江苏省宿迁市高中数学 第1章 计数原理 第9课时 排列组合综合应用(1)导学案(无答案)苏教版选修2-3

高中数学 第一章 计数原理 1.3 组合课堂导学 苏教版选修2-3三点剖析一、组合数的运算 【例1】已知mm m C C C 76510711•=-,求mC 8. 解析:m 的范围为{m |0≤m ≤5,m ∈Z}, 由已知,!710!)!7(7!6)!6(!!5)!5(!⨯-⨯=---m m m m m m , 即60-10(6-m )=(7-m )(6-m ),得m =21或m =2,又m ∈［0,5］,则有m =2.∴28288==C C m .温馨提示用m mm n mnA A C =计算具体的组合数,用)!(!!m n m n C mn -=证明有关组合数的代数式.有时还用到组合数的性质化简组合数.二、有限制条件的组合问题【例2】 某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要选派5名参加赈灾医疗队. (1)某内科医生必须参加，某外科医生不能参加，有多少种选法? (2)至少有一名内科医生和至少有一名外科医生参加，有几种选法? 解析:(1)某内科医生参加，某外科医生不参加，只需从剩下的18名医生中选4名即可.故有418C =3 060(种).(2)解法一:依据组合问题分类讨论原则,至少有一名内科医生和至少有一名外科医生可分为四类:一内四外；二内三外；三内二外；四内一外.共有18412283123821248112C C C C C C C C •+•+•+•=14 656(种).解法二:依据组合问题不符合条件的用剔除原则，事件“至少有一名内科医生和至少有一名外科医生”的对立面是“全部为内科医生或外科医生”，共有58512C C +种选法，则)(58512520C C C +-=14 656(种).温馨提示题目中有“含”与“不含”，“最多”与“至少”等词语,“含有”一般是先将这些元素取出，不足部分由另外元素补充， “不含”，可将这些元素剔除，再从剩下的元素中取；解“最多”与“最少”问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求解.三、分组、分配问题【例3】 有9本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种不同的分法?(1)甲得4本,乙得3本,丙得2本;(2)一人得4本,一人得3本,一人得2本; (3)甲、乙、丙各得3本.解析:(1)甲得4本,乙得3本,丙得2本这件事分三步完成: 第一步:从9本不同的书中,任取4本分给甲,有49C 种方法; 第二步:从余下的5本书中,任取3本分给乙,有35C 种方法; 第三步:把剩下的2本书给丙,有22C 种方法. 根据分步乘法计数原理,共有不同的分法2549223549C C C C C •=••=1 260(种).所以甲得4本,乙得3本,丙得2本的分法共有1 260种.(2)一人得4本,一人得3本,一人得2本这件事,分两步完成: 第一步:按4本、3本、2本分成三组,有223549C C C 种方法. 第二步:将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有33C 种方法. 根据分步乘法计数原理,共有不同的分法33223549CA C C C =7560(种).所以一人得4本,一人得3本,一人得2本的分法共有7 560种.(3)用与(1)相同的方法求解,得333639C C C ••=1 680(种).所以甲、乙、丙各得3本的分法共有1 680种. 各个击破类题演练 1 计算:n n nnC C 321383+-+的值。

轻松搞定摆列组合难题二十一种方法摆列合系生风趣，但型多，思路灵巧，所以解决摆列合，第一要真，弄清楚是摆列、合是摆列与合合；其次要抓住的本特色，采纳合理适合的方法来理。

复稳固1.分数原理 ( 加法原理 )达成一件事，有n 法，在第1法中有 m1种不一样的方法，在第 2 法中有m2种不一样的方法，⋯，在第n 法中有 m n种不一样的方法，那么达成件事共有：N m1m2L m n种不一样的方法．2.分步数原理（乘法原理）达成一件事，需要分红n 个步，做第1步有 m1种不一样的方法，做第 2 步有m2种不一样的方法，⋯，做第n 步有 m n种不一样的方法，那么达成件事共有：N m1m2L m n种不一样的方法．3.分数原理分步数原理区分数原理方法互相独立，任何一种方法都能够独立地达成件事。

分步数原理各步互相依存，每步中的方法达成事件的一个段，不可以达成整个事件．解决摆列合合性的一般程以下:1.真弄清要做什么事2.怎做才能达成所要做的事 , 即采纳分步是分 , 或是分步与分同行 , 确立分多少步及多少。

3.确立每一步或每一是摆列 ( 有序 ) 是合 ( 无序 ) , 元素数是多少及拿出多少个元素 .4.解决摆列合合性，常常与步交错，所以必掌握一些常用的解策略一 . 特别元素和特别地点先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5能够构成多少个没有重复数字五位奇数.解 : 因为末位和首位有特别要求 , 应当优先安排 , 免得不合要求的元素占了这两个地点 . 先排末位共有 C13而后排首位共有 C14C14A34C13最后排其余地点共有A43由分步计数原理得 C41C31 A43288地点剖析法和元素剖析法是解决摆列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素剖析为主 , 需先安排特别元素 , 再办理其余元素 . 若以地点剖析为主 , 需先知足特别地点的要求, 再办理其余位置。

如有多个拘束条件，常常是考虑一个拘束条件的同时还要兼备其余条件练习题 :7 种不一样的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间，也不种在两头的花盆里，问有多少不一样的种法？二 . 相邻元素捆绑策略例 2. 7人站成一排,此中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不一样的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并当作一个复合元素，同时丙丁也当作一个复合元素，再与其余元素进行摆列，同时对相邻元素内部进行自排。

第1课时排列与排列数公式1.了解排列及排列数的意义．2.理解排列数公式的推导并应用．3.掌握排列数公式并会运用．1．排列的定义一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．排列数一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．3．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中n，m∈N*，且m≤n.4．全排列与n的阶乘(1)n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，在排列数公式中，当m＝n时，即有A n n＝n(n－1)(n－2)·…·3·2·1．(2)正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，即有A n n＝n！.5．排列数公式的阶乘形式A m n＝n！（n－m）！(n≥m)，规定0！＝1．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．( )(2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( )(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( )(4)从4个不同元素中任取三个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( ) 答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．下面问题中，是排列问题的是( )A．由1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数B．从60人中选11人组成足球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合答案：A3．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为________．答案：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙4．A24＝________，A33＝________．答案：12 6排列的有关概念判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．【解】(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．判断一个具体问题是否为排列问题的方法1.判断下列问题是否是排列问题：(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题．“树形图”解决排列问题四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来．【解】先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步计数原理，有4×3×2×1＝24种．画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.1．若本例条件再增加一条“A不坐排头”，则结论如何？解：画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA，共18种坐法．2．若在本例条件中再增加一条“A，B不相邻”，则结论如何？解：画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CADB，CBDA，DACB，DBCA共12种．利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．2.将语文、数学、英语书各一本分给甲、乙、丙三人，每人一本，共有多少种不同的分法？请将它们列举出来．解：按分步计数原理的步骤：第一步，分给甲，有3种分法；第二步，分给乙，有2种分法；第三步，分给丙，有1种分法． 故共有3×2×1＝6种不同的分法． 列出树形图，如下：所以，按甲乙丙的顺序分的分法为：语数英，语英数，数语英，数英语，英语数，英数语．排列数公式及其应用(1)计算2A 58＋7A 48A 88－A 59；(2)解方程3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x . 【解】 (1)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝8×7×6×5×（8＋7）8×7×6×5×（24－9）＝1.(2)由3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x ，得3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)． 因为x ≥3，且x ∈N *，所以3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)， 即3x 2－17x ＋10＝0. 解得x ＝5，x ＝23(舍去)．所以x ＝5.利用排列数公式①A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)或②A mn ＝n ！（n －m ）！解题时，要注意题目特点，当m 较小时，用公式①较方便，第②个公式常用在化简或证明问题中．3.已知3A n －18＝4A n －29，则n 等于________．解析：由已知3×8！（9－n ）！＝4×9！（11－n ）！，即4×3（11－n ）（10－n ）＝1，因为n ≤9，所以解得n ＝7. 答案：71．排列定义的两个要素一是“取出元素”，二是“将元素按一定顺序排列”，这是排列的两个要素． 2．对排列数公式的说明(1)这个公式是在m ，n ∈N *，m ≤n 的情况下成立的，m ＞n 时不成立．(2)公式右边是m 个数的连乘积，形式较复杂，其特点是：从n 开始，依次递减1，连乘m 个．3．排列与排列数的区别排列与排列数是两个不同的概念，一个排列就是完成一件事的一种方法，不是数；排列数是指所有排列的个数，它是一个数．符号A m n 中，m ，n 均为正整数，且m ≤n ，A mn 是一个整体．10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？【解】 坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人，若把人抽象地看成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从10个元素中取6个元素占据6个不同的位置．显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题．从而，共有A 610＝151 200(种)坐法．(1)本题易出现以下错解：10个人坐6把不同的椅子，相当于从含10个元素的集合到含6个元素的集合的映射，故有610种不同的坐法．该错解是没弄清题意，题中要求每把椅子必须并且只能坐一个，是从10个人中取出6个人的一个排列问题．(2)在用排列数公式求解时需先对问题是否是排列问题做出判断．1．4×5×6×…×(n －1)×n 等于( ) A ．A 4n B ．A n －4n C ．n ！－4!D ．A n －3n解析：选D.4×5×6×…×(n －1)×n 中共有n －4＋1＝n －3个因式，最大数为n ，最小数为4，故4×5×6×…×(n －1)×n ＝A n －3n .2．从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有( ) A ．9个 B ．12个 C ．15个D ．18个解析：选B.用树形图表示为：由此可知共有12个． 3．5A 35＋4A 24＝________．解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348. 答案：3484．若A m 10＝10×9×…×5，则m ＝________． 解析：10－m ＋1＝5，得m ＝6. 答案：6[A 基础达标]1．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a ，b ，c ，d 中选出3个字母；④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：选B.由排列的定义知①④是排列问题． 2．计算A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：选D.A 67－A 56A 45＝7×6×5×4×3×2－6×5×4×3×25×4×3×2＝7×6－6＝36.3．若α∈N *，且α<27，则(27－α)(28－α)…(34－α)等于( ) A ．A 827－α B ．A 27－α34－α C ．A 734－αD ．A 834－α解析：选D.从27－α到34－α共有34－α－(27－α)＋1＝8个数．所以(27－α)(28－α)…(34－α)＝A 834－α.4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( ) A ．6 B ．4 C ．8 D ．10解析：选B.列树形图如下：5．不等式A 2n －1－n ＜7的解集为( ) A ．{n |－1＜n ＜5} B ．{1，2，3，4} C ．{3，4}D ．{4}解析：选C.由不等式A 2n －1－n ＜7， 得(n －1)(n －2)－n ＜7， 整理得n 2－4n －5＜0， 解得－1＜n ＜5.又因为n －1≥2且n ∈N *， 即n ≥3且n ∈N *， 所以n ＝3或n ＝4，故不等式A 2n －1－n ＜7的解集为{3，4}． 6．A n ＋32n ＋A n ＋14＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧n ＋3≤2n ，n ＋1≤4，n ∈N *，得n ＝3，所以A n ＋32n ＋A n ＋14＝6！＋4！＝744. 答案：7447．给出的下列四个关系式中，其中正确的个数是________．①A mn ＝（n －m ）！n ！；②A m －1n －1＝n －1！（m －n ）！；③A m n ＝n A m －1n －1；④n ！＝（n ＋1）！n ＋1.解析：①②不成立，③④成立． 答案：28．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b 为首的不同的排列，它们分别是____________________．解析：画出树状图如下：可知共12个，它们分别是bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed .答案：12 bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed 9．求证：12！＋23！＋34！＋…＋n －1n ！<1.证明：因为n －1n ！＝n n ！－1n ！＝1（n －1）！－1n ！， 所以12！＋23！＋34！＋…＋n －1n ！＝11！－12！＋12！－13！＋13！－14！＋…＋1（n －1）！－1n ！ ＝1－1n ！<1. 所以原式得证． 10．计算下列各题． (1)A 215； (2)A 66； (3)A m －1n －1·A n －mn －m A n －1n －1；(4)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n ·n ！. 解：(1)A 215＝15×14＝210.(2)A 66＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720.(3)原式＝（n －1）！[n －1－（m －1）]！·(n －m )！·1（n －1）！＝（n －1）！（n －m ）！·(n －m )！·1（n －1）！＝1.(4)因为n ·n ！＝[(n ＋1)－1]·n! ＝(n ＋1)n ！－n! ＝(n ＋1)！－n ！，所以原式＝(2！－1)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n ＋1)！－n ！]＝(n ＋1)！－1.[B 能力提升]1．若S ＝A 11＋A 22＋A 33＋A 44＋…＋A 100100，则S 的个位数字是( ) A ．8 B ．5 C ．3D ．0解析：选C.因为当n ≥5时，A nn 的个位数字是0，故S 的个位数取决于前四个排列数．又A 11＋A 22＋A 33＋A 44＝33，故选C.2．若2<（m ＋1）！A m －1m －1≤42，则满足条件的m 的集合是________． 解析：原不等式可化为2<（m ＋1）！（m －1）！≤42.即2<m 2＋m ≤42.所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0m 2＋m －42≤0，解不等式组得，－7≤m <－2或1<m ≤6，又m ∈N *，所以满足题意的m 的集合为{2，3，4，5，6}． 答案：{2，3，4，5，6}3．一条铁路有n 个车站，为适应客运需要，新增了m 个车站，且知m ＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解：由题意可知，原有车票的种数是A 2n 种，现有车票的种数是A 2n ＋m 种，所以A 2n ＋m －A 2n ＝62，即(n ＋m )(n ＋m －1)－n (n －1)＝62，所以m (2n ＋m －1)＝62＝2×31，因为m ＜2n ＋m －1，且n ≥2，m ，n ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，2n ＋m －1＝31， 解得m ＝2，n ＝15，故原有15个车站，现有17个车站．4．(选做题)A ，B ，C ，D 四名同学重新换位(每个同学都不能坐其原来的位子)，试列出所有可能的换位方法．解：假设A ，B ，C ，D 四名同学原来的位子分别为1，2，3，4号，树形图如下：换位后，原来1，2，3，4号座位上坐的同学的所有可能排法有：BADC ，BCDA ，BDAC ，CADB ，CDAB ，CDBA ，DABC ，DCAB ，DCBA .。

第1章计数原理江苏省宿迁市马陵中学范金泉本章是组合数学的最基础的知识，共包含1. 1两个基本计数原理、1. 2排列、1. 3组合、1. 4计数应用题和1. 5二项式定理五节内容，其中分类加法计数原理、分步乘法计数原理这两个计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具．一、《课程标准》关于《计数原理》的表述及教学要求1．表述：计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具．在本模块中，学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题．2．教学要求：（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理．通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．（2）排列与组合．通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题．（3）二项式定理．能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．二、《课程标准》与《教学大纲》在要求上的主要变化1．2002年4月由教育部颁布实施的《教学大纲》，将这一部分的教学内容的标题定为《排列、组合、二项式定理》，教学目标规定为：（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．2．对比2003年4月由教育部颁布的《课程标准》，一是章节名称变为《计数原理》，突显了计数原理的基础地位，同时在教学要求上，发生了明显的变化，主要变化有：（1）“计数原理”的要求由“掌握”变为“通过实例，总结出加法计数原理、分步乘法计数原理”；（2）“排列、组合”的要求也由“理解排列、组合的意义”变为“通过实例，理解排列、组合的概念”，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）关于“排列数、组合数”，则由“掌握排列数计算公式，掌握组合数计算公式和组合数的性质”变为“能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式”．（4）“二项式定理”由“掌握二项式定理和二项展开式的性质”变为“能用计数原理证明二项式定理”，省去了“二项展开式的性质”，并给出了参考例题1．以上变化，主要是为了防止教学过程中“人为地加深难度，对知识点进行深挖”．（5）教学课时也有所变化，《教学大纲》规定为18课时，而《课程标准》规定为14课时，减少了学时数．三、《江苏省普通高考数学学科考试说明》中“计数原理”部分的考试范围与要求层次四、江苏高考考题《计数原理》作为选修内容，只能出现在江苏省普通高考数学试卷的附加题部分，由于这一部分内容的考点较多，故涉及排列、组合、二项式定理的考题仅在2008年江苏省普通高考数学试卷中出现，为第23题（真题如下）：请先阅读：在等式cos2x ＝2cos 2x －1（x ∈R ）的两边求导，得：（cos2x ）'＝（2cos 2x －1）'，由求导法则，得（－sin2x ）·2＝4cos x ·（－sin x ），化简得等式：sin2x ＝2cos x ·sin x ．（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1＋x ）n ＝122C C C C n n n n n n x x x ++++ （x ∈R ，整数n ≥2），证明：n [（1＋x ）n -1－1]＝12C nk k n k k x-=∑． （2）对于正整数n ≥3，求证：（i ）1(1)C n k k n k k =-∑＝0；（ii ）21(1)C n k k n k k =-∑＝0；（iii ）10121C 11n nk n k k n +=-=++∑． 本题重在考查二项式定理，并融入了导数的内容！（1）证明：在等式（1＋x ）n ＝0122C C C C n n n n n n x x x ++++两边求导得：n （1＋x ）n -1＝12321C 2C 3C C n n n n n n x x n x -++++＝n ＋12C nk k n k k x -=∑， 故n [（1＋x ）n -1－1]＝12C n k k n k k x-=∑． （2） （i ）在等式n （1＋x ）n -1＝12321C 2C 3C C n n n n n n x x n x -++++中，令x＝－1，则有0＝12321C 2C (1)3C (1)C (1)n n n n n n n -+⋅-+⋅-++⋅-两边同乘以－1得，0＝12233C (1)2C (1)3C (1)C (1)n n n n n n n ⋅-+⋅-+⋅-++⋅-＝1(1)C n k k n k k =-∑．即1(1)C n k k n k k =-∑＝0． （ii ）对等式n （1＋x ）n -1＝12321C 2C 3C C n n n n n n x x n x -++++再求导，得n （n －1）（1＋x ）n -2＝23221C 32C (1)C n n n n n x n n x -⨯⋅+⨯⋅++⋅-⋅． 令x ＝－1，则有0＝23221C 32C (1)(1)C (1)n n n n n n n -⨯⋅+⨯⋅⋅-++⋅-⋅⋅-．两边乘以(－1)2，得0＝223321C (1)32C (1)(1)C (1)n n n n n n n ⨯⋅⋅-+⨯⋅⋅-++⋅-⋅⋅- ＝1223310C (1)21C (1)32C (1)(1)C (1)nn n n n n n n ⨯⋅⋅-+⨯⋅⋅-+⨯⋅⋅-++⋅-⋅⋅-＝1(1)C (1)n kk n k k k =--∑＝21(1)C n k k nk k =-∑－1(1)C nk kn k k =-∑． 由（i ）得21(1)C nk kn k k =-∑＝0．（iii ）因为11!!C 11!()!(1)!()!k n n n k k k n k k n k =⋅=++⋅-+⋅- ＝111(1)!1(1)!1C 1(1)!()!1(1)![(1)(1))!1kn n n n k n k n k n k n ++++⋅=⋅=++⋅-++⋅+-++ 所以1111111110011121C C (C C C )1111n n n k k n n n n n n k k k n n n +++++++==-==+++=++++∑∑． 五、江苏省数学学科关于《计数原理》的教学建议1．分类计数原理和分步计数原理是处理计数问题的两种基本思想方法．教学中应引导学生根据计数原理分析、处理问题，而不是机械地套用公式．通过对实际问题的分析，确定解决该问题是需要分类，还是需要分步，再选用相应的公式计算．在本章的教学中，应注意控制题目的难度，避免繁琐的、技巧性过高的计数问题．2．在解决问题时，要让学生正确理解“完成一件事”的具体含义是什么，怎样才算“完成”，以及采用何种方式“完成”．3．解决计数应用问题的关键是设计完成一件事的过程，教学中要引导学生合理设计完成这件事的过程．4．解决本章的应用题，方法灵活多样，教学中要引导学生多方向地思考，选择最佳方案，使一些较复杂的问题得到简化．5．在教学中，可通过试验、画简图等方法帮助学生将问题直观化，进而寻求解题途径．在计数问题中，由于结果的正确性往往难以直接验证，因而可以用多种不同的方法求解来加以验证．本章教学约需14课时，具体分配如下：六、本章教学中应注意的几个问题1．教材开篇在列举一些贴近生活的典型实例的基础上，用明确的语言指出了两个计数原理与加法、乘法运算之间的关系，并提出“不通过一个一个地数而确定这个数”的问题，从而使学生体会学习计数原理的必要性．由于两个计数原理的这种基础地位，并且在应用它们解决问题时具有很大的灵活性，是训练学生推理技能的好素材.面对一个复杂的计数问题时，通过分类或分步将它分解为若干个简单计数问题，在解决这些简单问题的基础上，将它们整合起来而得到原问题的答案，可以达到以简驭繁、化难为易的效果．2．“完成一件事情”是一个比较抽象的词汇，它比学生熟悉的“完成一件工作”、“完成一项工程”……的含义要广泛得多，教学中应当结合实例让学生辨析．例如：“从甲地到乙地”、“从甲地经丙地再到乙地”、“从中任取一本书”、“从中任取数学书、语文书各一本”、“从1～9这九个数字中任取两个组成没有重复数字的两位数”等等，这些都是原理中所说的“完成一件事情”．排列、组合中的“确定一个满足条件的排列”、“确定一个满足条件的组合”也是指“完成一件事情”．建议在概念和例题的教学中，都要求学生先思考并说出要完成的一件事情是什么．在实际应用中，学生容易把“完成一件事情”与“计算完成这件事情的方法总数”混同．例如，在分析“从1～9这九个数字中任取两个，共可组成多少没有重复数字的两位数？”时，学生容易把要完成的事情理解成为“求满足条件的两位数的个数”．教学时应当注意利用简单实例引导学生消除这种误解．只有准确理解了什么叫“完成一件事情”，才能进一步分析可以用什么方法完成，是否需要分类或分步完成，这样才能确定到底应该用哪个计数原理．3．排列与组合的区别就是是否有“一定顺序”，为了让学生理解其含义，要结合实例进行认真分析．例如，学生熟悉的排队问题中，“从前到后”、“从左到右”、都是“一定顺序”；安排工作时“上午在前下午在后”也是“一定顺序”；“从1～9这九个数字中选三个不同数字组成三位数”中，“一定顺序”可以规定为“百十个”等等．最后要使学生明确，若干个元素按照一定的顺序排成一列，元素不同或元素相同但顺序不同的排列都是不同的排列，即当且仅当两个排列的元素和顺序都相同时才是同一个排列．4．关于“一个排列”与“排列数”、“一个组合”与“组合数”的区别与联系，不应抽象地解释与强调，而应多通过实例引导学生分析．5．关于组合数公式的推导，不要急于求成，而要通过具体的实例加以引导．例如课本是通过从a ，b ，c 三个元素中每次取出两个元素给出的，在此基础上，又通过表1-3-1给出了从四个元素中每次取出三个的组合数与排列数的对比，进一步引导学生理解组合与组合数的计算，以及组合数与排列数的关系．6．一题多解．在计数问题中，由于结果的正确性往往难以直接验证，因而可以用多种不同的方法求解来加以验证．7．二项式定理是本章的重点内容，二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思路是“先猜后证”．与以往教科书比较，猜想不是通过对n b a )(+中n 取1，2，3，4的展开式的形式特征的分析而归纳得出，而是直接应用两个计数原理对2)(b a +展开式的项的特征进行分析．这个分析过程不仅使学生对二项式的展开式与两个计数原理之间的内在联系获得认识的基础，而且也为证明猜想提供了基本思路．在二项式定理的推导中，学生自觉地联系到两个计数原理是不容易的．为此，教科书安排了如下过程：1．在“情境问题”中给出了2)(b a +,3)(b a +,4)(b a +的展开式，导出了n b a )(+的展开式问题；2．详细写出用多项式乘法法则得到2)a+，3)(ba+的展开式的过程，并从(b两个计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项数以及项的形式；3．用组合知识分析n(+的展开式中应有的项，以及每一个项的构成原由，a)b得出系数的计数方法，从而得出n(+的展开式．a)b从上述安排可以看到，得到二项式定理的猜想及其证明方法的核心就是应用两个计数原理．总之，计数问题是解决计数问题的最基本、最重要的方法，是根据实际问题的需要而提出的，教学中，不把那些人为编制的计数难题、需要特殊技巧的计数问题纳入课堂，而计算机程序设计中程序模块命名、字符编码、程序测试路径，以及核糖核酸分子、汽车牌照号码等计数问题，涉及大量的物理、生物、计算机的专业知识，体现了学科之间的渗透，同时体现了问题的时代特征，虽然这些例题背景复杂，所蕴含的数学知识却相对简单，可以根据学生的实际情况，补充一些例题，以增强学生思维的灵活性和发散性，提高学生分析问题和解决问题的能力．参考文献：1．中华人民共和国教育部，《普通高中数学课程标准》；2．江苏省教育厅，《江苏省普通高中数学课程标准教学要求》；3．江苏省教育厅，《2008年江苏省高考数学科考试说明》与《2011江苏高考数学科考试说明》．。

第 9 课时计数应用题【教课目的】1.加强综合运用两个计数原理解决心数问题的能力。

2.能运用摆列组合知识剖析实质问题，提高剖析问题和解决问题的能力。

【基础练习】1.将 3名同学安排到2 个工厂去实习 , 共有 ______________种不一样的分派方案 .2.用 0到 9 这 10 个数字 , 可构成 ______________ 个没有重复数字的四位偶数 .3.一个小组共有组长 2 人 , 组员 7 人 , 此刻要求选出 5 人参加一项活动 , 要求这 5 人中起码一名组长 , 共有 _________________种不一样的选法.【合作研究】例 1．高二（ 1）班有 30 名男生， 20 名女生。

从 50 名学生中选 3 名男生、 2 名女生疏别担当班长、副班长、学习委员、娱乐委员、体育委员，共有多少种不一样的选法？例 2． 2 名女生、 4 名男生排成一排，问：（1）2 名女生相邻的不一样排法共有多少种？（2）2 名女生不相邻的不一样排法共有多少种？（3）女生甲一定排在女生乙的左侧（不必定相邻）的不一样排法共有多少种？变式：七个家庭一同出门旅行，若此中四家分别是一个男孩，三家分别是一个女孩，现将这七个儿童站成一排照相纪念。

（1）一共用多少种站法？（2）甲站在正中间的排法有几种？（3）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？（4）甲只好排头或排尾，共有几种排法？（5）甲不站排头，乙不站排尾，共有多少种排法？（6) 若三个女孩要站在一同，有多少种不一样的排法？（7）若三个女孩要站在一同，四个男孩也要站在一同，有多少种不一样的排法？（8) 若三个女孩互不相邻，有多少种不一样的排法？（9）若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不一样的排法？（10）若此中的 A 儿童一定站在 B 儿童的左侧，有多少种不一样的排法？例 3．从 0,1,2 ，...,9这10个数字中选出 5 个不一样的数字构成五位数，此中大于13000 的共有多少个？例 4六本不一样的书 , 按以下条件 , 各有多少种不一样的分法 ?(1)分给甲、乙、丙三人，每人 2 本；(2)分红三份，每份 2 本；(3)分红三份，一份 1 本，一份 2 本，一份 3 本；(4)分给甲、乙、丙三人 , 一人 1 本, 一人 2 本, 一人 3 本；(5) 分给甲、乙、丙三人，每人起码 1 本 .【学致使用】1. 用数字 0、 1、 2、3、 4、 5 构成没有重复数字的数(1)有多少个五位数(2)有多少个五位数的奇数(3)有多少个大于 31250 的五位数？2.从 6 双不一样的颜色的鞋子中任取4 只，此中恰有两只好够配成一双鞋子的取法有多少种？3.按以下条件 , 各有多少种不一样的送书方法 ?(1)5本不一样的书送给6个人 .(2)5本不一样的书送给6个人 , 每人最多 1 本.(3)6本不一样的书送给5人 .(4)6本不一样的书送给5人 , 每人最少 1 本 .(5)3真同样的书送给5人 , 每人最多 1 本 .(6)3真同样的书送给5人 .4. 有一张节目表上原有 6 个节目，假如保持这些节目的相对地点不变，再添入3个节目，那么共有多少种不一样的安排方法？5. 有一张节目表上原有 6 个节目 , 假如保持这些节目的相对地点不变, 再添入 3 个节目 , 共有多少种不一样的安排方法？第 9 课时摆列组合应用问题（1）【基础训练】1. 假如有20 个代表列席一次会议，每位代表与其余代表握一次手，那么一共握手_______次.2.200 件产品中有 3 件是不合格品，现从中随意抽取 5 件，此中起码有 2 件是不合格品的抽法的种数为 ___________________________ （列出算式） .3. 若从一个小组中选出正、副组长各 1 人与选出 4 名学生代表的选法种数之比为2:13 ，则这个小组的人数是_________.4.以正六边形的极点为极点的直角三角形共有_______个 .5. 若不一样的 5 种商品在货架上排成一排，此中a,b两种必修排在一同，而c, d两种不可以排在一同，则不一样的排法种数共有______种 .6.6 个男生和 4 个女生排成一排，若女生既不相邻又不可以在两头，则有_____种不一样的排法.【思虑应用】7.7 人站成一排，以下状况中各有多少种不一样的站法？（1）甲站在正中间，乙站在排头，丙站在排尾；（2）甲站在乙得右侧（不必定相邻）；（3）甲、乙、丙三人中任何两人均不相邻.8. 用数字 0,1,2,3,4,5能够构成多少个比4032 大且没有重复数字的四位数？9. 要举办一台文艺晚会，现从高一年级的4 个文艺节目中选出 2 个，高二年级的 5 个文艺节目中选出 3 个，高三年级的 3 个文艺节目中选出 2 个编制节目，问：有多少种不一样的演出顺序？10.在 D AOB 的 OA 边上有4个异于 O 点的点，以这10个点（含 O 点）为极点，能获得多少个不一样的三角形？【拓展提高】11. 有 8 名师范大学毕业生被分派到A, B,C , D 这4所中学任教，每校 2 人，此中甲、乙两人不得分派到 A 中学去，问：不一样的分派方法有多少种？12.空间 7 个点最多能确立多少对异面直线？。