福建师范大学《高等代数选讲》A卷答案(可编辑修改word版)

福师《高等代数选讲》在线作业一-0001试卷总分:100 得分:100一、判断题(共50 道试题,共100 分)1.若n阶方阵A可对角化，则A有n个线性无关的特征向量答案:正确2.答案:正确3.答案:错误4.若f(x)|g(x)h(x)，则有f(x)|g(x)或f(x)|h(x)答案:错误5.n阶矩阵A的行列式等于A的全部特征根的乘积答案:正确6.若排列abcd为奇排列，则排列badc为偶排列．答案:错误7.答案:正确8.试题如图{图}答案:错误9.答案:错误10.设V是一个n维向量空间，W是V的一个子空间，则dimW≤n答案:正确11.答案:错误12.答案:错误13.如果α1,α2,…，αr线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合答案:正确14.答案:错误15.合同的两个矩阵的秩不一定相等。

答案:错误16.答案:错误17.答案:错误18.正交矩阵的伴随矩阵也是正交矩阵答案:正确19.初等变换把一个线性方程组变成一个与它同解的线性方程组答案:正确20.等价向量组的秩相等答案:正确21.答案:正确22.零多项式与f(x)的最大公因式是f(x)答案:正确23.排列（1，2，3，4，...,2006)是一个偶排列答案:正确24.答案:错误25.数域P上的任何多项式的次数都大于或等于0答案:错误26.齐次线性方程组解的线性组合还是它的解．答案:正确27.设A为n阶正交矩阵，则A的实特征值是1或-1.答案:正确28.双射既是单射也是满射答案:正确29.当线性方程组无解时，它的导出组也无解．答案:错误30.答案:错误31.若n阶矩阵A存在一个r阶子式不为零则A的秩必然大于等于r 答案:正确32.答案:正确33.答案:正确34.在矩阵的初等变换下行列式的值不变答案:错误35.(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)构成为3维向量空间的一个基答案:正确36.答案:错误37.答案:正确38.答案:正确39.答案:错误40.答案:错误41.相似矩阵有相同的特征多项式。

福建师范大学网络教育学位考试《高等代数选讲》学习小结论文小结《高等代数选讲》学习小结《高等代数》是数学学科的一门传统课程。

在当今世界的数学内部学科趋于统一性和数学在其他学科的广泛应用性的今天，《高等代数》以追求内容结构的清晰刻画和作为数学应用的基础，是数学各个专业的主干基础课程。

它是数学在其它学科应用的必需基础课程，又是数学修养的核心课程。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。

它是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。

这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。

通过学习后，我们知道，不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。

因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。

刚刚开始接触到高等代数的时候，对它一无所知，仅仅听其它同学谈论过线性代数这门课程。

在学习之前，我一直认为高等代数就是线性代数。

经过学习后，我发现，这两者之间区别还是挺大的。

高等代数是我们数学专业开设的专业课，更注重理论的分析，需要搞懂许多概念是怎么来的，而线性代数，只是一种运算工具，是供工科和部分医科专业开设的课程，更加注重应用。

经过课程和书本的学习，我对高等代数里面的知识有了个初步的认识和接触，特别是高等代数的一些思想，也从中收获不少。

下面就对高等代数的学习做一个回顾和总结。

一、行列式行列式是代数学中的一个基本概念，它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且还广泛的应用于数学及其他科学技术领域定义：设A=（a ij）为数域F上的n×n矩阵，规定A的行列式为|A|=∑(?1)τ(j1j2?j n)a1j1a2j2?a njnj1j2…j n其中，i1i2?i n为1,2，…，n的一个排列。

2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一、填空（共40分，每小题4分）1.向量空间n P 的子空间12112{(,,,,0)0,}n k W x x x x x x P -=+=∈的维数为____________,它的一组基为__________________．2.已知111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵2125312A a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量，则_______,_______a b ==特征向量α对应的特征值0___________λ=．3.k 满足___________时，二次型22212312132(1)22f x x k x kx x x x =--+---是负定的。

4.设矩阵20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与10002000B y -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则_________,________x y ==．5.在空间[]n P x 中，设变换σ为()(1)()f x f x f x →+-，则σ在基0(1)(1)1,(1,2,1)!i x x x i i n i εε--+===-下的矩阵为____________________．6.相似矩阵的特征值__________.7.向量)1,3,2,4(),4,3,2,1(==βα,则内积=),(βα___________. 8.若A 是实对称矩阵,则 A 的特征值为____________.9.n 元实二次型),,,(21n x x x f 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于___________________.10.对于线性空间V 中向量)1(,,,21≥r r ααα ,若在数域P 中有r 个不全为零的数r k k k ,,,21 ,使02211=+++r r k k k ααα ,则向量r ααα,,,21 称为_________.二、（15分）设V 是实数域上由矩阵A 的全体实系数多项式组成的空间，其中2100100,200A ωωω⎛⎫- ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,求V 的维数和一组基.三、（15分）用非退化线性替换化二次型22212312132322448x x x x x x x x x ---++为标准形.四、（15分）在4P 中，求由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵，并求向量ξ在基1234,,,ηηηη下的坐标，设(1,0,1,0)ξ=1234(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)εεεε=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩； 1234(2,1,1,1)(0,3,1,0)(5,3,2,1)(6,6,1,3)ηηηη=-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩.五、（15分）设1234,,,εεεε是四维线性空间V 的一组基，已知线性变换σ在这组基下的矩阵为1021121312552212⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪--⎝⎭ 1）求σ在基11242234334442,3,,2ηεεεηεεεηεεηε=-+=--=+=下的矩阵； 2）求σ的核与值域.2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A 答案一、填空（共40分，每小题4分）1、向量空间n P 的子空间12112{(,,,,0)0,}n k W x x x x x x P -=+=∈的维数为__2n -__________,它的一组基为122(1,1,0,,0,0),(0,0,1,,0,0),,(0,0,0,,1,0)n εεε-=-==_。

(判断题) 1:A: 错误B: 对旳(判断题) 2: 若f(x), g(x), u(x), v(x) 都是F[x] 中旳多项式, 且 u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1,则 (f(x), g(x)) = 1.A: 错误B: 对旳(判断题) 3:A: 错误B: 对旳(判断题) 4:A: 错误B: 对旳(判断题) 5: 零多项式与f(x)旳最大公因式是f(x)A: 错误B: 对旳(判断题) 6: 若排列abcd为奇排列，则排列badc为偶排列．A: 错误B: 对旳(判断题) 7:A: 错误B: 对旳(判断题) 8:A: 错误B: 对旳(判断题) 9:A: 错误B: 对旳(判断题) 10: 对n个未知量n个方程旳线性方程组，当它旳系数行列式等于0时，方程组一定无解．A: 错误B: 对旳(判断题) 11: 互换行列式旳两列，行列式旳值不变A: 错误B: 对旳(判断题) 12: 若n阶矩阵A存在一种r阶子式不为零则A旳秩必然不小于等于rA: 错误B: 对旳(判断题) 13:A: 错误B: 对旳(判断题) 14:A: 错误B: 对旳(判断题) 15:A: 错误B: 对旳(判断题) 16:A: 错误B: 对旳(判断题) 17:A: 错误B: 对旳(判断题) 18: 设V是一种n维向量空间，W是V旳一种子空间，则dimW≤n A: 错误B: 对旳(判断题) 19:A: 错误B: 对旳(判断题) 20:A: 错误B: 对旳(判断题) 21:A: 错误B: 对旳(判断题) 22:A: 错误B: 对旳(判断题) 23: n阶方阵A与一切n阶方阵可互换，则A是对角阵A: 错误B: 对旳(判断题) 24: n阶矩阵A旳行列式等于A旳所有特性根旳乘积A: 错误B: 对旳(判断题) 25:A: 错误B: 对旳(判断题) 26:A: 错误B: 对旳(判断题) 27: 若一组向量线性有关，则至少有两个向量旳分量成比例．A: 错误B: 对旳(判断题) 28:A: 错误B: 对旳(判断题) 29: 相似关系和合同关系都是矩阵之间旳等价关系，两者是一回事A: 错误B: 对旳(判断题) 30:A: 错误B: 对旳(判断题) 31:A: 错误B: 对旳(判断题) 32:A: 错误B: 对旳(判断题) 33: 排列（1，2，3，4，...,)是一种偶排列A: 错误B: 对旳(判断题) 34: 齐次线性方程组解旳线性组合还是它旳解．A: 错误B: 对旳(判断题) 35:A: 错误B: 对旳(判断题) 36: 二次型为正定旳充要条件是秩和符号差都为n A: 错误B: 对旳(判断题) 37:A: 错误B: 对旳(判断题) 38:A: 错误B: 对旳(判断题) 39:A: 错误B: 对旳(判断题) 40: n阶实对称矩阵属于不同特性根旳特性向量彼此正交A: 错误B: 对旳(判断题) 41: 若排列abcd为奇排列，则排列badc为偶排列．A: 错误B: 对旳(判断题) 42: (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)构成为3维向量空间旳一种基A: 错误B: 对旳(判断题) 43: 数域P上旳任何多项式旳次数都不小于或等于0A: 错误B: 对旳(判断题) 44:A: 错误B: 对旳(判断题) 45: 当线性方程组无解时，它旳导出组也无解．A: 错误B: 对旳(判断题) 46:A: 错误B: 对旳(判断题) 47: 双射既是单射也是满射A: 错误B: 对旳(判断题) 48: 欧氏空间中旳正交向量组一定线性无关A: 错误B: 对旳(判断题) 49: 对矩阵A,B,r(AB)=r(A)r(B)A: 错误B: 对旳(判断题) 50: 有理数域是最小旳数域A: 错误B: 对旳。

1.若方阵A、B满足AB=BA，则有A^2-B^2=(A+B)(A-B)A.错误B.正确【参考答案】: B2.A.错误B.正确【参考答案】: B3.A.错误B.正确【参考答案】: B4.二次型为正定的充要条件是秩和符号差都为nA.错误B.正确【参考答案】: B5.n阶方阵A，有|kA|=k|A|，k为一正整数A.错误B.正确【参考答案】: A6.交换行列式的两列，行列式的值不变A.错误B.正确【参考答案】: A7.相似关系和合同关系都是矩阵之间的等价关系，二者是一回事A.错误B.正确8.A.错误B.正确【参考答案】: B9.A.错误B.正确【参考答案】: A10.若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比例．A.错误B.正确【参考答案】: A11.若n阶方阵A的行列式等于0，则A的行向量是线性相关的A.错误B.正确【参考答案】: B12.A.错误B.正确【参考答案】: A13.如果A是正交矩阵，k为实数，要使kA为正交矩阵，则k等于1或-1A.错误B.正确14.零多项式与f(x)的最大公因式是f(x)A.错误B.正确【参考答案】: B15.四阶矩阵A的所有元素都不为0，则r(A)=4A.错误B.正确【参考答案】: A16.A.错误B.正确【参考答案】: B17.A.错误B.正确【参考答案】: B18.A.错误B.正确【参考答案】: A19.有理数域是最小的数域【参考答案】: B20.若f(x)|g(x)h(x)，则有f(x)|g(x)或f(x)|h(x)A.错误B.正确【参考答案】: A21.A.错误B.正确【参考答案】: A22.若n阶矩阵A存在一个r阶子式不为零则A的秩必然大于等于rA.错误B.正确【参考答案】: B23.试题如图A.错误B.正确【参考答案】: A24.若矩阵A的秩是r，则A的所有高于r 级的子式（如果有的话）全为零．A.错误B.正确【参考答案】: B25.【参考答案】: B26.A.错误B.正确【参考答案】: B27.A.错误B.正确【参考答案】: A28.A.错误B.正确【参考答案】: B29.合同的两个矩阵的秩不一定相等。

一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分）1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。

2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为__________________。

3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。

4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。

5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。

6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。

7．在22P ⨯中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。

8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ⊆，若12dim dim V V =，则_____________________。

9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。

10．向量α在基12,,,n ααα⋅⋅⋅（1）与基12,,,n βββ⋅⋅⋅（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。

二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分）1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。

（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()10V V σσ-+=。

（ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。

（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++⋅⋅⋅+=与12n x x x ==⋅⋅⋅=的解空间，则12n V V P ⊕= （ ）5．2211nn i i i i n x x ==⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑为正定二次型。

1.A.错误B.正确【参考答案】: B2.A.错误B.正确【参考答案】: B3.合同的两个矩阵的秩不一定相等。

A.错误B.正确【参考答案】: A4.A.错误B.正确【参考答案】: A5.A.错误B.正确【参考答案】: A6.A.错误B.正确7.A.错误B.正确【参考答案】: A8.A.错误B.正确【参考答案】: B9.若f(x)|g(x)h(x)，则有f(x)|g(x)或f(x)|h(x)A.错误B.正确【参考答案】: A10.零多项式与f(x)的最大公因式是f(x)A.错误B.正确【参考答案】: B11.两个矩阵A与B，若A*B=0则一定有A=0或者B=0A.错误B.正确【参考答案】: A12.A.错误B.正确13.矩阵的乘法不满足交换律，也不满足消去律。

A.错误B.正确【参考答案】: B14.若矩阵A的秩是r，则A的所有高于r 级的子式（如果有的话）全为零．A.错误B.正确【参考答案】: B15.只有可逆矩阵，才存在伴随矩阵A.错误B.正确【参考答案】: A16.正交矩阵的行列式等于1或-1A.错误B.正确【参考答案】: B17.A.错误B.正确【参考答案】: A18.A.错误B.正确【参考答案】: B19.A.错误B.正确【参考答案】: B20.两个对称矩阵不一定相似。

A.错误B.正确【参考答案】: B21.若排列abcd为奇排列，则排列badc为偶排列．A.错误B.正确【参考答案】: A22.A.错误B.正确【参考答案】: A23.A.错误B.正确【参考答案】: B24.实对称矩阵的特征根一定是实数。

A.错误B.正确【参考答案】: B25.初等变换把一个线性方程组变成一个与它同解的线性方程组A.错误B.正确【参考答案】: B26.如果A是正交矩阵，k为实数，要使kA为正交矩阵，则k等于1或-1A.错误B.正确【参考答案】: B27.齐次线性方程组永远有解A.错误B.正确【参考答案】: B28.A.错误B.正确【参考答案】: B29.初等变换不改变矩阵的秩。

福师09秋学期《高等代数选讲》考试复习题一本复习题页码标注所用教材为：高等代数19.50主张禾瑞、郝丙新2007年第5版高等教育出版社书如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点一、单项选择题（每小题4分，共20分）1．设,A B 是n 阶方阵，k 是一正整数，则必有（ ）() ()k k k A AB A B =； ()B kA k A =；22()()()C A B A B A B -=-+； ()D AB A B =。

考核知识点：矩阵的运算，参见P178-181； 行列式的性质，参见P113； 矩阵乘积的行列式，参见P197； 2.设D 是一个n 阶行列式，那么（ ）(A ) 行列式与它的转置行列式相等； (B ) D 中两行互换，则行列式不变符号； (C ) 若0=D ，则D 中必有一行全是零； (D ) 若0=D ，则D 中必有两行成比例。

考核知识点：行列式的性质，参见P111-113； 3．设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ）(A ) A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； (B )A 中每个r 阶子式都不为零； (C ) A 中可能存在不为零的1+r 阶子式； (D )A 中肯定有不为零的r 阶子式。

考核知识点：矩阵秩的定义，参见P151-152；4．关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） (A ) ()()()()()()nnnx g x f x g x f,,=；(B )()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=⇔=； (C ) ()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=；(D )若()()()()()()()()1,1,=-+⇒=x g x f x g x f x g x f 。

考核知识点：多项式最大公因式的定义和相关性质，参见P38-46；5．设{}m ααα,,,21 是线性空间V 的一个向量组，它是线性无关的充要条件为（ ） (A )任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有∑=≠mi ii k 10α；(B )任一组数m k k k ,,,21 ，有∑==mi ii k 10α；(C )当021====m k k k 时，有∑==mi ii k 10α；(D )任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有∑==mi ii k 10α。

福师《高等代数选讲》在线作业二-0003
试卷总分:100 得分:100
一、判断题(共50 道试题,共100 分)
1.n阶方阵A，有|kA|=k|A|，k为一正整数
答案:错误
2.
答案:正确
3.
答案:正确
4.两个对称矩阵不一定相似。

答案:正确
5.
答案:正确
6.两个等价的向量组，一定包含相同个数的向量。

答案:错误
7.
答案:错误
8.若排列abcd为奇排列，则排列badc为偶排列．
答案:错误
9.若f(x), g(x), u(x), v(x) 都是F[x] 中的多项式, 且u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1,则(f(x), g(x)) = 1. 答案:正确
10.若n阶方阵A可对角化，则A有n个线性无关的特征向量
答案:正确
11.双射既是单射也是满射
答案:正确
12.
答案:正确
13.试题如图{图}
答案:错误
14.
答案:错误。

福师《高等代数选讲》在线作业二-0004试卷总分:100 得分:100一、判断题(共50 道试题,共100 分)1.若n阶方阵A的行列式等于0，则A的行向量是线性相关的答案:正确2.答案:错误3.答案:正确4.答案:错误5.在矩阵的初等变换下行列式的值不变答案:错误6.双射既是单射也是满射答案:正确7.合同的两个矩阵的秩不一定相等。

答案:错误8.答案:错误9.答案:错误10.若排列abcd为奇排列，则排列badc为偶排列．答案:错误11.答案:错误12.答案:正确13.n阶方阵A与一切n阶方阵可交换，则A是对角阵答案:正确14.只有可逆矩阵，才存在伴随矩阵答案:错误15.在全部n（n>1）级排列中，奇排列的个数为n!/2．答案:正确16.答案:正确17.答案:正确18.有理数域上任意次不可约多项式都存在答案:正确19.x^2-2在有理数域上不可约答案:正确20.答案:正确21.答案:正确22.答案:错误23.答案:正确24.答案:错误25.初等变换把一个线性方程组变成一个与它同解的线性方程组答案:正确26.若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比例．答案:错误27.答案:正确28.答案:错误29.实对称矩阵的特征根一定是实数。

答案:正确30.零多项式与f(x)的最大公因式是f(x)答案:正确31.若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比例．答案:错误32.n阶方阵A，有|kA|=k|A|，k为一正整数答案:错误33.答案:错误34.排列（1，2，3，4，...,2006)是一个偶排列答案:正确35.n阶矩阵A的行列式等于A的全部特征根的乘积答案:正确36.两个矩阵A与B，若A*B=0则一定有A=0或者B=0答案:错误37.答案:正确38.对n个未知量n个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无解．答案:错误39.答案:错误40.答案:正确41.答案:正确42.答案:正确43.答案:错误44.答案:正确45.对n个未知量n个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无解．答案:错误46.答案:错误47.相似关系和合同关系都是矩阵之间的等价关系，二者是一回事答案:错误48.正交矩阵的伴随矩阵也是正交矩阵答案:正确49.对矩阵A,B,r(AB)=r(A)r(B)答案:错误50.有理数域是最小的数域答案:正确。

福建师范大学申请成人高等教育学士学位考试数学与应用数学专业《高等代数选讲》课程考试大纲考试形式：开卷考试时间：120分钟一、参考教材（考生自备）《高等代数》（第5版），高等教育出版社出版，主编：张禾瑞，郝鈵新二、课程纲要第一章行列式（一）知识点行列式的概念和基本性质；行列式按行（列）展开定理（二）考点1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．第二章矩阵（一）知识点矩阵的概念；矩阵的线性运算；矩阵的乘法、方阵的幂；方阵乘积的行列式；矩阵的转置；逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充分必要条件；伴随矩阵；矩阵的初等变换；初等矩阵；矩阵的秩；矩阵的等价；分块矩阵及其运算（二）考点1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件．理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．第三章向量（一）知识点向量的概念；向量的线性组合和线性表示；向量组的线性相关与线性无关；向量组的极大线性无关组；等价向量组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系；向量的内积；线性无关向量组的的正交规范化方法（二）考点1．理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系．5．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．第四章线性方程组（一）知识点线性方程组的克莱姆（Cramer）法则；齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；非齐次线性方程组有解的充分必要条件；线性方程组解的性质和解的结构；齐次线性方程组的基础解系和通解；非齐次线性方程组的通解（二）考点1．会用克莱姆法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法．4．理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念．5．会用初等行变换求解线性方程组．第五章矩阵的特征值及特征向量（一）知识点矩阵的特征值和特征向量的概念、性质；相似矩阵的概念及性质；矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵；实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵（二）考点1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵特征值和特征向量．2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵．3.掌握实对称矩阵正交相似对角化的方法三、考试样卷福建师范大学201 年成人学士学位考试题目卷《高等代数选讲》A/B 卷 开卷教学中心 专业 学号 姓名 成绩注：考试时间为120分钟，试卷满分100分重要提示：本试卷仅为考试题目，所有答题必须填写在专用答题卡上方为有效，在本试卷直接作答均不给分。

福师大2020年8月近世代数期末试卷A 试题参考答案一、判断题1. 剩余类环5中没有非零的零因子; ×2. 群中指数为2的子群一定是正规子群 √3. 已知H 是有限群G 的子群, ||G 和||H 分别表示G 和H 的元素个数,则 ||H 不一定能整除 ||G √4. 数域上的全矩阵环不是单环; ×5. 环中理想的乘积还是理想; √二、计算证明题1.设Z 是整数集,规定3a b a b •=+-,证明：Z 关于所定义的 运算构成交换群;()()()()()()()()()()()1,,32,66,3,,3=4,,33335,6•66336,a b Z a b a b ZZ a b Z a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b Z a b a b b a a b Z a a a a Z a Za a a a a a Z ∀∈•=+-∈•∀∈••=++-••=++-∴••=••∀∈•=+-•∀∈•=+-=∴∀∈-∈-=+--=∴-∴•答：对所以“”在上构成代数运算；对，有满足结合律对满足交换律对有为单位元对有使得为的逆元构成交换群。

2. 在四元对称群4S 中,设(12)(34),(1234)αβ==.(1) 写出11βα--的轮换分解式即将11βα--写成一些互不相交的轮换的乘积;(2) 设集合14{|}T S αγαγγ-=∈, 试写出T α中全部元素用轮换分解式表示;(3)(4) 答：()()()()()()()()()()()()()()(){}11112423414131234213,14,23,124123234,12T αβα--==答： 3. 有一队士兵, 三三数余二, 五五数余一, 七七数余三. 问: 这队士兵有多少人 试求最小正整数解. 要写出解题过程,,16,38226,33mod 32mod 51mod 731211.,1,79366743+10=1061m m m m m ⨯=⨯⨯⨯⨯==∴答：设这队士兵有人根据三三数之余二要保证个位数是或者只能是＋＝或者＋＝根据七七数之余三要保证个位数是或者6只能是＋＝或＋＝31只有：317符合题意。

福师《高等代数选讲》在线作业一-0003 A:错误 B:正确答案：B A:错误 B:正确答案：B n阶方阵A，有|kA|=k|A|，k为一正整数 A:错误 B:正确答案：A A:错误 B:正确答案：BA:错误 B:正确答案：A A:错误 B:正确答案：B A:错误 B:正确答案：A 数域P上的任何多项式的次数都大于或等于0 A:错误 B:正确答案：A 实对称矩阵的特征根一定是实数。

A:错误 B:正确答案：B n阶方阵A与一切n阶方阵可交换，则A是对角阵 A:错误 B:正确答案：B 矩阵的乘法不满足交换律，也不满足消去律。

A:错误 B:正确答案：BA:错误 B:正确答案：B A:错误 B:正确答案：AA:错误 B:正确答案：B (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)构成为3维向量空间的一个基 A:错误B:正确答案：BA:错误 B:正确答案：AA:错误 B:正确答案：BA:错误 B:正确答案：B 相似关系和合同关系都是矩阵之间的等价关系，二者是一回事 A:错误 B:正确答案：AA:错误 B:正确答案：A 两个有限维向量空间同构的充要条件是维数相同. A:错误 B:正确答案：B 对n个未知量n个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无解． A:错误 B:正确答案：AA:错误 B:正确答案：A 初等变换不改变矩阵的秩。

A:错误 B:正确答案：BA:错误 B:正确答案：AA:错误 B:正确答案：A 若排列abcd为奇排列，则排列badc为偶排列． A:错误 B:正确答案：A 齐次线性方程组永远有解A:错误 B:正确答案：BA:错误 B:正确答案：B 相似矩阵有相同的特征多项式。

A:错误 B:正确答案：B 若n阶方阵A可对角化，则A有n个线性无关的特征向量 A:错误 B:正确答案：B 若f(x), g(x), u(x), v(x) 都是F[x] 中的多项式, 且 u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1,则 (f(x),。