(完整版)奥鹏福师201803《高等代数选讲》试卷A参考答案

高等代数（一）考试试卷一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。

错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24分）1. 以下乘积中（ ）是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项.A 、11223344a a a a .B 、14233142a a a a .C 、12233144a a a a .D 、23413214a a a a .2．行列式13402324a --中元素a 的代数余子式是（ ）.A 、0324-. B 、0324--. C 、1403-. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵，若AB O =，则正确的是（ ）. A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠.4．下列向量组中，线性无关的是（ ）.A 、{}0.B 、{},,αβ0.C 、{}12,,,r ααα，其中12m αα=.D 、{}12,,,r ααα，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合.5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<，则A 中（ ）.A 、必有r 个行向量线性无关.B 、任意r 个行向量线性无关.C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组.D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出.6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题（正确的打√，错误的打×，5小题，每小题2分，共10分）.1．若A 为n 阶矩阵，k 为非零常数，则kA k A =. （ ） 2．若两个向量组等价，则它们包含的向量个数相同. （ ） 3．对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变. （ ） 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. （ ） 5．任何数域都包含有理数域. （ ） 三、填空题（每空4分，共24分）.1．行列式000100200100D n n==- . 2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)αβ---=--=-，则α= ，(,)αβ= .3．矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦，则()r A = . 4．设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解，其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为s 和t ，则s 与t 的大小关系是 .5．设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，则1A B -= .四、计算题（4小题，共42分）1．计算行列式（1）111111111111a a a a；（2）111116541362516121612564.（每小题6分，共12分）2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解.（10分）3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组.（10分）4．求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根和特征向量.（10分）一、单选题（每题4分，共24分）二、判断题（每题2分，共10分）三、填空题（每空4分，共24分）1．(1)2(1)!n n n --⋅； 2．（1 （2）0；3．3； 4．s t =；5.351222312212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 四、计算题（共42分）1．（12分，每小题各6分） (1)解：11131111111111311111(3)111311111111311111a a a a a a a a a a a aa a a++==+++ ..............（3分）31111010(3)(3)(1)001001a a a a a a -=+=+--- ...................（3分）注：中间步骤形式多样，可酌情加分(2)解：222233331111111116541654136251616541216125641654=，此行列式为范德蒙行列式 ......（3分）进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654=------=-原式 .......（3分） 2．（10分）解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦1213211213210115410115410317740048510171163000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦..................（3分） 得同解方程组12345234534523215414851x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=-⎨⎪+-=-⎩取45,x x 为自由未知量，得方程的一般解为12345234534521321544185x x x x x x x x x x x x++=+-⎧⎪-=+-⎨⎪=--+⎩（其中45,x x 为自由未知量） 将450,0x x ==代入得特解01551(,,,0,0)444γ=--. ................（3分）用同样初等变换，得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩仍取45,x x 为自由未知量，得一般解12345234534523254485x x x x x x x x x x x x++=-⎧⎪-=-⎨⎪=-+⎩，将451,0x x ==和450,4x x ==分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- ...............（3分）所以，原方程组的全部解为01122k k γηη++，12,k k 为数域P 中任意数。

福师《高等代数选讲》在线作业一-0001试卷总分:100 得分:100一、判断题(共50 道试题,共100 分)1.若n阶方阵A可对角化，则A有n个线性无关的特征向量答案:正确2.答案:正确3.答案:错误4.若f(x)|g(x)h(x)，则有f(x)|g(x)或f(x)|h(x)答案:错误5.n阶矩阵A的行列式等于A的全部特征根的乘积答案:正确6.若排列abcd为奇排列，则排列badc为偶排列．答案:错误7.答案:正确8.试题如图{图}答案:错误9.答案:错误10.设V是一个n维向量空间，W是V的一个子空间，则dimW≤n答案:正确11.答案:错误12.答案:错误13.如果α1,α2,…，αr线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合答案:正确14.答案:错误15.合同的两个矩阵的秩不一定相等。

答案:错误16.答案:错误17.答案:错误18.正交矩阵的伴随矩阵也是正交矩阵答案:正确19.初等变换把一个线性方程组变成一个与它同解的线性方程组答案:正确20.等价向量组的秩相等答案:正确21.答案:正确22.零多项式与f(x)的最大公因式是f(x)答案:正确23.排列（1，2，3，4，...,2006)是一个偶排列答案:正确24.答案:错误25.数域P上的任何多项式的次数都大于或等于0答案:错误26.齐次线性方程组解的线性组合还是它的解．答案:正确27.设A为n阶正交矩阵，则A的实特征值是1或-1.答案:正确28.双射既是单射也是满射答案:正确29.当线性方程组无解时，它的导出组也无解．答案:错误30.答案:错误31.若n阶矩阵A存在一个r阶子式不为零则A的秩必然大于等于r 答案:正确32.答案:正确33.答案:正确34.在矩阵的初等变换下行列式的值不变答案:错误35.(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)构成为3维向量空间的一个基答案:正确36.答案:错误37.答案:正确38.答案:正确39.答案:错误40.答案:错误41.相似矩阵有相同的特征多项式。

福师《高等代数选讲》在线作业一
一、判断题（共50 道试题，共100 分。

）
1. 对于任意矩阵，它的行空间的维数等于列空间的维数
A. 错误
B. 正确
——————选择：B
2. n阶方阵A，有|kA|=k|A|，k为一正整数
A. 错误
B. 正确
——————选择：A
3. n阶矩阵A的行列式等于A的全部特征根的乘积
A. 错误
B. 正确
——————选择：B
4. 两个等价的向量组，一定包含相同个数的向量。

A. 错误
B. 正确
——————选择：A
5. 初等变换不改变矩阵的秩。

A. 错误
B. 正确
——————选择：B
6. 双射既是单射也是满射
A. 错误
B. 正确
——————选择：B
7. 如果A是正交矩阵，k为实数，要使kA为正交矩阵，则k等于1或-1
A. 错误
B. 正确
——————选择：B
8. 若排列abcd为奇排列，则排列badc为偶排列．
A. 错误
B. 正确
——————选择：A
9. 若方阵A、B满足AB=BA，则有A^2-B^2=(A+B)(A-B)
A. 错误
B. 正确
——————选择：B
10. 二次型为正定的充要条件是秩和符号差都为n
A. 错误。

1 1 n 1 42 n i 福建师范大学网络教育学院《高等代数选讲》 期末考试 A 卷学习中心 专业学号 姓名 成绩一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分）1. 设 A , B 是n 阶方阵， k 是一正整数，则必有（D)(A ) )( AB )k = A k B k ；(B ) - A = - A ；(C ) (C )A 2 -B 2= ( A - B )( A + B ) ；(D ) (D )AB = B A 。

2. 设 A 为m ⨯ n 矩阵， B 为n ⨯ m 矩阵，则（ A ）。

( A ) 若m > n ，则 AB = 0 ；(B ) 若m < n ，则 AB = 0 ；(C ) 若m > n ，则 AB ≠ 0 ；(D ) 若m < n ，则 AB ≠ 0 ；3. R n 中下列子集是R n 的子空间的为（ A ）．( A )W = {[a , 0, , 0, a ] a , a ∈ R 3}(B ) W = ⎧, a ] a ∈ R 3, i = 1, 2, , n , ∑a = ⎫ 2 ⎨[a 1 , a 2 , n i ⎩ ⎧ 3 i i =1n 1⎬ ； ⎭ ⎫(C )W 3 = ⎨[a 1 , a 2 , , a n ] a i ∈ R , i = 1, 2, , n , ∏a i = 1⎬ ；，(D ) ⎩ W = {[1, a , , a ] i =1 ⎭a ∈ R 3, i = 2, 3, , n }4. 3 元非齐次线性方程组 Ax = b ， 秩 r ( A ) = 2 ， 有 3 个解向量 1,2 ,3 ，-= (1, 0, 0)T ， a += (2, 4, 6)T ，则 Ax = b 的一般解形式为（C ）.2312n n。

1（A ） (2, 4, 6)T + k (1, 0, 0)T ， k 为任意常数11（B ） (1, 2,3)T + k (1, 0, 0)T ， k 为任意常数11（C ） (1, 0, 0)T + k (2, 4, 6)T ， k 为任意常数1（D ） (1, 0, 0)T + k (1, 2,3)T ， k 为任意常数115. 已知矩阵 A 的特征值为1, -1, 2 ，则 A -1 的特征值为（ D）( A ) 1, -1, 2 ；( B ) 2, -2, 4 ； (C ) 1, -1, 0 ；( D ) 1, -1,1。

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福师《高等代数选讲》在线作业一
一、判断题（共 50 道试题，共 100 分。

）
1. 合同的两个矩阵的秩不一定相等。

A. 错误
B. 正确
参考标准答案：A
2. 交换行列式的两列，行列式的值不变
A. 错误
B. 正确
参考标准答案：A
3. 如果A是正交矩阵，k为实数，要使kA为正交矩阵，则k等于1或-1
A. 错误
B. 正确
参考标准答案：B
4. 对矩阵A,B,r(AB)=r(A)r(B)
A. 错误
B. 正确
参考标准答案：A
5. 两个有限维向量空间同构的充要条件是维数相同.
A. 错误
B. 正确
参考标准答案：B
6. 实对称矩阵的特征根一定是实数。

A. 错误
B. 正确
参考标准答案：B
7. 对于同阶矩阵A、B，秩（A+B)≤秩（A)+秩（B）
A. 错误
B. 正确
参考标准答案：B
8. 设V是一个n维向量空间，W是V的一个子空间，则dimW≤n
A. 错误
B. 正确
参考标准答案：B。

福建师范大学网络教育学位考试《高等代数选讲》学习小结论文小结《高等代数选讲》学习小结《高等代数》是数学学科的一门传统课程。

在当今世界的数学内部学科趋于统一性和数学在其他学科的广泛应用性的今天，《高等代数》以追求内容结构的清晰刻画和作为数学应用的基础，是数学各个专业的主干基础课程。

它是数学在其它学科应用的必需基础课程，又是数学修养的核心课程。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。

它是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。

这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。

通过学习后，我们知道，不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。

因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。

刚刚开始接触到高等代数的时候，对它一无所知，仅仅听其它同学谈论过线性代数这门课程。

在学习之前，我一直认为高等代数就是线性代数。

经过学习后，我发现，这两者之间区别还是挺大的。

高等代数是我们数学专业开设的专业课，更注重理论的分析，需要搞懂许多概念是怎么来的，而线性代数，只是一种运算工具，是供工科和部分医科专业开设的课程，更加注重应用。

经过课程和书本的学习，我对高等代数里面的知识有了个初步的认识和接触，特别是高等代数的一些思想，也从中收获不少。

下面就对高等代数的学习做一个回顾和总结。

一、行列式行列式是代数学中的一个基本概念，它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且还广泛的应用于数学及其他科学技术领域定义：设A=（a ij）为数域F上的n×n矩阵，规定A的行列式为|A|=∑(?1)τ(j1j2?j n)a1j1a2j2?a njnj1j2…j n其中，i1i2?i n为1,2，…，n的一个排列。

数学与应用数学2010级《高等代数选讲》试卷（考查A ）参考答案及评分标准 第1页 （共3页）玉林师范学院期末课程考试试题参考答案及评分标准（2012——2013学年度第二学期）命题教师：凌征球 命题教师所在学院：数信学院 试卷类型：（考查A ） 课程名称：高等代数选讲 考试专业： 数学(本)科 考试年级：2010一、证明：设11-+n x的n+1个根为 nεεε,,,,12 ，其中12sin 12cos+++=n i n ππε，且11=+n ε。

于是 )())((12n n x x x x x εεε---=+++ , …… 4分其中n εεε,,,2 互不相同，且记为n n εεεεεε===,,,221 。

由假设可得到齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---------0)1()1()1()1( 0)1()1()1()1(0)1()1()1()1(122111222211211221111n n n n n n n n n n n n n n n f f f f f f f f f f f f εεεεεεεεε …… 4分 由范德蒙行列式可知该齐次线性方程组的系数行列式D 不等于0，所以方程组只有零解，即 0)1(...)1()1(21====n f f f 。

…… 4分 二、解：构造n+1阶的范得蒙行列式nnnnnn nxx x x x x x x xx x x x f ..................... (1)1 (11))(2122222121=， …… 2分 将)(x f 按第1+n 列展开得n n n n n n x A x A x A A x f 1,121,31,21,1)(++++++++= ， …… 2分其中x 的系数是 n n n n n D D A 1121,2)1()1(++++-=-=. …… 2分又根据范得蒙行列式的结果知∏≥>≥----=121)()())(()(j i n jin x x x x x x x x x f 。

《高等代数选讲》期末考试一、单项选择题（每小题4分，共20分）2 3 4 5A A C D1．设,A B是n阶方阵，k是一正整数，则必有（）() ()k k kA AB A B=；()B A A-=-；22()()()C A B A B A B-=-+；()D AB B A=。

2．设A为m n⨯矩阵，B为n m⨯矩阵，则（）。

()A若m n>，则0AB=；()B若m n<，则0AB=；()C若m n>，则0AB≠；()D若m n<，则0AB≠；3．nR中下列子集是n R的子空间的为（）．(){}3111[,0,,0,],n nA W a a a a=∈R()32121[,,,],1,2,,,1nn i iiB W a a a a i n a=⎧⎫=∈==⎨⎬⎩⎭∑R；()33121[,,,],1,2,,,1nn i iiC W a a a a i n a=⎧⎫=∈==⎨⎬⎩⎭∏R；，4．3元非齐次线性方程组Ax b=，秩()2r A=，有3个解向量123,,ααα，23(1,0,0)Tαα-=，12(2,4,6)Taα+=，则Ax b=的一般解形式为（）.（A）1(2,4,6)(1,0,0)T Tk+，1k为任意常数（B）1(1,2,3)(1,0,0)T Tk+，1k为任意常数（C）1(1,0,0)(2,4,6)T Tk+，1k为任意常数（D）1(1,0,0)(1,2,3)T Tk+，1k为任意常数5．已知矩阵A的特征值为1,1,2-，则1A-的特征值为（）()A1,1,2-；()B2,2,4-；()C1,1,0-；()D11,1,2-。

二、填空题（共20分）1．（6分）计算行列式222111234234=2；3200120002321244=16。

2．（4分）设4441132145333222354245613D=，则212223A A A++=0；2425A A+=0。

《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。

A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。

A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。

A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。

A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。

A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nnA A A A A A A A A =( ) 。

一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分）1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。

2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为__________________。

3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。

4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。

5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。

6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。

7．在22P ⨯中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。

8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ⊆，若12dim dim V V =，则_____________________。

9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。

10．向量α在基12,,,n ααα⋅⋅⋅（1）与基12,,,n βββ⋅⋅⋅（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。

二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分）1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。

（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()10V V σσ-+=。

（ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。

（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++⋅⋅⋅+=与12n x x x ==⋅⋅⋅=的解空间，则12n V V P ⊕= （ ）5．2211nn i i i i n x x ==⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑为正定二次型。

1.A.错误B.正确【参考答案】: B2.A.错误B.正确【参考答案】: B3.合同的两个矩阵的秩不一定相等。

A.错误B.正确【参考答案】: A4.A.错误B.正确【参考答案】: A5.A.错误B.正确【参考答案】: A6.A.错误B.正确7.A.错误B.正确【参考答案】: A8.A.错误B.正确【参考答案】: B9.若f(x)|g(x)h(x)，则有f(x)|g(x)或f(x)|h(x)A.错误B.正确【参考答案】: A10.零多项式与f(x)的最大公因式是f(x)A.错误B.正确【参考答案】: B11.两个矩阵A与B，若A*B=0则一定有A=0或者B=0A.错误B.正确【参考答案】: A12.A.错误B.正确13.矩阵的乘法不满足交换律，也不满足消去律。

A.错误B.正确【参考答案】: B14.若矩阵A的秩是r，则A的所有高于r 级的子式（如果有的话）全为零．A.错误B.正确【参考答案】: B15.只有可逆矩阵，才存在伴随矩阵A.错误B.正确【参考答案】: A16.正交矩阵的行列式等于1或-1A.错误B.正确【参考答案】: B17.A.错误B.正确【参考答案】: A18.A.错误B.正确【参考答案】: B19.A.错误B.正确【参考答案】: B20.两个对称矩阵不一定相似。

A.错误B.正确【参考答案】: B21.若排列abcd为奇排列，则排列badc为偶排列．A.错误B.正确【参考答案】: A22.A.错误B.正确【参考答案】: A23.A.错误B.正确【参考答案】: B24.实对称矩阵的特征根一定是实数。

A.错误B.正确【参考答案】: B25.初等变换把一个线性方程组变成一个与它同解的线性方程组A.错误B.正确【参考答案】: B26.如果A是正交矩阵，k为实数，要使kA为正交矩阵，则k等于1或-1A.错误B.正确【参考答案】: B27.齐次线性方程组永远有解A.错误B.正确【参考答案】: B28.A.错误B.正确【参考答案】: B29.初等变换不改变矩阵的秩。

学科数学高代真题答案解析一、概述学科数学高等代数是大学数学重要的学科之一，它涵盖了线性代数和矩阵理论、群论、环论等内容。

在学习高等代数时，解答真题是提高自己理论和实践水平的有效方法。

本文将对几道高等代数的真题进行答案解析，旨在帮助读者理解和掌握高等代数知识。

二、真题解析1. 题目：设A为n阶方阵，且满足A² + 2A + I = O（其中I表示n阶单位矩阵，O表示全零矩阵）。

证明：对于任意正整数k，都有A^k = (-1)^k * (2^k - 1) * A。

解析：首先，将A² + 2A + I = O两边同时乘以（A-2I），得到（A-2I）(A² + 2A + I) = O。

展开右边的乘积，得到(A-2I)A² + (A-2I)2A + (A-2I)I = O。

化简得A³ - 4A² + 3A - 2A² - 4A + 2I + A - 2I = O。

合并同类项得A³ - 6A² = O。

接下来，我们可以使用数学归纳法证明对于任意正整数k，都有A^k = (-1)^k * (2^k - 1) * A。

首先，当k=1时，显然成立。

假设当k=m时，A^m = (-1)^m * (2^m - 1) * A成立。

现在我们要证明当k=m+1时，也成立。

利用矩阵乘积的性质，有A^(m+1) = A^m * A。

将假设公式代入，得到A^(m+1) = (-1)^m * (2^m - 1) * A * A。

由于上一步中我们已经证明了A³ - 6A² = O，所以可以将A²替换为6A。

化简得到A^(m+1) = (-1)^m * (2^m - 1) * 6A * A。

继续化简得到A^(m+1) = (-1)^m * (2^m - 1) * 6A²。

再次利用A³ - 6A² = O，得到A^(m+1) = (-1)^m * (2^m - 1) * 6O。

福师《高等代数选讲》在线作业二-0003
试卷总分:100 得分:100
一、判断题(共50 道试题,共100 分)
1.n阶方阵A，有|kA|=k|A|，k为一正整数
答案:错误
2.
答案:正确
3.
答案:正确
4.两个对称矩阵不一定相似。

答案:正确
5.
答案:正确
6.两个等价的向量组，一定包含相同个数的向量。

答案:错误
7.
答案:错误
8.若排列abcd为奇排列，则排列badc为偶排列．
答案:错误
9.若f(x), g(x), u(x), v(x) 都是F[x] 中的多项式, 且u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1,则(f(x), g(x)) = 1. 答案:正确
10.若n阶方阵A可对角化，则A有n个线性无关的特征向量
答案:正确
11.双射既是单射也是满射
答案:正确
12.
答案:正确
13.试题如图{图}
答案:错误
14.
答案:错误。

福师《高等代数选讲》在线作业二-0004试卷总分:100 得分:100一、判断题(共50 道试题,共100 分)1.若n阶方阵A的行列式等于0，则A的行向量是线性相关的答案:正确2.答案:错误3.答案:正确4.答案:错误5.在矩阵的初等变换下行列式的值不变答案:错误6.双射既是单射也是满射答案:正确7.合同的两个矩阵的秩不一定相等。

答案:错误8.答案:错误9.答案:错误10.若排列abcd为奇排列，则排列badc为偶排列．答案:错误11.答案:错误12.答案:正确13.n阶方阵A与一切n阶方阵可交换，则A是对角阵答案:正确14.只有可逆矩阵，才存在伴随矩阵答案:错误15.在全部n（n>1）级排列中，奇排列的个数为n!/2．答案:正确16.答案:正确17.答案:正确18.有理数域上任意次不可约多项式都存在答案:正确19.x^2-2在有理数域上不可约答案:正确20.答案:正确21.答案:正确22.答案:错误23.答案:正确24.答案:错误25.初等变换把一个线性方程组变成一个与它同解的线性方程组答案:正确26.若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比例．答案:错误27.答案:正确28.答案:错误29.实对称矩阵的特征根一定是实数。

答案:正确30.零多项式与f(x)的最大公因式是f(x)答案:正确31.若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比例．答案:错误32.n阶方阵A，有|kA|=k|A|，k为一正整数答案:错误33.答案:错误34.排列（1，2，3，4，...,2006)是一个偶排列答案:正确35.n阶矩阵A的行列式等于A的全部特征根的乘积答案:正确36.两个矩阵A与B，若A*B=0则一定有A=0或者B=0答案:错误37.答案:正确38.对n个未知量n个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无解．答案:错误39.答案:错误40.答案:正确41.答案:正确42.答案:正确43.答案:错误44.答案:正确45.对n个未知量n个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无解．答案:错误46.答案:错误47.相似关系和合同关系都是矩阵之间的等价关系，二者是一回事答案:错误48.正交矩阵的伴随矩阵也是正交矩阵答案:正确49.对矩阵A,B,r(AB)=r(A)r(B)答案:错误50.有理数域是最小的数域答案:正确。

福师大2020年8月近世代数期末试卷A 试题参考答案一、判断题1. 剩余类环5中没有非零的零因子; ×2. 群中指数为2的子群一定是正规子群 √3. 已知H 是有限群G 的子群, ||G 和||H 分别表示G 和H 的元素个数,则 ||H 不一定能整除 ||G √4. 数域上的全矩阵环不是单环; ×5. 环中理想的乘积还是理想; √二、计算证明题1.设Z 是整数集,规定3a b a b •=+-,证明：Z 关于所定义的 运算构成交换群;()()()()()()()()()()()1,,32,66,3,,3=4,,33335,6•66336,a b Z a b a b ZZ a b Z a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b Z a b a b b a a b Z a a a a Z a Za a a a a a Z ∀∈•=+-∈•∀∈••=++-••=++-∴••=••∀∈•=+-•∀∈•=+-=∴∀∈-∈-=+--=∴-∴•答：对所以“”在上构成代数运算；对，有满足结合律对满足交换律对有为单位元对有使得为的逆元构成交换群。

2. 在四元对称群4S 中,设(12)(34),(1234)αβ==.(1) 写出11βα--的轮换分解式即将11βα--写成一些互不相交的轮换的乘积;(2) 设集合14{|}T S αγαγγ-=∈, 试写出T α中全部元素用轮换分解式表示;(3)(4) 答：()()()()()()()()()()()()()()(){}11112423414131234213,14,23,124123234,12T αβα--==答： 3. 有一队士兵, 三三数余二, 五五数余一, 七七数余三. 问: 这队士兵有多少人 试求最小正整数解. 要写出解题过程,,16,38226,33mod 32mod 51mod 731211.,1,79366743+10=1061m m m m m ⨯=⨯⨯⨯⨯==∴答：设这队士兵有人根据三三数之余二要保证个位数是或者只能是＋＝或者＋＝根据七七数之余三要保证个位数是或者6只能是＋＝或＋＝31只有：317符合题意。

福师《高等代数选讲》在线作业一-0003 A:错误 B:正确答案：B A:错误 B:正确答案：B n阶方阵A，有|kA|=k|A|，k为一正整数 A:错误 B:正确答案：A A:错误 B:正确答案：BA:错误 B:正确答案：A A:错误 B:正确答案：B A:错误 B:正确答案：A 数域P上的任何多项式的次数都大于或等于0 A:错误 B:正确答案：A 实对称矩阵的特征根一定是实数。

A:错误 B:正确答案：B n阶方阵A与一切n阶方阵可交换，则A是对角阵 A:错误 B:正确答案：B 矩阵的乘法不满足交换律，也不满足消去律。

A:错误 B:正确答案：BA:错误 B:正确答案：B A:错误 B:正确答案：AA:错误 B:正确答案：B (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)构成为3维向量空间的一个基 A:错误B:正确答案：BA:错误 B:正确答案：AA:错误 B:正确答案：BA:错误 B:正确答案：B 相似关系和合同关系都是矩阵之间的等价关系，二者是一回事 A:错误 B:正确答案：AA:错误 B:正确答案：A 两个有限维向量空间同构的充要条件是维数相同. A:错误 B:正确答案：B 对n个未知量n个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无解． A:错误 B:正确答案：AA:错误 B:正确答案：A 初等变换不改变矩阵的秩。

A:错误 B:正确答案：BA:错误 B:正确答案：AA:错误 B:正确答案：A 若排列abcd为奇排列，则排列badc为偶排列． A:错误 B:正确答案：A 齐次线性方程组永远有解A:错误 B:正确答案：BA:错误 B:正确答案：B 相似矩阵有相同的特征多项式。

A:错误 B:正确答案：B 若n阶方阵A可对角化，则A有n个线性无关的特征向量 A:错误 B:正确答案：B 若f(x), g(x), u(x), v(x) 都是F[x] 中的多项式, 且 u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1,则 (f(x),。