(全国通用版)201X-201x高中数学 第二章 函数 2.2.3 待定系数法练习 新人教B版必修1

2.2.3 待定系数法教学教学建议1.待定系数法解题的关键是依据已知条件,正确地列出含有未定系数的等式.运用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些特定的系数,转化为方程组来解决.要判断一个问题是否可用待定系数法求解,主要看这个数学问题是否具有某种确定的数学表达形式.例如,一次函数y=kx+b(k≠0)、二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的性质都与它们的系数有关,故在研究含有字母系数的问题时,常常要用到待定系数法.在这里主要通过一次函数、二次函数求解析式的练习,广泛开展讨论加以体会、总结,逐步形成完整的知识结构.2.待定系数法的理论依据是多项式恒等原理：如果多项式f(x)与g(x)恒等〔即f(x)≡g(x)〕,则对于任意一个a 值有f(a)≡g(a);两个化成标准形式的多项式中各同类项的系数对应相等.如f(x)=ax 2+bx+c,g(x)=(a+b)x 2+(a-1)x,若f(x)≡g(x),则有⎩⎨⎧==g(0)f(0)g(1)f(1)或⎪⎩⎪⎨⎧==+=0.c 1,-a b b,a a 3.使用待定系数法解题的基本步骤:第一步,设出含有待定系数的解析式.第二步,根据恒等条件,列出含待定系数的方程或方程组(有时用赋值法,有时用对应项系数相等法,大多用后一种方法).第三步,解方程或方程组或消去待定系数从而使问题获解.备用习题1.已知函数f(x)=ax 2+bx+c 的图象经过点(-1,3)和(1,1),若0<c<1,则实数a 的取值范围是( )A.［2,3］B.［1,3］C.(1,2)D.(1,3)解析：⇒⎩⎨⎧=++=+1c b a 3c b -a a+c=2⇒c=2-a. ∵0<c<1,∴0<2-a<1.∴1<a<2.故选C.答案：C2.已知a>0,a-b+c<0,其中a,b,c 均是实数,则一定有( )A.b 2-4ac>0B.b 2-4a c≤0C.b 2-4ac<0D.b 2-4ac≥0解析：令f(x)=ax 2-bx+c.又a-b+c<0,则f(1)=a-b+c<0,且a>0,于是f(x)=ax 2-bx+c 与x 轴有两交点,所以Δ=b 2-4ac>0,故选A.答案：A3.阅读下面文字后解答问题.有这样一道题目:“已知二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(0,a)、B(1,-2),_______,求证:这个二次函数图象的对称轴是直线x=2.”请你根据已有的信息,在原题中的横线上添加一个适当的条件,把原题补充完整.解析：根据条件得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+∙+∙=∙+∙.22,211,0022ab c b a a b a解之,得⎪⎩⎪⎨⎧===1.c -4,b 1,a∴二次函数为y=x 2-4x+1.根据求出的二次函数解析式再任意写出一个要求补充的条件即可.例如c=1或b=-4;经过点(-1,6)或(4,1)或(2,-3)等等即可.说明:本题是一个条件开放题,所填答案不唯一,只需写出一个符合题意的答案即可,实际上先求出二次函数的解析式后,再去寻求条件就容易多了.4.已知函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0且bc≠0),(1)若｜f(0)｜=｜f(1)｜=｜f(-1)｜=1,试求f(x)的解析式;(2)令g(x)=2ax+b,若g(1)=0,又f(x)的图象在x 轴上截得的弦的长度为l,且0<l≤2,试确定c-b 的符号.解析：(1)由已知｜f(1)｜=｜f(-1)｜,有｜a+b+c ｜=｜a-b+c ｜,(a+b+c)2=(a-b+c)2.可得4b(a+c)=0.∵bc≠0,∴b≠0.∴a+c=0.又由a>0,有c<0,∵｜c ｜=1,于是c=-1,则a=1,｜b ｜=1.∴f(x)=x 2±x -1.(2)g(x)=2ax+b,由g(1)=0,有2a+b=0,由于a>0,于是b<0.设方程f(x)=0的两根为x 1、x 2,∴x 1+x 2=a b -=2,x 1·x 2=ac , 则｜x 1-x 2｜=212214)(x x x x ∙-+=.44a c ∙- 由已知0<｜x 1-x 2｜≤2,∴0≤a c <1. 又a>0，bc≠0,∴c>0.∴c -b>0.。

张喜林制2.2.3 待定系数法教材知识检索考点知识清单(1)为求出一个正比例函数，可设正比例函数为____，其中 待定．(2)如果已知函数是二次函数，则可设所求函数为 或 或 ．(3)-般地，在求一个函数的解析式时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求的函数写为____，其中____待定，然后根据题设条件求出这些 系数，这种通过求来确定变量之间的关系式的方法叫做 ．要点核心解读1．待定系数法(1)待定系数法的概念要确定变量间的函数关系，根据所给条件设出某些待定系数，并确定这一关系式的基本表达形式，从而求出表达式中含有的待定系数的方法，叫做待定系数法．(2)待定系数法的理论依据其理论依据是多项式恒等原理，也就是依据了多项式),()(x g x f ≡即对于一个任意的a 值，都有 ),()(a g a f ≡或者两个标准多项式中各同类项的系数对应相等，利用待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出含有未定系数的等式，运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解．(3)利用待定系数法解决问题的步骤①设出含有待定系数的解析式；②根据恒等条件，列出含待，定系数的方程或方程组；③解方程或方程组求出待定系数，从而使问题得到解决．2．运用待定系数法求已学函数解析式的常见设法(1)已知正比例函数，可设解析式为),0(=/=k kx y 再利用一个独立条件求k ．(2)已知一次函数，可设解析式为),0(=/+=k b kx y 再利用两个独立条件确定k 与b ．(3)已知反比例函数，可设解析式为),0(=/=k xk y 再利用一个独立条件确定k ． (4)已知二次函数，求其解析式．根据所给条件的不同选择合适的待定系数，可使问题简化，常见方法有：①已知顶点坐标为（h ，k ），可设顶点式),0()(2=/+-=a k h x a y 再利用一个独立条件求a ；②已知对称轴方程为,h x =可设顶点式k h x a y +-=2)(),0(=/a 再利用两个独立条件确定a 和k ；③已知函数的最大值或最小值为k ，可设顶点式),0()(2=/+-⋅=a k h x a y 再利用两个独立条件确定a 与h ；④已知函数与x 轴只有一个交点(h ，0)，可设交点式),0()(2=/-=a h x a y 再利用一个独立条件确定a ；⑤已 知函数与x 轴有两个交点),0,(),0,(21x x 可设交点式=y ),0)()((21=/--a x x x x a 再利用一个独立条件确定a ⑥已知函数图象上两对称点),,(),,(21m x m x 可设对称点式).(1x x a y -=),0()(2=/+-a m x x 再利用一个独立条件确定a ；⑦已知函数图象上的三点，可设一般式⋅=/++=)0(2a c bx ax y典例分类剖析考点1 用待定系数法求一次函数的解析式[例1](1)一个正比例函数的图象通过点（1，-2），求这个正比例函数的解析式．(2)若).(x f 为一次函数，且满足,21)]([x x f f +=求).(x f[解析] (l)设所求函数为),0(=/=k kx y 其中k 待定．由已知条件得.2,12-=⋅=-k k 得因此，所求函数为.2x y -=(2)首先设),0()(=/+=k b kx x f 然后将)]([x f f 表示出来，利用对应系数相等即可求得k 、b ．设,21)]([),0()(2x b kb x k x f f k b kx x f +=++==/+=则 对比系数得⎩⎨⎧=+=,1,22b kb k 解得⎪⎩⎪⎨⎧--=-=12,2b k 或⎪⎩⎪⎨⎧-==.12,2b k 故122)(---=x x f 或.122)(-+=x x f[点拨] 利用待定系数法求函数的解析式，应知函数解析式的形式．母题迁徙1.-次函数在y 轴上的截距是1，且与反比例函数的图象交于点P(l ，3)，求一次函数与反比例函数的解析式．考点2用待定系数法求二次函数的解析式[例2] 已知二次函数的图象的顶点是（1，-3），且经过点P(2，0)，求这个函数的解析式．[解析]此题已知图象上的两点，如果用一般式，似乎差一个条件，但考虑对称轴及顶点坐标公式，就可以列出三元一次方程组．解法一：设所求函数的解析式为⋅=/++=)0(2a c bx x a y由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++-=++,12,024,3ab c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.0,6,3c b a∴ 函数的解析式为.632x x y -=解法二：设所求函数的解析式为⋅=/++=)0(2a c bx ax y 由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-=++③②①..344,12,0242ab ac a b c b a 由②得④.2a b -= 把④代入③得⑤即.3,34442-=--=-a c aa ac 把④代入①得.0=c把c=0代入⑤得.3=a把a=3代入④得.6-=b∴ 函数的解析式为.632x x y -=解法三：设所求函数的解析式为,)(2k h x a y +-=则顶点坐标为(h ，k)，而已知顶点为（1，-3），可得,3,1-==k h 即所求的二次函数为.3)1(2--=x a y 又 ∵ 图象经过点P(2，0)，.3,3)12(02=∴--=∴a a∴函数的解析式为.633)1(322x x y x y -=--=，即解法四：设二次函数为),)((21x x x x a y --= 21.x x 是图象与x 轴两交点的横坐标．∵ 图象与x 轴的一个交点为(2，0)，且对称轴是,1=x 故图象与x 轴的另一个交点为(0，0)． ,2,021==∴x x故所求的函数解析式为⋅-=--=)2()20(x ax x x a y ）（又二次函数的顶点为（1，-3）,.3),21(13=∴-⨯⨯=-∴a a故所求的函数解析式为.63),2(32x x y x x -=-=即γ[点拨]根据题设条件适当选择二次母题迁徙 2．（2012年广东模拟)已知二次函数).(x f 满足如下条件：①图象过原点；);20002(-⋅+-x f ②x x f =)(③方程有重根，试求).(x f 解析式．考点3待定系数法的应用[例3] (1)分解因式;276222-+--y y xy x(2)若,111132++-=-+x B x A x x 求A ，B 的值； (3)将)2(1+n n 写成两式的差． [解析]),2)(32(62)1(22y x y x y xy x -+=---=+-++=-+--∴2222)2)(32(2762x b y x a y x y y xy x .)23()2(62ab y a b x b a y xy +-+++-⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+∴,2,723,02ab a b b a 解得⎩⎨⎧=-=.1,2b a⋅+--+=-+--∴)12)(232(276222y x y x y y xy x,1)()(11113)2(22--++=++-=-+x B A x B A x B x A x x ⎩⎨⎧=-=+∴,1,3B A B A 解得⎩⎨⎧==.1,2B A (3)设,2)2(1+⋅-=+n B n A n n 则,)2(1)2(2)()2(2+=++-=+-+n n n n A n B A n n Bn A An ⎩⎨⎧==-∴,12,0A B A ⋅==∴21,21B A 故⋅+-=+)2(2121)2(1n n n n 母题迁徙3．(1)在有理数范围内分解因式+-233x x ;1+x(2)若,11)1)(1(233222-+++=+-+-x C x B Ax x x x x 求A ，B ，C ．优化分层测训学业水平测试1．函数).(x f 为一次函数，且,0)1(,2)1(=--=f f 则)(x f 为( )．1.-x A 1.--x B 1.+-x C 1.+x D2．如果一次函数的图象过点(1，0)及点(0，1)，则此一次函数的解析式为( )．1+-=⋅x y A 1+=⋅x y B 1-=⋅x y C 1--=⋅x y D3．已知函数q px x x f ++=2)(满足=)1(f ,0)2(=f 则=-)1(f4．已知函数)(x f y =的图象如图2 -2 -3 -l 中线段AB(不包括右端点)，则)(x f 的解析式为=)(x f5．已知)(x f 为一次函数，且=+)2(3)1(2f f ,1)0()1(2,3-=--f f 求⋅)(x f6．已知)(x f 为二次函数，且=-=--=)0(,7)2(,3)2(f f f ,3-求⋅)(x f高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．已知二次函数的图象的顶点为（2，-1），且过点(3，1)，则该函数的解析式为( )．1)2(22--=⋅x y A 1)2(22-+=⋅x y B 1)2(22++=⋅x y C 1)2(22+-=⋅x y D2．二次函数2ax y =的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后所得新函数的解析式为( )． 3)2(2+-=⋅x a y A 3)2(.2--=x a y B 3)2(2++=⋅x a y C 3)2(2-+=⋅x a y D3．函数1)2(2-++=m x m y m 是正比例函数，那么m 的值是( )．2.-A 1.B 0.C 21.-或D4．已知一次函数1,=+=x b kx y 时，,2-=y 且它的图象与y 轴的交点的纵坐标为-5，那么它的解析式为( )．53+=⋅x y A 53--=⋅x y B 53+-=⋅x y C 53-=⋅x y D5．过点A （-2，3）的反比例函数的解析式是( )．x y A 6=⋅ x y B 6-=⋅ x y C 23=⋅ x y D 23-=⋅ 6．已知抛物线过（-1，O ），(2，7)，(1，4)三点，则其解析式为( )． 352312+-=⋅x x y A 352312++=⋅x x y B 352312-+=⋅x x y C 352312--=⋅x x y D 7．已知),)(1(322b ax x x x +-=-+则a 、b 的值为( )．21.、A 23.、B 32.、C 32.--D 8．将二次函数2x y =的图象沿y 轴向下平移^个单位，再沿x 轴向左平移k 个单位得到322+-=x x y的图象，则h 、k 的值分别为( )．12.--、A 12.-、B 12.、-C 12.、D 二、填空题（5分×4 =20分）9．（2006年福建高考题）已知)(x f 是二次函数，不等式0)(<x f 的解集是(0，5)，且)(x f 在区间[ -1，4]上的最大值是12，则)(x f 的解析式是10.（2005年江苏高考题）已知a ，b 为常数，若++=x x x f 4)(2,2410)(,32++=+x x b ax f 则=-b a 511.如图2-2 -3 -2所示为某桥桥洞的横断面，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面的高度为 米．12．多项式m y x y xy x +++--865622能够分解成两个一次因式的乘积，则m 的值为三、解答题（10分×4 =40分）13.（福建高考节选）已知)(x f 是二次函数，不等式0)(<x f 的解集是},50|{<<x x 且)(x f 在区间[ -1，4]上的最大值是12，求)(x f 的解析式．14.若一次函数的图象经过点),0,25(且与坐标轴围成的三角形的面积为,425求该函数的解析式．15.已知函数b a bax x x f ,)(2<+=为常数）且方程012)(=+-x x f 的两个实根为,4,321==x x 求函数 )(x f 的解析式．16.设).(x f 是定义在R 上的偶函数，当)(,1x f y x =-≤时的图象是经过点（-2，0）且斜率为1的射线，又在)(x f y =的图象中，有一部分是顶点在(0，2)，且过点（-1，1）的一段抛物线，试写出函数)(x f的表达式.。

高中数学第二章函数2.2.3待定系数法练习（含解析）新人教B版必修1课时过关·能力提升1反比例函数的图象经过点(-2,3),则其还经过点()A.(-2,-3)B.(3,2)C.(3,-2)D.(-3,-2)解析设反比例函数为f(x)=(k≠0),则3=,k=-6,即f(x)=,故其还经过点(3,-2).答案C2二次函数y=x2+ax+b,若a+b=0,则它的图象必经过点()A.(-1,-1)B.(1,-1)C.(1,1)D.(-1,1)解析当x=1时,y=12+a×1+b=a+b+1=1,因此图象一定经过定点(1,1).答案C3已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为(2,-1),与y轴的交点为(0,11),则()A.a=1,b=-4,c=11B.a=3,b=12,c=11C.a=3,b=-6,c=11D.a=3,b=-12,c=11解析由已知可设二次函数f(x)=a(x-2)2-1(a≠0).因为点(0,11)在二次函数f(x)=a(x-2)2-1的图象上,所以11=4a-1,解得a=3.所以f(x)=3(x-2)2-1=3x2-12x+11.故a=3,b=-12,c=11.答案D4已知x3+2x2-5x-6=(x+a)(x+b)(x+c),则a,b,c的值分别为()A.1,2,3B.1,-2,-3C.1,-2,3D.1,2,-3解析∵(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc=x3+2x2-5x-6,∴解得a=1,b=-2,c=3.答案C5设函数f(x)=若f(-1)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为()A.1B.2C.3D.4解析由f(-1)=f(0),f(-2)=-2,可得解得故f(x)=令f(x)=x,解得x=2或x=-2.答案B6抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A与点B,与y轴相交于点C,如果OB=OC=OA,那么b的值为()A.-2B.-1C.-D.解析由图象可知c>0,且B(c,0),A(-2c,0).设f(x)=a(x-c)(x+2c),则a(x-c)(x+2c)=ax2+bx+c,即ax2+acx-2ac2=ax2+bx+c.故即ac=-,b=-.答案C7已知一次函数的图象经过(5,-2)和(3,4),则这个函数的解析式为.解析设一次函数为y=kx+b(k≠0),则有解得答案y=-3x+138如图所示为二次函数y=ax2+bx+c的图象,则该函数的解析式为.解析设二次函数为y=a(x+1)(x-3).∵点(0,-2)在图象上,∴-2=a(0+1)(0-3).∴a=.∴y=(x+1)(x-3)=x2-x-2.答案y=x2-x-29已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图象与x轴的两交点间的距离为6,则这个二次函数的解析式为.解析由题意知,抛物线的对称轴为x=4,抛物线与x轴的两交点坐标是(1,0)与(7,0),如图所示.设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由条件可得抛物线的顶点为(4,-3),且过点(1,0)和(7,0),将三个点的坐标代入,得解得故所求二次函数的解析式为f(x)=x2-x+.答案f(x)=x2-x+10抛物线经过点(2,-3),它与x轴交点的横坐标是-1和3.(1)求出抛物线的解析式.(2)用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标.(3)画出草图.(4)观察图象,x取何值时,函数值y小于零?x取何值时,y随x的增大而减小?解(1)设抛物线的解析式为f(x)=a(x+1)(x-3)(a≠0).因为抛物线经过点(2,-3),所以-3=a(2+1)(2-3),解得a=1.故抛物线的解析式为f(x)=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.(2)f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4.由此可知抛物线的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-4).(3)抛物线的草图如图所示.(4)由图象可知,当x∈(-1,3)时,函数值f(x)小于零;当x∈(-∞,1]时,f(x)随x的增大而减小.★11已知定义在[-6,6]上的奇函数f(x),在[0,3]上为一次函数,在[3,6]上为二次函数,且x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3,f(6)=2,求f(x)的解析式.解当x∈[3,6]时,∵f(x)≤f(5)=3,∴设f(x)=a(x-5)2+3(a≠0).又f(6)=2,∴f(6)=a(6-5)2+3=2,解得a=-1.∴f(x)=-(x-5)2+3,x∈[3,6].∴f(3)=-(3-5)2+3=-1.故x∈[0,3]和x∈[3,6]时,f(x)的图象均过点(3,-1).∵当x∈[0,3]时,f(x)为一次函数,∴设f(x)=kx+b(k≠0).∵f(x)在[-6,6]上是奇函数,∴f(0)=0,∴b=0,即f(x)=kx(k≠0).将点(3,-1)代入,得-1=3k,即k=-.故f(x)=-x,x∈[0,3].因此,f(x)=又f(x)为奇函数,∴当x∈[-3,0]时,f(x)=-f(-x)=-x.当x∈[-6,-3]时,f(x)=-f(-x)=(-x-5)2-3=(x+5)2-3.∴f(x)=★12已知直线AB过x轴上的一点A(2,0)且与抛物线y=ax2相交于点B(1,-1)与点C.(1)求直线和抛物线的解析式.(2)问抛物线上是否存在一点D,使S△OAD=S△OBC?若存在,求出点D坐标;若不存在,请说明理由.解(1)设直线的解析式为y=kx+b.∵直线过点A(2,0),B(1,-1),∴解得k=1,b=-2,∴直线的解析式为y=x-2.又抛物线y=ax2过点B(1,-1),∴a=-1,∴抛物线的解析式为y=-x2.(2)直线与抛物线相交于B,C两点,故解得B,C两点坐标为B(1,-1),C(-2,-4),由图可知,S△OBC=S△OAC-S△OAB=×|-4|×2-×|-1|×2=3.假设抛物线上存在一点D,使S△OAD=S△OBC,设D(m,-m2),可得S△OAD=×2×m2=m2,即m2=3,故m=或m=-,即存在这样的点D(,-3)或D(-,-3)满足题意.。

2.2.3待定系数法本节教材分析一三维目标1 知识与能力目标（1）了解待定系数法的含义。

（2）掌握用待定系数法求解函数解析式。

（3）让学生利用已知条件设立恰当的函数解析式用待定系数法求二次数解析式；2过程与方法目标让学生在经历方程与识图的过程中，培养学生独立分析问题、解决问题的能力,提升数学思维意识3 情感态度与价值观目标（1）。

让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣。

（2）培养学生创新学习，合作学习的意识。

二教学重点掌握用待定系数法求函数解析式。

三教学难点不同条件下，用待定系数法求二次函数的解析式的方法。

四教学建议待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。

使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。

所以讲解本节课时关键是引导学生怎样找确定的数学表达式。

重点讲解不同条件下二次函数关系式的确定方法。

新课导入设计导入一：采用复习常见函数的一般形式导入新课，让学生观察常见的函数比如一次函数、二次函数的标准形式，然后提问学生，只要确定了哪些量，函数的解析式就是确定的了。

从而引入待定系数法的概念。

导入二：复习初中学过的一次函数图像，可以先画一个一次函数的图像，并确定图像上的两个点的坐标，让学生求一次函数解析式，由此引入新课。

五、教学过程教学环节教学内容师生互动复习引入1、正比例函数、一次函数的几析式？2、正比例函数、一次函数的几析式中各有几个需要确定的系数？教师通过多媒体展示问题，学生思考后回答. 定义：在求一个函数时，如果已知这个函数的一般式，可以先把所求函数设为一般式，其中系数待定，然后根据题设条件求出这些待定系数的方法叫待定系数法.例：二次函数的运用概念形成已知二次函数f(x），f（0）=-5,f(-1)=-4,f(2)=5,求这个函数.运用待定系数法解题步骤：第一步：设出适当含有待定系数的解析式；第二步：根据已知条件，列出含有待定系数的方程组；第三步：解方程组，或消去待定系数，进而解决问题.二次函数在待定系数法中的设法：设法1：已知顶点坐标（m,n）,可设y=a22)(nmx+-,再利用一个独立条件，求a.设法2：已知对称轴x=m,设.)(2bmxay+-=利用两个独立条件求a,b.设法3：已知最大或最小值n，可设nhxay++=2)(，利用两个独立条件，求a,h.设法4：二次函数图像与x轴有两个交点时，设),)((21xxxxy--=再利用一个独立条件求a.练习：求下列二次函数的解析式①经过三点（3，0），（0，-3），（-2，5）②顶点(4,2),(2,0)在图像上③hxxy+-=42的顶点在14--=xy上学生分组讨论并总结.每种结论给出相应练习.学生到黑板板演.概念深化给定哪些条件，才能求出一个具体的二次函数. 学生分小组讨论，进行探索与研究.应用举例一根弹簧原长是12厘米，它能挂的重量不超过15kg，并且每挂重量1kg就伸长0.5厘米，挂后的弹簧长度y(cm)与挂重（kg）是一次函数的关系.（1）求y与x的函数解析式；（2）求自变量x的取值范围；（3）画出这个函数的图像.例题由学生扮演完成，对出现的问题及时给予纠正。

2.2.3 待定系数法学习目标：1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式．(重点)2.掌握待定系数法的特征及应用，了解待定系数法在函数中的应用．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]待定系数法的定义一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．思考：待定系数法求函数解析式的步骤有哪些？[提示] (1)根据题设条件，设出含有待定系数的该函数解析式的恰当形式． (2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程(组)．(3)解方程(组)，求出待定系数的值(或消去待定系数，从而使问题得到解决)． (4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式．[基础自测]1．思考辨析(1)确定一次函数的解析式只需要二个条件即可．( )(2)一个反比例函数的图象过(2,8)点，则其解析式为y ＝－16x .( ) (3)一次函数的图象经过点(1,3)，(3,4)，则其解析式为y ＝12x ＋52.( ) [解析] (1)√ 确定一次函数的解析式，即确定k ，b 的值，因此需要列关于k ，b 的两个二元一次方程求解．(2)× 反比例函数图象过点(2,8)则其解析式为y ＝16x .(3)√ 设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ，把(1,3)，(3,4)代入得⎩⎨⎧k ＋b ＝33k ＋b ＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝52，所以解析式为y ＝12x ＋52.[答案] (1)√ (2)× (3)√2．若函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P (3，－2)和Q (－1,2)，则这个函数的解析式为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝x ＋1C ．y ＝－x －1D ．y ＝－x ＋1D [把点P (3，－2)和Q (－1,2)的坐标分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧－2＝3k ＋b ，2＝－k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝1.所以y ＝－x ＋1，故选D.]3．已知一个二次函数的顶点坐标为(0,4)，且过(1,5)点，则这个二次函数的解析式为( )【导学号：60462146】A ．y ＝14x 2＋1 B ．y ＝14x 2＋4 C ．y ＝4x 2＋1D ．y ＝x 2＋4D [设该二次函数的解析式为y ＝a (x －0)2＋4，即y ＝ax 2＋4，(1,5)代入，得a ＋4＝5，所以a ＝1，故解析式为y ＝x 2＋4.]4．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5满足条件f (－1)＝f (3)，则f (2)的值为________． 5 [∵f (3)－f (－1)＝8a ＋4b ＝0， ∴4a ＋2b ＝0， ∴f (2)＝4a ＋2b ＋5＝5.][合 作 探 究·攻 重 难]待定系数法求一次函数的解析式【导学号：60462147】(2)已知一次函数的图象与x 轴交点的横坐标为－32，并且当x ＝1时，y ＝5，则这个一次函数的解析式为______．[解析] (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f [f (x )]＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝4x ＋3，所以⎩⎨⎧k 2＝4，kb ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧ k ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝－3.所以函数的解析式为f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.(2)设所求的一次函数为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由题意知一次函数图象上有两个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0和(1,5)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧0＝－32k ＋b ，5＝k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝3，所以y ＝2x ＋3.[答案] (1)2x ＋1或－2x －3 (2)y ＝2x ＋3[规律方法] 用待定系数法求一次函数解析式的具体步骤： (1)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)； (2)根据题意列出关于k 和b 的方程组； (3)求出k ，b 的值，代入即可． [跟踪训练]1．一次函数的图象经过点(2,0)和点(－2,1)，则此函数的解析式为________． y ＝－14x ＋12 [设函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点(2,0)和(－2,1)代入解析式，得⎩⎨⎧0＝2k ＋b ，1＝－2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.所以函数的解析式为y ＝－14x ＋12.]待定系数法求二次函数的解析式2(1)图象过点(2,0)，(4,0)，(0,3)； (2)图象顶点为(1,2)，并且过点(0,4)；(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．[思路探究] 设二次函数的解析式→列出含参数的方程(组)→解方程(组)→写出解析式[解] (1)由题意设二次函数的解析式为 y ＝a (x －2)(x －4)，整理，得y ＝ax 2－6ax ＋8a .又∵图象过点(0,3) ∴8a ＝3，∴a ＝38.∴解析式为y ＝38(x －2)(x －4)．(2)设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2＋2. 又∵图象过点(0,4) ∴a ＋2＝4，∴a ＝2. ∴解析式为y ＝2(x －1)2＋2. (3)设函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c .由题设知⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝1，c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝5，即⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝2，∴函数的解析式为y ＝x 2－2x ＋2.[规律方法] 求二次函数解析式，应根据已知条件的特点，灵活选用解析式的形式，利用待定系数法求解.(1)若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ，b ，c 为常数，a ≠0.(2)若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y ＝a (x －h )2＋k ，其中顶点为(h ，k )，a 为常数，a ≠0.(3)若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，则设所求二次函数为两根式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)，a 为常数，且a ≠0.)[跟踪训练]2．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的解析式.【导学号：60462148】[解] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0)由f (0)＝1得，c ＝1 ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝2x 即2ax ＋a ＋b ＝2x∴⎩⎨⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝－1. 所以f (x )＝x 2－x ＋1待定系数法的综合应用[1．根据函数图象求函数解析式的关键是什么？ 提示：观察函数图象的形状．图2-2-32．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图2-2-3所示，求该函数的解析式，并求出该函数的值域．提示：设二次函数解析式为y ＝a (x －1)2－1，(a ＞0)． 又函数过点(0,0)，故a ＝1，所以所求函数的解析式为y ＝(x －1)2－1(0≤x ＜3)． 由图可知该函数的取值满足－1＝f (1)≤f (x )＜f (3)＝3， 即该函数的值域为[－1,3)．如图2-2-4，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求此函数的解析式．图2-2-4[解] 设左侧的射线对应的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)，因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎨⎧k ＋b ＝1，b ＝2， 解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数解析式为y ＝－x ＋2(x ≤1)， 同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x ≥3)； 当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数．法一：(顶点式)设抛物线的方程为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a <0)，由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1，所以抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)． 法二：(一般式)设抛物线的方程为y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0,1≤x ≤3)． 因为其图象过点(1,1)，(2,2)，(3,1)，所以有⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝－2，所以抛物线对应的解析式为 y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)． 综上，函数的解析式为 y ＝⎩⎨⎧－x ＋2，(x <1)，－x 2＋4x －2，(1≤x <3)，x －2，(x ≥3).[规律方法] 1.由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数的图象组成，然后再在不同区间上，利用待定系数法求出相应的解析式．2．分段函数的表达式要注意端点值． [跟踪训练]3．已知二次函数图象与x 轴的交点为(－2,0)，(3,0)，且函数图象经过点(－1,8)，求二次函数解析式. 【导学号：60462149】[解] 法一：(一般式)设二次函数的表达式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0) 因为函数f (x )经过点(－2,0)，(3,0)和(－1,8)，所以⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝09a ＋3b ＋c ＝0a －b ＋c ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－2b ＝2c ＝12.所以二次函数的解析式为f (x )＝－2x 2＋2x ＋12.法二：(两根式)设二次函数解析式为f (x )＝a (x ＋2)(x －3)，又因为二次函数图象经过(－1,8)，所以－4a ＝8，即a ＝－2，所以二次函数解析式为f (x )＝－2(x ＋2)(x －3)，即f (x )＝－2x 2＋2x ＋12.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知2x 2＋x －3＝(x －1)(ax ＋b )，则a ，b 的值分别为( ) A ．2,3 B ．3,2 C ．－2,3D ．－3,2A [2x 2＋x －3＝ax 2＋(b －a )x －b ，根据恒等式⎩⎨⎧a ＝2，b －a ＝1，－3＝－b ，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3.] 2．已知函数f (x )＝ax 2＋k 的图象过点(1,7)和点(0,4)，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝3x 2＋4B ．f (x )＝2x 2＋5C ．f (x )＝3x 2＋2D ．f (x )＝5x 2＋4A [将(1,7)与(0,4)代入函数f (x )＝ax 2＋k 可得a ＝3，k ＝4.]3．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象顶点为(2,3)，且过点(3，－1)，则函数的解析式为________.【导学号：60462150】y ＝－4x 2＋16x －13 [由题意设函数的解析式为y ＝a (x －2)2＋3， 则－1＝a (3－2)2＋3，解得a ＝－4.]4．已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________.2 [f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3 ＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3， 又∵f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，∴⎩⎨⎧a 2＝12ab ＋4a ＝10b 2＋4b ＋3＝24，∴⎩⎨⎧ a ＝1b ＝3或⎩⎨⎧a ＝－1b ＝－7.∴5a －b ＝2.]5．已知二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式．[解] 法一：(一般式)设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由条件可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)和(7,0)．将三个点的坐标代入，得⎩⎨⎧－3＝16a ＋4b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，0＝49a ＋7b ＋c .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－83，c ＝73.∴所求二次函数解析式为y ＝13x 2－83x ＋73.法二：(两根式)∵抛物线与x 轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)． ∴设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)(x －7)， 把顶点(4，－3)代入得－3＝a (4－1)×(4－7)， 解得a ＝13.∴二次函数解析式为y ＝13(x －1)(x －7)，即y ＝13x 2－83x ＋73.。

2.2.3 待定系数法学习目标 1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求一元一次函数、一元二次函数及反比例函数解析式.2.掌握待定系数法的特征，会用待定系数法求解综合问题．知识点待定系数法思考1 若一个正比例函数y＝kx(k≠0)过点(2,3)．如何求这个函数解析式？思考2 在思考1中，求解析式的方法有什么特点？梳理 1.待定系数法定义一般地，在求一个函数时，如果知道________________，先把所求函数写为__________，其中系数待定，然后再根据__________求出这些待定系数．这种通过求________来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．2．几种基本初等函数的解析式(1)正比例函数的一般形式是________________．(2)一次函数的一般形式是________________．(3)反比例函数的一般形式是________________．(4)二次函数有三种常见形式，求解析式时，要根据具体情况，设出适当的形式：①一般式________________，这是二次函数的标准形式；②顶点式________________，其中________是抛物线的顶点；③知两根可设为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根，即抛物线与x轴两交点的横坐标．类型一待定系数法求解析式命题角度1 待定系数法求一次函数解析式例1 已知f(x)是一次函数，且有2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，求这个函数的解析式．反思与感悟在函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．跟踪训练1 已知函数f(x)是一次函数，且有f[f(x)]＝9x＋8，求此一次函数的解析式．命题角度2 待定系数法求二次函数解析式例2 二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，求这个二次函数的解析式．引申探究若二次函数f(x)满足f(2)＝f(4)＝0，且过点(0,6)，求这个二次函数的最值．反思与感悟二次函数常见的表达式有三种：一般式、顶点式、两根式，选择合适的表达式能起到事半功倍的效果．(1)一般地，若已知函数经过三点，常设函数的一般式；(2)若题目中出现顶点坐标、最大值、对称轴等信息时，我们可考虑函数的顶点式；(3)若题目中给出函数与x轴的交点或二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，可设函数的两根式．跟踪训练2 求下列二次函数的解析式．(1)已知y＝f(x)是二次函数，且图象过点(－2,20)，(1,2)，(3,0)；(2)已知二次函数的顶点为(－1，－2)，且图象经过点(2,25)；(3)已知二次函数与x轴交点为(－2,0)，(3,0)，且函数图象经过点(－1,8)．类型二 待定系数法的综合应用例3 如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式，并求该函数的值域．反思与感悟 由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后根据不同区间上的函数类型，利用待定系数法求出相应解析式．跟踪训练3 已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174，求 (1)f (x )的解析式；(2)求证f (x )在(12，＋∞)上为增函数．1．已知一个正比例函数的图象过点(2,8)，则这个函数的解析式为( ) A ．y ＝4x B ．y ＝－4x C ．y ＝14xD ．y ＝－14x2．已知一个一次函数的图象过点(1,3)(3,4)，则这个函数的解析式为( ) A ．y ＝12x －52B ．y ＝12x ＋52C ．y ＝－12x ＋52D ．y ＝－12x －523．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过(1,0)，(2,5)两点，则二次函数的解析式为( ) A ．y ＝x 2＋2x －3 B ．y ＝x 2－2x －3 C ．y ＝x 2＋2x ＋3D ．y ＝x 2－2x ＋64．二次函数的图象过原点，且顶点为(1,2)，那么二次函数的解析式为________． 5．如图是二次函数y ＝f (x )的图象，若x ∈[－2,1]，则函数f (x )的值域为________．1．求待定系数的方法——列方程组(1)利用对应系数相等列方程(组)； (2)由恒等的概念用数值代入法列方程(组)；(3)利用定义本身的属性列方程(组)．2．待定系数法的适用条件要判定一个问题是否能用待定系数法求解，主要看所求的数学问题是否具有确定的数学表达式．例如，求具体函数解析式时即可用待定系数法求解．答案精析问题导学 知识点思考1 ∵函数y ＝kx 过点(2,3)， ∴3＝k ·2，即k ＝32，∴函数为y ＝32x .思考 2 先设出(给出)函数解析式的一般形式，再根据已知条件确定解析式中待确定的系数． 梳理1．这个函数的一般形式 一般形式 题设条件 待定系数 2.(1)y ＝kx (k ≠0，k 是常数) (2)y ＝kx ＋b (k ≠0，k ，b 是常数) (3)y ＝kx(k ≠0，k 是常数) (4)①y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) ②y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0) (h ，k ) 题型探究例1 解 设所求的一次函数是f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，其中k ，b 待定. 根据已知条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b －k ＋b ＝5，2b －－k ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧k －b ＝5，k ＋b ＝1，解此方程组，得k ＝3，b ＝－2. 因此所求的函数是y ＝3x －2.跟踪训练1 解 设该一次函数是y ＝ax ＋b ，由题意得f [f (x )]＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝9x ＋8.因此有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝9，ab ＋b ＝8，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－4.所以一次函数为f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4. 例2 解 设二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，方法一 则顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b2a ＝2， ①4ac －b 24a ＝3， ②又二次函数过点(3,1)， ∴1＝9a ＋3b ＋c .③ 联立方程①②③解方程组， 得：a ＝－2，b ＝8，c ＝－5， ∴二次函数解析式为y ＝－2x 2＋8x －5.方法二 设二次函数顶点式方程为y ＝a (x －2)2＋3， ∵二次函数图象过点(3,1)， ∴1＝a ×1＋3， ∴a ＝－2，∴y ＝－2(x －2)2＋3，即y ＝－2x 2＋8x －5.引申探究 解 设二次函数的两根式为y ＝a (x －2)(x －4)， ∴6＝a ×(－2)×(－4)， ∴a ＝34，∴y ＝34x 2－92x ＋6.当x ＝3时，函数的最小值为－34，无最大值．跟踪训练2 解 (1)设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－2b ＋c ＝20，a ＋b ＋c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝6，∴y ＝x 2－5x ＋6. (2)设y ＝a (x ＋1)2－2， ∴25＝a ×32－2， ∴a ＝3， ∴y ＝3x 2＋6x ＋1. (3)设y ＝a (x ＋2)(x －3)， ∴a ×1×(－4)＝8，∴a ＝－2，∴y ＝－2x 2＋2x ＋12.例3 解 设左侧的射线对应的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)，因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1，b ＝2，解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数的解析式为y ＝－x ＋2(x <1)，同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x >3)． 当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数． 设其方程为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a ＜0)， 由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1， 所以抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)．综上，函数的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 x ＜，－x 2＋4x －x，x －x ，由图象可知函数的最小值为1，无最大值， 所以，值域为[1，＋∞)．跟踪训练3 (1)解 ∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴－ax －b x ＋c ＝－ax －b x －c ， ∴c ＝0，∴f (x )＝ax ＋b x. 又f (1)＝52，f (2)＝174，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174，∴a ＝2，b ＝12.∴f (x )＝2x ＋12x.(2)证明 设x 1，x 2∈(12，＋∞)且x 1＜x 2.则f (x 2)－f (x 1)＝(2x 2＋12x 2)－(2x 1＋12x 1)＝2(x 2－x 1)＋x 1－x 22x 1x 2＝(x 2－x 1)4x 1x 2－12x 1x 2.∵x 2＞x 1＞12，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞14，∴4x 1x 2＞1，∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在(12，＋∞)上是增函数．当堂训练1．A 2.B 3.A 4.y ＝－2x 2＋4x 5．[0,4]。

2.2.3 待定系数法整体设计教学分析在初中阶段，学生已经对待定系数法有了认知基础．由于待定系数法是解决数学问题的重要方法，所以本节进一步学习．教材利用实例引入了待定系数法，并且通过两个例题介绍了其应用．值得注意的是本节重点应放在运用待定系数法求函数的解析式上，对于其他方面的应用不必过多延伸．三维目标1．了解待定系数法，通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲，培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力．2．掌握用待定系数法求函数解析式的方法及其应用，提高学生解决问题的能力．重点难点教学重点：待定系数法及其应用．教学难点：待定系数法的应用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.已知一次函数y＝f(x)的图象经过点(1,2)和(2，－1)，求一次函数y＝f(x)的解析式，我们用什么方法？(待定系数法)教师指出本节课题．思路 2.这节课我们学习求一次函数和二次函数解析式的方法——待定系数法，教师指出本节课题．推进新课新知探究提出问题①两个关于x 的一元多项式ax 2－x ＋4与2x 2＋bx ＋c 相等，即任意x ∈R ，总有ax 2－x ＋4＝2x 2＋bx ＋c ，求a ，b ，c 的值.②两个一元多项式相等的条件是什么？③已知一次函数y ＝f x 的图象经过点1，2和2，－1，求一次函数y ＝f x 的解析式即前面导入中的问题. ④这种求函数解析式的方法称为什么？⑤待定系数法有什么优点？讨论结果：①a＝2，b ＝－1，c ＝4.②两个一元多项式分别整理成标准式(按降幂排列)之后，当且仅当它们对应同类项的系数相等，则称这两个多项式相等．③设f(x)＝kx ＋b(k≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝2，2k ＋b ＝－1，解得k ＝－3，b ＝5.即f(x)＝－3x ＋5.④待定系数法．⑤待定系数法的特点是先根据数量之间的关系所具有的形式，假定一个含有待定的系数的恒等式，然后根据恒等式的性质列出几个方程，解这个方程组，求出各待定系数的值或从方程组中消去这些待定系数，找出原来那些已知系数之间的关系，从而使问题得到解决．应用示例思路1例1已知一个二次函数f(x)，f(0)＝－5，f(－1)＝－4，f(2)＝－5，求这个函数．解：设所求函数为f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c 待定．根据已知条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧0＋0＋c ＝－5，a －b ＋c ＝－4，4a ＋2b ＋c ＝5， 解此方程组，得a ＝2，b ＝1，c ＝－5.因此所求函数为f(x)＝2x 2＋x －5. 点评：求二次函数解析式可用待定系数法，已知图象上任意三点的坐标时，二次函数解析式设为一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)；已知顶点坐标时，二次函数解析式设为顶点式y ＝a(x －m)2＋n(a≠0)比较简便；已知抛物线与x 轴的两个交点的坐标，或一个交点的坐标及对称轴方程或顶点的横坐标时，二次函数解析式设为零点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)比较简便.例2已知y ＝f(x)是一次函数，且有2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，求这个函数的解析式．解：设f(x)＝kx ＋b(k≠0)，其中k ，b 待定．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2(2k ＋b)－3(k ＋b)＝5，2b －(－k ＋b)＝1，解得k ＝3，b ＝－2，即这个函数的解析式f(x)＝3x －2.点评：用待定系数法求函数解析式的一般步骤是：(1)设出函数解析式，其中包括待定的系数；(2)把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组．(3)解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数解析式.思路2例1已知f(x)＝ax ＋7，g(x)＝x 2＋2x ＋b ，且f(x)＋g(x)＝x 2＋22x ＋9，试求a 、b 的值．解：f(x)＋g(x)＝ax ＋7＋x 2＋2x ＋b ＝x 2＋(2＋a)x ＋(7＋b)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝22，7＋b ＝9，解得a ＝2，b ＝2.点评：对任意x∈R ，f(x)＝ax 2＋bx ＋c ＝a′x 2＋b′x＋c′⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝a′，b ＝b′，c ＝c′.例2一根弹簧原长是12厘米，它能挂的重量不超过15 kg ，并且每挂重量1 kg 就伸长0.5厘米，挂后的弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)是一次函数的关系．(1)求y 与x 的函数解析式；(2)写出函数的定义域；(3)画出这个函数的图象．解：(1)设y ＝kx ＋b(k≠0)．由于弹簧原长是12厘米，则f(0)＝12，所以b ＝12，每挂重量1kg 就伸长0.5厘米，则k ＝0.5，所以y 与x 的函数解析式是y ＝0.5x ＋12.(2)[0,15]．(3)图象如下图所示．点评：解决本题的关键是审清题意，读懂题．弹簧原长是12厘米是指当x ＝0时，y ＝12；每挂重量1 kg 就伸长0.5厘米，是指斜率k ＝0.5.知能训练1．已知在x 克a%的盐水中，加入y 克b%的盐水，浓度变为c%，将y 表示成x 的函数关系式( )A ．y ＝c －a c －b xB ．y ＝c －a b －cx C ．y ＝c －b c －a x D ．y ＝b －c c －ax 解析：由题意得xa%＋yb%x ＋y ＝c%，解得y ＝c －a b －cx.答案：B2．二次函数的图象过点A(0，－5)，B(5,0)两点，它的对称轴为直线x＝3，求这个二次函数的解析式．解：∵二次函数的图象过点B(5,0)，对称轴为直线x＝3，∴设抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为(x1,0)，则对称轴：x＝x1＋x22，即5＋x12＝3，∴x1＝1.∴C点的坐标为(1,0)．设二次函数解析式为y＝a(x－1)(x－5)，又∵图象过A(0，－5)，∴－5＝a(0－1)(0－5)，即－5＝5a.∴a＝－1.∴y＝－(x－1)(x－5)＝－x2＋6x－5.拓展提升二次函数图象经过点(1,4)，(－1,0)和(3,0)三点，求二次函数的解析式．解法一：设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵二次函数图象过点(1,4)，(－1,0)和(3,0)，∴a＋b＋c＝4，①a－b＋c＝0，②9a＋3b＋c＝0，③解得a＝－1，b＝2，c＝3，∴函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3.解法二：∵抛物线与x轴相交两点(－1,0)和(3,0)，∴1＝－1＋32.∴点(1,4)为抛物线的顶点．设二次函数解析式为y＝a(x＋h)2＋k，∴y＝a(x－1)2＋4.∵抛物线过点(－1,0)，∴0＝a(－1－1)2＋4，得a＝－1.∴函数的解析式为y＝－1(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.解法三：由题意可知两根为x1＝－1、x2＝3，设二次函数解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，∵函数图象过点(1,4)，∴4＝a(1＋1)(1－3)，得a＝－1.∴函数的解析式为y＝－1(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.课堂小结本节课学习了待定系数法及其应用．作业课本本节练习B 1、2.设计感想本节教学设计中，注重了待定系数法的应用，其理论基础只是简单地作了介绍，这符合课程标准．教师在实际教学中可以对教材适当拓展以适应高考的要求．备课资料待定系数法1．要确定变量间的函数关系，根据所给条件设出某些未定系数，并确定这一关系式的基本表达形式，从而进一步求出表达式中含有的未定系数的方法，叫做待定系数法．其理论依据是多项式恒等原理．也就是依据了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)．或者两个标准多项式中各同类项的系数对应相等．待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出含有未定系数的等式．运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．要判断一个问题是否用待定系数法求解．主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式．如果具有，就可以用待定系数法求解．例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解．使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步，设出含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出含待定系数的方程或方程组；第三步，解方程或方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决．2．运用待定系数法求二次函数的解析式时，一般可设出二次函数的一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，但如果已知函数的对称轴或顶点坐标或最值，则解析式设为y＝a(x－h)2＋k会使求解比较方便，具体来说：(1)已知顶点坐标为(m，n)，可设y＝a(x－m)2＋n，再利用一个独立条件求a；(2)已知对称轴方程x＝m，可设y＝a(x－m)2＋k，再利用两个独立的条件求a与k；(3)已知最大值或最小值为n，可设y＝a(x＋h)2＋n，再利用两个独立条件求a与h；(4)二次函数的图象与x轴只有一个交点时，可设y＝a(x＋h)2，再利用两个独立条件求a与h.对于用待定系数法求二次函数的解析式，在课堂上要展开讨论，要让学生探索所需的已知条件，然后可由学生自行设计问题、解决问题．。

2.2.3待定系数法高一数学必修1第二章2.2.3第1课时学案学习目标1、 会求一些简单的系数；2、 会用待定系数法求函数的函数的解析式。

一．自主学习1、一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来 确定变量之间关系的方法叫做 。

2、两个一元多项式分别整理成标准式之后，当且仅当它们对应同类项的系数相等，则称这两个多项式相等，如:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇔++=++'''22c x b x a c bx ax3、二次函数解析式形式有哪几种？ （1）、 ；（2）、 ；（3）、 。

二．师生互动例1、已知一个二次函数5)2(,4)1(,5)0(),(=-=--=f f f x f ，求这个函数。

例2、已知)(x f y =是一次函数，且有1)1()0(2,5)1(3)2(2=--=-f f f f ，求这个函数的解析式.例3.已知函数f(x)是一次函数，且有f[f(x)]=9x+8，求此一次函数的解析式。

练习.已知二次函数y=f(x)满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,试求函数f(x)的解析式。

例4. 已知二次函数的图象通过A(2, －3)，B(－2, －7)，C(4, －7)三点，求该二次函数的解析式。

例5. 二次函数的图象与x 轴交于A(－2, 0),B(3, 0)两点，与y 轴交于点C(0, －3)，求此二次函数的解析式。

三．快乐体验1、如果二次函数12++=bx ax y 的图像的对称轴是1=x ，且通过点)7,1(-A ，则a ，b 的值分别是（ ）Ａ．2，4 Ｂ．2，－4 Ｃ．—2，4 Ｄ．—2,—42、函数132++-=x ax ax y 的图像与x 轴有且只有一个交点，那么a 的值为（ ）Ａ．0 Ｂ．0或1 Ｃ．0或1或9 Ｄ．0或1或9或12四．今天我学到了什么？。

【2019最新】高中数学第二章函数2-2一次函数和二次函数2-2-3待定系数法课堂探究 待定系数法课堂探究探究一用待定系数法求一次函数的解析式 用待定系数法求一次函数解析式的具体步骤： (1)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)； (2)根据题意列出关于k 和b 的方程组； (3)求出k ，b 的值，代入即可．【典型例题1】 已知一次函数的图象与x 轴交点的横坐标为－32，并且当x ＝1时，y ＝5，则这个一次函数的解析式为__________．解析：设所求的一次函数为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由题意知一次函数图象上有两个点3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭和(1,5)， 则有30,25,k b k b ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩解得23k b ⎧⎨⎩＝，＝， 所以y ＝2x ＋3. 答案：y ＝2x ＋3探究二 用待定系数法求二次函数的解析式 求二次函数解析式常见情形如下表：8，试求二次函数的解析式．解：方法1：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则24211484a b c a b c ac b a⎧⎪⎪⎪⎨⎪-⎪⎪⎩＋＋＝－，－＋＝－，＝，解得447.a b c ⎧⎪⎨⎪⎩＝－，＝，＝所以f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.方法2：因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为直线x ＝2(1)2+-＝12，又f (x )的最大值为8.所以可设f (x )＝a 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2＋8(a ≠0)， 则a 122⎛⎫-⎪⎝⎭2＋8＝－1，所以a ＝－4. 故f (x )＝－412x ⎛⎫-⎪⎝⎭2＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 方法3：由f (2)＝f (－1)＝－1，知f (x )＋1＝0的两根分别为2和－1，可设f (x )＋1＝a (x ＋1)(x －2)(a ≠0)，可得f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又f (x )max ＝24(21)4a a a a---＝8，解得a ＝－4或a ＝0(舍去)， 所以f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.探究三 已知函数图象求函数解析式1．由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数的图象组成，然后就在不同区间上，利用待定系数法求出相应的解析式．2．分段函数的表达式要注意端点值．【典型例题3】 如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．思路分析：由图象可知：①函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成；②当x ≤1或x ≥3时，函数解析式可设为y ＝kx ＋b (k ≠0)；③当1≤x ≤3时，函数解析式可设为y ＝a (x －2)2＋2(a ＜0)或y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)． 解：设左侧的射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)．因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故12k b b ⎧⎨⎩＋＝，＝，解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数解析式为y ＝－x ＋2(x ≤1)． 同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x ≥3)． 当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数．方法一：设函数解析式为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a ＜0)． 由点(1,1)在抛物线上，可知a ＋2＝1，所以a ＝－1. 所以抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)． 方法二：设函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0,1≤x ≤3)． 因为其图象过点(1,1)，(2,2)，(3,1)，所以有1422931a b c a b c a b c ⎧⎪⎨⎪⎩＋＋＝，＋＋＝，＋＋＝，解得142.a b c ⎧⎪⎨⎪⎩＝－，＝，＝－所以抛物线对应的解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)．综上，函数的解析式为y ＝22422x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩－＋，－＋－，－，1133.x x x <⎧⎪≤≤⎨⎪>⎩，，探究四易错辨析易错点 没有检验而导致失误【典型例题4】 已知f (x )是二次函数，不等式f (x )＜0的解集是{x |0＜x ＜5}，且f (x )在区间[－1,4]上的其中一个最值为12，求f (x )的解析式．错解：根据f (x )是二次函数，且f (x )＜0的解集是{x |0＜x ＜5}，可设f (x )＝ax (x －5)(a ≠0)．f (x )在[－1,4]上的其中一个最值为12，则有可能出现f (－1)＝12或f 52⎛⎫⎪⎝⎭＝12， 即6a ＝12或－254a ＝12，解得a ＝2或a ＝－4825. 综上可知，f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x 或f (x )＝－4825x ·(x －5)＝－4825x 2＋485x . 错因分析：没有对a 的值进行检验，而出现错解现象．正解：根据f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是{x|0＜x＜5}，可设f(x)＝ax(x－5)(a≠0)．f(x)在[－1,4]上的其中一个最值为12，则有可能出现f(－1)＝12或f52⎛⎫⎪⎝⎭＝12，即6a＝12或－254a＝12，解得a＝2或a＝－4825.当a＝2时，满足题意；当a＝－4825时，二次函数的图象开口向下，不符合f(x)＜0的解集是{x|0＜x＜5}，故舍去．综上，所求解析式为f(x)＝2x2－10x.点评在涉及二次函数、二次方程、二次不等式等含参数的问题时，一定要注意分类讨论思想的合理应用，更应该及时地检验所求结果是否满足已知条件，千万不要出现增解或漏解现象．。

第1课时 公式推导及简单应用学习目标 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个.3.能用a n 与S n 的关系求a n .知识点一 等差数列前n 项和公式思考 高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n ，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？答案 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ， 又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1， ∴2S n ＝(1＋n )＋[2＋(n －1)]＋… ＋[(n －1)＋2]＋(n ＋1)， ∴2S n ＝n (n ＋1)，∴S n ＝n n ＋12.梳理 等差数列的前n 项和公式：已知量 首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式 S n ＝n a 1＋a n2S n ＝na 1＋n n －12d知识点二 a 1，d ，n ，a n ，S n 知三求二思考 在等差数列{a n }中，若已知d ，n ，a n ，如何求a 1和S n ? 答案 利用a n ＝a 1＋(n －1)d 代入d ，n ，a n ，可求a 1，利用S n ＝n a 1＋a n2或S n ＝na 1＋n n －12d 可求S n .梳理 (1)两个公式共涉及a 1，d ，n ，a n 及S n 五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n 项和．(2)依据方程的思想，在等差数列前n 项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”．1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝S n －S n －1，n ∈N *.(×)2．等差数列的前n 项和，等于其首项、第n 项的等差中项的n 倍．(√)类型一 等差数列前n 项和公式的应用 命题角度1 a 1，d ，n ，a n ，S n 知三求二例1 已知一个等差数列{a n }的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？ 考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和有关的基本量计算问题 解 方法一 由题意知S 10＝310，S 20＝1220， 将它们代入公式S n ＝na 1＋n n －12d ，得到⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝310，20a 1＋190d ＝1220，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝6.∴S n ＝n ×4＋n n －12×6＝3n 2＋n .方法二 ∵S 10＝10a 1＋a 102＝310，∴a 1＋a 10＝62，①∵S 20＝20a 1＋a 202＝1220，∴a 1＋a 20＝122，②②－①，得a 20－a 10＝60， ∴10d ＝60， ∴d ＝6，a 1＝4. ∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝3n 2＋n .反思与感悟 (1)在解决与等差数列前n 项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用． (2)构成等差数列前n 项和公式的元素有a 1，d ，n ，a n ，S n ，知其三能求其二． 跟踪训练1 在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n . 考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和有关的基本量计算问题解 由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋n －1d ，S n ＝na 1＋n n －12d ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2n －1＝11，na 1＋n n －12×2＝35，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝5，a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.命题角度2 实际应用例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？考点 等差数列的前n 项和应用题 题点 等差数列前n 项和应用题解 设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20， 则a 1＝50＋1000×1%＝60，a 2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5，…a 10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5，即第10个月应付款55.5元．由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 所以有S 20＝60＋60－19×0.52×20＝1105，即全部付清后实际付款1105＋150＝1255.反思与感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．跟踪训练2 甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 考点 等差数列的前n 项和应用题 题点 等差数列前n 项和应用题解 (1)设n 分钟后第1次相遇，由题意， 得2n ＋n n －12＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0.解得n ＝7，n ＝－20(舍去)．所以第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第2次相遇，由题意， 得2n ＋n n －12＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0.解得n ＝15，n ＝－28(舍去)．所以第2次相遇是在开始运动后15分钟． 类型二 由S n 与a n 的关系求a n例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 考点 a n 与S n 关系 题点 由S n 公式求a n解 根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 可知S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1，n ∈N *)，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －12＋12n －1 ＝2n －12，①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式．∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12.∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12＝2，故数列{a n }是以32为首项，2为公差的等差数列．引申探究若将本例中前n 项和改为S n ＝n 2＋12n ＋1，求通项公式．解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋12n ＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －12＋12n －1＋1＝2n －12.①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12＋1＝52不符合①式．∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧52，n ＝1，2n －12，n ≥2，n ∈N *.反思与感悟 已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求得a n ，最后验证a 1是否符合n ≥2时a n 的表达式，若符合则统一用一个解析式表示．跟踪训练3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n，求a n . 考点 a n 与S n 关系 题点 由S n 公式求a n 解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n－3n －1＝2·3n －1.当n ＝1时，代入a n ＝2·3n －1得a 1＝2≠3.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2·3n －1，n ≥2，n ∈N *.1．在等差数列{a n }中，若S 10＝120，则a 1＋a 10＝________. 考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和有关的基本量计算问题 答案 24 解析 由S 10＝10a 1＋a 102，得a 1＋a 10＝S 105＝1205＝24.2．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 为________． 考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和有关的基本量计算问题 答案 3解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝2a 1＋d ＝4，S 4＝4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.方法二 由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，所以20－4＝4＋4d ，解得d ＝3.3．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________. 考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列前n 项和与中间项的关系 答案 190 解析 S 19＝19a 1＋a 192＝19a 10＋a 102＝19a 10＝19×10＝190.4．已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)，则a n ＝________. 考点 a n 与S n 关系 题点 由S n 公式求a n答案3(n＋1)解析由a1＋2a2＋…＋na n＝n(n＋1)(n＋2)，①得a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)n (n ＋1)，② ①－②，得na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1) ＝n (n ＋1)[(n ＋2)－(n －1)]＝3n (n ＋1)， ∴a n ＝3(n ＋1)(n ≥2)．又当n ＝1时，a 1＝1×2×3＝6也适合上式， ∴a n ＝3(n ＋1)，n ∈N *. 5．已知在等差数列{a n }中：(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1022，求d . 考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和有关的基本量计算问题 解 (1)∵S n ＝n ×32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×n n －12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0，解得n ＝12或n ＝－5(舍去)，a 12＝32＋(12－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.∴n ＝12，a n ＝a 12＝－4. (2)由S n ＝n a 1＋a n2＝n 1－5122＝－1022，解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ， 解得d ＝－171.1．求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到． 2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量．若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)；若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .3．由S n 与a n 的关系求a n 主要使用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.一、填空题1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－1，则a 4＝________.考点a n与S n关系题点 由S n 公式求a n答案 7解析 a 4＝S 4－S 3＝(42－1)－(32－1)＝7.2．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为________．考点 等差数列前n 项和题点 求等差数列的前n 项和答案 10000解析 由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝100[a 1＋b 1＋a 100＋b 100]2＝50×(25＋75＋100)＝10000.3．在－20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为________． 考点 等差数列前n 项和题点 求等差数列的前n 项和答案 100解析 S 10＝10×－20＋402＝100. 4．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9为________．考点 等差数列前n 项和题点 求等差数列的前n 项和答案 36解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36. 5．在等差数列{a n }中，若S 10＝4S 5，则a 1d＝________.考点 等差数列前n 项和性质运用题点 两等差数列和之比与项之比问题答案 12解析 由题意得10a 1＋12×10×9d ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋12×5×4d ， ∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ， ∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.6．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为______．考点 等差数列前n 项和题点 求等差数列的前n 项和答案 665解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665. 7．在等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10＝________.考点 等差数列前n 项和题点 求等差数列的前n 项和答案 －15解析 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10a 1＋a 102＝10a 3＋a 82＝10×－32＝－15. 8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18＝________.考点 a n 与S n 关系题点 由S n 公式求a n答案 34解析 方法一 a 2＝S 2－S 1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1， a 18＝S 18－S 17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.∴a 2＋a 18＝34.方法二 a 2＋a 18＝a 1＋a 19，S 19＝19a 1＋a 192＝192－2×19， ∴a 1＋a 19＝34，即a 2＋a 18＝34.9．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．考点 等差数列的前n 项和应用题题点 等差数列前n 项和应用题答案 10解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.∴当n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．10．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. 考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和有关的基本量计算问题 答案 15解析 设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1， S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.11．在等差数列{a n }中，a n ＝2n ＋3，前n 项和S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，则a －b ＋c ＝________.考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和综合问题答案 －3解析 因为a n ＝2n ＋3，所以a 1＝5，S n ＝5＋2n ＋3n 2＝n 2＋4n ，与S n ＝an 2＋bn ＋c 比较，得a ＝1，b ＝4，c ＝0，所以a －b ＋c ＝－3.二、解答题12．已知等差数列{a n }的前三项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2550，求a 及k . 考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和有关的基本量计算问题 解 设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3a ＝2×4，d ＝4－a ，ka ＋k k －12d ＝2550，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，d ＝2，k ＝50，(k ＝－51舍)∴a ＝2，k ＝50.13．已知数列{a n }的所有项均为正数，其前n 项和为S n ，且S n ＝14a 2n ＋12a n －34.(1)证明：{a n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．考点 a n 与S n 关系题点 由S n 和a n 递推式求通项(1)证明 当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34， 解得a 1＝3或a 1＝－1(舍去)．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n ＋2a n －3)－14(a 2n －1＋2a n －1－3)． 所以4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝2(n ≥2)． 所以数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列．(2)解 由(1)知a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.三、探究与拓展14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 200＝________.考点 等差数列的前n 项和题点 等差数列前n 项和综合问题答案 100解 因为A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )， 所以a 1＋a 200＝1，所以S 200＝200a 1＋a 2002＝100.15．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c ，求非零常数c . 考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和综合问题解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根． 又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n n －12×4＝2n 2－n ， ∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c. ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c . ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12(c ＝0舍去)． 经检验，c ＝－12符合题意， ∴c ＝－12. 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。