高等代数第二十九讲

专题十 高考数学附加必做题训练第29讲 空间向量与立体几何空间向量与立体几何在高考中属中档题，要求能正确建立空间直角坐标系，会利用空间向量知识证明线与线、线与面、面与面平行及垂直，会用空间向量数量积计算空间线线角、线面角、二面角及点与面的距离等．考试说明：序号 内容要求A B C1 空间向量的概念 √2 空间向量共线、共面的充分必要条件 √3 空间向量的加法、减法及数乘运算 √4 空间向量的坐标表示 √5 空间向量的数量积 √6 空间向量的共线与垂直 √7 直线的方向向量与平面的法向量 √8 空间向量的应用 √例1 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．利用向量法证明：(1) DE∥平面ABC ； (2) B 1F ⊥平面AEF.证明：如图建立空间直角坐标系Axyz ，不妨设AB ＝AA 1＝4，则A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)， B(4，0，0)，B 1(4，0，4)． (1) 取AB 中点为N ，连结CN ，则N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)，∴ DE →＝(－2，4，0)，NC →＝(－2，4，0)，∴ DE →＝NC →，∴ DE ∥NC. ∵ NC ABC ，DE 平面ABC ， 故DE∥平面ABC.(2) B 1F →＝(－2，2，－4)，EF →＝(2，－2，－2)，AF →＝(2，2，0)． B 1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， B 1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.∴ B 1F →⊥EF →，B 1F →⊥AF →，即B 1F ⊥EF ，B 1F ⊥AF. ∵ AF ∩FE ＝F ，∴ B 1F ⊥平面AEF.如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1) AM∥平面BDE ； (2) AM⊥平面BDF.证明：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系， 设AC∩BD＝N ，连结NE.则点N 、E 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0、(0，0，1)．∴ NE →＝(－22，－22，1)．又点A 、M 的坐标分别是(2，2，0)、⎝⎛⎭⎪⎫22，22，1， ∴ AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.∴ NE →＝AM →且NE 与AM 不共线．∴ NE∥AM. ∵ NE 平面BDE ，AM 平面BDE ， ∴ AM ∥平面BDE.(2) 由(1)知AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，∵ D(2，0，0)，F(2，2，1)，∴ DF →＝(0，2，1)，∴ AM →·DF →＝0，∴ AM ⊥DF. 同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F ，∴ AM ⊥平面BDF.例2 如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，正四棱锥PABCD 的侧棱长与底边长都为32，点M 、N 分别在PA 、BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝13.(1) 求证：MN⊥AD；(2) 求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．(1) 证明：∵ 正四棱锥PABCD 的侧棱长与底边长都为32，∴ OA ＝3，OP ＝3. 则A(3，0，0)，B(0，3，0)，D(0，－3，0)，P(0，0，3)， ∴ M(1，0，2)，N(0，1，0)． 则MN →＝(－1，1，－2)，AD →＝(－3，－3，0)．∵ MN →·AD →＝(－1)×(－3)＋1×(－3)＋(－2)×0＝0， ∴ MN ⊥AD.(2) 解：设平面PAD 的法向量n ＝(x ，y ，z)，∵ AD →＝(－3，－3，0)，AP →＝(－3，0，3)，由⎩⎪⎨⎪⎧n·AD →＝0，n ·AP →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x －3y ＝0，－3x ＋3z ＝0.取z ＝1，得x ＝1，y ＝－1.∴ n＝(1，－1，1)．则cos 〈n ，MN →〉＝n·MN →|n|·|MN →|＝（－1）×1＋1×（－1）＋（－2）×13×6＝－223.设MN 与平面PAD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，MN →〉|＝223.∴ MN 与平面PAD 所成角的正弦值为223.如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知CA ＝CB ＝1，AA 1＝2，∠BCA ＝90°. (1) 求异面直线BA 1与CB 1夹角的余弦值； (2) 求二面角BAB 1C 平面角的余弦值．解：如图，以{CA →，CB →，CC 1→}为正交基底，建立空间直角坐标系Cxyz.则A(1，0，0)，B(0，1，0)，A 1(1，0，2)，B 1(0，1，2)，所以CB 1→＝(0，1，2)，AB →＝(－1，1，0)，AB 1→＝(－1，1，2)，BA 1→＝(1，－1，2)．(1) 因为cos 〈CB 1→，BA 1→〉＝CB 1→·BA 1→|CB 1→||BA 1→|＝36×5＝3010，所以异面直线BA 1与CB 1夹角的余弦值为3010. (2) 设平面CAB 1的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧m·AB 1→＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0，取平面CAB 1的一个法向量为m ＝(0，2，－1)； 设平面BAB 1的法向量为n ＝(r ，s ，t)，则⎩⎪⎨⎪⎧n·AB 1→＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－r ＋s ＋2t ＝0，－r ＋s ＝0， 取平面BAB 1的一个法向量为n ＝(1，1，0)．则cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝25×2＝105，所以二面角BAB 1C 平面角的余弦值为105. 例3 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E →＝λEO →. (1) 若λ＝1，求异面直线DE 与CD 1所成的角的余弦值； (2) 若平面CDE⊥平面CD 1O ，求λ的值．解：(1) 设正方体的棱长为1，以DA →、DC →、DD 1→为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C(0，1，0)，D 1(0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，12，则DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，12，CD 1→＝(0，－1，1)，故cos 〈DE →，CD 1→〉＝DE →·CD 1→|DE →|·|CD 1→|＝36，所以异面直线DE 与CD 1所成的角的余弦值为36. (2) CO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，0，CD 1→＝(0，－1，1)，设平面CD 1O 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由m·CO →＝0，m ·CD 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12x 1－12y 1＝0，－y 1＋z 1＝0，取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m ＝(1，1，1)．由D 1E →＝λEO →，得(1＋λ)EO →＝D 1O →，故E ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2（1＋λ），λ2（1＋λ），11＋λ， DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2（1＋λ），λ2（1＋λ），11＋λ. 又CD →＝(0，－1，0)，设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n·CD →＝0，n ·DE →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝0，λx 22（1＋λ）＋λy 22（1＋λ）＋z 21＋λ＝0， 取x 2＝2，得z 2＝－λ，即n ＝(2，0，－λ)．因为平面CDE⊥平面CD 1O ，所以m·n＝0，得λ＝2.在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝12AB ，点E 是棱AB 上一点且AEEB＝λ.(1) 证明：D 1E ⊥A 1D ；(2) 若二面角D 1ECD 的大小为π4，求λ的值．(1) 证明：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系． 不妨设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，2，1)，C 1(0，2，1)，D 1(0，0，1)．因为AE EB ＝λ，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ，0，于是D 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ，－1，A 1D →＝(－1，0，－1)． 所以D 1E →·A 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ，－1·(－1，0，－1)＝0. 故D 1E ⊥A 1D.(2) 解：因为D 1D ⊥平面ABCD ，所以平面DEC 的法向量为n 1＝(0，0，1)．又CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ－2，0，CD 1→＝(0，－2，1)． 设平面D 1CE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z)，则n 2·CE →＝x ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ1＋λ－2＝0，n 2·CD1→＝－2y ＋z ＝0，所以向量n 2的一个解为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2λ1＋λ，1，2. 因为二面角D 1ECD 的大小为π4，则n 1·n 2|n 1||n 2|＝22，解得λ＝±233－1.又E 是棱AB 上的一点，所以λ＞0，故所求的λ值为233－1.例4 如图，已知四棱锥SABCD 的底面是边长为4的正方形，顶点S 在底面上的射影O 落在正方形ABCD 内，且O 到AB 、AD 的距离分别是2、1.又P 是SC 的中点，E 是BC 上一点，CE ＝1，SO ＝3，过O 在底面内分别作AB 、BC 垂线Ox 、Oy ，分别以Ox 、Oy 、OS 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．(1) 求平面PDE 的一个法向量； (2) 问在棱SA 上是否存在一点Q ，使直线BQ∥平面PDE ？若存在，请给出点Q 在棱SA 上的位置；若不存在，请说明理由．解：(1) 由题意知：E(－1，3，0)，D(－2，－1，0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，32，S(0，0，3)． ∴ DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，32，DE →＝(1，4，0)．设n ＝(x ，y ，z)是平面PDE 的一个法向量，则⎩⎨⎧n·DP →＝x ＋52y ＋32z ＝0，n ·DE →＝x ＋4y ＝0，令x ＝－4，则y ＝z ＝1，∴ n ＝(－4，1，1)． (2) 设点Q(x ，y ，z)， AQ →＝λAS →，(x －2，y ＋1，z)＝λ(－2，1，3)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2λ，y ＝－1＋λ，z ＝3λ，点Q 的坐标为(2－2λ，－1＋λ，3λ)，∴ BQ →＝(－2λ，λ－4，3λ)．要使BQ∥平面PDE ，则BQ →⊥n ，∴ (－4)×(－2λ)＋1×(λ－4)＋1×3λ＝0，λ＝13.由于上述过程可逆，故当AQ AS ＝13时，BQ ∥平面PDE.如图，在正四棱锥PABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M 、N 分别在线段PA 和BD 上，BN ＝13BD.(1) 若PM ＝13PA ，求证：MN⊥AD；(2) 若二面角MBDA 的大小为π4，求线段MN 的长度．(1) 证明：连结AC 、BD 交于点O ，以OA 为x 轴正方向，以OB 为y 轴正方向，OP 为z 轴建立空间直角坐标系．因为PA ＝AB ＝2，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．由BN →＝13BD →，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，0，由PM →＝13PA →，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，23，所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13，－23，AD →＝(－1，－1，0)．因为MN →·AD →＝0，所以MN⊥AD.(2) 解：因为M 在PA 上，可设PM →＝λPA →，得M(λ，0，1－λ)．所以BM →＝(λ，－1，1－λ)，BD →＝(0，－2，0)． 设平面MBD 的法向量n ＝(x ，y ，z)，由⎩⎪⎨⎪⎧n·BD →＝0，n ·BM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＝0，λx －y ＋（1－λ）z ＝0，其中一组解为x ＝λ－1，y ＝0，z ＝λ， 所以可取n ＝(λ－1，0，λ)．因为平面ABD 的法向量为OP →＝(0，0，1)，所以cos π4＝|n·OP →||n||OP →|，即22＝λ（λ－1）2＋λ2，解得λ＝12， 从而M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，0， 所以MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝226.1. 记动点P 是棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上一点，且D 1P →＝λD 1B →.当∠APC 为钝角时，求λ的取值范围．解：由题意作图，以DA →、DC →、DD 1→为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则有A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D 1(0，0，1)． 由D 1B →＝(1，1，－1)，得 D 1P →＝λD 1B →＝(λ，λ，－λ)，所以PA →＝PD 1→＋D 1A →＝(－λ，－λ，λ)＋(1，0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC →＝PD 1→＋D 1C →＝(－λ，－λ，λ)＋(0，1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角cos ∠APC ＝cos 〈PA →，PC →〉＝PA →·PC →|PA →||PC →|<0PA →·PC →＜0，即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2＝(λ－1)(3λ－1)＜0，得13＜λ＜1.因此，λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 2. 如图，在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，点N 是BC 的中点，点M 在CC 1上，设二面角A 1DNM 的大小为θ.(1) 当θ＝90°时，求AM 的长；(2) 当cos θ＝66时，求CM 的长．解：建立以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴的空间直角坐标系D －xyz.设CM ＝t(0≤t≤2)，则A(1，0，0)，A 1(1，0，2)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，M(0，1，t)，所以DN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，DM →＝(0，1，t)，DA 1→＝(1，0，2)．设平面DMN 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则n 1·DN →＝0，n 1·DM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x 1＋y 1＝0，y 1＋tz 1＝0，令z 1＝1，则x 1＝2t ，y 1＝－t ，所以n 1＝(2t ，－t ，1)是平面DMN 的一个法向量．设平面A 1DN 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则n 2·DA 1→＝0，n 2·DN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2z 2＝0，12x 2＋y 2＝0，令z 2＝1，则x 2＝－2，y 2＝1，所以n 2＝(－2，1，1)是平面A 1DN 的一个法向量．从而n 1·n 2＝－5t ＋1.(1) 因为θ＝90°，所以n 1·n 2＝－5t ＋1＝0，解得t ＝15，从而M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，15，所以AM ＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝515. (2) 因为|n 1|＝5t 2＋1，|n 2|＝6，所以cos 〈n 1，n 2〉＝－5t ＋16（5t 2＋1）.因为〈n 1，n 2〉＝θ或〈n 1，n 2〉＝π－θ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5t ＋16（5t 2＋1）＝66，解得t ＝0或12，所以根据图形和(1)的结论可知t ＝12，从而CM ＝12. 3. 如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，PA ＝AD ＝2，AC ＝1. (1) 求证：PC⊥AD；(2) 求二面角APCD 的正弦值；(3) 设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．(1) 证明：以AD →、AC →、AP →为x 、y 、z 正半轴方向，建立空间直角坐标系Axyz ，则D(2，0，0)，C(0，1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，P(0，0，2)． 则PC →＝(0，1，－2)，AD →＝(2，0，0)PC →·AD →＝0PC ⊥AD.(2) 解：PC →＝(0，1，－2)，CD →＝(2，－1，0)，设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n·PC →＝0，n ·CD →＝0⎩⎪⎨⎪⎧y －2z ＝0，2x －y ＝0⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2z ，x ＝z. 取z ＝1n ＝(1，2，1)，又AD →＝(2，0，0)是平面PAC 的法向量，cos 〈AD →，n 〉＝AD →·n |AD →||n|＝66sin 〈AD →，n 〉＝306，即二面角APCD 的正弦值为306. (3) 解：设AE ＝h∈[0，2]，则AE →＝(0，0，h)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，h ，又CD →＝(2，－1，0)，则cos 〈BE →，CD →〉＝BE →·CD →|BE →||CD →|＝310＋20h 2＝32h ＝1010，即AE ＝1010. 4. (2018·江苏卷)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点． (1) 求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2) 求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解：(1) 以AB →、AC →、AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz ，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A 1(0，0，4)，D(1，1，0)，C 1(0，2，4)，∴ A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)，∴ cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，∴ 异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2) AC →＝(0，2，0)是平面ABA 1的一个法向量， 设平面ADC 1的法向量为m ＝(x ，y ，z)，∵ AD →＝(1，1，0)，AC 1→＝(0，2，4)，由m⊥AD →，m ⊥AC 1→，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2y ＋4z ＝0，取z ＝1，得y ＝－2，x ＝2， ∴ 平面ADC 1的法向量为m ＝(2，－2，1)， 设平面ADC 1与ABA 1所成二面角为θ，∴ |cos θ|＝|cos 〈AC →，m 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →·m |AC →||m|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－42×3＝23，得sin θ＝53， ∴ 平面ADC 1与ABA 1所成二面角的正弦值为53.(本题模拟高考评分标准，满分10分)(2018·泰州模考)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝π2，顶点C 1在底面△ABC 内的射影是点B ，且AC ＝BC ＝BC 1＝3，点T 是平面ABC 1内一点．(1) 若T 是△ABC 1的重心，求直线A 1T 与平面ABC 1所成的角；(2) 是否存在点T ，使TB 1＝TC 且平面TA 1C 1⊥平面ACC 1A 1？若存在，求出线段TC 的长度；若不存在，说明理由．解：如图以CB 、CA 分别为x 、y 轴，过C 作直线C z∥BC 1，以Cz 为z 轴，∴ B(3，0，0)，C(0，0，0)，A(0，3，0)，C 1(3，0，3)， CB 1→＝CC 1→＋CB →＝(6，0，3)，B 1(6，0，3)， CA 1→＝CC 1→＋CA →＝(3，3，3)，A 1(3，3，3)．(1) T 是△ABC 1重心，T(2，1，1)，TA 1→＝(1，2，2)，设平面ABC 1的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，AB →＝(3，－3，0)，AC 1→＝(3，－3，3)， 则⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－3y 1＝0，3x 1－3y 1＋3z 1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，x 1＝y 1，取法向量n 1＝(1，1，0)，(3分)∴ cos 〈TA 1→，n 1〉＝33·2＝22，〈TA 1→，n 1〉＝π4.设TA 1与平面ABC 1所成的角为π2－〈TA 1→，n 1〉＝π4.(5分) (2) T 在平面ABC 1内，CT →＝CB →＋BT →＝CB →＋mBC 1→＋nBA →＝(3－3n ，3n ，3m)，即T(3－3n ，3n ，3m)． 由TB 1＝TC ，得(3－3n)2＋(3n)2＋(3m)2＝(3n ＋3)2＋(3n)2＋(3m －3)2，即－2m ＋4n ＝－1， ①设平面CAA 1C 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，CA →＝(0，3，0)，CC 1→＝(3，0，3)，⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＝0，3x 2＋3z 2＝0，取n 2＝(1，0，－1)．设平面TA 1C 1法向量为n 3＝(x 3，y 3，z 3)，C 1A 1→＝(0，3，0)，C 1T →＝(－3n ，3n ，3m －3)，⎩⎪⎨⎪⎧y 3＝0，－3nx 3＋（3m －3）z 3＝0， 取n 3＝(m －1，0，n)．(8分) 由平面TA 1C 1⊥平面ACC 1A 1，得cos 〈n 2，n 3〉＝m －1－n2·（m －1）2＋n 2＝0，m ＝n ＋1. ② 由①②解得n ＝12，m ＝32，∴ 存在点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，92，TC ＝3112.(10分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1＝BC ＝AB ＝2，AB ⊥BC ，求二面角B 1A 1CC 1的大小．解：如图，以B 为直角坐标原点，建立如图空间直角坐标系，则A(2，0，0)、C(0，2，0)、A 1(2，0，2)、B 1(0，0，2)、C 1(0，2，2)．设AC 的中点为M ，则M(1，1，0)． ∵ BM⊥AC，BM ⊥CC 1，∴ BM ⊥平面A 1C 1CA ，即BM →＝(1，1，0)是平面A 1C 1CA 的一个法向量． 设平面A 1B 1C 的一个法向量是n ＝(x ，y ，z)， A 1C →＝(－2，2，－2)，A 1B 1→＝(－2，0，0)．∴ n ·A 1B 1→＝－2x ＝0，n ·A 1C →＝－2x ＋2y －2z ＝0. 令z ＝1，解得x ＝0，y ＝1. ∴ n ＝(0，1，1)．设法向量n 与BM →的夹角为φ，二面角B 1A 1CC 1的大小为θ，由图知θ为锐角，∴ cos θ＝|cos φ|＝|n·BM →||n||BM →|＝12，解得θ＝π3.∴ 二面角B 1A 1CC 1的大小为π3.。

高等代数选讲信阳师范学院数学与信息科学学院2006年9月v1.0 可编辑可修改目录高等代数选讲 0信阳师范学院数学与信息科学学院 02006年9月 0目录 (2)第一讲带余除法 (1)第二讲不可约多项式 (6)第三讲互素与不可约、分解 (11)第四讲多项式的根 (16)第五讲典型行列式 (21)第六讲循环行列式 (26)第七讲特殊行列式方法 (32)第八讲解线性方程组 (38)第九讲分块矩阵与求秩 (44)第十讲矩阵的分解与求逆 (49)第十一讲广义逆与特殊矩阵对关系 (55)第十二讲特征值、对角线与最小多项式 (62)第十三讲向量的线性相关与自由度 (68)第十四讲双线性型与正定二次型 (74)第十五讲线性空间及其几何背景 (80)第十六讲欧氏空间和正交变换的意义 (86)第十七讲线性变换的核与象 (91)第十八讲线性变换的特征与不变子空间 (97)第一讲带余除法定理1（带余除法）∀f (x )g (x )≠0∈P [x ]，则有 f (x )=g (x )s (x )r (x )其中r (x )=0或∂(r (x ))＜∂(g (x ))，r (x )，s (x )∈P [x ]定理2g (x )f (x )⇔r (x )=0x －a )f (x )⇔f (a )=0带余除法可将f (x )，g (x )的性质“遗传”到较低次的r (x )，也可将g (x )，r (x )的性质“反馈”到较高次的f (x )。

边缘性质：若满足某个条件C 的多项式存在，则一定存在一个次数最低的满足条件C 的多项式。

反过来，满足条件D 的多项式次数不超过m ，则这样的集中一定有一个次数最大的。

根据带余除法和边缘性持，创造了求最大公因式的辗转相除法。

可以证明最小公倍式也是存在的，还可以得到更多的其它结论。

例1a 是一个数，f (x )∈P [x ]且f (a )=0，则P [x ]中存在唯一首项系数=1且次数最低的多项式m a (x )： m a (a )=0证作：Sa ={g (x )∈P [x ]g (a )=0}那么S ≠φ，故S 中存在一个次数最低且首系=1的多项式m a (x )，现设m (x )也是满足条件的多项式，那么∂(m (x ))=∂(m a (x )) 所以∂(m (x )－(m a (x ))＜∂(m a (x )) 令r (x )=m (x )－m a (x )则r (a )=0，得r (x )=0，所以m (x )=m a (x )，唯一性证毕。

高等代数知识点汇总-第三版- 王萼芳与石生明编作者: 日期:高等代数-----知识点总结首都师范大学数学科学院1100500070 I—A 与B 相等，记A=B 。

行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵(上)下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单运算规律：i) A +B=B+Ai) (A+B)+C=A+(B+C) iii) A+O=A iv) A+(-A)=O(3)数与矩阵的乘法运算规律：(k+l ) A=kA+lA k(A+B)=ka+kB k(lA )=(kl)A l gA=A. (3)矩阵的乘法1.矩阵的概念(1)由s n 个数 a j (i=1 , 2…s ; j=1,2.. n )排成n 行n 列的数表a 11Ma1nM ，称为s 行n 列as1asn矩阵，简记为 A (a ij )sn 。

(2)矩阵的相等设 A (a ij )mn , B (a ij )ik ，如果 m=l , n=k ,且 a j b j ,对 i=1 , 2 …m ； j=1,2 na 11Ma1nMb 11 Mb 1n Ma iibi1Ma1nb 1n Mas1asnbs1 bsnas1bs1asnbsna 11 Mai nMb 11 Mb1nM c11MC 1n Mas1 asnbs1b sncm1cmn都成立，则称 (3)各种特殊矩阵位矩阵。

2.矩阵的运算 (1)矩阵的加法a 11 k Ma1nMka 11M ka 1nMas1 asnka s1kasnJ 十高等代数-----知识点总结首都师范大学数学科学院 1100500070 \i) ( AB ) C=A(BC) i)A(B+C)=AB+AC iii) (B+C)A=BA+CA iv) k(AB)=A (kB )=(kA)B-般情况， ABAB =AC ,A运算规律:I I(A)(5)方阵的行列式运算规律:i)1. 基本概念(1) 矩阵可逆的定义n 级方阵B ，使得AB=BA=E ，这里E 是单位矩阵。

高等代数第四版知识点高等代数是大学数学课程中的重要一环。

它涵盖了许多关键的数学概念和技巧，不仅在纯数学领域有广泛的应用，而且在物理学、工程学以及计算机科学等应用科学中也占有重要地位。

本文将介绍高等代数第四版教材中的一些重要知识点。

1. 向量空间向量空间是高等代数的基础概念之一。

它是一种具有加法和数乘运算的集合，满足一些特定的性质。

学习向量空间的时候，我们需要了解向量、向量的线性组合、向量空间的子空间以及向量空间的维数等几个重要概念。

2. 线性方程组线性方程组是高等代数中的常见问题。

我们通过矩阵和向量的形式来表示线性方程组，利用高斯消元法或者矩阵的逆来求解方程组的解。

在学习线性方程组的过程中，我们需要掌握方程组的矩阵表示、齐次方程组与非齐次方程组的区别，以及解的存在唯一性等。

3. 行列式行列式是描述线性变换性质的重要工具。

我们通过行列式来判断方阵的可逆性、计算矩阵的秩，以及求解线性方程组的解等问题。

在学习行列式的时候，我们需要了解行列式的定义、行列式的性质，以及行列式的计算方法等。

4. 特征值与特征向量特征值与特征向量是描述线性变换规律的关键概念。

通过求解矩阵的特征方程，我们可以得到矩阵的特征值和对应的特征向量。

特征值和特征向量在矩阵对角化、矩阵的谱分解、矩阵的相似变换等问题中发挥着重要的作用。

5. 线性变换与线性映射线性变换是高等代数中的核心概念之一。

它描述了一个向量空间到另一个向量空间的映射关系，并保持向量空间的线性结构。

线性映射是线性变换在向量空间之间的具体表示方式。

在学习线性变换和线性映射的时候，我们需要了解线性变换与线性映射的定义、线性变换的矩阵表示，以及线性变换的核、像、秩等重要性质。

6. 内积空间与正交性内积空间是一种具有内积运算的向量空间，它将向量空间的线性结构推广到了一种度量结构。

通过内积，我们可以定义向量的长度、夹角以及正交性等概念。

在学习内积空间的时候，我们需要了解内积的定义与性质、Cauchy-Schwarz不等式、勾股定理以及正交补空间等基本概念。

第一学期第一次课之南宫帮珍创作第一章代数学的经典课题§1 若干准备知识1.1.1代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。

1.1.2数域的定义定义（数域）K中至少包含两个分歧的K为一个数域。

典型的数域举例：复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q (i) =Q}，其中命题任意数域K都包含有理数域Q。

证明证毕。

1.1.3集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差)交集B并集B的差集定义（集合的映射）映射，记为像原像像则单射。

若存使得满射双射，或称一一对应。

1.1.4 求和号与求积号1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。

当然也可以写成2. 求和号的性质. 容易证明，事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：分别先按行和列求和，再求总和即可。

第一学期第二次课§2一元高次代数方程的基础知识1. 高等代数基本定理C中必有零点。

定理（高等代数基本定理）C命题复数。

则存在C证明命题（高等代数基本定理的等价命题）为C证明利用高等代数基本定理和命题1.32．高等代数基本定理的另一种表述方式定义（1）代数方程入（11根。

定理（高等代数基本定理的另一种表述形式）复数域C 内必有一个根。

C命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C 上两个n 次、m 次多项式1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性有重复），则 所以我们记）。

于是有(韦达定理命题 给定R也是方程的根。

证明 由已知，推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。

证明 因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在C 内有奇数个根，故其中必有一根为实数。

第一学期第三次课§3线性方程组K上的线性方程组的初等变换举例说明解线性方程组的Gauss 消元法。

高等代数知识结构一、高等代数知识结构图行列式的计算工具线性方程组中心课题线性典范型线性代数高等代数研究范围线性空间行列式行列式的性质矩阵的秩矩阵矩阵的运算与逆矩阵的初等变换线性方程组的解法及判别定理线性方程组线性方程组解的结构极大线性无关组向量相关性线性相关和线性无关化为标准型（配方法，线性方程组法，正交法）二次型对角化线性流形正定性，合同单线性函数线性函数对称双线性函数J矩阵若尔当典范性II-C 定理矩阵的可对角化线性空间的性质与同构，子空间的判定线性空间坐标变换与基变换线性变换特征值与特征向量可对角化及不变子空间欧式空间的性质欧式空间正交化与正交补的求法正交变换与正交矩阵酉空间的性质酉空间复数域上的正交变换最大公因式定理整除理论互素与同于因式分解唯一性因式分解理论重因式多项式理论复数域多项式根的理论实数域求法有理数域判定（爱绅斯坦因）多元多项式 /根的判别式对称多项式韦达定理二、高等代数知识结构内容（一）线性代数：工具：线性方程组1. 行列式：a11 a12a1n1 行列式的计算设有n2个数，排成 n 行 n 列的数表a21a22a2n ，即 n 阶行an1an 2ann列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积a1j1a2 j2anj n⑴的代数和，这里j1 j2j n是1，2，，n的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当 j1 j 2j n是偶排列时,⑴带正号；当j1j2j n是奇排列时,⑴带负号．即aa11a12a1n21a22 a2 n1 j 1j2 j na 1j 1a2 j 2anj n ，这里=表示j 1 j 2j nj 1 j 2 j nan1an 2ann对所有 n 级排列求和 .a. 行列式的性质：性质 1. 行列互换，行列式不变。

性质 2. 一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式。

性质 3. 如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。