湖南省长沙市第一中学2018～2019学年度高二第一学期期末考试理科数学试题及参考答案

2018-2019学年湖南省长沙一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.满足2，的集合A的个数是A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】由条件，根据集合的子集的概念与运算，即可求解．【详解】由题意，可得满足2，的集合A为：，，，2，，共4个．故选：C．【点睛】本题主要考查了集合的定义，集合与集合的包含关系的应用，其中熟记集合的子集的概念，准确利用列举法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．2.已知幂函数的图像过点，若，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将点代入函数解析式，求出参数值，令函数值等于3，可求出自变量的值.【详解】依题意有2＝4a，得a＝，所以，当时，m＝9.【点睛】本题考查函数解析式以及由函数值求自变量，一般由函数值求自变量的值时要注意自变量取值范围以及题干的要求，避免多解.3.的值是A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：.考点：诱导公式．4.已知直线：，：，：，若且，则的值为A. B. 10 C. D. 2【答案】C【解析】【分析】由且，列出方程，求得，，解得的值，即可求解．【详解】由题意，直线：，：，：，因为且，所以，且，解得，，所以．故选：C．【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线的位置关系，列出方程求解的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．5.已知2a＝5b＝，则＋＝( )A. B. 1 C. D. 2【答案】D【解析】∵2a＝5b＝，∴a＝log2，b＝log5，利用换底公式可得：＋＝2＋5＝10＝2.6.如图，已知正方体中，异面直线与所成的角的大小是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】在正方体中，利用线面垂直的判定定理，证得平面，由此能求出结果．【详解】如图所示，在正方体中，连结，则，，由线面垂直的判定定理得平面，所以,所以异面直线与所成的角的大小是．故选：C．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：＝，故选D．考点：同角三角函数间的基本关系．8.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】试题分析：，,故选D.考点：点线面的位置关系.9.已知函数，则（）A. 1B.C. 2D. 0【答案】C【解析】【分析】根据题意可得，由对数的运算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数，．故选：C．【点睛】本题主要考查了函数值的求法，函数性质等基础知识的应用，其中熟记对数的运算性质是解答的关键，着重考查了考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于基础题，．10.若存在正数x使成立，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，分析可得，设，利用函数的单调性与最值，即可求解，得到答案．【详解】根据题意，，设，由基本初等函数的性质，得则函数在R上为增函数，且，则在上，恒成立；若存在正数x使成立，即有正实数解，必有；即a的取值范围为；故选：D．【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，以及不等式的有解问题，其中解答中合理把不等式的有解问题转化为函数的单调性与最值问题是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．11.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为3cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设球的半径为R，根据已知条件得出正方体上底面截球所得截面圆的半径为2cm，球心到截面圆圆心的距离为，再利用球的性质，求得球的半径，最后利用球体体积公式，即可得出答案．【详解】设球的半径为R，设正方体上底面截球所得截面圆恰好为上底面正方形的内切圆，该圆的半径为，且该截面圆圆心到水面的距离为1cm，即球心到截面圆圆心的距离为，由勾股定理可得，解得，因此，球的体积为．故选：A．【点睛】本题主要考查了球体的体积的计算问题，解决本题的关键在于利用几何体的结构特征和球的性质，求出球体的半径，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题．12.已知是定义在R上的单调函数，满足，且，若，则a与b的关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，设，则，又由，求得，得t的值，确定函数的解析式，据此分析可得，即，又由，利用换底公式，求得，结合对数的运算性质分析可得答案．【详解】根据题意，是定义在R上的单调函数，满足，则为常数，设，则，又由，即，则有，解可得，则，若，即，则，若，必有，则有，又由，则，解可得，即，所以，故选：A．【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及对数的运算性质的应用，其中解答中根据题意，设，求得实数的值，确定出函数的解析式，再利用对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及换元思想的应用，属于中档试题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的定义域为___________。

2018 — 2019学年度咼二第一学期期末考试数学(理科)时量：120分钟满分：150分得分： ________________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的.—3+ i 1 . 复数=A . 1+ 2iB . 1 — 2iC . 2+ iD . 2— i2. 已知全集U = R ,函数y = ln(1 — x)的定义域为M ,集合N = ｛x|/ — x<0｝,则下列结论 正确的是A . M n N = NB . M n (?U N)=町C . M U N = UD . M i@.(?uN)13. 已知命题 p ：联 a € R ,且 a>0, a +》2,命题 q ： x ° € R , sin X 0 + cos X 0= , 3,贝Ua下列判断正确的是A . p 是假命题B . q 是真命题C . p A (綈q)是真命题D .(綈p)A q 是真命题4. 已知等差数列｛a n ｝的公差为2,若a 1, a 3, a 4成等比数列，则｛ a n ｝的前10项和为 A . 10 B . 8 C . 6 D . — 8a5. 已知函数f(x) = e x + e x (a € R),若f(x)为奇函数，贝U 曲线y = f(x)在x = 0处的切线方程 为 A . y = — 2x B . y =— x C . y = 2x D . y = x6. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE = 1 T 1 T A.^AB — AD B . — ^AB + AD T 1 T T 1 T C.AB + 2AD D.AB — ?AD7. 某产品的销售收入 y 1(万元)是产品x(千台)的函数，y 1= 17/;生产总成本y 2(万元)也 是x 的函数，y 2= 2x 3— x xi (x >0),为使利润最大，应生产A . 9千台B . 8千台C . 6千台D . 3千台~T 1 ->8 .正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM = ?MC 1, N 为B 1B 的中点， 则|MN|为x y + 1 = 0，点P 为抛物线y 2= 4x 上的任意一点xi x , x < 0,10 .已知f(x) =g(x) = f(x) + x + m ,若g(x)存在两个零点，贝U m 的取值范围log 2x , x>0,A . [ — 1, +s )B . [ — 1, 0)C . [0, +s )D . [1 , 11. 在平面直角坐标系 xOy 中，F i 、F 2分别为双曲线 乡一a9.已知直线 11： x =— 1, I 2： 直线l 1,A . l 2的距离之和的最小值为 2 B/.2 C. 1 D.^A 21 o 6 厂15 f 15A. aB. aC. aD. a6 6 6 3P是双曲线左支上一点，M是PF i的中点，且0M丄PF i, 2|PF i|= |PF2|,则双曲线的离心率为A. .6B. 2C. ,5D. .3a (i)12. 已知函数f(x) = xln x, g(x)=—x3+ x2+ 5•若对任意的x i, x2€ 2，2 ,都有f(x i)—g(X2)w 0成立，贝实数a的取值范围是A. ( — 8,2 —4ln 2] B . ( — m , i]1 , 1 V 1C. 2—4ln 2, + 4“ 2D. —m , ?+ ：ln 213.已知x>1 ,观察下列不等式:1x+ x>2；x2+ 2>3;x ， o 3x3+_ >4;x ，按此规律,第n个不等式为___________ .2x—y+ 3 w 0,14. 若x, y满足约束条件x—1 w 0, __ 则z= —x+ y的最小值为.y—1 > 0,15. 1寸1 —x2 dx —n sin xdx = _______ .0 016. _________________________________________________________________ 若函数f(x) = ax2+ xln x有两个极值点，贝U实数a的取值范围是___________________________ .三、解答题：共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答•第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：60分.17. (本小题满分12分)在厶ABC中，角A , B, C的对边分别是a, b, c,其面积为S,且b2+ c2—a2= ^s. (I )求 A ;- 4(n )若a= 5 , 3, cos B = 5,求c.)1(a>0, b>0)的左、右焦点,已知数列{a n} , S n是其前n项和，且满足3a n= 2S n+ n(n € N*).1(I)求证：数列a n+ 2是等比数列；(n )记T n = S i + S2+…+ S n,求T n的表达式.如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC是边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在ABCD上的射影恰好在AD 上.(I )证明：平面SAB丄平面SAD;(II)若AB= 1 ,求平面SCD与平面SBC所成锐二面角的余弦值.已知圆M: x2+ y2+ 2 2y- 10 = 0和点N(0, 2), Q是圆M上任意一点，线段NQ的垂直平分线和QM相交于点P, P的轨迹为曲线E.(I )求曲线E的方程；(II)点A是曲线E与x轴正半轴的交点，直线x = ty+ m交E于B、C两点，直线AB, AC 的斜率分别是k i, k2,若k i • k2= 9,求：①m的值；②厶ABC面积的最大值.已知函数f(x) = x2+ ax+ In x(a € R).(I )讨论函数f(x)在定义域上的单调性；(n )令函数g(x) = e x_1+ x2+ a —f(x), e= 2.718 28…是自然对数的底数，若函数g(x)有且只有一个零点m,判断m与e的大小，并说明理由.(二)选考题：共10分。

长沙市第一中学2022-2023学年度高二第一学期入学考试数学时量：120分钟满分：150分得分：一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．若集合{}4M =<，{}31N x x =≥，则MN =（ ）A ．{}02x x ≤<B ．123xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭2．已知复数12i z =-（i 为虚数单位），且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（ ） A ．1a =，2b =-B ．1a =-，2b =C ．1a =，2b =D ．1a =-，2b =-3．如下图，直线l 的方程是（ ）A 0y -=B ．10x --=C 310y --=D 20y --=4．有2人从一座6层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则该2人在不同层离开电梯的概率是（ ） A ．16B ．15C ．45D ．565．在△ABC 中，已知AB =2，AC =3，∠BAC =60°，AM ，BN 分别是BC ，AC 边上的中线，则AM BN ⋅=（ ） A ．12B ．12-C ．52D ．52-6．已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ） A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()0,1D ．()(),01,-∞+∞7．在等腰△ABC 中，∠ABC =120°，点O 为底边AC 的中点，将△ABO 沿BO 折起到△DBO 的位置，使二面角D−BO−C 的大小为120°，则异面直线DO 与BC 所成角的余弦值为（ ）A B C D 8．若不等式()sin 04a x b x π⎛⎫--⋅+≤ ⎪⎝⎭，对[]0,2x π∈恒成立，则()sin a b +和()sin a b -分别等于（ ）A ．2；2B ．2；2- C ．2-；2- D ．2-；2二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．若110a b<<，则下列结论一定正确的是 A ．2ab b < B ．22a b <C ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．a b a b ->+10．今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G 基站，4月份增加5G 用户700多万人，5G 通信将成为社会发展的关键动力，下图是某机构对我国未来十年5G 用户规模的发展预测图，阅读下图关于下列说法，其中正确的是（ ） A ．2022年我国5G 用户规模年增长率最高 B ．2025年我国5G 用户数规模最大C ．从2020年到2026年，我国的5G 用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降D ．这十年我国的5G 用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差 11．在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱ABC−A 1B 1C 1展开得到平面图如图所示，∠ABC =90°，AA 1=AB ，P 为AB 1的中点，Q 为A 1C 的中点，则在原直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，下列说法正确的是（ ）A ．P ，Q ，C ，B 四点共面 B ．A 1C ⊥AB 1C ．几何体A−PQCB 和直三棱柱ABC−A 1B 1C 1的体积之比为38D ．当BC AB 时，A 1C 与平面ABB 1所成的角为45°12．已知动圆C ：()()22cos sin 1x y αα-+-=，[)0,2απ∈，则（ ）A ．圆C 与圆224x y +=相切B ．圆C 与直线sin cos 10x y αα+-=相切C ．圆C 上一点M 满足CM =（0，1），则M 的轨迹的长度为4πD ．当圆C 与坐标轴交于不同的三点时，这三点构成的三角形面积的最大值为1选择题答题卡三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知向量a ，b 的夹角为45°，=a 2⋅=a b ，若()λ+⊥a b b ，则λ=________．14．军事飞行人员是国家的特殊人才和宝贵资源，招收和培养飞行员历来受到国家的高度重视，某地区招收海军飞行员，从符合条件的高三学生中随机抽取8人，他们的身高（单位：cm ）分别为168，171，172，173，175，175，179，180，则这8名高三学生身高的第75百分位数为________． 15．写出与圆221x y +=和()()223416x y -+-=都相切的一条直线的方程________．16．神舟十三号飞船于2022年4月16日首次实施快速返回技术成功着陆．若由搜救地面指挥中心的提供信息可知：在东风着陆场搜索区域内，A 处的返回舱垂直返回地面．空中分队和地面分队分别在B 处和C 处，如图为其示意图，若A ，B ，C 在同一水平面上的投影分别为A 1，B 1，C ，且在C 点测得B 的仰角为26.6°，在C 点测得A 的仰角为45°，在B 点测得A 的仰角为26.6°，BB 1=7km ，∠B 1A 1C =120°．则CA 1的长为________km．（参考数据：1 tan26.62︒≈）四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）在某公司一次入职面试中，共设有3轮测试，每轮测试设有一道题目，面试者能正确回答两道题目的即可通过面试，累计答错两道题目的即被淘汰．已知李明能正确回答每一道题目的概率均为23，且各轮题目能否正确回答互不影响．（1）求李明不需要进入第三轮测试的概率；（2）求李明通过面试的概率．18．（本小题满分12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．（1）求证：BM ∥平面ADEF ； （2）求证：BC ⊥平面BDE ． 19．（本小题满分12分）已知直线1l 的方程为280x y -+=，直线2l 的方程为4310x y +-=．（1）设直线1l 与2l 的交点为P ，求过点P 且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程；（2）设直线3l 的方程为10ax y ++=，若直线3l 与1l ，2l 不能构成三角形，求实数a 的取值的集合． 20．（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，AB =AD M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．（1）求证：AD ⊥BM ；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E−AM−D 21．（本小题满分12分） 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅．（1）若cos cos A Bb a=，判断△ABC 的形状并说明理由； （2）若△ABC 是锐角三角形，求sin C 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知圆M ：()2221x y +-=，点P 是直线l ：20x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ．（1）当切线PA时，求点P的坐标；（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）求线段AB长度的最小值．长沙市第一中学2022-2023学年度高二第一学期入学考试数学时量：120分钟满分：150分得分：一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

长铁一中2018年下学期期末考试高二年级数学科试题（理科）时量:110分钟满分:150分一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设命题p :x R,x220则p为（）A.2.x R,x220x R,x20B000C .x R,x220D .x R,x222.按照程序框图(如右图)执行，第3个输出的数是（）A．3 B．4 C．5 D．63.命题p:x21是命题q:x 1的条件（）A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要4. 复数z 12i的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）123A. B. C. D.55 5456.准线方程为y 1的抛物线的标准方程是( )A.x24y B.x22y C.y22x D.y24x7．正方体ABCD-A1B1C1D1中，化简AB AD CC1（）A．B．C．D．AC CA BD111DB18. 曲线f(x)x32x 1在点0,f0处的切线的方程为( )A．y x 1B．y x 1C．y 2x 1D．y 2x 19．凸六边形有多少条对角线（）A．6 B．9 C．12 D．18- 1 -ABCDEA 1BC DBC10．如图，在正方体中， 为的1 111中点，则异面直线 DE 与 A B 所成角的正切值为1 16 (A)(B)26 3(C) 2(D)2 211.设 f '(x ) 是函数 f (x ) 的导函数， 的图象如图所示，则 y f (x ) 的图象最有可能的是 ( )12．在平行六面体 中,且ABCD A B C DAB 4, AD 3, AA 5,1 1 1 11BADBAA 1DAA 160ACo,求的长1A ．52B ． 62 C ．85D ．97二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，满分为 20分）42xdx13．计算14.甲、乙、丙、丁四人参加射击项目选拔赛，成绩如下：甲乙 丙 丁 平均环数 8．5 8．8 8．8 8 方 差3．53．52．18．7则加奥运会的最佳人选是15.从6本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，有多少种不同送法- 2 -x y22221(a0,b0)3x y3016.如果双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲a b线的离心率为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.17.（本小题满分10分）命题p:2，命题，若“”与“p∧q”都是假命题（，1）x2x q:x Z q求不等式x2x2的解集（2）求x的值．18．（本小题满分12分）四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)若AB=AD=AP=2,求直线PC与平面AEC所成角的余弦值19.（本小题满分12分）省教育厅为了解该省高中学校办学行为规范情况，从该省高中学校中随机抽取100所进行评估，并依据得分（最低60分，最高100分，可以是小数）将其分别评定为A、B、C、D四个等级，现将抽取的100所各学校的评估结果统计如下表：评估得分[60,70) [70,80) [80,90) [90,100]评定等级 D C B A频率m 0.62 0.32 2m（Ⅰ）求根据上表求m的值并估计这100所学校评估得分的平均数；（Ⅱ）从评定等级为D和A的学校中，任意抽取2所，求抽取的两所学校等级相同的概率.- 3 -20.（本小题满分12分）1e1,2F F P已知椭圆的离心率，左右焦点为，椭圆上一点到两焦点距离的和是4。

湖南省长沙市第一中学、长沙市一中城南中学等多校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数z=−2+5i，则i z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．某种袋装大米的质量X（单位：kg）服从正态分布N25,σ2，且P X>25.1=0.05.若某商场购入500袋这种大米，则该种袋装大米的质量在24.9kg∼25.1kg的袋数约为（）A．300 B．350 C．400 D．4503．已知AB⊥AC， AB=2，则AB⋅BC=（）A．0 B．2 C．−4D．44．已知方程mx2+2m−1y2=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．0,12B．12,1C．1,+∞D．0,15．某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天.若甲、乙都至少需要三天的连休假期，则不同的值班安排共有（）A．60种B．66种C．72种D．78种6．在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，可以设置不同的激活神经单元的函数，其中函数tanℎ是比较常用的一种，其解析式为tanℎx=e x−e−xe x+e−x.关于函数tanℎx，下列结论正确的是（）A．tanℎx是偶函数B．tanℎx是单调递增函数C．方程tanℎx=2有唯一解D．tanℎx≥0恒成立7．今天是星期天，则137天后是（）A．星期五B．星期六C．星期天D．星期一8．已知正四棱锥外接球的半径为3，内切球的半径为1，则该正四棱锥的高为（）A．4+3B．4+2C．4±3D．4±2二、多选题9．若集合D含有n个元素，则称D为n元集，D的子集中含有m m≤n个元素的子集叫做D的m元子集.已知集合A=−1,0,1，B=−2,1,2，则（）A．A∩B是2元集B．A∪B的2元子集有10个C．xy|x∈A,y∈B是5元集D．x,y|x∈A,y∈B是x,y|x2+y2≤5,x∈Z,y∈Z的9元子集10．已知随机变量X服从二项分布B4,p，p∈0,1，下列判断正确的是（）A．若E X=1，则D X=34B．P X=0=p−14C．若D X=34，则E X=1D．P X=2的最大值为3811．边长为2个单位长度的正方形ABCD如图1所示.将正方形ABCD向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到正方形EFGH，正方形ABCD和EFGH的组合图形如图2所示.将正方形EFGH向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到正方形CIJK，正方形ABCD，EFGH和CIJK的组合图形如图3所示.依此类推，得到图n n∈N+，则（）A．图3中矩形的个数为11B．图4中矩形的个数为19C．图10中矩形的个数为81D．图1至图20中所有知形的个数之和为1732三、填空题12．记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，且2c=ab，A=B，则cos C=. 13．设一组样本数据x1,x2,⋯,x10的平均值是1，且x12,x22,⋯,x102的平均值是3，则数据x1,x2,⋯,x10的方差是.14．做一个容积为250πm3的圆柱形封闭容器，要求所用材料最省，则该容器的底面半径为m，表面积为m2.四、解答题15．如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，AB=AD，平面ABCD与半圆弧AB所在的平面垂直，E是AB上异于A，B的点.(1)证明：△BDE是直角三角形.(2)若E是AB上更靠近B的三等分点，求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值.16．已知数列a n的前n项和为S n，a1=1，a n>0，且2a n S n+1−2a n+1S n=a n a n+1.(1)证明：数列S na n是等差数列.(2)求a n的通项公式.(3)若b n=2n2a n+12a n+1+1，数列b n的前n项和为T n，证明：T n<13.17．已知F为抛物线C：y2=2px p>0的焦点，第一象限内的点P在C上，点P的纵坐标等于横坐标的4倍，且PF=54.(1)求C的方程；(2)若斜率存在的直线l与C交于异于P的A，B两点，且直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为16，证明：l过定点.18．京剧被誉为中国文化的瑰宝.每个脸谱都有其独特的象征意义，是京剧中不可或缺的一个组成部分.某商店售卖的京剧脸谱娃娃共有三种款式，有直接购买和盲盒购买两种方式.若直接购买京剧脸谱娃娃，则每个京剧脸谱娃娃售价54元，可选定款式；若盲盒购买京剧脸谱娃娃，则每个盲盒售价27元，盲盒中的一款京剧脸谱娃娃是随机的.(1)甲采用盲盒购买的方式，每次购买一个盲盒并打开，若买到的京剧脸谱娃娃中出现相同款式，则停止购买.用ξ表示甲购买盲盒的个数，求ξ的分布列.(2)乙计划收集一套京剧脸谱娃娃（三种款式各一个），先购买盲盒，每次购买一个盲盒并打开（乙最多购买3个盲盒），若未集齐一套京剧脸谱娃娃，再直接购买没买到的款式，以购买费用的期望值为决策依据，问乙应购买多少个盲盒?19．已知函数f x=e ax+bx2−x（a>0，b>0），且曲线y=f x在点1,f1处的切线经过点0,−b.(1)求a；(2)求f x的单调区间；>ln c+1.(3)若b=1，f ln c=2d，证明：f e d2。

湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷时量：120分钟满分：150分得分______一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则在复平面对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设直线的倾斜角为，则A. B. C. D.3.如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的是A.B. C. D.4.已知数列为等差数列，.设甲：；乙：，则甲是乙的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB 为2m ，渠深OC 为1.5m ，水面EF 距AB 为0.5m ，则截面图中水面的宽度EF）A.0.816mB.1.33mC.1.50mD.1.63m6.已知圆．与圆外切，则ab 的最大值为1i2iz -=+z :80l x -+=αα=30︒60︒120︒150︒1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D AB 1,,a AD b AA c ===BM1122a b c ++1122a b c -++1122a b c --+1122a b c -+{}n a *,,,p q s t ∈N p q s t +=+p q s t a a a a +=+ 2.448≈≈≈221:()(3)9C x a y -++=222:()(1)1C x b y +++=A.2B.C.D.37.若函数在区间上只有一个零点，则的取值范围为A. B. C. D.8.已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点A ，B 使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为B.D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的分位数是18D.若样本数据的平均值为8，则数据的平均值为1510.下列四个命题中正确的是A.过定点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为B.过定点的直线与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或C.定点到圆D.过定点且与圆相切的直线方程为或11.在棱长为2的正方体中，点满足，则A.当时，点到平面B.当时，点到平面52)44()2sin cos sin cos (0)f x x x x x ωωωωω=->π0,2⎛⎫⎪⎝⎭ω14,33⎛⎤ ⎥⎝⎦14,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭17,66⎛⎤⎥⎝⎦17,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭12,F F 2222:1(0)x y E a b a b+=>>E 12AF F B c c 124AF BF =E 4556m 50%1210,,,x x x 121021,21,,21x x x --- (1,1)P -x y 20x y --=(1,1)P -(3,1),(3,2)M N -k 12k - (32)k …(1,0)Q 22(1)(3)4x y ++-=2-(1,0)Q 22(1)(3)4x y ++-=51250x y +-=1x =1111ABCD A B C D -P 1,,[0,1]AP AC AD λμλμ=+∈0λ=P 11A BC 0μ=P 11A BCC.当时，存在点，使得D.当时，存在点，使得平面PCD 选择题答题卡题号1234567891011得分答案三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.假设，且与相互独立，则______.13.斜率为1的直线与椭圆相交于A ，B 两点，AB 的中点为，则______．14.已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.（1）求角；（2）若，点满足，且，求的面积.16.（15分）在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，若.（1）求证：平面平面ABCD ；（2）求平面ABQ 与平面BDQ 所成夹角的余弦值.17.（15分）已知双曲线的左、右焦点分别为的一条渐近线方程为，且.（1）求的方程；（2）A ，B 为双曲线右支上两个不同的点，线段AB 的中垂线过点，求直线AB 的斜率的取值范围.34μ=P 1BP PC ⊥34λ=P 1BC ⊥()0.3,()0.4P A P B ==A B ()P AB =22143x y +=(,1)M m m ={}n a n n S 457,,{5,0}a S S ∈-n S ABC π22sin 6b aA c+⎛⎫+=⎪⎝⎭C 1a =D 2AD DB = ||CD = ABC Q ABCD -2,3AD QD QA QC ====QAD ⊥2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>12,,F F E y =2c =E E (0,4)C18.（17分）已知是数列的前项和，若.（1）求证：数列为等差数列.（2）若，数列的前项和为.（ⅰ）求取最大值时的值；（ⅱ）若是偶数，且，求.19.（17分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.（1）若圆是直线族的包络曲线，则m ，n 满足的关系式是什么？（2）若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线.（3）在（2）的条件下，过曲线上A ，B 两点作曲线的切线，其交点为.若且，B ，C 不共线，探究是否成立？请说明理由.n S {}n a n 1112n n n n S S a a ++-={}n a 12,13n n a c a =-=+{}n c n n T n T n m 2(1)nn n b a=-21mi i b =∑1x ty =+(1,0)221:1C x y +=1(,)mx ny m n +=∈R ()00P x y ，2:(24)4(2)0()a x y a a Ω-++-=∈R 0y ΩE E E 12,l l P (0,1)C A PCA PCB ∠=∠长沙市第一中学2024-2025学年度高二第一学期期中考试数学参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DABADDACACDBDBD1.D 【解析】因为，对应点为，在第四象限.故选D.2.A 【解析】由直线，可得直线的斜率为设直线的倾斜角为，其中，可得，所以.故选A.3.B 【解析】.故选B.4.A 【解析】甲是乙的充分条件；若为常数列，则乙成立推不出甲成立.5.D 【解析】以为原点，OC 为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设扡物线的标准方程为，由题意可得，代入得，得，故抛物线的标准方程为，设，则，则，1i (1i)(2i)13i 2i (2i)(2i)55z ---===-++-13,55⎛⎫- ⎪⎝⎭:80l x +=l k =l α0180α︒︒<…tan α=30α︒=11111111111111222222BM BB B M AA B AB C AA AB ADa b c =+=++=-+=-++ {}n a O y 22(0)x py p =>(1,1.5)B 22x py =13p =13p =223x y =()()0000,0,0F x y x y >>0 1.50.51y =-=200221,0.81633x x =⨯===≈所以截面图中水面的宽度EF 约为，故选D.6.D 【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，依题意，，于是，即，因此，当且仅当时取等号，所以ab 的最大值为3.故选D.7.A 【解析】由，令，则由题意知.8.C 【解析】如图，由，得，则为梯形的两条底边，作于点，由梯形的高为，得，在Rt 中，，则有，即，在中，设，则，，即，解得，在中，，同理，又，所以，即，所以离心率.故选C.0.8162 1.63m ⨯≈221:()(3)9C x a y -++=1(,3)C a -13r =222:()(1)1C x b y +++=2(,1)C b --21r =12124C C r r =+=222()24a b ++=22122224a b ab ab ab ab =+++=…3ab …a b =)22π()sin 2sincos sin 222sin 23f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭πππ2π362k x k x ωωω-=⇒=+ππππ14,626233ωωωω⎛⎤<+⇒∈ ⎥⎝⎦…214AF BF =12//AF BF 12,AF BF 12AF F B 21F P AF ⊥P 12AF F B c 2PF c =12F PF 122F F c =1230PF F ︒∠=1230AF F ︒∠=12AF F 1AF x =22AF a x =-22221121122cos30AF AF F F AF F F ︒=+-222(2)4a x x c -=+-1AF x ==12BF F 21150BF F ︒∠=2BF =214AF BF = 4=3a =c e a ==9.ACD 【解析】对于A ，一个总体含有50个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为，故A 正确；对于B ，数据1，2，m ，6，7的平均数是，这组数据的方差是，故B 错误；对于C ，，第50百分位数为，故C 正确；对于D ，依题意，，则，故D 正确；故选ACD.10.BD 【解析】对于A ，过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线还有过原点的直线，其方程为错误；对于B ，直线PM ，PN 的斜率分别为，依题意，或，即或，B 正确；对于C ，圆的圆心，半径，定点到圆C 错误；对于D，圆的圆心，半径，过点斜率不存在的直线与圆相切，当切线斜率存在时，设切线方程为，解得，此切线方程为，所以过点且与圆相切的直线方程为或，D 正确；故选BD.11.BD 【解析】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，11100.2505⨯== 4,4512674m =⨯----=222222126(14)(24)(44)(64)(74)55s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦850%4⨯=1719182+=8x =2116115x -=-=(1,1)-x y ,A y x =-2(1)31(1)1,312312PN FM k k ----====----PM k k …FN k k …12k -…32k (2)2:(1)(3)4C x y ++-=(1,3)C -2r =(1,0)Q 2(1)x +2(3)4y +-=22,=22:(1)(3)4C x y ++-=(1,3)C -2r =(1,0)1x =C (1)y k x =-2=512k =-51250x y +-=(1,0)22(1)(3)4x y ++-=51250x y +-=1x =1111ABCD A B C D -则,，设平面的法向是为，则令，得，对于，当时，，点到平面的距离A 错误；对于B ，当时，，点到平面的距离B 正确；对于C ，当时，，则，当时，显然，方程无实根，即BP 与不垂直，C 错误；对于D ，当时，，则，显然，即，由，得，1111(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,0,2),(2,2;2),(0,2,2)A B C D A B C D 11(2,0,2),(0,2,2)BA BC =-=11A BC (,,)n x y z = 11220,220,n BA x z n BC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1z =(1,1,1)n =- A 0λ=11(0,2,2),(0,2,2),(0,2,22)AP AD P A P μμμμμμμ===-P 11ABC 11||n A Pd n ⋅=== 0μ=(2,2,0),(2,2;0),(22,2,0)AP AC P BP λλλλλλλ===-P 11ABC 2||||n BP d n ⋅===34μ=133333(2,2,0)0,,2,2,42222AP AC AD λλλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13333112,2,,22,2,,22,2,222222P BP C P λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2213135(22)228602242BP C P λλλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=-++--=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2564802∆=-⨯⨯<1PC 34λ=133333,,0(0,2,2),2,242222AP AC AD μμμμμ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3331,2,2,,2,2,(2,0,0),(0,2,2)2222P DP DC BC μμμμ⎛⎫⎛⎫+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10DC BC ⋅= 1BC DC ⊥1122402DP BC μμ⎛⎫⋅=-+= ⎪⎝⎭ 18μ=即当时，，而平面PCD ，因此平面PCD ，D 正确．故选BD.三、填空题12.0.12【解析】由，且与相互独立，得，13.【解析】设直线AB 的方程为，代入椭圆方程，可得，由韦达定理可得，则，则，则，所以.14.-6【解析】取得最小值，则公差或，①当时，，所以，又，所以，所以，故，令，得，所以的最小值为.②当，不合题意.综上所述：的最小值为-6.四、解答题15.【解析】（1），，，，，18μ=1BC DP ⊥,,DC DP D DC DP ⋂=⊂1BC ⊥()0.3,()0.4P A P B ==A B ()()()0.12P AB P A P B ==43-y x b =+22143x y +=22784120x bx b ++-=1287bx x +=-()121427M b x x x =+=-43177M M b y x b b b =+=-+==73b =474733M m x ==-⨯=-n S 40,5d a >=-10a =40a =7470S a ==55S =-535S a =31a =-4310a a d -==>4n a n =-0n a …4n …n S 346S S ==-4745,735a S a =-==-4570,5,0,n a S S S ==-=π2πsin 2sin 2sin 2sin 66sin b a B A A A c C ++⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos )sin sin()2sin A A C A C A ∴+=++sin cos sin sin cos cos sin 2sin A C A C A C A C A +=++sin sin cos 2sin ,(0,π),sin 0A C A C A A A =+∈∴≠ πππ5πcos 2sin 1,,6666C C C C ⎛⎫⎛⎫=+⇒-=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.…………………………………………………………………………………6分（2）由，，，分16.【解析】（1）证明：中，，所以，所以.又平面平面QAD ，所以平面QAD.又平面ABCD ，所以平面平面ABCD .……………………………………………………5分（2）取AD 的中点，因为，所以，且，因为，平面平面ABCD ，平面平面，所以平面ABCD ．在平面ABCD 内作，以OD 为轴，OQ 为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，设平面ABQ 的法向量为，由，ππ2π,623C C ∴-=∴=222()33AD DB CD CA AD CA AB CA CB CA =⇒=+=+=+- 1212,||3333CD CA CB CD CA CB ∴=+∴=+==22214474272b a ab b b ⎛⎫∴++⋅-=⇒+-= ⎪⎝⎭211230(1)(3)03,sin 1322b b b b b S ab C ∴--=⇒+-=⇒=∴==⨯⨯=QCD 2,3CD AD QD QC ====222CD QD QC +=CD QD ⊥,,CD AD AD QD D AD ⊥⋂=⊂QAD QD ⊂，CD ⊥CD ⊂QAD ⊥O QD QA =OQ AD ⊥2OQ ==OQ AD ⊥QAD ⊥QAD ⋂ABCD AD =OQ ⊥Ox AD ⊥y z O xyz -(0,0,0),(0,1,0),(2,1,0),(2,1,0),(0,1,0),(0,0,2)O A B C D Q --()111,,x y z α=(2,0,0),(0,1,2)AB AQ ==得令，得，所以平面ABQ 的一个法向量.设平西BDQ 的法向量为，由，得令，得，所以平面BDQ 的一个法向量.所以所以平面ABQ 与平面BDQ分17.【解析】（1）由题得推出所以双曲线的方程为.……………………………………………………………………4分（2）由题意可知直线AB 斜率存在且，设，设AB 的中点为.由消去并整理得，则，即，，于是点为.11120,20,AB x AQ y z αα⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11z =-112,0y x ==(0,2,1)α=- ()222,,x y x β=(2,2,0),(0,1,2)BD DQ =-=- 2222220,20,BD x y DQ y x ββ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 21z =222,2y x ==(2,2,1)β= |cos ,αβ〈〉 2222,,b a c c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1,a b ==E 2213y x -=k ≠()()1122:,,,,AB y kx m A x y B x y =+M 22,33y kx m x y =+⎧⎨-=⎩y ()22223230,30k x kmx m k ----=-≠()()()22222(2)4331230km k m m k ∆-+-+-+-=223m k >-()21212121222222326,,223333km m km m x x x x y y k x x m k m k k k k++==-+=++=⋅+=----M 2222234331243,,333M C MC M m y y km m m k k k km k k x kmk---+⎛⎫-=== ⎪--⎝⎭-由中垂线知，所以，解得：.所以由A ，B 在双曲线的右支上可得：，且，且或，所以，即，综上可得，．…………………………………………………………………………15分18.【解析】（1）因为，所以是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即①，所以②，由②-①可得，即，所以，所以，所以数列为等差数列.………………………………………………………7分（2）（Ⅰ）由题意知在等差数列中，，故.可得，当时，取最大值.………………………………………………………………………………12分（Ⅱ）.………………………………………………………………17分19.【解析】（1）由定义可知，与相切，则圆的圆心到直线的距离等于1，则，即.……………………………………………………4分1MC AB k k ⋅=-231241m k km k-+=-23m k =-22221223303033m m x x m k k k m++=-=->⇒=-<⇒>-12222003km x x k k k +==>⇒>-()()()()()222222221230333403m k k k k k k ∆=+->⇒-+-=-->⇒<24k >24k >2k >(2,)k ∈+∞1112n n n n S S a a ++-=n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a a =12111(1)22n n S n n a +=+-=12n n n S a+=1122n n n S a +++=1122n n n n a a ++=11111n n a a a a n n +====+ 111(1),n n a n a a na +=+=11n n a a a +-={}n a {}n a 1(1)2n a a n d n =+-=-132n c n =-22(1)11(2)12(6)362n n n T n n n n -=+⨯-=-=--+∴6n =n T 222222212321234521mi m mi b b b b b a a a a a a ==++++=-+-+-++∑ ()()()()22222222123456212m m a a a a a a a a -=-++-++-+++-+ ()21232284m a a a a m m =-++++=+ 1mx ny +=221x y +=1C (0,0)1mx ny +=d 1==221m n +=（2）点不在直线族的任意一条直线上，所以无论取何值时，4）无解.将整理成关于的一元二次方程：.()00,P x y 2:(24)4(2)0(R)a x y a a Ω-++-=∈a (2a -2004(2)0x y a ++-=200(24)4(2)0a x y a -++-=a ()()2000244440a x a y x +-++-=。