同余定理

同余定理
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同余法解题
同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。

同余的定义是这样的：
两个整数，a，b，如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a，b对于模m同余。

记作a≡b(mod.m）。

读作:a同余于b模m.
同余的性质也比较多，主要有以下一些：
1.对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差)同余.
2.对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

3.对于同一个除数，如果有两个整数同余,那么它们的差就一定能被这个除数整除。

4.对于同一个除数，如果两个数同余,那么他们的乘方仍然同余.。

知识框架一、带余除法的定义及性质1. 定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b工0若有a4）=q••…r，也就是a= b X q+ r,0奇v b ;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：（1）当r 0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商（2）当r 0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型：如图屈这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

2. 余数的性质⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数；⑵余数小于除数.二、余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23, 16除以5的余数分别是3和1 ,所以23+16 = 39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23, 19除以5的余数分别是3和4，所以23+19 = 42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。

例如：23, 16除以5的余数分别是3和1，所以23 —16= 7除以5的余数等于2,两个余数差3- 1当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23, 14除以5的余数分别是3和4 , 23- 14= 9除以5的余数等于4,两个余数差为3 + 5-4 =43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以23X 16除以5的余数等于3X1= 3。

同余定理与剩余定理B知识点拨一、同余定理1、定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。

2、重要性质及推论：（1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711（）能被3整除．（2）用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．⑴ 整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；⑴ 整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；⑴ 整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；⑴ 整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑴ 整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑴ 整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．二、中国剩余定理——中国古代趣题（1）趣题一中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。

”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

知识框架、带余除法的定义及性质1.定义：一般地，如果 a 是整数， b 是整数（ b≠0） ,若有 a÷b=q⋯⋯ r，也就是 a＝b×q＋r, 0≤r<b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：（1）当r 0时：我们称 a 可以被 b 整除， q 称为 a 除以 b 的商或完全商（2）当r 0时：我们称 a 不可以被 b 整除， q 称为 a 除以 b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型 : 如图这是一堆书，共有 a 本，这个 a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么 b 就是除数的角色，经过打包后共打包了 c 捆，那么这个 c 就是商，最后还剩余 d 本，这个 d 就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中 4 个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

2.余数的性质⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数；⑵ 余数小于除数．二、余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以 c的余数，等于 a,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。

例如： 23，16除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23+16＝39 除以 5 的余数等于 4，即两个余数的和 3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。

例如： 23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 23+19＝ 42除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数为 22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之差。

例如： 23，16除以 5的余数分别是 3和 1，所以 23－16＝7除以 5的余数等于 2，两个余数差 3－1＝ 2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如： 23，14 除以 5 的余数分别是 3和 4，23－14＝9 除以 5的余数等于 4，两个余数差为 3＋5－4 ＝43.余数的乘法定理a与 b的乘积除以 c的余数，等于 a,b分别除以 c的余数的积，或者这个积除以 c所得的余数。

同余定理的趣味历史与演变数学作为一门古老而又饱含智慧的学科，其中有一条被誉为“同余定理”的重要规则。

同余定理是数论中的基础概念，它的历史起源可以追溯到古代。

本文将带领读者领略同余定理的趣味历史与其在数学发展过程中的演变。

一、同余定理的历史起源同余定理的理论基础最早可以追溯到公元前二世纪的中国汉朝。

在《九章算术》中，它首次得到了系统的阐述和运用。

当时，人们发现了一种数与另一个数之间能够保持某种特定关系的模型。

这种数学模型被称为“同余”。

尽管当时的表述方式与现代的数学语言不同，但同余定理的思想内容已经初步形成。

同余定理的发展并不止步于汉朝，随着时间的推移，它逐渐传入了其他的数学文明。

在印度、阿拉伯和欧洲等地，同余定理得到了更深入的研究和推广。

二、同余定理的基本概念同余定理是关于整数运算的一种特定规则，它描述了两个整数在模一个给定的非零整数下的关系。

若两个整数除以一个固定的整数所得的余数相等，我们就说这两个整数对于这个给定的整数是同余的。

以更具体的例子来说明，假设我们有两个整数a和b，它们对于一个非零整数m来说，如果a除以m的余数与b除以m的余数相等，即(a mod m) = (b mod m)，那么我们可以说a和b在模m下是同余的。

三、同余定理的运用与特性同余定理不仅在数学理论中具有重要的地位，而且在实际问题中也有广泛的应用。

在离散数学、密码学、计算机科学等领域，同余定理都发挥着重要的作用。

同余定理具有一些有趣的特性。

首先，同余关系可以构成一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。

这一点在同余定理的证明中显得尤为重要。

其次，同余关系还可以运用于简化运算。

例如，在进行大数阶乘的计算中，可以使用同余定理来减少计算量。

这是因为同余关系可以保持模运算的性质。

四、同余定理的演变与现代数学随着数学的不断发展，同余定理也在不断演变和推广。

在现代数论中，同余定理已经成为一门独立的数学学科，并发展出了更深奥的理论和更广阔的应用。

余数性质及同余定理知识框架一、余除法的定及性1.定：一般地，若是 a 是整数， b 是整数（ b≠0） ,若有 a÷b=q⋯⋯ r ，也就是 a＝b×q＋ r ,0≤r＜ b；我称上面的除法算式一个余除法算式。

里：(1)当 r 0 ：我称 a 可以被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或完好商(2)当 r 0 ：我称 a 不可以被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或不完好商一个圆满的余除法解模型 : 如是一堆，共有 a 本，个 a 就可以理解被除数，在要求依照 b 本一捆打包，那么 b 就是除数的角色，打包后共打包了 c 捆，那么个 c 就是商，最后节余 d 本，个 d 就是余数。

个能学生清楚的理解余除法算式中 4 个量的关系。

并且可以看出余数必然要比除数小。

2.余数的性⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数；⑵ 余数小于除数．二、余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数之和，或个和除以 c 的余数。

比方： 23，16 除以 5 的余数分是 3 和 1，所以 23+16＝ 39 除以 5 的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。

比方： 23，19 除以 5 的余数分是 3 和 4，所以 23+19＝ 42 除以 5 的余数等于3+4=7 除以 5 的余数22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数之差。

比方： 23， 16 除以 5 的余数分是 3 和 1，所以 23－ 16＝7 除以 5 的余数等于2，两个余数差3－ 1＝2.当余数的差不减，上除数再减。

比方： 23，14 除以 5 的余数分是 3 和 4， 23－ 14＝ 9 除以 5 的余数等于4，两个余数差3＋ 5－4＝ 43.余数的乘法定理a 与b 的乘除以c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数的，也许个除以 c 所得的余数。

线性同余式定理一切代数式皆可以用它们的代数余子式表示出来，而这种代数余子式正是我们所要证明的。

线性同余式定理[13x^3-6x+9=0]，其中x为根式，于是将其化简得到：[13x^3-6x+9=0]。

因为所有的系数都含有2的幂次，即x^3-6x+9=0。

故x^3-6x+9=0。

线性同余式定理2[14x^2+9x-4=0]，因为只有1项，即x^2+9x-4=0，所以这个积就应该是原系数乘以10。

由于已知x^3-6x+9=0，则x^3-6x+9=0；又因为x^2+9x-4=0，所以x^2+9x-4=0。

这样一来， x^2+9x-4=0的系数就只剩下1个了，那就是2。

将其化简，即得到： x^2+9x-4=0。

线性同余式定理3[15x^5-25x+90=0]，其中x为整式，将其化简得到：[15x^5-25x+90=0]。

[分解因式]，得到x=(1/5)^5=1/30，所以线性同余式定理3。

线性同余式定理4[18x^8-10x+80=0]，因为除去了两个二次项，从而得到：[18x^8-10x+80=0]。

将上述化简式和分解因式相比较，很容易看出所有的系数都不超过3次，且分别在1、 3、 6、 9、 12………………的单项式中。

线性同余式定理5[20x^3-6x+3=0]，因为此项含有3个系数，即x^3-6x+3=0。

线性同余式定理6[22x^4+36x-216=0]，因为将两个因式同时除以5，得到：[22x^4+36x-216=0]。

从而找出了它们的系数。

[分解因式]，得到x=(1/8)^4=(3/8)^4，所以线性同余式定理6。

总结如下：所有的根式系数都不大于3次；每个根式系数的系数最多只能含有3次；除去两个二次项之后，系数不超过3次的多项式中的根式系数只能是1， 3， 6， 9， 12……………等。

线性同余式定理7[23x^4-56x-24=0]，因为这个代数式已经是两个多项式，所以要化简，故化简之后得到：[23x^4-56x-24=0]。