高等代数选讲考核

福建师范大学网络教育《高等代数选讲》在线作业考核材料答
案复习资料
《高等代数选讲》考前辅导（一）本块主要复习《高等代数选讲》各章的基本概念及重要知识点
《高等代数选讲》考前辅导（二）
本块主要复习《高等代数》中主要的计算题型，它们有一个共同点就是以初等变换为工具。

n
一、关于阶行列式的计算
计算行列式的主要方法是降阶，用按行、按列展开公式来实现，但在展开之前往往先用性质对行列式做恒等变换，化简之后再展开。

数学归纳法、递推法、公式法、三角化法、定义法也都是常用方法。

把每一行（列）加至“第”一行（列）；把每一行（列）均减去“第”一行（列）；逐行
（列）相加（减）是一些常用的技巧，当零元素多时亦可立即展开。

1 1 n 1 42 n i 福建师范大学网络教育学院《高等代数选讲》 期末考试 A 卷学习中心 专业学号 姓名 成绩一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分）1. 设 A , B 是n 阶方阵， k 是一正整数，则必有（D)(A ) )( AB )k = A k B k ；(B ) - A = - A ；(C ) (C )A 2 -B 2= ( A - B )( A + B ) ；(D ) (D )AB = B A 。

2. 设 A 为m ⨯ n 矩阵， B 为n ⨯ m 矩阵，则（ A ）。

( A ) 若m > n ，则 AB = 0 ；(B ) 若m < n ，则 AB = 0 ；(C ) 若m > n ，则 AB ≠ 0 ；(D ) 若m < n ，则 AB ≠ 0 ；3. R n 中下列子集是R n 的子空间的为（ A ）．( A )W = {[a , 0, , 0, a ] a , a ∈ R 3}(B ) W = ⎧, a ] a ∈ R 3, i = 1, 2, , n , ∑a = ⎫ 2 ⎨[a 1 , a 2 , n i ⎩ ⎧ 3 i i =1n 1⎬ ； ⎭ ⎫(C )W 3 = ⎨[a 1 , a 2 , , a n ] a i ∈ R , i = 1, 2, , n , ∏a i = 1⎬ ；，(D ) ⎩ W = {[1, a , , a ] i =1 ⎭a ∈ R 3, i = 2, 3, , n }4. 3 元非齐次线性方程组 Ax = b ， 秩 r ( A ) = 2 ， 有 3 个解向量 1,2 ,3 ，-= (1, 0, 0)T ， a += (2, 4, 6)T ，则 Ax = b 的一般解形式为（C ）.2312n n。

1（A ） (2, 4, 6)T + k (1, 0, 0)T ， k 为任意常数11（B ） (1, 2,3)T + k (1, 0, 0)T ， k 为任意常数11（C ） (1, 0, 0)T + k (2, 4, 6)T ， k 为任意常数1（D ） (1, 0, 0)T + k (1, 2,3)T ， k 为任意常数115. 已知矩阵 A 的特征值为1, -1, 2 ，则 A -1 的特征值为（ D）( A ) 1, -1, 2 ；( B ) 2, -2, 4 ； (C ) 1, -1, 0 ；( D ) 1, -1,1。

福建师范大学网络教育学位考试《高等代数选讲》学习小结论文小结《高等代数选讲》学习小结《高等代数》是数学学科的一门传统课程。

在当今世界的数学内部学科趋于统一性和数学在其他学科的广泛应用性的今天，《高等代数》以追求内容结构的清晰刻画和作为数学应用的基础，是数学各个专业的主干基础课程。

它是数学在其它学科应用的必需基础课程，又是数学修养的核心课程。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。

它是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。

这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。

通过学习后，我们知道，不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。

因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。

刚刚开始接触到高等代数的时候，对它一无所知，仅仅听其它同学谈论过线性代数这门课程。

在学习之前，我一直认为高等代数就是线性代数。

经过学习后，我发现，这两者之间区别还是挺大的。

高等代数是我们数学专业开设的专业课，更注重理论的分析，需要搞懂许多概念是怎么来的，而线性代数，只是一种运算工具，是供工科和部分医科专业开设的课程，更加注重应用。

经过课程和书本的学习，我对高等代数里面的知识有了个初步的认识和接触，特别是高等代数的一些思想，也从中收获不少。

下面就对高等代数的学习做一个回顾和总结。

一、行列式行列式是代数学中的一个基本概念，它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且还广泛的应用于数学及其他科学技术领域定义：设A=（a ij）为数域F上的n×n矩阵，规定A的行列式为|A|=∑(?1)τ(j1j2?j n)a1j1a2j2?a njnj1j2…j n其中，i1i2?i n为1,2，…，n的一个排列。

高等代数选讲Selected Topics in Advanced Algebra一、课程基本情况课程类别：专业任选课课程学分： 2 学分课程总学时：32学时，其中讲课：32 学时课程性质：选修开课学期：第7学期先修课程：高等代数适用专业：信息与计算科学数学与应用数学统计学教材：无开课单位：数学与统计学院数学系二、课程性质、教学目标和任务《高等代数选讲》是数学类各专业继《高等代数》之后的一门专业选修课，《高等代数》是大学数学专业的重要基础课程，它对后续知识的学习及学生的运算能力、逻辑推理能力、抽象概括能力的培养等都起着非常重要的作用。

该门课程有概念抽象、方法繁多、各模块知识联系紧密、系统性强的特点，加之题目浩如烟海，处理问题的方法纷繁多变，因而许多学生学习时感觉存在一定困难。

为了使学生加深对高等代数课程内容的理解，帮助他们掌握该课程处理问题的方法与技巧，进而提高他们分析与解决综合问题的能力，我们在数学专业学生中开设了《高等代数选讲》这一选修课程。

通过这门课的学习，使学生熟悉《高等代数》中一元多项式理论；行列式、线性方程组理论及解法；矩阵理论；线性空间与线性变换的概念和性质；欧氏空间的结构及性质等基本概念、基本理论和基本方法，同时通过一些综合题的讲解，使学生受到进一步的代数方法的严格训练，为学生考研及学习后继课程打下坚实基础。

三、教学内容和要求第1章、多项式（4学时）（1）了解带余除法和因式分解定理；（2）理解辗转相除法和不可约多项式；（3）掌握多项式互素的性质和Eisenstein判别法的应用。

重点：整除和因式分解理论；难点：根理论。

第2章、行列式（4学时）（1）了解行列式的定义；（2）理解行列式的性质；（3）掌握常用的行列式计算方法。

重点：行列式的计算；难点：代数余子式的性质。

第3章、线性方程组与矩阵（6学时）（1）了解矩阵分块的意义与基本方法；（2）理解向量组的线性相关性，线性方程组解的结构；（3）掌握线性方程组的解法，逆矩阵的求法。

1.若方阵A、B满足AB=BA，则有A^2-B^2=(A+B)(A-B)A.错误B.正确【参考答案】: B2.A.错误B.正确【参考答案】: B3.A.错误B.正确【参考答案】: B4.二次型为正定的充要条件是秩和符号差都为nA.错误B.正确【参考答案】: B5.n阶方阵A，有|kA|=k|A|，k为一正整数A.错误B.正确【参考答案】: A6.交换行列式的两列，行列式的值不变A.错误B.正确【参考答案】: A7.相似关系和合同关系都是矩阵之间的等价关系，二者是一回事A.错误B.正确8.A.错误B.正确【参考答案】: B9.A.错误B.正确【参考答案】: A10.若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比例．A.错误B.正确【参考答案】: A11.若n阶方阵A的行列式等于0，则A的行向量是线性相关的A.错误B.正确【参考答案】: B12.A.错误B.正确【参考答案】: A13.如果A是正交矩阵，k为实数，要使kA为正交矩阵，则k等于1或-1A.错误B.正确14.零多项式与f(x)的最大公因式是f(x)A.错误B.正确【参考答案】: B15.四阶矩阵A的所有元素都不为0，则r(A)=4A.错误B.正确【参考答案】: A16.A.错误B.正确【参考答案】: B17.A.错误B.正确【参考答案】: B18.A.错误B.正确【参考答案】: A19.有理数域是最小的数域【参考答案】: B20.若f(x)|g(x)h(x)，则有f(x)|g(x)或f(x)|h(x)A.错误B.正确【参考答案】: A21.A.错误B.正确【参考答案】: A22.若n阶矩阵A存在一个r阶子式不为零则A的秩必然大于等于rA.错误B.正确【参考答案】: B23.试题如图A.错误B.正确【参考答案】: A24.若矩阵A的秩是r，则A的所有高于r 级的子式（如果有的话）全为零．A.错误B.正确【参考答案】: B25.【参考答案】: B26.A.错误B.正确【参考答案】: B27.A.错误B.正确【参考答案】: A28.A.错误B.正确【参考答案】: B29.合同的两个矩阵的秩不一定相等。

福师09秋学期《高等代数选讲》考试复习题一本复习题页码标注所用教材为：高等代数19.50主张禾瑞、郝丙新2007年第5版高等教育出版社书如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点一、单项选择题（每小题4分，共20分）1．设,A B 是n 阶方阵，k 是一正整数，则必有（ ）() ()k k k A AB A B =； ()B kA k A =；22()()()C A B A B A B -=-+； ()D AB A B =。

考核知识点：矩阵的运算，参见P178-181； 行列式的性质，参见P113； 矩阵乘积的行列式，参见P197； 2.设D 是一个n 阶行列式，那么（ ）(A ) 行列式与它的转置行列式相等； (B ) D 中两行互换，则行列式不变符号； (C ) 若0=D ，则D 中必有一行全是零； (D ) 若0=D ，则D 中必有两行成比例。

考核知识点：行列式的性质，参见P111-113； 3．设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ）(A ) A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； (B )A 中每个r 阶子式都不为零； (C ) A 中可能存在不为零的1+r 阶子式； (D )A 中肯定有不为零的r 阶子式。

考核知识点：矩阵秩的定义，参见P151-152；4．关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） (A ) ()()()()()()nnnx g x f x g x f,,=；(B )()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=⇔=； (C ) ()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=；(D )若()()()()()()()()1,1,=-+⇒=x g x f x g x f x g x f 。

考核知识点：多项式最大公因式的定义和相关性质，参见P38-46；5．设{}m ααα,,,21 是线性空间V 的一个向量组，它是线性无关的充要条件为（ ） (A )任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有∑=≠mi ii k 10α；(B )任一组数m k k k ,,,21 ，有∑==mi ii k 10α；(C )当021====m k k k 时，有∑==mi ii k 10α；(D )任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有∑==mi ii k 10α。

《高等代数选讲》课程教学大纲一、课程说明课程代码：0741123120课程类别：专业必修课学时：72学时适用专业：数学与应用数学适用对象：本科考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。

严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。

综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%。

二、课程概述：本课程在数学与应用数学专业按照《代数学教学大纲》（高代部分）完成教学之后的必修课。

它设想将《高等代数》中由于课时太少而未学完且实际需要的内容继续学完，以使同学的知识面更广，理论更系统，更扎实，更完备，为同学继续学习新的学科和将来作一名合格的中学教师作好理论知识的准备。

本课程的主要内容有：多元多项式与对称多项式；行列式的拉普拉斯定理和乘法定理；结式和二元高次方程组的一般解法；矩阵的广其应用举例；二次型及其标准形，正定二次型及正定矩阵；线性变换的值域与核，不变子空间，若当标准形介绍，最小多项式； 一矩阵及若当标准形的理论推导；子空间的正交，实对称矩阵的正交相似（合同）对角化，向量到子空间的距离和最小二乘法，酉空间介绍。

三、教学目的：通过本课程的学习，进一步加深对原有知识的理解和应用，扩大同学的知识面，培养同学在学习和工作中乐于思考问题，善于提出问题和勇于寻找解决问题的方法和创新能力，提高同学的素质，为大学后继课程的学习，为愿意考研同学的考研考试，为愿意在工作中自学提高的同学的自学，也为将来在中学教学中作一名合格的教师打下坚实的基础。

四、学时分配表五、教学基本内容：第一章多元多项式（8学时）本章将一元多项式理论推广到n元多项式，并讨论一类应用较为广泛的n 元多项式－对称多项式。

教学要求：1．掌握两个一元多项式的最小公倍式的概念，最小公倍式与最大公因式的关系，最小公倍式的求法。

2．了解n元多项式、次数、齐式等概念，运算和运算律，齐式之积仍为齐式。

掌握字典排列法和首项定理，了解齐式排列法，按某一元的元次排列法及次数定理。

宿迁学院2011 —2012学年度第 一 学期（期末）考试《高等代数选讲》试卷（B 卷）（开卷）出卷人：顾江永（考试时间： 120分钟 ， 适用专业： 数学与应用数学 ）(每题2分, 共10分)1. 设B A,是n 阶矩阵,则（ ） (A) 111)(---=B A AB (B) T T T B A AB =)((C) B A AB det det )det(= (D) ***)(B A AB =2．设向量组54321,,,,ααααα为5 维列向量，若向量组的秩等于3，且满足422αα=，032531=-+ααα，则该向量组的极大线性无关组是（ ）．(A) 531,,ααα (B) 321,,ααα (C) 542,,ααα (D) 421,,ααα 3．若A 为三阶矩阵，Λ为三阶数量矩阵，则下列结论不一定正确的是（ ）． (A)A 与2A 可换 (B)A 与*A 可换 (C)A 与Λ可换 (D)A 与TA 可换 ４．齐次线性方程组0=⨯x A n m 只有零解的充分必要条件是n m A ⨯的秩（ ）． (Ａ)m A n m =⨯)(秩 (Ｂ)n A n m =⨯)(秩 (Ｃ)m A n n m =≠⨯)(秩 (Ｄ)n A m n m =≠⨯)(秩5. 齐次线性方程组021=+++n x x x 的基础解系含（ ）个解向量(A) n (B) 1-n (C) 1 (D) 2二、计算题（每题10分，共60分）6．1100011000110001101a aa D a a a a a a----=-----7．求矩阵X ，满足*12A X A X -=+，其中111111111A 骣-琪琪=-琪琪-桫，A *是A 的伴随矩阵．8. 求齐次方程组的基础解系和通解 1234123412403300x x x x x x x x x x x ì--+=ïï---=íï-++=ïî9．设123(2,1,2,3,2),(10,5,5,11,3),(6,3,1,5,1)ααα=-=-=，)10,2,1,2,4(4-=α，求向量组的秩及其一个极大无关组．10. 已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2，求（1）求参数C ，（2）求一正交变换化二次型为标准形，（3）1f =表示何种二次曲面．11. 设矩阵112336224A -⎛⎫⎪=- ⎪-⎝⎭，求矩阵A 的不变因子，初等因子，若尔当标准形及最小多项式．三、证明题（每题10分，共30分）12. 证明：)(1)(1n n n x f x x f x -⇔-.13．设A 是n n ⨯矩阵(2)n ≥，证明：,()()1,()10,()1n r A n r A r A n r A n *=⎧⎪==-⎨<-⎪⎩当时当时当时14．设A 是n m ⨯阶矩阵，β是1⨯m 阶矩阵，证明：（1）())()(A r A A r A A r ='='；（2）线性方程组βA Ax A '='总有解。

第一章测试1.是的重根的充分必要条件是，而（）A:对B:错答案:A2.如果，那么。

（）A:对B:错答案:A3.任意两个多项式不一定有最大公因式.（）A:对B:错答案:B4.以下关于多项式的结论，哪一项是不正确的（）。

A:如果，那么B:如果，那么C:如果，那么D:如果，那么，有答案:C5.如果，且为与的组合，那么是与的一个最大公因式。

（）A:对B:错答案:A第二章测试1.A:B:；C:；D:答案:D2.对于任何一个矩阵，我们都可以求行列式. （）A:对B:错答案:B3.以下哪个选项是4级偶排列．A:4123；B:1324；C:4321；D:2341．答案:C4.如果我们已知四阶行列式D中第三列元素依次为-1，2，0，1，并且它们的代数余子式依次分别为5，3，-7，4，那么D的值为A:-5B:5C:15D:-15答案:D5.A:B:C:D:答案:D第三章测试1.如果是等价的向量组，那么有相同的秩。

（）A:错B:对答案:B2.A:错B:对答案:B3.任何n+1个n维向量不一定线性相关.（）A:对B:错答案:B4.A:向量组中任意个向量必定线性相关B:向量组中任意小于个向量的部分组线性无关C:向量组中任意个向量线性无关D:必定r<s答案:A5.A:对B:错答案:A第四章测试1.A:B:C:D:答案:B2.以下有关于初等矩阵的说法，正确的是（）A:所对应的行列式的值等于B:相加仍为初等方阵C:相乘仍为初等方阵D:都是可逆阵答案:D3.如果假设A、B、C都是n 阶方阵，那么下列哪个是正确的（）A:若A是非退化矩阵，从AB=AC可推出B=C；B:若BC，则必有ABACC:若A是非退化矩阵，则必有AB=BA；D:若AO，从AB=AC可推出B=C；答案:A4.以下选项中，哪个矩阵不是三阶初等矩阵（）A:B:C:D:答案:A5.A:或；B:；C:或；D:答案:C第五章测试1.若与都是对称矩阵，则也是对称矩阵。

《高等代数选讲》课程教学大纲课程编号：07202课程名称：高等代数选讲英文名称：Selected Topics of Advanced Algebra课程类型：专业课课程要求：选修学时/学分：32/2（讲课学时：32；实验学时：0；上机学时：0）开课学期：7适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学授课语言：中文课程网站：无一、课程性质与任务高等代数选讲是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的一门学科基础课；通过本门课程的教学，提高学生对已开设的代数类课程的思想、方法、技巧等方面的认识，进一步提高学生综合运用高等代数中的各种理论解决问题的能力，以满足学生进一步深造及今后工作的需要。

二、课程与其他课程的联系先修课程：《高等代数》，《近世代数》，《矩阵分析》，《泛函分析》三、课程教学目标1．通过本课程的学习，应使学生掌握高等代数的基本理论和知识、方法等。

掌握多项式理论及利用这一理论研究一元n次方程求根问题；熟练掌握行列式理论、矩阵理论及向量空间理论, 利用这些理论解决线性方程组的解的存在性问题、数量问题、解的结构(公式解,通解,一般解) 问题；掌握解决二次型标准化的方法，解决二次型相关问题；掌握线性变换理论及线性变换或矩阵的标准形问题；理解向量空间的进一步结果即欧氏空间，以及线性空间的不变子空间分解方法等内容。

巩固并提高学生的基础知识、专业知识和研究方法，使学生了解本专业及相关领域最新动态和发展趋势，使其能够利用代数学理论解决综合性的理论或实际问题。

（支撑毕业要求指标点4.1）2．培养学生的抽象思维能力、创造思维能力和计算能力，还要特别注意综合运用、分析解决实际问题能力的训练。

使学生具有综合运用代数的理论知识对实际问题进行建模，提高学生解决实际问题的能力。

培养学生独立思考、深入钻研问题的习惯，鼓励学生对同一问题提出多种解决方案，培养学生勇于创新的能力。

使部分有考研意愿的学生能够从容的应付研究生的入学考试。

《高等代数》精品课程考核办法高等代数作为学院精品课程，为使该课程考试达到预期的目的，提高考试的质量，从下面四个方面制度化，规范化。

一、命题原则1.命题必须以课程教学大纲为依据，以选定的教材为主要参考材料。

考试所涉及的基础知识、基本技能和能力不能超出大纲中规定的教学内容的范围和教学的水平层次。

2.试题内容不能违背数学的概念和原理，试题的条件应恰当，试题的结论应可行，条件与结论应是和谐的。

3.试题的取样应有代表性。

样本要能够体现测试的内容范围与要求，有较大的覆盖面，同时也要能够使各部分内容各占适当比例，并注意考查教学内容中的重点部分。

4.试题的数量要恰当，既要使大部分考生能在规定的时间内完成解答，又要使他们感到时间并不十分充裕。

5.试题的难度要合适。

试题的难度必须适合大多数被测试者的水平，要按由易到难的顺序编排试题，使按顺序的各题难度构成一个合适的坡度。

6.各个试题之间应保持相互独立。

不要使一个试题的解答对另外一个试题的解答有暗示作用。

7.试题一般应有多种解法。

要使某些试题有较好的解法，让部分被试者能充分展示他们的创造性思维能力。

8.试题的表述必须清楚明白。

试题中用词不能模棱两可，文句要简明扼要，示图图形要正确，对解题要求的叙述必须准确、明了。

9.题型应多样。

要有一定数量的客观性试题，也应有陈述性试题，各类题型所占的比例应恰当。

10.评分标准应合理。

试题的解答过程是可以量化的，其量化尺度是通过评分标准给出的，命题应用有利于制定清晰可辨、公平合理的评分标准。

二、认知水平要求认知水平根据教学目标划分为“识记、领会、简单应用、综合应用”四级水平。

考试的试题应按照这四级学习水平进行命题。

三、试题类型要求若全卷以100分计，则客观性试题应不超过40分；客观性试题可以每小题2-3分计。

四、成绩评定1.学期总评成绩计算方法平时、期中合计40%，期终60%。

2.阶段测验每学期中期，举行一次阶段测验，就上半学期学生对所学知识点的基本概念、基本证明、基本运算问题掌握程度进行考核，以检验教学效果，总结学习情况，寻找教与学中存在的问题和差距，从而达到促进教学改革、帮助学生改进学习方法，提高学习效果的目的。