≥2e，即实数a 的取值范围是2e ,+∞ .综上实数a 的取值范围是-∞,0 ∪2e ,+∞ .故选：C 17.(2023春·福建福州·高三校联考期中)已知函数f x =ae x +4x ，对任意的实数x 1,x 2∈(-∞,+∞)，且x 1≠x 2，不等式f x 1 -f x 2x 1-x 2>x 1+x 2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.2e ,+∞B.2e 3,+∞ C.2e,+∞D.2e 3,+∞【答案】B【解析】不妨设x 1>x 2，由f x 1 -f x 2 x 1-x 2>x 1+x 2，得f x 1 -f x 2 >x 21-x 22，即f x 1 -x 21>f x 2 -x 22，令g (x )=f (x )-x 2，所以对任意的实数x 1,x 2∈(-∞,+∞),x 1>x 2时，都有g x 1 >g x 2 ，即g (x )在(-∞,+∞)上单调递增，所以g (x )=ae x -2x +4≥0在x ∈(-∞,+∞)上恒成立，即a ≥2x -4e x．在x ∈(-∞,+∞)上恒成立．令h (x )=2x -4e x．则h (x )=6-2xe x，令h (x )>0，解得x <3，令h (x )<0，解得x >3，所以h (x )在(-∞,3)上单调递增，在(3,+∞)上单调递减，所以h (x )max =h (3)=2e 3，所以a ≥2e 3，即实数a 的取值范围是2e 3,+∞ ．故选：B ．18.(2023春·江苏苏州·高三校联考阶段练习)已知a >0，若对任意的x ∈12,+∞ ，不等式12e ax -ln (2x )a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.2e ,+∞ B.1e ,+∞ C.[1,+∞) D.12e ,+∞【答案】A【解析】因为a >0，不等式12e ax -ln (2x )a ≥0恒成立，即12e ax ≥ln (2x )a成立，即ae ax ≥2ln (2x )，进而转化为axe ax ≥2x ln (2x )=e ln (2x )⋅ln (2x )恒成立.令g (x )=xe x ，则g (x )=(x +1)e x ，当x >0时，g (x )>0，所以g (x )在(0,+∞)上单调递增，则不等式12e ax -ln (2x )a≥0恒成立等价于g (ax )≥g (ln (2x ))恒成立.因为a >0，x ∈12,+∞ ，所以ax >0，ln (2x )>0，所以ax ≥ln2x 对任意的x ∈12,+∞ 恒成立，所以a2≥ln (2x )2x恒成立.设h (t )=ln t t (t >1)，可得h (t )=1-ln tt2.当1<t <e 时，h (t )>0，h (t )单调递增；当t >e 时，h (t )<0，h (t )单调递减.所以当t =e 时，函数h (t )取得最大值，最大值为h (e )=1e ，此时2x =e ，所以a2≥1e ，解得a ≥2e ，即实数a 的取值范围是2e ,+∞ .故选：A 二、填空题19.(2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测)已知不等式x +a ln x +1ex ≥x a对x ∈1，+∞ 恒成立，则实数a 的最小值为__________.【答案】-e【解析】因为x +a ln x +1ex ≥x a 对x ∈1，+∞ 恒成立，所以x +1e x ≥x a -a ln x =x a -ln x a 对x ∈1，+∞ 恒成立，即1e x -ln 1ex ≥x a -ln x a 对x ∈1，+∞ 恒成立，构造函数f (x )=x -ln x ,x >0，所以f 1ex ≥f (x a )，又因为f (x )=1-1x =x -1x，令 f x >0， 解得：x >1， 令f x <0， 解得：0<x <1，故 f x 在0，1 上单调递减， 在1，+∞ 上单调递增，当 x >1时，0<1ex <1,x a 与1的大小不定，但当实数a 最小时，只需考虑其为负数的情况， 此时0<x a <1,因为当0<x <1时，f x 单调递减，故1ex ≤x a ，两边取对数得：-x ≤a ln x (x >1),所以a ≥-xln x ，令g (x )=-xln x ， 则g (x )=1-ln x(ln x )2，令g x >0，得：1<x <e ， 令g x <0，得：x >e ，所以g x 在1，e 单调递增， 在(e ,+∞)单调递减，所以g (x )≤g (e )=-e ，故a 的最小值是-e .故答案为：-e20.(2023·全国·高三阶段练习)已知不等式e x +a ln x ≥x a +x 对任意x ∈1,+∞ 恒成立，则正实数a 的取值范围是___________.【答案】0,e【解析】不等式e x +a ln x ≥x a +x 可变形为e x -x ≥x a -a ln x =e a ln x -a ln x .因为a >0且x >1，所以a ln x >0.令f u =e u -u (u >0)，则f u =e u -1>0.所以函数f u 在0,+∞ 上单调递增.不等式e x -x ≥e a ln x -a ln x 等价于f x ≥f a ln x ，所以x ≥a ln x .因为x >1，所以a ≤xln x.设g x =x ln x (x >1)，则g x =ln x -1(ln x )2.当x ∈1,e 时，g x <0，函数g x 在1,e 上单调递减；当x ∈e ,+∞ 时，g x >0，函数g x 在e ,+∞ 上单调递增.所以g (x )min =g e =e ，所以0<a ≤e .故正实数a 的取值范围是0,e .21.(2023春·江苏南京·高三南京市中华中学校考阶段练习)若关于x 的不等式x m e x +x ≤e mx +mx m x -ln x 恒成立，则实数m 的最小值为________【答案】ee -1【解析】∵x >0，∴不等式两边同时除以x m ，得：e x+x ≤e mx x m +m x -ln x∴e x+x ≤eln 1xm +mx+m x -ln x ∴e x +x ≤e mx -m ln x +m x -ln x∴e x +x ≤e m x -ln x +m x -ln x ①令f x =e x +x ，可知f x 单调递增.①式等价于f x ≤f m x -ln x 恒成立∴x ≤m x -ln x 恒成立.构造φx =x -ln x x >0 ，则φ x =x -1x，故当x ∈0,1 时φ x <0，当x ∈1,+∞ 时φ x >0，所以φx =x -ln x x >0 在x =1时取得最小值.即φx =x -ln x ≥φ0 =1>0，∴x -ln x >0∴m ≥xx -ln x恒成立令g x =xx -ln xx >0∴g x =x -ln x -x 1-1xx -ln x 2=1-ln x x -ln x2∴当x ∈0，e 时，g x >0，∴g x 单调递增；当x ϵe ，+∞ 时，g x <0∴g x 单调递减；∴g x 的最大值为g e =e e -1 ∴m ≥e e -1，故实数m 的最小值为ee -1.故答案为：ee -122.(2023·全国·高三专题练习)已知a <0，不等式x a +1e x +a ln x ≥0对任意的实数x >1恒成立，则实数a 的最小值为：_______．【答案】-e 【解析】x a +1e x +a ln x ≥0，∴xe x ≥-a ln xxa=-a ln x ⋅e -a ln x ，构造函数f x =xe x ，显然f x 在0，+∞ 上单调递增，故f x ≥f -a ln x 等价于x ≥-a ln x ，即a ≥-xln x任意的实数x >1恒成立，．令g (x )=x ln x ，x >1则g (x )=ln x -1ln 2x，故g (x )在(1,e )上单调递减，在(e ,+∞)上单调递增，g (x )min =e ，得a ≥-xln x max=-e ．故答案为：-e23.(2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习)已知函数f x =ax ln x -12x 2-ax a ≤0 .若∀x 1，x 2∈1,e ，且x 1≠x 2都有f x 1 -f x 2x 1-x 2<3.则实数a 的取值范围是______.【答案】e -3,0 【解析】f x =ax ln x -12x 2-ax a ≤0 ，则f x =a ln x +a -x -a =a ln x -x a ≤0则f x =a ln x -x <0a ≤0 在1,e 上恒成立则f x =ax ln x -12x 2-ax a ≤0 在1,e 上单调递减不妨设∀x 1，x 2∈1,e ，x 1<x 2，则f x 1 >f x 2则f x 1 -f x 2 x 1-x 2<3可化为f x 1 -f x 2 <3x 2-x 1即f x 1 +3x 1<f x 2 +3x 2令n (x )=f x +3x ，则n (x )在1,e 上单调递增则n (x )=f x +3=a ln x -x +3≥0在1,e 上恒成立即a ≥x -3ln x在1,e 上恒成立令p (x )=x -3ln x ,x ∈1,e ，则p (x )=ln x -x -3xln x2,x ∈1,e 令r (x )=ln x +3x -1，x ∈1,e ，则r (x )=1x -3x 2=x -3x 2<0，在1,e 上恒成立则r (x )=ln x +3x -1在1,e 上单调递减，又r (e )=3e>0，则r (x )>0在1,e 上恒成立则p (x )=ln x -x -3xln x2>0在1,e 上恒成立则p (x )=x -3ln x在1,e 上单调递增则p (x )<e -3，在1,e 上恒成立， 则a ≥e -3，又a ≤0，则e -3≤a ≤0故实数a 的取值范围是e -3,0 故答案为：e -3,024.(2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第十中学校考阶段练习)若关于x 的不等式e ax -2ln x -x 2+ax ≥0在0,+∞ 上恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】2e ,+∞【解析】e ax -2ln x -x 2+ax ≥0，即e ax +ax ≥ln x 2+x 2=e ln x 2+ln x 2，设f x =e x +x ，f x =e x +1>0恒成立，故f x 单调递增.原不等式转化为f ax ≥f ln x 2 ，即ax ≥ln x 2，即a ≥2ln xx，设g x =2ln x x ，g x =2⋅1-ln xx 2，当x ∈0,e 时，g x >0，函数单调递增；当x ∈e ,+∞ 时，g x <0，函数单调递减；故g x max =g e =2e ，故a ≥2e.故答案为：2e ,+∞ .25.(2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中)已知不等式e x +1-a x -ln x -ln a ≥0对任意x ∈0,+∞ 恒成立，则实数a 的最大值是___________．【答案】e【解析】由题意可知a >0，由e x +1-a x -ln x -ln a ≥0可得e x +x ≥ax +ln ax =e ln ax +ln ax ，构造函数f x =e x +x ，其中x ∈R ，则f x =e x +1>0，所以，函数f x 在R 上单调递增，由e x +x ≥e ln ax +ln ax 可得f x ≥f ln ax ，则x ≥ln a +ln x ，即ln a ≤x -ln x ，构造函数g x =x -ln x ，其中x >0，则g x =1-1x =x -1x.当0<x <1时，g x <0，此时函数g x 单调递减，当x >1时，g x >0，此时函数g x 单调递增，所以，ln a ≤g x min =g 1 =1，解得0<a ≤e .因此，实数a 的最大值为e .故答案为：e .26.(2023春·天津河东·高三天津市第七中学校考期中)若对任意x ∈0,+∞ ，都有e ax -x +2ax ≥1e ax-1x+2ln x (其中e 为自然对数的底数)恒成立，则实数a 的最小值为______．【答案】1e【解析】因为对任意x ∈0,+∞ ，e ax -x +2ax ≥1e ax -1x +2ln x 恒成立，所以有e ax -1eax +2ax ≥x-1x+2ln x 恒成立；令g x =x -1x +2ln x ，即证g e ax ≥g x ，则有g x =1+1x2+2x >0，所以g x 在0，+∞ 上单调递增，即有e ax ≥x 在x ∈0,+∞ 上恒成立，即a ≥ln xx在x ∈0,+∞ 上恒成立；令h x =ln x x ，则h x =1-ln xx2，当x ∈0,e 时，h x >0，当x ∈e ，+∞ 时，h x <0，所以h x 在0,e 上单调递增，在e ，+∞ 上单调递减；所以h x max =1e ，即a ≥1e.故答案为：1e .27.(2023春·河南·高三校联考阶段练习)若x ∈0,+∞ ，不等式e x 2-12x 4-x 2-x mx +mx ln x +12(mx ln x )2>0(其中m >0)恒成立，则m 的取值范围为___________.【答案】0，e 【解析】不等式e x 2-12x 4-x 2-x mx +mx ln x +12(mx ln x )2>0可化为e x 2-12x 4-x 2-e mx ln x -mx ln x -12(mx ln x )2 >0设f x =e x -12x 2-x ，则f x 2 >f mx ln x ，又f x =e x-x -1，设g x =e x -x -1，则g x =e x -1，当x >0时，g x >0，函数g (x )在0，+∞ 上单调递增，当x <0时，g x <0，函数g (x )在0，+∞ 上单调递减，所以g x ≥g (0)=0，当且仅当x =0时取等号，所以f x =e x -x -1≥0，所以f x =e x -12x 2-x 在-∞，+∞ 单调递增，所以f x 2 >f mx ln x 可化为x 2>mx ln x ，又x ∈0,+∞ ，m >0，所以x 2>mx ln x 可化为1m >ln x x ，由已知可得1m >ln xx在0，+∞ 上恒成立，所以1m >ln x x max，设h x =ln x x ，则h x =1-ln xx 2，当0<x <e 时，h x >0，函数h (x )在0，e 上单调递增，当x >e 时，h x <0，函数h (x )在e ,+∞ 上单调递减，所以h x ≤h (e )=1e ，当且仅当x =e 时等号成立，所以h x =ln x x 的最大值为1e，所以1m >1e，所以0<m <e ，所以m 的取值范围为0，e ，故答案为：0，e 28.(2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习)已知对任意的x ∈(1,+∞)，不等式k ⋅e kx+1 -1x +1 ln x >0恒成立，则k 的取值范围是___________.【答案】1e ,+∞ 【解析】因为kx e kx +1 >(x +1)ln x ，所以e kx +1 ln e kx >(x +1)ln x ①，令f (x )=(x +1)ln x ，则f (x )=1x +1+ln x ，设g (x )=f (x )=1x+1+ln x ，所以g (x )=-1x 2+1x =x -1x 2，当0<x <1时，g (x )<0，当x >1时，g (x )>0，所以f (x )在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，所以f x ≥f 1 =2，所以f (x )在(0,+∞)单调递增，因为①式可化为f e kx >f (x )，所以e kx >x ，所以k >ln xx，令h (x )=ln x x ，则h (x )=1-ln xx 2，当x ∈(0,e )时，h (x )>0，当x ∈(e ,+∞)时，h (x )<0，所以h (x )在(0,e )单调递增，在(e ,+∞)单调递减，所以h (x )max =h (e )=1e ，所以k >1e，故答案为：1e ,+∞ .29.(2023秋·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期末)已知函数f x =ae x -1-ln x +ln a ，若不等式f x ≥1恒成立，则实数a 的取值范围为______．【答案】1,+∞【解析】由题意可知a >0，由f x ≥1，可得e x +ln a -1-ln x +ln a ≥1，即e x +ln a -1+x +ln a -1≥x +ln x =e ln x +ln x ，令g x =e x +x ，其中x ∈R ，则g x =e x +1>0，所以，函数g x 在R 上为增函数，由e x +ln a -1+x +ln a -1≥e ln x +ln x 可得g x +ln a -1 ≥g ln x ，所以，x +ln a -1≥ln x ，可得ln a ≥ln x -x +1，构造函数h x =ln x -x +1，其中x >0，则h x =1x -1=1-xx.当0<x <1时，h x >0，此时函数h x 单调递增，当x >1时，h x <0，此时函数h x 单调递减，所以，ln a ≥h x max =h 1 =0，∴a ≥1.因此，实数a 的取值范围是1,+∞ .故答案为：1,+∞ .30.(2023·湖北黄石·大冶市第一中学校考模拟预测)已知关于x 的不等式e x -1+a >a ln ax -2a (a >0)恒成立，则实数a 的取值范围为________.【答案】0,e 2【解析】易知a >0，将原不等式变形：e x -1>a ln ax -2a -a (a >0)，e x -2>a e ln ax -2a -ln e ，可得x -2 e x -2>a x -2 e ln ax -2ae，即x -2 e x -2>ln ax -2a ee ln a x -2e ，其中x >2.设h t =te t ，则h 'x =t +1 e t ，原不等式等价于h x -2 >h ln ax -2ae.当ln ax -2ae<0时，原不等式显然成立；当ln ax -2a e≥0时，因为h t 在[0,+∞)上递增，∴x -2>ln ax -2a e⇒a <e x -1x -2恒成立，设φx =e x -1x -2，则φ x =x -3x -2 2e x -1，所以φx 在2,3 递减，3,+∞ 递增，所以φx 的最小值为φ3 =e 2，故0<a <e 2.故答案为：0,e 231.(2023秋·全国·高二期末)已知不等式a ln x 2-1x+e 1x ≥x 2a 对任意x ∈(0,1)恒成立，则实数a 的最小值为____．【答案】-e2【解析】由题意，不等式可变形为e 1x -1x≥x 2a -2a ln x ，得e 1x -ln e 1x ≥x 2a -ln x 2a 对任意x ∈0,1 恒成立.设f x =x -ln x ，则f e 1x ≥f (x 2a )对任意x ∈0,1 恒成立，f x =1-1x =x -1x，当0<x <1时，f x <0，所以函数f x 在0,1 上单调递减，当x >1时，f x >0，所以函数f x 在1,+∞ 上单调递增.当x ∈0,1 时，e 1x >e ，因为求实数a 的最小值，所以考虑a <0的情况，此时x 2a >1，因为函数f x 在1,+∞ 上单调递增，所以要使f e 1x ≥f x 2a ，只需e 1x ≥x 2a ，两边取对数，得上1x≥2a ln x ，由于x ∈0,1 ，所以2a ≥1x ln x.令h x =x ln x x ∈0,1 ，则h x =ln x +1，令h x =0，得x =1e ，易得h x 在0,1e 上单调递减，在1e ,1 上单调递增，所以h x min =h 1e =-1e ，所以1h xmax=-e ，所以2a ≥-e ，所以实数a 的最小值为-e2.故答案为：-e2.32.(2023·全国·高三专题练习)完成下列各问(1)已知函数f x =xe x -a x +ln x ，若f x ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是_______；(2)已知函数f x =xe x -a x +ln x +1 ，若f x ≥0恒成立，则正数a 的取值范围是_______；(3)已知函数f x =xe x +e -a x +ln x +1 ，若f x ≥0恒成立，则正数a 的取值范围是_______；(4)已知不等式xe x -a x +1 ≥ln x 对任意正数x 恒成立，则实数a 的取值范围是_______；(5)已知函数f x =x b e x -a ln x -x -1(x >1)，其中b >0，若f x ≥0恒成立，则实数a 与b 的大小关系是_______；(6)已知函数f x =ae x -ln x -1，若f x ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是_______；(7)已知函数f x =ae 2x -ln2x -1，若f x ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是_______；(8)已知不等式e x -1≥kx +ln x ，对∀x ∈0，+∞ 恒成立，则k 的最大值为_______；(9)若不等式ax +xe -ax -ln x -1≥0对x >0恒成立，则实数a 的取值范围是_______；【答案】 0≤a ≤e ； 0<a ≤1； 0<a ≤e ； a ≤1； a ≤b ； a ≥1e ； a ≥1e； e -1;a ≤1e .【解析】解析：(1)f x ≥0⇔xe x -a x +ln x ≥0⇔e x +ln x ≥a x +ln x ⇔e t ≥at t =x +ln x ，⇔a ≥e tt (t <0)a ≤e t t (t >0)．又y =e t t ，y =e t(t -1)t 2，令y <0，得t <0或0<t <1，令y>0，得t >1，所以y =e tt 在(-∞,0)，(0,1)递减，在(1,+∞)递增，所以，当t <0时，y <0，t >0时，y ≥e∴a ≥e t t (t <0)a ≤e t t(t >0)⇔a ≥0a ≤e ⇔0≤a ≤e (2)f x ≥0⇔xe x -a x +ln x +1 ≥0⇔e x +ln x ≥a x +ln x +1 ，当x +ln x +1≤0时，原不等式恒成立；当x +ln x +1>0时，a ≤e x +ln x x +ln x +1，由于e x +ln x x +ln x +1≥x +ln x +1x +ln x +1=1，当且仅当x +ln x =0等号成立，所以a ≤1．(3)f x ≥0⇔xe x +e ≥a x +ln x +1 ≥0⇔e x +ln x +e ≥a x +ln x +1 ，当x +ln x +1≤0时，原不等式恒成立；当x +ln x +1>0时，a ≤e x +ln x +ex +ln x +1，由(1)中可得e x ≥ex ，当x =1时，等号成立，所以e x +ln x +ex +ln x +1≥e x +ln x +e x +ln x +1=e ，当且仅当x +ln x =1等号成立，所以a ≤e ．(4)xe x-a x +1 ≥ln x ⇔a ≤xe x -ln x x +1，由于xe x -ln x x +1=e x +ln x -ln x x +1≥x +ln x +1-ln x x +1=1，所以a ≤1．(5)f x ≥0⇔x b e x ≥a ln x +x +1⇔e x +b ln x-x -1≥a ln x ⇔a ≤e x +b ln x -x -1ln x．由于e x +b ln x -x -1ln x ≥x +b ln x +1-x -1ln x=b ，当且仅当x +b ln x =0等号成立，所以a ≤b ．(6)ae x -ln x -1≥0⇔a ≥ln x +1ex，由于ln x +1≤x ，e x ≥ex ，两者都是当且仅当x =1等号成立，则ln x +1ex ≤x ex =1e ，所以a ≥1e ．(7)ae 2x -ln2x -1≥0⇔a ≥ln2x +1e 2x，由于ln2x +1≤2x ，e 2x≥e ⋅2x ，两者都是当且仅当x =12等号成立，则ln2x +1e2x ≤2x 2ex =1e ，所以a ≥1e ．(8)e x-1≥kx +ln x ⇔k ≤e x x -ln ex x，由于ln x +1≤x ，e 2x ≥e ⋅2x ，两者都是当且仅当x =1等号成立，所以e x x ≥e ，ln ex x ≤1，则e x x -ln exx≥e -1，所以k ≤e -1．(9)xe -ax +ax -ln x -1=e -ax +ln x +ax -ln x -1≥-ax +ln x +1+ax -ln x -1=0，当且仅当-ax+ln x =0，即a =ln x x 时等号成立．由a =ln xx有解，y =ln x x ，y =1-ln x x 2，易知y =ln x x 在(0,e )上递增，在(e ,+∞)递减，y ≤y x =e =1e 所以a ≤1e故答案为:0≤a ≤e ；0<a ≤1；0<a ≤e ；a ≤1；a ≤b ；a ≥1e ；a ≥1e ；e -1；a ≤1e 33.(2023·全国·高三专题练习)已知f x =x 2023.设实数m >0，若对任意的正实数x ，不等式f e mx ≥f ln x m恒成立，则m 的最小值为___________.【答案】1e【解析】因为f x =2023x 2022≥0仅在x =0时取等号，故f x =x 2023为R 上的单调递增函数，故由设实数m >0，对任意的正实数x ，不等式f e mx ≥f ln xm恒成立，可得m >0，e mx ≥ln xm,(x >0)恒成立，∴me mx ≥ln x ，即mxe mx ≥x ln x =e ln x ⋅ln x 恒成立，当0<x <1时，m >0，mxe mx ≥x ln x =e ln x ⋅ln x 恒成立，当x ≥1时，构造函数g (x )=xe x ，g (x )=e x +xe x =(x +1)e x >0恒成立，∴当x ≥1时，g (x )递增，则不等式e mx ≥ln xm恒成立等价于g (mx )≥g (ln x )恒成立，即mx ≥ln x 恒成立，故需m ≥ln xx max，设G (x )=ln x x ，∴G (x )=1-ln xx 2，∴G (x )在[1，e )上递增，在[e ，+∞)递减，∴G (x )max =G (e )=1e ，故m 的最小值为1e，故答案为：1e 34.(2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测)已知不等式x +m ln x +1ex ≥x m对x ∈1,+∞ 恒成立，则实数m 的最小值为__________.【答案】-e【解析】x +m ln x +1e x ≥x m 可变为x +1ex ≥x m -m ln x ⇒x +e -x ≥x m -ln x m ，再变形可得，e -x -ln e -x ≥x m -ln x m ，设f x =x -ln x x >0 ，原不等式等价于f e -x ≥f x m ，因为f x =1-1x =x -1x，所以函数f x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，而x >1，e -x =1ex ∈0,1 ，当m <0时，0<x m <1，所以由f e -x ≥f x m 可得，e -x ≤x m ，因为x >1，所以ln e -x ≤ln x m ⇒m ≥-xln x．设φx =-x ln x x >1 ，φ x =-ln x -1ln x 2=1-ln xln x2，所以函数φx 在1,e 上递增，在e ,+∞ 上递减，所以φx max =φe =-e ，即-e ≤m <0．当m =0时，不等式x +1ex ≥1在x ∈1,+∞ 恒成立；当m >0时，x m >1，无论是否存在m ∈0,+∞ ，使得f e -x ≥f x m 在x ∈1,+∞ 上恒成立，都可判断实数m 的最小值为-e ．故答案为：-e ．。

2022-2023学年河南省洛阳市第一高级中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知向量()0,1,1a =-与()20,2,b k k =-共线，则实数k =（ ）A ．0B ．1C ．1-或2D ．2-或1【答案】D【分析】根据空间共线向量的坐标表示可得2112k k-=-，即可求出k 的值. 【详解】因为()()20,1,10,2,a b k k =-=-、共线，所以2112k k-=-， 解得2k =-或1. 故选：D2．“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据给定直线方程求出12l l ⊥的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，12(4)(2)0l l m m m m ⊥⇔-++=，解得0m =或1m =，所以“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A3．已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】C【分析】作出图形，求出,PA PB 的斜率，数形结合可求得直线l 的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线PA 的斜率21110PA k -+==--，直线PB 的斜率11120PB k +==-． 由图可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-， 因此直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：C4．已知实数,x y 满足250x y ++=22x y + A 5B 10C ．25D ．10【答案】A【详解】 22x y +(,)x y 到坐标原点的距离， 又原点到直线250x y ++=的距离为225521d ==+22x y +5 A. 5．直线()24y k x =-+与曲线214y x 有两个不同的交点，则实数的k 的取值范围是（ ） A ．53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．13,24⎛⎤⎥⎝⎦D ．50,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【详解】解：因为曲线y ＝124x -(|x|≤2)与直线y ＝k(x －2)＋4有两个交点时，那么结合图像可知参数k 的取值范围是53(,]124，选A6．经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为A ．x +2y ﹣6=0B ．2x +y ﹣6=0C ．x ﹣2y +7=0D ．x ﹣2y ﹣7=0【答案】B【详解】试题分析：设出直线方程的截距式，把经过的点P （1，4）的坐标代入得a 与b 的等式关系，把截距的和a +b 变形后使用基本不等式求出它的最小值． 解：设直线的方程为1x y a b +==1（a ＞0，b ＞0），则有141a b+=，∴a +b =（a +b ）×1=（a +b ）×（14a b +）=5+4b aa b+≥5+4=9， 当且仅当14a b=，即a =3，b =6时取=． ∴直线方程为2x +y ﹣6=0． 故选B ．【解析】直线的斜截式方程．7．如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，动点P ，Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是( )．A ．23B ．33C ．23D ．53【答案】C【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，C 1(0,1,2)，设点P 的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，点Q 的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，∴PQ当且仅当λ＝19，μ＝59时，线段PQ 的长度取得最小值23. 8．点()2,1P --到直线()():131225l x y λλλ+++=+的距离为d ，则d 的取值范围是（ ）A ．0d ≤<B ．0d ≤≤C ．dD ．d ≥【答案】A【分析】显然直线过定点，先求出定点A ，当直线过点P 时，d 有最小值，当直线与AP 垂直时d 有最大值，一定要注意要去验证最值能否取到.【详解】()()131225x y λλλ+++=+，化简得()()23250x y x y λ+-++-=，所以当203250x y x y +-=⎧⎨+-=⎩时，()()23250x y x y λ+-++-=恒成立，所以直线l 过定点()1,1A ，所以点当直线l 过点()2,1P --时，d 有最小值为0，此时513λ=-；d 的最大值为()1,1A 和点()2,1P --l 与AP 垂直，因为112123AP k +==+，所以直线l 的斜率32k =-，又因为()():131225l x y λλλ+++=+，所以有133122λλ+-=-+，化简得23=，故此时λ无解；所以d0d ≤<故选：A9．已知A ，B 两点都在以PC 为直径的球O 的球面上，AB BC ⊥，4AB BC ==，若球O 的体积为36π，则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为（ ）A B C D 【答案】B【分析】由题意，根据球的性质，建立空间直角坐标系，求直线的方向向量，根据夹角公式，可得答案.【详解】由题意，取AC 的中点为E ，连接,OE BE ，在ABC 中，4AB BC ==，且AB BC ⊥，则BE AC ⊥，AE EC BE ===，即E 为ABC 外接圆圆心，在球O 中，易知OE ⊥平面ABC ，以E 为原点，分别以,,EB EC EO 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，作图如下：在Rt CEO △中，12cos 12ACCE ACACP CO PCCP ∠===，则//PA OE ，即PA ⊥平面ABC ， 因为AC ⊂平面ABC ，所以PA AC ⊥，球O 的体积3413632V PC ππ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭，解得6PC =， 在Rt ACP 中，222PA PC AC =-=，则()0,22,0A -，()22,0,0B ，()0,22,0C ，()0,22,2P -， 即()0,42,0AC =，()22,22,2PB =-， 1610cos ,542884AC PB AC PB AC PB⋅===⨯++⋅， 异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为105. 故选：B.10．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，1AN NA =，11A M MD =，11B E B C λ=， 当直线1DD 与平面MNE 所成的角最大时，λ=（ ）A ．12 B ．13C ．14D ．15【答案】C【分析】利用坐标法，利用线面角的向量求法，三角函数的性质及二次函数的性质即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则()()()()1111,0,1,1,0,,0,1,0,1,1,1,0,0,0,0,0,122M N C B D D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()111,0,1B E B C λλ==--，()1,1,1E λλ--，111,0,,,1,222MN ME λλ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面MNE 的法向量为(),,m x y z =，则()00,,m MN m ME x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴11022102x z x y z λλ⎧-=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，令1x =，可得11,2,12m λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又()10,0,1DD =，设直线1DD 与平面MNE 所成的角为α，则11221sin cos ,11224224m DD m DD m DD αλλ⋅===⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦， ∴当14λ=时，sin α有最大值，即直线1DD 与平面MNE 所成的角最大. 故选：C.11．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．42B ．32C 322D ．2【答案】B【解析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -,所以圆心为()0,0.半径为()222m m m +-=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=.又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值. 此时2223416m ,故32m =.故选：B【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型.12．如图所示，圆柱1OO 中，EF 是底面直径，点M 是O 上一点，90EOM ∠=︒，点H 是母线FG 上一点，点K 是上底面的一动点，4EF =，3FG =，2FH =，则（ ）A ．存在点K ，使得5EK HK +=B ．存在唯一的点K ，使得90EKH ∠=︒C ．满足MK EH ⊥的点K 的轨迹长度是32D ．当90EKH ∠=︒时，三棱锥K EMH -外接球的表面积是20π 【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法判断选项A ，B ，C 的对错，再通过确定三棱锥K EMH -外接球的球心及半径判断D.【详解】由圆锥的性质可得1O O ⊥平面EFM ，OM EF ⊥如图以O 为原点，1,,OM OF OO 为,,x y z 的正方向建立空间直角坐标系，设1(02)KO G θθπ∠=≤<，1KO r =(02)r ≤≤，则(0,2,0)E -，(0,2,2)H ，(sin ,cos ,3)K r r θθ，(2,0,0)M ， 设H 关于点G 的对称点为N ，因为KG HN ⊥，HG GN =，所以KH KN =， 所以EK HK EK KN NE +=+≥， 又(0,2,4)N ，所以2220(22)4425EK HK +≥+++=>，A 错误， 又(sin ,cos 2,3)EK r r θθ=+，(sin ,cos 2,1)HK r r θθ=- 因为90EKH ∠=︒，所以0EK HK ⋅=， 所以2222cos sin 430r r θθ+-+=，所以1r =， 所以满足90EKH ∠=︒的点K 的轨迹为圆，B 错误， 因为MK EH ⊥，(sin 2,cos ,3)MK r r θθ=-，(0,4,2)EH =， 所以4cos 60r θ+=，所以3cos 2r θ=-，故3(sin ,,3)2K r θ-，所以满足MK EH ⊥的点K 的轨迹为线段PQ ， 所以2232272PQ ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，C 错误，因为222222EM =+=，2223MH OM OH =+=,2225EH EF HF =+=,所以EMH 为直角三角形，取EH 的中点为C , 又EKH 为直角三角形，所以CE CH CK CM ===,故C 为三棱锥K EMH -外接球的球心，故外接球的半径为5， 所以三棱锥K EMH -的外接球的表面积为20π，D 正确， 故选：D.二、填空题13．P ABCD -是正四棱锥，1111ABCD A B C D -是正方体，其中2AB =，6PA 1B 到平面PAD 的距离为________【答案】655【分析】以11A B 为x 轴，11A D 为y 轴，1A A 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAD 的法向量，1B A 的坐标，利用距离公式，即可得到结论.【详解】解：以11A B 为x 轴，11A D 为y 轴，1A A 为z 轴建立空间直角坐标系，设平面PAD 的法向量是(,,)m x y z =， (0,2,0),(1,1,2)AD AP ==，∴由00m AD m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得2020y x y z =⎧⎨++=⎩ 取1z =得(2,0,1)m =-，1(2,0,2)B A =-，∴1B 到平面PAD 的距离1||655||B A m d m ⋅==. 65【点睛】本题考查点到平面的距离，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.14．己知圆22 : 42150C x y x y +---=上有四个不同的点到直线():76l y k x =-+的距5k 的取值范围是______.【答案】1,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由题意知，足圆心()2,1C 到直线():76l y k x =-+的距离5d <，解方程即可得出答案.【详解】圆22 : 42150C x y x y +---=化为标准方程为()()22: 2120C x y -+-=， 所以圆心()2,1,25C r =，若圆C 上有四个不同的点到直线():76l y k x =-+的距离等于5， 必须满足圆心()2,1C 到直线():76l y k x =-+的距离5d <，所以2217651k k k --+<+，化简得：22250k k +-<，解得：122k <<. 故答案为：1,22⎛⎫⎪⎝⎭15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短在如图所示的直角坐标系xOy 中，设军营所在平面区域为229{(,)|}4x y x y +≤，河岸线所在直线方程为3100x y +-=.假定将军从点(2,1)P 处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军可以选择最短路程为_____________.【答案】72【分析】求出点P 关于直线的对称点(3,4)P '，根据对称性，原问题转化成求P '到营区的最短距离，利用圆的几何性质即可得解.【详解】设点(2,1)P 关于直线3100x y +-=的对称点(,)P a b '，13221310022b a a b -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+⨯-=⎪⎩解得34a b =⎧⎨=⎩，所以(3,4)P '，将军从P 出发到达直线上点A 再到营区，PA P A '=， 所以本题问题转化为求点(3,4)P '到营区的最短距离， 根据圆的几何性质可得最短距离为3375222P O '-=-=.故答案为：72【点睛】此题以中国传统文化为背景考查求点关于直线的对称点，解决圆上的点到圆外一点的最短距离，考查对圆的几何性质的应用.16．矩形ABCD 中，3AB =，1BC =，现将ACD 沿对角线AC 向上翻折，设二面角D AC B --的平面角为θ，当θ在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦内变化时，BD 的范围为______.【答案】71022⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】分别过点B ，D 作BF AC DE AC ⊥⊥，，根据DB DE EF FB =++，计算275,42DB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到答案.【详解】如图1，分别过点B ，D 作BF AC DE AC ⊥⊥，，垂足分别为F ，E ， 则在四面体ABCD 中也满足BF AC DE AC ⊥⊥，． 因为3AB =，1BC =，所以2AC =，13322DE BF ⨯===， 则12AE CF ==，1EF =．在四面体ABCD 中，DB DE EF FB =++，因为二面角D AC B --的平面角为θ，且BF AC DE AC ⊥⊥，， 所以DE 和FB 的夹角为πθ-， 所以()222222DB DE EF FBDE EF FB DE FB =++=+++⋅()2233335312cos πcos 22θθ=+++-=-⎝⎭⎝⎭因为ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以275,42DB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72DB ⎡∈⎢⎣⎦．故答案为：⎣⎦三、解答题17．已知两直线1:2(3)10l mx m y +-+=，2:220l x my m ++=，当m 为何值时，1l 和2l （1）平行； （2）垂直？【答案】（1）32m =-；（2）0m =或5m =.【分析】(1)根据1111:0l A x B y C ++=与2222:0l A x B y C ++=平行的条件12210A B A B -=且12210B C B C -≠列式可解得.(2) 根据1111:0l A x B y C ++=与2222:0l A x B y C ++=垂直的条件12120A A B B +=列式可得.【详解】(1)因为12l l //,所以22(3)20m m m ⨯--⨯=,解得32m =-或1m =,当1m =时,两条直线重合,不合题意舍去. 所以32m =-.(2)因为12l l ⊥,所以22(3)20m m m ⨯+-⨯=,解得0m =或5m =. 【点睛】本题考查了两条直线平行或垂直的条件,属于基础题. 若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++= 则12l l //⇔12210A B A B -=且12210B C B C -≠; 12l l ⊥⇔ 12120A A B B +=.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB DC ，E 为线段PD 的中点，已知2PA AB AD CD ====，120PAD ︒∠=．（1）证明：直线//PB 平面ACE ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）24. 【分析】（1）连接BD 交AC 于点H ，连接HE ，可证//HE PB ，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线面积的正弦值； 【详解】（1）证明：连接BD 交AC 于点H ，连接HE//AB DC ，AB CD =，四边形ABCD 是平行四边形，H ∴是AC 中点，又E 为线段PD 的中点， //HE PB ，又HE ⊂平面ACE ，PB ⊂/平面ACE直线//PB 平面 ACE（2）AB ⊥平面PAD ，作Ax AP ⊥，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -由已知2PA AB AD CD ====，120PAD ︒∠= 得(0,0,2)B ，(0,2,0)P ，(3,1,0)D -，(3,1,2)C -()0,2,2PB =- ， (3,3,0)PD =- ，(0,0,2)CD =-设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =0n CD n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩， 20330z x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，不妨取()3,1,0n =22cos ,4222PB n PB n PB n⋅--∴===⨯所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为24【点睛】本题考查线面平行的证明，以及空间向量法求线面角，属于中档题.19．已知圆22:4240C x y x y ++--=.(1)过点(1,5)M 作圆C 的切线l ，求切线l 的方程；(2)设过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭的直线m 与圆C 交于AB 两点，若点A 、B 分圆周得两段弧长之比为1：2，求直线m 得方程.【答案】(1)7241130x y -+=或1x =； (2)6850x y -+=或68110x y +-=【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径求解，注意分斜率存在与不存在两种情况； （2）利用条件可分析出弦所对圆心角，据此求出圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】(1)由22:4240C x y x y ++--=可得22(2)(1)9x y ++-=，即圆心为(2,1)C -，半径3r =，显然当直线斜率不存在时，1x =是圆的切线，当直线斜率存在时，设直线为5(1)y k x -=-，即50kx y k -+-=， 由圆心到直线的距离2|215|31k k d k --+-==+，解得724k =，故切线为7241130x y -+=或1x =.(2)因为点A 、B 分圆周得两段弧长之比为1：2，故120ACB ∠=︒, 所以30CAB ∠=︒，故圆心到直线的距离322r d ==， 直线斜率不存在时，由13(2)22--≠知，不符合题意，当直线斜率存在时，设直线方程为11()2y k x -=-，则圆心到直线的距离25||3221k k =+，解得34k =±， 故直线方程为6850x y -+=或68110x y +-=.20．如图所示，四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2正方形，22,4SA SC ==，AC 与BD 交于点O ，点E 在线段SD 上.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)若//OE 平面SAB ，求二面角S AC E --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 25【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AB ⊥平面SAD ，进而证明SA AB ⊥，再根据集合关系证明SA AC ⊥即可证明结论；（2）根据题意，E 为SD 的中点，进而以,,AB AD AS 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；【详解】(1)证明：因为平面SAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ， 又AB ⊂平面ABCD 且AB AD ⊥，所以AB ⊥平面SAD ， 又SA ⊂平面SAD ，所以SA AB ⊥.因为ABCD 是边长为2正方形，所以22AC =，又22,4SA SC ==， 所以222SA AC SC +=，即SA AC ⊥，又因为AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABCD ，所以SA ⊥平面ABCD . (2)解：因为OE ∥平面SAB ，OE ⊂平面SBD ，平面SBD 平面SAB SB =， 所以OE SB ∥，因为O 为BD 的中点，所以E 为SD 的中点，以,,AB AD AS 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则有()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,22,0,1,2A B C D S E ， 易得平面SAC 的一个法向量为()2,2,0n DB ==-， 设平面EAC 的一个法向量为(),,m x y z =，则00m AE m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩20220y z x y ⎧+=⎪⇒⎨+=⎪⎩，取1z =，则()2,2,1m =-， 设平面SAC 与平面EAC 所成夹角为θ，则4225cos 5225m n m nθ⋅===⋅⋅， 所以平面SAC 与平面EAC 所成夹角的余弦值为255.21．长方形ABCD 中，2=22=AB AD ，M 是DC 中点（图1）.将ADM △沿AM 折起，使得AD BM ⊥（图2）在图2中:（1）求证:平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）在线段BD 上是否存点E ，使得二面角E AM D --的余弦值为55，说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【分析】(1)利用勾股定理与线面垂直的性质证明BM ⊥平面ADM 即可.(2) 以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系. 设(01)BE BD λλ=<<,再根据二面角的向量方法,分别求解面的法向量,再根据法向量的夹角求解即可.【详解】（1）在长方形ABCD 中,连结BM ,因为2AB AD =,M 是DC 中点, 所以2AM BM AD ==,从而222AM BM AB +=, 所以AM BM ⊥ 因为AD BM ⊥,ADAM A =,所以BM ⊥平面ADM . 因为BM ⊂平面ABCM , 所以平面ADM ⊥平面ABCM .（2）因为平面ADM ⊥平面ABCM ,交线是AM ,所以在面ADM 过M 垂直于AM 的直线必然垂直平面ABCM .以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴, 建立空间直角坐标系.则()2,0,0A ,()0,2,0B ,()1,0,1D ,(1,2,1)BD =-.设(01)BE BD λλ=<<,则(),22,ME MB BE λλλ=+=-.设1(,,)x y z =n 是平面AME 的法向量,则1100n ME n MA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即(22)020x y z x λλλ+-+=⎧⎨=⎩,取()10,,22n λλ=-, 平取面AMD 的一个法向量是()20,1,0n =. 依题意122cos ,2n n =, 即()222525λλλ=+-,解方程得12λ=, 因此在线段BD 上存点E ,使得二面角E AM D --的余弦值为55. 【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定与利用空间直角坐标系求解是否存在点满足条件的问题.一般做法是先假设存在,再设对应的向量的参数,再根据二面角的余弦列出关于参数的表达式最后进行求解即可.属于中档题.22．已知线段AB 的端点B 的坐标是()65，，端点A 在圆()()221:434C x y -+-=上运动．(1)求线段AB 的中点P 的轨迹2C 的方程；(2)设圆1C 与曲线2C 的两交点为M ，N ，求线段MN 的长；(3)若点C 在曲线2C 上运动，点Q 在x 轴上运动，求AQ CQ +的最小值． 【答案】(1)22(5)(4)1x y -+-=. 14. (3)523.【分析】（1）设点P 的坐标为()x y ，，点A 的坐标为()00x y ，，由于点B 的坐标为()65，，利用点P 是线段AB 的中点，求出026x x =-，025y y =-，通过点A 在圆1C 上运动，转化求解中点P 的轨迹2C 的方程即可；（2）将圆1C 与圆2C 的方程相减得22190x y +-=，求出圆2C 的圆心到直线22190x y +-=的距离d ，即可求解||MN ；（3）由题可得1122123QA QC QC r QC r QC QC +≥-+-=+-，当且仅当A 在线段1QC 且C 在线段2QC 上时，取等号．设()343C -，为()143C ，关于x 轴的对称点，可得13QC QC =，即323QA QC QC QC +≥+-2333C C -=，即可求解AQ CQ+的最小值.【详解】(1)解：设点P 的坐标为()x y ，，点A 的坐标为()00x y ，，由于点B 的坐标为()65，，且点P 是线段AB 的中点，所以062x x +=， 052y y +=， 于是有 002625x x y y =-⎧⎨=-⎩①， 因为点A 在圆221:(4)(3)4C x y -+-=上运动，即： 2200(4)(3)4x y -+-=②， 把①代入②，得22(264)(253)4x y --+--=，整理，得22(5)(4)1x y -+-=， 所以点P 的轨迹2C 的方程为22(5)(4)1x y -+-=．(2)解：将圆()()221:434C x y -+-=与圆()()222:541C x y -+-=的方程相减得： 22190x y +-=，由圆()()222:541C x y -+-=的圆心为()54，，半径为1，且()54，到直线22190xy +-=的距离d==，则||MN == (3)解：圆()()221:434C x y -+-=是以()143C ，为圆心，半径12r =的圆，圆2C 是以()254C ，为圆心，半径21r =的圆， 所以1122123QA QC QC r QC r QC QC +≥-+-=+-①，当且仅当A 在线段1QC 且C 在线段2QC 上时，取等号．设()343C -，为()143C ，关于x 轴的对称点，则13QC QC =，代入①式得： 323QA QC QC QC +≥+-233523C C -=，当且仅当23C Q C ，，共线时，取等号．所以AQ CQ +的最小值为523．。

高三数学测试题洛阳市第一高级中学 命题人：张清献1．复数111i z i i=+-+，则z = A ．i B ．-i C ．1+i D ．1-i2．设随机变量()2~1,5X N ，且()()02P X P X a ≤=>-，则实数a 的值为A ． 4B ． 6C ． 8D ．103．已知命题1:R p x ∃∈，使得210x x ++<；2:[1,2]p x ∀∈，使得210x -≥．以下命题为真命题的为A ．12p p ⌝∧⌝B ．12p p ∨⌝C ．12p p ⌝∧D ．12p p ∧ 4．已知函数()x x x f 2cos 2sin 3+=，下面结论错误．．的是 A ．函数()x f 的最小正常周期为π B ．函数()x f 可由()x x g 2sin 2=向左平移6π个单位得到 C ．函数()x f 的图象关于直线6π=x 对称 D ．函数()x f 在区间[0，6π]上是增函数5．图示是计算1+31+51+…+291值的程序框图，则图中(1)、(2)处应填写的语句分别是A ．15,1=+=i n n ?B ．15,1〉+=i n n ?C ．15,2=+=i n n ?D ．15,2〉+=i n n ?6、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，M 为线段AB 的中点，若30oMOA ∠=，则该椭圆的离心率的值为33.A 36.B 32.C 66.D7．函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为A ．31 B ．34 C ．2 D ．388．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．364B ．32C ．380 D ．38+289．已知函数f (x )＝|lg (x －1)|－(13)x 有两个零点x 1，x 2，则有A ．x 1x 2<1B ．x 1x 2<x 1＋x 2C ．x 1x 2＝x 1＋x 2 D ．x 1x 2>x 1＋x 210. 函数c o s ()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<为奇函数，该函数的部分图像如图所示，A 、B 分别为最高点与最低点，且||AB =，则该函数图象的一条对称轴为A.2π=xB.2π=x C.2x = D.1x =11、若函数12()1sin [,](0)[,]21x xf x x k k k n m m n +=++->++在区间上的值域为，则等于 A ．0B ．1C ．2D ．412．在A B C ∆中，O A BC AC ,51cos ,7,6===是ABC ∆的内心，若=OB y OA x +，其中10≤≤x ，10≤≤y ，动点P 的轨迹所覆盖的面积为A ．6310 B ．635 C ．310 D ．320二.填空题13．若棱长均为2的正三棱柱内接于一个球，则该球的半径为___________. 14．若2d a x x =⎰，则在25(3x -的二项展开式中，常数项为 ．15．在全运会期间，5名志愿者被安排参加三个不同比赛项目的接待服务工作，则每个项目至少有一人参加的安排方法有． 16．过点)2,2(p M -作抛物线)0(22>=p py x 的两条切线，切点分别为A 、B ，若线段AB 中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为 ．答题卷一)选择题 姓名______________13）__________________ 14）_____________________ 15）__________________ 16）_____________________三.解答题17．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，Ox 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.tan 1;tan 12ϕϕy x （ϕ为参数），曲线C 2的极坐标方程为：1)sin (cos =+θθρ，若曲线C 1与C 2相交于A 、B 两点． (I)求|AB|的值； (Ⅱ)求点M(-1，2)到A 、B 两点的距离之积．[来源:][来源:学.科.网]18．(本小题满分12分)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列{1a n a n ＋1}的前n 项和，若T n ≤λa n ＋1对∀n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值．[来源:学科网ZXXK]。

河南省2025届高三新未来九月大联考2024-2025学年高三上学期开学数学试题一、单选题1．已知单位向量,a b r r 的夹角为π3，则()2a b a ⋅-=r r r （ ） A ．1-B ．12-C ．0D ．12．双曲线22:1(0)3x y C m m m-=>的离心率为（ ）AB ．C ．2D3．以点()1,1为圆心的圆C 截直线2y x =+所得的弦长为C 的半径为（ ）A ．1BC ．2D4．随着暑假的来临，中国各地旅游市场也迎来旺季.小明和小王都计划在南京､北京､西安､厦门､杭州这5个城市中选2个城市去旅游，则小明和小王不会去相同城市的概率为（ ） A ．15B ．310 C ．25D ．235．已知角α的终边经过点()3,4-，则π2sin cos 24ααα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．825B ．625 C ．15-D ．725-6．如图所示是一个无盖的瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台构成，圆柱的底面圆的半径为1，圆台的下底面圆的半径为2，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积为()2π，则瓶子的体积为（ ）A ．10π3B ．4πC ．14π3D ．16π37．已知函数()21x f x x =+，则函数()f x 的图象的对称中心的坐标为（ ）A ．()1,3--B ．()1,3-C ．()1,2--D ．()1,2-8．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,,cos cos cos a b cA B C成等差数列，则sin cos cos AB C 的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、多选题 9．已知复数12i2iz +=-，则（ ） A ．1i z =- B ．2025i z =-C ．复数1z +是方程2220x x +=-的一个根D ．复数()()12z z ++在复平面内所对应的点位于第二象限 10．已知函数()1e xx a f x -+=的最大值为1，则（ ） A ．0a =B ．当22m n <时，()()22f m f n <C ．2211log log 3e f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．当11x -≤≤时，()21f x x ≥-11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 且不与x 轴垂直的直线与抛物线C 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，过原点O 作直线AB 的平行线与抛物线C 交于另一点P ，则（ ）A ．2p =B ．线段OP 的中点和线段AB 的中点的连线与x 轴平行C ．以点,,,O P A B 为顶点的四边形可能为等腰梯形D ．21OP x x =-三、填空题12．已知集合{}{}12,1A xx B x x m =-≤≤=-≤∣∣，若A B B =U ，则实数m 的取值范围为. 13．已知函数()πsin2sin 23f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间()0,m 上有且仅有2个零点，则实数m 的取值范围为.14．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AB ==，点,E F 分别为,CD CP 的中点，点T 为PAB V 内的一个动点（包括边界），若CT ∥平面AEF ，则点T 的轨迹的长度为.四、解答题15．已知函数()ln bf x ax x x=++在点()()22f ,处的切线方程为1ln2y x =++. (1)求,a b 的值；(2)求函数()f x 的单调区间和极值.16．某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为2110s =，化学成绩的方差为5022218,500500i i s x ===∑，其中,(i i x y i ∈N 且150)i ≤≤分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，y 关于x 的线性回归方程为0.4y x t =+.(1)求y 与x 的样本相关系数r ；(2)从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩η服从正态分布()2,N μσ，用样本平均数x 作为μ的估计值，用样本方差21s 作为2σ的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间()96.84,106.32的人数.附：①回归方程ˆˆˆya bx =+中：()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑ ②样本相关系数()()niix x y y r --=∑③若()2,N ημσ:，则()()0.68,220.95P P μσημσμσημσ-≤≤+≈-≤≤+≈3.1617．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，11112,,AB AA B E EC CF C F ====.(1)证明：1⊥BC 平面1A EF ；(2)若()01AP AB λλ=≤≤u u u r u u u r，求直线1PA 与平面1A EF 所成角的正弦值的最大值.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，点⎛ ⎝⎭在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点(),T m n 在椭圆C 上（点T 不在坐标轴上），证明：直线12mxny +=与椭圆C 相切； (3)设点P 在直线1x =-上（点P 在椭圆C 外），过点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为,,A B O 为坐标原点，若PAB V 和OAB △的面积之和为1，求直线AB 的方程.19．欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1的自然数，可以分解成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么这个乘积形式唯一的.对于任意正整数n ，记()f n 为n 的所有正因数的个数，()g n 为n 的所有正因数的和.(1)若数列()()3,3n nn n a f b g ==，求数列13n a n n n c bb +=的前n 项和n S ；(2)对互不相等的质数p q r､､，证明：()()()()()()()() 32323232,f p q r f p f q f rg p q r g p g q g r==，并求() ()22002200gf的值.。

高三9月月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．已知集合A ＝{x |log 2(x －1)＜0}，B ＝{x |x ≤3}，则∁R A ∩B ＝( )A ．(－∞，1)B ．(2，3)C ．(2，3]D ．(－∞，1]∪[2，3]2.（5分）2．已知i 为虚数单位，且复数z 满足z －2i ＝11－i ，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为( )A.132B.262C.102 D.523.（5分）3．已知x 、y 取值如下表：x 0 1 4 5 6 8 y1.3m5.66.17.49.3 从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋1.45，则m ＝( ) A ．1.5 B ．1.55 C ．1.8 D ．3.54.（5分）4已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35，－π2<α<π2，则sin 2α的值等于( )A.1225 B ．－1225 C ．－2425 D .24255.（5分） 5．已知互不重合的直线a ，b ，互不重合的平面α，β，给出下列四个命题，错误的命题是( )A ．若a ∥α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥bB ．若α⊥β，a ⊥α，b ⊥β则a ⊥bC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β 6.（5分）6．“a ≤－2”是“函数f (x )＝|x －a |在[－1，＋∞)上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7.（5分）7．已知O 为△ABC 内一点，且AO →＝12(OB →＋OC →)，AD →＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A.14B.13C.12D.238.（5分）8．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为－2，则①中应填( )A ．n <98?B ．n <99?C ．n <100?D ．n <101?9.（5分）9．已知点F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在点P 与点F 2关于直线y ＝bax 对称，则该双曲线的离心率为( )A.2B.52 C ．2 D.5 10.（5分）10．若实数x 、y 满足xy >0，则x x ＋y ＋2y x ＋2y的最大值为( ) A ．2－2 B ．2＋2 C ．4－22 D ．4＋22 11.（5分）11．曲线y ＝ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A.4－ln 25 B.4＋ln 25 C.4－ln 25D.4＋ln 2512.（5分）12．已知三棱锥P ­ABC 的棱AP 、AB 、AC 两两垂直，且长度都为3，以顶点P 为球心，以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( ) A ．3π B.3π2 C.4π3 D.5π6 二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，若S 3＝a 2＋4a 1，T 5＝243，则a 1的值为____________．14.（5分）14．已知点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋2x －8y ＋13＝0上，抛物线y 2＝8x 上任意一点P 到直线l ：x ＝－2的距离为d ，则d ＋|PQ |的最小值等于________． 15.（5分）15．“克拉茨猜想”又称“3n ＋1猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数m 经过6次运算后得到1，则m 的值为________． 16.（5分）16．已知偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，若关于x 的方程f (x )＝|log a |x ||(a >0，a ≠1)在[－2，3]上有5个根，则a 的取值范围是________．三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A ，cos 2A －cos 2B ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A ，且m ∥n .(1)求角B 的值；(2)若△ABC 为锐角三角形，且A ＝π4，外接圆半径R ＝2，求△ABC 的周长． 18.（12分）18.(本小题满分12分)甲、乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛．双方约定：①比赛采取五场三胜制(先赢三场的队伍获得胜利，比赛结束)；②双方各派出三名队员，前三场每位队员各比赛一场．已知甲俱乐部派出队员A 1、A 2、A 3，其中A 3只参加第三场比赛，另外两名队员A 1、A 2比赛场次未定；乙俱乐部派出队员B 1、B 2、B 3，其中B 1参加第一场与第五场比赛，B 2参加第二场与第四场比赛，B 3只参加第三场比赛．根据以往的比赛情况，甲俱乐部三名队员对阵乙俱乐部三名队员获胜的概率如下表：(1)12得取胜的概率最大？(2)若A 1参加第一场与第四场比赛，A 2参加第二场与第五场比赛，各队员每场比赛的结果互不影响，设本次团体对抗赛比赛的场数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望E (X )．19.（12分）19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面四边形ABCD 内接于圆O ，AC 是圆O 的一条直径，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AC ＝2，E 是PC 的中点，∠DAC ＝∠AOB .(1)求证：BE ∥平面P AD ；(2)若二面角P ­CD ­A 的正切值为2，求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值． 20.（12分）20．(本小题满分12分)已知圆E ：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝94经过椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1，F 2且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且F 1，E ，A 三点共线．直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且MN →＝λOA →(λ≠0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程．21．21.（12分）(本小题满分12分)已知椭圆C 1：x 26＋y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点F 2也为抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点，过点F 2的直线l 交抛物线C 2于A ，B 两点． (1)若点P (8，0)满足|P A |＝|PB |，求直线l 的方程；(2)T 为直线x ＝－3上任意一点，过点F 1作TF 1的垂线交椭圆C 1于M ，N 两点，求|TF 1||MN |的最小值．22.（12分）已知函数f (x )＝ax －12x 2－b ln(x ＋1)(a >0)，g (x )＝e x －x －1，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在原点处有公共的切线．(1)若x ＝0为函数f (x )的极大值点，求f (x )的单调区间(用a 表示)； (2)若∀x ≥0，g (x )≥f (x )＋12x 2，求a 的取值范围．答案一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．解析：选D.由集合A ＝{x |log 2(x －1)＜0}＝{x |1＜x ＜2}，则∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥2}，又B ＝{x |x ≤3}，所以∁R A ∩B ＝(－∞，1]∪[2，3]．2.（5分）2．解析：选B.由z －2i ＝11－i ，得z ＝2i ＋11－i ＝2i ＋1＋i （1－i ）（1＋i ）＝12＋52i ，所以复数z 在复平面内的点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，52，到原点的距离为14＋254＝262.故选B.3.（5分）3．解析：选 C.由题意知x －＝0＋1＋4＋5＋6＋86＝4，y －＝1.3＋m ＋5.6＋6.1＋7.4＋9.36＝29.7＋m6，将⎝⎛⎭⎪⎫4，29.7＋m 6代入y ^＝0.95x ＋1.45中，得29.7＋m 6＝0.95×4＋1.45，解得m ＝1.8. 4.（5分）4．解析：选C.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35，所以sin α＝－35，又－π2<α<π2，所以cos α＝45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425，5.（5分）5．解析：选D. A 中，由线面平行的判定和性质得满足条件的直线a ，b 平行，故正确．B 中，满足条件的直线a ，b 垂直，故正确．C 中，由面面垂直的性质可得，交线a 与α垂直，故正确．D 中，直线a 与β可能平行，也可能在β内，故不正确．综上D 不正确．答案D. 6.（5分）解析：选A.结合图象可知函数f (x )＝|x －a |在[a ，＋∞)上单调递增，易知当a ≤－2时，函数f (x )＝|x －a |在[－1，＋∞)上单调递增，但反之不一定成立，故选A.7.（5分）7．解析：选B.设线段BC 的中点为M ，则OB →＋OC →＝2OM →，因为2AO →＝OB →＋OC →，所以AO →＝OM →，则AO →＝12AM →＝14(AB →＋AC →)＝14(AB →＋1t AD →)＝14AB →＋14t AD →，由B ，O ，D 三点共线，得14＋14t ＝1，解得t ＝13.故选B.8.（5分）8．解析：选B.由题意知，该程序框图的功能是计算S ＝lg 12＋lg 23＋…＋lgnn ＋1＝－lg(n ＋1)，当n ＝98时，S ＝－lg 99>－2；当n ＝99时，S ＝－lg 100＝－2，跳出循环，故①中应填n <99?故选B.9.（5分）解析：选D.如图所示，点P 与点F 2关于直线y ＝ba x 对称，所以|OP |＝|OF 2|＝|OF 1|＝c ，所以PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝ba ，又|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝2b ，|PF 1|＝2a ，又因为点P 在双曲线上，所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，即2b －2a ＝2a ，b ＝2a ，故e ＝ca＝ 5.10.（5分）10．解析：选C. x x ＋y ＋2yx ＋2y ＝x （x ＋2y ）＋2y （x ＋y ）（x ＋y ）（x ＋2y ）＝x 2＋4xy ＋2y 2x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xyx 2＋3xy ＋2y 2＝1＋1x y ＋3＋2y x ≤1＋13＋22＝4－22，当且仅当x y ＝2y x ，即x 2＝2y 2时取等号． 11.（5分）11．解析：选D.因为直线2x －y ＋3＝0的斜率为2，所以令y ′＝1x ＝2，解得x ＝12，把x ＝12代入曲线方程得y ＝－ln 2，即曲线在点⎝⎛⎭⎫12，－ln 2处的切线斜率为2，⎝⎛⎭⎫12，－ln 2到直线2x －y ＋3＝0的距离d ＝|1＋ln 2＋3|22＋（－1）2＝4＋ln 25，故曲线y ＝ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是4＋ln 25.12.（5分）12．解析：选B.如图所示，Rt △P AC ，Rt △P AB 为等腰直角三角形，且AP ＝AB ＝AC ＝ 3.以顶点P 为球心，以2为半径作一个球与Rt △P AC 的PC ，AC 分别交于点M ，N ，得cos ∠APN ＝32，所以∠APN ＝π6，所以∠NPM ＝π12，所以MN ︵＝π12×2＝π6，同理GH ︵＝π6，HN ︵＝π2×1＝π2，又GM ︵是以顶点P 为圆心，以2为半径的圆的周长的16，所以GM ︵＝2π×26＝2π3， 所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段孤长之和等于π6＋π6＋π2＋2π3＝9π6＝3π2.故选B.二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）解析：由已知，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋4a 1，则a 3＝3a 1，所以q 2＝3.又T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝243，所以a 3＝a 1q 2＝3，a 1＝1.故答案为1.14.（5分）解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，故直线l ：x ＝－2为抛物线的准线，由抛物线的定义可知，d ＝|PF |.圆C 的方程可变形为(x ＋1)2＋(y －4)2＝4，圆心为C (－1，4)，半径r ＝2.如图所示，d ＋|PQ |＝|PF |＋|PQ |.显然，|PF |＋|PQ |≥|FQ |(当且仅当F ，P ，Q 三点共线，且点P 在点F ，Q 之间时取等号)．而|FQ |为圆C 上的动点Q 到定点F 的距离，显然当Q 处在Q ′的位置，P 处在P ′的位置时，|FQ |取得最小值，且最小值为|CF |－r ＝（－1－2）2＋（4－0）2－2＝ 5－2＝3.答案：315.（5分）15．解析：如果正整数m 按照上述规则经过6次运算得到1，则经过5次运算后得到的一定是2；经过4次运算后得到的一定是4；经过3次运算后得到的为8或1；经过2次运算后得到的是16；经过1次运算后得到的是5或32；所以开始时的数为10或64.所以正整数m 的值为10或64.故答案为1,8,10或64.16.（5分）解析：由f (x －1)＝f (x ＋1)得函数f (x )的最小正周期T ＝2，根据函数的奇偶性、周期性画出函数f (x )在[－2，3]上的图象，然后再画函数g (x )＝|log a |x ||的图象，如图所示，使它们有5个交点即可，当a >1时，只要保证log a 3≤1即可，解得a ≥3，当0<a <1时，只要保证－log a 3≤1即可，即log a 3≥－1，解得0<a ≤13， 综上a ∈⎝⎛⎦⎤0，13∪[)3，＋∞.三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．解：(1)由m ∥n ，得cos 2A －cos 2B ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A ，即2sin 2B －2sin 2A ＝2⎝⎛⎭⎫34cos 2A －14sin 2A ，化简得sin B ＝32，故B ＝π3或2π3.(2) 易知B ＝π3，则由A ＝π4，得C ＝π－(A ＋B )＝5π12.由正弦定理a sin A ＝bsin B ＝csin C ＝2R ， 得a ＝4sin π4＝22，b ＝4sin π3＝23，c ＝4sin 5π12＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝4×⎝⎛⎭⎪⎫22×32＋12×22＝6＋2， 所以△ABC 的周长为6＋23＋3 2.18.（12分）18.解：(1)设A 1、A 2分别参加第一场、第二场，则P 1＝56×23×23＝1027，设A 2、A 1分别参加第一场、第二场，则P 2＝34×23×23＝13，所以P 1>P 2， 所以甲俱乐部安排A 1参加第一场，A 2参加第二场，则甲俱乐部以3∶0取胜的概率最大．(2)比赛场数X 的所有可能取值为3、4、5， P (X ＝3)＝56×23×23＋16×13×13＝718，P (X ＝4)＝56C 12×23×13×23＋16×⎝⎛⎭⎫233＋16C 12×13×23×13＋56×⎝⎛⎭⎫133＝1954，P (X ＝5)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝727， 所以X 的分布列为X 3 4 5 P7181954727所以E (X )＝3×718＋4×1954＋5×727＝20954.19.（12分）19．解：(1)证明：因为∠DAC ＝∠AOB ，所以AD ∥OB .因为E 为PC 的中点，O 为圆心，连接OE ，所以OE ∥P A ，又OB ∩OE ＝O ，P A ∩AD ＝A ，所以平面P AD ∥平面EOB ， 因为BE ⊂平面EOB ，所以BE ∥平面P AD .(2)因为四边形ABCD 内接于圆O 且AC 为直径，所以AD ⊥CD ，又P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ，所以CD ⊥PD ，所以∠PDA 是二面角P ­CD ­A 的平面角，因为tan ∠PDA ＝2，P A ＝2，所以AD ＝1， 如图，以D 为坐标原点，DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，过点D 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系D ­xyz .P A ＝AC ＝2，AD ＝1，延长BO 交CD 于点F ，因为BO ∥AD ，所以BF ⊥CD ，又因为BF ＝BO ＋OF ，所以BF ＝1＋12＝32，又CD ＝3，所以DF ＝32，所以P (1，0，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0， C (0，3，0)，设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，因为⎩⎪⎨⎪⎧n ·CP →＝0，n ·DC →＝0.所以⎩⎨⎧（x ，y ，z ）·（1，－3，2）＝0，（x ，y ，z ）·（0，3，0）＝0，即⎩⎨⎧x －3y ＋2z ＝0，3y ＝0.令z ＝1，则x ＝－2，y ＝0.所以n ＝(－2，0，1)是平面PCD 的一个法向量，又PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，－2，所以|cos 〈PB →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB →·n |PB →||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋0－25×5＝35， 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为35.20.（12分）20．解：(1)因为F 1，E ，A 三点共线，所以F 1A 为圆E 的直径，所以AF 2⊥F 1F 2.由x 2＋⎝⎛⎭⎫0－122＝94，得x ＝±2，所以c ＝2，|AF 2|2＝|AF 1|2－|F 1F 2|2＝9－8＝1，2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4，所以a ＝2.因为a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题知，点A 的坐标为(2，1)，因为MN →＝λOA →(λ≠0)，所以直线的斜率为22， 故设直线l 的方程为y ＝22x ＋m ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x ＋m x 24＋y22＝1得，x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝m 2－2，Δ＝2m 2－4m 2＋8>0，所以－2<m <2.又|MN |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12－3m 2，点A 到直线l的距离d ＝6|m |3， 所以S △AMN ＝12 |MN |·d ＝1212－3m 2×63 |m |＝22（4－m 2）m 2≤22×4－m 2＋m 22＝2，当且仅当4－m 2＝m 2，即m ＝±2时等号成立，此时直线l 的方程为y ＝22x ± 2. 21.（12分）21．解：(1)由抛物线C 2：y 2＝8x 得F 2(2，0)，当直线l 的斜率不存在，即l ：x ＝2时，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x －2)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝k （x －2）得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，所以x 1＋x 2＝4k 2＋8k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k .设AB 的中点为G ，则G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k2，4k ，因为|P A |＝|PB |，所以PG ⊥l ，k PG ·k ＝－1，所以4k －02k 2＋4k 2－8·k ＝－1， 解得k ＝±2，则y ＝±2(x －2)，所以直线l 的方程为y ＝±2(x －2)或x ＝2.(2)因为F 2(2，0)，所以F 1(－2，0)，b 2＝6－4＝2，所以椭圆C 1：x 26＋y 22＝1.设点T 的坐标为(－3，m )，则直线TF 1的斜率kTF 1＝m －0－3＋2＝－m ，当m ≠0时，直线MN 的斜率k MN ＝1m ， 直线MN 的方程是x ＝my －2，当m ＝0时，直线MN 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式，所以直线MN 的方程是x ＝my －2.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则联立⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1x ＝my －2，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，所以y 3＋y 4＝4m m 2＋3，y 3y 4＝－2m 2＋3 .|TF 1|＝m 2＋1，|MN |＝（x 3－x 4）2＋（y 3－y 4）2 ＝（m 2＋1）[（y 3＋y 4）2－4y 3y 4]＝24（m 2＋1）m 2＋3 .所以|TF 1||MN |＝124×（m 2＋3）2m 2＋1＝124⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥33，当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF 1||MN |取得最小值33.22.（12分）22.解：(1)由题意知，f (x )的定义域为x ∈(－1，＋∞)，且f ′(x )＝a －x －b x ＋1，g ′(x )＝e x －1， 因为曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在原点处有公共的切线，故f ′(0)＝g ′(0)，解得a ＝b ，所以f (x )＝ax －12 x 2－a ln(x ＋1)，f ′(x )＝a －x －a x ＋1＝－x 2＋（a －1）x x ＋1＝－x [x －（a －1）]x ＋1， 当a ＝1时，f ′(x )≤0，函数f (x )在定义域上是减函数，故不满足题意；当a ≠1时，因为x ＝0为函数f (x )的极大值点，故由y ＝－x 2＋(a －1)x 的图象可知a －1<0，由f ′(x )<0得x ∈(－1，a －1)∪(0，＋∞)，由f ′(x )>0得x ∈(a －1，0)，所以函数f (x )的单调递增区间为(a －1，0)，单调递减区间为(－1，a －1)，(0，＋∞)．(2)因为g ′(x )＝e x －1，且当－1<x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0，故当x ＝0时，g (x )取得最小值0，所以g (x )≥0，即e x ≥x ＋1，从而x ≥ln(x ＋1)．设F (x )＝g (x )－f (x )－12x 2＝e x ＋a ln(x＋1)－(a ＋1)x －1，则F ′(x )＝e x ＋a x ＋1－(a ＋1)， ①当a ＝1时，因为x ≥0，所以F ′(x )≥x ＋1＋a x ＋1－(a ＋1)＝x ＋1＋1x ＋1－2≥0，所以F (x )在[0，＋∞)上单调递增，从而F (x )≥F (0)＝0，即e x ＋ln(x ＋1)－2x －1≥0，所以g (x )≥f (x )＋12x 2.②当0<a <1时，由①知e x ＋ln(x ＋1)－2x －1≥0，所以g (x )＝e x －x －1≥x －ln(x ＋1)≥a [x －ln(x ＋1)]，故F (x )≥0，即g (x )≥f (x )＋12x 2.③当a >1时，令h (x )＝e x ＋a x ＋1－(a ＋1)，则h ′(x )＝e x －a （x ＋1）2. 显然h ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，又h ′(0)＝1－a <0，h ′(a －1)＝e a －1－1>0，所以h ′(x )在(0，a －1)上存在唯一零点x 0，当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )<0，所以h (x )在(0，x 0)上单调递减，从而h (x )<h (0)＝0，即F ′(x )<0，所以F (x )在(0，x 0)上单调递减，从而当x ∈(0，x 0)时，F (x )<F (0)＝0，即g (x )<f (x )＋12x 2，不符合题意．综上，实数a 的取值范围为(0，1]．。

洛阳一高2024—2025学年高三（上）第一次综合检测化 学考生注意：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 S 32一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共计45分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.高铁酸钾()是新型的绿色环保水处理剂。

一种制备的流程如下：下列说法错误的是（ ）A.步骤i 中反应的离子方程式为B.步骤ⅱ说明碱性条件下，氧化性：NaClO ＞Na 2FeO 4C.步骤ⅲ的反应为复分解反应，说明溶解度：D.作为性能优良的水处理剂，主要是利用了其强氧化性和还原后产生的具有絮凝作用的Fe(Ⅲ)2.下列实验方案，能达到实验目的的是（ ）选项A B目的制取将设计成原电池装置24K FeO 24K FeO 2++3+2222Fe +H O +2H =2Fe +2H O2424Na FeO <K FeO 24K FeO 2Cl 2+2+Zn+Cu =Cu+Zn实验方案选项C D目的证明制取碳酸氢钠实验方案A.AB.BC.CD.D3.由核电荷数1～18的某些元素组成的单质A 、B 、C 和甲、乙、丙、丁、戊五种化合物有如图所示的转换关系，A 是地壳中含量最多的金属元素，下列选项正确的是（ ）A.往丁溶液中滴加氨水至过量可得到澄清溶液B.甲物质在工业上可用作耐火材料C.甲→乙＋丙反应的离子方程式为D.A →乙＋C 反应的化学方程式为4.X 、Y 、Z 、M 、Q 五种短周期主族元素，原子序数依次增大。

X 的核外电子数等于其周期数，分子呈三角锥形，Z 的核外电子数等于X 、Y 核外电子数之和。

M与X同主族，Q是同周期中非金属性最强的元素。

高三数学测试题洛阳市第一高级中学 命题人：张清献1．复数111iz i i=+-+，则z = A ．i B ．-i C ．1+i D ．1-i2．设随机变量()2~1,5X N ，且()()02P X P X a ≤=>-，则实数a 的值为A ． 4B ． 6C ． 8D ．103．已知命题1:R p x ∃∈，使得210x x ++<；2:[1,2]p x ∀∈，使得210x -≥．以下命题为真命题的为A ．12p p ⌝∧⌝B ．12p p ∨⌝C ．12p p ⌝∧D ．12p p ∧ 4．已知函数()x x x f 2cos 2sin 3+=，下面结论错误．．的是 A ．函数()x f 的最小正常周期为π B ．函数()x f 可由()x x g 2sin 2=向左平移6π个单位得到 C ．函数()x f 的图象关于直线6π=x 对称 D ．函数()x f 在区间[0，6π]上是增函数5．图示是计算1+31+51+…+291值的程序框图，则图中(1)、(2)处应填写的语句分别是A ．15,1=+=i n n ?B ．15,1〉+=i n n ?C ．15,2=+=i n n ?D ．15,2〉+=i n n ?6、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，M 为线段AB 的中点，若30oMOA ∠=，则该椭圆的离心率的值为33.A 36.B 32.C 66.D7．函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为A ．31 B ．34 C ．2 D ．388．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．364B ．32C ．380 D ．38+289．已知函数f (x )＝|lg (x －1)|－(13)x 有两个零点x 1，x 2，则有A ．x 1x 2<1B ．x 1x 2<x 1＋x 2C ．x 1x 2＝x 1＋x 2D ．x 1x 2>x 1＋x 210. 函数c o s ()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<为奇函数，该函数的部分图像如图所示，A 、B 分别为最高点与最低点，且||AB=，则该函数图象的一条对称轴为A.2π=xB.2π=x C.2x = D.1x =11、若函数12()1sin [,](0)[,]21x xf x x k k k n m m n +=++->++在区间上的值域为，则等于 A ．0B ．1C ．2D ．412．在ABC ∆中，O A BC AC ,51cos ,7,6===是ABC ∆的内心，若=OB y OA x +，其中10≤≤x ，10≤≤y ，动点P 的轨迹所覆盖的面积为 A ．6310 B ．635 C ．310 D ．320二.填空题13．若棱长均为2的正三棱柱内接于一个球，则该球的半径为___________.14．若20d a x x =⎰，则在25(3x -的二项展开式中，常数项为 ．15．在全运会期间，5名志愿者被安排参加三个不同比赛项目的接待服务工作，则每个项目至少有一人参加的安排方法有 ． 16．过点)2,2(p M -作抛物线)0(22>=p py x 的两条切线，切点分别为A 、B ，若线段AB 中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为 ．答题卷一)选择题 姓名______________13）__________________ 14）_____________________ 15）__________________ 16）_____________________三.解答题17．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，Ox 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.tan 1;tan 12ϕϕy x （ϕ为参数），曲线C 2的极坐标方程为：1)sin (cos =+θθρ，若曲线C 1与C 2相交于A 、B 两点． (I)求|AB|的值； (Ⅱ)求点M(-1，2)到A 、B 两点的距离之积．18．(本小题满分12分)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列{1a n a n ＋1}的前n 项和，若T n ≤λa n ＋1对∀n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值．19．(本小题满分l2分)如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为菱形，∠ABC=60 ，EC⊥面ABCD，FA⊥面ABCD，G为BF的中点，若EG//面ABCD．(I)求证：EG⊥面ABF；(II)(Ⅱ)若AF=AB，求二面角B—EF—D的余弦值．20. (本小题满分12分)某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为45，第二、第三种产品受欢迎的概率分别为p，q(p＞q)，且不同种产品是否受欢迎相互独立。