2. 二项分布的概率之和等于1，即
n
Cnk p k q nk (q p)n 1
k 0
3. P( x m) Pn (k m) m Cnk p k q nk (3-2)
4. P( x m) Pn (k m)
nk 0
Cnk p k q nk
(3-3)
5. k m
m2
P(m1 x m2 ) pn (m1 k m2 )
二项分布的应用条件有三：
（1）各观察单位只具有互相对立的一种结果，如阳 性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类资料；
（2）已知发生某一结果 (如死亡) 的概率为p，其对立 结果的概率则为1-P=q，实际中要求p 是从大量观察中获 得的比较稳定的数值；
（3）n个观察单位的观察结果互相独立，即每个观察 单位的观察结果不会影响到其它观察单位的观察结果。
一、波松分布的意义
若随机变量x(x=k)只取零和正整数值0，1， 2，…，且其概率分布为
P(x k) k e ， k=0，1，…… (3-10)
k!
其中λ＞0；e=2.7182… 是自然对数的底数， 则称x服从参数为λ的波松分布(Poisson‘s distribution)，记 为 x~P(λ)。
【例3.3】 仔猪黄痢病在常规治疗下死亡率为20 ％，求5 头病猪治疗后死亡头数各可能值相应的概 率。
设5头病猪中死亡头数为x，则x服从二项分布 B(5, 0.2)，其所有可能取值为0，1，…，5，按(3-1) 式计算概率，用分布列表示如下：
0 1 23 4 5
0.3277 0.4096 0.2048 0.0512 0.0064 0.0003
npq 5 0.2 0.8 0.894 (头)
3.2 波松分布
波松分布是一种可以用来描述和分析随机地发生 在单位空间或时间里的稀有事件的概率分布。要观察 到这类事件，样本含量 n 必须很大 。
在生物、医学研究中，服从波松分布的随机变量 是常见的。如，一定畜群中某种患病率很低的非传染 性疾病患病数或死亡数，畜群中遗传的畸形怪胎数， 每升饮水中大肠杆菌数，计数器小方格中血球数，单 位空间中某些野生动物或昆虫数等，都是服从波松分 布的。
对于n次独立的试验，如果每次试验结果出现且
只出现对立事件A与 A之一，在每次试验中出现A的概 率是常数p(0<p<1) ，因而出现对立事件 A的概率是
1-p=q，则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验，
简称贝努利试验(Berቤተ መጻሕፍቲ ባይዱoulli trials)。
在生物学研究中，我们经常碰到的一类离
散型随机变量，如孵n枚种蛋的出雏数、n头病 畜治疗后的治愈数、n 尾鱼苗的成活数等，可用
此外，在n较大，np、nq 较接近时，二项分布 接近于正态分布；当n→∞时，二项分布的极限分
布是正态分布。
三、二项分布的概率计算及应用条件
【例3.1】 纯种白猪与纯种黑猪杂交，根据孟德尔遗 传理论 ， 子二代中白猪与黑猪的比率为3∶1。求窝产仔 10头，有7头白猪的概率。
根据题意，n=10，p=3／4=0.75，q=1／4=0.25。设10 头仔猪中白色的为x头，则x为服从二项分布B(10，0.75) 的随机变量。于是窝产10头仔猪中有7头是白色的概率 为：
Pn (k ) Cnk pk qnk k=0,1,2…，n 其中p＞0，q＞0，p+q=1，则称随机变量x 服从参数为n和p的二项分布 (binomial distribution),记为 x~B(n, p)。
二项分布具有概率分布的一切性质，即：
1. P(x=k)= Pn(k) (k=0,1,…，n)
假设疫苗A完全无效，那么注射后的家畜感染的概率仍为20 ％，则15 头家畜中染病头数x=0的概率为
p(x 0) C105 0.2000.8015 0.0352
同理，如果疫苗B完全无效，则15头家畜中最多有1头感染的 概率为：
p(x 1) C1050.200.815 C1150.210.814 0.1671
第三章 几种常见的概率分布律
3.1 二项分布 3.2 泊松分布 3.3 另外几种离散型概率分布 3.4 正态分布 3.5另外几种连续型概率分布 3.6 中心极限定理
3.1 二项分布
一、贝努利试验及其概率公式
将某随机试验重复进行n次，若各次试验结果互
不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它
各次试验的结果，则称这n次试验是独立的。
P(x
7)
C170 0.7570.253
10! 0.757 7!3!
0.253
0.2503
【例3.2】 设在家畜中感染某种疾病的概率为20％，现有两 种疫苗，用疫苗A 注射了15头家畜后无一感染，用疫苗B 注射 15头家畜后有1头感染。设各头家畜没有相互传染疾病的可能， 问：应该如何评价这两种疫苗?
波松分布重要的特征：
平均数和方差相等，都等于常数λ，即
μ=σ2=λ 【例3.5】 调查某种猪场闭锁育种群仔猪畸 形数，共记录200窝， 畸形仔猪数的分布情况 如表3-1所示。试判断畸形仔猪数是否服从波 松分布。
Cnk p k q nk
k m1
（m1<m2） (3-4)
二项分布由n和p两个参数决定： 1. 当p值较小且n不大时，分布是偏倚的。但随
着n的增大，分布逐渐趋于对称； 2. 当 p 值 趋于 0.5 时，分布趋于对称； 3. 对于固定的n及p，当k增加时，Pn(k)先随之
增加并达到其极大值，以后又下降。
贝努利试验来概括。
在n重贝努利试验中，事件 A 可能发生0，1， 2，…，n次，现在我们来求事件A恰好发生 k(0≤k≤n)次的概率Pn(k)。
Pn (k ) Cnk pk qnk , k 0,1, 2，n
二、二项分布的意义及性质 二项分布定义如下：
设随机变量x所有可能取的值为零和正整数： 0,1,2,…，n，且有
四、二项分布的平均数与标准差
统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变
量之平均数μ、标准差σ与参数n、p有如下关系：
当试验结果以事件A发生次数k表示时
μ=np
(3-5)
npq (3-6)
【例3.4】求【例3.3】平均死亡猪数及死 亡数的标准差。
以p=0.2,n=5代入 (3-5)和(3-6) 式得： 平均死亡猪数 μ=5×0.20=1.0(头) 标准差
