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几种常见的分布

几种常见的分布
12
十一、几何分布
定义：在第 n 次伯努利实验，才得到第一次成功的机率。更详细的说是：n 次伯努利试验，前 n-1 次皆失败，第 n 次才成功的概率。
应用：射击比赛等。
2020/8/1
13

十二、超几何分布
定义：在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所 得次品数X=k，是一个随机变量：
2020/8/1
11
十、负二项分布(Negative binomial distribution)
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利 试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
2020/8/1
取r = 1，负二项分布等于几 何分布。其概率质量函数 为
2020/8/1
7
六、Gamma分布
E[X]=
D[X]=
应用：用于描述随机变量X等到第K件事发生所需等候的时间。
2020/8/1
8
七、瑞利分布(Rayleigh distribution)
定义：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分 布时，这个向量的模呈瑞利分布。
应用：瑞利分布常用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统 计时变特性。如两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布。
2020/8/1
18
各种分布之间的关系
Gamma分布与指数分布、正态分布
当gamma分布的形状系数k为正整数时，gamma分布可看作k个独立的指数分布 之和，当k趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。
在Gamma分布中：k=n（正整数）时的gamma分布可以看作n个独立的k=1的 gamma分布（即指数分布）之和，按照中心极限定理，独立同分布随机变量 之和趋于正态分布。

几种常见的概率分布率

几种常见的概率分布率

点数(x)
率(f)
μx P (x)= e –μ . x!
N × P (x)
0
57
0
P(0)=e-3.87 ×3.870/0!=0.0209 54.5072
1
203
203 P(0)=e-3.87 ×3.871/1!=0.0807 210.4656
2
283
766 P(0)=e-3.87 ×3.872/2!=0.1562 407.3696
3
525
1575 P(0)=e-3.87 ×3.873/3!=0.2015 525.5120
4
532
2128 P(0)=e-3.87 ×3.874/4!=0.1949 508.2992
5
408
2040 P(0)=e-3.87 ×3.875/5!=0.1509 393.5472
6
273
1638 P(0)=e-3.87 ×3.876/6!=0.0973 253.7584
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率

几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
2. 普阿松分布:----小概率事件( p≦ 0.1)符合普阿松式分布.
nk
x------在n次抽样中某一种类型的个体数.
μ= N
n k (N-K)(N-n)
S2 = N2(N-1) ^ nk N= x
N------^群体大小的估计. K------加有标记的个体数.

《几种常见的分布》课件

《几种常见的分布》课件

性质
总结词
二项分布具有可加性、可分解性和独立性等性质。
详细描述
二项分布的可加性是指，如果两个独立的随机试验分别服从参数为n1和p1的B(n1,p1)和参数为n2和p2的 B(n2,p2)，则这两个试验的和服从参数为n1+n2和p的B(n1+n2,p)。可分解性是指，如果一个随机试验服从参数 为n和p的B(n,p)，则可以将其分解为若干个独立的伯努利试验的和。独立性是指，如果一个随机试验服从参数为 n和p的B(n,p)，则可以将其分解为若干个独立的二项分布的和。
应用场景
总结词
二项分布在统计学、生物学、医学等领 域有广泛的应用。
VS
详细描述
在统计学中，二项分布在样本比例、成功 率等问题的研究中有着重要的应用。在生 物学中，二项分布可以用于描述生物种群 遗传学中的基因频率变化等问题。在医学 中，二项分布可以用于描述疾病的发病率 、流行病学中的病例数等问题。此外，二 项分布还在金融、保险等领域数，表示在一定区间内随机事件发生的可能性是恒 定的。
均匀分布的期望值和方差取决于区间的长度，而不是具体的取值。
应用场景
均匀分布在现实生活中广泛存在，如 测量误差、随机试验中的随机误差等 。
在概率论中，均匀分布是概率空间的 基本构成元素之一，用于描述随机变 量的取值范围和概率关系。
在统计学中，泊松分布常用于 计数数据分析和生存分析等领 域。
在计算机科学中，泊松分布在 算法设计和数据结构分析中有 广泛应用。
03
二项分布
定义
总结词
二项分布是一种离散概率分布，描述的是在n次独立重复的伯努利试验中成功 的次数。
详细描述
二项分布适用于描述那些只有两种可能结果的随机试验，例如抛硬币、射击等 。在n次独立重复的伯努利试验中，成功的次数服从参数为n和p的二项分布， 记作B(n,p)。

4 第三章 几种常见的概率分布律

4 第三章 几种常见的概率分布律

φ-事件A发生的概率（每次试验都是恒定的）
1-φ- 事件 A 发生的概率 p(y)-y的概率函数=P(Y=y)
F(y)= P(Y≤y)=
p( yi )
yi y
5
例3.1 从雌雄各半的100只动物中，每次抽一只， 做放回式抽样，若抽样试验共进行10次，问其中 包括0，1，2，3只雄性动物的概率是多少？包括 3只及3只以下的概率是多少？
1
e dz y

(
y )2 2 2

2
24
F(y) 1
1 2

y
25
正态分布的特性
当y=μ时，f(y)有最大值，正态分布曲线是以平均数 为中心的分布。
当y不论向哪个方向远离μ时， f(y)的值都减小，但永 远不会等于0，正态分布以y轴为渐近线， y的取值区 间（-∞，+∞）。
36
标准正态分布的概率计算
如：设y服从标准正态分布，求概率 P(y>0.3) 。 解：标准正态分布关于y=0对称，所以
P(y>0.3)=P(y<-0.3)= (0.30) 0.3821
37
标准正态分布的概率计算
例：设y服从标准正态分布，求概率P(-1.83 <y <0.3) 。
解：即求标准正态分布曲线下在（-1.83，-0.30）范围 内的面积
k,
k
1,
k

2,
...
20
第四节 正态分布
第四节 正态分布
正态分布：两头少，中间多，两侧对称。 一、正态分布的密度函数和累积分布函数
正态分布密度函数
f (y)
1
e
(
y )2 2 2

几种常见的概率分布率分解课件

几种常见的概率分布率分解课件

均匀分布的定 义
均匀分布是一种概率分布，其特点是随机变量在一定区间内取值的可能性是等可 能的。
在数学表达上，如果一个随机变量X服从某个区间[a, b]上的均匀分布，则其概率 密度函数f(x)可以表示为f(x)=1b−a，当x∈[a,b]时，f(x)=0，当x∉[a,b]时。
均匀分布的特点
均匀分布的期望值E(X)和方差Var(X) 分别为(a+b)/2和(b-a)^2/12。
泊松分布在生活中的应用
02
01
03
在物理学中，泊松分布用于描述放射性衰变过程中粒 子发射的次数。
在统计学中，泊松分布常用于二项分布的近似，当试 验次数很大而事件发生的概率很小时。
在计算机科学中，泊松分布在处理网络流量和计算机 系统中的任务调度等问题时非常有用。
04
二项分布
二项分布的定义
总结词
二项分布是一种离散概率分布，描述了在n次独立重复的伯努利试 验中成功的次数。
指数分布的期望值和方差是有限的，分别为1/λ和1/λ^2，其中λ是概率密度函数的 参数。
指数分布在生活中的应用
指数分布在可靠性工程中广泛应 用，用于描述产品寿命、故障间
隔时间等。
在排队论中，指数分布用于描述 顾客到达和服务时间等随机变量。
在保险精算中，指数分布用于计 算保费和准备金。
06
均匀分布
几种常见的概率分布率分解课 件
CONTENCT
录
• 概率分布率概述 • 正态分布 • 泊松分布 • 二项分布 • 指数分布 • 均匀分布
01
概率分布率概述
概率分布率的定 义
概率分布率
表示随机变量取值的概率规律。
定义方式
对于离散随机变量，概率分布律为P(X=xi)=pi，i=1,2,3...；对于连续随机变量， 概率分布函数为P(a≤X≤b)=∫[a,b]f(x)dx，其中f(x)为概率密度函数。

常用概率分布

常用概率分布
关于 左右对称，正态高峰位于中央 在 处取得该概率密度函数的最大值，在 x处
有拐点，表现为钟形 靠近 x 处曲线下面积较为集中,两边减少,意味
着正态分布变量取值靠近 x处 的概率较大,两 边逐渐减少 正态分布的总体偏度系数和峰度系数均为0
8
正态分布曲线下面积
正态分布变量X的取值为(-∞,∞)
23
四、二项分布的图形
24
图形特点：两个轴意义，对称、偏态、与 正态分布的关系
决定图形的两个参数：n，
25
五、样本率的均数和标准差
样本率的总体均数p:
p
1 n
x
1 n
(n )
样本率的总体标准差p:
p
1 n
x
(1 )
n
样本率的标准差（标准误)Sp:
Sp
p(1 p) n
26
根据中心极限定理，在n较大，n(1- )均大于5时，二项分 布接近于正态分布。当n → ∞ , 二项分布B(n,)的极限分布 是总体均数为X = n、总体方差 X2 = n(1-)的正态分布 N(n, n(1-))。这个时候可以用正态分布N(n, n(1-)) 作近似计算。
16
确定医学参考值范围
例 估计某地健康成年女子的血红蛋白的95% 医学参考值范围
具体步骤如下： 1. 根据研究背景确定研究对象的入选标准和排
除标准。这类研究一般要求参加体检并且要 求除研究指标血红蛋白指标外，其他指标均 正常的对象。 2. 根据研究背景，确定血红蛋白过高或过低均 属于不正常（双侧范围）。
6. 如果受检指标血红蛋白呈偏态分布，则可 以用百分位数P2.5～P97.5确定95%参考值 范围，但样本量要充分大。
7. 样本量充分大是相对与指标的变异程度， 指标变异大，要求样本量大；指标变异程 度小，要求样本量可以相对小一些。

几种常见的分布

几种常见的分布
2020/6/20
a
1
分类
连续型随机分布
◆ 正态分布、均匀分布、指数分布、对数正态分布、柯西分布、 Gamma分布、瑞利分布、韦伯分布
离散型随机分布
◆ 二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布
三大抽样分布
◆ 卡方分布、F分布、t分布
分布之间的关系 大数定理、中心极限定理
2020/6/20
2020/6/20
a
9
八、韦伯分布（Weibull distribution）
定义：韦氏分布或威布尔分布，是可靠性分析和寿命检验的理论基础。
= 应用：可靠性和失效分析、极值理论。
2020/6/20
a
10
九、二项分布(Bernoulli distribution)
应用：n 次试验在相同条件下进行，各个观察单位的结果相互独立，且只能 具有相互对立的一种结果，二项分布常用于医学领域。当n→∞时，二项分布 近似于正态分布。（注：0-1分布是特殊的二项分布）
2020/6/20
a
11
十、负二项分布(Negative binomial distribution)
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利 试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
2020/6/20
取r = 1，负二项分布等于几 何分布。其概率质量函数 为
应用：假设检验。
2020/6/20
a
18
各种分布之间的关系
Gamma分布与指数分布、正态分布
当gamma分布的形状系数k为正整数时，gamma分布可看作k个独立的指数分布 之和，当k趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。

《常用统计分布 》课件

描述了重复进行相同概率事件时，成功次数的 概率分布。
泊松分布
用来描述单位时间内随机事件发生次数的概率 分布。
常用连续分布
正态分布
在自然界和社会科学中广泛 出现的连续概率分布。
t 分布
用于小样本情况下，对总体 均值的推断。
F 分布
用于分布
用于连续随机变量的简单和平均分布。
《常用统计分布 》PPT课件
本课程介绍了常用统计分布和数据分析中的应用。旨在帮助学生打好统计学 基础，理解各种常用分布的概念及实际应用。
统计学基础
统计学概述，基本统计方法及相关概念的介绍。
统计分布介绍
离散随机变量
离散型随机变量的定义和特征。
连续随机变量
连续型随机变量的定义和性质。
常用离散分布
二项分布
2 指数分布
用来描述事件间的时间间隔的概率分布。
数据分析应用
统计分布在数据分析中的应用
解释了统计分布在实际数据分析中的重要性 和应用场景。
常见统计分布实验操作
介绍了如何利用统计分布进行实验和数据收 集。
总结
对常用统计分布进行回顾，并讨论了如何基于这些分布进行数据分析。

概率分布及概率分布图


概率密度函数图
总结词
概率密度函数图是一种展示连续概率分布的图形，通过曲线的高低表示概率密度的大小。
详细描述
概率密度函数图是连续概率分布的图形表示，它通过曲线的高低表示概率密度的大小。在概率密度函数图中，曲 线下方的面积表示事件发生的概率。这种图形可以帮助我们了解连续随机变量的分布情况，并用于估计和预测未 来的事件。
02 离散概率分布
二项分布
01
02
03
定义
二项分布是描述在n次独 立重复的伯努利试验中成 功的次数的概率分布。
公式
$B(n, p) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$，其中C(n, k)是组合数，表示从n个 不同项中选取k个的方法 数。
应用场景
例如，抛硬币的结果（正 面或反面），或者给定数 量的独立事件中成功事件 的次数。
泊松分布
定义
泊松分布是描述在单位时间内（或单 位面积内）随机事件的次数，当这些 事件以小概率发生，并且这些事件之 间是独立的。
公式
应用场景
例如，放射性衰变或者网络中同时发 生的请求数。
$P(X=k) = frac{e^{lambda}lambda^k}{k!}$，其中 $lambda$是事件的平均发生率。
05 概率分布及概率分布图的 应用实例
在统计学中的应用
1 2 3
描述性统计
概率分布图可以用来描述数据的分布情况，如频 数分布图、直方图等，帮助我们了解数据的集中 趋势、离散程度等。
假设检验
在假设检验中，概率分布图可以用来表示样本数 据和理论分布之间的比较，帮助我们判断样本数 据是否符合预期的分布。
概率分布的种类
离散概率分布
描述离散随机变量的取值概率，如二项分布、泊 松分布等。

几种常见概率分布

正整数；p是连续参数，取值为0与1之间的任何数
值。
二项分布具有概率分布的一切性质，即：

（ k=0,1,2,…,n） P(X = k) = P n (k) ≥0
n 二项分布的概率之和等于 1n ，即： k k n－k
∑C p q
n k =0
= (q +p) = 1
二项分布的性质

k n k P (X ≤m) = Pn (k ≤m) = C k p q n k =0 n m
μ = np σ = npq
当试验结果以事件A发生的频率k／n表示时，
μp = p
p 也称率的标准误。
σ p = (pq) /n
四、二项分布的概率计算及其应用条件
（一）概率计算 直接利用二项概率公式 [例6] 有一批种蛋，其孵化率为0.85，今在该批 种蛋中任选6枚进行孵化，试给出孵化出小鸡的

P (X ≥m) = Pn (k ≥m) =
k =m
k k n -k C np q

P(m1 ≤ X ≤m2 ) Pn (m1 ≤k ≤m2 )
k m1 k k n-k C n p q (m1 ≤m2 ) m2
三、二项分布的平均数与标准差
统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变量之 平均数μ 、标准差σ与参数n、p有如下关系： 当试验结果以事件A发生次数k表示时
0 .5 P( x k ) e 0 .5 k!
k
x
(k=0,1,2…)
计算结果如表4—5所示。
表4—5 细菌数的波松分布
可见细菌数的频率分布与λ=0.5的波松分布是相
当吻合的 ， 进一步说明用波松分布描述单位容积(
或面积)中细菌数的分布是适宜的。
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其中：
Today: 2020/11/8
P6 (0) = C06 (0.85)0 (0.15)6 = (0.15)6 = 0.00001139
P6(1) = C16(0.85)1(0.15)6－1 = 6(0.85)1(0.15)5 = 0.00038728
P6(2) = C62(0.85)2(0.15)6－2 =15(0.85)2(0.15)4 = 0.00548648
Today: 2020/11/8
三、二项分布的平均数与标准差
统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变量之 平均数μ、标准差σ与参数n、p有如下关系：
当试验结果以事件A发生次数k表示时
μ = np
σ = npq
❖当试验结果以事件A发生的频率k／n表示时，
μp = p σp = (pq) /n
p 也称率的标准误。
P6 (6) = C66 (0.85)6 (0.15)6－0 = (0.85)6 = 0.37714952
思考：求 至少孵出3只小鸡的概率是多少？ ❖ 孵出的小鸡数在2-5只之间的概率是多大？
Today: 2020/11/8
【例4.10】 设在家畜中感染某种疾病的概率为20 ％，现有两种疫苗，用疫苗A 注射了15头家畜后 无一感染，用疫苗B 注射 15头家畜后有1头感染 。设各头家畜没有相互传染疾病的可能，问：应 该如何评价这两种疫苗?
Today: 2020/11/8
第五章 常见概率分布律
难度级：
内容提要
Today: 2020/11/8
第一节 二项分布
第二节 泊松分布
第三节 正态分布
第四节 其他概率分布律
Today: 2020/11/8
教学重点：
1. 正态分布、二项分布、泊松分布的概率 计算方法及应用；
2. 正态分布标准化的方法 3. 正态分布表、t值表的用法
由计算可知 ， 注射 A 疫苗无效的概率为 0.0352，比B疫苗无效的概率0.1671小得多。因 此，可以认为A疫苗是有效的，但不能认为B 疫苗也是有效的。
Today: 2020/11/8
（二）应用条件（三个）
n个观察单位的观察结果互相独立; ❖ 各观察单位只具有互相对立的一种结果，如
阳性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类 资料。 已知发生某一结果(如死亡) 的概率为p，其对 立结果的概率则为1-P=q，实际中要求p 是 从大量观察中获得的比较稳定的数值。
则称这一串复的独立试验为n重贝努利试验， 简称贝努利试验。
（二）二项分布的概率
Today: 2020/11/8
在n重贝努利试验中，事件A发生x次的概率恰好
是（q+p）n二项展开式中的第x+1项，因此将
C Pn (k) =
k n
pkqn－k
,
k
=称0,1作,2...二..,n项概率公式。
二、二项分布的意义及其性质
Today: 2020/11/8
四、二项分布的概率计算及其应用条件
（一）概率计算 直接利用二项概率公式
[例6] 有一批种蛋，其孵化率为0.85，今在该批 种蛋中任选6枚进行孵化，试给出孵化出小鸡的 各种可能情况的概率。
这个问题属于贝努里模型(?)，其 n = 6 中 p = 0.85,q =1- 0.，85=孵0.化156枚种蛋孵出的小鸡数x 服从二项分布 .其B(中6,0x.8的5) 可能取值为0，1，2， 3，4，5，6。
（二）二项分布的性质 二项分布是一种离散型随机变量的概率分布，由
n和p两个参数决定，参数n称为离散参数，只能取 正整数；p是连续参数，取值为0与1之间的任何数 值。
二项分布具有概率分布的一切性质，即：
P(X = k) = P（n (kk=) 0≥,10,2,…,n）
∑ ❖ 二项分布n 的Ckn概pk率qn－ 之k和= (等q +于p1)n，=即1 ：
P6(3) = C36(0.85)3(0.15)6－3 = 20(0.85)3(0.15)3 = 0.04145344 P6(4) = C64(0.85)4(0.15)6－4 =15(0.85)4(0.15)2 = 0.17617711
P6(5) = C56(0.85)5(0.15)6－5 = 6(0.85)5(0.15)1 = 0.39933478
（一）定义 设随机变量X所有可能取的值为零和正
整数：0,1,2,…,n,且有
C Pn (X = k) = Pn (k) =
k pkqn－k , k = 0,1,2.....,n
n
（其中p>0,q>0,p+q=1）,则称随机变量X服从参
数为n和p的二项分布，记为 x ~ B(n, p)
Today: 2020/11/8
教学要求：
掌握正态分布、二项分布、泊松分布的概 率计算方法及应用
Today: 2020/11/8
第一节 二项分布（Binomial distribution）
一、贝努利试验及其概率公式
（一）独立试验和贝努利试验 对于n次独立的试验，如果
每次试验结果出现且只出现对立事件 A与 A之一; ❖在每次试验中出现A的概率是常数p（0<p<1）,因 而出现对立事件 A的概率是1-p=q,
假设疫苗A完全无效，那么注射后的家畜感染的 概率仍为20％，则15 头家畜中染病头数x=0的概 率为
p(x 0) C105 0.2000.8015 0.0352
Today: 2020/11/8
同理，如果疫苗B完全无效，则15头家畜中 最多有1头感染的概率为
p(x 1) C105 0.200.815 C115 0.210.814 0.1671
Today: 2020/11/8
要观察到这类事件，样本含量n必须很大 。在生 物、医学研究中，服从泊松分布的随机变量是常 见的。
此外，由于泊松分布是描述小概率事件的，因 而二项分布中当p很小n很大时，可用泊松分布
Today: 2020/11/8
k=0
二项分布的性质
Today: 2020/11/8
m
P(X ≤m) = Pn (k ≤m) =
C
k n
p
k
q
n
k
k=0
n
P(X ≥m) = Pn (k ≥m) = Ckn pkqn-k
k=m
P(m1 ≤X ≤m2 ) Pn (m1 ≤k ≤m2 )
m2
Cnk pk qn-k (m1 ≤m2 ) k m1