高等工程数学题(南理工高等工程数学考题)

考试题及参考解答(参考)一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而1215(,,)X X X 是来自X 的样本，则221102211152()X X U X X ++=++服从的分布是_______ .解：(10,5)F ．2，ˆnθ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：ˆˆlim (), lim Var()0n nn n E θθθ→∞→∞==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ .解：推断各因素对试验结果影响是否显著．5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计ˆβ的协方差矩阵ˆβCov()=_______ . 解：1ˆσ-'2Cov(β)=()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设总体~(1,9)X N ，129(,,,)X X X 是X 的样本，则___B___ .（A ）1~(0,1)3X N -； （B ）1~(0,1)1X N -； （C ）1~(0,1)9X N -； （D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的置信区间____B___ .（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .（A ）T e A S S S =+； （B ）22(1)AS r χσ-；（C ）/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----； （D ）A S 与e S 相互独立.5，在多元线性回归分析中，设ˆβ是β的最小二乘估计，ˆˆ=-εY βX 是残差向量，则___B____ . （A ）ˆn E ()=0ε； （B ）1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ； （C ）ˆˆ1n p '--εε是2σ的无偏估计； （D ）（A ）、（B ）、（C ）都对.三、（本题10分）设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明12(2)X Y t n n +-，其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+，(0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--，22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、（本题10分）设总体X 的概率密度为1, 0,21(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他，其中参数01)θθ<<（ 未知，12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本，X 是样本均值，（1）求参数；的矩估计量θθˆ（2）证明24X 不是2θ的无偏估计量．解：（1）101()(,)22(1)42x x E X xf x dx dx dx θθθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰，令()X E X =，代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22X θ=-． （2）222211141 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n nθθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦，因为()00D X θ≥>，，所以22(4)E X θ>．故24X 不是2θ的无偏估计量．五、（本题10分）设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计． 解：X 的密度函数为1,0;(,)0,x f x θθθ≤≤⎧=⎨⎩其他, 似然函数为1,0,1,2,,,()0,n i x i n L θθθ<<=⎧⎪=⎨⎪⎩其它显然0θ>时，()L θ是单调减函数，而{}12max ,,,n x x x θ≥，所以{}12ˆmax ,,,n X X X θ=是θ的极大似然估计．六、（本题10分）设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,)n X X X 为总体的样本，证明X 是参数p 的一个UMVUE ．证明：X 的分布律为1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．容易验证(;)f x p 满足正则条件，于是21()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦．另一方面1(1)1Var()Var()()p p X X n n nI p -===， 即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故X 是p 的一个UMVUE ．七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布20(,)N μσ，由以前的观测可知056μ=．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得261, 400x s ==, 问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异(α=0.05)．附表如下：t 分布表 χ2分布表解：设0H ：560==μμ．构造检验统计量)15(~0t ns X t μ-=， 确定拒绝域的形式2t t α⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．由05.0=α，定出临界值1315.2025.02/==t t α，从而求出拒绝域{}1315.2>t ．而60,16==x n ，从而 ||0.8 2.1315t ===<，接受假设0H ，即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X μσ，222~(,)Y μσ，221212, , , μμσσ未知，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体Y X S S 2221 , []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 则222221211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭，所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为 222212121/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭． 九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．答：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测。

期中高等数学测验一 填空（共20分，每小题4分） 1 已知)(cos )(sin 22x f x f y +=，则___________________=dxdy2 已知x x x y )1(+=,则___________________=dxdy。

3 已知曲线的极坐标方程为θ3sin a r =，则它在6πθ=处的切线方程____________.4 x x y 2sin =则)(n y=__________________________.5 已知02])2([522lim=-+--+→x B x A x x ，则A=________,B=___________二 计算或证明 （每小题7分，共56分 ）1求 xx x x e sin 1)23(lim +-→ 的极限。

2 求函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+≤≤-=21,21121,ln 2)(x xx x x f 的导数。

3求f(x) = ln x 在x = 1 点的n 阶泰勒公式（Peano 余项）4求由方程y y x =+)cos(确定的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx yd 。

5 222,1)1ln(dx yd arctgty t x 求⎩⎨⎧-=+= 6. 求函数3326)(x x x f -=的极值 7 求⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=)1|(||,1|);1|(|,2cos )(x x x xx f π的间断点，并判断其类型。

8 证明方程0132=---x x e x有且仅有三个实根。

三 （8分）设 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-0,0;0,)()(x x xe x g xf x其中，)(x g 有二阶连续导数且 1)0(,1)0('-==g g 。

（1）求)('x f ; （2）讨论)('x f 在),(+∞-∞上的连续性。

四（8分） 设 ),,,max (21m a a a A =, 且0>k a （m k ,,2,1 =），证明A nnm n n n a a a =++∞→ 21lim。

工程硕士学位课程考试
高等工程数学试题
注意：每位考生只要选做以下两部分试题，答案必须写在答题纸上
矩阵分析部分
一．（6分）设求值。

解：参考试题2第一题
二．（8分）已知函数矩阵：，求矩阵
解：参考试题2第二题
三．（10分）设向量
与，令，
（1）求的一组基和维数；（2）求维数。

解：参考试题2第三题
四．（10分）设，
1．求的Jordan标准形及最小多项式；
解: 矩阵的最小多项式为, Jordan标准形为
2。

求解初值问题
解：参考试题2第四题（2）小题
五．（8分）设与是线性空间的两个基，为从基到的过渡矩阵，为的一个线性变换，在基下的矩阵，求线性变换在基下的矩阵。

解: 由题意有
所以由第一式有
把第二式和第三式代入得到
把第一式代入左边得到
从而有, 所以
六．（8分）设且可逆，，求证：的特征值都是正数。

证明: 因为为正规矩阵, 所以酉矩阵与对角矩阵. 即存在酉矩阵, 使得, 其中为对角矩阵, 从而
所以的元素全为实数. 设为任意一个特征值, 是属于的特征向量, 则有
得证.。

《高等工程数学》训练题I 、矩阵论部分1、 在线性空间V=R 2×2中，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111,0111,0011,00014321ββββ是V 的一个基，则a b c d V α⎛⎫∀=∈⎪⎝⎭，α在{}4321,,,ββββ下的坐标为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---d dc c b b a 。

2、设α1=(1,1,-2,1),α2=(2,7,1,4), α3=(-3,2,11,-1), β1=(1,0,0,1), β2=(1,6,3,3)，令V 1=L(α1,α2, α3)，V 2=L(β1, β2)，(1)求dim(V 1+V 2)及V 1+V 2的一个基； (2)求)V dim (V 21I 。

解：(1)对下列矩阵施行如下初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==00000010*******113210100002000101101132151550525501011011321'20220525505155011321311413011126027111321)(21321TT T T T A ββααα∴r(A)=3∴r(α1, α2, α3, β1, β2)=3 ∴dim(V 1+V 2)=3可选{α1, α2, β1}为V 1+V 2的基(2)∵dim V 1=r{α1, α2, α3}=2,dimV 2=r{β1, β2}=2∴dim(V 1∩V 2)=dimV 1+dimV 2-dim(V 1+V 2)=2+2-3=1 。

3、设V 是数域F 上的n 维线性空间，T 是V 的一个线性变换，证明（1）dimT(V)+dimker(T)=n 。

（2）若T 在{}12,,,n αααL 下对应矩阵为A ，则rankT=dimT(V)=r(A)。

数值分析（计算方法）部分一． （8分）求一个次数不高于3的多项式)(x f ，使它满足：,3)1(,4)0(==f f0)1(,8)2(/==f f ，并求差商]3,1,1,3[--f 的值。

解：先用f(0)=4,f(1)=3,f(2)=8求N 2(x) 商差表：0 413-12 8 5 3∴ N 2(x)=4+(-1)(x-0)+3(x-0)(x-1)=4-4x+3x 2∵ f(x)次数≤3∴ 可设f(x)= N 2(x)+k(x-0)(x-1)(x-2)（k 为待定常数）f(x)=4-4x+3x 2+k(x 3-3x 2+2x) ∴ f ’(x)=6x-4+k(3x 2-6x+2)f ’(1)=6-4+k(3-6+2)=2-k=0 ∴ k=2∴ f(x)= 4-4x+3x 2+2(x 3-3x 2+2x)=2x 3-3x 2+4∴ (3)f ()23!f[3,1,1,3]23!3!ξ⨯--===二．（10分）用迭代法求解方程：02010223=-++x x x 的所有实数根（要求判断根的个数及范围，构造收敛的迭代格式，并且求出精确到510-的近似根）。

解：设f(x)=x 3+2x 2+10x-20∵ f ’(x)=3x 2+4x+10=2x 2+(x+2)2+6>0 (x (,)∀∈-∞+∞)∴ f(x)在(-∞,+∞)上单调递增 ∴ 方程最多有一个实根∵ f(1)=-7<0，f(2)=16>0∴ 方程有且仅有一个实根x *，并且x *∈(1,2) 选用Neuton 迭代法32k k k k k 1k k 2k k k f (x )x 2x 10x 20x x x f '(x )3x 4x 10+++-=-=-++ (k=0,1,2,……) 它在单根x *附近至少平方收敛计算，选取x 0=1.5x 1=1.373626，x 2=1.368815，x 3=1.368808 ∵ |x 3-x 2|=0.000007<10-5∴ 1.36881为精确到10-5的近似根1．用列主元素法解方程组： ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13814142210321321x x x 2．写出用Seidel Gauss-迭代法求解线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--13741133403312321x x x 的迭代格式，并讨论其收敛性。

一.选择填空2.设D 由x2 + y2 = a2围成，则jj(x2 + y2^ixdy - (^ p1 pdp = —a4)3.改变积分顺序，则jdy. f(.^y)d^ = (^dx^f(x,y)dy)x £4.设D由值域y=-x,x=O及y=-l所围成，则JpdMy =(，由『"故=J)。

25.设D 由 |尤+乂 = 1，|工一乂 = 1所围，则^dxdy = (2)D00 006.如果级数£与发散，k为常数，则级数£>“ (可能收敛可能发散)〃=1 〃=100 007.若级数收敛，则下列结论不成立的是(£虹|收敛)n=l n=lco8.正项级数发散，贝U其部分和=%+。

2+..・+。

〃(n=l, 2, 3...)(单调增〃=i上无界) 009.设幕级数2"”在其x = 2处收敛，则级数在x = -1处(绝对收敛)n=0 oo (_ 1 )〃+110.幕级数1)”的敛散半径R=(室_)〃=i 2〃—n11.下列方程为一阶线性方程的是(y'—f=、+1)12.方程y' = 2xy的通解y = ( Ce x )13.方程= y In y满足条件y'=i=/的特解是^= ( )y，=i = e2的特解是y =(技)14.方程y” —y‘ —2y = 0 的通解y= ( C^2x + C2e-x )15.方程/ 的通解为()；=C{x2 + C2 )16.平面3(y-1) = 0的位置特征是(垂直于oz轴)17.平面3y-2z = l的位置特征是（平行于竺轴）18.下列方程在空间表示平面的点（x=y）19.在空间解析几何中，方程y = .r表示(母线平行于竺轴的柱面)20.设f (x, y) = xy-，，贝0 f(x,x~^= ( .r3 -.r )21.f(x+y,x-y) = x2 -y2,贝>J f(x,y)= ( xy )22.设z=\-\ ,其中a>0为常数，则与=(-V41n«)\a) ox \a) x23.^ f(x,y) = x2y + (y-l)arccos^~ ,则j)24.点(0,0)是函数z = xy的(信 )25.设函数f(x,y)=x2-2x-y,贝lj f(x,y)在(1, 0)处(无极值)26.设z = (sinx)C0SX,贝U dz= sinx C0SX -sinxlnsinx+故 + dy、sin x J27.交换积分次序y f(x,y)dx = J^x£/(x,y)+,故「f 3)肉28.交换次序f「/(x, y)lx = f dx「/(x, y)dy29.z=(l + xy广，则刍(|j)=_Z_ex10030.1im = 0是数项级数YU n收敛的必要条件X->00n=lco n31 .幕级数£一W的收敛域是［-2,2) n=l n * 2〃8 Y〃―132.级数2云？目的收敛域是〔一3,3)33.z = ln(jx + l + Jy+ 1),则令|(i,i) = §34.z = e2x2+2y2,则dz = 4e2x2+2y2(xdx+ ydy)二.计算解：z =lnx>dz ¥2cos(xy)(— sin xy)» x + 2 —=2cos(xyX _ sinxy)« y dx4.解: z = fx2 z = f X 2-y\ '-y 2.e x y\2 r -y ,e 求丑，色 dx dy 2 u=x - Zv = e x解:a--- —Xdx -- —Q dy713. z = cos2(_xy)+ln(l+y2), 求$，~~ 解：z =cos 2(xy)+ln(l + y 2)巫=玄.土+丑.也=玄・2"四dx du dx dv dx du dv I x 2玄=玄.土+丑.丝=玄.(—2y)+丑・上・】 dy du dy dv dy du dv x 5. z = Q 心'(巧)，求 dzVdy1. z = (lnx)'dz dy dz dx y(lnx)y-1 •—x —=(in x)y ln(ln x) dy2. 解:求4(0, 9z = •sin(x -2y)+e~x •cos(x -2y)z =e~x sin(x-2y),(0,6.z=ln[W(xy)],求日+ COSz ； = —sin2(3 5 7 5j521解:\<p<2 O<0<71 ,2|o k^ = -—(cosl-1)|4 = § -+ycot(xy) =-^-y 2csc 2(xy) OX OX \_X J X2]7. 计算 ^^dxdy 9 D 由 y = x 29 y=—，x-2 围成。

1高等工程数学题一、非空集合V 为数域P 上的线性空间，α∈V ，λ∈P ，θ为零元素，证明性质：1、0·α=θ 2、λ·θ=θ 3、（-1）α=-α 证明：1、∵α+0·α=（1+0）·α=α，由线性空间运算规则第3条规则 ∴0·α=θ 2、∵当λ≠0时，α+λ·θ=λ·（1/λ·α）+λ·θ=λ·(1/λ·α+θ) /由线性空间运算规则第3条规则λ·(1/λ·α+θ)= λ·(1/λ·α)= α /当λ=0时，α+λ·θ=α+0=α/由线性空间运算规则第3条规则 ∴λ·θ=θ3、∵α+（-1）α=（1+（-1））α=0·α=θ 由线性空间运算规则第4条规则 ∴（-1）α=-α二、在R 4中，有两组基：（1）α1=（1,0,0,0）；α2=（0,1,0,0）；α3=（0,0,1,0）；α4=（0,0,0,1）. （2）β1=（2,1,-1,1）；β2=（0,3,1,0）；β3=（5,3,2,1）；β4=（6,6,1,3）.求：1）从第（1）组到第（2）组基的过渡矩阵；2）向量χ=（ξ1，ξ2，ξ3，ξ4）对第（2）组基的坐标；3）对两组基有相同坐标的非零向量。

解：1）根据题意可得：β1=2α1+α2-α3+α4；β2=3α2+α3；β3=5α1+3α2+2α3+α4；β4=6α1+6α2+α3+3α 4由上式及（α1，α2，α3，α4）·A=（β1，β2，β3，β4）可得过渡矩阵A 为：A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3111211633165022) 设χ´为χ对第(2)基的坐标,则χ´=A -1·χ,下面通过坐标变换求A -1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10003101010012110010633100016502=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10003101010012110001650200106331=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------10103230011075400021616000106331=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----10103230110043102001030000106331=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--43109700200103001100431010003101=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3/26313/79003/2003/10100310140103/5003/13001=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------27/263/19/127/710003/2003/1010027/233/19/427/100109/1113/19/40001=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------27/263/19/127/710003/2003/1010027/233/19/427/100109/1113/19/40001 ∴A -1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------27/263/19/127/73/2003/127/233/19/427/19/1113/19/4 ∴向量χ对第（2）组基的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++--=-=--+=--+=432144134321243211*27/263/1*9/1*27/7'*3/2*3/1'*27/23*3/1*9/4*27/1'*9/11*3/1*9/4'ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ3)根据题意令χ´=χ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++--=-=--+=--+=432144134321243211*27/263/1*9/1*27/7*3/2*3/1*27/23*3/1*9/4*27/1*9/11*3/1*9/4ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ 解方程组得ξ1=ξ2=ξ3=-ξ4,根据题意,存在任意非零向量(c,c,c,-c)(c ≠0)对两组基有相同坐标.三、设向量组1）α1=（1,0,2,1）；α2=（2,0,1,-1）；α3=（3,0,3,0），2）β1=（1,1,0,1）；β2=（4,1,3,1）. 若V 1=L(α1,α2,α3),V 2=L(β1,β2),求V 1+ V 2的维数及一组基。

2009级（下）A 卷一：填空与选择题(每空3分，共30分)1. 一动点到(1,0,0)的距离为到平面4x =的距离的一半, 则动点的轨迹方程是___________________。

2. ),(y x z z =由方程ln x z z y =所确定，则yz∂∂=______________ 。

3. 改变积分顺序=⎰⎰-122)d (d y yx y x,f y _________ _。

4. 若级数1()1n n nu n ∞=++∑收敛，则n n u ∞→lim = ______________。

5 L 为圆周)20(sin ,cos π≤≤==t t a y t a x , 则积分222()d Lxy s +⎰=_______。

6 方程(2)0x y dx xdy ++=的通解是_________________。

7 设222:1x y z Ω++≤，则3(2)x dxdydz Ω+⎰⎰⎰= ( )A 0B 443π+C 843π+D 83π 8. 下列级数中收敛的是( )A 23112n n n n ∞=+-∑ B ∑∞=1sin n n π C ∑∞=+1123n n D ∑∞=+112cos n n n π9. 设∑是半球面2222a z y x =++(0z ≥)，则⎰⎰∑++S z y x d 222的值为( )A 34a π B 32a π C 32a -π D 34a π- 10. 设二阶常系数非齐次线性微分方程的三个特解为：,1x y =,e 2xx y +=x x y e 13++=，则该微分方程的通解可表达为( )A x C x C x x +++e e 21B x xC x C x x +++++)e 1()e (21 C x C C x x +++)e 1(e 21D x x x C x C e )e 1(21++++二： （9分） 求过点)2,1,3(-M 且通过直线12354zy x =+=-的平面方程。

高等工程数学南京理工大学智慧树知到答案2024年第一章测试1.有限维线性空间上范数1,范数2之间的关系是A:2强于1 B:等价 C:1强于2 D:无法比较答案:B2.赋范线性空间成为Banach空间，需要范数足？A:完备性 B:可加性 C:不变性 D:非负性答案:A3.标准正交系是一个完全正交系的充要条件是满足Parseval等式A:错 B:对答案:B4.在内积空间中，可以从一组线性无关向量得到一列标准正交系A:对 B:错答案:A5.矩阵的F范数不满足酉不变性A:错 B:对答案:A6.与任何向量范数相容的矩阵范数是？A:F范数 B:极大行范数 C:算子范数 D:极大列范数答案:C7.正规矩阵的谱半径与矩阵何种范数一致A:极大行范数 B:极大列范数 C:矩阵2范数 D:算子范数答案:C8.矩阵收敛，则该矩阵的谱半径A:无从判断 B:大于1 C:小于1 D:等于1答案:C9.矩阵幂级数收敛，则该矩阵的谱半径A:等于1 B:大于1 C:无从判断 D:小于1答案:D10.正规矩阵的条件数等于其最大特征值的模与最小特征值的模之商A:错 B:对答案:B第二章测试1.l矩阵不变因子的个数等于( )A:矩阵的列数 B:矩阵的秩 C:行数和列数的最小值 D:矩阵的行数答案:B2.Jordan标准形中Jordan块的个数等于( )A:矩阵的秩 B:行列式因子的个数 C:不变因子的个数 D:初等因子的个数答案:D3.Jordan块的对角元等于其( )A:初等因子的零点 B:初等因子的次数 C:不变因子的个数 D:行列式因子的个数答案:A4.n阶矩阵A的特征多项式等于( )A:A的n个不变因子的乘积 B:A的n阶行列式因子 C:A的行列式因子的乘积 D:A的次数最高的初等因子答案:AB5.下述条件中，幂迭代法能够成功处理的有( )A:主特征值有两个，是一对共轭的复特征值 B:主特征值有两个，是一对相反的实数 C:主特征值是实r重的 D:主特征值只有一个答案:ABCD6.n阶矩阵A的特征值在( )A:A的n个行盖尔圆构成的并集与n个列盖尔圆构成的并集的交集中 B:A的n个列盖尔圆构成的并集中 C:A的n个行盖尔圆构成的并集中 D:都不对答案:ABC7.不变因子是首项系数为1的多项式A:错 B:对答案:B8.任意具有互异特征值的矩阵，其盖尔圆均能分隔开A:对 B:错答案:B9.特征值在两个或两个以上的盖尔圆构成的连通部分中分布是平均的A:错 B:对答案:A10.规范化幂迭代法中，向量序列uk不收敛A:对 B:错答案:B第三章测试1.二阶方阵可作Doolittle分解A:错 B:对答案:A2.若矩阵A可作满秩分解A=FG,则F的列数为A的（）A:列数B:都不对C:秩D:行数答案:C3.矩阵的满秩分解不唯一.A:错 B:对答案:B4.酉等价矩阵有相同的奇异值.A:对 B:错答案:A5.求矩阵A的加号逆的方法有（）A:满秩分解 B:Greville递推法 C:奇异值分解 D:矩阵迭代法答案:ABCD6.若A为可逆方阵，则A:错 B:对答案:B7.用A的加号逆可以判断线性方程组Ax=b是否有解？A:对 B:错答案:A8.A的加号逆的秩与A的秩相等A:错 B:对答案:B9.若方阵A是Hermite正定矩阵，则A的Cholesky分解存在且唯一.A:错 B:对答案:B10.是Hermite标准形.A:错 B:对答案:A第四章测试1.（）是利用Gauss消去法求解线性方程组的条件.A:系数矩阵的顺序主子式均不为0B:系数矩阵满秩C:所有主元均不为0D:都不对答案:AC2.关于求解线性方程组的迭代解法, 下面说法正确的是（）.A:J法和GS法的敛散性无相关性B:若迭代矩阵谱半径不大于1, 则迭代收敛C:若系数矩阵A对称正定, 则GS迭代法收敛D:都不对答案:AC3.如果不考虑舍入误差, （）最多经n步可迭代得到线性方程组的解.A:SOR法B:共轭梯度法C:最速下降法D:都是答案:B4.关于共轭梯度法, 下面说法正确的是（）A:相邻两步的残量正交 B:相邻两步的搜索方向正交 C:搜索方向满足A共轭条件 D:B和C都对答案:D5.下面哪些是求解线性方程组的迭代解法（）.A:共轭梯度法 B:三角分解解法 C:ABC都对 D:最速下降法答案:AD6.若系数矩阵A对称正定, 则（）A:J法和GS法均收敛B:都不对 C:可用Cholesky法求解线性方程组D:SOR法收敛答案:C7.任意线性方程组都可以通过三角分解法求解.A:错 B:对答案:A8.最速下降法和共轭梯度法的区别在于选取的搜索方向不同.A:错 B:对答案:B9.广义逆矩阵法可用于任意线性方程组的求解.A:对 B:错答案:A10.Gauss消去法和列主元素法的数值稳定性相当.A:错 B:对答案:A第五章测试1.对于凸规划，如果x为问题的KKT点，则其为原问题的全局极小点A:对 B:错答案:A2.对于无约束规划问题，如果海塞阵非正定，我们可采用哪种改进牛顿法求解原问题？A:难以处理 B:构造一对称正定矩阵来取代当前海塞阵，并一该矩阵的逆乘以当前梯度的负值作为方向 C:牛顿法 D:阻尼牛顿法答案:B3.共轭梯度法中，为A:FR公式 B:DY公式 C:DM公式 D:PRP公式答案:A4.内点罚函数法中常用的障碍函数有A:三种都可以B:二次函数C:倒数障碍函数D:对数障碍函数答案:CD5.广义乘子罚函数的优点是在罚因子适当大的情形下，通过修正拉格朗日乘子就可逐步逼近原问题的最优解？A:错 B:对答案:B6.分子停留在最低能量状态的概率随温度降低趋于( ).A:2 B:3 C:0 D:1答案:D7.模拟退火算法内循环终止准则可采用的方法.A:固定步数 B:温度很低时 C:接受概率很低时 D:由接受和拒绝的比率控制迭代步答案:AD8.背包问题是组合优化问题吗？A:错 B:对答案:B9.单纯形算法是求解线性规划问题的多项式时间算法.A:对 B:错答案:B10.对于难以确定初始基本可行解的线性规划问题，我们引入人工变量后，可采用哪些方法求解原问题？A:单纯形法 B:无法确定 C:两阶段法 D:大M法答案:CD第六章测试1.如果不限定插值多项式的次数，满足插值条件的插值多项式也是唯一的（）A:错 B:对答案:A2.改变节点的排列顺序，差商的值不变（）A:错 B:对答案:B3.Hermite插值只能用插值基函数的方法求解（）A:错 B:对答案:A4.在最小二乘问题中，权系数越大表明相应的数据越重要（）A:错 B:对答案:B5.加窗傅里叶变换时频窗的长宽比是信号自适应的（）A:对 B:错答案:B6.傅里叶变换域的点和时间域上的点是一一对应的（）A:对 B:错答案:B7.若f(t)的傅里叶变换为，则 f(2t)的傅里叶变换为 ( )A: B: C:答案:B8.小波函数对应了（）A:低通滤波器 B:高通滤波器答案:B第七章测试1.有界区域上的弦振动方程定解问题可以用傅里叶积分变换法求解。

南京理工大学2002级高等数学I 试题（A 卷）一．填空题（每小题2分，共26分） 1．设)12(sin 2+=x x y，则'y = 。

2. 已知0)(2sin lim30=+>-x x xf x x , 则20)(2lim xx f x +>-= 。

3. 设)(x f 在[1, 3]上具有连续导数，则=+⎰dx x f x f 312)]([1)('________。

5. 当1→x 时，已知1-x x 和k x a )1(-是等价无穷小，则a =_____，.___=k6、(1 , 3 )为曲线23bx ax y +=的拐点，则a =____，b=______。

7. 0=x 是函数xxexsin 111++的_________间断点。

8. 已知61)(2--=x x x f , 则)0()100(f =___________.9. 设)(x y y =是由方程202=+⎰x xyt ye dt e 所确定的隐函数，则0|=x dxdy=_________. 12. 曲线x y ln =上曲率最大的点为__________________。

13. 极限nn nn !lim ∞>-的结果为_________。

.二、计算题(每小题4分，共24分) 1.⎰+-→x x dt tt xx sin 030)1ln(sin lim2xxx x e sin 1023lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+->- 3.xdx x 2cos 2⎰4dx x ⎰+cos 2115.dx e x ⎰+∞∞--|| 6.⎰+31221xxdx三、(6分)求xx ey -=2在]2,0[上的最大与最小值，并证明：2241222e dx eexx ≤≤⎰--。

五、(6分)已知曲线)(x y y =的参数方程⎩⎨⎧++==)41ln(2arctan 2t t y t x ，求22dx yd dx dy ，。

南京理工大学工程硕士学位课程考试高等工程数学试题注意：每位考生只要选做以下两部分试题，答案必须写在答题纸上矩阵分析部分一．（6分）设，其中1,121,312243122-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-=i X i i i i A 求21,,AX A A ∞值。

解：A ∞=max{|2|+|-1|+|3+4i|,|-2|+|2i|+|-1|,|-i|+|-3|+|i|}=max{8,5,5}=8 1A =max{|2|+|-2|+|-i|,|-1|+|2i|+|-3|,|3+4i|+|-1|+|i|}=max{5,6,7}=734i AX 34i 6+⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2AX二．（8分） 已知函数矩阵：22222222222223332t tt t t t Att t t t t t t t t tt t e e e e e e e e ee e e e e e e e e e ⎛⎫--- ⎪=--- ⎪ ⎪---⎝⎭， 求矩阵.A 解：∵()AtAte Ae'=又 ()2t t2t t t 2t At 2t t 2t t t 2t 2t t 2t tt 2t 4e e 2e e e 2e e 2e e 4e e 2e 4e 6e 3e 2e e 3e 4e ⎛⎫--- ⎪'=--- ⎪ ⎪---⎝⎭∴ A=AE=Ae 0=Ae At |t=0=(e At )’|t=0=311132311-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭三．（10分）设向量)5,1,2,3(),4,1,1,2(),1,0,1,1(321---=-=-=ααα与)3,1,1,2(),1,1,0,1(21-==ββ，令),,,(3211αααL V =),(212ββL V =，（1）求21V V +的一组基和维数； （2）求维数)dim(21V V 。

解：(1) 对下列矩阵施行如下初等行变换()TT TT T 12312A =αααββ1231212312112010111101111011111451302201--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭1231212312011110111100000000210002100000--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭∴ r(A)=3 ∴ r(α1,α2,α3,β1,β2)=3 ∴ dim(V 1+V 2)=3可选{α1,α2,β1}为V 1+V 2的一组基(2) ∵ dimV 1=r{α1,α2,α3}=2 dimV2=r{β1,β2}=2∴ dim(V 1∩V 2)=dimV 1+dimV 2-dim(V 1+V 2)=2+2-3=1四．（10分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=411301621A ，1． 求A 的Jordan 标准形J 及最小多项式)(λm ；2． 求解初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==114)0(X AX dt dX解： 1.12613E A 131********λ+-λ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪λ-=λ-→λ+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ-λ-⎝⎭⎝⎭210010012330(1)(2)3(1)111011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→λ+-λ-λλ-→λ-λ+λ- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-λλ-λ-λ-⎝⎭⎝⎭21001000110100(1)(2)3(1)0(1)(2)(1)⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→λ-λ-→λ- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ-λ+λ-λ-λ+-λ-⎝⎭⎝⎭210001000(1)⎛⎫ ⎪→λ- ⎪ ⎪λ-⎝⎭∴ d 1(λ)=1 d 2(λ)=λ-1 d 3(λ)=(λ-1)2∴ A 的初等因子为： λ-1，(λ-1)2∴12100100J A J 010J 110J 011001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 m(λ)=d 3(λ)=(λ-1)22. 设f(z)=e zt （z 为自变量，t 为固定字母），T(λ)=a+b λ 则 f ’(z)=te zt ，T ’(λ)=b令T(1)f (1)T (1)f (1)=⎧⎨''=⎩得t te a b e b ⎧=+⎨=⎩ 解得t a 0b e =⎧⎨=⎩∴ T(λ)=a+b λ=e t λ∴ e At =f(A)=T(A)=aE+bA=t 126e 103114--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭∴ X=X(t)=e At X(0)=tt t t t 126444e e 1031e 1e 11411e ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪--=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭五．（8分） 设},{21αα与},{21ββ是线性空间V 的两个基，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2111P 为从基},{21αα到},{21ββ的过渡矩阵，T 为V 的一个线性变换，T 在基},{21ββ下的矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011A ，求线性变换T 在基},{21αα下的矩阵B 。

南京理工大学工程硕士高等工程数学学位课程考试试题（2010.3）（一）矩阵分析一．（6分）设,021320012⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=A 求21,,A A A ∞值。

解：||A||∞=max{2+1,2+3,1+2}=5 ||A||1=max{2+1,1+2+2,3}=5210A 023120-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，H201A 122030⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭，H500A A 096069⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭令|λE-A H A|=0，得5000960069λ-λ--=-λ-，即(λ-5)(λ-9)2-36(λ-5)=0，解得 λ1=3，λ2=5，λ3=15 ∴2A =二．（8分）已知函数矩阵：22222222222223332t tt t t tA tt t ttt t t t ttt t e e eee eee e e e e e e e eee e ⎛⎫--- ⎪=--- ⎪ ⎪---⎝⎭， 求矩阵.A 。

解：∵ ()AtAteAe'=又 ()2t t2t t t 2t At 2t t 2t t t 2t 2t t 2ttt2t4e e 2e e e 2ee 2e e 4e e 2e 4e 6e 3e 2ee3e 4e⎛⎫--- ⎪'=--- ⎪ ⎪---⎝⎭∴ A=AE=Ae 0=Ae At |t =0=(e At )’|t=0=311132311-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭三．（10分）已知矩阵822254245--=A ，()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=099tte e t b （1）求Ate；（2）求解微分方程()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=T x t b t Ax dt t dx 2,0,10。

解：(1) 111(8)5422E A 452452228542⎛⎫--λ- ⎪λ---⎛⎫⎪⎪λ-=-λ-→-λ- ⎪ ⎪⎪ ⎪-λ-λ---⎝⎭ ⎪⎝⎭2111(8)100209218092(9)1109(1336)09(4)(9)22⎛⎫⎛⎫--λ- ⎪ ⎪ ⎪⎪→λ--λ+→λ--λ- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ-λ-λ+λ-λ-λ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭100100092(9)090100(9)00(9)2⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪→λ--λ-→λ- ⎪ ⎪⎪ ⎪λλ-⎝⎭λλ- ⎪⎝⎭设f(z)=e zt （z 为自变量，t 为固定字母），T(λ)=a λ2+b λ+c ，则f ’(z)=te zt ，T ’(λ)=2a λ+b 令T (0)f (0)T (9)f (9)T '(9)f '(9)=⎧⎪=⎨⎪=⎩ 得9t 9t c 181a 9b c e 18a b te =⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解得9t 9tt 11a ()e 9818122b (t)e 99c 1⎧=-+⎪⎪⎪=--⎨⎪=⎪⎪⎩∴ T(λ)=a λ2+b λ+c=9t29tt 1122[()e][(t)e]19818199-+λ+--λ+∴ e AT =f(A)=T(A)=aA 2+bA+cE=9t9t4536185421t 1122[()e]364518[(t)e ]452198181991818722281⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-+-+---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭=9t9t9t9t 9t9t 9t9t9t 544422e e e999999445422e ee 999999222281eee 999999⎛⎫+--⎪⎪⎪-+-+ ⎪⎪⎪--++ ⎪⎝⎭ (2) X=X(t)=t At A (t )0e X (0)e b()d -τ+ττ⎰=t At A 0e [X (0)e b()d ]-τ+ττ⎰=tAt01e [X (0)1d ]0⎛⎫ ⎪+τ ⎪ ⎪⎝⎭⎰=At 1t e [0t ]20⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=9t9t9t9t 9t9t 9t9t9t 544422e e e999999t 1445422e ee t 9999992222281eee 999999⎛⎫+--⎪+⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪--++ ⎪⎝⎭=9t 9t9t (t 1)ete 2e ⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭四．（10分）给定3R 的两个基()Tx 1,0,11= ()Tx 0,1,22= ()Tx 1,1,13=()Ty 1,2,11-= ()Ty 1,2,22-= ()Ty 1,1,23--=定义线性变换：i i y Tx = ()3,2,1=i（1）写出由基321,,x x x 到基321,,y y y 的过渡矩阵； （2）写出T 在基321,,x x x 下的矩阵； （3）写出T 在基321,,y y y 下的矩阵。

《高等工程数学》试题一、 设总体X 具有分布律其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计.解：（1）矩估计：2222(1)3(1)23EX θθθθθ=+⨯-+-=-+14(121)33X =++=令EX X =，得5ˆ6θ=. （2）最大似然估计：2256()2(1)22L θθθθθθθ=⋅⋅-=-45ln()10120d d θθθθ=-= 得5ˆ6θ= 二、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度)1,10(~N X ，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/L ），标准差为1.2（mg/L ），问该工厂生产是否正常？（220.0250.0250.9750.05,(9) 2.2622,(9)19.023,(9) 2.700t αχχ====）解：（1）检验假设H 0：σ2=1，H 1：σ2≠1； 取统计量：2022)1(σχs n -=；拒绝域为：χ2≤)9()1(2975.0221χχα=--n =2.70或χ2≥2025.022)1(χχα=-n =19.023， 经计算：96.1212.19)1(2222=⨯=-=σχs n ，由于)023.19,700.2(96.122∈=χ2，故接受H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ2=1。

（2）检验假设101010≠'='μμ：，：H H ； 取统计量：10/10S X t -=~ )9(2αt ；拒绝域为2622.2)9(025.0=≥t t ；1028.210/2.1108.10=-=t <2.2622 ，所以接受0H '， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L ）。

综上，认为工厂生产正常。

三、 在单因素方差分析中，因素A 有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显著水平0.05α=下对因素A 是否显著做检验。

东南大学工数期末考试试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是实数集的符号表示？A. \( \mathbb{N} \)B. \( \mathbb{Z} \)C. \( \mathbb{Q} \)D. \( \mathbb{R} \)2. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 的最小值出现在哪个点？A. \( x = 0 \)B. \( x = 2 \)C. \( x = 4 \)D. \( x = -2 \)3. 以下哪个是二阶微分方程的解？A. \( y = e^{2x} \)B. \( y = e^{-x} \)C. \( y = x^2 + 2x \)D. \( y = \ln(x) \)4. 以下哪个积分是发散的？A. \( \int_0^1 x dx \)B. \( \int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx \)C. \( \int_0^1 \frac{1}{x} dx \)D. \( \int_0^1 e^{-x} dx \)5. 以下哪个是线性无关的函数集？A. \( \{1, x\} \)B. \( \{1, x, x^2\} \)C. \( \{1, x, x^3\} \)D. \( \{1, x, x^2, x^3\} \)6. 以下哪个是拉格朗日中值定理的应用？A. 计算函数 \( f(x) \) 在区间 \( [a, b] \) 上的平均变化率B. 证明 \( \sin(x) \) 和 \( x \) 在 \( [0, \pi] \) 上是线性相关的C. 证明 \( e^x \) 是其自身的导数D. 计算函数 \( f(x) \) 在区间 \( [a, b] \) 上的原函数7. 以下哪个是多元函数偏导数的定义？A. \( \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h} \)B. \( \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x, y+h) - f(x, y)}{h} \)C. 两者都是D. 两者都不是8. 以下哪个是傅里叶级数的应用？A. 求解线性微分方程B. 求解非线性微分方程C. 求解积分问题D. 求解线性代数问题9. 以下哪个是泰勒级数展开的应用？A. 近似计算 \( e^x \)B. 近似计算 \( \sin(x) \)C. 近似计算 \( \ln(x) \)D. 所有选项10. 以下哪个是数值分析中的插值方法？A. 多项式插值B. 拉格朗日插值C. 牛顿插值D. 所有选项二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 在区间 \( [0, 2\pi] \) 上的最大值是________。

高等工程数学题（南理工高等工程数学考题）南京理工大学工程硕士高等工程数学学位课程考试试题（2010.3）（一）矩阵分析一．（6分）设,021320012-=A 求21,,A A A ∞值。

二．（8分）已知函数矩阵：22222222222223332t t t t t t Att t t t t t t t t tt t e e e e e e e e ee e e e e e e e e e ??--- ?=--- ? ?---?，求矩阵.A 。

三．（10分）已知矩阵822254245--=A ，()=099t t e e t b （1）求Ate ；（2）求解微分方程()()()()()??=+=T x t b t Ax dt t dx 2,0,10。

四．（10分）给定3R 的两个基()Tx 1,0,11= ()Tx 0,1,22= ()Tx 1,1,13=()Ty 1,2,11-= ()Ty 1,2,22-= ()Ty 1,1,23--=定义线性变换：i i y Tx = ()3,2,1=i（1）写出由基321,,x x x 到基321,,y y y 的过渡矩阵；（2）写出T 在基321,,x x x 下的矩阵；（3）写出T 在基321,,y y y 下的矩阵。

五．（8分）给定(){}R a a A Rij ij ∈==??2222（数域R 上的二阶实矩阵按矩阵的加法和数乘构成的线性空间）的子集 {}0221122=+∈=?a a R A V（1）证明V 是22?R的线性子空间；（2）求V 的一组基与维数。

六．（8分）设A 是实反对称矩阵，证明：A 的特征值为零或纯虚数。

（二）数值分析一．（8分）作一个五次多项式()x H ，使得()31=H ()12-=H ()34=H ()21='H ()12='H ()22=''H 二．（10分）分析方程 ()11=-xe x存在几个实根，用简单迭代格式求出这些根（精确到四位有效数字），并说明所用迭代格式是收敛的。

考试题及参考解答(参考)一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而1215(,,)X X X 是来自X 的样本，则221102211152()X X U X X ++=++服从的分布是_______ .解：(10,5)F ．2，ˆnθ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：ˆˆlim (), lim Var()0n nn n E θθθ→∞→∞==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ .解：推断各因素对试验结果影响是否显著．5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计ˆβ的协方差矩阵ˆβCov()=_______ . 解：1ˆσ-'2Cov(β)=()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设总体~(1,9)X N ，129(,,,)X X X 是X 的样本，则___B___ .（A ）1~(0,1)3X N -； （B ）1~(0,1)1X N -； （C ）1~(0,1)9X N -； （D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的置信区间____B___ .（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .（A ）T e A S S S =+； （B ）22(1)AS r χσ-；（C ）/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----； （D ）A S 与e S 相互独立.5，在多元线性回归分析中，设ˆβ是β的最小二乘估计，ˆˆ=-εY βX 是残差向量，则___B____ . （A ）ˆn E ()=0ε； （B ）1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ； （C ）ˆˆ1n p '--εε是2σ的无偏估计； （D ）（A ）、（B ）、（C ）都对.三、（本题10分）设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明12(2)X Y t n n +-，其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+，(0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--，22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、（本题10分）设总体X 的概率密度为1, 0,21(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他，其中参数01)θθ<<（ 未知，12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本，X 是样本均值，（1）求参数；的矩估计量θθˆ（2）证明24X 不是2θ的无偏估计量．解：（1）101()(,)22(1)42x x E X xf x dx dx dx θθθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰，令()X E X =，代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22X θ=-． （2）222211141 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n nθθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦，因为()00D X θ≥>，，所以22(4)E X θ>．故24X 不是2θ的无偏估计量．五、（本题10分）设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计． 解：X 的密度函数为1,0;(,)0,x f x θθθ≤≤⎧=⎨⎩其他, 似然函数为1,0,1,2,,,()0,n i x i n L θθθ<<=⎧⎪=⎨⎪⎩其它显然0θ>时，()L θ是单调减函数，而{}12max ,,,n x x x θ≥，所以{}12ˆmax ,,,n X X X θ=是θ的极大似然估计．六、（本题10分）设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,)n X X X 为总体的样本，证明X 是参数p 的一个UMVUE ．证明：X 的分布律为1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．容易验证(;)f x p 满足正则条件，于是21()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦．另一方面1(1)1Var()Var()()p p X X n n nI p -===， 即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故X 是p 的一个UMVUE ．七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布20(,)N μσ，由以前的观测可知056μ=．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得261, 400x s ==, 问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异(α=0.05)．附表如下：t 分布表 χ2分布表解：设0H ：560==μμ．构造检验统计量)15(~0t ns X t μ-=， 确定拒绝域的形式2t t α⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．由05.0=α，定出临界值1315.2025.02/==t t α，从而求出拒绝域{}1315.2>t ．而60,16==x n ，从而 ||0.8 2.1315t ===<，接受假设0H ，即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X μσ，222~(,)Y μσ，221212, , , μμσσ未知，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体Y X S S 2221 , []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 则222221211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭，所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为 222212121/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭． 九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．答：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测。

《高等工程数学》试题解答 （工程硕士及进修生用 2003.1）考生注意：1、可不抄题,答案必须写在统一配发的专用答题纸上； 2、本试题可能用到的常数：5752961 64199509750950 . ,. ,....===u u u . 一、填空题 (每空3分,共30分)。

(1) ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=010100001H ；(2) 1)(Cond 2=U ；(3) 7 3 , ；(4) )1 1 (~)()(221221,F X X X X -+；(5) X 2ˆ=θ； (6) 664≥n ；(7) e A SS SS SS +=.二、(10分)[解] 记)(21A A diag A ,=，则21A A ,的特征多项式为2)1()()(21-==λλλA A f f ， ∵ O I A ≠21 -，O I A ≠22 -，∴ 2)1()()(21-==λλλA A m m ， 取)( )(21λλA A m m ,的最小公倍式，得 2)1()(-=λλA m ，故A 的Jordan 标准形为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 111111 , diag . 三、(10分)[解一] 记⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=πππ021 A ,其特征值为πλ-=1 (二重根),记 则令 ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=-⇒⎩⎨⎧'='=t t a t t t a t t a t a a g f g f 1 0 1 101 1 1 1 c o s sin cos cos sin )()()()(πππππππλλλλ ∴ . ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==t t t t t A f g A g g A g At sin 00cos sin 000sin )()()()()(sin 2 11πππππππ[解二] ∵ J A 2 2001200022ππ∆⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--= ∴ . ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==t t t t t t t t t t J t At sin 00cos 2sin 000sin )2(2sin 00)2(2cos 2)2(2sin 00022sin )2sin(sin πππππππππππ 四、(10分)[解] 对A 进行行初等变换故⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==--21 12 121 1 211 121)(11 R L L , 从而A 有Doolittle 分解：五、(10分)[证] 将ω扩充为nV 的一个标准正交基 B } {n ααω,,,2 =则∴ T B =-==} {} {n n T T T ααααωω,,,,,,22 B P 其中} 1 1 1 {,,, -=diagP 为对称和正交矩阵，故T 是对称变换和正交变换。