工程硕士学位考试高等工程数学试题111

高等工程数学考研真题试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处可导，且\( f'(x_0) \neq 0 \)，则\( f(x) \)在\( x_0 \)处的切线斜率为：A. \( f(x_0) \)B. \( f'(x_0) \)C. \( x_0 \)D. \( 0 \)2. 线性代数中，若矩阵\( A \)可逆，则下列哪个说法是正确的？A. \( A \)是对称矩阵B. \( A \)是正交矩阵C. \( A \)的行列式不为零D. \( A \)是单位矩阵3. 根据概率论，若随机变量\( X \)服从正态分布\( N(\mu,\sigma^2) \)，则其期望值和方差分别是：A. \( \mu, \sigma \)B. \( \sigma, \mu \)C. \( \mu, \sigma^2 \)D. \( \sigma, \sigma^2 \)4. 常微分方程\( y'' - 2y' + y = 0 \)的特征方程是：A. \( r^2 - 2r + 1 = 0 \)B. \( r^2 - 2r + 2 = 0 \)C. \( r^2 + 2r + 1 = 0 \)D. \( r^2 - 2r - 1 = 0 \)5. 在多元函数极值问题中，若函数\( f(x, y) \)在点\( (x_0, y_0) \)处取得极小值，则下列说法正确的是：A. 在该点处，\( f(x, y) \)的一阶偏导数都为零B. 在该点处，\( f(x, y) \)的二阶偏导数都为正C. 在该点处，\( f(x, y) \)的Hessian矩阵是正定的D. 在该点处，\( f(x, y) \)的梯度向量为零二、填空题（每题4分，共20分）6. 若函数\( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5 \)，则\( f''(x) \)的值为________。

工程硕士学位课程考试
高等工程数学试题
注意：每位考生只要选做以下两部分试题，答案必须写在答题纸上
矩阵分析部分
一．（6分）设求值。

解：参考试题2第一题
二．（8分）已知函数矩阵：，求矩阵
解：参考试题2第二题
三．（10分）设向量
与，令，
（1）求的一组基和维数；（2）求维数。

解：参考试题2第三题
四．（10分）设，
1．求的Jordan标准形及最小多项式；
解: 矩阵的最小多项式为, Jordan标准形为
2。

求解初值问题
解：参考试题2第四题（2）小题
五．（8分）设与是线性空间的两个基，为从基到的过渡矩阵，为的一个线性变换，在基下的矩阵，求线性变换在基下的矩阵。

解: 由题意有
所以由第一式有
把第二式和第三式代入得到
把第一式代入左边得到
从而有, 所以
六．（8分）设且可逆，，求证：的特征值都是正数。

证明: 因为为正规矩阵, 所以酉矩阵与对角矩阵. 即存在酉矩阵, 使得, 其中为对角矩阵, 从而
所以的元素全为实数. 设为任意一个特征值, 是属于的特征向量, 则有
得证.。

中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 若方程0)(=x f 可表成)(x xϕ=，且在[,]a b 内有唯一根*x ，那么)(x ϕ满足，则由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于*x 。

（)(x ϕ满足：1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈, '()1x L ϕ≤<；）2. 已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)Tf x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的最速下降方向为 （最速下降方向为：()4,2Tp =-）； 3．已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)Tf x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的Newton 方向为 （Newton 方向为： ()2,0Tp =-）； 4．已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =L ，则其三次样条插值函数)(x S 是满足 （（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间[,]a b 上二阶导数连续，（3）满足插值条件(),0,1,2,,i i S x y i n ==L ）；5．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值12(,,,)n X X X L 落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为________（0.15） ；6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 大 愈好，而置信区间的长度愈 短 愈好。

但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 变长 ； 7．取步长2.0=h ，解]1,0[,1)0(2'∈⎩⎨⎧=-=x y yx y 的Euler 法公式为：（1(2)0.60.2,0,1,2,,5n n n n n n y y h x y y x n +=+-=+=L ）；8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有： （模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。

高等工程数学习题答案【篇一：高等工程数学考试题及参考解答(仅供参考)】xt>一、填空题（每小题3分，共15分）2x12???x101，设总体x服从正态分布n(0,4)，而(x1,x2?,x15)是来自x的样本，则u?222(x11???x15)服从的分布是_______ .解：f(10,5)．?是总体未知参数?的相合估计量的一个充分条件是2，?n?)??, limvar(??)?0．解：lime(?nnn??n??3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：?检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ .解：推断各因素对试验结果影响是否显著．22?1二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设总体x~n(1,9)，(x1,x2,?,x9)是x的样本，则（a）x?1x?1~n(0,1)；（b）~n(0,1)； 31x?1~n(0,1)． ~n(0,1)；（d92（c）2，若总体x?n(?,?)，其中?已知，当样本容量n保持不变时，如果置信度1??减小，则?的2置信区间____b___ .（a）长度变大；（b）长度变小；（c）长度不变；（d）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____b___ . （a）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（b）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的；（c）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的；（d）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设st为总离差平方和，se为误差平方和，sa为效应平方和，则总有___a___ .（a）st?se?sa；（b）sa?2??2(r?1)；（c）sa/(r?1)?f(r?1,n?r)；（d）sa与se相互独立.se/(n?r)?)=?[in?x(xx???0n；（b）cov(??)x?]；（a）???2?1（c）?????n?p?1是?2的无偏估计；（d）（a）、（b）、（c）都对.22三、（本题10分）设总体x?n(?1,?)、y?n(?2,?)，(x1,x2,?,xn1)和(y1,y2,?,yn2)分别是来自x和y的样本，且两个样本相互独立，和sx、sy分别是它们的样本均值和样本方差，证明2222(n1?1)sx?(n2?1)sy其中s??.n1?n2?22?t(n1?n2?2)，证明：易知??n(?1??2,?2n1??2n2)，u??n(0,1)．由定理可知2(n1?1)sx?2由独立性和?分布的可加性可得2??(n1?1)，22(n2?1)sy?2??2(n2?1)．v?2(n1?1)sx?2?2(n2?1)sy?2??2(n1?n2?2)．由u与v得独立性和t分布的定义可得??t(n1?n2?2)．?1?2?, 0?x??,??1,??x?1,其中参数?（0???1) 四、（本题10分）设总体x的概率密度为f(x;?)??2(1??)??0, 其他，???；?，xn)是来自总体的一个样本，是样本均值，未知，(x1，x2，（1）求参数?的矩估计量?（2）证明4不是2?2的无偏估计量．解：（1）e(x)??????xf(x,?)dx???01xx1?dx??dx??，?2(1??)2?42??2?令?e(x)，代入上式得到?的矩估计量为?（2）1． 2111?1?4e(42)?42?4[?()2]?4?dx?(??)2??dx?????，424?n?n因为d(x)?0，??0，所以 e(4)??．故42不是?的无偏估计量．五、（本题10分）设总体x服从[0,?](??0)上的均匀分布，(x1,x2,?xn)是来自总体x的一个样本，试求参数?的极大似然估计．解：x的密度函数为,0?x??;??f(x,?)??0,其他,?222似然函数为???n,0?xi??,i?1,2,?,n,l(?)??其它??0,??max?x,x,?,x?是?的显然??0时，l(?)是单调减函数，而??max?x1,x2,?,xn?，所以?12n极大似然估计．六、（本题10分）设总体x服从b(1,p)分布，(x1,x2,?xn)为总体的样本，证明是参数p的一个umvue．证明：x的分布律为f(x;p)?px(1?p)1?x,x?0,1．容易验证f(x;p)满足正则条件，于是???1i(p)?e?lnf(x;p)??．?pp(1?p)??另一方面2var()?1p(1?p)1， var(x)??nnni(p)即得方差达到c-r下界的无偏估计量，故是p的一个umvue．七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布n(?0,?)，由以前的观测可知?0?56．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得?61, s?400, 问此仪器测出的结果与以往相2解：设h0：???0?56．构造检验统计量22t???0~t(15)， n确定拒绝域的形式?t?t??．由??0.05，定出临界值t?/2?t0.025?2.1315，从而求出拒绝域t?2.1315．?????2而n?16,?60，从而 |t|???0.8?2.1315，接受假设h0，即认为此仪器测222出的结果与以往相比无明显的差异．2八、（本题10分）已知两个总体x与y独立，x~(?1,?1)，y~(?2,?2)，?1, ?2, ?1, ?2未知，?12(x1,x2,?,xn)和(y1,y2,?,yn)分别是来自x和y的样本，求2的置信度为1??的置信区间.?2122分别表示总体x，y的样本方差，由抽样分布定理知解：设s12,s2p?f?/2(n1?1,n2?1)?f?f1??/2(n1?1,n2?1)??1??，则22??s12/s2?12s12/s2p??2???1??， ?f1??/2(n1?1,n2?1)?2f?/2(n 1?1,n2?1)?22??s12/s2s12/s2?12,所求2的置信度为1??的置信区间为 ??．?2f(n?1,n?1)f(n?1,n?1)2?/212?1??/21?九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．答：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测【篇二：高等工程数学试题答案】>一、设总体x具有分布律其中?(0???1)为未知参数，已知取得了样本值x1?1,x2?2,x3?1，求?的矩估计和最大似然估计.解：（1）矩估计：ex??2?2?2?(1??)?3(1??)2??2??314?(1?2?1)?33??5. 令ex?，得?6（2）最大似然估计：l(?)?????2?(1??)?2??2?2256dln(?)?10?4?12?5?0 d???5得?6二、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度x~n(10,1)，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/l），标准差为1.2（mg/l），问该工厂生产是22否正常？（??0.05,t0.025(9)?2.2622,?0.025(9)?19.023,?0.975(9)?2.700）解：（1）检验假设h0：?=1，h1：?≠1；取统计量：??222(n?1)s2?20；拒绝域为：?2≤?21?2222?=2.70或≥(n?1)??(9)?(n?1)???0.975?0.025=19.023， 22经计算：??2(n?1)s22?09?1.22??12.96，由于?2?12.96?(2.700,19.023)2，1故接受h0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为?2=1。

中南大学工程硕士“高等工程数学〞考试试卷〔开卷〕考试日期：2021年 4 月 日 时刻110分钟注：解答全数写在答题纸上一、填空题(此题24分，每题3分)1. 假设函数1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈和1)('<≤L x ϕ, 那么方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解存在唯一，对 任意[]b a x ,0∈为初值由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 必然收敛于方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解*x ，且有误差估量式*x x k-≤L-1ε；2. 成立最优化问题数学模型的三要素是： 确信决策变量 、 成立适当的约束条件 、 成立目标函数 ； 3．求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象〞，其缘故是： 最速下降法前后两个搜索方向老是垂直的 ； 4．函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，[,]i x a b ∈，设函数)(x S 是()f x 的三次样条插值函数，那么)(x S 知足的三个条件〔1〕在每一个子区间[]i i x x ,1-〔i=1，2，…，n 〕上是不高于三次的多项式；〔2〕S 〔x 〕，S ’〔x 〕，S ’’〔x 〕在[]b a ,上持续；〔3〕知足插值条件S 〔x i 〕=y i 〔i=1，2，…，n 〕； 5．随机变量1210~(3,4),(,,,)X N X X X 为样本，X 是样本均值，那么~X N 〔3，〕；6．正交表()p q N L n m ⨯中各字母代表的含义为 L 表示正交表，N 表示实验次数，n 、m 表示因子水平数，p 、q 表示实验最多能够安排因素的个数 ；7．线性方程组Ax b =其系数矩阵知足 A=LU ，且分解唯一 时，可对A 进展LU 解，选主元素的Gauss 消元法是为了幸免 采纳绝对值很小的主元素 致使误差传播大，按列选取主元素时第k 步消元的主元a kk 为)1,2,......,1(1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+=n i a y a b y iin i j i ij i i 8．取步长0.01h =，用Euler 法解'3,[0,1](0)1y x yx y ⎧=-∈⎨=⎩()1002,1,009.003.01 =+=+n y x y n n n的公式为 。

工程硕士（GCT）数学模拟试卷113(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题选择题（25题，每小题4分，共100分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设a，b，c是非负实数，如果a＋1，b＋2，c＋3，7的算术平均数是7，那么abc的最大值是[ ]．A．7B．49C．25D．125正确答案：D解析：本题主要考查了几个数的算术平均数的概念及算术平均数与几何平均数的关系．由于所以a＋b＋c＝15，从而且等号在a＝b＝c＝5时取到．即abc的最大值为125．故选D．2．一个圆柱底面直径和高都为8，一个圆锥底面直径和高都为4，则圆锥和圆柱的体积比为[ ]．A．1：2B．1：4C．1：8D．1：24正确答案：D解析：圆柱体积＝π×(4×4)×8＝128π，圆锥体积＝，．故选D．3．两个相同规格的容器，分别装上A，B两种液体后的总重量分别是1800g 和1250g，已知A液体的重量是B液体的两倍．那么这个空容器的重量是[ ]g．A．550B．600C．700D．1100正确答案：C解析：设这个空容器的重量为xg，B液体的重量是yg，根据题意，得解得x＝700．故选C．4．一个棱长为整数n的正方体，表面全涂上红色后，被分成若干个体积都等于1的小正方体．在这些小正方体中，六个面都没有红色的小正方体个数占全部小正方体个数的，则n＝[ ]．A．4B．5C．6D．7正确答案：C解析：所有小正方体的个数是n3，六个面都没有红色的小正方体个数为(n —2)3．根据题意，得．解得n＝6．故选C．5．若实数x，y，z满足，则7x＋5y—3z＝[ ]．A．—24B．—12C．0D．12正确答案：A解析：因为，所以2z(x＋y)＝3y(x＋z)．整理得3xy—2xz＋yz＝0，即6(x＋y)—6(x＋z)＋4(y＋z)＝0．所以x＝5y．代入，故x＝24，进而得到．故7x ＋5y—3z＝—24．故选A．6．某装置的启动密码是由0到9中的三个不同数字组成，连续三次输入错误密码，就会导致该装置永久关闭，一个仅记得密码是由三个不同数字组成的人能够启动此装置的概率为[ ]．A．B．C．D．正确答案：C解析：由0到9中的三个不同数字组成的不同密码共有A103＝10×9×8＝720，一个仅记得密码是由三个不同数字组成的人一次能够启动该装置的概率是，所以他在三次之内能够启动此装置的概率是．故选C．7．已知集合A＝{(x，y)｜y＝2x，x∈R}，B＝{(x，y)｜y＝2x，z∈R)，则A∩B的元素数目为[ ]．A．0B．1C．2D．无穷多正确答案：C解析：如图所示，集合A是函数y＝2x(x∈R)的图像．集合B是函数y＝2x(x ∈R)的图像．在直角坐标系中稍微精磺一些作出函数的图像，即可看出它们有两个交点．应该注意到，在x无限增大时，指数函数y＝2x的增长总是比幂函数快得多．故选C．8．不等式的解集是[ ]．A．B．C．{x｜x＞6)D．正确答案：B解析：要使不等式中的根式有意义，要求3x—2≥0，即．由含绝对值不等式的解法，本题解集应是下面两个不等式组解集的并集：不等式组(1)中，第二式化为．两边平方解出x＞6．所以(1)的解集是{x｜x＞6}．同理，不等式组(2)中第二式化为，平方后解出x＜2，(2)的解集为．(1)与(2)解集的并集就是选项B．故选B．9．若f(x)＝x3＋px2＋qx＋6含有一次因式x—3和x—1，则pq＝[ ]．A．3B．5C．8D．10正确答案：D解析：由f(1)＝0和f(3)＝0得到线性方程组解出p＝—2，q＝—5．故选D．10．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝—24，a18＋19＋a20＝78，则此数列前20项之和为[ ]．A．160B．180C．200D．220正确答案：B解析：设数列公差为d，由条件a1＋a2＋a3＝—24，可得3a1＋3d＝—24，由a18＋a19＋a20＝78，可得3a1＋54d＝78．两方程联立解出a1＝—10，d＝2．所以故选B．11．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边a，b，C成等差数列，且知∠B＝30°，三角形面积，则b＝[ ]．A．B．C．D．正确答案：B解析：，∠B＝30°推得ac＝6．由条件2b＝a＋c及余弦定理分别得4b2＝a2＋c2＋2ac，b2＝a2＋c2—2accos∠B．两式相减得．选项B的平方．故选B．12．已知w>0，函数f(x)＝2sinwx在区间上为增函数，则有[ ]．A．B．0＜w≤2C．D．w＞2正确答案：A解析：是函数sinx的一个增区间，在它的任一个子区间，sinx都是增函数，若有区间(a，b)，其端点有一个在上，另一端点不属于它，则sinx在(a，b)上不是增函数．对于函数sinωx(其中ω>0)，是它的一个增区间，具有类似上述性质．本题已知f(x)＝2sinωx在上为增函数，由奇函数的对称性，f(x)在上也是增函数，所以只要使．故选A．13．曲线C：x2＋y2＋2x＋4y—3＝0上与直线x＋y＋1一0的距离等于的点有[ ]个．A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：C的方程写成(x＋1)2＋(v＋2)2＝，即C是以(—1，—2)为图心，半径为的圆．圆心到直线z：x＋y＋1＝0的距离．这正好等于圆C半径的一半，所以过圆心作平行于z的直线，与圆交于两点A，B．再过圆心作垂直l的直线，与圆的交点之一及点A，B到l趵距离都是(见图)．故选C．14．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点．O为抛物线的顶点，则△ABO是一个[ ]．A．等边三角形B．直角三角形C．不等边锐角三角形D．钝角三角形正确答案：D解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，过F的直线AB的方程可可写成，代入y2=2px，得y2—2pmy—P2＝0．所以y1y2＝—p2，，故有，即得，∠AOB 为钝角．故选D．15．如图所示，扇形的半径为12，圆心角为60°，O为扇形的内切圆圆心，则阴影部分的面积为[ ]．A．8πB．16πC．20πD．24π正确答案：A解析：扇形面积为．扇形内切圆半径为．OO1＋OA＝O1A为扇形半径，又扇形内切圆半径，所以内切圆面积为π(×(OA)2＝π×42＝16π．阴影部分面积＝扇形面积—内切圆面积＝24π—16π＝8π．故选A．16．设在(—∞，＋∞)内连续，则[ ]．A．a＝2，b＝1B．n＝1，b＝1C．D．正确答案：D解析：由题设，只需考虑f(x)在x＝0处的连续性．要使f(x)在x＝0处连续，须，b＝2．故选D．17．如图所示，曲线y＝f(x)上任一点P的切线为PT，以PT为斜边的直角三角形PTQ的面积为，则y与y’满足的方程是[ ]．A．y’＝yB．y’＝—yC．y’2＝yD．y’＝y2正确答案：D解析：见图，曲线y＝f(x)在点P(x，y)的切线方程为Y—y＝y’(X—x)，令Y＝0，得，所以T点的横坐标为．，于是有y’＝y2．故选D．18．图中三条曲线给出了三个函数的图形，一条是汽车的位移函数S(t)，一条是汽车的速度函数v(t)，一条是汽车的加速度函数a(t)，则[ ]．A．曲线a是s(t)的图形，曲线b是v(t)的图形，曲线c是a(t)的图形B．曲线b是s(t)的图形，曲线n是v(t)的图形，曲线c是a(t)的图形C．曲线a是S(t)的图形，曲线c是v(t)的图形，曲线b是a(t)的图形D．曲线c是S(t)的图形，曲线b是v(t)的图形，曲线a是a(t)的图形正确答案：D解析：因r’(t)＝v(t)，v’(t)＝a(t)，图中C曲线单调上升，b曲线在x轴上方；在b曲线单调上升的区间上c曲线在x轴的上方，在b曲线单调下降的区间上c曲线在x轴的下方，再利用导数符号判断函数单调性的定理可推得选D．故选D．19．光滑曲线y＝f(x)通过原点，且在x＝1处与曲线y＝e2x相切，则＝[ ]．A．0B．e2C．—e2D．2e2正确答案：B解析：因光滑曲线y＝f(x)通过原点，所以f(0)＝0．由于曲线．y＝f(x)在x ＝1处与y＝e2x相切，而(e2x)’｜x＝1＝2e2x｜x＝1＝2e2，因此f(1)＝e2，f’(1)＝2e2．进而故选B．20．设，则F(x)为[ ]．A．正常数B．负常数C．恒为零D．不为常数正确答案：A解析：被积函数esint.sint是以2π为周期的函数，因此它在任一个周期上的积分都相等，从而上式最后一步利用了“被积函数是连续的大于等于零但不恒为零函数的积大于零”的结论．故选A．21．设y＝f(x)在[a，b]上单调，且有连续的导数，其反函数为x＝g(y)．又α＝f(a)，β＝f(b)，＝[ ]．A．αβ—ab—AB．bβ—αa—AC．αβ—ab＋AD．bβ—αa＋A正确答案：B解析：在中，令y＝f(x)，且当y＝α时，x＝a，当y＝β时，x＝b，g[f(x)]＝x，dy＝f’(x)dx．因此故选B．注用几何解释很简单．设y＝f(x)单调递增，f(x)＞0，a≥0，如图所示，y＝f(x)，x＝g(y)表示同一曲线，在几何上表示曲边梯形αMNβ的面积B，它等于矩形ObNβ的面积减去矩形OaMα的面积后，再减去曲边梯形abNM的面积，而矩形ObNβ的面积等于bβ．矩形OaMβ的面积等于aα，曲边梯形abNM的面积为＝bβ—aα—A．22．设三阶方阵A，B满足关系式A—1BA＝6A＋BA，且则B＝[ ]．A．B．C．D．正确答案：A解析：三阶方阵A，B满足A—1BA＝6A＋BA，等式两边右乘A—1，得A —1B＝6I＋B，(A—1—I)B＝6I，B＝(A—1—I)—1.6I．而故选A．23．设三阶方阵A，B满足关系式A—1BA＝6A＋BA，且则B＝[ ]．A．B．C．D．正确答案：D解析：因为所以A的对应于特征值2的一个特征向量是。

南京理工大学工程硕士学位课程考试高等工程数学试题注意：每位考生只要选做以下两部分试题，答案必须写在答题纸上矩阵分析部分一．（6分）设，其中1,121,312243122-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-=i X i i i i A 求21,,AX A A ∞值。

解：A ∞=max{|2|+|-1|+|3+4i|,|-2|+|2i|+|-1|,|-i|+|-3|+|i|}=max{8,5,5}=8 1A =max{|2|+|-2|+|-i|,|-1|+|2i|+|-3|,|3+4i|+|-1|+|i|}=max{5,6,7}=734i AX 34i 6+⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2AX二．（8分） 已知函数矩阵：22222222222223332t tt t t t Att t t t t t t t t tt t e e e e e e e e ee e e e e e e e e e ⎛⎫--- ⎪=--- ⎪ ⎪---⎝⎭， 求矩阵.A 解：∵()AtAte Ae'=又 ()2t t2t t t 2t At 2t t 2t t t 2t 2t t 2t tt 2t 4e e 2e e e 2e e 2e e 4e e 2e 4e 6e 3e 2e e 3e 4e ⎛⎫--- ⎪'=--- ⎪ ⎪---⎝⎭∴ A=AE=Ae 0=Ae At |t=0=(e At )’|t=0=311132311-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭三．（10分）设向量)5,1,2,3(),4,1,1,2(),1,0,1,1(321---=-=-=ααα与)3,1,1,2(),1,1,0,1(21-==ββ，令),,,(3211αααL V =),(212ββL V =，（1）求21V V +的一组基和维数； （2）求维数)dim(21V V 。

解：(1) 对下列矩阵施行如下初等行变换()TT TT T 12312A =αααββ1231212312112010111101111011111451302201--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭1231212312011110111100000000210002100000--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭∴ r(A)=3 ∴ r(α1,α2,α3,β1,β2)=3 ∴ dim(V 1+V 2)=3可选{α1,α2,β1}为V 1+V 2的一组基(2) ∵ dimV 1=r{α1,α2,α3}=2 dimV2=r{β1,β2}=2∴ dim(V 1∩V 2)=dimV 1+dimV 2-dim(V 1+V 2)=2+2-3=1四．（10分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=411301621A ，1． 求A 的Jordan 标准形J 及最小多项式)(λm ；2． 求解初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==114)0(X AX dt dX解： 1.12613E A 131********λ+-λ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪λ-=λ-→λ+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ-λ-⎝⎭⎝⎭210010012330(1)(2)3(1)111011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→λ+-λ-λλ-→λ-λ+λ- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-λλ-λ-λ-⎝⎭⎝⎭21001000110100(1)(2)3(1)0(1)(2)(1)⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→λ-λ-→λ- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ-λ+λ-λ-λ+-λ-⎝⎭⎝⎭210001000(1)⎛⎫ ⎪→λ- ⎪ ⎪λ-⎝⎭∴ d 1(λ)=1 d 2(λ)=λ-1 d 3(λ)=(λ-1)2∴ A 的初等因子为： λ-1，(λ-1)2∴12100100J A J 010J 110J 011001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 m(λ)=d 3(λ)=(λ-1)22. 设f(z)=e zt （z 为自变量，t 为固定字母），T(λ)=a+b λ 则 f ’(z)=te zt ，T ’(λ)=b令T(1)f (1)T (1)f (1)=⎧⎨''=⎩得t te a b e b ⎧=+⎨=⎩ 解得t a 0b e =⎧⎨=⎩∴ T(λ)=a+b λ=e t λ∴ e At =f(A)=T(A)=aE+bA=t 126e 103114--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭∴ X=X(t)=e At X(0)=tt t t t 126444e e 1031e 1e 11411e ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪--=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭五．（8分） 设},{21αα与},{21ββ是线性空间V 的两个基，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2111P 为从基},{21αα到},{21ββ的过渡矩阵，T 为V 的一个线性变换，T 在基},{21ββ下的矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011A ，求线性变换T 在基},{21αα下的矩阵B 。

1、 设A 、B 、C 为三事件，则C B A -+)(等于 （ D ）A )(CB A -+； B. )(C A B -+ ； C. C B A )(+； D. C B A )(+ . 2、 随机变量X 在区间[2，4]上服从均匀分布，则}43{<<X P 等于（ A ） A. }5.35.2{<<X P ； B. }5.25.1{<<X P ； C. }5.45.3{<<X P ； D. }5.55.4{<<X P .3、设Y X 、相互独立，)2,1(~-N X ，)3,1(~N Y ，则Y X 2+服从（ B ） A. )8,1(N ； B. )14,1(N ； C. )22,1(N ； D. )40,1(N .4、已知总体),(~2σμN X ,),,(21n X X X 为样本，X 为 样本均值，2~S 为样本二阶中心矩，则1/~--=n S X T μ服从的分布为（ B ）A. )(n t 分布；B. )1(-n t 分布；C. ),(2σμN ；D. )1,0(N5、设总体),(~2σμN X ，2,σμ均未知，),,,(21n X X X 为其样本，2,S X 分别为总体的样本均值与样本方差，则μ的置信度为95.0的置信区间为（ B ） A ．),(025.0025.0u nX u nX σσ+-; B. ))1(),1((025.0025.0-+--n t nS X n t n S X ;C ．),(975.09755.0u nX u nX σσ+-； D. ))(),((025.0025.0n t nS X n t nSX +-6、已知随机变量X 的数学期望)(X E ，则必有（ B ）A 、)()(22X E X E =；B 、)()(22X E X E ≥；C 、)()(22X E X E ≤；D 、1)()(22=+XE X E .7、设总体X 服从参数为λ的泊松分布，),,(21n X X X 是取自总体的一个样本，则此样本的概率密度函数为（ C ）A 、λλ-=⋅∏∑=e x ni i x ni i1!1； B 、λλ-=⋅∑∏=e xni ix ni i11； C 、λλn ni i x ex ni i-=⋅∑∏=1!1； D 、λλn ni i x e x ni i-=⋅∏∑=1!1.1、已知8.0)|(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P , 则=)(B A P __0.7____.2、设随机变量)3,1(~U X ，则X 的数学期望为______2___.3、设6.0,9)(,4)(===XY Y D X D ρ，则=-)23(Y X D 28.8 .4、已知袋中有3个红球，2个白球，现将袋中之球逐一取出（不放回），则最后一次取得红球的概率为____3/5______.5、在总体X 的数学期望μ的三个无偏估计中)3(≥n X 、213231X X +、321613121X X X ++中最有效的是____)3(≥n X ______.1.设随机变量X 服从指数分布，其概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x λλ，),,,(21n X X X 为其样本，求参数λ的极大似然估计.（P169）2.某车间用一台包装机包装精盐，额定标准为每袋净重500克，设包装机包装出的盐每袋重量),(~2σμN X ，某天随机抽取9袋，称得净重分别为（单位：克）：497, 506, 518, 524, 488, 511, 510, 515, 512问包装机工作是否正常.（P191） 3.二维随机变量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它01,10,6),(2y x x xy y x f 试求X 、Y 的边缘密度函数.（p97）4.同一种产品有甲乙丙三个厂家供应。

东 南 大 学二〇〇九年秋季入学软件工程考试高等数学试卷一、 填空题(本题共5题,每小题5分,共25分)1． 函数)1(2sin )(-=x x xx f 的间断点中第一类间断点是2． =-→x x x 3sin 1tan lim 3π3． 设函数)0()(>=x x x f x ，则其单调增加区间为 . 4． =+⎰-dx x x )1(cos 223 .5． 微分方程09='-''y y 的通解为=y .二、 单项选择题(本题共5题,每小题5分,共25分)6．设函数)(x f 有连续导数，且0 )0(=f ，1)0(='f ，若函数2s i n)( ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0，0，)(x A x xx x f x F 在0 =x 处连续，则A 等于[ ]（A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4.7．曲线x x y 1 2-=的渐近线有[ ]（A ）0条； （B ）一条； （C ）二条； （D ）三条.8．已知C e xe dx x f x x )(+-=⎰，则⎰'dx x f )(等于[ ]（A ）C e xe x x +-； （B ）C xe x +；（C ）C e xe x x ++； （D ）C e xe x x 2 +-.9．函数1 ln )(+-=ex x x f ，在),0(+∞内零点的个数为[ ]（A ）3； （B ）2； （C ）1； （D ）0.10．微分方程2+=-''x e y y 的待定特解为[ ]（A ）b ae y x +=*； （B ）b axe y x +=*； （C ）bx ae y x +=*； （D ）bx axe y x +=*.三、 解答题 (本题共10题,每小题10分,共100分)11．求n n n n 13)4(lim +∞→. 12．已知)2007()2)(1()(-⋅⋅⋅--=x x x x x f ，求)0(),0(),0()2009()2008(f f f '13．设⎩⎨⎧-=-=)cos 1(3)sin (3t y t t x ，求dx dy ，22dx y d . 14．求 x dt t t t x x 500sin )sin (lim ⎰-+→.15．设函数)(x y y =由方程1cos 12=+⎰+y x t dt e y x 所确定,求0=x dx dy 16．已知1)0(=f ，3)2(=f ，5)2(='f . 求dx x f x )2( 10''⎰17．求由曲线3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形绕直线1-=x 旋转，所得旋转体的体积.18．设)()()(x g x f x F =，其中函数)(， )(x g x f 在) (∞+∞-，内满足以下条件：)( )(x g x f ='，)( )(x f x g ='，且0 )0(=f ，x e x g x f 2 )( )(=+， 试求：（1）)(x F 满足的一阶微分方程；（2）)(x F 的表达式.19．设dt t x S x⎰=0 cos )(，当n 为正整数，且ππ)1(+<≤n x n 时，证明：)1(2)(2+<≤n x S n ；20．设]2,1[)(在x f 上有二阶导数()f x '',且(2)(1)0f f ==,又()(1)()F x x f x =-,证明至少存在一点(1,2)ξ∈,使()0F ξ''=.。

工程硕士学位课程考试 高等工程数学试题（2009年3月）注意：每位考生只要选做以下两部分试题，答案必须写在答题纸上矩阵分析部分一．（8分）设202230,0,123i A i X i i i ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭其中，求112,,,A A AX AX ∞值。

解: 由定义:{}{}111max max 3,4,66max max 5,4,45nij ij nij ji A a A a ∞========∑∑因为1643AX i -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭所以11216512ni i AX AXξ===++====∑二．（6分） 已知函数矩阵：22222222222333332t tt t t t Att t t t t t t t t tt t e e e e e e e e ee e e e e e e e e e ⎛⎫--- ⎪=--- ⎪ ⎪---⎝⎭， 求矩阵.A 解: 设2Att t ee B e C =+, 其中211111121,111332333B C ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭利用公式AtAt de Ae dt=以及1()A A e e --=, 可知()12222(2)()22At At At At t t t t t t de de A e e dt dte B e C e B e C B e BC e CB C ----===++=+++ 由计算可知0BC CB ==, 从而222311131331A B C =+-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭三．（10分）设向量123(1,0,2,1),(2,0,1,1),(1,0,1,0)T T T ααα==-=与12(1,1,0,1),(4,1,3,1)T T ββ==，令),,,(3211αααL V =),(212ββL V =，（1）求21V V +的一组基和维数； （2）求维数)dim(21V V 。

高等工程数学题（南理工高等工程数学考题）南京理工大学工程硕士高等工程数学学位课程考试试题（2010.3）（一）矩阵分析一．（6分）设,021320012-=A 求21,,A A A ∞值。

二．（8分）已知函数矩阵：22222222222223332t t t t t t Att t t t t t t t t tt t e e e e e e e e ee e e e e e e e e e ??--- ?=--- ? ?---?，求矩阵.A 。

三．（10分）已知矩阵822254245--=A ，()=099t t e e t b （1）求Ate ；（2）求解微分方程()()()()()??=+=T x t b t Ax dt t dx 2,0,10。

四．（10分）给定3R 的两个基()Tx 1,0,11= ()Tx 0,1,22= ()Tx 1,1,13=()Ty 1,2,11-= ()Ty 1,2,22-= ()Ty 1,1,23--=定义线性变换：i i y Tx = ()3,2,1=i（1）写出由基321,,x x x 到基321,,y y y 的过渡矩阵；（2）写出T 在基321,,x x x 下的矩阵；（3）写出T 在基321,,y y y 下的矩阵。

五．（8分）给定(){}R a a A Rij ij ∈==??2222（数域R 上的二阶实矩阵按矩阵的加法和数乘构成的线性空间）的子集 {}0221122=+∈=?a a R A V（1）证明V 是22?R的线性子空间；（2）求V 的一组基与维数。

六．（8分）设A 是实反对称矩阵，证明：A 的特征值为零或纯虚数。

（二）数值分析一．（8分）作一个五次多项式()x H ，使得()31=H ()12-=H ()34=H ()21='H ()12='H ()22=''H 二．（10分）分析方程 ()11=-xe x存在几个实根，用简单迭代格式求出这些根（精确到四位有效数字），并说明所用迭代格式是收敛的。

工程硕士（GCT）数学模拟试卷110(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题选择题（25题，每小题4分，共100分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．周长相同的圆、正方形和正三角形的面积分别为a，b和c，则a，b，c 的大小关系是[ ]．A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞a＞6D．a＞c＞6正确答案：A解析：周长为l的圆半径为，周长为l的正方形边长为，面积为，周长为l 的正三角形边长为．因为4π＜16＜，即a＞b＞c．故选A．2．三名小孩中有一名学龄前儿童，他们的年龄都是质数，且依次相差6岁．他们的年龄之和为[ ]．A．21B．27C．33D．39正确答案：C解析：根据题意，有一名儿童的年龄不足6周岁，所以最小孩子的年龄只可能是2，3或5．由于2＋6＝8和3＋6＝9都是合数，所以最小孩子的年龄是5，从而三个孩子的年龄分别是5，11，17，他们的年龄之和为5＋11＋17＝33．故选C．3．已知某单位的A部门人数占单位总人数的25％，B部门人数比A部门少，C部门有156人，比B部门多，该单位共有[ ]人。

A．426B．480C．600D．624正确答案：C解析：因为，所以B＝120。

又因为，所以A＝150．从而单位总人数为＝600．故选C．4．设互不相同的3个实数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C．若｜a—c｜＜｜a—b｜＋｜b—c｜，则点B[ ]．A．在A，C点的左边B．在A，C点的右边C．在A，C两点之间D．与点A，C的关系不确定正确答案：D解析：因为｜a—c｜≤｜a—b｜＋｜6—c｜，且“＝”成立与点B位于A，C两点之间等价，所以当｜a—c｜＜｜a—6｜＋｜b—c｜时，点B不会位于A，C两点之间．但既可以位于A，C点的左边，也可以位于A，C点的右边．故正确选项为D．故选D．5．若(1—2x)9按二项式定理的展开式中第三项等于288，则＝[ ]．A．B．C．1D．2正确答案：D解析：(1—2x)9＝1—C912x＋C91(2x)2＋…．所以36(2x)2＝288，得，于是故选D．6．把两个不同的白球和两个不同的红球任意地排成一列，结果为两个白球不相邻的概率是[ ]．A．B．C．D．正确答案：D解析：总排列数为P44＝24．要求白球不相邻，可以先定两个位置放白球，放法有P22＝2．两白球的左、右端和中间三处空位．若选左端和中间各放一红球，有P22＝2种排法．同理选中间和右端各放一红球，也有2种排法．若选中间放两个红球，也是2种放法。

工程数学自考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪项是线性方程组的解？A. 解存在且唯一B. 解不存在C. 解有无穷多个D. 无解答案：A2. 矩阵的秩是指什么？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行数或列数D. 矩阵的元素个数答案：C3. 微分方程的解是下列哪一项？A. 函数B. 数值C. 矩阵D. 向量答案：A4. 泰勒级数展开的中心点是？A. 0B. 1C. 任意点D. 函数的零点答案：C5. 傅里叶级数是用于什么？A. 函数的近似B. 函数的精确表示C. 函数的积分D. 函数的微分答案：A6. 线性代数中，向量空间的基是什么？A. 一组线性无关的向量B. 一组线性相关的向量C. 一组向量D. 一组标量答案：A7. 拉普拉斯变换是用于解决什么问题？A. 微分方程B. 积分方程C. 代数方程D. 线性方程组答案：A8. 欧拉公式是用于解决什么问题？A. 微分方程B. 积分方程C. 代数方程D. 线性方程组答案：A9. 概率论中，随机变量的期望值是什么？A. 随机变量的平均值B. 随机变量的中位数C. 随机变量的众数D. 随机变量的方差答案：A10. 泊松分布适用于描述什么？A. 连续型随机变量B. 离散型随机变量C. 正态分布的随机变量D. 二项分布的随机变量答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 如果一个线性方程组有唯一解，则该方程组是_________的。

答案：相容2. 矩阵的对角线元素之和称为矩阵的_________。

答案：迹3. 微分方程的通解是包含_________的解。

答案：任意常数4. 泰勒级数展开的公式是_________。

答案：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ...5. 傅里叶级数的公式是_________。

答案：f(x) = a0/2 + Σ[an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L)]6. 向量空间的基有_________个向量。

国防科技大学12级硕士研究生高等工程数学试题一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分. 把答案填在题中的横线上）1． 设1234A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A 在基： 1011000000001011⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭，，， 下的坐标为________．2． 设12αα，是欧氏空间n V 中两个线性无关向量，记{|,0,1,2}i W i ξαξ=<>==．则dim() W =3． 若矩阵T A =⋅11，其中[1,1,,1]T n =∈1 ，则+=A ．4． 设10i 012i 25A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，则12||||||||A A ⋅= ． 5． 将[2,1,2]T x =变换为[3,0,0]T y =的Householder 矩阵H = ．6． 设1210,,,X X X 是来自总体总体(10,10)N 的样本，样本均值101110i i X X ==∑，则1~X X - ． 7． 设总体X 的概率密度函数为0.75, 1,()0.25, 1,0, x f x x others θθθθ<≤+⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩1210,,,X X X 是来自该总体的样本，则未知参数θ的矩估计量ˆθ= ．8． 对一批电子元件随机抽取5只进行寿命试验，测得寿命的样本平均值116()x h =，样本标准差10()s h =.设寿命服从正态分布2(,)N μσ，则该批电子元件寿命均值μ的置信度为95%的单侧置信区间下限为________. 9． 已知随机向量123[,,]T X x x x =的协方差矩阵为5353225210V -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦且1233)y x x x =+-是X 的一个主成分，则主成分y 的贡献率为 . 10．今有某型号的电池3批，它们分别是A 、B 、C 三个工厂所生产，为了考察其质量，分别从3批电池中各抽取5个测量其寿命值，从3组样本观测值算得方差分析表的部分数据如下：在显著性水平0.05下，因为 ，故可认为三批电池存在显著差异.二（10分）设矩阵311221220A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，问A 是否可以对角化？请说明理由，并写出A 的相似标准形.三（10分）定义2222⨯⨯→ 的线性变换如下：2211, 11TA A A ⨯-⎡⎤=∈⎢⎥-⎣⎦（1） 求T 在基123410010000,,,00001001E E E E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦下的矩阵； （2） 求值空间()R T 的一个基.四（10分）已知5117A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求k A (k 为正整数)，并计算A e .五（10分）已知矩阵110111002A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （1） 求矩阵A 的三角分解； （2） 求矩阵A 的正交三角分解.六（10分）设总体X 服从几何分布，其分布律：1{}(1), 1,2,3,k P X k p p k -==-=其中 (01)p p <<为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体X 的样本. （1） 求未知参数1p θ- 的极大似然估计量ˆθ； （2） 证明ˆθ是θ的最小方差无偏估计.七（10分）从城市的A 区中抽取16名小学生测试器智商，平均值为112，修正的样本方差为100，而该城市的B 区中抽取的16名小学生的智商平均值为107，修正的样本方差为64，在显著性水平0.10α=下，可否认为这两组学生来自同一个总体？假设学生的智商服从正态分布.八（10分）设有正态线性回归模型：11234121232312434124222222~(0,),cov(,),,1,2,3,4i i j ij y y y y N i j ββββεβββεβββεββεεσεεδσ=++++⎧⎪=+-+⎪⎪=+-+⎨⎪=-+⎪⎪==⎩其中1234,,,y y y y 是已知的观测值.（1） 求参数1234,,,ββββ的最小二乘估计1234ˆˆˆˆ,,,ββββ； （2） 12ˆˆ(,)ββ与34ˆˆ(,)ββ是否独立？为什么？。

中南大学专业硕士“高等工程数学”考试试卷A （开卷）考试日期：2020年 12月30 日 时间100分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)（1）算法21212(,)sin y f x x x x ==+，已知1x 和的2x 绝对误差限分别为001.0)(1<x ε和002.0)(2<x ε，则()y ε≤ ；（2）已知函数)(x f y =通过节点(-1,1),(1,2),(2,5),(3,1)，则相应三次Lagrange 插值多项式的插值基函数2()l x = ；（3）设01,,,[-1,1]n x x x ∈，数值积分公式10011-1()()()()n n f x dx A f x A f x A f x =+++⎰的代数精度不小于2，则=+++n n x A x A x A 1100 ；（4）若插值结点数为1=4n +，请写出在第一类边界条件下，用M 方法求三次样条插值函数()S x 需求解的线性方程组的系数矩阵 ；（5）设130124, 302A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则矩阵A 的Doolittle 分解 L = ,U = ； （6）解方程组123130412473025x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭的Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵为G = ； （7）设总体X 服从[1,1]θ+上的均匀分布，则θ的矩法估计为 ，极大似然估计为 ；（8）如果,x y 有如下形式的一元线性回归模型20.8~(0,)Y a x N εεσ=++⎧⎨⎩，(,).1,2,,i i x y i n =为一组独立观测数据，则a 的最小二乘估计为 ， 2σ的无偏估计为 ；二、（本题12分）已知)(x f y =的函数值如下表：用适当的多项式插值算法计算(1.2)f 的近似值，并估计截断误差。

三、（本题12分）设定积分⎰b a dx x f )(在将积分区间],[b a 逐次分半的过程中用复合梯形公式计算的近似值如下表：请利用表中数据计算()ba f x dx ⎰足够高精度的近似值，并估计算法截断误差的上界。

《高等工程数学》试题解答 （工程硕士及进修生用 2003.1）考生注意：1、可不抄题,答案必须写在统一配发的专用答题纸上； 2、本试题可能用到的常数：5752961 64199509750950 . ,. ,....===u u u . 一、填空题 (每空3分,共30分)。

(1) ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=010100001H ；(2) 1)(Cond 2=U ；(3) 7 3 , ；(4) )1 1 (~)()(221221,F X X X X -+；(5) X 2ˆ=θ； (6) 664≥n ；(7) e A SS SS SS +=.二、(10分)[解] 记)(21A A diag A ,=，则21A A ,的特征多项式为2)1()()(21-==λλλA A f f ， ∵ O I A ≠21 -，O I A ≠22 -，∴ 2)1()()(21-==λλλA A m m ， 取)( )(21λλA A m m ,的最小公倍式，得 2)1()(-=λλA m ，故A 的Jordan 标准形为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 111111 , diag . 三、(10分)[解一] 记⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=πππ021 A ,其特征值为πλ-=1 (二重根),记 则令 ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=-⇒⎩⎨⎧'='=t t a t t t a t t a t a a g f g f 1 0 1 101 1 1 1 c o s sin cos cos sin )()()()(πππππππλλλλ ∴ . ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==t t t t t A f g A g g A g At sin 00cos sin 000sin )()()()()(sin 2 11πππππππ[解二] ∵ J A 2 2001200022ππ∆⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--= ∴ . ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==t t t t t t t t t t J t At sin 00cos 2sin 000sin )2(2sin 00)2(2cos 2)2(2sin 00022sin )2sin(sin πππππππππππ 四、(10分)[解] 对A 进行行初等变换故⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==--21 12 121 1 211 121)(11 R L L , 从而A 有Doolittle 分解：五、(10分)[证] 将ω扩充为nV 的一个标准正交基 B } {n ααω,,,2 =则∴ T B =-==} {} {n n T T T ααααωω,,,,,,22 B P 其中} 1 1 1 {,,, -=diagP 为对称和正交矩阵，故T 是对称变换和正交变换。

中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2011年 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)（1） 对方程32()2f x x x x =-+，写出其Newton 迭代公式 【注意重根】 ，使得由迭代公式产生的序列{}n x 可以2阶收敛于方程的唯一正根*x ；（2）在[,]a b 上，设0)(=x f 与)(x x ϕ=等价，则当)(x ϕ满足 ， 和 时，由)(1k k x x ϕ=+（L ,2,1,0=k ）产生的序列{}k x 收敛于方程)(x x ϕ=的根；（3）用Doolittle 分解法求方程：123211413261225x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则：L = ，U = ，解x = ；（4）已知 2114132,61225A x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 则：A ∞= ；1A = ；1x = 。

（5）已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，则其三次样条插值函数)(x S 是满足 ， ， ；（6）设有线性回归模型1112122312322y y y βεββεββε=+⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩，其中2~(0,)(1,2,3)i N i εσ= 且相互独立，写出参数12,ββ的最小二乘估计 。

（7）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。

写出三种常用的自变量的选取方法 。

（8）影响数学模型数值求解结果的误差有： ， ， 。

二、（本题8分）已知)(x f 的数据如表：试求三次Newton 插值多项式3()N x ，求(5)f 的近似值，并给出相应的误差估计式。

三、（本题10分）引入人工变量利用大M 法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：12121212max 34..240.510,Z x x s tx x x x x x =++≤-≥≥≥四、（本题8分）某厂生产甲、乙、丙三种产品，都分别经A,B 两道工序加工，A 工序在设备1A 或2A 上完成，B 工序在1B ，2B ，3B 三种设备上完成。