高中数学方法篇之待定系数法

1 2 1 x－ 2 2 1 2,3)且经过点
(3,1)求这个二次函数的解析式.
解：因为二次函数的顶点坐标是(2,3),
所以设二次函数为 y a x 2 3
2
又因为图象经过点(3,1)
从而有 1 a 3 2 3 解得a=-2
2、方法提炼： (1)求二次函数设一般式是通法 (2)已知顶点（对称轴或最值），往往设顶点式 (3)已知图像与x轴有两交点，往往设两根式
作业:P62练习A练习B P63习题2-2A 习题2-2B
a 3 a 3 解得 b 2 或 b 4
所以一次函数为f(x)=3x+2或f(x)=－3x－4.
总结：
1、待定系数法解题的基本步骤是什么？
第一步：设出含有待定系数的解析式；
第二步：根据恒等的条件，列出含待定 系数的方程或方程组； 第三步：解方程或方程组，从而使问题 得到解决。
0 0 c 5 根据已知条件得方程组 a b c 4 4a 2b c 5 解方程组得a=2，b=1，c=－5.
中a，b，c待定，
因此，所求函数为f(x)=2x2+x－5.
待定系数法解题的基本步骤是什么？ 第一步：设出含有待定系数的解析式； 第二步：根据恒等的条件，列出含待定系 数的方程或方程组； 第三步：解方程或方程组，从而使问题得 到解决。
k=－ 2 .
所以所求的正比例函数是y=－ 2 x.
待定系数法:
一般地，在求一个函数时，如果知道
这个函数的一般形式，可先把所求函数写
为一般形式，其中系数待定，然后再根据 题设条件求出这些待定系数. 这种通过求
待定系数来确定变量之间关系式的方法叫

第8讲 基于数学核心素养的解题方法——待定系数法（一）待定系数法是一种常用的数学方法，对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程（组）或不等式（组），解之即得待定的系数.【例1】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为 ( )()A ()B ()C 4 ()D 8【答案】C .【解析】x y 162=的准线:4l x =-.∵C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =∴(4,A -，(4,B --.设222:(0)C x y a a -=>，则222(4)4a =--=，得2a =，24a =.故选C . 【反思】本题考察双曲线与抛物线的性质.【例2】已知等差数列{}n a 的前n 项和为55=5=15n S a S ，，，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为 ( )A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100【答案】A.【解析】通过已知55=5=15a S ，，列式求解，得到公差与首项，从而得{}n a 的通项公式，进一步裂项求和：设等差数列{}n a 的公差为d ，则由55=5=15a S ，可得1114=5=1=54=15=152n a d a a n d a d +⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⨯+⎩⎪⎩. ∴()11111==11n n a a n n n n +-++. ∴100111111100=1=1=223100*********S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选A.【反思】考察等差数列的通项公式和前项和公式的运用，并涉及裂项求和的综合运用.【例3】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y .若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =( )A 、 B、 C 、4 D 、【答案】B.【解析】设抛物线方程为()220y px p =>,则焦点坐标为（,02p ），准线方程为=2p x-.∵点M 在该抛物线上，∴点M 到该抛物线焦点的距离等于到准线的距离，即3==，解得，01,p y ==.∴M （.∴||OM ==故选B.【反思】本题是对抛物线定义的考察.【例4】已知椭圆经过点2)-和点(-，则椭圆的标准方程为（ ） A.221515x y += B.221155x y += C.221412x y +=D.221124xy += 【答案】B.【解析】设椭圆的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠.由点2)-和点(-都在椭圆上，得2222(3)(2)1(23)11m n m n ⎧⋅+⋅-=⎪⎨⋅-+⋅=⎪⎩，解得11,155m n ==. 故所求椭圆的标准方程为221155x y += 【反思】待定系数法对于椭圆方程的设法具有一定的讲究，方程设的好，可以简化计算.待定系数法主要培养了学生的数学运算能力。

数学人教B必修1第二章2.2.3 待定系数法1．了解待定系数法的概念．2．掌握用待定系数法求函数的解析式．3．理解待定系数法的适用范围及注意事项．1．待定系数法的概念一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的______，可先把所求函数写为一般形式，其中______待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过__________来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．利用待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出含有未知系数的等式．运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．要判断一个问题是否能用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解，其基本步骤如下：(1)设出含有待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组；(3)解方程或方程组求出待定系数，从而使问题得到解决．【做一做1】若f(x)为一次函数，且满足f[f(x)]＝1＋2x，则f(x)的解析式为________．2．二次函数的三种表示形式(1)一般式：________________，其中____决定开口方向与大小，____是y轴上的截距，而__________是对称轴．(2)顶点式(配方式)：______________，其中______是抛物线的顶点坐标，______是对称轴．(3)两根式(因式分解)：________________，其中x1，x2是抛物线与x轴两个交点的______．【做一做2－1】已知抛物线经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则抛物线的解析式为() A．y＝－x2－4x－1B．y＝x2－4x－1C．y＝x2＋4x－1D．y＝－x2－4x＋1【做一做2－2】已知二次函数的图象过(0,1)，(2,4)，(3,10)三点，则这个二次函数的解析式为__________．确定二次函数解析式所需的条件剖析：二次函数解析式的求法有以下几种情况：(1)已知三点坐标，求解析式．可将函数解析式设为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．将点的坐标分别代入所设解析式，列出关于a，b，c的三元一次方程组，解出a，b，c即可．(2)已知顶点坐标为(m，n)，可设y＝a(x－m)2＋n，再借助于其他条件求a.(3)已知对称轴方程为x＝m，可设y＝a(x－m)2＋k，再借助于其他条件求a与k.(4)已知最大值或最小值为n，可设y＝a(x－h)2＋n，再借助于其他条件求a和h.(5)二次函数的图象与x轴只有一个交点时，可设y＝a(x－h)2，再借助于其他条件求a 和h.(6)已知二次函数图象与x轴有两个交点x1，x2时，可设y＝a(x－x1)(x－x2)，再借助于其他条件求a.题型一用待定系数法求函数解析式【例1】求下列函数的解析式：(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )．(2)已知二次函数y ＝f (x )的图象过A (0，－5)，B (5,0)两点，它的对称轴为直线x ＝2，求这个二次函数的解析式．分析：对于(1)可设出一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，对于(2)可设出二次函数的顶点式或一般式，利用待定系数法求出解析式．反思：通过解决本题，我们可得出：利用待定系数法求函数的解析式的具体做法是先根据题目中给出的函数类型设出解析式的一般形式，再由已知条件列方程或方程组，然后求出待定系数即可．当已知函数的类型，如二次函数、一次函数、反比例函数等，可以设出所求函数的一般形式，如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，y ＝kx ＋b (k ≠0)，y ＝k x(k ≠0)等．设待定系数本着“宁少勿多”的原则进行，注意提炼解题过程，简化解方程的途径．题型二 已知函数图象求函数解析式【例2】如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．分析：由图象可知：①函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成；②当x ≤1或x ≥3时，函数解析式可设为y ＝kx ＋b (k ≠0)；③当1≤x ≤3时，函数解析式可设为y ＝a (x －2)2＋2(a ＜0)或y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)． 反思：由函数图象求函数的解析式，关键是观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后针对不同区间上的函数，利用待定系数法求出相应的解析式．题型三 易错辨析【例3】已知f (x )是二次函数，不等式f (x )＜0的解集是{x |0＜x ＜5}，且f (x )在区间[－1,4]上的其中一个最值为12，求f (x )的解析式．错解：根据f (x )是二次函数，且f (x )＜0的解集是{x |0＜x ＜5}，可设f (x )＝ax (x －5)． 又∵f (x )在[－1,4]上的其中一个最值为12，则有可能出现f (－1)＝12或f ⎝⎛⎭⎫52＝12，即6a ＝12或－254a ＝12，解得a ＝2或a ＝－4825. 综上可知f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x 或f (x )＝－4825x (x －5)＝－4825x 2＋485x . 反思：在涉及二次函数、二次方程、二次不等式等含参数的问题时，一定要注意分类讨论思想的合理应用，更应该及时地检验所求结果是否满足已知条件，千万别出现增解或漏解现象．1若函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P (3，－2)和Q (－1,2)，则这个函数的解析式为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝x ＋1C ．y ＝－x －1D ．y ＝－x ＋12已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的最大值为2，图象顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象过点(3，－6)，则a ，b ，c 的值为( )A ．－2,4,0B ．4，－2,0C ．－4，－2,0D ．－2，－4,03已知f (x )＝x 2，g (x )是一次函数，且是增函数，若f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，则g (x )＝__________.4已知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)与直线y ＝kx ＋1(k ≠0)交于两点，其中一交点为(1,4)，则另一交点为______．5已知二次函数f (x )图象的对称轴是直线x ＝－1，并且经过点(1,13)和(2,28)，求二次函数f (x )的解析式．答案：基础知识·梳理1．一般形式 系数 求待定系数【做一做1】f (x )＝－2x －2－1或f (x )＝2x ＋2－1 已知f (x )为一次函数，可以使用待定系数法．设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f [f (x )]＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ，利用对应系数相等即可求得k ＝－2，b ＝－2－1或k ＝2，b ＝2－1.2．(1)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) a c x ＝－b 2a(2)f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0) (h ，k ) x ＝h (3)f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0) 横坐标【做一做2－1】A 设所求解析式为y ＝a (x ＋2)2＋3(a ≠0)．∵抛物线过点(－3,2)，∴2＝a ＋3.∴a ＝－1，∴y ＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1.【做一做2－2】f (x )＝32x 2－32x ＋1 根据题意设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，然后将图象所经过的三个点的坐标分别代入方程，联立三个方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝a ·02＋b ·0＋c ，4＝a ·22＋b ·2＋c ，10＝a ·32＋b ·3＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－32，c ＝1.故f (x )＝32x 2－32x ＋1. 典型例题·领悟 【例1】解：(1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (2)解法一：利用二次函数的顶点式．设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)，把点A (0，－5)，B (5,0)的坐标代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧ －5＝4a ＋k ，0＝9a ＋k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－9，a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －2)2－9，即f (x )＝x 2－4x －5.解法二：利用二次函数的一般式．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －5＝c ，0＝25a ＋5b ＋c ，即⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝－5，5a ＋b －1＝0.①② 又∵对称轴为x ＝2，∴－b 2a＝2. ∴b ＝－4a .③ 由①②③，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－4，c ＝－5.因此所求函数的解析式为f (x )＝x 2－4x －5.【例2】解：设左侧的射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)．因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1，b ＝2， 解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数解析式为y ＝－x ＋2(x ≤1)．同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x ≥3)．当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数．解法一：设函数解析式为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a ＜0)．由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1.所以抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)．解法二：设函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0，1≤x ≤3)．因为其图象过点(1,1)，(2,2)，(3,1)， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝4，c ＝－2. 所以抛物线对应的解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)．综上，函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2，－x 2＋4x －2，x －2， x <1，1≤x <3，x ≥3.【例3】错因分析：没有对a 的值进行检验，而出现错解现象．正解：根据f (x )是二次函数，且f (x )＜0的解集是{x |0＜x ＜5}，可设f (x )＝ax (x －5)． 又∵f (x )在[－1,4]上的其中一个最值为12，则有可能出现f (－1)＝12或f ⎝⎛⎭⎫52＝12，即6a ＝12或－254a ＝12，解得a ＝2或a ＝－4825. 当a ＝2时，满足题意；当a ＝－4825时，二次函数的图象开口向下，不符合f (x )＜0的解集是{x |0＜x ＜5}，故舍去．综上，所求解析式为f (x )＝2x 2－10x .随堂练习·巩固1．D 把点P (3，－2)和Q (－1,2)的坐标分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝3k ＋b ，2＝－k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－1，b ＝1. ∴y ＝－x ＋1，故选D.2．A 由已知可设此二次函数为y ＝a (x －h )2＋2(a ≠0)．∵图象顶点在直线y ＝x ＋1上，∴2＝h ＋1，得h ＝1.又图象过点(3，－6)，∴－6＝a (3－1)2＋2.∴a ＝－2.∴y ＝－2(x －1)2＋2＝－2x 2＋4x .∴a ＝－2，b ＝4，c ＝0.3．2x －5 设g (x )＝kx ＋b (k ＞0)，则f [g (x )]＝g 2(x )＝(kx ＋b )2＝k 2x 2＋2kbx ＋b 2＝4x 2－20x ＋25，比较系数可得k ＝2，b ＝－5.∴g (x )＝2x －5.4．⎝⎛⎭⎫－14，14 将(1,4)的坐标分别代入y ＝ax 2与y ＝kx ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝a ，4＝k ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，k ＝3.再联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x 2，y ＝3x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝4或⎩⎨⎧ x ＝－14，y ＝14.5．分析：设出二次函数的顶点式，利用待定系数法求函数f (x )的解析式． 解：设f (x )＝a (x ＋1)2＋k (a ≠0)．由题意，得f (1)＝13，f (2)＝28，则有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋k ＝13，9a ＋k ＝28， 解得a ＝3，k ＝1，所以f (x )＝3(x ＋1)2＋1.。

高中数学解题基本方法--待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。

使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。

例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。

如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利用几何条件列方程。

比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。

Ⅰ、再现性题组：1.设f(x)＝x2＋m，f(x)的反函数f-1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。

A. 52, －2 B. －52， 2 C.52, 2 D. －52，－22.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－12,13)，则a＋b的值是_____。

A. 10B. －10C. 14D. －143.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。

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第二章 函 数
解：因为已知函数 f(x)的顶点为(1，4)，故设二次函数的解析 式为 f(x)＝a(x－1)2＋4(a≠0)， 又经过(－1，0)， 所以 0＝a(－1－1)2＋4，所以 a＝－1， 所以 f(x)＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3， 所以 f(x)＝－x2＋2x＋3．
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第二章 函 数
由函数图象求函数的解析式，关键在于分析图象由哪几种函 数组成，然后就每一类函数利用待定系数法求相应解析式．
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第二章 函 数
在体育测试时，高一的一名高个男同学推铅球， 已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图 所示．
如果这个男同学出手处 A 点的坐标是(0，2)，铅球路线的最 高处 B 点的坐标是(6，5)．
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第二章 函 数
二次函数常见的表达式有三种：一般式、顶点式、两根式， 选择合适的表达式能起到事半功倍的效果． (1)一般地，若已知函数经过三点，常设函数的一般式； (2)若题目中出现顶点坐标、最大值、对称轴等信息时，我们 可考虑函数的顶点式； (3)若题目中给出函数与 x 轴的交点或二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0 的两根，可设函数的两根式．
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第二章 函 数
3．已知抛物线 y＝ax2(a≠0)与直线 y＝kx＋1(k≠0)交于两点， 其中一交点为(1，4)，则另一交点为________． 解析：将(1，4)的坐标分别代入 y＝ax2 与 y＝kx＋1， 得44＝＝ak，＋1，解得ak＝＝43，. 再联立yy＝ ＝43xx2＋，1，解得xy＝＝41，，或xy＝＝14－. 14， 答案：－14，14
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第二章 函 数
求二次函数的解析式 已知二次函数的图象过点(1，4)，且与 x 轴的交点为 (－1，0)和(3，0)，求函数的解析式．

知识导航待定系数法是一种求未知数的常用方法，在解答高中数学问题中应用广泛.在解题时，通过引入两个或者多个待定系数，建立方程或者方程组，求出待定的系数，便可快速求得问题的答案.下面，我们主要探讨一下如何运用待定系数法求函数的解析式、数列的通项公式、曲线的方程.一、运用待定系数法求函数的解析式待定系数法是求函数解析式的常用方法.在运用待定系数法求函数的解析式时，首先要明确问题中所求函数的类型，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等，然后引入待定系数，设出函数的解析式，将函数解析式代入题设中进行求解，建立方程或者方程组，通过解方程或者方程组求出系数，进而得到函数的解析式.例1.已知f(x)是二次函数，满足f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1.求f(x)的解析式.分析：由题意可知该函数为二次函数，可设f(x)=ax2+bx+c，然后根据已知条件建立关于a、b、c的方程组，通过解方程组得到a、b、c的值，进而求出f(x)的解析式.解:设f(x)=ax2+bx+c，由f(x+1)-f(x)=2x可得a(x+1)2+b(x+1)+c-ax2+bx+c=2x，化简得2ax+a+b=2x，而f(0)=1，则c=1，则2a=2ax，a+b=0，解得a=1，b=-1，所以f(x)=x2-x+1.二、运用待定系数求数列的通项公式有些非常规数列的递推式较为复杂，我们需用待定系数法，巧妙地将非常规的数列转化为等差数列或等比数列，从而快速求出数列的通项公式.在解题时，需根据已知递推式的特点引入待定系数，如将an+1=ka n+b（k,b为常数，且k、b≠0）型递推式设为an+1+A=k(a n+A)的形式，将a n+2=ka n+1+ba n（k,b为常数，且k,b≠0）型递推式设为a n+2+Aa n+1=B(a n+1+Aan)的形式等，再根据两个多项式的同类项系数相等的原理求出待定系数，从而构造出等差、等比数列，最后运用等差、等比数列的通项公式便可求得原数列的通项公式.例2.若数列{a n}满足a1=1，且a n+1=3a n+2×2n，求数列{a n}的通项公式.分析：我们可引入待定系数λ，将递推公式转化为an+1+λc n+1=k(a n+λc n)的形式，即设a n+1+λ2n+1=3(a n+λ2n)，求出λ值，即可构造出等比数列{}an+λ2n，便能求得原数列的通项公式.解：设a n+1+λ2n+1=3()an+λ2n，即an+1=3a n+3λ2n-λ2n+1=3a n+λ2n，则λ=2，所以{}an+2n+1是首项为a1+22=5，公比为3的等比数列.则an+2n+1=5×3n-1，即a n=5×3n-1-2n+1，当n=1时,a1=5×30-22=1，满足上述通项公式，所以an=5×3n-1-2n+1.三、运用待定系数法求曲线的方程求曲线的方程主要是指求圆、直线、抛物线、椭圆、双曲线的方程.在求曲线的方程时，可以灵活运用待定系数法来求解.首先根据曲线的类型设出相应曲线的方程，然后根据题意列出关系式，求出待定系数，便可求得曲线的方程.例3.已知经过p(-2，1)点的圆与直线x-y=1相切，并且圆心在直线y=-2x上，求圆的方程.解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，由圆经过p(-2，1)点可得（-2-a）2+（1-b）2=r2，①而直线x-y=1与圆相切，所以r=，②由圆心在直线y=-2x上可得b=-2a，③由①②③可得a=9，b=-18，r=142或a=1，b=-2，c=22.故圆的方程为(x-9)2+(y+18)2=392或(x-1)2+(y+2)2=8.总之，待定系数法是一种重要的解题方法.运用待定系数法解题的思路是构建模型——设出系数——建立方程或者关系式——求出系数.同学们在解题的过程中只要明确所求目标和已知条件之间的联系，适当地引入待定系数，建立方程或者关系式，便能使问题顺利获解.（作者单位：南京师范大学附属扬子中学）37。

高中数学待定系数法
摘要：
一、待定系数法的基本概念
二、待定系数法的应用
三、待定系数法的优缺点
四、总结
正文：
一、待定系数法的基本概念
待定系数法是数学中一种常用的方法，主要运用于函数的解析和求解。

它通过设定一个待定系数，然后利用已知的条件来求解这个系数，从而得到函数的解析式。

二、待定系数法的应用
待定系数法可以广泛应用于各种数学问题，包括求解二次方程、求解函数的极值、求解最值问题等。

它最大的优点是可以将复杂的数学问题转化为简单的代数运算，使得问题变得容易求解。

三、待定系数法的优缺点
待定系数法的优点在于它的通用性和灵活性，可以应用于各种数学问题。

同时，它也存在一些缺点，比如在求解一些复杂数学问题时，可能需要设定多个待定系数，使得问题变得复杂。

四、总结
待定系数法是一种非常有用的数学方法，可以用于解决各种数学问题。

它
的优点在于它的通用性和灵活性，而缺点在于在解决一些复杂问题时可能需要设定多个待定系数。

三、待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。

使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。

例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。

如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利用几何条件列方程。

比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。

Ⅰ、再现性题组：1.设f(x)＝x2＋m，f(x)的反函数f-1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。

A. 52, －2 B. －52， 2 C.52, 2 D. －52，－22.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－12,13)，则a＋b的值是_____。

A. 10B. －10C. 14D. －143.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。

第14讲 基于数学核心素养的解题方法——待定系数法（二）本节练习参考答案1.设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若2232S a =+，4432S a =+，则q = ▲ ． 【答案】32. 【解析】用待定系数法将2232S a =+，4432S a =+两个式子全部转化成用1a ，q 表示的式子：111233111113232a a q a q a a q a q a q a q +=+⎧⎨+++=+⎩， 两式作差：2321113(1)a q a q a q q +=-，即：2230q q --=，解之得：32q =或1q =- (舍去). 2.如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ，过1.设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若2232S a =+，4432S a =+，则q = ▲ ． 2.如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ，过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，=3AF ，=1FB ，3=2EF ，则线段CD 的长为 ▲ .3.过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25,,12AB AF BF =<则AF = ▲ .点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，=3AF ，=1FB ，3=2EF ，则线段CD 的长为 ▲ .【答案】43. 【分析】∵=3AF ，=1FB ，3=2EF ，由相交弦定理得=AF FB EF FC ⋅⋅，∴=2FC . 又∵BD ∥CE ，∴=AF FC AB BD ，4==23AB BD FC AF ⋅⨯=83.设=CD x ，则=4AD x ，再由切割线定理得2=BD CD AD ⋅，即284=()3x x ⋅，解得4=3x ，故4=3CD . 3.过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25,,12AB AF BF =<则AF = ▲ .【答案】56. 【分析】设直线的方程为)21(-=x k y （由题意知直线的斜率存在且不为0），代入抛物线方程，整理得04)2(2222=++-k x k x k . 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12221x x k+=+.又∵2512AB =，∴1225112x x ++=.∴122132112x x k+==+，解得224k =.代入04)2(2222=++-k x k x k 得1214,33x x ==. ∵||||AF BF <，∴13x =.∴5||6AF =.。

高中数学解题方法系列：待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

（≡表示恒等于）待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。

使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。

例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。

待定系数法是中学数学中的一种重要方法，它在平面解析几何中有广泛的应用．(一)求直线和曲线的方程例1过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程．【解】设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得依题意，列方程得于是所求的直线方程为8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．【解说】(1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数．(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法．例2如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若系，求曲线C的方程．【解】如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N解之，得p=4，x1=1．故曲线C的方程为y2=8x(1≤x≤4，y＞0)．(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小．【解】设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)．从而由待定系数法，得a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为即(m2＋n2)(qx＋py)2=(q2+p2)(mx＋ny)2，化简、整理，得(nq-mp)[(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq＋mp)y2]=0．∵L1、L2是两条不重合的直线∴b2-4ac＝(mp+nq)2-4mnpq=(mp－nq)2＞0．即mp-nq≠0．从而(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0．把mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得bx2+2(c-a)xy-by2＝0．即为所求的两条角平分线方程．(2)显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°．当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则【解说】一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便．(三)探讨二次曲线的性质1．证明曲线系过定点例4求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2＋t＋1)x2+(t＋1)y2＋4t(t＋1)y-(109t2＋21t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标．【证明】把原方程整理成参数t的方程，得(4x2＋4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2＋y2-31=0．∵t是任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是：(1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程；(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组；(3)解这个方程组，即得定点坐标．2．求圆系的公切线或公切圆例5求圆系x2＋y2-2(2m＋1)x-2my＋4m2＋4m＋1=0(m≠0)的公切线方程．【解】将圆系方程整理为[x-(2m+1)]2＋(y-m)2=m2(m≠0)显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线．设它的公切线方程为y=kx＋b，则由圆心(2m＋1，m)到切线的距离等于半径|m|，得从而[(1-2k)m-(k＋b)]2＝m2(1＋k2)，整理成m的方程，得(3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0．∵m取零以外的任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出求圆系F(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是：(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx＋b，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m 的关系式f(k，b，m)=0；(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程G(m)=0．由于m∈R，从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；(4)解这个方程组，求出k、b的值；(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程．3．化简二元二次方程例6求曲线9x2＋4y2＋18x-16y-11=0的焦点和准线．【分析】把平移公式x=x′＋h，y=y′＋k，代入原方程化简．【解】(略)．例7．已知函数y ＝mx x n x 22431+++的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。

利用待定系数法求函数解析式
•
求下列函数的解析式．
• (1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x －1)＝2x＋17，求f(x)．
• (2)已知二次函数y＝f(x)的图象过A(0，－5)、 B(5,0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个 二次函数的解析式．
【思路探究】 (1) 设fx＝ax＋b ―→ 列方程 ―→ 求a，b (2) 设二次函数顶点式或一般式 ―→ 列方程组 ―→ 求系数 【自主解答】 (1)设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，则有 3f(x＋1) －2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b＝2x＋ 17，则ab＝ ＋25a＝17 ，∴a＝2，b＝7， 即 f(x)＝2x＋7.
书少成天才功就山壮是百=有艰分仰不之苦一路望的努的灵星勤感劳加空力上为动百，分，径+之脚正九老，十踏确九学的实大的汗水海地方！徒！无法伤+崖少悲苦谈作空话舟
课 标 1.了解待定系数法的概念； 解 2.会用待定系数法求函数的解析式． 读
待定系数法的定义
• 【问题导思】 • 已知一个正比例函数的图象过点（-3,4），如何求这
人教版高中数学必修一优秀课件：待 定系数 法PPT22
2．已知一个反比例函数的图象过(2,8)点，则这个函数的
解析式为( )
A．y＝4x
B．y＝－4x
C．y＝1x6
D．y＝－1x6
【解析】 设 y＝kx，∵过(2,8)点，∴8＝2k，∴k＝16，
即 y＝1x6.故选 C.
【答案】 C
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• 3．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x且 f(0)＝1，则f(x)的解析式为________．

2
3c . 2
b ) |) 2a | c| + | b | 2a
即
2a c = 3c , 所以 a2 = 3b 2 . 2 a + b 2
2
c=
a - b =
2
2
6a , 3
f ( 1) - f (- 1 ) | 4
故离心率 e = c = 6 . a 3 ( Ⅱ) 证明 : 由 ( Ⅰ) 知 a = 3 b , 所以椭圆
2 2 2
a= 1 b= 3
(- 5) + 24 = - 1 x = - 2.
由 f ( x ) = x + 4x + 3 = - 1, 即 f (- 2 ) = f (- 5a + b) = - 1. 5 a- b = 2, 故填 2.
评注: 方法 1 利用对应系数相等列方程 , 是解 决此类问题的基本方法 , 比较常用. 方法 2 任意值 法 , 解法灵活, 运算简捷, 但具有一定的思维能力. 例2 x x 已知二次函数 f ( x ) = ax + bx + c, 当 1 时, 有 - 1 2 时, 有 - 7 f ( x) f (x ) 1, 求证: 当 7.
2 2
2 + y 2 = 1 可化为 x 2 + 3y 2 = 3b 2 . 设 OM = ( x , y ) b
由已知得 ( x , y) = x= y= ( x1+ 即
2 2
( x 1, y 1) +
( x 2 , y 2)
x1 + y1+
2 2
x2 y2
2

M ( x , y ) 在椭圆上, y 2 ) = 3b

待定系数法在初中数学就已经涉及,主要应用其来求解函数解析式。

在高中阶段，仍然是数学解题的重要方法，接下来主要研究待定系数法在解题中的应用。

一、什么是待定系数法：待定系数法就是把具有某种确定形式的数学问题，引入一些待定的系数，然后列出系数相关的方程组来解出系数，从而求得相关答案.二、待定系数法的使用：如果所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，当未知表达式时,就可以用待定系数法求解表达式.例如很常见的：求函数解析式，数列通项、求和，解析几何中直线、圆以及圆锥曲线的方程,等这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。

当然，在其他的内容当中也会涉及到待定系数法.三、使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步,确定所求问题的表达式，列出含有待定系数的表达式；第二步，根据已知的恒等条件,列出一组含待定系数的方程;第三步，解方程组得出系数的值或者消去待定系数，从而使问题得到解决.下面来看几个常见的习题：来体会是如何利用待定系数法来解决的。

(一)求函数解析式：例1：已知()f x 是一次函数,且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+,求()f x 。

解:设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)333222f x f x ax a b ax a b +--=++-+-,5217ax b a x =++=+,2,517a b a =⎧∴⎨+=⎩，得2,7a b =⎧⎨=⎩，∴()27f x x =+.待定系数法求函数解析式，就是已知函数类型，设出待有未知系数的解析式,根据已知列出关于未知系数的方程或方程组，进行求解。

（二）求平面解析几何中曲线的方程：例2：已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(3,0)F -，一条渐20y -=.求双曲线C 的方程。

对于直线、圆、圆锥曲线，它们都有确定的方程表示，求解这些曲线的方程,就是求解当中系数的值，所以如同求函数解析式，根据已知列出关于未知系数的方程或方程组进行求解。

方法三待定系数法一、待定系数法：待定系数法是根据已知条件，建立起给定的算式和所求的结果之间的恒等式，得到以需要待定的系数为未知数的方程或方程组，解方程或方程组得到待定的系数的一种数学方法．待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。

使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.二、待定系数法解题的基本步骤：使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，从以下四个方面总结高考中的待定系数法.1．用待定系数法求曲线方程确定曲线方程常用的方法有定义法、直接法、待定系数法等，当已知曲线类型及曲线的几何性质时，往往利用待定系数法，通过设出方程形式，布列方程（组），使问题得到解决. 例1.【2018届江苏省镇江市高三上学期期末】已知圆与圆相切于原点，且过点，则圆的标准方程为__________．【答案】【解析】设圆的标准方程为，其圆心为，半径为∵可化简为∴其圆心为，半径为∵两圆相切于原点，且圆过点∴解得∴圆的标准方程为故答案为例2.【2018届山西省孝义市高三下学期名校最新高考模拟卷（一）】已知椭圆的左、右焦点分别为、，且点到椭圆上任意一点的最大距离为3，椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在斜率为的直线与以线段为直径的圆相交于、两点，与椭圆相交于、，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）.解析：(1)设，的坐标分别为，，根据椭圆的几何性质可得，解得，，则，故椭圆的方程为.(2)假设存在斜率为的直线，那么可设为，则由(1)知，的坐标分别为，，可得以线段为直径的圆为，圆心到直线的距离，得，，联立得，设，，则，得，，，解得，得.即存在符合条件的直线.2．用待定系数法求函数解析式利用待定系数法确定一次函数、二次函数的解析式，在教材中有系统的介绍，通过练习应学会“迁移”，灵活应用于同类问题解答之中.例3.【2018届湖南省长沙市长郡中学高三】已知函数的图象过点，且点是其对称中心，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的解析式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由函数f（x）过点（，2），（﹣，0）得：解得：∴f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∴g（x）=2sin2x，故答案为：A.例4.【2018届天津市耀华中学高三上学期第三次月考】若幂函数在上为增函数，则实数的值为_________.【答案】2例5.设是二次函数，方程有两个相等的实根，且．（Ⅰ）的表达式；（Ⅱ）若直线把的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求的值．【答案】（I）；（II）．【解析】试题分析：（1）由已知设，由，求出的值，由有两个相等实根有，求出的值，得出的表达式；（2）由题意有，解方程求出的值。

高一数学教案：待定系数法
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本文题目：高一数学教案：待定系数法
一. 学习目标
1.掌握常用函数的解析式形式;
2.掌握待定系数法求解析式的一般步骤;
二.知识点
1. 待定系数法定义
一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式, 可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做_________.
2. 利用待定系数法解决问题的步骤：。

求轨迹方程的常用方法一、求轨迹方程的一般方法：1,待定系数法：如果动点P的运动规律符合我们的某种曲线〔如圆、椭圆、双曲线、抛物线〕的定义,那么可先设出轨迹方程,再根据条件, 待定方程中的常数,即可得到轨迹方程,也有人将此方法称为定义法.2,直译法：如果动点P的运动规律是否符合我们熟知的某些曲线的定义难以判断, 但点P满足的等量关系易于建立,那么可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系, 再用点P的坐标〔x, y〕表示该等量关系式,即可得到轨迹方程.3 .参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,那么可寻求引发动点P运动的某个几何量t ,以此量作为参变数,分别建立P点坐标x, y与该参数t 的函数关系x = f〔t〕, y = g 〔t〕,进而通过消参化为轨迹的普通方程 F 〔x, y〕 =0.4 .代入法〔相关点法〕：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的, 而该点的运动规律,〔该点坐标满足某曲线方程〕,那么可以设出P 〔x, y〕,用〔x, y〕表示出相关点P'的坐标,然后把P'的坐标代入曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程.5 .几何法：假设所求的轨迹满足某些几何性质〔如线段的垂直平分线,角平分线的性质等〕,可以用几何法,列出几何式,再代入点的坐标较简单.6:交轨法：在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这类问题通常通过解方程组得出交点〔含参数〕的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程〔假设能直接消去两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程〕,该法经常与参数法并用.二、求轨迹方程的考前须知：1 . 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点P的运动规律, 即P 点满足的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变.2 .轨迹方程既可用普通方程F〔x,y〕 0表示,又可用参数方程x f〔t〕〔t为参数〕y g〔t〕来表示,假设要判断轨迹方程表示何种曲线,那么往往需将参数方程化为普通程的某些解为坐标的点不在轨迹上〕,又要检验是否丢解.〔即轨迹上方程.3.求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解, 〔即以该方的某些点未能用所求的方程表示),出现增解那么要舍去,出现丢解,那么需补充.检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形.4 .求轨迹方程还有整体法等其他方法.在此不一一缀述.三、典例分析1,用定义法求曲线轨迹求曲线轨迹方程是解析几何的两个根本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系,在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时,要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用,只要动点满足已知曲线定义时,通过待定系数法就可以直接得出方程.例1:ABC的顶点A, B的坐标分别为(-4 , 0) , (4, 0) , C为动点,且满足一一一5 .sin B sin A —sinC,求点C的轨迹.45 . . 5【解析】由sin B sin A -sinC,可知b a -c 10,即|AC| | BC | 10 ,满足椭4 42 2圆的定义.令椭圆方程为J 2 1,那么a' 5,c' 4 b' 3,2 2a b2 2那么轨迹方程为土2―1 (x 5),图形为椭圆(不含左,右顶点) .25 9【点评】熟悉一些根本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键.(1) 圆：到定点的距离等于定长(2) 椭圆：到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)(3) 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离)(4) 到定点与定直线距离相等.【变式1]:1:圆尸=有的圆心为M,圆住一4尸4了, .的圆心为M, 一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P的轨迹方程.解：设动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得：|P%l=R + 5 , |P叫l=R + l.,-.|PM1P5HPMJ-b|PM1|-|PM a|=4•••动圆圆心P的轨迹是以M、M2为焦点的双曲线的右支, c=4, a=2, b2=12.故所求轨迹方程为4 12M 的轨迹是：A:抛物线B:圆C:椭圆D:双曲线一支2.用直译法求曲线轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系.例2： 一条线段AB 的长等于2a ,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动,求 AB 中点P 的轨迹方程？解 设M 点的坐标为〔x, y 〕由平几的中线定理：在直角三角形 一— 1 一 1 八 AO 升,OM=AB - 2a a,2 2―22-222x y a,x y aM 点的轨迹是以O 为圆心,a 为半径的圆周.1【点评】此题中找到了 OM=1AB 这一等量关系是此题成功的关键所在.一般直译法有以下几2种情况:1〕代入题设中的等量关系：假设动点的规律由题设中的等量关系明显给出,那么采用直 接将数量关系代数化的方法求其轨迹.2〕列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系,需选定适当位置的坐标系,再根据题设条 件列出等式,得出其轨迹方程.3〕运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式,使其公式中含有动点坐标,并作相应的 恒等变换即得其轨迹方程.4〕借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显,这时可借助平面几何中 的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等,从而分析出其数 量的关系,这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法^| PAI 一【变式2】：动点P(x,y)到两定点A(—3,0)和B(3,0)的距离的比等于2(即 2),|PB|求动点P 的轨迹方程？［解答］. . | PA = J(x 3)2__y 7/ PB | J(x 3)2父| PA | (x 3)2 y 2 2 2 22代入 ——1 2得 ——2 (x 3)2y 2 4(x 3)2 4y 22: 一动圆与圆O: x 2 y 21外切,而与圆C ： x 22y 6x 8 0内切,那么动圆的圆心【解答】令动圆半径为R, 皿士 |MO| R那么有। ।| MC | R1c,那么 |MO|-|MC|=2 ,1满足双曲线定义.应选Do|PB| ..(x 3)2 y2化简彳导(x-5) 2+y2=16,轨迹是以(5, 0)为圆心,4为半径的圆.3.用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置适宜的参数,求出参数方程,最后消参,化为普通方程.注意参数的取值范围.例3.过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l i, 12,假设l i交x轴于A点,l 2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【解析】分析1:从运动的角度观察发现,点M的运动是由直线l i引发的,可设出l i的斜率k作为参数,建立动点M坐标(x, y)满足的参数方程.解法1:设M (x, y),设直线l i的方程为y-4= k (x-2), ( k w 0 )1 _由l i l2,那么直线l2的万程为y 4 —(x 2)k4l1与x轴交点A的坐标为(2 4,0),kl2与y轴交点B的坐标为(0,4 2), k・•.M为AB的中点,2k(k为参数)消去k,得x+ 2y—5=0.另外,当k = 0时,AB中点为M (1, 2),满足上述轨迹方程；当k不存在时,AB中点为M (1, 2),也满足上述轨迹方程.综上所述,M的轨迹方程为x+2y—5=0.分析2：解法1中在利用k1k2=- 1时,需注意匕、k2是否存在,故而分情形讨论,能否避开讨论呢？只需利用^ PAB为直角三角形的几何特性：1 . .|MP| 21ABi解法2:设M (x, y),连结MP 那么 A (2x, 0), B (0, 2y),•••l」l 2, PAB为直角三角形1 .由直角二角形的性质,|MP| 31ABi--------------- 2 2-1 -----------2 2..(x 2)2 (y 4)22；,(2x)2 (2y)2化简,得x + 2y-5 = 0,此即M 的轨迹方程.分析3::设M (x, y),由l i _L l 2,联想到两直线垂直的充要条件： k i k 2=—1,即可 列出轨迹方程,关键是如何用 M 点坐标表示 A 、B 两点坐标.事实上,由 M 为AB 的中点,易 找出它们的坐标之间的联系.解法3:设M (x, y), •「M 为AB 中点, 又l 1, l 2过点P (2, 4),且l/l 2••• PAX PB,从而 k PA • k PB= — 1, 中点M (1, 2),经检验,它也满足方程 x+2y-5=0 综上可知,点 M 的轨迹方程为x+2y-5=0o【点评】 解法1用了参数法,消参时应注意取值范围.解法 2, 3为直译法,运 1 ,k PA • k PB= - 1, | MP | - | AB|这些等量关系.用参数法求解时,一 般参数可选用具有某种物理或几何意义的量,如时间,速度,距离,角度, 有向线段的数量,直线的斜率,点的横,纵坐标等.也可以没有具体的意 义,选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式3】过圆O: x 2+y 2= 4外一点A(4,0),作圆的割线,求割线被圆截得的弦 BC 的中点M 的轨迹. 解法一：“几何法〞设点M 的坐标为(x,y ),由于点M 是弦BC 的中点,所以 OML BC, 所以 |OM | 2 + | MA | 2 =| OA | 2 ,即(x 2+y 2)+(x -4)2 +y 2=16化简得：(x —2) 2+ y 2=4 .................................. ①由方程 ① 与方程x 2+y 2= 4得两圆的交点的横坐标为 1,所以点M 的轨迹方程为 (x —2) 2+ y 2=4 (0<x<1)o 所以M 的轨迹是以(2, 0)为圆心,2为半径的圆在圆 O 内的局部. 解法二：“参数法〞设点M 的坐标为(x,y ), B (x 1,y0 ,C (x 2,y 2)直线AB 的方程为y=k(x -4), 由直线与圆的方程得(1+k 2) x 2—8k 2x +16k 2—4=0 .................... (*),由点M 为BC 的中点,所以x=x —x 2 」4k ) ................................ (1),2 1 k又 OMLBC,所以 k=Y (2)由方程(1) (2)消去k 得(x — 2) 2+ y 2=4,又由方程(* )的^> 0得k 2< 1,所以x< 1.3••• A (2x, 0),B (0, 2y).而k pA4 0 2 2x' 4 2y2 2x 2注意到l i^x 轴时,1,化简,得x 2y 5 0l 2±y 轴,此时 A (2, 0), B (0,4)用了2+ y 2=4 ( 0<x< 1)为圆心,2为半径的圆在圆 O 内的局部.【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式4】如下图, R4 , 0)是圆x 2+y 2=36内的一点,A 、B 是圆上两动点,且满足ZAPE =90 ,求矩形APBQ 勺顶点Q 的轨迹方程【解析】： 设AB 的中点为R,坐标为(x , y ),那么在Rt^ABP 中,|AR =| PR 又由于R 是弦 AB 的中点,依垂径定理在 Rt △ OAF^, | AR 2=| A .2—|OR 2=36—(x 2+y 2)又|AR =| P 帘(x 4)2 y 2所以有(x-4) 2+y 2=36- (x 2+y 2),即 x 2+y 2—4x —10=0因此点R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,Q 点即在所求 的轨迹上运动 设Qx ,y) , R (x 1, y 1),由于R 是PQ 的中点,所以 y o ,222x +y -4x- 10=0,得(_y )2 4 x 4 _10=022所以点M 的轨迹方程为(x-2)所以M 的轨迹是以(2, 0) 4,用代入法等其它方法求轨迹方程x 2例4.点B 是椭圆-2 a2与1上的动点,A(2a,0)为定点,求线段AB 的中点M 的 b 2轨迹方程.分析：题中涉及了三个点 A 、B 、M,其中A 为定点,而B 、M 为动点,且点 B 的运动是有 规律的,显然 M 的运动是由B 的运动而引发的,可见 M B 为相关点,故采用相关点法求动点 M 的轨迹方程.【解析】设动点 那么由M 为线段 M 的坐标为(x, y),而设B 点坐标为(xo, yo)AB 中点,可得x 0 2a 2 V . 0 2 x 0 2x 2aV . 2y即点 B 坐标可表为(2x - 2a, 2y)x 2点B(x°, y°)在椭圆-y a 2—1上b 22x 0 -2- a2〞1 b 2(2x 从而有——2a)2 2a叱1b 2整理,得动点M 的轨迹方程为4J a22a) 4y 1 b 2x 4 x1=—,y 1代入方程(7)22QR整理得 x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程四、常见错误：【例题5】 ABC 中,B, C 坐标分别为(-3, 0), (3, 0),且三角形周长为16,求点A 的轨 迹方程.22【常见错误】由题意可知,|AB|+|AC|=10 ,满足椭圆的定义.令椭圆方程为 : 4 1 ,那么a b22由定义可知a 5,c 3,那么b 4,得轨迹方程为—匕 1516【错因剖析】ABC 为三角形,故A, B, C 不能三点共线.【正确解答】ABC 为三角形,故 A, B, C 不能三点共线.轨迹方程里应除去点(5,0).( 5,0),22即轨迹方程为二匕 1(x5)25 16提示：1 ：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略,除；另一方面,又要注意有无“漏网之鱼〞仍逍遥法外,2:求轨迹时方法选择尤为重要,首先应注意定义法,几何法,直接法等方 法的选择.3:求出轨迹后,一般画出所求轨迹,这样更易于检查是否有不合题意的部 分或漏掉的局部. 针对性练习：5 ___ 5、 一 一 22 一1:两点M(1,—), N( 4,一)给出以下曲线方程：① 4x 2y 1 0；②x y 3；③4 422— y 21y 21,在曲线上存在点 P 满足|MP | | NP |的所有曲线方程是(22A ①③B ②④C ①②③D ②③④【答案】：D【解答】：要使得曲线上存在点 P 满足|MP| |NP|,即要使得曲线与 MN 的中垂线y 有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有①无解,那么选D2.两条直线x my 1 0与mx y 1 0的交点的轨迹方程是 : 【解答】：直接消去参数 m 即得(交轨法)：x 2 y 2 x y 03:圆的方程为(x-1) 2+y 2=1,过原点O 作圆的弦0A,那么弦的中点M 的轨迹方程是 ^因此, 在求出曲线方程的方程之后,应仔细检查有无“不法分子〞掺杂其中, 将其剔要将其“捉拿归案〞.2x 3【解答】：令 M 点的坐标为(x, y),那么A 的坐标为(2 x,2y),代入圆的方程里面便可得到动点的轨迹方程.【解答】：抛物线方程可化为它的顶点坐标为消去参数m 得:(4, 0)的距离与它到直线 x 4的距离相等.那么点 M 的 4为准线的抛物线.故所求轨迹方程为 y 2 16x .6：求与两定点OO 1, 0、A3, 0距离的比为1： 2的点的轨迹方程为八, …, ,□… POl1一、… 一— 一〜…,一八【分析】：设动点为巳由题意- -,那么依照点P 在运动中所遵循的条件,可列出等量关| PA| 2系式.【解答】：设P x, y 是所求轨迹上一点,依题意得L1 O 得：(x 1)22y 2 ：(x 0)4随意变化时,那么抛物线y x 2 2m 1 xm 2 1的顶点的轨迹方程为把所求轨迹上的动点坐标x, y 分别用已有的参数 m 来表示,然后消去参数 m故所求动点的轨迹方程为4x 4y 305:点M 到点F (4, 0) 的距离比它到直线50的距离小1 ,那么点M 的轨迹方程为【分析】：点M 到点F (4, 0)的距离比它到直线 50 的距离小1,意味着点M 到点F(4, 0)的距离与它到直线 x 40的距离相等. 由抛物线标准方程可写出点 M 的轨迹方程.【解答】：依题意,点M 到点F轨迹是以F (4, 0)为焦点、x由两点间距离公式得:x 2 y 21PO 1 PA 2化简彳导:x 2 y 2 2x 3027抛物线y 4x 的通径〔过焦点且垂直于对称轴的弦〕与抛物线交于 A 、B 两点,动点C 在抛物线上,求^ ABC 重心P 的轨迹方程.【分析】：抛物线y 4x 的焦点为F 1,0 .设^ ABC 重心P 的坐标为〔x, y 〕,点C 的坐 标为〔x 1, y 1〕.其中x 1 1【解答】：因点P x, y 是重心,那么由分点坐标公式得：x 另一2, y 也33即 x 1 3x 2, y 1 3y由点C x 1,y 1在抛物线y 2 4x 上,得：y 12 4x 124 2将x i3x 2, y i3y 代入并化简,得：y — x —( x 1) 338 .双曲线中央在原点且一个焦点为F 〔乔,0〕,直线y=x —1与其相交于 M N 两点,MNUI中点的横坐标为 5 ,求此双曲线方程.22【解答】：设双曲线方程为 2T 当 a b (b 2-a a)x a+ 2a ax- a 3- a ab a=0,此双曲线的方程为9 .动点P 到定点F 〔1, 0〕和直线x=3的距离之和等于【解答】：设点P 的坐标为〔x, y 〕,那么由题意可得1.将y=x — 1代入方程整理得由韦达定理得x 1 x 2解得 a 2 2,b 25.22aX I x 2~2~2 --a b 22 ,2a b2.又有+ 联立方程组,34,求点P 的轨迹方程.J (犬 _ + y* + | x — 31= 4(1)当xw3 时,方程变为J(x 1)2—y2 3 x 4,J(x 1)2―y2 x 1,化简得2y 4x(0 x 3).(2)当x>3 时,方程变为J(x 1)2—y7 x 3 4,J(x 1)2—y7 7 x,化简得y a = -12(x-4)(3<x<4)o毋足十的人口的-■铲曰必=4式.弓工43)一,= T2(x —4)0仃44)故所求的点P的轨迹方程是‘ 工 ,或, 八■10 .过原点作直线l和抛物线y x24x 6交于A、B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【解答】：由题意分析知直线l的斜率一定存在,设直线l的方程y=kx.把它代入抛物线方程了=/一4天4®,得又‘一04•的白=口.由于直线和抛物线相交,所以△>0,解得x ( , 4 2而)(4 2^/6,).设A (叼打),B (叼力),M (x, y),由韦达定理得句中句=4*k.盯盯=6.产1 4k由户工一厂消去k得y=2x〞-必.又2黑f % =4 +上,所以x ( , V6)(后).,点M的轨迹方程为y 2x24x, x ( , <6) (<16, ) o。