(完整版)待定系数法分解因式(附答案)

用待定系数法分解因式待定系数法是一种重要的数学方法。

要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f（x）g （x）的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f（a）≡g（a）；或者两个多项式各同类项的系数对应相等. 先假定已知多项式具有某种分解式。

这个分解式中含有若干个待定的字母系数，然后应用多项式恒等的性质，或取多项式中原有的几个特殊值，列得关于待定的字母系数的方程或方程组，解出待定的字母系数值。

这种分解因式的方法，叫做待定系数法。

例1 分解因式x2+6x-16．分析：假设能分解，则应分解为两个一次项式的积形式，即(x+b1)(x+b2)，将其展开得x2+(b1+b2)x十b1·b2与x2+6x-16相比较得b1+b2=6，b1·b2=-16，可得b1，b2即可分解．解：设x2+6x-16=(x+b1)(x+b2)则x2+6x-16=x2+(b1+b2)x+b1·b2∴x2+6x-16=(x-2)(x+8)．例2. 分解因式：x2+xy-6y2+x+13y-6分析：该式中的二次项x2+xy-6y2可用十字相乘法进行分解。

x2+xy-6y2=(x-2y)(x+3y),重要的是要弄清楚原式分解因式后的一般形式，从而恰当设出待定的系数，注意到原式中的二次项被分解成(x-2y)(x+3y)，可设原地式被分解后的形式为(x-2y+m)(x+3y+n),因为这个乘积展开后，m，n和其余各项乘积的代数和正好构成原式中的一次项和常数项。

解：∵ x2+xy-6y2=(x-2y)(x+3y)设x2+xy-6y2+x+13y-6=(x-2y+m)(x+3y+n)=x2+xy-6y2+(m+n)x+(3m-2n)y+mn由多项式恒等定理可知m+n=13m-2n=13mn=6解之：m=3 ，n=-2∴x2+xy-6y2+x+13y-6=(x-2y+3)(x+3y-2)。

专题45 待定系数法1.待定系数法的含义一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

2. 待定系数法的应用（1）分解因式待定系数法是初中数学的一个重要方法。

用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。

在初中竞赛中经常出现。

a.确定所求问题含待定系数的解析式。

b.根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。

c.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

（2）求函数解析式初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=k/x，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，y=a (x－x1)(x－x2)( a、x1、x2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、a、c、b、x1、x2等待定系数．一般步骤如下：a.写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；b.把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。

c.解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式。

（3）解方程例如：已知一元二次方程的两根为x1、x2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x2+mx+n=0，则有(x－x1)(x－x2)=0，即x2－(x1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得m=－(x1+x2)，n=x1x2，所以所求方程为：x2－(x1+x2)x+x1x2=0．（4）分式展开首先用未知数表示化为部分分式和的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，带入所设的部分和可得结果。

因式分解的待定系数法因式分解的待定系数法是一种通过设定待定系数，并利用已知条件解方程组来分解代数表达式的方法。

这种方法常用于分解多项式或解析函数的因式，对于一些复杂的多项式或函数，待定系数法能够提供一种简单有效的解决方案。

在待定系数法中，我们假设要分解的多项式或函数为P(x)，并设定待定系数a，b，c等，并利用已知条件建立方程组，通过求解方程组，我们可以确定待定系数的值，从而得到多项式或函数的因式。

具体来说，设定待定系数法通常分为以下几个步骤：1. 确定待定系数的个数：根据多项式或函数的次数，确定所需的待定系数的个数。

例如，对于二次多项式，我们需要设定两个待定系数。

2. 建立方程组：根据已知条件建立方程组，以求解待定系数。

已知条件通常来自于多项式或函数的根、零点、截距等，也可能包括导数的值等等。

方程组的个数应当与待定系数的个数相等。

3. 求解方程组：利用代数方法求解方程组，以确定待定系数的值。

4. 得到因式：将待定系数的值代入到多项式或函数中，得到因式的表达式。

下面通过一个具体的示例来解释待定系数法的具体过程：假设我们要分解二次多项式P(x) = ax^2 + bx + c，其中a，b，c为待定系数。

已知P(x)的图像上有一个零点为x = 1，并且在x = 2处有一个切线的斜率为3。

现在利用待定系数法分解P(x)。

根据已知条件，我们可以列出方程组：1. P(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 02. P'(2) = 2a(2) + b = 3解这个方程组可以得到待定系数的值。

假设方程组的解为a = 2，b = 1，c = -1。

将待定系数的值代入P(x)，我们得到因式的表达式为P(x) =2x^2 + x - 1。

通过解方程组，我们成功地将二次多项式P(x)通过待定系数法分解成了三个一次因式。

这种方法同样适用于更高次的多项式或更复杂的函数，只要设定足够的待定系数，并利用已知条件建立方程组。

用待定系数法分解因式就是按照已知条件，把原式设为几个因式的乘积，然后利用多项式恒等定理，求出各待定系数的值。

待定系数法的定义
待定系数法，一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

待定系数法求因式分解
待定系数法是初中数学的一个重要方法。

用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。

因式定理的简单运用其实就是一个窍门：
如果各项系数和为0，则必含有因式（x-1)；如果奇次项系数和与偶次项系数和相等，则必含有因式（x+1）可以用一个十字相乘法来引入，因为十字相乘法是特殊的待定系数法。

使用待定系数法解题的一般步骤是：
（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式。

（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。

（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

分式因式分解待定系数法
分式因式分解待定系数法(英文：Polynomial long division，又称：长除法)是一种用来分解因式的方法。

若一个多项式除以一个单项式，可以用多项式除以单项式的除法进行；若一个多项式除以另一个多项式，就比较复杂。

这时通常用长除法进行。

具体做法是：用商的代数式除以除式，所得的商作为试商，再将被除数中减去试商，所得差继续做除数，直到差为0或能整除除数为止，最后将所有的试商和整除数相加就是所求的商。

需要注意的是，这种方法的适用范围是：被除数或除数中含有多次的因式，且商为多项式。

数学因式分解1解方程：2x2-3x-2=0(2x+1)(x-2)2请看下面的问题：把x4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4-4x2=（x2+2）2-4x2=（x2+2）2-（2x）2=（x2+2x+2）（x2-2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．（1）x4+4y4；解：（1）x4+4y4=x4+4x2y2+4y2-4x2y2，=（x2+2y2）2-4x2y2，=（x2+2y2+2xy）（x2+2y2-2xy）；（2）x2-2ax-b2-2ab．=x2-2ax+a2-a2-b2-2ab，=（x-a）2-（a+b）2，=（x-a+a+b）（x-a-a-b），=（x+b）（x-2a-b）．3 x2+4x-12=0（用两种方法作答）4 用配方法解方程x2+6x+7=0．56用十字相乘法解下列一元二次方程．（1）x2-5x-6=0（2）6x2+19x-36=0．7（2012•随州）在一次数学活动课上，老师出了一道题：（1）解方程x2-2x-3=0巡视后，老师发现同学们解此道题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）．接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：（2）解关于x的方程mx2+（m-3）x-3=0（m为常数，且m≠0）．如果x2-5x+m可以用十字相乘法因式分解，那么m可以取的一个值是（）13 对于一个自然数n，如果能找到自然数a（a＞0）和b（b＞0），使n-1=a+b+ab，则称n 为一个“十字相乘数”，例如：4-1=1+1+1×1，则4是一个“十字相乘数”，在1～20这20个自然数中，“十字相乘数”共有11 个．14。

学生做题前请先回答以下问题问题1：目前我们学习的因式分解的方法有哪些？问题2：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为____________．问题3：换元是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，当多项式中的某一部分_______时，我们会________将其替换，从而简化式子的形式．问题4：添项拆项的目的是使多项式能够用_____________进行因式分解，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的__________．因式分解综合应用（待定系数法与几何表示）（北师版）一、单选题(共6道，每道16分)1.已知多项式有因式2x+3，则m的值为( )，并将其分解因式的结果为( )A.9；B.6；C.9；D.6；答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的应用2.已知多项式有因式x+4，则m的值为( )，并将其分解因式的结果为( )A.12；B.12；C.8；D.8；答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的应用3.试题2中的多项式，我们还有一种分解方法，如果我们把x=2代入多项式，发现多项式，这时可以断定多项式中有因式x-2（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式x-1），于是我们可以把多项式写成：．可求得m=10，n=24；这种因式分解的方法叫试根法，请用试根法将多项式因式分解．因式分解的结果为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的应用4.用试根法将多项式因式分解，分解的结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的应用5.如图是用若干张卡片拼成的一个长方形，依据图形面积间的关系，便可验证一个等式，这个等式是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：整式乘法的几何表示6.如图，正方形卡片A类、C类和长方形卡片B类若干张，若要用A，B，C三类卡片拼一个边长为的正方形，则需要B类卡片( )A.4张B.6张C.9张D.12张答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：整式乘法的几何表示。

专题45 待定系数法1.待定系数法的含义一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

2. 待定系数法的应用(1)分解因式待定系数法是初中数学的一个重要方法。

用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。

在初中竞赛中经常出现。

a.确定所求问题含待定系数的解析式。

b.根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。

c.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

(2)求函数解析式初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=k/x，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，y=a (x－x1)(x－x2)( a、x1、x2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、a、c、b、x1、x2等待定系数．一般步骤如下：a.写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；b.把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。

c.解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数解析式。

(3)解方程例如：已知一元二次方程的两根为x1、x2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x2+mx+n=0，则有(x－x1)(x－x2)=0，即x2－(x1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得m=－(x1+x2)，n=x1x2，所以所求方程为：x2－(x1+x2)x+x1x2=0．(4)分式展开首先用未知数表示化为部分分式和的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，带入所设的部分和可得结果。

因式分解【奥赛花絮】最早的数学竞赛匈牙利是举办中学数学竞赛最早的国家,自1894年匈牙利物理数学学会通过了关于举行中学生奥林匹克数学竞赛的决议起，每年十月举行这种竞赛。

仅仅由于两次世界大战和1956年的匈牙利时件间断过7年。

2003年举行的是第103届匈牙利数学竞赛。

【奥赛赛点】将一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解。

因式分解是一种重要的恒等变形,在数学中有广泛的应用.因式分解的方法比较多，除了课本介绍的提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法外，我们还要掌握换元法,主元法，配方法，待定系数法等。

【解题思路与技巧】1．换元法。

在解题的过程中，我们常把某个比较复杂的代数式看成一个整体，将它用一个字母来代替,从而简化这个代数式的结构，这种方法就是换元法.在因式分解中用换元法，又可细分为整体代换（如例1，例2），对称代换（如例3)，倒数代换(如例4),平均代换(如例5)等。

2．主元法在分解一个含有多个字母的多项式时，我们常选择一个字母作为主要元素,将其他字母看作常数,然后将多项式按选定的字母降幂排列，这种方法叫做主元法。

用主元法往往可以得到恰当的分组，从而找出公因式来，如例6。

3．配方法通过添项，拆项利用公式将一个多项式配成一个完全平方，是一种常用的恒等变形技巧，以便利用公式来分解因式，如例7,例8。

4．待定系数法在解决有关多项式时，可先假定问题的结果已经求出，其中含有未知系数，然后根据多项式恒等的定义或性质，列出含有这些未知数的方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知系数的值,从而解决问题的方法,如例9，例10。

【典型示例】例1 （1994年第6届“五羊杯”数学竞赛试题）在有理数范围内分解因式：(1)16（6x-1)(2x—1)（3x+1）(x-1）+25= 。

（2）(6x—1）(2x—1)（3x-1)（x-1)+x2= 。

(3）（6x—1)(4x-1)(3x-1)(x-1）+9x4= .[解] （1）原式=(6x—1)（4x—2）（6x+2)(4x+4)+25=（24x2-16x+2) （24x2-16x—8）+25设 24x2-16x+2=t，原式=t(t-10)+25=（t—5)2=(24x2—16x—3）2（2）原式=(6x-1）（x—1) (2x-1)(3x—1） +x2=（6x2-7x+1）（6x2-5x+1) +x2设6x2-7x+1=t, 原式=t（t-2x) +x2=（t—x)2=(6x2-6x+1)2（3)原式=(6x-1) (x-1) (4x-1)(3x-1） +9x4=(6x2-7x+1） (12x2-7x+1）+ 9x4设6x2-7x+1=t, 原式=t(6x2+t）+ 9x4=（t+3x2）2=（9x2-7x+1)2例2 (2000年第12届“五羊杯”数学竞赛试题)分解因式：(2x–3y)3 + （3x–2y)3 –125（x–y）3= 。

三次多项式的因式分解待定系数法【知识原创】三次多项式的因式分解待定系数法引言：多项式的因式分解是代数学中的重要概念之一，它可以将复杂的多项式拆解为简单的因子乘积，从而使我们更好地理解多项式的性质和特点。

本文将聚焦于三次多项式的因式分解，介绍一种常用的方法——因式分解待定系数法，通过该方法我们可以高效且准确地分解三次多项式。

一、因式分解待定系数法的原理三次多项式是指次数为3的多项式，它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d我们的目标是将该三次多项式分解为一次因式和二次因式的乘积，即： f(x) = (px + q)(rx^2 + sx + t)其中，p、q、r、s、t都是待定系数。

利用因式分解待定系数法，我们通过拆解出待定系数，然后展开两边进行比较，从而得到关于待定系数的线性方程组，通过解线性方程组可以得到最终的因式分解结果。

二、因式分解待定系数法的步骤1.根据三次多项式的形式，假设待定系数p、q、r、s、t，并将拆分后的因式乘积展开：f(x) = px^3 + qx^2 + rx^3 + sx^2 + tx + pqrx^2 + pqsx + pqt2.将展开后的因式分解形式与三次多项式进行比较，整理得到关于待定系数的线性方程组：系数a的对应关系：p = a系数b的对应关系：q + r = b系数c的对应关系：s + pq + t = c系数d的对应关系：tq = d3.解线性方程组，求解出待定系数p、q、r、s、t。

4.代入求解得到的待定系数，得到最终的因式分解结果。

三、个人观点和理解因式分解待定系数法是一种常用且实用的方法，能够高效地分解三次多项式。

通过假设待定系数，我们将复杂的三次多项式转化为解线性方程组的问题，从而得到了简化计算的方式。

这种方法尤其适用于需要求解因式分解结果的情况，可以准确地得到所需的因式分解形式。

因式分解待定系数法也可以进一步拓展到高次多项式的因式分解问题中，只需根据多项式的次数确定待定系数的个数，并按照类似的步骤进行推导和计算，使得方法适用范围更广。