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r1 1 r2 rs
其中c为f(x)的首项系数，pi(x)为互不相同的首
项系数为1的不可约多项式，riZ+，称之为f(x)
的标准分解式．
性质1
设f(x), h(x)P[x], ( f(x))1, (h(x))0, 且 f(x)
的标准分解式为
f x a p x p2 x ps x ，则
(p(x), f(x))=1或p(x)|f(x).
⑤ 定理5：设p(x)是不可约多项式， f(x),
g(x)P[x]，若p(x)| f(x)g(x)， 则p(x)| f(x)或 p(x)| g(x)． 推广：设p(x)是不可约多项式, fi(x)P[x], i=1,2,…, s，若p(x)| f1(x) f2(x) … fs(x) , 则必存 在某个fi(x), 使得 p(x)| fi(x)。 ⑥ 设p(x)是不可约多项式， cP, 则cp(x)
d ( x) ( f1 x ,..., fn ( x)) p
m1 1
x p2 x
m2
ps
ms
x
其中mi=min{r1i, r2i,…, rni}, i=1,2,…, s.
注意：
虽然上面给出了利用因式分解定理求最 大公因式的公式，但由于对于多项式的因式 分解没有一般的方法，因而这种方法不能取 代辗转相除法求最大公因式。
§1.5
因式分解定理
复习
因式分解与多项式系数所在数域有关
x44=(x22)(x2+2)
Q
2
( x 2)( x 2)( x 2)
R
( x 2)( x 2)( x 2i)( x 2i) C
一、不可约多项式
定义：设p(x)P[x]，且(p(x))&i=1,2,…,s是一些非零常数．
注:
1) 理解证明过程.
2) 整个证明过程中没有具体的分解多 项式的方法.
3) 定理的作用主要是理论上的.
2．标准分解式
设f(x)P[x], ( f(x))1, 则 f(x)总可表成
f x c p x p2 x ps x
能表示成数域P上两个次数比p(x)低的多项 式的乘积， 则称 p(x)为数域P上的不可约多
项式．
注意:
① 一个多项式是否不可约依赖于系数域．
② 一元多项式总是不可约多项式
③ p(x)不可约 p(x)的因式只有零次
多项式与它自身的非零常数倍. ④ 若p(x)不可约，对 f(x) P[x], 有
f x a p x p2 x
r1 1 r2
ls l1 l2 , g x b p x p x p ps x 1 2 s x
rs
ri,li0, i=1,2,…, s,其中p1(x), p2(x),…, ps(x)是 互不相同的首项系数为1的不可约多项式, 则
例1 求f(x)=x4+x22的标准分解式。
例2 设p1(x), p2(x)是数域P上两个不同的 首项系数为1的不可约多项式, f(x)P[x], 若pi(x)|f(x),i=1,2, 则p1(x) p2(x)|f(x)。
(上述结果能否推广？)
也是不可约多项式。
二、因式分解及唯一性定理
1. 定理 f(x)P[x],若(f(x))1,则f(x)可唯一 地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.所 谓唯一性是说,若有两个分解式 f(x)= p1(x) p2(x)… ps(x)= q1(x) q2(x)… qt(x) 则s=t,且适当排列因式的次序后,有pi(x)= ciqi(x),
( f x , g( x)) p
m1 1
x p2 x
m2
ps
ms
x
其中mi=min{ri, li}, i=1,2,…, s,
性质3
设fi(x)P[x], i=1,2,…,n, 且 fi x ai
p
j 1
s
rij j
( x)
其中rij0, 1 i n, 1 j s, p1(x), p2(x),…, ps (x) 是互不相同的首1的不可约多项式, 则
r1 1 r2 rs l1 1 l2 2 ls
h(x)| f(x)的充分必要条件是h(x)具有这样的形式
h x b p x p x ps x
其中0 li ri, i=1,2,…,s.
性质2
设f(x), g(x)P[x], f(x)0, g(x)0, 且
