六年级奥数第27讲-同余法解题(教)

六年级奥数：同余问题1求1992×59除以7的余数。

应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。

1992除以7余4，59除以7余3。

根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。

因为1992×59≡4×3≡5（mod 7）所以1992×59除以7的余数是5。

2已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？一星期有7天，要求2010年的国庆节是星期几，就要求从2001年到2010年的国庆节的总天数被7除的余数就行了。

但在甲酸中，如果我们能充分利用同余性质，就可以不必算出这个总天数。

2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年7个平年，即有“366×2+365×7”天。

因为366×2≡2×2≡4（mod 7），365×7≡1×7≡0（mod 7），366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7）答：2010年的国庆节是星期五。

3求2001的2003次方除以13的余数。

2001除以13余12，即2001≡12（mod 13）。

根据同余性质（4），可知2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13），但12的2003次方仍然是一个很大的值，要求它的余数比较困难。

这时的关键就是要找出12的几次方对模13与1是同余的。

经试验可知12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1。

所以（12的平方）的1001次方≡1的1001（mod 13），即12的2002次方≡1（mod 13），而12的2003次方≡12的2002次方×12。

六年级奥数同余的解题规律知识六年级奥数同余的解题规律知识六年级奥数知识：同余的解题规律在作除法运算时，我们有这样的经验：(1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有5×1+3=8，5×2+3=13，5×3+3=18，5×4+3=23，…………(2)一个相同的'数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4.389÷5=77 (4)389÷7=55 (4)389÷11=55 (4)由此，我们可以来讨论下面的两个问题.某数被5除余4，被7除也余4，被11除还余4.要求某数和某数最小是多少?读者一定会想到有：5×7×11+4=389，5×7×11×2+4=774，5×7×11×3+4=1159，…………答案有无数多个，但最小的只能是389.现在，我们把这个问题上升到一般形式.问题一某数分别除以a、b、c、……，都得到相同的余数k.求某数最小是多少?聪明的读者，能得出答案吗?需要请读者注意的是，382、767、1152分别除以5、7和11所得的余数2、4、8，虽然都不相同，但是都与相应的除数相差同样多.即5-2=3，7-4=3，11-8=3.于是，我们也可以提这样的问题：某数被5除余2，被7除余4，被11除余8.问某数是多少和某数最小是多少?读者一定会想到是5×7×11×1-3=382，5×7×11×2-3=767，5×7×11×3-3=1152，…………答案有无数多个，但最小只能是382.这个问题的一般形式是：问题二某数分别除以a、b、c、……得数相应的余数分别是A、B、C、……，并且，这些余数跟相应的除数都相差同样多(也设为k)，即a-A=b-B=c-C=……=k.求某数最小是多少?聪明的读者，能得出答案吗?【规律】某数分别除以a、b、c、……，都得到相同的余数k.求某数最小是多少?答案是[a，b，c，……]+k.某数分别除以a、b、c、……，得到相应的余数A、B、C、……，并且这些余数跟相应的除数都相差同样多(设为k)，即a-A=b-B=c-C=……=k.求某数最小是多少?答案是[a，b，c，……]-k.【练习】1.某数分别除以3、5和7，都有相同的余数2.求某数最小是多少?(2除外)2.某数被5、6、7除，都得到相同的余数1.问某数在1000以内有哪几个答案?3.某数用5除余3，用7除余5，用9除余7，用11除余9.求某数最小是多少?4.某数分别用5、7、9和11除，刚好都是差3才能整除.求某数最小是多少?5.某数被2000除，余1993;被1999除，余1992;被1998除，余1991.求某数最小是多少?。

1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a 同余于b ，模m 。

2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，(12,108)12-=，14739108=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。

同余方程的求解技巧同余方程是一类重要的数学问题，它在很多领域都有应用，例如密码学、图论、代数学等。

在解决此类问题的过程中，需要掌握一些相关的求解技巧。

一、欧几里得算法欧几里得算法是解同余方程中最基本的技巧。

它的核心思想是将两个数的较大值通过辗转相除的方式，求出它们的最大公约数。

例如，将6和9进行运算，可以得到如下计算式：9 = 6 x 1 + 36 = 3 x 2 + 0因为6和9的最大公约数为3，所以可以用这种方法求解同余方程Ax ≡ B(mod M) 。

其中A、B、M是已知的整数，x是未知整数。

首先，使用欧几里得算法求出A和M的最大公约数D；如果B能被D整除，那么方程有解。

然后，将A和M分别除以D，得到A'和M'，此时Ax ≡ B(mod M)可写为：A'x ≡ B'/D(mod M'/D)。

对这个新的方程重复以上步骤，直到求出解x。

二、中国剩余定理中国剩余定理是解同余方程组的一种方法。

最初，这个定理是由中国数学家孙子所发现并应用于民事案例中。

中国剩余定理适用于一组形如x ≡ a1 (mod n1), x ≡ a2 (mod n2), …, x≡ ar (mod nr) 的同余方程。

其中a1, a2, …, ar是已知的整数，n1, n2, …,nr是互不相同的正整数。

首先，使用欧几里得算法求解n1, n2, …, nr之间的最大公约数D；如果D不整除每一个ai，则无解。

否则，设N = [n1, n2, …,nr] = n1 x n2 x … x nr，则以上同余方程的通解可以写成：x = a1k1M1 + a2k2M2 + … + arkrMr。

其中，Mi = N/ni，且Mi与ni互质；ki是未知的整数，是通过扩展的欧几里得算法计算得到的。

三、扩展欧几里得算法扩展欧几里得算法是用于求解同余方程 Ax + By = C 的一种算法。

其中，A、B、C是已知的整数，x和y是未知的整数。

同余问题一、学习目标：掌握同余问题的基本性质，并能够解决问题。

二、基础知识：几个正整数A、B、C……除以同一个正整数D，如果所得的余数都相同。

我们就说这几个正整数A、B、C……对正整数D同余。

同余定义：若两个整数a、b被自然数m（m≠0）除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b（modm）. 读作： a和b对于模m同余。

解答好此类题的前提是要很好地理解和掌握整除、公约数的一些知识，这样运用起来才能得心应手。

一个结论：试一试求2008除以7的余数。

可以先去掉7的倍数1400余608，再去掉7的倍数560还余下48，再去掉7的倍数42最后余下6.这个过程可简单地记成： 2008→608→48→6.从这几个数我们可以看出，它们除以7都余6。

因为2008、608、48、6除以7的余数相同，所以2008-608、608-48、2008-6、608-6这几个算式的结果能被7整除。

结论：如果若干个数被同一个数除余数相同，那么这若干个数两两之差（大减小）必能被这个数整除。

即这个数是这些差的公约数。

例1：有一个大于1的整数，它除1000，2001,967得到相同的余数（不为0），那么这个整数是多少？已知三个数59，101，45除以一个数D，所得余数相同,且D为两位数，求这个数D。

例2：甲、乙、丙、丁四个学校分别有69人、85人、93人、97人旅行.现在要把这四校学生分别进行分组，每组学生相等，并使每组的人数尽可能多，以便乘车参观游览.已知甲、乙、丙三个学校分组后，所剩的人数相同，问丁校分组后还剩下几个人？同余的性质：※性质1：甲，乙，丙三个整数，如甲和乙同余，乙和丙同余，那么甲和丙一定同余。

若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）。

※性质2：甲和乙同余，丙和丁同余，那么甲与丙的和与乙与丁的和一定同余。

（若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m））※性质3：甲和乙同余，丙和丁同余，那么甲与丙的积与乙和丁的积一定同余。

第二十六讲同余有余精锐宝典在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。

当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。

余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。

（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。

（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。

（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。

（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。

同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。

同余的定义是这样的：两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数想同，则称a，b对于模m同余。

记作：a ≡b（mod m）。

读做：a同余于b模m。

比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47（mod5）。

同余的性质比较多，主要有以下一些：性质（1）：对于同一个出书，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。

比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。

“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。

也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod5），19≡4（mod5），32+19≡2+4≡1（mod5）性质（2）：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

性质（3）：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。

性质（4）：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。

应用同余性质解题的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。

把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：六年级课时数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第27讲——同余法解题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，教学目标和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂知识梳理一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、中国剩余定理1.中国古代趣题韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

小学奥数如何用“同余法”巧解难题，非常棒的解题技巧同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的，同余即余数相同。

它的定义是这样的：两个整数a、b，如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a、b对于模m同余，记作a≡b（mod.m），读作：a同余于b模m。

同余的性质比较多，家长指导孩子学习“同余法”，首先要熟悉“同余”的这几个基本性质：1.对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

例如：201×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。

2.对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。

例如：519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一定能被这个除数整除。

3.对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。

例如：20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化。

4.对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c （mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）例如：60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。

5.对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d （mod m），那么a±c≡c±d（mod m），（可加减性）6.对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d （mod m），那么ac≡cd（mod m），（可乘性）应用同余性质解题的关键是，在正确理解题意的基础上灵活运用同余性质。

家长应让孩子把握住一个策略，把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的问题变简单，使困难的题变容易。

▊例题1：用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？【解析】假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以a｜(412－133),a｜(412－257),a｜(257－133),说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。

1. 六年级奥数同余问题教师版2. 利用整除性质判别余数同余定理⒈定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数,那么称a 、b 对于模m 同余,用式子表示为：a ≡b 〈 mod m 〉,左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a 同余于b ,模m 。

⒉重要性质及推论：〈1〉若两个数a ,b 除以同一个数m 得到的余数相同,则a ,b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2,所以1711 （）能被3整除． 〈2〉用式子表示为：如果有a ≡b 〈 mod m 〉,那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数,即m |〈a －b 〉3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时,虽然可以用长除法去求得余数,但当被除位数较多时,计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”,我们希望找到一个较简单的数R ,使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数,所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；〈不够减的话先适当 加11的倍数再减〉；⑹ 整数N 被7,11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节,奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7,11或13除的余数就是原数被7,11或13除的余数．模块一、两个数的同余问题例题精讲知识点拨 教学目标5-5-3.同余问题【例 1】 有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.【考点】两个数的同余问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 〈法1〉 39336-=,51-3=48,1473144-=,(36,144)12=,12的约数是1,2,3,4,6,12,因为余数为3要小于除数,这个数是4,6,12；〈法2〉由于所得的余数相同,得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=,14739108-=,(12,108)12=,所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】 某个两位数加上3后被3除余1,加上4后被4除余1,加上5后被5除余1,这个两位数是______.【考点】两个数的同余问题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】人大附中,分班考试【解析】 “加上3后被3除余1”其实原数还是余1,同理这个两位数除以⒋5都余1,这样,这个数就是[3、⒋5]+1=60+1=61。

数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

六年级奥数第27讲同余法解题(教师版）余数问题主要包括了带余除法的定义,三大余数定理（加法余数定理,乘法余数定理,和同余定理）,及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

一、带余除法的定义及性质一般地,如果a 是整数,b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b=q ……r,也就是a ＝b ×q ＋r, 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或不完全商二、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数,等于a,b 分别除以c 的余数之和,或这个和除以c 的余数。

当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

2.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数,等于a,b 分别除以c 的余数的积,或者这个积除以c 所得的余数。

3.同余定理若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数,那么称a 、b 对于模m 同余,用式子表示为：a ≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a 同余于b,模m 。

由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a,b 除以同一个数m 得到的余数相同,则a,b 的差一定能被m 整除教学目标知识梳理用式子表示为：如果有a≡b ( mod m ),那么一定有a－b＝mk,k是整数,即m|(a－b)三、中国剩余定理1.中国古代趣题韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积）,然后再加3,得9948（人）。

数论---同余问题余数问题是我们数论知识非常重要的一大板块，许多名校小升初考试中，各大杯赛中经常会考到，所以序号本讲内容堆学生来讲是非常重要的。

定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。

如：35除以5,7余0，除以3余2；63除以3,7余0，除以5余3；30除以3,5余0，除以7余2。

则35+63+30除以3余2，除以5余3，除以7余2。

定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。

一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

第二十六讲同余有余在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。

当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。

余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。

（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。

（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。

（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。

（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。

同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。

同余的定义是这样的：两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数想同，则称a，b对于模m同余。

记作：a ≡b（mod m）。

读做：a同余于b模m。

比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47（mod5）。

同余的性质比较多，主要有以下一些：性质（1）：对于同一个出书，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。

比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。

“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。

也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod5），19≡4（mod5），32+19≡2+4≡1（mod5）性质（2）：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

性质（3）：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。

性质（4）：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。

应用同余性质解题的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。

把求一个较大的数除以某数被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

六年级奥数教程■同余同余，从字面上理解，就是余数相同.解答好此类题的前捉是要很好地理解和掌握整除、公约数的一些知识，这样运用起来才能得心应手.1.求2008除以7的余数.(你们知道2008年是什么H子吗？)解：同学们也许会问，同余、同余，怎么求一个数除以另一个数的余数呢，它们两个数相除余数只有一个，谈不上“相同“，你不耍着急•因为只有你明白了这道题的来龙去脉，那么后而的题你也就会迎刃而解了.可以先去掉7的倍数1400余608,再去掉560还余下48,再去掉42最后余下6.这个过程可简单地记成：2008->608->48->6.从这几个数我们町以看出，它们除以7都余6.答：2008除以7的余数是6.因为2008、608、48、6 除以7 的余数相同,所以2008-608> 608-48> 2008-6> 608-6 这儿个算式的结果能被7整除由此不难得出这样十分有用的结论：如果若干的数被同一个数除余数相同，那么这若干个数两两Z差(大减小)必能被这个数整除.1.试一试：求2008除以13的余数2.有一个大于1的整数，它除1000, 2001,967得到相同的余数(不为0),那么这个整数是多少？解：山上而的结论，所求整数应能整除967, 1000, 2001的两两之差，即2001-1000=1001=7X11X131000-967=33=3X112001-967=1034=2X11X47这个整数是这三个差的公约数11.答：这个整数是11.你们想一想，只求出两个差行不行呢？2.试一试：有一个整数，用它去除3()()、262、205,得到的余数相同.这个数是多少？3.数2001, 2232除以整数m得到相同的余数，而且这个余数是合数，求n.解:根据余数相同,所求的数应能整除2001与2232的差,即2232-20() 1=231=3X7X11山此我们知道n可能是3或7或11,究竟哪个符全合条件呢，这我们得认真对待，千万不能手懒.只要试一试即可，得7和11、21、33、77都符合条件.答：n是7或11或21或33或力或231.3.试一试：有141、206、271分别除以m,余数相同并且都是奇数.m最大是几?4.用一个自然数去除715和903所得余数相同，且商相差4.求这个数.解：根据两个数除以同一个数余数相同的特点，我们可以得到903 -715的差能被这个数整除，乂因为所得的商相差4,也就是903 -715的差除以这个数应该得4,要求这个数，即可用(903-715) 4-4=47,即所求的数为47.答：这个数是47.此类题门J以归结为：甲乙两个数除以一个相同的数，余数相同，且商相差n(n>l),则这个相同的数为(甲■乙)一n.4.试一试：某个大于1的整数，除1975, 2008所得的余数相同，且商相差11.求这个数.5.若2836, 4582, 5146, 6522四个自然数被一个自然数相除,所得余数相同且为两位数, 除数和余数的和为多少？解：根据若干个口然数除以同一个口然数所得余数相同，那么它们两两的差定能被这个口然数整除.于是得：4582-2836=17465164-4582=5826522-5164=1358因为(1746, 582, 1358) =194,所以除数是194的大于10的约数.符合条件的只有97 和194.如果除数=194, 51644-194=26……120 (此处可以用原题中四个自然数中的任意一个都可，为什么？)余数不是两位数，与题意不符.如果除数是97,经检验，余数都是23,除数+余数=97+23=120.答：除数与余数的和是120.5.试一试：有一个整数,除1200, 1314, 1048所得的余数相同且大于5.问:这个数与余数的和是多少？6.有三个不同的三位数，它们分别除以a ,得到的余数相同而且是最大二位偶数，当a为两位数时，这三个数最小的和是多少？解：这道题看似很难，但我们不妨换个角度去考虑.我们先从相同的余数入手，因为余数是最人的两位偶数，我们马上意识到余数是98,既然余数为98, a只能得99.这样此题便可很轻松的完成.敲小的三位数是1X99+98=197,另外的两个三位数分别为296和395.(仔细看这三个数，有什么规律吗？对！相邻的两个数相差99)于是得到此题结果为197+396+395=1188.答：三个数的最小和是1188.如果给的不是三个三位数而是其它的任意情况，同样可以采取这种方法去解题.6.试一试：已知四个四位数分別去除以y,所得的余数和同并且是三位奇数，当y最小时这四个数的和最大是多少？7.将一批货物共7?, 375 T克装入纸箱，每箱装10千克，最后余多少T克？解：此题我们不可能将求出来，然后去除以1(),求出余数.但我们可以借助同余的办法来求，我们首先看下面一组说明：3除以10的余数是3；¥除以10的余数是9；¥除以10的余数是7；3"除以10的余数是1； 3'除以10的余数是3；除以10的余数是9；3?除以10的余数是7； 38除以1()的余数是1 ；这就说明每隔4个数除以10的余数就相同•又因为754-4=18……3即3方除以10的余数与3?除以1()所得余数相同，得7.答：每箱装10 T克授后余下7千克.7.试一试：粮库有7力千克大米，用每袋50千克的袋子装，最后余下多少千克？&在1〜500的自然数中，除以16, 40余数(0除外)相同的数有多少个？解：因为16与40的最小公倍数是80, 1〜500的自然数除以16与40相同的余数情况有: 1，2, 3, 4……15,共15种，也就是在连续的80个数中有15个数符合条件,500个自然中有的个数为：5004-80=6……20,在余下的20个数中有15个余数相同.这证明有7个15, 所以在1~500中除以16与40余数相同的数有15X7=105个.列式：[16, 40]=805004-80=6 (20)(6+1) X15=105答:在1~500的自然数中，除以16, 40余数相同的数共有105个.8.试一试：在小于1000的白然数中，除以15及33而余数(0除外)相同的数有多少个？9.希望小学六年级和五年级去春游，每辆车可乘36人.六年级先坐满儿车，剩下的16人与五年级坐满一年，五年级又他满若干车.到达口的地后，每一个五年级的学生和每一个六年级学牛•合影一张，每个胶卷可拍36张.全部学生照和完毕，最后一个胶卷还剩儿张未拍？解：解答此题的关键是求岀最示一个胶卷归了几张，即以全影张数为被除数，36为除数，求余数.假如将五、六年级合乘一车的16名学生和20 (36-16=20)人去掉，那么其余五、六年级的学生合彩正好可以用掉整数卷胶卷.这样来我们只考虑五年级那16人与六年级那么20人即可.因为每人都要与不同年级的人合影，所以这16人与20人要合影320 (根据乘法原理16X20=320)张.所有人都拍完后的总张数除以36所得的余数与32()除以36余数相同, 为32,所以最后一个胶卷照了32张.于是有36-32=4张，即最后一个胶卷还剩4张.列式：36-16=20 （人）16X20=320 （张）3204-36=8 (32)36 - 32 = 4 （张）答：最后一个胶卷还剩4张.9.试一试：甲、乙两个旅游团乘车参观，每辆车可乘35人，两团成员坐满若干辆车后，甲团余下的15人与乙团余下的成员正好乂他满一辆车•为了纪念这次参观，甲乙两团的每个成员都与不同团的每人合拍一张照片留念.如果每个胶卷可拍35张照片，那么扌门完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？10.甲、乙、内、丁四个学校分别有69人、85人、93人、97人旅行.现在耍把这四校学生分别进行分组，并使每组的人数尽可能多，以便乘车参观游览.已知甲、乙、丙三个学校分组后，所剩的人数相同，问丁校分组后还剩下儿个人？分析：从表血上看，这道题目问的是”剩余”人数，但我们知道“剩余”是因为不能被整除而产生的，所以，解答这道题冃的关键是求”每组有几人”（即求除数）这个除数在何处找呢？其实呀，它远在天边，近在眼前，这个除数就藏在它的“差“里.这是为什么呢？我们可以这样想：既然甲、乙、丙三个学校人数被某数除的余数相同，那么这三个数的两两Z 差一定能被这个数整除（因为它们相减时，余数恰好相互”抵消“了）• 懂得了以上这个道理之后，再来解答这个问题就不困难了.甲、乙、丙三校人数的羌分别是: 93-69=2485-69=1693-85=8不难看出，它们的敲大公约数是&这也正是我们所要寻找的”除数“.验证如下：694-8=8 ........ 5（分成8组,剩下5人）854-8=10……5 （分成10组,剩下5人）934-8=11……5 （分成11组,乘下5人）最后來推算丁校分组情况：974-8=12 (1)答：丁校分组后剩下1人.10.试一•试：乐乐玩具店有大小相同的红、蓝、黄、绿四种颜色的小球各344个、277个、411 个和555个.现在要用一种精致的小盒分别去装这些小球,每只盒了里装的小球同样多.真巧! 剩下的红、蓝、黄三色小球也恰好同样多.小剩下的绿球有多少个？［方法归纳］如果若干个自然数除以同一个自然数，余数相同，那么这些自然数两两之差必能被这个自然数整除.参考答案1.6.2.1 或19.3.65.4.3.仿例4.5.60.捉示：这个整数为38,余数为22.6.39368.提示：y为102,余数为101.这四个数分别是9995, 9893, 9791, 9689.7.43 T克.提示：7的1次方开始除以50的余数分别是7, 49, 43, 1, 7, 49, 43,…8.93•仿例89.15张伤例910.19 个。

1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a 同余于b ，模m 。

2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711-（）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；⑹ 整数N 被7，11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．模块一、两个数的同余问题【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 (法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12例题精讲知识点拨教学目标5-5-3.同余问题【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。

温故而知新
1．“带鱼”除法
a÷b＝q…r
2．“鲨鱼”除法（凑整除）
3．“三文鱼”性质
和的余数等于余数和
差的余数等于余数差
积的余数等于余数积
同余式：
若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用“同余式”表示为a≡b(mod m) 意味着(我们假设a≧b)a－b是m的倍数，即m︱(a－b) 。

算式2007200720072007
1232006
++++结果的个位数字是多少？
89
143除以7的余数是多少？
(2006年第十一届“华罗庚金杯赛”初赛)在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”，代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立。

则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于。

将从1开始的到103的连续奇数依次写成一个多位数：a＝13579111315171921……9799101103。

则数a共有_____位，数a除以9的余数是___。

同余（一）。