人教B版高中数学必修一【学案12】待定系数法

2.2.3 待定系数法1．了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式．(重点) 2．掌握待定系数法的特征及应用，了解待定系数法在函数中的应用．(难点)[基础·初探]教材整理 待定系数法阅读教材P 61～P 62“例1”以上部分内容，完成下列问题．一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定一次函数的解析式只需要二个条件即可．( )(2)一个反比例函数的图象过(2,8)点，则其解析式为y ＝－16x .( ) (3)一次函数的图象经过点(1,3)，(3,4)，则其解析式为y ＝12x ＋52.( )【答案】 (1)√ (2)× (3)√2．若函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P (3，－2)和Q (－1,2)，则这个函数的解析式为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝－x －1D ．y ＝－x ＋1【解析】 把点P (3，－2)和Q (－1,2)的坐标分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＝3k ＋b ，2＝－k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1.所以y ＝－x ＋1，故选D. 【答案】 D[小组合作型](2)已知一次函数的图象与x 轴交点的横坐标为－32，并且当x ＝1时，y ＝5，则这个一次函数的解析式为______.【导学号：60210052】【解析】 (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f [f (x )]＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝4x ＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，kb ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝－3.所以函数的解析式为f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.(2)设所求的一次函数为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由题意知一次函数图象上有两个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0和(1,5)，则有⎩⎪⎨⎪⎧0＝－32k ＋b ，5＝k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝3，所以y ＝2x ＋3.【答案】 (1)2x ＋1或－2x －3 (2)y ＝2x ＋3用待定系数法求一次函数解析式的具体步骤： (1)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)； (2)根据题意列出关于k 和b 的方程组； (3)求出k ，b 的值，代入即可．[再练一题]1．一次函数的图象经过点(2,0)和点(－2,1)，则此函数的解析式为________． 【解析】 设函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点(2,0)和(－2,1)代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝2k ＋b ，1＝－2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.所以函数的解析式为y ＝－14x ＋12.【答案】 y ＝－14x ＋12(1)图象过点(2,0)，(4,0)，(0,3)； (2)图象顶点为(1,2)，并且过点(0,4)； (3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)． 【精彩点拨】设二次函数的解析式→列出含参数的方程组→解方程组→写出解析式【解】 (1)设二次函数的解析式为y ＝a (x －2)(x －4)，整理，得y ＝ax 2－6ax ＋8a . ∴8a ＝3，∴a ＝38.∴解析式为y ＝38(x －2)(x －4)．(2)设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2＋2. 整理，得y ＝ax 2－2ax ＋a ＋2. ∴a ＋2＝4，∴a ＝2. ∴解析式为y ＝2(x －1)2＋2. (3)设函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c .由题设知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝2，∴函数的解析式为y ＝x 2－2x ＋2.求二次函数解析式，应根据已知条件的特点，灵活选用解析式的形式，利用待定系数法求解.若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ，b ，c 为常数，a ≠0.若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大小值，则设所求二次函数为顶点式y ＝ax －h2＋k ，其中顶点为h ，k ，a 为常数，a ≠0.若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为x 1，，x 2，，则设所求二次函数为两根式y ＝a x －x 1x －x 2，a 为常数，且a ≠0.[再练一题]2．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当x ＝12时，二次函数有最大值为25，函数的图象与x 轴交于两点，这两点的横坐标的平方和为13.求此二次函数的解析式．【解】 由题意知二次函数图象的顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，25，且开口向下，设f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋25(a <0)，即f (x )＝ax 2－ax ＋a4＋25.令ax 2－ax ＋a4＋25＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝1， x 1x 2＝a4＋25a.由题意知，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝13，解得a ＝－4. 因此所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋24.[探究共研型]探究【提示】 观察函数图象的形状．图2­2­5探究2 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图2­2­5所示，求该函数的解析式，并求出该函数的值域．【提示】 设二次函数解析式为y ＝a (x －1)2－1，(a ＞0)． 又函数过点(0,0)，故a ＝1，所以所求函数的解析式为y ＝(x －1)2－1(0≤x ＜3)． 由图可知该函数的取值满足－1＝f (1)≤f (x )＜f (3)＝3， 即该函数的值域为[－1,3)．图2­2­6如图2­2­6所示，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，如果A点的坐标为(2,0)，且OA ＝OB ，试求一次函数的解析式．【精彩点拨】 通过观察图象可以看出，要确定一次函数的关系式，只要确定B 点的坐标即可，因为OB ＝OA ＝2，所以点B 的坐标为(0，－2)，再结合A 点坐标，即可求出一次函数的解析式．【解】 设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，且k ≠0)． ∵OA ＝OB ，点A 的坐标为(2,0)， ∴点B 的坐标为(0，－2)．∵点A ，B 的坐标满足一次函数的关系式y ＝kx ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝0，0＋b ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－2.∴一次函数的解析式为y ＝x －2.1．由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数的图象组成，然后就在不同区间上，利用待定系数法求出相应的解析式．2．分段函数的表达式要注意端点值．[再练一题]图2­2­73．如图2­2­7，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求此函数的解析式.【导学号：60210053】【解】 设左侧的射线对应的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)，因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1，b ＝2，解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数解析式为y ＝－x ＋2(x ≤1)， 同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x ≥3)； 当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数．法一：设抛物线的方程为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a <0)，由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1，所以抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)． 法二：设抛物线的方程为y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0,1≤x ≤3)． 因为其图象过点(1,1)，(2,2)，(3,1)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝－2，所以抛物线对应的解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)．综上，函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x <1，－x 2＋4x －2，=1≤x <3，x －2，x ≥31．已知2x 2＋x －3＝(x －1)(ax ＋b )，则a ，b 的值分别为( ) A ．2,3 B ．3,2 C ．－2,3D ．－3,2【解析】 2x 2＋x －3＝ax 2＋(b －a )x －b ，根据恒等式⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b －a ＝1，－3＝－b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.【答案】 A2．已知函数f (x )＝ax 2＋k 的图象过点(1,7)和点(0,4)，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝3x 2＋4 B ．f (x )＝2x 2＋5 C ．f (x )＝3x 2＋2D ．f (x )＝5x 2＋4【解析】 将(1,7)与(0,4)代入函数f (x )＝ax 2＋k 可得a ＝3，k ＝4. 【答案】 A3．已知f (x )＝ax ＋b (a ≠0)且af (x )＋b ＝9x ＋8，则( ) A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝－3x －4 C ．f (x )＝3x －4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4【解析】 ∵f (x )＝ax ＋b ，af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝9x ＋8， ∴a 2x ＋ab ＋b ＝9x ＋8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，ab ＋b ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－4.∴f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4. 【答案】 D4．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象顶点为(2,3)，且过点(3，－1)，则函数的解析式为________．【解析】 由题意设函数的解析式为y ＝a (x －2)2＋3， 则－1＝a (3－2)2＋3，解得a ＝－4. 【答案】 y ＝－4x 2＋16x －135．已知二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式．【解】 法一：设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由条件可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)和(7,0)．将三个点的坐标代入，得 ⎩⎪⎨⎪⎧－3＝16a ＋4b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，0＝49a ＋7b ＋c .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－83，c ＝73.∴所求二次函数解析式为y ＝13x 2－83x ＋73.法二：∵抛物线与x 轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)． ∴设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)(x －7)， 把顶点(4，－3)代入得－3＝a (4－1)×(4－7)， 解得a ＝13.∴二次函数解析式为y ＝13(x －1)(x －7)，即y ＝13x 2－83x ＋73.。

2.2.3 待定系数法学习目标 1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求一元一次函数、一元二次函数及反比例函数解析式.2.掌握待定系数法的特征，会用待定系数法求解综合问题．知识点待定系数法思考1 若一个正比例函数y＝kx(k≠0)过点(2,3)．如何求这个函数解析式？思考2 在思考1中，求解析式的方法有什么特点？梳理 1.待定系数法定义一般地，在求一个函数时，如果知道________________，先把所求函数写为__________，其中系数待定，然后再根据__________求出这些待定系数．这种通过求________来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．2．几种基本初等函数的解析式(1)正比例函数的一般形式是________________．(2)一次函数的一般形式是________________．(3)反比例函数的一般形式是________________．(4)二次函数有三种常见形式，求解析式时，要根据具体情况，设出适当的形式：①一般式________________，这是二次函数的标准形式；②顶点式________________，其中________是抛物线的顶点；③知两根可设为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根，即抛物线与x轴两交点的横坐标．类型一待定系数法求解析式命题角度1 待定系数法求一次函数解析式例1 已知f(x)是一次函数，且有2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，求这个函数的解析式．反思与感悟在函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．跟踪训练1 已知函数f(x)是一次函数，且有f[f(x)]＝9x＋8，求此一次函数的解析式．命题角度2 待定系数法求二次函数解析式例2 二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，求这个二次函数的解析式．引申探究若二次函数f(x)满足f(2)＝f(4)＝0，且过点(0,6)，求这个二次函数的最值．反思与感悟二次函数常见的表达式有三种：一般式、顶点式、两根式，选择合适的表达式能起到事半功倍的效果．(1)一般地，若已知函数经过三点，常设函数的一般式；(2)若题目中出现顶点坐标、最大值、对称轴等信息时，我们可考虑函数的顶点式；(3)若题目中给出函数与x轴的交点或二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，可设函数的两根式．跟踪训练2 求下列二次函数的解析式．(1)已知y＝f(x)是二次函数，且图象过点(－2,20)，(1,2)，(3,0)；(2)已知二次函数的顶点为(－1，－2)，且图象经过点(2,25)；(3)已知二次函数与x轴交点为(－2,0)，(3,0)，且函数图象经过点(－1,8)．类型二 待定系数法的综合应用例3 如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式，并求该函数的值域．反思与感悟 由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后根据不同区间上的函数类型，利用待定系数法求出相应解析式．跟踪训练3 已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174，求 (1)f (x )的解析式；(2)求证f (x )在(12，＋∞)上为增函数．1．已知一个正比例函数的图象过点(2,8)，则这个函数的解析式为( ) A ．y ＝4x B ．y ＝－4x C ．y ＝14xD ．y ＝－14x2．已知一个一次函数的图象过点(1,3)(3,4)，则这个函数的解析式为( ) A ．y ＝12x －52B ．y ＝12x ＋52C ．y ＝－12x ＋52D ．y ＝－12x －523．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过(1,0)，(2,5)两点，则二次函数的解析式为( ) A ．y ＝x 2＋2x －3 B ．y ＝x 2－2x －3 C ．y ＝x 2＋2x ＋3D ．y ＝x 2－2x ＋64．二次函数的图象过原点，且顶点为(1,2)，那么二次函数的解析式为________． 5．如图是二次函数y ＝f (x )的图象，若x ∈[－2,1]，则函数f (x )的值域为________．1．求待定系数的方法——列方程组(1)利用对应系数相等列方程(组)； (2)由恒等的概念用数值代入法列方程(组)；(3)利用定义本身的属性列方程(组)．2．待定系数法的适用条件要判定一个问题是否能用待定系数法求解，主要看所求的数学问题是否具有确定的数学表达式．例如，求具体函数解析式时即可用待定系数法求解．答案精析问题导学 知识点思考1 ∵函数y ＝kx 过点(2,3)， ∴3＝k ·2，即k ＝32，∴函数为y ＝32x .思考 2 先设出(给出)函数解析式的一般形式，再根据已知条件确定解析式中待确定的系数． 梳理1．这个函数的一般形式 一般形式 题设条件 待定系数 2.(1)y ＝kx (k ≠0，k 是常数) (2)y ＝kx ＋b (k ≠0，k ，b 是常数) (3)y ＝kx(k ≠0，k 是常数) (4)①y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) ②y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0) (h ，k ) 题型探究例1 解 设所求的一次函数是f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，其中k ，b 待定. 根据已知条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b －k ＋b ＝5，2b －－k ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧k －b ＝5，k ＋b ＝1，解此方程组，得k ＝3，b ＝－2. 因此所求的函数是y ＝3x －2.跟踪训练1 解 设该一次函数是y ＝ax ＋b ，由题意得f [f (x )]＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝9x ＋8.因此有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝9，ab ＋b ＝8，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－4.所以一次函数为f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4. 例2 解 设二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，方法一 则顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b2a ＝2， ①4ac －b 24a ＝3， ②又二次函数过点(3,1)， ∴1＝9a ＋3b ＋c .③ 联立方程①②③解方程组， 得：a ＝－2，b ＝8，c ＝－5， ∴二次函数解析式为y ＝－2x 2＋8x －5.方法二 设二次函数顶点式方程为y ＝a (x －2)2＋3， ∵二次函数图象过点(3,1)， ∴1＝a ×1＋3， ∴a ＝－2，∴y ＝－2(x －2)2＋3，即y ＝－2x 2＋8x －5.引申探究 解 设二次函数的两根式为y ＝a (x －2)(x －4)， ∴6＝a ×(－2)×(－4)， ∴a ＝34，∴y ＝34x 2－92x ＋6.当x ＝3时，函数的最小值为－34，无最大值．跟踪训练2 解 (1)设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－2b ＋c ＝20，a ＋b ＋c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝6，∴y ＝x 2－5x ＋6. (2)设y ＝a (x ＋1)2－2， ∴25＝a ×32－2， ∴a ＝3， ∴y ＝3x 2＋6x ＋1. (3)设y ＝a (x ＋2)(x －3)， ∴a ×1×(－4)＝8，∴a ＝－2，∴y ＝－2x 2＋2x ＋12.例3 解 设左侧的射线对应的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)，因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1，b ＝2，解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数的解析式为y ＝－x ＋2(x <1)，同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x >3)． 当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数． 设其方程为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a ＜0)， 由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1， 所以抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)．综上，函数的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 x ＜，－x 2＋4x －x，x －x ，由图象可知函数的最小值为1，无最大值， 所以，值域为[1，＋∞)．跟踪训练3 (1)解 ∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴－ax －b x ＋c ＝－ax －b x －c ， ∴c ＝0，∴f (x )＝ax ＋b x. 又f (1)＝52，f (2)＝174，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174，∴a ＝2，b ＝12.∴f (x )＝2x ＋12x.(2)证明 设x 1，x 2∈(12，＋∞)且x 1＜x 2.则f (x 2)－f (x 1)＝(2x 2＋12x 2)－(2x 1＋12x 1)＝2(x 2－x 1)＋x 1－x 22x 1x 2＝(x 2－x 1)4x 1x 2－12x 1x 2.∵x 2＞x 1＞12，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞14，∴4x 1x 2＞1，∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在(12，＋∞)上是增函数．当堂训练1．A 2.B 3.A 4.y ＝－2x 2＋4x 5．[0,4]。

一、基本知识：待定系数法的定义一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的，可先把所求函数写为一般形式，其中，然后再根据题设条件求出这些．这种通过求来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．二、例题讲解：考点一：求一次函数的解析式例1 若函数y＝kx＋b的图象经过点P(3，－2)和Q(－1,2)，则这个函数的解析式为( ) A．y＝x－1 B．y＝x＋1 C．y＝－x－1 D．y＝－x＋1[小结] 用待定系数法求函数解析式的步骤：(1)根据题设条件，设出含有待定系数的函数解析式的恰当形式．(2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程(组)．(3)解方程(组)，求出待定系数的值(或消去待定系数，从而使问题得到解决)．(4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式．练习：1、已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则f(x)＝________.考点二：求二次函数的解析式ax＋bx＋c的解析式．例2、根据下列条件，求二次函数y＝2(1)图象过点(2,0)，(4,0)，(0,3)；(2)图象顶点为(1,2)并且过点(0,4)；(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．练习：2、若二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值是－1，则它的解析式为________考点三：待定系数法的综合应用例3、(12分)如果函数f (x )＝x 2＋a bx －c (b ，c ∈N *)满足f (0)＝0，f (2)＝2，且f (－2)<21 ，求f (x )的解析式．练习：3．已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174.求f (x )的解析式．方法总结：运用待定系数法的常见设法：(1)正比例函数，设解析式为y ＝kx (k ≠0)．(2)一次函数，设解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．(3)反比例函数，设解析式为y ＝k x (k ≠0)．(4)对于二次函数，①若已知顶点坐标为(h ，k )，则可设顶点式y ＝2)(h x a -＋k (a ≠0)．②若已知对称轴方程为x ＝h ，则可设顶点式y ＝2)(h x a -＋c (a ≠0)．③若已知函数的最大值或最小值为k ，则可设顶点式y ＝2)(h x a -＋k (a ≠0)． ④若已知函数与x 轴只有一个交点(h,0)，则可设交点式y ＝2)(h x a - (a ≠0)． ⑤若已知函数与x 轴有两个交点(1x ,0)，(2x ,0)，则可设交点式y ＝a (x －1x )(x －2x )(a ≠0)．⑥若已知函数图象上两对称点(1x ，m )，(2x ，m )，则可设对称点式y ＝a (x －1x )(x －2x )＋m (a ≠0)．⑦若已知函数图象上的三点，则可设一般式y ＝a 2x ＋bx ＋c (a ≠0)．三、课后练习：1．反比例函数y ＝12x的图象和一次函数y ＝kx －7的图象都经过点P (m,2)，求一次函数的解析式．2．已知y ＝2x －4x ＋h 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上，函求数解析式为.。

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．待定系数法的概念
一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．
思考用待定系数法求函数解析式的前提条件是什么？
提示：前提条件是已知函数的解析式形式，也就是函数类型．
思考用待定系数法求函数解析式的步骤有哪些？
提示：()设出含有待定系数的解析式；
()根据恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组；
()解方程或方程组求出待定系数，从而使问题得到解决．
．常见函数的一般形式
()正比例函数：＝(≠)；
()反比例函数：＝(≠)；
()一次函数：＝＋(≠)；
()二次函数：＝＋＋(≠)或＝(－)＋(≠)或＝(－)(－)(≠)．。

《待定系数法》教案教学目标1 知识与能力目标（1）了解待定系数法的含义.（2）掌握用待定系数法求解函数解析式.（3）让学生利用已知条件设立恰当的函数解析式用待定系数法求二次数解析式.2过程与方法目标让学生在经历方程与识图的过程中，培养学生独立分析问题、解决问题的能力，提升数学思维意识.3 情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣.（2）培养学生创新学习，合作学习的意识.教学重难点重点：掌握用待定系数法求函数解析式.难点：不同条件下，用待定系数法求二次函数的解析式的方法.教学过程一、情境展示问题：某公司北侧，有一个抛物线的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度40m.把它的图形放在坐标系里，求抛物线的解析式.运用所学知识，能否解决现有实际问题？二、交流展示1、二次函数解析式有几种形式？2、怎样利用待定系数法求解一次及二次函数？三、合作探究探究一：怎么利用待定系数法求解方程？老师：什么是待定系数法？学生：在求一个函数时，如果知道这个函数的一般式，课先把所求函数写成一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出待定系数.这种通过求解待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.老师：用待定系数法求解析式的几个步骤？学生：第一步：设出含有待定系数的解析式；第二步：根基恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组；第三步：解方程或方程组，从而问题得到解决.老师：利用刚刚的方法解决问题，首先确定方程解析式.学生：设抛物线方程为12(x x )(x x )y a =--老师：再根据题设条件列出方程学生：由题意可知：抛物线交x 轴于点(0,0),(40,0)，且经过点（20,16）16(200)(2040)1251(x 40)25a a y x ∴=⨯--=-=--则： 例题：已知一元二次方程的两根为3和5，求二次项系数为2的一元二次方程.解：该二元一次方程为220x bx c ++=该方程的两根为-3和5，18305050b c b c -+=⎧∴⎨++=⎩解得430b c =-⎧∴⎨=⎩∴所求的一元二次方程为224300x x -+=四、课程总结1、二次函数在待定系数法中的设法:设法1：已知顶点坐标（m,n ）,可设y=a 22)(n m x +-,再利用一个独立条件，求a . 设法2：已知对称轴x=m,设.)(2b m x a y +-=利用两个独立条件求a,b .设法3：已知最大或最小值n ，可设n h x a y ++=2)(，利用两个独立条件，求a,h . 设法4：二次函数图像与x 轴有两个交点时，设),)((21x x x x y --=再利用一个独立条件求a .五、作业布置书本课后习题.。

学业分层测评(十三) 待定系数法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y ＝kx ＋b 在区间[1,2]上的最大值比最小值大2，则k 的值为( )A ．2 B.12 C ．－2或2D ．－2【解析】 由题意，得|(2k ＋b )－(k ＋b )|＝2，得k ＝±2. 【答案】 C2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象顶点为(2，－1)，与y 轴交点坐标为(0,11)，则( )A ．a ＝1，b ＝－4，c ＝－11B ．a ＝3，b ＝12，c ＝11C ．a ＝3，b ＝－6，c ＝－11D ．a ＝3，b ＝－12，c ＝11【解析】 由二次函数的图象与y 轴交点坐标为(0,11)，知c ＝11，又因函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象顶点为(2，－1)，所以－b2a ＝2，4ac －b 24a ＝－1，解得，a ＝3，b ＝－12.【答案】 D3．如果函数y ＝ax ＋2与y ＝bx ＋3的图象相交于x 轴上一点，那么a ，b 的关系是( )【导学号：60210054】A ．a ＝bB ．a ∶b ＝2∶3C ．a ＋2＝b ＋3D ．ab ＝1【解析】 设两函数图象交于x 轴上的点为(t,0)，代入解析式有a ＝－2t ，b ＝－3t ，∴a ∶b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2t ∶⎝ ⎛⎭⎪⎫－3t ＝2∶3.【答案】 B4．已知某二次函数的图象与函数y ＝2x 2的图象形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( )A ．y ＝2(x －1)2＋3B ．y ＝2(x ＋1)2＋3C ．y ＝－2(x －1)2＋3D ．y ＝－2(x ＋1)2＋3【解析】 设所求函数的解析式为y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，由题意可知a ＝－2，h ＝1，k ＝3，故y ＝－2(x ＋1)2＋3.【答案】 D5．已知f (x )＝x 2＋1，g (x )是一次函数且是增函数，若f (g (x ))＝9x 2＋6x ＋2，则g (x )为( )A ．g (x )＝3x ＋2B ．g (x )＝3x ＋1C ．g (x )＝－3x ＋2D ．g (x )＝3x －1【解析】 设g (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则a >0，∴f (g (x ))＝f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋1＝9x 2＋6x ＋2，∴a ＝3，b ＝1.【答案】 B二、填空题6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点的横坐标分别为－1,3，与y 轴交点的纵坐标为－32，则抛物线的解析式为________．【解析】 可设y ＝a (x ＋1)(x －3)，再把点⎝⎛⎭⎪⎫0，－32代入上式可求得a ＝12，则y ＝12x 2－x －32.【答案】 y ＝12x 2－x －327.如图2-2-8所示，抛物线y ＝－x 2＋2(m ＋1)x ＋m ＋3与x 轴交于A ，B 两点，且OA ＝3OB ，则m ＝________.图2-2-8 【解析】 设B (x 0,0)(x 0<0)， 则A (－3x 0,0)，y ＝－(x －x 0)(x ＋3x 0)． 展开得：⎩⎨⎧2(m ＋1)＝－2x 0，m ＋3＝3x 20，解得m ＝0或m ＝－53，由x 0<0得m ＋1>0，m >－1，∴m ＝0. 【答案】 08．已知y ＝f (x )的图象如图2-2-9所示，则f (x )的解析式为________；该函数的值域为________.【导学号：97512025】图2-2-9【解析】当0≤x≤2时，直线过(0,2)与(1,0)点，所以设直线为y＝kx＋b.得⎩⎨⎧b＝2，k＝－2.即y＝－2x＋2.当2<x<3时，y＝－2；当3≤x≤5时，一次函数过(3，－2)与(5,0)点．设为y＝k′x＋b′，得y＝x－5.由图象可得值域为[－2,2]．【答案】f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x＋2，(0≤x≤2)，－2，(2<x<3)，x－5，(3≤x≤5)[－2,2]三、解答题9．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求此二次函数的解析式.【导学号：97512026】【解】法一设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7，∴所求二次函数的解析式为y ＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12. 又根据题意函数有最大值为n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解之，得a ＝－4.∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三 依题意知：f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值8， 即4a (－2a －1)－a 24a ＝8， 解之，得a ＝－4或a ＝0(舍去)． ∴函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.图2-2-10 10．小东从A 地出发以某一速度向B 地走去，同时小明从B 地出发以另一速度向A 地而行，如图2-2-10所示，图中的线段y 1、y 2分别表示小东、小明离B 地的距离(千米)与所用时间(小时)的关系．(1)试用文字说明：交点P 所表示的实际意义； (2)试求出A 、B 两地之间的距离．【解】 (1)交点P 所表示的实际意义是：经过2.5小时后，小东与小明在距离B 地7.5千米处相遇．(2)设y 1＝kx ＋b (k ≠0)， 又y 1经过点P (2.5,7.5)，(4,0)，∴⎩⎨⎧2.5k ＋b ＝7.5，4k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝20，k ＝－5，∴y 1＝－5x ＋20.当x ＝0时，y 1＝20.∴A 、B 两地之间的距离为20千米．[能力提升]1．如图2-2-11所示，一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y ＝－x 的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为( )图2-2-11 A ．y ＝－x ＋2 B ．y ＝x ＋2 C ．y ＝x －2 D ．y ＝－x －2【解析】 设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 由已知可得A (0,2)，B (－1,1)在一次函数图象上．所以⎩⎨⎧b ＝2，－k ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧b ＝2，k ＝1，∴一次函数的表达式为y ＝x ＋2. 【答案】 B2．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 经过点(1,7)，且有f (x )≥f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为( )【导学号：60210055】A ．f (x )＝x 2＋2x ＋2B ．f (x )＝x 2＋4x ＋2C ．f (x )＝x 2＋4x －2D ．f (x )＝x 2＋4x ＋4【解析】 依题意，f (x )＝a (x ＋2)2－2，将点(1,7)代入得7＝9a －2.∴a ＝1，∴f (x )＝(x ＋2)2－2＝x 2＋4x ＋2.【答案】 B3．二次函数满足f (1＋x )＝f (1－x )，且在x 轴上的一个截距为－1，在y 轴上的截距为3，则其解析式为________．【解析】 由f (1＋x )＝f (1－x )知二次函数的对称轴为x ＝1，且过(－1,0)，(0,3)，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c .则⎩⎪⎨⎪⎧－b2a ＝1，a －b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3，即f (x )＝－x 2＋2x ＋3. 【答案】 f (x )＝－x 2＋2x ＋34．如果函数f (x )＝x 2＋abx －c (b ，c ∈N *)满足f (0)＝0，f (2)＝2，且f (－2)<－12，求f (x )的解析式．【解】 由f (0)＝0，f (2)＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧a－c＝0，4＋a2b －c＝2，∴⎩⎨⎧a ＝0，2b －c ＝2，∴f (x )＝x 2bx －2b ＋2.又f (－2)<－12， ∴4－4b ＋2<－12，解不等式得12<b <52. 又∵b ∈N *，∴b ＝1或b ＝2.又2b －c ＝2.故当b ＝1时，c ＝0，不符合题意． 当b ＝2时，c ＝2. ∴f (x )＝x 22x －2(x ≠1)．。

2·2·3 待定系数法一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.正比例函数的一般形式：)0(≠=k kx y一次函数的一般形式：)0(≠+=k b kx y二次函数的解析式有三种表达方式：（1）一般式： )0(2≠++=a c bx ax y（2）交点式：)0)()((21≠--=a x x x x a y（3）顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y待定系数法求二次函数解析式的一般方法：（1）已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般形式.（2）已知图象的顶点坐标（对称轴和最值），通常选择顶点式（3）已知图象与x 轴的两个交点的横21,x x ，通常选择交点式.确定二次函数的解析式时，应根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式，用待定系数法求解.例1.已知一个二次函数的顶点为（-1，-3），与y 轴交点为（0，-5），求此二次函数的解析式.解：设所求二次函数的为3)1(2-+=x a y由条件得：点（0，-5）在抛物线上， 53-=-a 得2-=a故所求的二次函数的解析式为3)1(22-+-=x y即：5422---=x x y ，例2.已知二次函数与x 轴交于A （-1，0），B （1，0），并经过点M （0，1），求这个二次函数的解析式.解：设所求的二次函数为)1)(1(-+=x x a y由条件得：点M （1，0）在二次函数图象上所以：1)10)(10(=-+a得： 1-=a故所求二次函数的解析式为)1)(1(-+-=x x y 即： 12+-=x y。

2.2.3 待定系数法[学习目标] 1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式.2.掌握待定系数法的特征及应用.[预习导引]1.待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.2.正比例函数的一般形式为y ＝kx (k ≠0)，反比例函数的一般形式为y ＝kx(k ≠0)，一次函数的一般形式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，二次函数的一般形式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).要点一 求一次函数的解析式例1 设一次函数f (x )满足f [f (x )]＝4x ＋9，求f (x )的解析式. 解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝a ·f (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b .由f [f (x )]＝4x ＋9，得a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－9.∴f (x )＝2x ＋3或f (x )＝－2x －9.规律方法 设出一次函数解析式，由等量关系列式求解.跟踪演练1 已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x ). 解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则有3f (x ＋1)－2f (x －1) ＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，∴a ＝2，b ＝7，即f (x )＝2x ＋7. 要点二 求二次函数的解析式例2 已知二次函数y ＝f (x )的图象过A (0，－5)，B (5,0)两点，它的对称轴为直线x ＝2，求这个二次函数的解析式.解 方法一 设二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－5＝c ，0＝25a ＋5b ＋c ，－b2a＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝－5.∴所求函数解析式为f (x )＝x 2－4x －5.方法二 设二次函数f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)， 将(0，－5)，(5,0)，代入上式得⎩⎪⎨⎪⎧－5＝4a ＋k ，0＝9a ＋k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，k ＝－9，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －2)2－9， 即f (x )＝x 2－4x －5.方法三 ∵二次函数过点(5,0)，且对称轴为x ＝2， ∴二次函数与x 轴另一交点为(－1,0)， 设二次函数为f (x )＝a (x －5)(x ＋1)(a ≠0)， 将(0，－5)代入得a ＝1， ∴f (x )＝x 2－4x －5.规律方法 用待定系数法求二次函数解析式时，要注意其设法的多样性，由条件选择适当的形式.跟踪演练2 求满足下列条件的二次函数的解析式.(1)已知二次函数的图象经过A (3,0)，B (0，－3)，C (－2,5)三点； (2)已知顶点坐标为(4,2)，点(2,0)在函数图象上； (3)已知y ＝x 2－4x ＋h 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上.解 (1)设所求函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，其中a ，b ，c 待定.根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－3，4a －2b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.因此所求函数为y ＝x 2－2x －3.(2)设所求函数y ＝a (x －4)2＋2(a ≠0)，其中a 待定. 根据已知条件得a (2－4)2＋2＝0，解得a ＝－12，因此所求函数为y ＝－12(x －4)2＋2＝－12x 2＋4x －6.(3)∵y ＝x 2－4x ＋h ＝(x －2)2＋h －4， ∴顶点A (2，h －4)，由已知得(－4)×2－1＝h －4，h ＝－5， ∴所求函数为y ＝x 2－4x －5. 要点三 待定系数法的综合应用例3 如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式，并求该函数的值域.解 设左侧的射线对应的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)，因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1，b ＝2，解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数的解析式为y ＝－x ＋2(x <1)，同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x >3). 当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数. 设其方程为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a ＜0)， 由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1， 所以抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3).综上，函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 x ＜1，－x 2＋4x － 2 1≤x ≤3，x － 2 x >3，由图象可知函数的最小值为1，无最大值， 所以，值域为[1，＋∞).规律方法 由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后根据不同区间上的函数类型，利用待定系数法求出相应解析式.跟踪演练3 已知f (x )是定义在[－6,6]上的奇函数，且f (x )在[－3,3]上是一次函数，在[3,6]上是二次函数，f (6)＝2，又当3≤x ≤6时，f (x )≤f (5)＝3， 求f (x )的解析式.解 因为f (x )在[3,6]上是二次函数，f (x )≤f (5)＝3， 则(5,3)为抛物线的顶点， 所以设f (x )＝a (x －5)2＋3(a ≠0)， 又因为f (6)＝2，代入f (x )得a ＝－1， 所以x ∈[3,6]时，f (x )＝－(x －5)2＋3.当x ＝3时，f (3)＝－1，所以点(3，－1)既在二次函数的图象上又在一次函数的图象上. 又因为f (x )为奇函数，且x ∈[－6,6]，所以f (0)＝0，故可设一次函数式为f (x )＝kx (k ≠0)， 将(3，－1)代入f (x )得k ＝－13.所以一次函数式为f (x )＝－13x .当x∈[－6，－3]时，－x ∈[3,6]， 所以f (x )＝－f (－x )＝(x ＋5)2－3.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋52－3，x ∈[－6，－3，－13x ，x ∈[－3，3]，－x －52＋3，x ∈3，6].1.已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过(1,0)(2,5)两点，则二次函数的解析式为( ) A.y ＝x 2＋2x －3B.y ＝x 2－2x －3 C.y ＝x 2＋2x ＋3 D.y ＝x 2－2x ＋6 答案 A解析 将(1,0)，(2,5)代入y ＝x 2＋bx ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，①4＋2b ＋c ＝5. ②由①②解得b ＝2，c ＝－3.2.已知一次函数的图象过点(1,3)，(3,4)，则这个函数的解析式为( ) A.y ＝12x －52B.y ＝12x ＋52C.y ＝－12x ＋52D.y ＝－12x －52答案 B解析 设一次函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把点(1,3)，(3,4)代入易知⎩⎪⎨⎪⎧3＝k ＋b ，4＝3k ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝52.3.已知二次函数的图象经过(－1,0)，(1,0)，(2,3)三点，则这个函数的解析式为( ) A.y ＝x 2－1 B.y ＝1－x 2C.y ＝12x 2＋1D.y ＝12x 2－1答案 A解析 设y ＝a (x ＋1)(x －1)(a ≠0)， 将点(2,3)代入得3＝3a ， ∴a ＝1.∴y ＝x 2－1.4.已知某二次函数的图象与函数y ＝2x 2的图象形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( ) A.y ＝2(x －1)2＋3 B.y ＝2(x ＋1)2＋3 C.y ＝－2(x －1)2＋3 D.y ＝－2(x ＋1)2＋3答案 D解析 设所求函数的解析式为y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，由题意可知a ＝－2，h ＝1，k ＝3，故y ＝－2(x ＋1)2＋3.5.已知二次函数f (x )的图象顶点坐标为(1，－2)，且过点(2,4)，则f (x )＝________.答案6x2－12x＋4解析设f(x)＝a(x－1)2－2(a≠0)，因为过点(2,4)，所以有a(2－1)2－2＝4，得a＝6.所以f(x)＝6(x－1)2－2＝6x2－12x＋4.1.求二次函数解析式时，已知函数图象上三点的坐标，通常选择一般式；已知图象的顶点坐标(对称轴和最值)通常选择顶点式；已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，通常选择两根式.2.一般地，函数关系式中有几个待定的系数，就需要有几个独立的条件才能求出函数关系式.。

2.2.3待定系数法 学案【预习达标】1．用待定系数法解题时，关键步骤是什么？2．二次函数的解析式有哪些形式？【课前达标】1．基本知识填空：(1)、一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可以把所求的函数写为一般形式，其中______________________，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过____________求___________来确定_____________的方法，叫待定系数法。

（2）、正比例函数的一般形式为_____________________,一次函数的一般形式为___________________________，二次函数的一般形式为__________________________.2．正比例函数的图象经过（1，4）点，则此函数的解析式为________________3．二次函数的图象的顶点坐标为（1，2），且过（0，0）点，则函数解析式为_____________ 参考答案：2．4y x =3．22(1)2y x =--+【典例解析】例1．已知)(x f 是一次函数，且34)][(+=x x f ，求)(x f 。

例2．已知二次函数的图象过点（1，4）,且与x 轴的交点为（-1，0）和（3，0），求函数的解析式。

例3．已知a ，b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则5a b -=______；参考答案：例1．解：设)0()(≠+=k b kx x f ，b b kx k x f f ++=∴)()]([即342+=++x b kb x k ⎩⎨⎧=+=∴342b kb k ，解得⎩⎨⎧==12b k 或⎩⎨⎧-=-=32b k32)(12)(--=+=∴x x f x x f 或评析：已知函数是一次函数，故设出一般形式，再求相应的系数例2．解法一：设函数的解析式为c bx ax y ++=2，将三个点的坐标代入，得 ⎪⎩⎪⎨⎧++=+-=++=c b a c b a c b a 39004，解得3,3,1==-=c b a32)(2++-=∴x x x f解法二：设函数的解析式为)3)(1(-+=x x a y ，将（1，4）代入1-=a32)3)(1()(2++-=-+-=∴x x x x x f评析：已知二次函数与x 轴的交点)0,(),0(2,1x x ,可设函数解析式为))((21x x x x a y --= 例3．⎩⎨⎧==31b a 或⎩⎨⎧-=-=71b a ，所以25=-b a【达标测试】一、 选择题1、已知))(1(322b ax x x x +-=-+，则b a ,的值分别为（）（A ）2，3（B ）3，2 （C ）-2，3 （D ） -3，2u2、已知二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=，如果它的图象关于y 轴对称，则m 的值为（）（A ）1 （B ）0（C ）2 （D ） -1二、填空题:3、直线2+=x y 与抛物线x x y 22+=的交点坐标为_______________________.4、若抛物线c x x y ++=62的顶点在x 轴上，那么c 的值为_________________.三、解答题：5、已知二次函数满足569)13(2+-=+x x x f ，求)(x f6、设)(x f 为定义在实数集上的偶函数，当1-≤x 时，图象为经过点（-2，0），斜率为1的射线，又11<<-x 时图象是顶点为（0，2），且过点（-1，1）的一段抛物线，求函数的表达式。

20XX 年高中数学 待定系数法学案 新人教B 版必修1一、三维目标：1、 知识目标：使学生掌握用待定系数法求解析式的方法；2、能力目标：（1）尝试设计有关一次、二次函数解析式问题，运用待定系数法求解；（2）培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力。

3、情感目标：（1）通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲；（2）通过合作学习，培养学生团结协作的品质。

二、教学重点与难点重点：用待定系数法求函数解析式；难点：设出适当的解析式并用待定系数法求解析式。

三、教学方法采用实例归纳，自主探究，合作交流等方法；教学中通过列举例子，引导学生进行讨论和交流，并通过创设情境，让学生自主探索。

在回顾初中所学函数的有关知识的基础上，认真阅读教材P61—P62，通过对教材中 的例题的研究，完成学习目标 。

1. 待定系数法定义一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式, 可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做_________.2. 利用待定系数法解决问题的步骤： ○1确定所求问题含有待定系数解析式. ○2根据_______, 列出一组含有待定系数的方程. ○3解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决. 3.正比例函数的一般形式为_____________________, 一次函数的一般形式为___________________________。

4. 用待定系数法求二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：○1 一般式：c bx ax y ++=2 （a 、b 、c 为常数，且0≠a ）. ○2 顶点式：k h x a y +-=2)( （a 、b 、c 为常数, 0≠a ）. ○3 两根式：))((21x x x x a y --=（a 、1x 、2x 为常数, 0≠a ）. 要确定二次函数的解析式，就是要确定解析式中的_______， 由于每一种形式中都含有___________，所以用待定系数法求二次函数解析式时，要具备三个独立条件. 5．正比例函数的图象经过（1，4）点，则此函数的解析式为________________课前自主预习自主学习教材 独立思考问题 明确学习目标研究学习目标 明确学习方向6．二次函数的图象的顶点坐标为（1，2），且过（0，0）点，则函数解析式为_____________ 7.经过三点（3，0），（0，-3），（-2，5）的二次函数的解析式为_____________例1 ○1 已知一次函数图象经过点（－4，15），且与正比例函数图象交于点（６，－５），求此一次函数和正比例函数的解析式.○2 若()x f 是一次函数，()[]1516+=x x f f ，求其解析式例2 根据下列条件，求二次函数c bx ax ++=2y 的解析式. ○1图象过点（2，0）、（4，0）及点（0，3）；○2图象顶点为（1，2），并且图象过点（0，4）； ○3图象过点（1，1）、（0，2）、（3，5）.例3．已知a ，b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则5a b -=______；1、已知))(1(322b ax x x x +-=-+，则b a ,的值分别为 （ ） （A ）2，3 （B ）3，2 （C ）-2，3 （D ） -3，22、已知二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=，如果它的图象关于y 轴对称，则m 的值为 （ ） （A ）1 （B ）0 （C ）2 （D ） -13. 抛物线c bx ax y ++=2(0≠a ) 和b ax y +=在同一坐标系中如下图，正确的示意图典型例题剖析师生互动探究 总结规律方法 课堂练习巩固巩固所学知识 加深问题理解是（ ）4、若抛物线c x x y ++=62的顶点在x 轴上，那么c 的值为_________________.5、已知二次函数满足569)13(2+-=+x x x f ，求)(x f1. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象顶点为（2，－1），与y 轴交点坐标为（0，11），则（ ）A. a=1, b=－4, c=－11B. a=3, b=12, c=11C. a=3, b=－6, c=11D. a=3, b=－12, c=112. 已知5+y 与43+x 成正比例， 且当1=x 时，2=y . 则y 与x 的函数关系式______________.3. 已知一次函数)(x f 有89)]([+=x x f f ， 则)(x f 的解析式__________.4. 若函数3)2(2+++=x a x y ，][b a x ,∈的图象关于直线1=x 对称，则b 为__________. 5、已知函数f （ｘ）＝c bx ax ++2（0≠a ）是偶函数，那么cx bx ax x g ++=23)(（ ）xy oxyyyxxoooB.C.D.A.课后巩固提升完善知识体系 巩固补漏提升Ａ．奇函数 Ｂ．偶函数Ｃ．可能是奇函数也可能是偶函数 Ｄ．不是奇函数也不是偶函数 6. 已知)(x f 是一次函数，且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ， 求)(x f ．7. 已知)(x f 是二次函数，且552)()2(2++=++x x x f x f .求)(x f 的解析式.8. 已知二次函数)(x f 对任意实数t 满足关系式)2()2(t f t f -=+，且)(x f 有最小值9-．又知函数)(x f 的图象与x 轴有两个交点，它们之间的距离为6，求函数)(x f 的解析式．。

课堂探究探究一用待定系数法求一次函数的解析式用待定系数法求一次函数解析式的具体步骤：()设一次函数的解析式为＝＋(≠)；()根据题意列出关于和的方程组；()求出，的值，代入即可．【典型例题】已知一次函数的图象与轴交点的横坐标为－，并且当＝时，＝，则这个一次函数的解析式为．解析：设所求的一次函数为＝＋(≠)，由题意知一次函数图象上有两个点和()，则有解得所以＝＋.答案：＝＋探究二用待定系数法求二次函数的解析式求二次函数解析式常见情形如下表：已知二次函数()满足()＝－，(－)＝－，且()的最大值为，试求二次函数的解析式．解：方法：设()＝＋＋(≠)，则解得所以()＝－＋＋.方法：因为()＝(－)，所以抛物线的对称轴为直线＝＝，又()的最大值为.所以可设()＝＋(≠)，则＋＝－，所以＝－.故()＝－＋＝－＋＋.方法：由()＝(－)＝－，知()＋＝的两根分别为和－，可设()＋＝(＋)(－)(≠)，可得()＝－－－.又()＝＝，解得＝－或＝(舍去)，所以()＝－＋＋.探究三已知函数图象求函数解析式．由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数的图象组成，然后就在不同区间上，利用待定系数法求出相应的解析式．．分段函数的表达式要注意端点值．【典型例题】如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．思路分析：由图象可知：①函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成；②当≤或≥时，函数解析式可设为＝＋(≠)；③当≤≤时，函数解析式可设为＝(－)＋(＜)或＝＋＋(＜)．解：设左侧的射线对应的函数解析式为＝＋(≠，≤)．因为点()，()在此射线上，故解得＝－，＝，所以左侧射线对应的函数解析式为＝－＋(≤)．同理可求≥时，函数的解析式为＝－(≥)．当≤≤时，抛物线对应的函数为二次函数．。

数学人教B必修1第二章2.2.3 待定系数法1．了解待定系数法的概念．2．掌握用待定系数法求函数的解析式．3．理解待定系数法的适用范围及注意事项．1．待定系数法的概念一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的______，可先把所求函数写为一般形式，其中______待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过__________来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．利用待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出含有未知系数的等式．运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．要判断一个问题是否能用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解，其基本步骤如下：(1)设出含有待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组；(3)解方程或方程组求出待定系数，从而使问题得到解决．【做一做1】若f(x)为一次函数，且满足f[f(x)]＝1＋2x，则f(x)的解析式为________．2．二次函数的三种表示形式(1)一般式：________________，其中____决定开口方向与大小，____是y轴上的截距，而__________是对称轴．(2)顶点式(配方式)：______________，其中______是抛物线的顶点坐标，______是对称轴．(3)两根式(因式分解)：________________，其中x1，x2是抛物线与x轴两个交点的______．【做一做2－1】已知抛物线经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则抛物线的解析式为() A．y＝－x2－4x－1B．y＝x2－4x－1C．y＝x2＋4x－1D．y＝－x2－4x＋1【做一做2－2】已知二次函数的图象过(0,1)，(2,4)，(3,10)三点，则这个二次函数的解析式为__________．确定二次函数解析式所需的条件剖析：二次函数解析式的求法有以下几种情况：(1)已知三点坐标，求解析式．可将函数解析式设为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．将点的坐标分别代入所设解析式，列出关于a，b，c的三元一次方程组，解出a，b，c即可．(2)已知顶点坐标为(m，n)，可设y＝a(x－m)2＋n，再借助于其他条件求a.(3)已知对称轴方程为x＝m，可设y＝a(x－m)2＋k，再借助于其他条件求a与k.(4)已知最大值或最小值为n，可设y＝a(x－h)2＋n，再借助于其他条件求a和h.(5)二次函数的图象与x轴只有一个交点时，可设y＝a(x－h)2，再借助于其他条件求a和h .(6)已知二次函数图象与x 轴有两个交点x 1，x 2时，可设y ＝a (x －x 1)(x －x 2)，再借助于其他条件求a .题型一 用待定系数法求函数解析式 【例1】求下列函数的解析式：(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )．(2)已知二次函数y ＝f (x )的图象过A (0，－5)，B (5,0)两点，它的对称轴为直线x ＝2，求这个二次函数的解析式．分析：对于(1)可设出一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，对于(2)可设出二次函数的顶点式或一般式，利用待定系数法求出解析式．反思：通过解决本题，我们可得出：利用待定系数法求函数的解析式的具体做法是先根据题目中给出的函数类型设出解析式的一般形式，再由已知条件列方程或方程组，然后求出待定系数即可．当已知函数的类型，如二次函数、一次函数、反比例函数等，可以设出所求函数的一般形式，如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，y ＝kx ＋b (k ≠0)，y ＝kx (k ≠0)等．设待定系数本着“宁少勿多”的原则进行，注意提炼解题过程，简化解方程的途径．题型二 已知函数图象求函数解析式【例2】如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．分析：由图象可知：①函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成；②当x ≤1或x ≥3时，函数解析式可设为y ＝kx ＋b (k ≠0)；③当1≤x ≤3时，函数解析式可设为y ＝a (x －2)2＋2(a ＜0)或y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)． 反思：由函数图象求函数的解析式，关键是观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后针对不同区间上的函数，利用待定系数法求出相应的解析式．题型三 易错辨析 【例3】已知f (x )是二次函数，不等式f (x )＜0的解集是{x |0＜x ＜5}，且f (x )在区间[－1,4]上的其中一个最值为12，求f (x )的解析式．错解：根据f (x )是二次函数，且f (x )＜0的解集是{x |0＜x ＜5}，可设f (x )＝ax (x －5)． 又∵f (x )在[－1,4]上的其中一个最值为12，则有可能出现f (－1)＝12或f ⎝⎛⎭⎫52＝12，即6a ＝12或－254a ＝12，解得a ＝2或a ＝－4825.综上可知f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x 或f (x )＝－4825x (x －5)＝－4825x 2＋485x .反思：在涉及二次函数、二次方程、二次不等式等含参数的问题时，一定要注意分类讨论思想的合理应用，更应该及时地检验所求结果是否满足已知条件，千万别出现增解或漏解现象．1若函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P (3，－2)和Q (－1,2)，则这个函数的解析式为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝－x －1 D ．y ＝－x ＋12已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的最大值为2，图象顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象过点(3，－6)，则a ，b ，c 的值为( )A ．－2,4,0B ．4，－2,0C ．－4，－2,0D ．－2，－4,03已知f (x )＝x 2，g (x )是一次函数，且是增函数，若f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，则g (x )＝__________.4已知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)与直线y ＝kx ＋1(k ≠0)交于两点，其中一交点为(1,4)，则另一交点为______．5已知二次函数f (x )图象的对称轴是直线x ＝－1，并且经过点(1,13)和(2,28)，求二次函数f (x )的解析式．答案： 基础知识·梳理1．一般形式 系数 求待定系数【做一做1】f (x )＝－2x －2－1或f (x )＝2x ＋2－1 已知f (x )为一次函数，可以使用待定系数法．设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f [f (x )]＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ，利用对应系数相等即可求得k ＝－2，b ＝－2－1或k ＝2，b ＝2－1.2．(1)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) a c x ＝－b2a(2)f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0) (h ，k ) x＝h (3)f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0) 横坐标【做一做2－1】A 设所求解析式为y ＝a (x ＋2)2＋3(a ≠0)． ∵抛物线过点(－3,2)，∴2＝a ＋3.∴a ＝－1，∴y ＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1.【做一做2－2】f (x )＝32x 2－32x ＋1 根据题意设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，然后将图象所经过的三个点的坐标分别代入方程，联立三个方程，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ·02＋b ·0＋c ，4＝a ·22＋b ·2＋c ，10＝a ·32＋b ·3＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－32，c ＝1.故f (x )＝32x 2－32x ＋1.典型例题·领悟【例1】解：(1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (2)解法一：利用二次函数的顶点式．设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)，把点A (0，－5)，B (5,0)的坐标代入上式， 得⎩⎪⎨⎪⎧ －5＝4a ＋k ，0＝9a ＋k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－9，a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －2)2－9， 即f (x )＝x 2－4x －5.解法二：利用二次函数的一般式． 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －5＝c ，0＝25a ＋5b ＋c ，即⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝－5，5a ＋b －1＝0.①②又∵对称轴为x ＝2，∴－b2a＝2.∴b ＝－4a .③由①②③，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝－5.因此所求函数的解析式为f (x )＝x 2－4x －5.【例2】解：设左侧的射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)．因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1，b ＝2，解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数解析式为y ＝－x ＋2(x ≤1)． 同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x ≥3)． 当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数．解法一：设函数解析式为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a ＜0)． 由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1， 所以a ＝－1.所以抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)． 解法二：设函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0，1≤x ≤3)． 因为其图象过点(1,1)，(2,2)，(3,1)， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝－2.所以抛物线对应的解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)．综上，函数的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2，－x 2＋4x －2，x －2，x <1，1≤x <3，x ≥3.【例3】错因分析：没有对a 的值进行检验，而出现错解现象．正解：根据f (x )是二次函数，且f (x )＜0的解集是{x |0＜x ＜5}，可设f (x )＝ax (x －5)． 又∵f (x )在[－1,4]上的其中一个最值为12，则有可能出现f (－1)＝12或f ⎝⎛⎭⎫52＝12，即6a ＝12或－254a ＝12，解得a ＝2或a ＝－4825.当a ＝2时，满足题意；当a ＝－4825时，二次函数的图象开口向下，不符合f (x )＜0的解集是{x |0＜x ＜5}，故舍去．综上，所求解析式为f (x )＝2x 2－10x . 随堂练习·巩固1．D 把点P (3，－2)和Q (－1,2)的坐标分别代入y ＝kx ＋b ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝3k ＋b ，2＝－k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1. ∴y ＝－x ＋1，故选D.2．A 由已知可设此二次函数为y ＝a (x －h )2＋2(a ≠0)． ∵图象顶点在直线y ＝x ＋1上， ∴2＝h ＋1，得h ＝1.又图象过点(3，－6)，∴－6＝a (3－1)2＋2. ∴a ＝－2.∴y ＝－2(x －1)2＋2＝－2x 2＋4x . ∴a ＝－2，b ＝4，c ＝0.3．2x －5 设g (x )＝kx ＋b (k ＞0)，则f [g (x )]＝g 2(x )＝(kx ＋b )2＝k 2x 2＋2kbx ＋b 2＝4x 2－20x ＋25，比较系数可得k ＝2，b ＝－5.∴g (x )＝2x －5.4．⎝⎛⎭⎫－14，14 将(1,4)的坐标分别代入y ＝ax 2与y ＝kx ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝a ，4＝k ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，k ＝3. 再联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x 2，y ＝3x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝－14，y ＝14.5．分析：设出二次函数的顶点式，利用待定系数法求函数f (x )的解析式．解：设f (x )＝a (x ＋1)2＋k (a ≠0)． 由题意，得f (1)＝13，f (2)＝28，则有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋k ＝13，9a ＋k ＝28，解得a ＝3，k ＝1，所以f (x )＝3(x ＋1)2＋1.。

2.2.3 待定系数法[学习目标] 1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式.2.掌握待定系数法的特征及应用.[预习导引]1.待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.2.正比例函数的一般形式为y ＝kx (k ≠0)，反比例函数的一般形式为y ＝kx(k ≠0)，一次函数的一般形式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，二次函数的一般形式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).要点一 求一次函数的解析式例1 设一次函数f (x )满足f [f (x )]＝4x ＋9，求f (x )的解析式. 解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝a ·f (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b .由f [f (x )]＝4x ＋9，得a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－9.∴f (x )＝2x ＋3或f (x )＝－2x －9.规律方法 设出一次函数解析式，由等量关系列式求解.跟踪演练1 已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x ). 解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则有3f (x ＋1)－2f (x －1) ＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，∴a ＝2，b ＝7，即f (x )＝2x ＋7. 要点二 求二次函数的解析式例2 已知二次函数y ＝f (x )的图象过A (0，－5)，B (5,0)两点，它的对称轴为直线x ＝2，求这个二次函数的解析式.解 方法一 设二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－5＝c ，0＝25a ＋5b ＋c ，－b2a＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝－5.∴所求函数解析式为f (x )＝x 2－4x －5.方法二 设二次函数f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)， 将(0，－5)，(5,0)，代入上式得⎩⎪⎨⎪⎧－5＝4a ＋k ，0＝9a ＋k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，k ＝－9，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －2)2－9， 即f (x )＝x 2－4x －5.方法三 ∵二次函数过点(5,0)，且对称轴为x ＝2， ∴二次函数与x 轴另一交点为(－1,0)， 设二次函数为f (x )＝a (x －5)(x ＋1)(a ≠0)， 将(0，－5)代入得a ＝1， ∴f (x )＝x 2－4x －5.规律方法 用待定系数法求二次函数解析式时，要注意其设法的多样性，由条件选择适当的形式.跟踪演练2 求满足下列条件的二次函数的解析式.(1)已知二次函数的图象经过A (3,0)，B (0，－3)，C (－2,5)三点； (2)已知顶点坐标为(4,2)，点(2,0)在函数图象上； (3)已知y ＝x 2－4x ＋h 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上.解 (1)设所求函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，其中a ，b ，c 待定.根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－3，4a －2b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.因此所求函数为y ＝x 2－2x －3.(2)设所求函数y ＝a (x －4)2＋2(a ≠0)，其中a 待定. 根据已知条件得a (2－4)2＋2＝0，解得a ＝－12，因此所求函数为y ＝－12(x －4)2＋2＝－12x 2＋4x －6.(3)∵y ＝x 2－4x ＋h ＝(x －2)2＋h －4， ∴顶点A (2，h －4)，由已知得(－4)×2－1＝h －4，h ＝－5， ∴所求函数为y ＝x 2－4x －5. 要点三 待定系数法的综合应用例3 如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式，并求该函数的值域.解 设左侧的射线对应的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)，因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1，b ＝2，解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数的解析式为y ＝－x ＋2(x <1)，同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x >3). 当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数. 设其方程为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a ＜0)， 由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1， 所以抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3).综上，函数的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 x ＜1，－x 2＋4x －x，x －x ，由图象可知函数的最小值为1，无最大值， 所以，值域为[1，＋∞).规律方法 由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后根据不同区间上的函数类型，利用待定系数法求出相应解析式.跟踪演练3 已知f (x )是定义在[－6,6]上的奇函数，且f (x )在[－3,3]上是一次函数，在[3,6]上是二次函数，f (6)＝2，又当3≤x ≤6时，f (x )≤f (5)＝3， 求f (x )的解析式.解 因为f (x )在[3,6]上是二次函数，f (x )≤f (5)＝3， 则(5,3)为抛物线的顶点， 所以设f (x )＝a (x －5)2＋3(a ≠0)， 又因为f (6)＝2，代入f (x )得a ＝－1， 所以x ∈[3,6]时，f (x )＝－(x －5)2＋3.当x ＝3时，f (3)＝－1，所以点(3，－1)既在二次函数的图象上又在一次函数的图象上. 又因为f (x )为奇函数，且x ∈[－6,6]，所以f (0)＝0，故可设一次函数式为f (x )＝kx (k ≠0)， 将(3，－1)代入f (x )得k ＝－13.所以一次函数式为f (x )＝－13x .当x ∈[－6，－3]时，－x ∈[3,6]， 所以f (x )＝－f (－x )＝(x ＋5)2－3.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－3，x ∈[－6，－，－13x ，x ∈[－3，3]，－x －2＋3，x ，6].1.已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过(1,0)(2,5)两点，则二次函数的解析式为( ) A.y ＝x 2＋2x －3B.y ＝x 2－2x －3 C.y ＝x 2＋2x ＋3 D.y ＝x 2－2x ＋6 答案 A解析 将(1,0)，(2,5)代入y ＝x 2＋bx ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，①4＋2b ＋c ＝5. ②由①②解得b ＝2，c ＝－3.2.已知一次函数的图象过点(1,3)，(3,4)，则这个函数的解析式为( ) A.y ＝12x －52B.y ＝12x ＋52C.y ＝－12x ＋52D.y ＝－12x －52答案 B解析 设一次函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把点(1,3)，(3,4)代入易知⎩⎪⎨⎪⎧3＝k ＋b ，4＝3k ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝52.3.已知二次函数的图象经过(－1,0)，(1,0)，(2,3)三点，则这个函数的解析式为( ) A.y ＝x 2－1 B.y ＝1－x 2C.y ＝12x 2＋1D.y ＝12x 2－1答案 A解析 设y ＝a (x ＋1)(x －1)(a ≠0)， 将点(2,3)代入得3＝3a ， ∴a ＝1.∴y ＝x 2－1.4.已知某二次函数的图象与函数y ＝2x 2的图象形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( ) A.y ＝2(x －1)2＋3 B.y ＝2(x ＋1)2＋3 C.y ＝－2(x －1)2＋3 D.y ＝－2(x ＋1)2＋3答案 D解析 设所求函数的解析式为y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，由题意可知a ＝－2，h ＝1，k ＝3，故y ＝－2(x ＋1)2＋3.5.已知二次函数f (x )的图象顶点坐标为(1，－2)，且过点(2,4)，则f (x )＝________.答案6x2－12x＋4解析设f(x)＝a(x－1)2－2(a≠0)，因为过点(2,4)，所以有a(2－1)2－2＝4，得a＝6.所以f(x)＝6(x－1)2－2＝6x2－12x＋4.1.求二次函数解析式时，已知函数图象上三点的坐标，通常选择一般式；已知图象的顶点坐标(对称轴和最值)通常选择顶点式；已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，通常选择两根式.2.一般地，函数关系式中有几个待定的系数，就需要有几个独立的条件才能求出函数关系式.。

人教版高中必修1(B版) 2.2.3 待定系数法课程设计一、课程设计背景待定系数法是高中数学中的重要内容，其在二次函数、三角函数、指数函数、对数函数等章节中都有应用。

本课程设计旨在帮助学生全面理解待定系数法的概念和应用，掌握其运用方法，并能熟练应用待定系数法解决实际问题。

二、课程设计目标1.理解待定系数法的概念和特点；2.掌握待定系数法的求解方法；3.熟练掌握待定系数法在实际问题中的应用；4.能够独立运用待定系数法解决相关的数学问题。

三、教学内容1. 待定系数法的概念和基本思想1.待定系数法的定义；2.待定系数法的基本思想；3.待定系数法在数学中的应用。

2. 待定系数法的具体操作1.一般式Ax² + Bx + C的展开式；2.齐次方程Ax² + Bx + C = 0的求解方法；3.非齐次方程Ax² + Bx + C = D的求解方法。

3. 待定系数法的应用实例1.二次函数的相关问题；2.三角函数的相关问题；3.指数函数和对数函数的相关问题。

四、教学方法1. 案例教学法通过实际问题的案例，引导学生理解待定系数法的基本思想和运用方法。

2. 归纳总结法通过对待定系数法的多个应用实例的总结归纳，让学生理解其运用规律。

3. 自主探究法让学生在教师的指导下，自行探究待定系数法的应用方法，并通过练习题提高解题能力。

五、教学评估1. 课堂小测在课堂上设置小测验，检验学生对于待定系数法的理解程度。

2. 作业答辩通过学生的作业答辩，检验学生的解题能力和应用能力。

3. 期末考试期末考试主要测试学生对于待定系数法的掌握程度和应用能力。

六、教学内容的具体实施1. 教材选用人教版高中数学必修1(B版)。

2. 教学时间安排共需12学时，每学时45分钟。

3. 教学资料准备1.教师精心准备的教案，提前打印发给学生；2.与教学内容紧密相关的练习题。

七、教学反思本课程设计在教学过程中，针对学生的理解能力、解题能力和应用能力进行了全方位的提高和训练，取得了较好的教学效果。