九年级数学下册第24章圆24.3第1课时圆周角定理练习课件【沪科版】

知1－练
技巧提醒 圆周角定理可以将圆心角与圆周角进行转化，因
此求一个圆周角的度数时，我们可以求与之相等的 另一个圆周角的度数，也可以求同弧所对的圆心角 的度数.根据题目所给的条件选用其一进行求解即可.
感悟新知
解：如图24.3-3，连接OC. ∵ BC=BD， ∴∠ BOC= ∠ BOD=50°. ∴∠ A= 12∠ BOC= 12×50°=25°
定理解题． 特别提醒 1. 求圆中的某一个圆周角时，根据“圆内接四边形的
对角互补”，可以转化为求其所在的内接四边形的 对角的度数. 2. 圆内接四边形的一组对角其实是圆中一条弦所对的 两个圆周角，因此，在同圆或等圆中，相等的弦所 对的圆周角相等或互补.
感悟新知
解：∵四边形ABCD 内接于⊙ O， ∴∠ A+ ∠ C=180°， ∴∠ A=180°－∠ C=70°． 由圆周角定理得∠ BOD=2 ∠ A=140°． ∵ OB=OD，
的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有 外接圆.
感悟新知
知3－练
例 5 [中考·宜昌] 如图24.3-7， 四边形ABCD 内接于⊙ O， 连接OB，OD，BD，若∠ C=110°，则∠ OBD 的度 数是( ) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
感悟新知
知3－练
解题秘方：紧扣圆内接四边形的性质和圆周角
顶点在圆心
顶点在圆上
在同圆中，一条弧所 在同圆中，一条弧所 对的圆心角唯一 对的圆周角有无数个
两边都与圆相交
感悟新知
知1－练
例 1 如图24.3-3，AB 是⊙ O 的直径， 弦BC=BD， 若 ∠ BOD=50°，求∠ A 的度数.
感悟新知
解题秘方：连接OC，将求B︵C 所对的圆周角转 ︵

3 4
B
D 87
6 5
C
∠2=∠7 ∠1=∠4
∠3=∠6 ∠5=∠8
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2.（1）如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则
∠AOC等D于（ ）
A
A.50°B.80°C.90° D.100°
BO
C
（2）如图，△ABC是等边三角形，
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
C
与A、B重合，则∠BPC等于 B
即∠BAC= 2 ∠BOC
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A O
D
C
B
定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
C
化
O
归
B
A
分类讨论
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C
O A
B
C
化
归
O
A
完全归纳法 B
圆周角定理
理解定理 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周
在同圆（或等圆）中，如果两个圆心角以及这 两个角所对的弧、弦、所对弦的弦心距中，有 一组量相等，那么其余各组量都分别相等.
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C
O
A
B
A C
O B
A
B
C
O
圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有 另一个公共点的角叫做圆周角.
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判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说 明理由.
不是
不是
是
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不是
不是
类比圆心角探知圆周角
• 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对弧,所对弦也相等. • 在同圆或等圆中,圆周角又有怎样的性质定理呢?

( 1 )当点P移动时,求x的变化范围,并说明理由. ( 2 )当点P移至圆内时,x有什么变化?( 直接写出结果 ) 解:( 1 )设BP交☉O于点C,连接AC,
∵∠ACB>∠P,∠ACB=∠AMB, ∴∠AMB>∠P, ∴50°>x,∴0°<x<50°.
( 2 )当点P移至圆内时,50°<x<180°.
知识点1
知识点2
知识要点基础练
知识点3
4.如图,AB是☉O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交☉O于点D,点E在☉O上. ( 1 )若∠AOD=52°,求∠DEB的度数; ( 2 )若OC=3,OA=5,求AB的长.
解:( 1 )∵OD⊥AB,∴������������ = ������������, ∴∠DEB=12∠AOD=12×52°=26°. ( 2 )∵OD⊥AB,∴AC=BC,△AOC 为直角三角形, ∵OC=3,OA=5,
综合能力提升练
14.如图,在平面直角坐标系中,以点 M( 0, 3 )为圆心,以 2 3长为半径作☉M 交 x 轴 于 A,B 两点,交 y 轴于 C,D 两点,连接 AM 并延长交☉M 于 P 点,连接 PC 交 x 轴于点 E.
( 1 )求点C,P的坐标; ( 2 )求证:BE=2OE.
综合能力提升练
编后语
做笔记不是要将所有东西都写下，我们需要的只是“详略得当“的笔记。做笔记究竟应该完整到什么程度，才能算详略得当呢？对此很难作出简单回答。 课堂笔记，最祥可逐字逐句，有言必录；最略则廖廖数笔，提纲挈领。做笔记的详略要依下面这些条件而定。
讲课内容——对实际材料的讲解课可能需要做大量的笔记。 最讲授的主题是否熟悉——越不熟悉的学科，笔记就越需要完整。 所讲授的知识材料在教科书或别的书刊上是否能够很容易看到——如果很难从别的来源得到这些知识，那么就必须做完整的笔记。 有的同学一味追求课堂笔记做得“漂亮”，把主要精力放在做笔记上，常常为看不清黑板上一个字或一句话，不断向四周同学询问。特意把笔记做得很

24.3 圆周角 永康中学 李杰
一. 复习引入:
1.圆心角的定义?
O.
答:顶点在圆心的角叫圆心角
2.上节课我们学习了一个反映圆
心角、弧、弦、弦心距四个量之 B
C
间关系的一个结论，这个结论是
什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、
弦心距有一组量相等，那么它们所对应的其余
三组量都分别相等。
探探索索1:
我们知道：顶点在圆心的角叫圆心角， 当圆心角的顶点发生变化时,我们得到 以下三种情况A:
A
A
.OΒιβλιοθήκη BC圆内角
.
O
B
C
圆外角
.
O
B
C
圆周角
考考你：你能仿照圆心角的定义，给下 图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边 都和圆还有另一个公共 点的角叫做圆周角
辩一辩 图中的∠CDE是圆周角吗C?
C
D
C
E
E D
E D
C D
E
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通
过其中的圆弧形玻璃AB 观看窗内的海洋动物,同学甲站在 圆心的O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C， 他们的视角（∠AOB 和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、 丁分别站在他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ∠ADB 和 ∠AEB ）和同学乙的视角相同吗？
圆周角和圆心角的关系
3.考虑第三种情况
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
能否也转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD = 1 ∠AOD,∠CBD = 1 ∠COD,

四边形ABCD的对角线，完成下列填空：
∠1= ∠4 .
D
∠2= ∠8 .
78
∠3= ∠6 . ∠5= ∠7 .
A1 2 34
(
O
6 5
C
B
D 思考：如图，AC是圆O的直径，
则∠ADC = 90°， ∠ABC= 90°.
A
O
C
B
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的 圆周角所对的弦是直径.
例2 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD = 60°，∠ADC=70°. 求∠APC的度数.
任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相
等吗？请说明理由.
相等，∵ BAC 1 BOC，
D
2
BDC 1 BOC， 2
∴∠BAC=∠BDC.
问题2 如图，若 CD EF，∠A与∠B相等吗？
相等，
AB
CD EF，COD EOF.
A 1 COD，B 1 EOF，
证明：∵ ACB 1 AOB， 2
BAC 1 BOC， 2
∠AOB=2∠BOC，
A
O C
∴∠ACB=2∠BAC.
B
7. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交
BC于D，交AC于E.
(1) BD与CD的大小有什么关系?为什么?
解：BD=CD. 理由如下：连接AD，
A
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
解：连接BC，则∠ACB=90°，
∠DCB =∠ACB－∠ACD = 90°－60°=30°.
A 又∵∠BAD=∠DCB=30°， ∴∠APC =∠BAD +∠ADC =30°+70°=100°.

B O·
B
C
AO·ຫໍສະໝຸດ A CO·C A（1） √
A
顶点（不2）在圆上 B
B 边AC（没3有）和圆相交
CC
O·
A O·
·O
A B
B
C
顶点不在圆上
（5）√
√ （6）
圆周角定理
合作探究 问题1 如图，点A、B、C、D都是☉O 上的点，请问图中哪些是 圆周角？哪些是圆心角?分别指出对应哪条弧？是同一条弧吗？
圆心角：∠BOC
x 60 °
B
x
D 20
°
E
30 °
A FC
拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, (1)BD与CD的大小有什么关系?为什么? (2)求证：BD DE .
B
A
E DC
课堂小结
定义
1.顶点在圆上； 2.两边都与圆相交的角
二者必须同时具备
圆
周
定理
角
同弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半.
明理由.
D
同弧所对的圆周角相等
问题2 如图，若 CD EF，∠A与∠B相等吗？ A B
E O
反过来，若∠A=∠B， 那么 等弧所对的圆周角相等
C
F
D
CD EF 成立吗？
圆周角定理推论
推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
相等的圆周角所对的弧也相等. A B
D
E
O
C
F
D
C1
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；
2
2
A
O
DAC1DOC
2
C

2
2
知识精讲 如图，连接BO并延长，与圆相交于点D。（此时我们得
到与图①同样的情形） ∵ ∠AOD是△ABO的外角, ∴ ∠AOD=∠A+∠ABO. ∵ OA=OB , ∴ ∠A=∠ABO.
A
O B
CA D
B
C O
①
∴ ∠AOD=2∠ABD ,
ABD1AOD . 2
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知识精讲 如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图
（1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部， （3） 折痕在圆周角的外部．
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知识精讲
• 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有
什么关系?
说说你的想法,并与同伴交流.
A C
A C
A C
●O
●O
●O
B
B B
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知识精讲
➢我们得到以下几种情况.
教学课件
数学 九年级下册 沪科版
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第24章 圆
24.3 圆周角
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第1课时
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情境导入 复习引课
1.圆心角的定义?
答:顶点在圆心的角叫圆心角。
.O
2.上节课我们学习了一个反映圆心
角、弧、弦三个量之间关系的一个
B
C
结论，这个结论是什么？ 答：在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有
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知识精讲 类比圆心角探知圆周角 • 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等. 〉 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？ 为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和圆心 角之间的关系. 你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?

24.3 圆周角
探究活动：有关圆周角的度数
1． 探究半圆或直径所对的圆周角等于 多少度？ ２．９０°的圆周角所对的弦是否是直 径？
线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O
上任意一点（除点A、B）， 那 么，∠ACB就是直径AB所对的圆 周角.想想看，∠ACB会是怎么样
的角？为什么？
证明：因为OA＝OB＝OC，所以 △AOC、△BOC都是等腰三角形， 所以∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝ ∠OCB. 又 ∠OAC＋∠OBC＋ ∠ACB＝180°，
C
n过点B作直径BD.由1可得:
●O B
n∠ABD =
1 ∠AOD,∠CBD = 1 ∠COOC.
2
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
你能写出这个命题吗?
议一议
圆周角定理
• 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:
• 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一
半.
即 ∠ABC = 1
A
∠AOC. A 2
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
n老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
随堂练习
思考与巩固
• 1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.
解: ∠A = 1 ∠BOC = 25°.
2
B C
●O A
n 2.举出生活中含有圆周角的例子.
猜一猜
AC的张角(∠ABC)有关.
A
C
A
B
B
●O
C n圆周角 顶点在圆上,
它的两边分别 与圆还
有另一个交点,像这样 的角,叫做圆周角.