同余法解题

同余法解题集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]五年级奥数培训资料第六讲同余法解题一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。

同余的定义是这样的：两个整数，a,b,如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a,b对于模m同余。

记作a≡b（mod.m）。

读作：a同余于b模m。

同余的性质也比较多，主要有以下一些：1..对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

例如201×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。

2..对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。

例如519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一定能被这个除数整除。

3..对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。

例如20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化。

4．对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）例如60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。

5. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d （mod m），（可加减性）6. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（mod m），（可乘性）二、中国剩余定理解法一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？解法：求3个数：第一个：能同时被3和4整除，但除以5余4，即12X2＝24第二个：能同时被4和5整除，但除以3余1，即20X2＝40第三个：能同时被3和5整除，但除以4余2，即15x2＝30这3个数的最小公倍数为60，所以满足条件的最小数字为24＋40+30-60=3412X2＝24 20X2＝40 15x2＝30中2的来历。

数论---同余问题余数问题是我们数论知识非常重要的一大板块，许多名校小升初考试中，各大杯赛中经常会考到，所以序号本讲内容堆学生来讲是非常重要的。

定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。

如：35除以5,7余0，除以3余2；63除以3,7余0，除以5余3；30除以3,5余0，除以7余2。

则35+63+30除以3余2，除以5余3，除以7余2。

定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。

一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.【余数的加法定理】a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.【余数的乘法定理】a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

同余方程与模方程的解法一、同余方程在数论中，同余方程是指形如ax ≡ b (mod m) 的方程，其中 a、b、m 为整数。

解同余方程的方法有多种，下面将介绍两种常用的解法。

1. 穷举法：穷举法是最简单直观的解同余方程的方法之一。

具体步骤如下：（1）列出满足条件的整数集合。

根据同余的定义，我们知道 x 和 b 对 m 取余数是相同的，即 x 和 b 在模 m 意义上是相等的。

因此，我们可以列出一个整数集合 S，其中的元素 x 满足x ≡ b (mod m)。

（2）从集合中选出满足条件的解。

根据具体的题目要求，我们可以从集合 S 中选出满足方程的解。

2. 扩展欧几里得算法：扩展欧几里得算法是一种高效解同余方程的方法。

它利用了欧几里得算法的思想，通过递归求解，最终得到同余方程的解。

具体步骤如下：（1）求解递归基。

如果 b = 0，则方程变为ax ≡ 0 (mod m)，此时方程的解为 x = m / (a, m)，其中 (a, m) 表示 a 和 m 的最大公因数。

（2）求解通解。

如果b ≠ 0，则根据同余方程的性质可知，ax ≡ b (mod m) 的解与 ax ≡ 1 (mod m) 的解具有相同的形式。

因此，我们可以利用扩展欧几里得算法求解 ax + my = (a, m)，其中 y 是方程ax ≡ 1 (mod m) 的一个解。

（3）求解特解。

根据通解的形式，我们可以求解出 ax + my = (a, m) 的一个特解 x0。

然后，利用 x = x0 * (b / (a, m))，即可求得同余方程的特解。

二、模方程模方程是指形如x² ≡ a (mod m) 的方程，其中 a、m 为整数。

解模方程的方法有多种，下面将介绍两种常用的解法。

1. 勒让德符号和二次互反律：勒让德符号是数论中的一个重要概念，它用来判断二次剩余和二次非剩余。

对于模方程x² ≡ a (mod p)（p 是奇素数），可以利用勒让德符号判断 a 是否是模 p 的二次剩余。

余数问题的解题方法
解题方法：
1. 除法互换律：将被除数和除数互换，得到的结果是余数。

例如：1÷3=0...1，则3÷1=3...0，即余数为零。

2. 同余定理：如果a÷b=c...d（c为商，d为余数），则a-d÷b=c...0，即余数为零。

例如：7÷3=2...1，则7-1÷3=2...0，余数为零。

3. 分解质因数法：将被除数和除数分解质因数，列出所有的可能组合，直到得到能够整除的结果则余数为零。

例如：6÷3=2...0，则2×3=6，余数为零。

4. 模运算：使用模运算，即a mod b=d，其中d为余数。

5. 对于除法不可整除的情况，可以使用乘除法，即a×b=c+d（c大于等于a，d为余数），其中d为余数。

例如：7×3=21，则21-7=14，余数为7。

6. 开平方法：将被除数平方，或者除数平方，直到得到整除的结果则余数为零。

例如：64÷8=8...0，则8×8=64，余数为零。

7. 拆分成多项式：将被除数和除数拆分成多项式，例如
a=a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n，b=b_1x_1+b_2x_2+…+b_nx_n，则a÷b=c...d（其中d为余数）。

第27讲 同余法解题余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理(加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理)，及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

一、带余除法的定义及性质一般地，如果a 是整数，b 是整数(b ≠0)，若有a ÷b=q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ，0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里:(1)当0r =时:我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时:我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商二、三大余数定理:1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

2.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。

3.同余定理若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为:a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作:a 同余于b ，模m 。

由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论:若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除用式子表示为:如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ，k 是整数，即m|(a －b)三、中国剩余定理1.中国古代趣题韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列教学目标知识梳理余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题:假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注:因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积)，然后再加3，得9948(人)。

五年级奥数培训资料时间：2021.03.05 创作：欧阳理第六讲同余法解题一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。

同余的定义是这样的：两个整数，a,b,如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a,b对于模m同余。

记作a≡b（mod.m）。

读作：a同余于b模m。

同余的性质也比较多，主要有以下一些：1..对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

例如201 ×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。

2..对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。

例如519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一定能被这个除数整除。

3..对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。

例如20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化。

4．对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c （mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）例如60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。

5. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d （mod m），那么a±c≡c±d（mod m），（可加减性）6. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d （mod m），那么ac≡cd（mod m），（可乘性）二、中国剩余定理解法一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？解法：求3个数：第一个：能同时被3和4整除，但除以5余4，即12X2＝24 第二个：能同时被4和5整除，但除以3余1，即20X2＝40 第三个：能同时被3和5整除，但除以4余2，即15x2＝30这3个数的最小公倍数为60，所以满足条件的最小数字为24＋40+3060=3412X2＝2420X2＝4015x2＝30中2的来历。

同余法解题（进阶）知识精讲例题1 求1992×59除以7的余数。

练习1 求4217×364除以6的余数。

例题2 已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？练习2 已知2002年元旦是星期二。

求2008年元旦是星期几？例题3 求2001的2003次方除以7的余数。

（费尔马小定理：某数的6次方除以7，余数为1）练习3 求12的200次方除以7的余数。

例题4 自然数300，262，205除以m的余数相同，m最大是多少？练习4 1.一个整数除226、192、141都得到相同的余数，且余数不为0，这个整数是几？2.有一个整数，用它去除63、91、129得到三个余数的和是25，这个整数是多少？例题5 某数用6除余3，用7除余5，用8除余1，这个数最小是几？练习5 某数除以7余1，除以5余1，除以12余9。

这个数最小是几？挑战极限例6 当1991和1769除以某一个自然数m时，余数分别为2和1，那么m最小是多少？例7在一个圆圈上有几十个孔（如图38-1），小明像玩跳棋那样从A孔出发沿逆时针方向每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跑回A孔，他先试着每隔2孔跳一步，也只能跳到B孔。

最后他每隔6孔跳一步，正好跳回A孔。

问：这个圆圈上共有多少个孔？课内练习1.求1339655×12除以13的余数。

2.求879×4376×5283除以11的余数。

3.已知2002年的“七月一日”是星期一。

求2015年的“七月一日”是星期几？4.2004的2004次方除以7的余数是多少？5.某数除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此数最小值。

6.一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少？7.A除以5余1，B除以5余4，如果3A大于B,那么3A-B除以5的余数是多少？8.若442、297、210都被同一个数相除，所得的余数相同。

这个除数最大是多少？9.有一个自然数，用它分别除63,90,130，都有余数，三个余数的和为25，这三个余数中最小的一个是多少？10.号码分别为101, 126，173, 193的四个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数，那么打球盘数最多的运动员打了多少盘？。

应用同余问题专题简析：同余的性质比较多，主要有以下一些：性质（1）：对于同一个出书，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。

比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。

“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。

也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod 5），19≡4（mod 5），32+19≡2+4≡1（mod 5）性质（2）：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

性质（3）：对于同意个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。

性质（4）：对于同意个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。

应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。

把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。

例题1：求1992×59除以7的余数。

练习1：1、求1339655×12除以13的余数。

2、求879×4376×5283除以11的余数。

例题2：已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？练习2：1、已知2002年的“七月一日”是星期一。

求2015年的“十月一日”是星期几？2、今天是星期四，再过365的15次方是星期几？例题3：求2001的2003次方除以13的余数。

练习3：1、求3的92次方除以21余几。

2、9个小朋友坐成一圈，要把35的7次方粒瓜子平均分给他们，最后剩下几粒？例题4：某数用6除余3，用7除余5，用8除余1，这个数最小是几？练习4：1、某数除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此数最小值。

2、 求123456789123456789++++++++的结果除以3的余数。

3、 把1至2002这2002个自然数依次写下来，得到一个1234200020012002A =试求A除以9的余数。

同余及余数问题1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同．一、同余定理1、定义整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm）2、同余的重要性质及举例。

〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）；〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）；〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）；〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类：〈1〉用2来将整数分类，分为两类：1，3，5，7，9，……（奇数）；0，2，4，6，8，……（偶数）〈2〉用3来将整数分类，分为三类：0，3，6，9，12，……（被3除余数是0）1，4，7，10，13，……（被3除余数是1）2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：0（mod6）：0，6，12，18，24，……1（mod6）：1，7，13，19，25，……2（mod6）：2，8，14，20，26，……3（mod6）：3，9，15，21，27，……4（mod6）：4，10，16，22，29，……5（mod6）：5，11，17，23，29，……一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________71427和19的积被7除，余数是几?有三个自然数a ，b ，c ，已知b 除以a ，得商3余3；c 除以a ，得商9余11。

精心整理五年级奥数培训资料第六讲同余法解题一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。

同余的定义是这样的：?两个整数，a,b,如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a,b对于模m同余。

记作a≡b（mod.m）。

读作：a同余于b模m。

?同余的性质也比较多，主要有以下一些：1..对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

例如201?×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。

2..对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一?定能被这个除数整除。

? 例如519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一? 定能被这个除数整除。

?3..对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。

例如20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化。

??4．对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）例如60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。

5. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d （mod m），（可加减性）6. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（modm），（可乘性）二、中国剩余定理解法一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？解法：求3个数：第一个：能同时被3和4整除，但除以5余4，即12X2＝24第二个：能同时被4和5整除，但除以3余1，即20X2＝40第三个：能同时被3和5整除，但除以4余2，即15x2＝30这3个数的最小公倍数为60，所以满足条件的最小数字为24＋40+30-60=3412X2＝24 20X2＝40 15x2＝30中2的来历。

同余法解题Revised on November 25, 2020五年级奥数培训资料第六讲同余法解题一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。

同余的定义是这样的：两个整数，a,b,如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a,b对于模m同余。

记作a≡b（）。

读作：a同余于b模m。

同余的性质也比较多，主要有以下一些：1..对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

例如201×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。

2..对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。

例如519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一定能被这个除数整除。

3..对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。

例如20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化。

4．对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）例如60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。

5. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d（mod m），（可加减性）6. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（mod m），（可乘性）二、中国剩余定理解法一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几解法：求3个数：第一个：能同时被3和4整除，但除以5余4，即12X2＝24第二个：能同时被4和5整除，但除以3余1，即20X2＝40第三个：能同时被3和5整除，但除以4余2，即15x2＝30这3个数的最小公倍数为60，所以满足条件的最小数字为24＋40+30-60=3412X2＝24 20X2＝40 15x2＝30中2的来历。

2024国考行测技巧同余特性巧解不定方程同余特性是数论中一个非常重要的概念，它可以帮助我们巧妙地解决一些不定方程的问题。

在2024国考行测中，同余特性经常会在数学题中出现，掌握了同余特性的巧解方法，可以帮助我们更高效地解题。

下面我们就具体介绍一下如何利用同余特性巧解不定方程。

首先，我们需要了解一下同余的定义。

在数论中，我们说两个整数a 和b对于模m同余，可以表示为a ≡ b (mod m)，读作a和b对于模m 同余。

也就是说，a对于模m除以m的余数和b对于模m除以m的余数相等。

例如，12≡ 5 (mod 7)，表示12和5对于模7同余。

同余关系有一些重要的性质，其中最重要的就是加法和乘法性质。

加法性质：如果a≡ b (mod m)，c≡ d (mod m)，那么a+c≡ b+d (mod m)。

乘法性质：如果a≡ b (mod m)，c≡ d (mod m)，那么ac≡ bd (mod m)。

有了这两个性质，我们就可以利用同余特性巧妙地解决不定方程的问题了。

首先，我们用一个例子来说明具体的解题方法。

例题：解不定方程2x ≡ 3 (mod 7)。

解题步骤如下：Step 1：利用同余性质，我们将方程转化为2x - 3 ≡ 0 (mod 7)。

Step 2：观察等式左边，我们可以发现，2x - 3可以被7整除，即2x - 3 = 7k，其中k为整数。

Step 3：将方程变形为2x = 7k + 3Step 4：利用乘法性质，我们可以得到x ≡ 7k + 3 ≡ 3 (mod 2)。

Step 5：现在我们得到一个简化的方程x ≡ 3 (mod 2)，我们可以通过计算得到x的取值范围。

根据同余性质，我们知道当两个数对于模m同余时，它们的差也同余于0。

所以我们可以得到x - 3 ≡ 0 (mod 2)，即x - 3可以被2整除。

因此，我们可以得到x-3=2k，其中k为整数。

将方程变形为x=2k+3所以，最终的解为x ≡ 2k + 3 (mod 7)。

小学奥数。

同余问题精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)同余问题教学目标：1.掌握同余的性质。

2.利用整除性质判断余数。

知识点拨：同余定理1.定义：若两个整数a和b被自然数m除有相同的余数，那么称a和b对于模m同余，用式子表示为：a≡b(modm)，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。

2.重要性质及推论：1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除。

例如：17与11除以3的余数都是2，所以能被3整除。

(17-11=6，6可以被3整除)2）用式子表示为：如果有a≡b(modm)，那么一定有a-b=mk，k是整数，即m|(a-b)。

3.余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的。

建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余。

由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数。

⑴整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数。

⑵整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数。

⑶整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数。

⑷整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数。

⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数。

（不够减的话先适当加11的倍数再减）⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数。

例题精讲模块一、两个数的同余问题例1】有一个整数，除39、51、147所得的余数都是3，求这个数。

考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答解析】法1)39-3=36，51-3=48，147-3=144，(36,144)=12，12的约数是1、2、3、4、6、12，因为余数为3要小于除数，这个数是4、6、12.法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。

六年级奥数第27讲同余法解题(教师版）余数问题主要包括了带余除法的定义,三大余数定理（加法余数定理,乘法余数定理,和同余定理）,及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

一、带余除法的定义及性质一般地,如果a 是整数,b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b=q ……r,也就是a ＝b ×q ＋r, 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或不完全商二、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数,等于a,b 分别除以c 的余数之和,或这个和除以c 的余数。

当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

2.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数,等于a,b 分别除以c 的余数的积,或者这个积除以c 所得的余数。

3.同余定理若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数,那么称a 、b 对于模m 同余,用式子表示为：a ≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a 同余于b,模m 。

由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a,b 除以同一个数m 得到的余数相同,则a,b 的差一定能被m 整除教学目标知识梳理用式子表示为：如果有a≡b ( mod m ),那么一定有a－b＝mk,k是整数,即m|(a－b)三、中国剩余定理1.中国古代趣题韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积）,然后再加3,得9948（人）。

个性化辅导教案
例2:
已知2001年的国庆节是星期一，求xx年的国庆节是星期几？
（提示：一个星期有7天，要求xx年的国庆节是星期几，就要求从2001年到xx年的国庆节的总天数被7除的余数就行了；也可以利用同余的性质求出余数。

）
例3 ：
自然数16520,14903,14177除以m的余数相同，m的最大值是多少？
（提示：利用同余性质3）
例4：
某数用6除余3,用7除余5,用8除余1.这个数最小是几?
（提示：可以用列举法）
个性化辅导学案
2.求1339655X12除以13的余数。

3.求879X7376X5283除以11的余数。

练习2：
1.已知2002年元旦是星期二。

求xx年元旦是星期几?
2.已知2002年的七月一日是星期一。

求xx年的十月一日是星期几?
练习3：
1.若2836,4582,5164,6522四个整数都被同一个两位数相除，所得的余数相同。

除数最
大是多少？
2.一个整数除226,192,141都得到相同的余数，且余数不为0,这个整数是几?。

同余定理分三类:口诀套用,化余为一,其他“差同减差,和同加和,余同取余,最小公倍加”这是同余问题的口诀;所谓同余问题,就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数,反求这个数,称作同余问题;首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数,下面以4、5、6为例,请记住它们的最小公倍数是60;1、差同减差:用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的差相同,此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,减去这个相同的差数,称为:“差同减差”;例:“一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3”,因为4-1=5-2=6-3=3,所以取-3,表示为60n-3;60后面的“n”请见4、,下同2、和同加和:用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的和相同,此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的和数,称为:“和同加和”;例:“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”,因为4+3=5+2=6+1=7,所以取+7,表示为60n+7;3、余同取余:用一个数除以几个不同的数,得到的余数相同,此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的余数,称为:“余同取余”;例:“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,因为余数都是1,所以取+1,表示为60n+1;4、最小公倍加:所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍即上面1、2、3中的60n都满足条件,称为:“最小公倍加”,也称为:“公倍数作周期”;余数问题中的一个重要问题就是同余问题,在同余问题解决过程中,推荐代入法和口诀法两大类;其中口诀法是公倍数做周期,余同取余,和同加和,差同减差的应用,但是有时候会出现余不同,和不同并且差也不同的现象,这就需要我们采用剩余定理进行解决;剩余定理的原理比较繁琐,不如直接套用解题方法进行快速解题更能解决行测中的类似问题;下面给出一些例题,对剩余定理的解题方法加以熟练:例1一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是多少题中3、4、5三个数两两互质;则〔4,5〕=20﹔〔3,5〕=15﹔〔3,4〕=12﹔〔3,4,5〕=60; 为了使20被3除余1,用20×2=40﹔使15被4除余1,用15×3=45﹔使12被5除余1,用12×3=36; 然后,分别乘以他们的余数:40×1+45×2+36×4=274, 因为,274>60,所以,274-60×4=34,就是所求的数;例2一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是多少在1000内符合这样条件的数有几个题中3、7、8三个数两两互质; 则〔7,8〕=56﹔〔3,8〕=24﹔〔3,7〕=21﹔〔3,7,8〕=168; 为了使56被3除余1,用56×2=112﹔使24被7除余1,用24×5=120﹔使21被8除余1,用21×5=105﹔然后,112×2+120×4+105×5=1229; 因为,1229>168,所以,1229-168×7=53,就是所求的数; 再用1000-53/168得5, 所以在1000内符合条件的数有5个;例3一个数除以5余4,除以8余3,除以11余2,求满足条件的最小的自然数;题中5、8、11三个数两两互质; 则〔8,11〕=88﹔〔5,11〕=55﹔〔5,8〕=40﹔〔5,8,11〕=440; 为了使88被5除余1,用88×2=176﹔使55被8除余1,用55×7=385﹔使40被11除余1,用40×8=320; 然后,176×4+385×3+320×2=2499, 因为,2499>440,所以,2499-440×5=299,就是所求的数;例4有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人题中9、7、5三个数两两互质; 则〔7,5〕=35﹔〔9,5〕=45﹔〔9,7〕=63﹔〔9,7,5〕=315; 为了使35被9除余1,用35×8=280﹔使45被7除余1,用45×5=225﹔使63被5除余1,用63×2=126; 然后,280×5+225×1+126×2=1877, 因为,1877>315,所以,1877-315×5=302,就是所求的数;对剩余定理问题进行直接套用的方式是解决此类题目最快的方法,华图公务员考试研究中心希望考生记住解题步骤,进行相关问题的解决;来源:华图教育剩余定理的一般情况:一个数,除以7余3,除以8余6,除以5余2,求满足这些条件的所有三位数;卡卡西解析:--------------------------------一个数除以7余3,可以把这个数字表示为7a+3,同理有5b+2 8d+67a+3=5b+27a+1=5ba=2b=3最小公倍数3535c+17=8d+632c+8+3c+3=8d因为32C+8 肯定是8的倍数,所以不予再考虑3c+3=8dC=7357+17=262 262+280N一个整数除300、262、205,得到相同的余数,问这个整数是几分析:根据同余的性质:此三数种任何两数的差都应是除数的倍数,即除数应是此三数中任两数的差的公约数;----------------------------------解:300-262=38262-205=5728,57=1912 +22 + 32 +……+20012+20022除以7的余数是_____;-----------------------方法一:根据公式:1^2+2^2+…+n^2=nn+12n+1/6方法二:÷7=0…1, ÷7=0…4, ÷7=1…2, ÷7=2…2, ÷7=3…4, ÷7=5…1, ÷7=7余数为0, , ÷7与÷7余数相同,同样地, ÷7与÷7余数相同,…….所以,每7个连续自然数的平方之和除以7的余数为1+4+2+2+4+1除以7的余数,而1+4+2+2+4+1÷7=2余数为0,而2002÷7=286,所以原式能被7整除,即除以7的余数为0今天星期一,1998的1986次方天后星期几----------------------------------1998的1986次=2657+31986次=3的1986次3^0 整除7的余数是13^1整除7的余数是33^2整除7的余数是23^3 整除7的余数是63^4 整除7的余数是43^5 整除7的余数是53^6 整除7的余数是1由此可见,6次一循环所以:3的19861986/6=331,余数为0次除7的余数为3^0/7=11+1=2。

1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a 同余于b ，模m 。

2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；⑹ 整数N 被7，11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．模块一、两个数的同余问题【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题 【难度】1星 【题型】解答例题精讲知识点拨教学目标5-5-3.同余问题【解析】 (法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12． 【答案】4,6,12【例 2】 某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.【考点】两个数的同余问题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】 “加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。