傅里叶光学C1 Introduction

傅里叶光学课程设计前言傅里叶光学是光学的一个重要分支，它将傅里叶分析方法与光学相结合，可以对光场的传播、变换、滤波等进行分析和处理。

本课程设计将针对傅里叶光学的理论和实践进行探讨，旨在让学生更深入地了解傅里叶光学的基本概念和应用，并培养学生独立思考、实验设计和科学写作的能力。

题目设定本课程设计包括两个部分。

理论部分傅里叶光学的理论部分主要是关于傅里叶光学的基本概念和原理的讲解。

参考教材为《傅里叶光学》（第二版），作者为Joseph W. Goodman。

下面是理论部分的几个任务：任务一自选某一篇傅里叶光学的文献，阅读并归纳总结出该文献中介绍的傅里叶光学算法或方法，并用自己的话进行说明。

任务二根据自己选定的傅里叶光学算法或方法，设计一份算法流程图或伪代码，并用文字描述各个步骤的作用和解释。

任务三在MATLAB或Python等编程软件中，用自己编写的程序对所设计的傅里叶光学算法或方法进行仿真实验，并对仿真结果进行分析和讨论。

实验部分傅里叶光学的实验部分是通过光学实验来验证傅里叶光学的基本原理和概念。

下面是实验部分的几个任务：任务四在实验室里，搭建一个傅里叶变换光学系统，并用几个典型的样例来展示傅里叶变换在光学中的应用。

任务五通过设计一个基于光学的数字图像处理系统，来演示傅里叶光学在数字图像处理中的应用。

具体包括图像傅里叶变换技术、频域滤波技术等。

任务六综合实验。

根据老师或自己的兴趣，自己设计一份光学实验，并在实验报告中详细叙述实验的实现过程，以及分析实验结果。

总结傅里叶光学是一门具有极高应用价值的学科。

通过本次课程设计，学生将会深入了解傅里叶光学的基本原理和应用，同时也会培养学生独立思考、实验设计和科学写作的能力，为以后的学习和工作打下坚实的基础。

傅里叶光学实验傅里叶光学原理的发明最早可以追溯到1893年阿贝（Abbe ）为了提高显微镜的分辨本领所做的努力。

他提出一种新的相干成象的原理，以波动光学衍射和干涉的原理来解释显微镜的成像的过程，解决了提高成像质量的理论问题。

1906年波特（Porter ）用实验验证了阿贝的理论。

1948年全息术提出，1955年光学传递函数作为像质评价兴起，1960年由于激光器的出现使相干光学的实验得到重新装备，因此从上世纪四十年代起古老的光学进入了“现代光学”的阶段，而现代光学的蓬勃发展阶段是从上世纪六十年代起开始。

由于阿贝理论的启发，人们开始考虑到光学成像系统与电子通讯系统都是用来收集、传递或者处理信息的，因此上世纪三十年代后期起电子信息论的结果被大量应用于光学系统分析中。

两者一个为时间信号，一个是空间信号，但都具有线性性和不变性，所以数学上都可以用傅立叶变换的方法。

将光学衍射现象和傅立叶变换频谱分析对应起来，进而应用于光学成像系统的分析中，不仅是以新的概念来理解熟知的物理光学现象，而且使近代光学技术得到了许多重大的发展，例如泽尼克相衬显微镜，光学匹配滤波器等等，因此形成了现代光学中一门技术性很强的分支学科—傅里叶光学。

实验原理：我们知道一个复变函数f(x,y)的傅立叶变换为：( 1 )⎰⎰+-=ℑ=dxdy vy ux 2i y x f y x f v u F )](exp[),()},({),(πF (u,v)叫作f(x,y)的傅立叶变换函数或频谱函数。

它一般也为复变函数，f(x,y)叫做原函数，也可以通过求 F(u,v)逆傅立叶变换得到原函数f(x,y)：（2）⎰⎰+=ℑ=-dudv vy ux 2i v u F v u F y x f 1)](exp[),()},({),(π在光学系统中处理的是平面图形，当光波照明图形时从图形反射或透射出来的光波可用空间两维复变函数（简称空间函数）来表示。

在这些情况下一般都可以进行傅里叶变换或广义的傅里叶变换。

专题：傅里叶光学基础Fundamentals of Fourier Optics§1.1 数学基础知识和傅里叶变换的基本概念§1.2 光波的傅里叶分析§1.3 平面波角谱理论§1.4 透镜的傅里叶变换§1.5 光阿贝成像原理§1.6 光全息术傅里叶光学：研究以光作为载波，实现信息传递、变换、记录和再现的问题。

§1.1 数学基础知识和傅里叶变换的基本概念一、一些常用函数在现代光学中，常用各种非初等函数和特殊函数来描述光场的分布。

常用函数定义图形表示应用阶跃函数1 x0step(x )1step( ) 2 0x x1x0 x 0直边（或刀口）的透过率符号函数1 0xsgn(x) 0 x 01 x 0孔径的一半嵌有相位板的复振幅透过率矩形函数xrect( )ax1 1/ 2a0 else狭缝或矩孔的透过率常用函数定义图形表示应用三角形函数| x|x1 x 1( ) aa0 else光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数狭缝或矩孔的sinc函数x sin( x/ a )sinc( )a x/ a 夫琅禾费衍射图样高斯函数2x xGaus( ) expa a 激光器发出的高斯光束x y2 2circ( )r圆域函数圆孔的透过率2 21 x y r0 else二、傅里叶级数的定义一个周期性函数g(x) ，周期为T（频率f = 1/T ），在满足狄里赫利条件（函数在一个周期内只有有限个极值点和第一类不连续点），可以展开为三傅里叶系数角傅里叶级数:ag x a nfx b nfx()cos(2)sin(2)n n2n1在[-T/2, T/2]区间逐项积分：a aT2T2T2T2g x dx dx a nfx dx b nfx dx T()cos(2)sin(2)00(1) nn2 2T2T2T2T2n1因此有：2T2a g(x)dx 02TT将公式(1)两端同乘以cos(2πmfx)，并利用三角函数的正交性：0,for m n0, sin(mx)sin(nx)dx cos(mx)cos(nx)dx,for m n ,sin(mx)cos(nx)dx0,for any m and n for m n for m n逐项积分：aT2T2g(x)cos(2mfx)dx cos(2mfx)dxT2T2= 02= 0T2T2a cos(2nfx)cos(2mfx)dxb sin(2nfx)cos(2mfx)dxn T n T22 n1(m n)T2aa nfx dx Tcos(2)n2n T222T2a g(x)cos(2nfx)dxn TT2系数：2T/2直流分量a g(x)dx0/2TT2T/2余弦分量的幅度a g(x)cos2nfx dxn TT/22T/2正弦分量的幅度b g(x)s in2nfx dxn TT/2用傅里叶级数展开表示矩形周期函数ag x a nfx b nfx ()cos2sin2n n2n1f 周期信号可分解为直流，基波( )和f nf各次谐波( )的线性组合。

第一章 傅里叶分析第一章内容为傅里叶光学课程的数学基础。

主要介绍了δ函数的定义及其相关性质，由δ函数引申出梳状函数。

介绍了其他一些常用函数：阶跃函数、符号函数、矩形函数、三角形函数、sinc 函数、高斯函数和圆域函数等，主要用于表述振幅透过率或者光强分布等。

重点讲解了以上常用函数的傅里叶变换以及傅里叶变换的主要性质。

另一个重要内容是卷积与相关性，它们在后续的学习中均有十分重要的应用。

δ函数：常用于描述点质量、点电荷、点光源等在某一坐标系中高度集中的物理量。

○1筛选性：()()()0000,,d d ,x x y y x y x y x y δφφ∞--=⎰⎰ ○2比例变换性：()()1,,ax by x y abδδ= ○3与普通函数乘积：()()()()000000,,,,f x y x x y y f x y x x y y δδ--=--梳状函数：常用于对其他函数作等间距抽样。

○1()()n comb x x n δ∞=-∞=-∑ ○2()1n x comb x n δτττ∞=-∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ ○3与普通函数乘积：()()()1n x f x comb f n x n τδτττ∞=-∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑卷积：()()()(),,,,d d f x y h x y f h x y ξηξηξη∞*=--⎰⎰○1展宽：一般卷积的宽度等于被卷积函数宽度之和； ○2平滑化：被卷积函数经卷积运算，其细微结构在一定程度上被消除。

相关：包括自相关与互相关。

互相关是两个信号之间存在多少相似性的量度；自相关是同一函数自变量相差某一大小时，函数值间相关的量度。

对于周期函数（满足狄里赫利条件），可以将其展开为傅里叶级数形式，包括三角傅里叶级数和指数傅里叶级数；它的傅里叶系数是频率的函数，称为频谱函数，是离散的。

对于非周期函数，可以作傅里叶变换，它的频谱函数是连续的。

主要讨论傅里叶变换：空间域 ()()(),,exp 2d d x y x y x y g x y G f f j xf yf f f π∞⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰ 频域 ()()(),,exp -2d d x y xy G f f g x y j xf yf x y π∞⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰ 卷积定理：()(){}()()()(){}()(),,,,,,,,x y x yx y x yg x y h x y G f f H f f g x y h x y G f f H f f *==*常见傅里叶变换对：见课本p39。

《傅立叶光学》课程教学大纲一、中文课程简介（含课程名、课程编号、学分、总学时、课程内容概要等内容）傅里叶光学，课程编号，3学分，48学时。

傅里叶光学，或称信息光学，是光学与通信和信息理论相结合而产生的一个现代光学的新分支。

采用傅里叶分析和线性系统理论分析光波的传播、衍射、成像等现象。

光学传递函数、光学全息、光学信息处理则是建立在傅里叶光学理论基础上的实践领域，是一门重要的专业基础课。

二、英文课程简介（含课程名、课程编号、学分、总学时、课程内容概要等内容）Fourier Optics，，Credits：3，Course Hours：48。

Fourier Optics is a newly developed optical branch combining application optics, computer science, and information science. It uses concepts of signal and system in information theory and is an important part of information science, as well as modern optics. On the bases of holography, optical transfer function, and laser, it was developed a new subject from classical wave optics. It is a basic course for students majoring in information science and technology.三、教学目标1、本课程的重点是讲述光学信息的概念、描述光学信息系统的方法、以及利用它们进行信息处理的相关理论与技术应用，并介绍本领域最新研究成果及科研动态。

1 傅里叶变换()()()[])}y ,x (f {F dxdy ey ,x f f ,f F y f x f i 2y x y x ==⎰⎰∞∞-+-π式中fx 和fy 称为空间频率，()y x f f F ,称为F(x,y)的傅里叶谱或空间频谱。

()y x f f F ,和F(x,y)分别称为函数f （x,y ）的振幅谱和相位谱，而)fy fx (，F 称为f （x ，y ）的功率谱。

2 逆傅里叶变换)},({),(),(1)(2[fy fx F F fxfy efy fx F y x f y f x f i y x -∞∞-+==⎰π3 函数f(x,y)存在傅里叶变换的充分条件是：①f(x,y ）必须在xy 平面上的每一个有限区域内局部连续，即仅存在有限个不连续结点②f(x,y)在xy 平面域内绝对可积 ③f(x,y)必须没有无穷大间短点4 物函数f （x ，y ）可看做是无数振幅不同，方向不同的平面线性叠加的结果5 sinc 函数常用来描述单缝或矩孔的夫琅禾费衍射图样6 在光学上常用矩形函数不透明屏上矩形孔，狭缝的透射率7 三角状函数表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数8 高斯函数常用来描述激光器发出的高斯光束，又是用于光学信息处理的“切趾术”9 δ函数表示某种极限状态。

可用来描述高度集中的物理量。

如点电荷、点光源、瞬间电脉冲等，所以δ函数又称为脉冲函数。

δ函数只有通过积分才有定值10 在光学上，单位光通量间隔为1个单位的点光源线阵之亮度可 用一个一维梳状函数表示：∑∞-∞=-=n n x )(δ）（x comb 11 一维梳状函数表示点光源面阵或小孔面阵的透过率函数，亦可作为二维函数的抽样函数12 像平面上的强度分布是物的强度分布与单位强度点光源对应的强度分布的卷积，这就是卷积在光学成像中的物理意义 13 卷积运算的两个效应①展宽效应②平滑化效应 14 相关函数是两函数图象重叠程度的描述 15.傅里叶变换的基本定理①线性定理：反映了波的叠加定理。