同余法解题完整版

五年级奥数培训资料第六讲同余法解题一、同余这个概念最初就是由德国数学家高斯发明得。

同余得定义就是这样得: 两个整数,a,b,如果她们同时除以一个自然数ｍ,所得得余数相同,则称ａ,b对于模m同余。

记作a≡b(moｄ.ｍ)、读作:a同余于ｂ模ｍ。

同余得性质也比较多,主要有以下一些: 1、.对于同一个除数,两个数得乘积与它们余数得乘积同余。

例如20１ ×９5得乘积对于除数7,与2０1÷７得余数5与95÷７得余数４得乘积20对于7同余。

2.、对于同一个除数,如果有两个整数同余,那么它们得差就一定能被这个除数整除。

例如51９与３99对于一个除数同余,那么这个除数一定就是519与3９9得差得因数,即５19与399得差一定能被这个除数整除。

３..对于同一个除数,如果两个数同余,那么她们得乘方仍然同余。

例如２0与29对于一个除数同余,那么2０得任何次方都与２9得相同次方对于这个除数同余,当然余数大小随次方变化。

4、对于同一个除数,若三个数a≡b(moｄm),ｂ≡c(moｄm),那么a,b,ｃ三个数对于除数m都同余(传递性)例如６０与7６同余于模８,76与204同余于模８,那么60,76,204都同余于模８、5。

对于同一个除数,若四个数ａ≡ｂ(mｏdｍ),ｃ≡d(mｏd m),那么a±ｃ≡c±d(mod m),(可加减性)6。

对于同一个除数, 若四个数a≡b(mod m),c≡ｄ(modｍ),那么ac≡cｄ(mｏd m),(可乘性)二、中国剩余定理解法一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小就是几?解法:ﻫ求３个数:第一个:能同时被3与4整除,但除以5余4,即１2X2=2４ﻫ第二个:能同时被４与5整除,但除以３余1,即20X2＝40第三个:能同时被3与5整除,但除以4余2,即15x2＝30ﻫ这3个数得最小公倍数为6０, 所以满足条件得最小数字为24+４0+30-60=３412X2=24 20Ｘ2＝４０15x2＝30中2得来历。

同余方程与模方程的解法一、同余方程在数论中，同余方程是指形如ax ≡ b (mod m) 的方程，其中 a、b、m 为整数。

解同余方程的方法有多种，下面将介绍两种常用的解法。

1. 穷举法：穷举法是最简单直观的解同余方程的方法之一。

具体步骤如下：（1）列出满足条件的整数集合。

根据同余的定义，我们知道 x 和 b 对 m 取余数是相同的，即 x 和 b 在模 m 意义上是相等的。

因此，我们可以列出一个整数集合 S，其中的元素 x 满足x ≡ b (mod m)。

（2）从集合中选出满足条件的解。

根据具体的题目要求，我们可以从集合 S 中选出满足方程的解。

2. 扩展欧几里得算法：扩展欧几里得算法是一种高效解同余方程的方法。

它利用了欧几里得算法的思想，通过递归求解，最终得到同余方程的解。

具体步骤如下：（1）求解递归基。

如果 b = 0，则方程变为ax ≡ 0 (mod m)，此时方程的解为 x = m / (a, m)，其中 (a, m) 表示 a 和 m 的最大公因数。

（2）求解通解。

如果b ≠ 0，则根据同余方程的性质可知，ax ≡ b (mod m) 的解与 ax ≡ 1 (mod m) 的解具有相同的形式。

因此，我们可以利用扩展欧几里得算法求解 ax + my = (a, m)，其中 y 是方程ax ≡ 1 (mod m) 的一个解。

（3）求解特解。

根据通解的形式，我们可以求解出 ax + my = (a, m) 的一个特解 x0。

然后，利用 x = x0 * (b / (a, m))，即可求得同余方程的特解。

二、模方程模方程是指形如x² ≡ a (mod m) 的方程，其中 a、m 为整数。

解模方程的方法有多种，下面将介绍两种常用的解法。

1. 勒让德符号和二次互反律：勒让德符号是数论中的一个重要概念，它用来判断二次剩余和二次非剩余。

对于模方程x² ≡ a (mod p)（p 是奇素数），可以利用勒让德符号判断 a 是否是模 p 的二次剩余。

六年级奥数同余的解题规律知识六年级奥数同余的解题规律知识六年级奥数知识：同余的解题规律在作除法运算时，我们有这样的经验：(1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有5×1+3=8，5×2+3=13，5×3+3=18，5×4+3=23，…………(2)一个相同的'数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4.389÷5=77 (4)389÷7=55 (4)389÷11=55 (4)由此，我们可以来讨论下面的两个问题.某数被5除余4，被7除也余4，被11除还余4.要求某数和某数最小是多少?读者一定会想到有：5×7×11+4=389，5×7×11×2+4=774，5×7×11×3+4=1159，…………答案有无数多个，但最小的只能是389.现在，我们把这个问题上升到一般形式.问题一某数分别除以a、b、c、……，都得到相同的余数k.求某数最小是多少?聪明的读者，能得出答案吗?需要请读者注意的是，382、767、1152分别除以5、7和11所得的余数2、4、8，虽然都不相同，但是都与相应的除数相差同样多.即5-2=3，7-4=3，11-8=3.于是，我们也可以提这样的问题：某数被5除余2，被7除余4，被11除余8.问某数是多少和某数最小是多少?读者一定会想到是5×7×11×1-3=382，5×7×11×2-3=767，5×7×11×3-3=1152，…………答案有无数多个，但最小只能是382.这个问题的一般形式是：问题二某数分别除以a、b、c、……得数相应的余数分别是A、B、C、……，并且，这些余数跟相应的除数都相差同样多(也设为k)，即a-A=b-B=c-C=……=k.求某数最小是多少?聪明的读者，能得出答案吗?【规律】某数分别除以a、b、c、……，都得到相同的余数k.求某数最小是多少?答案是[a，b，c，……]+k.某数分别除以a、b、c、……，得到相应的余数A、B、C、……，并且这些余数跟相应的除数都相差同样多(设为k)，即a-A=b-B=c-C=……=k.求某数最小是多少?答案是[a，b，c，……]-k.【练习】1.某数分别除以3、5和7，都有相同的余数2.求某数最小是多少?(2除外)2.某数被5、6、7除，都得到相同的余数1.问某数在1000以内有哪几个答案?3.某数用5除余3，用7除余5，用9除余7，用11除余9.求某数最小是多少?4.某数分别用5、7、9和11除，刚好都是差3才能整除.求某数最小是多少?5.某数被2000除，余1993;被1999除，余1992;被1998除，余1991.求某数最小是多少?。

同余方程的解法解决同余方程的方法有：一、求解一元同余方程1、把同余方程降幂后化为线性同余方程组降幂是把一元同余方程中的多项式的次数降低，使同余方程化为一元线性同余方程组，从而便于解决。

2、同余方程的元法同余方程的元法就是：求解同余方程主要是要找出同余方程的通解，然后再求解各个根的关系，以及其中的一般解。

3、求解一元同余方程的其他方法（1）直接求根法：在实际中，有时把一元同余方程降幂之后得到的形式并不太符合平凡方法的要求，此时我们可以使用直接求根法。

（2）伴随矩阵法：伴随矩阵法是一种新的求解一元同余方程的新方法，它通过构造一个伴随矩阵，然后利用它来解决一元同余方程。

二、求解高次同余方程1、借用特殊方法解高次同余方程在解高次同余方程时，我们可以借助特殊的方法，如牛顿迭代法、拉格朗日迭代法、范德蒙德-拉格朗日法及Harnack积分算法等。

2、借助数学归纳法解决高次同余方程我们可以利用数学归纳法来求解高次同余方程。

数学归纳法是一种猜测法，它也可以用来求解同余方程，首先我们假定同余方程有解，然后用归纳法不断找出它的解。

三、求解循环同余1、循环同余方程及其解循环同余方程是一种常见的同余方程，它是一个组合方程，由一系列以求导后改写的不定积分共同形成。

2、求解循环同余方程的方法（1）W.Dynkin方法：W.Dynkin方法是一种解决循环同余方程的常用方法。

它的基本步骤是先将一个循环同余方程分解为几个相互关联的子问题，然后再将子问题的解组合起来，得到原问题的解。

（2）离散变换法：离散变换法也是一种常用的解决循环同余方程的方法，它通过对原问题进行离散变换，将给定的循环同余方程转化为普通的线性同余方程组，从而获得原问题的解。

精心整理五年级奥数培训资料第六讲同余法解题一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。

同余的定义是这样的：?两个整数，a,b,如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a,b对于模m同余。

记作a≡b（mod.m）。

读作：a同余于b模m。

?同余的性质也比较多，主要有以下一些：1..对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

例如201?×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。

2..对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一?定能被这个除数整除。

? 例如519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一? 定能被这个除数整除。

?3..对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。

例如20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化。

??4．对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）例如60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。

5. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d （mod m），（可加减性）6. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（modm），（可乘性）二、中国剩余定理解法一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？解法：求3个数：第一个：能同时被3和4整除，但除以5余4，即12X2＝24第二个：能同时被4和5整除，但除以3余1，即20X2＝40第三个：能同时被3和5整除，但除以4余2，即15x2＝30这3个数的最小公倍数为60，所以满足条件的最小数字为24＋40+30-60=3412X2＝24 20X2＝40 15x2＝30中2的来历。

同余问题解题技巧
同余问题是数论中的重要内容，解决它可以应用到大量的科学问题中。

本文介绍一种解决同余问题的技巧，以及与之相关的实例。

首先定义一些概念，以便理解同余问题的实质。

定义P、Q均
为正整数，如果存在正整数m，使得P*m=Q mod N，则称P
和Q模N具有同余性，记作P≡Q (mod N)。

解决同余问题的技巧很简单，具体来说就是首先找出所有满足
P*m=Q mod N的m，然后将这些m都加起来，如果结果是N
的整倍数，就说明P与Q是同余的。

举一个例子来说明该技巧的实际效果，假设我们要求P≡Q (mod 10)，我们只需要找出所有满足P*m=Q mod 10的m即可，显然m=1,3,7都是符合要求的。

将这三个m加起来，结果11，因此P和Q就是同余的。

实际上，这种技巧可以扩展到求解多项式同余问题，并可以利用中国剩余定理来解决。

因此，在解决同余问题时，应当充分考虑各种情况，以便及时捕捉解题技巧，从而提高工作效率。

同余法解题Revised on November 25, 2020五年级奥数培训资料第六讲同余法解题一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。

同余的定义是这样的：两个整数，a,b,如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a,b对于模m同余。

记作a≡b（）。

读作：a同余于b模m。

同余的性质也比较多，主要有以下一些：1..对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

例如201×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。

2..对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。

例如519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一定能被这个除数整除。

3..对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。

例如20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化。

4．对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）例如60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。

5. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d（mod m），（可加减性）6. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（mod m），（可乘性）二、中国剩余定理解法一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几解法：求3个数：第一个：能同时被3和4整除，但除以5余4，即12X2＝24第二个：能同时被4和5整除，但除以3余1，即20X2＝40第三个：能同时被3和5整除，但除以4余2，即15x2＝30这3个数的最小公倍数为60，所以满足条件的最小数字为24＋40+30-60=3412X2＝24 20X2＝40 15x2＝30中2的来历。

第4讲同余定理同余定理是奥数考试中最常考的题型，同时也是数论知识中最具有代表性的知识之一。

本讲将带领大家一起领略巧妙的数论方法，相信大家一定会被同余的意想不到的魅力所吸引。

若a c ÷余数为m ，b c ÷余数为n ，则()a b c +÷的余数等于()m n c +÷的余数；()a b c -÷的余数等于()m n c -÷的余数（m n >）或()m c n c +-÷的余数（m n <）。

a b c ⨯÷的余数等于m n c ⨯÷的余数。

特别的，当m n =时，()a b -是c 的倍数。

若两个整数a 、b 被同一个非零自然数c 除，余数相同，那么称a 、b 对于m 同余，用式子表示为(mod )a b c ≡.编写说明知识要点【例1】 有三个自然数a ，b ，c ，其中a 除以c 的余数是1，b 除以c 的余数是2，a b +恰好是c 的倍数，求c 的值。

【分析】 根据同余定理，a b +除以c 的余数是3，而a b +恰好是c 的倍数，所以3c =。

【拓展】 已知：6a b c -=，其中a 、b 、c 均为正整数，且b 除以6的余数是3，则a 除以6的余数是多少?【分析】 a b -是6的倍数，所以a 和b 除以6的余数相同，a 除以6的余数是3。

【温馨提醒】这边可以帮助学生总结出和（或差）的余数等于余数的和（或差）的余数。

【例2】 135********⨯⨯⨯⨯⨯的乘积除以8的余数是多少？【分析】1，3，5，7，9，…，2007，2009除以8的余数分别为1，3，5，7，1，3，5，7，…，1，3，5，7，1，1357⨯⨯⨯除以8的余数是1，所以135********⨯⨯⨯⨯⨯除以8的余数是1。

【温馨提示】这边可以帮助学生总结出积的余数等于余数的积的余数。

【拓展】 234199077777+++++的末两位是多少？【分析】 要求末两位，可以转化为求其除以100的余数是多少，7除以100余数是7，27除以100余数是49，37343=除以100余数为43，472401=除以100余数是1，54777=⨯除以100的余数是7，依此类推，余数是以7，49，43，1循环的，199044972÷=，所以所有余数的和是(749431)49774949756+++⨯++=，49756除以100的余数是56，所以和的末两位是56。

小学奥数。

同余问题精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)同余问题教学目标：1.掌握同余的性质。

2.利用整除性质判断余数。

知识点拨：同余定理1.定义：若两个整数a和b被自然数m除有相同的余数，那么称a和b对于模m同余，用式子表示为：a≡b(modm)，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。

2.重要性质及推论：1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除。

例如：17与11除以3的余数都是2，所以能被3整除。

(17-11=6，6可以被3整除)2）用式子表示为：如果有a≡b(modm)，那么一定有a-b=mk，k是整数，即m|(a-b)。

3.余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的。

建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余。

由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数。

⑴整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数。

⑵整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数。

⑶整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数。

⑷整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数。

⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数。

（不够减的话先适当加11的倍数再减）⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数。

例题精讲模块一、两个数的同余问题例1】有一个整数，除39、51、147所得的余数都是3，求这个数。

考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答解析】法1)39-3=36，51-3=48，147-3=144，(36,144)=12，12的约数是1、2、3、4、6、12，因为余数为3要小于除数，这个数是4、6、12.法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。

用同余方程式组解答剩余问题剩余问题在第三讲已详细介绍过了,本讲只举例介绍用同余方程式组解答剩余问题的思路、步骤和方法.[例1]一个数除以3余1，除以5余2，除以7余4。

求适合条件的最小正整数。

解：设次数为x，那么，就是满足下列同余式组的最小正整数：x三1(mod 3)x三2(mod 5)x三4(mod 7)1、⑴ [5,7]=35 35三2 (mod 3)两边同乘以2，得35×2三2×2三1 (mod 3) ，即70三1 (mod 3)70是5与7的一个公倍数，且被3除余1的数；⑵ [3,7]=21 21三1 (mod 5)两边同乘以2，得21×2三1×2三2 (mod 5) ，即42三12(mod 5)42是3与7的一个公倍数，且被5除余2的数；⑶ [3,5]=15 15三1 (mod 7)两边同乘以4，得15×4三1×4三4 (mod 7) ，即60三4(mod 7)60是3与5的一个公倍数，且被7除余4的数。

2、70+42+60=172 由性质七可有同余式组：172三1 (mod 3)172三2 (mod 5)172三4 (mod 7)3、这说明，172是一个除以3余1，除以5余2，除以7余4的数，但它不是符合题意的最小正整数；∵[3,5,7]=105 172＞105 ∴172-105=67由性质七可知67是符合题意的最小的正整数。

由[例1]的解题过程，并以下面的同余方程式组为载体，x三r1 (mod n1)x三r2 (mod n2)x三r3 (mod n3)可以概括出用同余式组法解答剩余问题的基本思路、步骤和方法:第一步1、在n2和n3的公倍数集合中找出被n1除恰余r1的数x1，2、在n1和n3的公倍数集合中找出被n2除恰余r2的数x2，3、在n1和n2的公倍数集合中找出被n3除恰余r3的数x3，第二步做加法运算：x1+ x2+ x3=x0由性质七可知，x0就是被n1除恰余r1，被n2除恰余r2，被n3除恰余r3的数；第三步但是，x0仅仅是同余式组无限解集中的一个解，不一定符合题目的具体内容或限制条件。

“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。

所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。

首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6为例，请记住它们的最小公倍数是60。

1、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。

例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。

【60后面的“n”请见4、，下同】2、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。

例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。

3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。

例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。

4、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、2、3中的60n）都满足条件，称为：“最小公倍加”，也称为：“公倍数作周期”。

1求437×309×1993被7除的余数。

思路分析：如果将437×309×1993算出以后，再除以7，从而引得到，即437×309×1993=269120769，此数被7除的余数为1。

但是能否寻找更为简变的办法呢？437≡3（mod7）309≡1（mod7）由“同余的可乘性”知：437×309≡3×1（mod7）≡3（mod7）又因为1993≡5（mod7）所以：437×309×1993≡3×5（mod7）≡15（mod7）≡1（mod7）即：437×309×1993被7除余1。

同余定理解法的其他情况集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]同余定理分三类:口诀套用，化余为一，其他“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。

所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。

首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6为例，请记住它们的最小公倍数是60。

1、差同减差:用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为:“差同减差”。

例:“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。

【60后面的“n”请见4、，下同】2、和同加和:用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为:“和同加和”。

例:“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。

3、余同取余:用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为:“余同取余”。

例:“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。

4、最小公倍加:所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍(即上面1、2、3中的60n)都满足条件，称为:“最小公倍加”，也称为:“公倍数作周期”。

余数问题中的一个重要问题就是同余问题，在同余问题解决过程中，推荐代入法和口诀法两大类。

其中口诀法是公倍数做周期，余同取余，和同加和，差同减差的应用，但是有时候会出现余不同，和不同并且差也不同的现象，这就需要我们采用剩余定理进行解决。

剩余定理的原理比较繁琐，不如直接套用解题方法进行快速解题更能解决行测中的类似问题。

一次同余方程解法例题
好的，让我们来看一个同余方程的解法例题。

假设我们要解决如下的同余方程：
3x ≡ 2 (mod 5)。

首先，我们可以列出所有满足该同余方程的整数解。

由于模数
为5，我们可以列出x = 0, 1, 2, 3, 4。

然后我们逐个尝试这些值，看哪一个满足方程。

对于x = 0，30 ≡ 0 (mod 5)，不符合方程。

对于x = 1，31 ≡ 3 (mod 5)，不符合方程。

对于x = 2，32 ≡ 1 (mod 5)，不符合方程。

对于x = 3，33 ≡ 4 (mod 5)，不符合方程。

对于x = 4，34 ≡ 2 (mod 5)，符合方程。

因此，我们得出结论，x = 4 是该同余方程的一个解。

另一种解法是使用扩展欧几里得算法。

我们将3x 2 = 5k，然后使用扩展欧几里得算法求出x的特解，然后再求出同余方程的一般解。

综上所述，这就是解同余方程的一个例题的解法。

希望这个例子能帮助你更好地理解同余方程的解法。

1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a 同余于b ，模m 。

2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，(12,108)12-=，14739108=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。