下载文档原格式
第3章 傅里叶变换与连续系统的频域分析3.1 证明函数集{}0cos ,0,1,2,n t n ω=在区间()00,2πω内是正交函数集。
证明: 对任意的自然数n,m (n ≠m),有220000011cos cos [cos()+cos()]22n t m tdt n m t n m t dt ππωωωωωω=+-⎰⎰=0证毕 3.2 一个由正弦信号合成的信号由下面的等式给出：()10cos(800)7cos(1200)5cos(1600)43x t t t t πππππ=++-- （1）画出这个信号的频谱图，表明每个频率成分的复数值。
对于每个频率的复振幅，将其实部和虚部分开或者将其幅度和相位分开来画。
（2）()x t 是周期信号吗？如果是，周期是什么？（提示：按照最小公倍数计算） （3）现在考虑一个新的信号：()()5cos(1000)2y t x t t ππ=++，请问，频谱如何变化？()y t 是周期信号吗？如果是，周期是什么？解：（1）频谱图如下ωX(j ω) 05107 800π 1600π1200π107 -5振幅图（2）()x t 三项都是周期信号，周期分别为1/400、1/600、1/800，所以()x t 是周期信号，周期为为1/400、1/600、1/800的最小公倍数为1/200。
（3）根据频谱的分析()y t 比()x t 多了一个频谱分量，频率为1/500，所以()y t 还是周期信号，周期为1/200和1/500的最小公倍数1/100。
3.3 求下列每个信号的傅里叶级数表示式。
（1）200j te； （2）(1)cos 4t π-⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （3）cos 4sin 8t t +；（4）()x t 是周期为2的周期信号，且(),11t x t e t -=-<<（5）()x t ，如题图3.3所示。
题图3.3（6）()x t 是周期为4的周期信号，且sin 02()024t t x t t π≤≤⎧=⎨≤≤⎩（7）2sin tω)(ωϕ800π1200π4π-3π相位图解（1）该信号为虚指数信号，自身就是指数级数，频0200ω=，周期100T π=三角级数为200cos(200)sin(200)j t e t j t =+ （2）基频04πω=，周期8T = 三角级数(1)2cos cos sin 4244t t t πππ-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦指数级数44444422()cos sin 24422222(1)(1)44t t t tj j j j t tj j t t e e j e e j e j e ππππππππ---⎡⎤⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦=-++ （3）自身为三角级数cos 4sin 8t t +，基频04ω=，周期2T π=指数级数44888448()cos 4sin8222222j t j t j t j t j t j t j t j t e e j e e je e e je t t -----+-+=+=++-（4）周期T=2；基频0ωπ=11011 1.17522t e e a e dt ----===⎰11212(1)()cos()21()n t n e e a e n t dt n ππ----+==+⎰ 11212()(1)sin()21()n t n e e n b e n t dt n πππ-----==+⎰ 三角级数：1() 1.175[cos()sin()]nn n x t an t b n t ππ∞-=++∑1(1)11111(1)()22(1)2(1)jn jn k t jn t n e e e e F e e dt jn jn πππππ+-+-------===++⎰ 指数级数：11(1)()()2(1)k jntjn tnn n e e x t F ee jn ππ-∞∞=-∞=-∞--==+∑∑（5）由图可知，周期T=2；基频0ωπ=，且该信号为奇信号00n a a ==11022sin()(1)n n b t n t dt n ππ-==-⎰三角级数：111122(1)()(1)sin()sin()n n n n x t n t n t n n ππππ-∞∞-==-=-=∑∑111(1)2n n n F jb n π-=-=- 指数级数：11()(1)jntn jn t n n n x t F ee n ππ∞∞-=-∞=-∞==-∑∑ （6）周期T=4；基频02πω=2001sin()04a t dt π==⎰ 21sin()cos(/2)2n a t n t dt ππ==⎰⎪⎩⎪⎨⎧-为偶数为奇数n 0n ,)n 4(42π201sin()sin(/2)2n b t n t dt ππ==⎰0 三角级数：11()[cos(/2)n n x t a n t ππ∞==+∑/22/2202sin(/2)21sin()(4)402jn jn t n j n e n F t e dt n n πππππ--⎧≠±⎪==-⎨⎪=±⎩⎰指数级数： ()jntnn x t F e∞=-∞=∑（7）21cos(2)sin 2t t -=2211()24j tj t e e -=-+三角级数为0211,22a a ==-，其他系数为0 指数级数: x(t)=2211()24j tj t e e --+ 3.4 给定周期方波()x t 如图题图3.4所示，求该信号的傅里叶级数（包括三角形式和指数形式）。
连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。
2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。
傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。
具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。
3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。
频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。
系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。
4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。
常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。
5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。
通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。
6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。
通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。
进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。
7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。
总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。
频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。
《信号与系统》自测题第3章 连续时间信号与系统的的频域分析一、填空题1、周期信号的傅里叶级数的两种表示形式是 三角函数形式 和 指数形式 。
2、信号的频谱包括两部分，他们分别是 幅度 谱和 相位 谱。
3、从信号频谱的连续性和离散型来考虑，非周期信号的频谱是 连续 的。
4、周期信号的频谱是 离散 的。
5、时域为1的信号傅里叶变换是2()πδω。
6、已知()x t 的傅里叶变换为()X j ω，则1()(3)x t x t =的傅里叶变换为 1()33X j ω 7、频谱函数1()[(2)(2)]2F u u ωωω=+--的原函数()f t =1(2)Sa t π。
8、频谱函数()(2)(2)F ωδωδω=-++的傅里叶反变换()f t =cos(2)t π。
9、已知()f t 的频谱函数为()F j ω，则函数0()j t df t e dtω-的频谱函数为0()j F ωωω+。
10、若()f t 的频谱函数为()F j ω，则0()j t f t e ω-的傅里叶变换为0()F ωω+，()df t dt 的傅里叶变换为()j F ωω。
11、()t δ的傅里叶变换是 1 。
12、已知()x t 的傅里叶变换为()X j ω，则1()()3y t x t =的傅里叶变换为3(3)X j ω 。
13、常见的滤波器有 低通 、 高通 和 帯通 。
14、对带宽为20kHz 的信号()f t 进行抽样，其奈奎斯特间隔N T = 25 s μ；信号(2)f t 的带宽为 40 kHz ，其奈奎斯特频率N f = 80 kHz 。
15、人的声音频率为3003400Hz ，若对其无失真采样，则最低采样频率应为6800Hz 。
16、对频带为020kHz 的信号进行抽样，最低抽样频率为40kHz 。
17、无失真传输系统的频率响应函数为0()j t H j Keωω-=。
二、单项选择题1、狄里赫利条件是傅里叶级数存在的（ B ）。
实验三 连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义;2、掌握系统频率响应特性的计算方法与特性曲线的绘制方法,理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用;3、学习与掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义;4、掌握用MA TLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求:掌握LTI 连续与离散时间系统的频域数学模型与频域数学模型的MATLAB 描述方法,深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义,理解滤波与滤波器的概念,掌握利用MATLAB 计算与绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性,也称为频率响应特性,简称频率响应(Frequency response),就是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况,包括响应的幅度随频率的变化情况与响应的相位随频率的变化情况两个方面。
上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号与响应信号,h(t)就是系统的单位冲激响应,它们三者之间的关系为:)(*)()(t h t x t y =,由傅里叶变换的时域卷积定理可得到:)()()(ωωωj H j X j Y =3、1或者: )()()(ωωωj X j Y j H =3、2)(ωj H 为系统的频域数学模型,它实际上就就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。
即⎰∞∞--=dt e t h j H tj ωω)()( 3、3由于H(j ω)实际上就是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换,如果h(t)就是收敛的,或者说就是绝对可积(Absolutly integrabel)的话,那么H(j ω)一定存在,而且H(j ω)通常就是复数,因此,也可以表示成复数的不同表达形式。
在研究系统的频率响应时,更多的就是把它表示成极坐标形式:)()()(ωϕωωj ej H j H = 3、4上式中,)j (ωH 称为幅度频率相应(Magnitude response),反映信号经过系统之后,信号各频率分量的幅度发生变化的情况,)(ωϕ称为相位特性(Phase response),反映信号经过系统后,信号各频率分量在相位上发生变换的情况。
第!章!连续信号与系统的频域分析习题三详解!!"!证明题图!!"所示矩形函数"!#"与##$%$#"$为整数$在区间!&%’!"上正交&题图!!"证!因为#’!&"!#"#$%$#(#%#!&#$%$#(#&#’!!#$%$#(#%&所以"!#"与##$%$#’$为整数$在区间!&%’!"上正交&!!#!设"!#"的正交展开式为"!#"%$()%&*)+)!#"试证明"!#"和#*&%*"%*’%’%*$$是一一对应关系&证!因为"!#"%$()%&*)+)!#"%*&+&!#",*"+"!#",’,*)+)!#",’,*(+(!#"而#+)!#"$为正交函数集%故有##’#""!#"+)!#"(#%##’#"*&+&!#"+)!#"(#,##’#"*"+"!#"+)!#"(#,’!,##’#"*)+’)!#"(#,’,##’#"*(+(!#"+)!#"(#%*)##’#"+’)!#"(#即*)%##’#""!#"+)!#"(###’#"+’)!#"(#故"!#"与#*&%*"%’%*($一一对应&()*(!!!!设!)!#"%"!!!)&""%#%)&!!#其他试问函数组#!"!#"%!’!#"%!!!#"%!*!#"$在!&%*"区间上是否为正交函数组%是否为归一化正交函数组%是否为完备正交函数组%并用它们的线性组合精确地表示题图!!’所示函数"!#"&解!据!)!#"的定义式可知!"!#"%!’!#"%!!!#"%!*!#"的波形分别如题解图!!!"所示&题图!!’题解图!!!"!!不难得到#*&!)!#")!-!#"(#%&)&-")%#-!!可知在!&%*"区间!)!#"为归一化正交函数集&从而有"!#"%!"!#",&!+!’!#","!+!!!#",’!*!#"!!!!$!证明下列函数集在#&%#&,’!"!"&区间上是正交函数集%#&为任意一个正实数&!""##$%$"&#%%-.$"&#"$/&%0"%0’%’$*!’"#12$"&#"$/&%0"%0’%’$&证!!""略&!’"因为##&,’!"&#&12$"&#!12."&#"’(#%##&,’!"&#&12!$&.""&#(#%&.&$’!"&.%()*$故该函数集在#&%#&,’!"!"&区间上是正交函数集&(3*(!!%!试求题图!!!所示信号的三角型傅里叶级数展开式%并画出频谱图&题图!!!解!!/"因为/&%’0#&&0’1(#%1/$%’0#&&0’1#$%$##(#%&2$%’0#&&0’1%-.$##(#!!!#%’!0"%’10&#$%$##$!"#&&0’%&’1$!$为奇数&’1!’$&""!!$%"%’%!()*%’"所以"!#"%1’&$4$%"’1!!’$&""%-.’!0!’$&""+,#!2"因为/&%’#0*&0*1(#%1/$%’0#0*&0*1#$%$##(#!!!#%’!0"%’10%-.$##$#0*&0*%’1$!%-.$!!"’%’1$!$%"%+%5%’&’1$!$%!%)%""()*%’%&’1!!’$&""!&""$!!$%"%’%!%’2$%&所以"!#"%"’1&$4$%"’1!!’$&""!&""$#$%’!!’$&""0!"#(5*(!!&!试求题图!!*所示周期信号的指数型傅里叶级数系数3$%并画出其幅度谱&题图!!*解!!/"3$%"#0’&1%-.’!0#1&2$’!0#(#%10#0’&12’!#&1&2’!#’2)1&2$’!0#(#%1’20#0’&12!"&$"’!0#&1&2!",$"’!!"#(#%1’20!12!"&$"’!0#!2!"&$"’!0&!1&2!",$"’!0#!&2!",$"’!+,-.00’&%112!"&$"!&"&*!!"&$"&1&2!",$"!&"*!!",$+,"%1!!"&$’"%$%&%4’%4*%’&%$为奇数%且’$’&"&"*2$1%$%4()*"!!!2"解法类似!/"%略%结果如下-3$%’1!!"&$’"%$为偶数&%$()*为奇数(&+(!!!*"3$%"0##&,$’#&&$’11&2$’!0#(#%101&2$’!"&#&2$’!"&#&,$’#&&$’!!!"&%"0"%11&2$’!"&!#&&$’"&1&2$’!"&!#&,$’"2’!$%11&2’!$"&#&)12$!"&$&1&2$!"&$2’$!%1$067!$!"&$"1&2’$!"&#&!5"!略"!!’!!略"!!(!设"!#"是满足以下两个条件的周期信号-条件"-"!#"/8"!8#"*条件’-"#00!"’/8"!#"&试证明"!#"中只含有奇次谐波的正弦分量&证!因为"!#"/8"!8#"所以"!#"为奇函数%即/&/&%/$/&&"!#"中仅有2$项%即"!#"中只含正弦分量%有2$%’#&&0’"!#"%-.$##(#,’0#’&"!#"%-.$##(#!!!#%’!0"上式第一项中用#,0’代换#%可得2$%’#0’&"#,0!"’%-.$##,0!"’(#,’#0’&"!#"%-.$##(#!!根据条件’%有2$%’#0’&&"!#"%-.!$##,$!"(#,’0#0’&"!#"%-.$##(#%*0#’&"!#"%-.$##(#%$为奇数&%$()*为偶数故"!#"中只含有奇次谐波的正弦分量&!!)!设周期信号"!#"的指数型傅里叶级数系数为3$%试证明("!#"(#的指数型傅里叶级数系数为2$"&3$式中"&/’!!"&("+(证!因为"!#"的傅里叶级数系数为3$%所以"!#"%$4$%&43$12$"&#%!!"&%’!0上式两端对#求导%有("!#"(#%$4$%&42$"&3$12$"&#故("!#"(#的指数型傅里叶级数系数为2$"&3$&!!"*!设有一周期信号"!#"%其基波频率为"&/’!%且"!#"的指数型傅里叶级数为"!#"%$!$%&!3$12$’!#这里%3&/"*30"/".**30’/".’*30!/".!&试写出"!#"的三角型傅里叶级数表达式&解!因为"!#"%$!$%&!3$12$##%$!$%&!3$12$’!#!!!#%"&%’!"%3&,$!$%"’’3$’#$%!$##,%$"而3$/"3$"12%$"3&"/"%"30""/"*%"30’"/"’%"30!"/"!%"/%’/%!/&所以"!#"%","*6’#$%’!#,"’6’#$%*!#,"!6’#$%9!#%","’#$%’!#,#$%*!#,’!#$%9!#!!!!""!求题图!!9所示信号的傅里叶变换&题图!!9解!3!2""%#4&4"!#"1&2"#(#%#"&’1&2"#(#,#’"1&2"#(#%"&2"’1&2"#’"&,1&2"#’+,’"%&"2"1&2"’,1&2"&+,’(’+(!!!!"#!求题图!!)所示锯齿脉冲与单周正弦脉冲的傅里叶变换&题图!!)解!!/""!#"/’10#80’/#/0’&()*其余!!3!2""%#’&0’’10#1&2"#(#%’10)"&2"#0’&0’#(1&2"!"#%2’1"0#1&2"#0’&0’�’&0’1&2"#(+,#%2’1"00’1&2"0’,12"0!"’&"&2"1&2"#0’&0+,’%2’1"00#$%"0’,"2"1&2"0’&12"0!"+,’%2’1"#$%"0’&67"0!"+,’!!!"&&"当"%&时%3!2""%#’&0’’1#(#%&!2"!略"!*""!#"%1%-."&#%&/#/0!!!"&%’!0"&%()*其余!!3!2""%#0&1%-."&2"#(#%1’2#0&1&2!"&"&"#&1&2!","&"+,#(#%1’2"&2!"&"&"1&2!"&"&"0&!"","2!","&"1&2!","&"0&!"+,"%1’""&"&1&2!"&"&"0&!""&"","&1&2!","&"0&!"+,"%1’!"’&"’&"!","&"1&2!"&"&"0&!"&"&"1&2!","&"0&’"+,&%1’!"’&"’&""12"&0&1&2"&!"0,"&12"&0,1&2"&!"+,01&2"0&’"#$&%1"&"’&"’&1&2"0&+,"!!!"&"&%’!0"(!+(当"%"&%’!0时%!!3!2""%#&1%-."&2"&#(#%#0&1%-."&##$%"&#&2%-."&+,#(#%1#0&"’%-.’"&#&2"’!"&#$%’"&#+,"(#%10’2因此3!2""%1"&"’&"’&!1&2"0&"""&"&%’!010’2"%"&%’!()*0!5"!略"!!"!!试用"!#"的傅里叶变换3!2""表示如下函数的傅里叶变换-!""#"!’#"*!’"!#&’""!#"*!!"!#&’""!&’#"*!*"#("!#"(#*!+"!"&#""!"&#"&解!!"""!#"%#"!’#"因为"!’#"0"’32"!"’所以#"!’#"02’(32"!"’("%2*(3!2""("!’""!#"%!#&’""!#"#"!#"02(3!2""("%!’"!#"0’3!2""因此!#&’""!#"02(3!2""("&’3!2""!!""!#"%!#&’""!&’#"因为"!&’#"0"’3&2"!"’#"!&’#"02’(3&2"!"’("%&2*(3!2""("&’"!&’#"0&3&2"!"’所以!#&’""!&’#"0&2*(3!2""("&3&2"!"’!*""!#"%#("!#"(#因为("!#"(#02"3!2""(*+(所以#("!#"(#02+2"3!2"",7%&3!2""&"(3!2""("!+""!#"%!"&#""!"&#"!!#"!#"0237!2""!#,"""!#,""0212"37!2""!"&#""!"&#"021&2"+37!2"","%&"%21&2"(3!&2""(!&""%&21&2"(3!&2""("!!"$!!略"!!"%!利用傅里叶变换证明如下等式-!"""!#4&4%-."#"("%"#1&&"#%#&!’"#4&4%-./"/"("%!’/’证!!""因为6:.!#"0’2"所以!&"’2+,"%"’!#4&4’2"12"#("%"!#4&4"2"+#$%"#,2%-."#,("%"!#4&4%-."#"("%6:.!#"%"%#1&&"%#%#&故原式得证&!’"因为+’/!#"0’/67!"/"所以!&"’/67!/"+,"%"’!#4&4’/67!/""12"#("%+’/!#"当#%&时%有"!#4&4/67!/""("%"即"!#4&4/%-./"/"("%"故#4&4%-./"/"("%!’/’(++(!!"&!已知题图!!3所示信号""!#"的频谱函数为3"!2""%8!"",29!""%式中8!""/9!""均为"的实函数%试求"’!#"的频谱函数3’!2""&题图!!3解!参见题解图!!"9&已知题解图!!"9""!#"03"!2""%8!"",29!"""!!#"%’""#!"’因此"!!#"0’6’3"!2’""%*8!’"",2*9!’"""*!#"%"!!#","!!&#"故"*!#"0*3"!2’"",*3"!&2’""!!%*8!’"",2*9!’"",*8!&’"",2*9!&’""!!%38!’"""+!#"%"*!#&’","*!#,’"故"+!#"038!’""!1&2’",12’""!!%"98!’""#$%’"而原题图中"’!#"%"+!#"#$%"&!#%故3’!2""%3+8!’!"&"&!""#$%’!"&"&!",8!’!","&!""#$%’!","&!",(9+(!!!!"’!据傅里叶变换的定义及性质%利用三种以上的方法计算题图!!5所示各信号的傅里叶变换&题图!!5解!!7"方法"!按定义求&!3!2""%#&&$’!",’$#"1&2"#(#,#$’&"&’$!"#1&2"#(#%$’67’"$!"*方法’!利用时域积分性质&""!#"的一阶/二阶导数如题解图!!")"所示&题解图!!")"!!":"!#"%’$&#,$!"’&*$&!#",’$&#&$!"’":"!#"0’$12$’"&*$,’$1&2$’"%’$12$*"&1&2$*!""’""!#"0’$12$*"&1&2$*!""’!2""’%$’67’"$!"*方法!!利用时域卷积性质&""!#"可以看做题解图!!")’所示"’!#"与"’!#"的卷积%则有""!#"%’$"’!#"’"’!#"而"’!#"0$’67"$!"*故""!#"0’$$’67"$!"+,*’%$’67’"$!"*()+(题解图!!")’!2"方法"!按定义求&""!#"%+$!#",+$’!#"而+$!#"0$67"$!"’+$’!#"0$’67"$!"*故""!#"%$67"$!"’,$’67"$!"*方法’!利用时域积分性质&""!#"的导数如题解图!!")!所示&题解图!!")!!"7"!#"%&#,$!"’,&#,$!"*&&#&$!"*&&#&$!"’!!"7"!#"%12"$’,12"$*&1&2"$*&1&2"$’故""!#"012"$’,12"$*&1&2"$*&1&2"$’2"%$67"$!"’,$’67"$!"*方法!!利用时域卷积性质&!!""!#"%’#,$!"’,’#,$!"*&’#&$!"*&’#&$!"’而’!#"0!&!"","2"""!#"0!&!"","2!""12"$’,12"$*&1&2"$*&1&2"$+,’%"2"12"$’,12"$*&1&2"$*&1&2"$+,’%$67"$!"’,$’67"$!"*(3+(!!"(!求题图!!"&!/"/!2"所示3!2""的傅里叶反变换"!#"&题图!!"&解!!/"因为3!2""%1+’"&!""1&2"#&又67!#"0!+’!""67!"&#"0!"&+’""!"&%!"&+’"&!""即1"&!67!"&#"01+’"&!""所以1"&!67+"&!#&#&",01+’"&!""1&2"#&故"!#"%1"&!67+"&!#&#&",!2"3!2""%3!""12%!""而%!""%!’%&"&%"%&&!’%&%"%"()*&!3!2""%1+"&","&!"’12!’,1+"&"&"&!"’1&2!’!%21+"&","&!"’&21+"&"&"&!"’又!67!#"0!+’!""!67"&’!"#0’!"&+"&!""即!"&’!67"&’!"#0+"&!""故!"!#"%21"&’!67"&’!"#1&2"&’#&67"&’!"#12"&’+,#%21"&’!67"&’!"#1&2"&’#&12"&’+,#%’1!#%-.’"&’!"#(5+(!!!!")!试求下列信号的频谱函数-!""%-.#)%-.’##’*!’"+’!!#")#$%+#*!!"1&!’,’#"&!#"*!*"6:.!#")+’!#"&解!!""%-.#)%-.’##’%’67!#")67!’#"而67!#"0!+’!""%!67!’#"0!’+*!""故’67!#")67!’#"0"’!6’!+’!""’!’+*!""%3!2""3!2""%!’!",!"&!/"/&"!&"/"%"!’!!&"""/"/!&’"’1()*!3!2""如题解图!!"5"所示&题解图!!"5"!’"+’!!#"0’!67!!""+’!!#")#$%+#0’!6"’67!!!",+"",67!!!"&++,""!%!+67!!!",+"",67!!!"&+"",题解图!!"5’!!"1&!’,’#"&!#"%1&’&!#"01&’!*"6:.!#")+’!#"的波形如题解图!!"5’所示%即6:.!#")+’!#"%&’!#,"",’’!#"&’!#&""又’!#"0!&!"","2"故6:.!#")+’!#"0!&!"","2+,")’&12"&1&2!""!%!&!"","2+,")&12"’&1&2"!"’+,’!%!&!"","2+,"*)%-.’"!"’!%*2"%-.’"!"’(&9(!!#*!求下列函数的傅里叶反变换"!#"-!"""!’,2""’*!’"&’"’*!!"&!"&"&"*!*"+’"&!""&解!!""因为1&’#’!#"0"’,2"所以"!’,2""’01&’#’!#"’1&’#’!#"%#1&’#’!#"!’"因为6:.!#"0’2"所以!&2#"6:.!#"0’-"!""7%&’2"’故&’"’0#6:.!#"!!"因为"0’!&!""而")12"�’!&!"&"&"所以&!"&"&"0"’!12"&#!*"因为+’"&!#"0’’"&’67!"&""而’’"&’67!"&#"0’!+’"&!""所以+’"&!""0’"&’!67!"&#"!!#"!已知"!#"’"7!#"%!"&#"1&#’!#"%求信号"!#"&解!设"!#"03!2""%因为"!#"’"7!#"03!2"")2"3!2""%2"3’!2""而!"&#"1&#’!#"0"2","&2"2",!""7!%"2","&"!2",""’!%2"!2",""’("9(所以3’!2""%"!2",""’3!2""%4"2","故"!#"%41&#’!#"!!##!已知一系统由两个相同的子系统级联构成%子系统的冲激响应为;"!#"%;’!#"%"!#激励信号为"!#"&试证明系统的响应<!#"/8"!#"&证!因为6:.!#"0’2"所以’2#0’!6:.!8""即"!#026:.!8""系统函数=!2""/26:.!8"";26:.!8""/8"故>!2""/=!2"")3!2""/83!2""因此<!#"/8"!#"!!#!!设"!#"的傅里叶变换为3!2""%且3!2""%&’"’2"<试在2"<条件下化简下式-!+"!#"’67!?#",!!解!因为+’?!#"0’?67!?""所以’?67!?#"0’!+’?!""67!?#"0!+’?!""而!+"!#"’67!?#",0?!3!2"")!+’?!"+,"!/3!2"")+’?!""又因为3!2""/&%"""2"<%且?2"<%故!+"!#"’67!?#",03!2""即!+"!#"’67!?#",/"!#"(’9(!!#$!试求题图!!*所示各周期信号的频谱函数&解!由3!2""%’!$4$%&43$&!"&$#"!/"/!2"略&!*"因为3$%1$067$!$!"01&2$##&所以3!2""%’!$4.%&41$067$!$!"01&2$##+,&&!"&$#"%1#$$4$%&467$!$!"1&2$##&&!"&$#"!5"因为3$%*1$’!’%$为奇数&%$()*为偶数所以3!2""%’!$4$%&4*1$’!’&!"&$#"%$为奇数&%$()*为偶数%31!$4$%&4"$’&!"&$#"%$为奇数&%$()*为偶数!!#%!!略"!!#&!对下列信号求奈奎斯特间隔和频率-!""67!"&&#"*!’"67’!"&&#"*!!"67!"&&#",67!+&#"*!*"67!"&&#",67’!9&#"&解!!""因为+’&&!#"0’&&67!"&&""所以67!"&&#"0!"&&+’&&!"""</"&&=7(.%%!"</"&&’!/+&!>?0%/"’"</!"&&%%!"%/"0%/"&&!>?!’"对67’!"&&#"%有"</’&&=7(.%%!"</"&&!>?(!9(故0%/!’&&%%!"%/’&&!>?!!""</"&&=7(.%故0%/"’"</!"&&%%!"%/"&&!>?!*""</"’&=7(.%故0%/"’"</!"’&%%!"%/"’&!>?!!#’!已知一线性时不变系统的方程为(’<!#"(#’,*(<!#"(#,!<!#"%("!#"(#,’"!#"求其系统函数=!2""和冲激响应;!#"&解!由系统方程可得=!2""%2",’!2""’,*2",!%2",’!2",""!2",!"%"’2",","’2",!故;!#"/"’18#,"’18!!"#’!#"!!#(!已知-"!#"%’#$%55)#)%-.+#!#*!!;!#"%’#$%"&&&#)%-.*#!#试用傅里叶变换法求"!#"’;!#"&解!"!#"/’#$%55)#)%-.+#!#/"&!67!+#")#$%55)#而67!+#"0!++"&!""故3!2""/"&!;"’!++"&!"855)",!++"&!",55)+,"/+"&!"855)",+"&!",55)"而;!#"/’#$%"&&&#)%-.*#!#/3!67!*#"#$%"&&&#同理=!2""/+3!"8"&&&",+3!","&&&"<@!2""/3!2"")=!2""/+9!"8555",+9!",555"因此"!#"’;!#"/!8"+<@!2"",/9!67!!#"#$%555#/’#$%555#)%-.!#!#(*9(题图!!""!!#)!如题图!!""所示系统%其中-;"!#"%%-.’#!#;’!#"%’!)%-.#!#)%-.’#!#试求整个系统的冲激响应;!#"&解;"!#"/%-.’#!#/’!67!’#";"!#"0+*!"";’!#"/’!%-.#!#)%-.’#!#其中%-.#!#/"!67!#"0+’!""%-.’#!#/’!67!’#"0+*!""因此;’!#"0"’!)’!)+’!""’+*!""/=’!2""=’!2""如题解图!!’5"所示&题解图!!’5"而=!2""/="!2"")=’!2""/+*!"")=’!2""=!2""如题解图!!’5’!/"所示%而=!2""可表示为=/!2""与=2!2""之和%=/!2""和=2!2""如题解图!!’5’!2"/!*"所示&题解图!!’5’(+9(=!2""/=/!2"",=2!2""/+*!"",+"!""’+!!""故;!#"/!8"+=!2"",/%-.’#!#,’!)%-.#’!#)%-.!#’!#!!!*!已知"!#"/67!"##"%@!#"/#$%"&#%且"&3"#&求题图!!"’!/"所示系统的输出<!#"&题图!!"’解!因为+’"#!#"0’"#67!"#""所以’"#67!"##"0’!+’"#!""67!"##"0!"#+’"#!""从而有"!#"@!#"0!’"#+’"#!"8"&",+’"#!","&+,">!2""/!1’"#+’"#!"8"&"182!"8"&"#&,+’"#!","&"182!","&"#+,&而+’"#!""0"#!67!"##"+’"#!""182"#&"#!67+"#!#8#&",+’"#!"8"&"182!"8"&"#&0"#!12"C+"#!#8#&",从而有!1’"#+’"#!"8"&"182!"8"&"#&01’12"C+"#!#8#&",故<!#"/167+"#!#8#&",#$%"&#(99(!!!"!已知系统如题图!!"!所示%其中-"!#"%3#$%"&&#)#$%+&&#%!!@!#"%#$%+&&#理想低通滤波器的系统函数=!2""/’!","’&"8’!"8"’&"%试求系统响应<!#"&题图!!"!解!"!#"@!#"/3#$%"&&#)#$%’+&&##$%"&�!+&!","&&",&!"8"&&",#$%+&�!+&!",+&&",&!"8+&&",#$%’+&�"’!!’+&!","&&&",&!"8"&&&",’&!"",/!’+’&!"",&!","&&&",&!"8"&&&","!#"@!#"03)"’!)!’’+’&!","&&",’&!"8"&&",&!",""&&",&!",5&&",&!"85&&",&!"8""&&",>!2""/*!+&!","&&",&!"8"&&",故<!#"/*#$%"&&#%!#4!84%4"!!!#!已知系统的传输函数如题图!!"*所示%若输入"!#"%$4$%&#$%$#%试求响应<@!#"&题图!!"*解!"!#"%$4$%&#$%$#%",#$%#,#$%’#,’%!!#2&>@!2""%!+"!#",)=!""1&2’"%!+’!#",#$%#’!#",)=!""1&2’"%’!+’!#",1&2’",!+#$%!#"’!#",1&2’"因此<@!#"%’’!#&’",#$%!#&’"’!#&’"()9(!!!!!!!理想低通滤波器具有特性=!2""/+’""182"#&&试证明它对于信号""!#"/!""&!#"和"’!#"/67!""#"的响应是一样的&证!因为&!#"0"%所以""!#"/!""&!#"0!"">"!2""/!""+’""182"#&而"’!#"/67!""#"因为+’""!#"0’""67!""""所以’""67!""#"0’!+’""!""即67!""#"0!""+’""!"">’!2""/!""+’""!"")=!2""/!""+’"!""182"#&>"!2""/>’!2""故<"!#"/<’!#"!!!$!一个因果线性时不变滤波器的系统函数是=!2""/8’2"&求系统对下列信号"!#"的响应<!#"-!"""!#"/12#*!’""!#"/%-."&#)’!#"%求稳态响应<%!#"*!!"3!2""/"2"!9,2""*!*"3!2""/"’,2"&解!!""/!’"略&!!"!!>!2""/3!2"")=!2""/"2"!9,2"")!8’2""/8’9,2"故<!#"/8’189#’!#"!*">!2""/3!2"")=!2""/8’2"’,2"/8’,*’,2"故<!#"/8’&!#",*18’#’!#"!!!%!!略"(39(。
— P3-1 —第三章 连续系统的频域分析习题解答3-1 已知函数集}sin ,2sin ,{sin nt t t ，n 为正整数。
证明该函数集在区间(0, 2π)内为正交函数集；试问该函数集在区间(0, π!2)内是否为正交函数集？解：(1)证：⎩⎨⎧=>≠=++---=⎰. , 0π; , 0]π2)sin[(]π2)sin[(21sin sin }{π20r i r i r i r i r i r i rtdt it 可见满足正交函数集的条件。
证毕。
(2) }{]2π)sin[(]2π)sin[(21sin sin ,2π0ri r i r i r i rtdt it r i ++---=≠⎰/时不恒为0， 可见在此区间上不是正交函数集。
3-2 证明图示矩形脉冲信号f (t )在区间(0, 1)内与t n t t πc o s , ,π2cos ,πcos 正交，n 为正整数。
证：.πcos ,,π2cos ,πcos )( )1 ,0(, ,0πsin ππcos πcos )( 10 10 正交与内在为正整数t n t t t f n n n Atdt n A tdt n t f ∴===⎰⎰3-3 将图示周期信号展开为三角型傅立叶级数。
解：(a);πd sin π212π 0 0 m m U t t U a ==⎰ ⎪⎩⎪⎨⎧==-=-++==⎰⎰ ,5 ,3 ,1 , 0 ,6 ,4 ,2 ,)1(π2d ])1sin()1[sin(π2d cos sin π222ππn n n U t t n t n U tnt t U a mmm n [sin 41212)(1, 0 1 ,2 sin sin 221 0t U t f n n U dt nt t U b n m mm n ⎰∞=++=∴⎪⎩⎪⎨⎧≠===ππππ(b) f 2(t )求二阶导数如中图，t— 2 —).5cos 513cos 31(cos π42)( 22;,4,2 , 0 ,3,1 ,π4)πcos 1(8)1()(82)1(8)1(8)]2()([42)j (222200222222222 0 2j j j j+++-=⇒==⎪⎩⎪⎨⎧==-=--=--==-=-=--=----⎰--t t t E E t f E aA n n n E n n E e T n E F A e T E e T E dt e T t t T E T F n n n n t n n n n TT n ΩΩΩΩΩΩΩ且显然/故πψδδππ3-4 图题3-4所示信号展开为指数型傅里叶级数。
实验三 连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用；3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义；4、掌握用MATLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。
上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：)()()(ωωωj H j X j Y =3.1或者： )()()(ωωωj X j Y j H =3.2)(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。
即⎰∞∞--=dt et h j H tj ωω)()( 3.3由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。
在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式：)()()(ωϕωωj ej H j H = 3.4上式中，)j (ωH 称为幅度频率相应（Magnitude response ），反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，)(ωϕ称为相位特性（Phase response ），反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。
