九江市数学北师大版选修2-3教案 第二章 第九课时 独立重复试验与二项分布 含答案

2.2.3独立重复试验与二项分布教学目标：1 认知目标：理解独立重复试验的概念，掌握n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率公式并能熟练运用，了解该公式与二项式定理的联系.2 能力目标：培养学生观察分析的能力，归纳综合的能力以及类比思维和创新思维.3情感目标：a、让学生从概率的计算中领悟偶然中包含着必然的哲学思想.b、培养“禁赌”意识和踏实的生活作风.教学重点和难点：重点：公式的引出与公式的运用难点：独立重复试验的判定教学过程：教学过程设计为：一．情景创设，激发兴趣师：展示情景:A君走在大街上，看见路旁有一群人，他挤进去，见一板木牌上写着：只需投掷二十次，便可拥有双倍财富（恰好10次正面朝上者中奖），他一阵窃喜：数学老师刚讲过，投硬币时，正面朝上和正面朝下为等可能事件，概率均为12，20×12不就是10吗？这公式推导情景创设概念理解中心内容P(X=k)=(1)k k n knC p p--公式特征公式应用简直是必然事件嘛！!他于是走上前去，将仅有的30元押在桌上.学生探究：A 君运气如何呢？（设计意图：概率起源于赌，形成于赌，但并不服务于赌.A 君事实上是多数中学生的代表，这样的情景创设抓住了学生的好奇心，让学生在这节课中保持一种探究的兴奋.） 师：为了解决上面的问题，我们先来分析投掷n 次硬币.引导:在n 次投掷硬币的过程中，各次投掷的结果是否会影响到其他实验的结果？ 生：不会，各次投掷是相互独立的师生：共同回忆复习独立事件.师：12()n P A A A =? （其中1A 为第i 次试验的结果）生：由相互独立事件同时发生的概率可知1212()()()()n n P A A A P A P A P A = 师：给出定义：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 师：怎样理解定义中的“在相同条件下”生：每次试验都在同一条件下进行，即各次试验的结果不会影响到其他实验的结果，各次试验相互独立师生：共同总结独立重复试验满足的条件：（1）各次试验中是相互独立的（2）每次试验都在同一条件下进行（3）只研究事件发生或不发生两种情况如：重复投掷同一枚硬币，正面朝上与正面朝下；上体育课练习投篮；购买体育彩票若干，中奖与不中奖二师生探究：展示问题：投掷一枚图钉，设针尖向上的概率是P ，针尖向下的概率为q =1-p ,连续投掷一枚图钉3次，恰好一次针尖向上的概率是多少？记第i 次投掷针尖向上为事件i A ，针尖向下记为i A师：3次投掷是否独立重复试验？生：是师：恰好第一次针尖向上的概率是多少？生：学生思考得出：恰好第一次针尖向上为第一次针尖向上为事件第一次针尖向上，第二次针尖向下第三次针尖向下这三个相互独立事件同时发生，且2123()P A A A pq =师：恰有3次针尖向上的情况有几种？每种情况发生的概率是多少？生：13C 种：第一次针尖向上，第二次与第三次针尖向下123A A A ，第二次针尖向上，第一次与第三次针尖向下123A A A ，第三次针尖向上第一次与第二次针尖向下123A A A ，2123123123()()()P A A A P A A A P A A A pq ===师：以上三个事件是__________事件生：互斥事件师：投掷3次，恰有1次针尖向上的概率是多少？生：恰有1次针尖向上是三个互斥事件有一个发生，故概率为1221231231233()3P A A A A A A A A A C pq pq ++==师：投掷n 次，恰有1次针尖向上的情况有几种？概率是多少？生：1n C 种，11n n C pq -师：投掷n 次，恰有2次针尖向上的情况有几种？概率是多少？生：2n C 种，222n n C p q -师：如此递推，投掷n 次，恰有K 次针尖向上的情况有几种？概率是多少？生：k n C 种，k k n k n C p q -（设计意图：一是引导学生自主思考,充分发挥学生的主体作用，二是将综合的复杂问题转化为单一的容易的问题，三是三个参数逐次引入，给学生的思维一个缓冲，也让不完全归纳法来得更自然）由此得出结论：一般地，在n 次独立重复试验中，用x 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ,则()(1)k k n k n P X k C p p -==-，（k=0,1,2,…,n ）三、公式特征列表：引导学生根据自己刚学的公式列出表中的第二行，然后引导学生观察.表中四项的重复认知和格式的有意雷同都暗示着与二项式定理的联系，学生很容易通过这种类比得出结论，借此告诉他们概率()P X k =的分布也叫二项分布.此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～(,)B n p ，并称p 为成功概率.四、公式应用例：某射手每次射击击中的概率是0.8，他射击10次，(1)、恰好击中8次的概率是多少？（2）、至少击中8次的概率是多少？解：设x 表示事件A 发生的次数，则X ～(10,0.8)B（1）在10次射击中恰好击中8次的概率为8810810(8)0.8(10.8)0.30P X C -==-≈ （2）在10次射击中，至少击中8次的概率为881089910910101010101010(8)(8)(9)(10)0.8(10.8)0.8(10.8)0.8(10.8)0.68P X P X P X P X C C C ---≥==+=+==-+-+-≈师：回到课程开始的问题：你能测算A 君的命运了吗？ 生：计算得出：获奖的概率为10101020110.1822C ⎛⎫⎛⎫≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 结果与当初的设想形成反差，这是所有赌民的体验，顺势引入情感主题：他用100分的热情只买到了18分的希望，现在多少码民正执着地做着独立重复试验，难道……(1)P X =(2)P X =()P X k =()P X n =他们为此输掉金钱，甚至输掉生命仅仅是一个偶然吗？五．小结(1) 独立重复试验的判定(2) n 次独立重复试验中某事件恰好发生K 次的概率公式(3) 概率公式()P X k 的分布规律六、作业(1).习题2.2 A 组第3题 B 组第1、3题(2)要求学生思考：我们的每一次考试也是独立重复试验吗？你在每次考试中成功的概率“V”是多少呢？世界上许多事情都可以进行独立重复试验，唯有人生不能重来，我们应该把握好一生中的每一次机会，并努力提高成功的概率！七．板书设计：（略）八．教后记：。

§二项分布某篮球运动员进行了次投篮，假设每次投中的概率都为，且各次投中与否是相互独立的，用表示这次投篮投中的次数，思考下列问题．问题：如果将一次投篮看成做了一次试验，那么一共进行了多少次试验？每次试验有几个可能的结果？提示：次，每次试验只有两个相对立的结果投中(成功)，未投中(失败)．问题：＝表示何意义？求其概率．提示：＝表示次都没投中，只有＝种情况，(＝)＝.问题：＝呢？提示：＝表示次中有次投中，有＝种情况，每种情况发生的可能性为·.从而(＝)＝·.二项分布进行次试验，如果满足以下条件：()每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；()每次试验“成功”的概率均为，“失败”的概率均为－；()各次试验是相互独立的．用表示这次试验中成功的次数，则(＝)＝(－)－(＝，…，)．若一个随机变量的分布列如上所述，称服从参数为，的二项分布，简记为～(，)．．(＝)＝·(－)－.这里为试验次数，为每次试验中成功的概率，为次试验中成功的次数．．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是对立性，即一次试验中，事件发生与否，二者必居其一；其二是重复性，即试验重复地进行了次；其三是各次试验相互独立．[例]到岁的概率为，试问个投保人中：()全部活到岁的概率；()有个活到岁的概率；()有个活到岁的概率．[思路点拨]每人能否活到岁是相互独立的，利用二项分布公式可求．[精解详析]设个投保人中活到岁的人数为，则～()，故(＝)＝·(－)－(＝)．()(＝)＝··(－)＝；即全部活到岁的概率为.()(＝)＝··(－)＝.即有个活到岁的概率为.()(＝)＝··(－)＝.即有个活到岁的概率为.[一点通]要判断次试验中发生的次数是否服从二项分布，关键是看试验是否为独立重复试验，独立重复试验的特点为：()每次试验是在相同的条件下进行的；()每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是相互独立的；()基本事件的概率可知，且每次试验保持不变；()每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生．．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，出现“个正面，个反面”的概率是( )解析：由题意，出现正面的次数～，∴出现个正面个反面的概率为(＝)＝××＝.答案：．甲每次投资获利的概率是＝，对他进行的次相互独立的投资，计算：()有次获利的概率；()次都获利的概率．解：用表示甲在次投资中获利的次数，则服从二项分布()，且()(＝)＝(－)≈，他次获利的概率约等于.()(＝)＝≈.他次都获利的概率约等于.。

一、教学目标：1、理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2、理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题二、教学重点：（1）离散型随机变量及其分布列（2）条件概率及事件的独立性（3）离散型随机变量的期望与方差。

教学难点：离散型随机变量及其分布列及其两个基本性质。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、知识梳理1、随机变量的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量X表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，那么这样的变量X叫随机变量，随机变量常用希腊字母X、Y、…表示。

如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量。

2、离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量X可能取得的值为，X取得每一个值的概率为，则称表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．离散型随机变量X的分布列的性质：（1）（2）一般的，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。

3、二点分布如果随机变量X的分布列为，其中，则称离散型随机变量X服从参数为的二点分布．4、超几何分布：一般的，设有总数为N件的两类物品，其中一类有n件，从所有物品中任取M件（M≤N），这M件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为（０≤≤，为n和M中较小的一个）。

我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．5、条件概率：一般地，设A，B为两个事件，且，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。

一般把读作“A发生的条件下B的概率”．古典概型中，若用表示事件A中基本事件的个数，则。

6、条件概率的性质：条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即。

如果B和C是两个互斥事件，则.7、事件的独立性：设A，B为两个事件，如果，则称事件A与事件B相互独立，并把A，B这两个事件叫做相互独立事件。

第二章概率§1离散型随机变量及其分布列第1课时随机变量(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解随机变量的含义．(2)会用随机变量描述随机现象．2．过程与方法通过具体实例，感受现实生活中大量随机现象存在着的数量关系，经历概念的形成过程，从而体会概念的内涵．3．情感、态度与价值观体会数学来源于生活，也应该服务于生活，增强学习数学的兴趣．●重点难点重点：随机变量的概念．难点：用随机变量描述随机现象．教学时从具体实例出发，引导学生观察、分析、掌握随机变量的概念，通过例题与练习让学生在应用中更深入理解其概念以强化重点，引导学生通过对用随机变量表示随机试验的结果的理解来化解难点．(教师用书独具)●教学建议本节课宜采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“随机变量”为基本探究内容，以掷骰子试验为突破口，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过各种尝试活动，充分认识理解“随机变量”的概念及应用．●教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答问题，理解随机变量的概念．⇒通过例1及变式训练，使学生加深对随机变量概念的理解．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握用随机变量描述随机现象．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫.正【问题导思】(1)抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？(2)在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗棵数为X，则X取什么数字？【提示】(1)可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．(2)X＝0,1,2，…10.随机变量的概念及其表示(1)随机变量的定义：将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量．(2)随机变量通常用大写的英文字母如X，Y来表示.判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2013年5月1日的旅客数量；(2)2013年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；(3)2013年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．【思路探究】判断所给的量是否随试验结果的变化而变化，发生变化的是随机变量．【自主解答】(1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．1．解答本题主要是运用随机变量的定义，透彻理解定义是解此类题的关键．2．随机变量X满足三个特征：(1)可以用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取何值．下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某天新坐标书业公司信息台接到咨询电话的个数；(2)标准大气压下，水沸腾的温度；(3)在将要举行的绘画作品评比中，设一、二、三等奖，某同学的一件作品获得的奖次；【解】(1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(2)标准大气压下，水沸腾的温度100℃是定值，所以不是随机变量．(3)获得的奖次可能是1,2,3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．【思路探究】分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果【自主解答】(1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2， (11)(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5， (11)X＝3，表示取出标有1,2的两张卡片；X＝4，表示取出标有1,3的两张卡片；X＝5，表示取出标有2,3或标有1,4的两张卡片；……X＝11，表示取出标有5,6的两张卡片．1．解答此类问题，关键是要弄清题意，第(1)问中，X＝1,2，…，11所表示的结果不需要分别列出来，只写出X＝i即可．2．在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意随机变量的一个值表示多个试验结果的情况，不能遗漏某些试验结果．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一袋中装有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5，现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟．【解】(1)ξ可取3,4,5.ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.(2)ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间.忽视变量的实际意义致误在含有3件次品的100件产品中任意抽取2件，其中次品件数x是一个随机变量，写出x的可能的值，并说明随机变量的取值表示的事件．【错解】随机变量x的可能取值为1,2.x＝1表示抽到1件次品，x＝2表示抽到2件次品．【错因分析】忽视了x的实际意义即遗漏了x＝0的情况．【防范措施】解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义．【正解】随机变量x的可能取值为0,1,2.x＝0表示抽到0件次品即抽到的都是正品，x＝1表示抽到1件次品，x＝2表示抽到2件次品．2．随机变量与函数的异同点：1．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是( ) A．2颗都是4点B．1颗1点，另一颗3点C．2颗都是2点D．1颗是1点，另1颗是3点；或者2颗都是2点【解析】由于抛掷1颗骰子，可能出现的点数是1,2,3,4,5,6这6种情况之一，而X表示抛掷2颗骰子所得到的点数之和，所以X＝4＝1＋3＝2＋2表示的随机试验结果是：1颗是1点，另一颗是3点；或者2颗都是2点．【答案】 D2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率【解析】取到次品的件数可能为0,1,2是随机的，可作为随机变量．【答案】 C3．一串钥匙有5把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数ξ的最大可能取值为________．【解析】因为只有5把钥匙，最多只需试验4次，故ξ≤4.【答案】 44．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．【解】根据题意可知，ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出．一、选择题1．下列不是随机变量的是( )A．从编号为1～10号的小球中随意取一个小球的编号B．从早晨7∶00到中午12∶00某人上班的时间C．A、B两地相距a km，以v km/h的速度从A到达B的时间D．某十字路口一天中经过的轿车辆数【解析】选项C中“时间”为确定的值，故不是随机变量．【答案】 C2．抛掷质地均匀的硬币一次，下列能称为随机变量的是( )A．出现正面向上的次数B．出现正面或反面向上的次数C．掷硬币的次数D．出现正、反面向上的次数之和【解析】掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上次数来描述随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量X，X的取值是0,1，故选A.而B中标准模糊不清，C中掷硬币次数是1，都不是随机变量，D中对应的事件是必然事件．故选A.【答案】 A3．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，不放回地从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( ) A．1,2,3，…，6 B．1,2,3，…，7 C．0,1,2，…，5 D．1,2，…，5【解析】由于取到白球游戏结束，那么取球次数可以是1,2,3，…，7，故选B.【答案】 B4．下列变量不是随机变量的是( )A．掷一枚骰子，所得的点数B．一射手射击一次，击中的环数C．某网站一天的点击量D．标准状态下，水在100 ℃时会沸腾【解析】D对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，所以不是随机变量，故选D.【答案】 D5．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．第4次击中目标【解析】ξ＝5表示前4次均未击中目标．【答案】 C二、填空题6．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为X，则X＝5表示的随机试验的结果是________．【解析】两颗骰子的点数之和为5，则共有两种情况，1,4或2,3.【答案】一颗骰子是1点，另一颗是4点，或一颗骰子是2点，另一颗是3点．7．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量x描述1次试验的成功次数，则x的值可以是________．【解析】这里“成功率是失败率的2倍”是干扰条件，对1次试验的成功次数没有影响，故x可能取值有两种，即0,1.【答案】0,18．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．【解析】因为答对的个数可以取0,1,2,3，所对应的得分为－300，－100,100,300，∴ξ可取－300，－100,100,300.【答案】－300，－100,100,300三、解答题9．连续向一目标射击，直到命中目标为止，所需要的射击次数为X，写出X＝6所表示的试验结果．【解】X＝6表示的试验结果是“射击了6次，前5次都未击中目标，第6次击中目标”．10．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ.(1)写出ξ的所有可能取值；(2)写出{ξ＝1}个所表示的事件．【解】(1)ξ可能取的值为0,1,2,3.(2){ξ＝1}表示的事件为：第一次取得次品，第二次取得正品．11．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．【解】ξ可能取值为0,1,2,3,4,5.“ξ＝0”表示第一盏信号灯就停下；“ξ＝1”表示通过了一盏信号灯，在第2盏信号灯前停下；“ξ＝2”表示通过了两盏信号灯，在第3盏信号灯前停下；“ξ＝3”表示通过了三盏信号灯，在第4盏信号灯前停下；“ξ＝4”表示通过了四盏信号灯，在第5盏信号灯前停下；“ξ＝5”表示在途中没有停下，直达目的地.(教师用书独具)指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．①广州国际机场候机室中一天的旅客数量；②某人射击一次命中的环数；③每天游览济南大明湖的人数；④从装有3个红球，2个白球的袋子中随机摸取2球，所得红球的个数；⑤某人的性别随年龄的变化．【思路探究】解答本题可利用随机变量的定义去分析相应的实例．【自主解答】①候机室的旅客数量可能是：0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．②某人射击一次，可能命中的环数是0,1,2，…，10，这11个结果中出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．③每天游览大明湖的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．④从袋子中取球，所得红球的数量可能是0个，1个，2个，其中究竟出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．⑤某人的性别是与生俱来的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．写出下列随机变量的可能取值，并说明相应取值所对应的随机试验结果．(1)袋中装有10个红球、5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(2)从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡号数之和为X.【解】(1)X的可能取值为0,1,2,3,4，X＝k表示取出k个红球，4－k个白球，其中k＝0,1,2,3,4.(2)X的可能取值为3,4,5,6,7.其中，X＝3表示取出分别标有1,2的2张卡片；X＝4表示取出分别标有1,3的2张卡片；X＝5表示取出分别标有1,4或2,3的2张卡片；X＝6表示取出分别标有2,4的2张卡片；X＝7表示取出分别标有3,4的2张卡片．第2课时离散型随机变量及其分布列(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．(2)掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．2．过程与方法通过具体实例，感受现实生活中的数学原型，经历概念的形成过程，体会概念的内涵．3．情感、态度与价值观体会数学来源于生活，也应该服务于生活，增强学习数学的兴趣．●重点难点重点：离散型随机变量分布列及其性质的应用．难点：求离散型随机变量的分布列．教学时引导学生结合学习过的概率，来理解离散型随机变量分布列的概念及性质，通过例题与练习加深对其理解，通过观察、比较、分析找出分布列的特点及求法，以强化重点，化解难点．(教师用书独具)●教学建议教材通过掷骰子试验的例子概括出离散型随机变量分布列的概念，教学时可通过引导启发学生类比函数的表示法来探究分布列的表示方法，通过例题让学生归纳分布列的性质特点，通过独立自主和合作交流进一步理解分布列．●教学流程创设问题情境，提出问题．⇒通过引导学生回答问题，让学生掌握离散型随机变量及其分布列．⇒通过例1及变式训练，掌握离散型随机变量的判定．⇒通过例2及互动探究掌握如何求离散型随机变量的分布列．⇒通过例3及变式训练掌握离散型随机变量的性质及应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正.掷一枚骰子，所得点数为x ，x 是离散型随机变量吗？x 可取哪些数字？x 取不同的值时，其概率分别是多少？【提示】 是，x ＝1,2,3,4,5,6，概率均为16.1．离散型随机变量随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量X的分布列(1)定义：设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…，随机变量X取a i的概率为p i(i＝1,2，…)，记作：P(X＝a i)＝p i(i＝1,2，…)，①或把①式列成如下表格：如果随机变量X的分布列为上述表格或①式，我们称随机变量X服从这一分布(列)，并记为a1a2p1p2….X～[](2)性质：在离散型随机变量X的分布列中，①p i>0；②p1＋p2＋ (1)(1)某座大桥一天经过的车辆数X；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.【思路探究】随机变量的实际背景→判断取值是否具有可列性→得出结论【自主解答】 (1)车辆数X 的取值可以一一列出，故X 为离散型随机变量． (2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量． (3)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．1．解答此类问题的关键在于明确随机变量的取值是否都能“一一列出”． 2．判断一个变量是否是离散型随机变量的步骤 (1)分析变量是否是随机变量； (2)考察随机变量的值域；(3)判断这些取值能否按一定顺序列举出来，若能则是离散型随机变量．判断下列变量是否为离散型随机变量： (1)下节课外语老师提问学生的次数η； (2)同时掷两枚硬币得到硬币反面向上的个数X ； (3)汽车的使用寿命Y ； (4)小麦的单位面积产量X .【解】 (1)(2)中的随机变量的取值均能一一列出，故为离散型随机变量． (3)(4)中的随机变量取值不能一一列出，故不是离散型随机变量．分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分，用X 表示得分数，求X 的分布列．【思路探究】 确定X 的可能取值―→ 求X 取每一个值的概率―→列表【自主解答】 由题意知，X 的可能取值是0,1,2,3,4， P (X ＝0)＝C 24C 29＝4×39×8＝16.P (X ＝1)＝C 14·C 13C 29＝13.P (X ＝2)＝C 14·C 12＋C 23C 29＝4×2＋39×82＝1136. P (X ＝3)＝C 13·C 12C 29＝3×29×82＝16.P (X ＝4)＝C 22C 29＝136.故X 的分布列为1．解答本题首先要明确X 指的是什么，能取哪些值． 2．解答此类题目，要注意解题格式．本例中，若每取到一个黑球得0分，每取到一个白球也得0分，每取到一个红球得2分，其它条件不变，求X 的分布列．【解】 由题意知，X 的可能取值是0,2,4. P (X ＝0)＝C 27C 29＝712，P (X ＝2)＝C 17C 12C 9＝718，P (X ＝4)＝C 22C 29＝136.故X 的分布列为设随机变量X 的分布列P (X ＝5)＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a 的值； (2)求P (X ≥35)；(3)求P (110<X <710)．【思路探究】 (1)先求出X 的分布列，再根据分布列的性质确定a .(2)、(3)中的概率利用互斥事件的概率公式结合分布列求解即可．【自主解答】 依题意，随机变量X 的分布列为(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝15.(2)P (X ≥35)＝P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝55)＝315＋415＋515＝45，或P (X ≥35)＝1－P (X ≤25)＝1－(115＋215)＝45.(3)因为110<X <710，所以X ＝15，25，35.故P (110<X <710)＝P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)．＝115＋215＋315＝25.1．随机变量的取值不一定是整数，它的取值一般来源于实际问题，并有特定的含义． 2．随机变量在某一范围内取值的概率等于在这一范围内取每个值的概率之和．已知随机变量X 的概率分布列，求随机变量Y ＝X 2的分布列.【解】 4与1，即Y 取4这个值的概率为X 取－2与2的概率112与212合并的结果，Y 取1这个值的概率为X 取－1与1的概率312与112合并的结果，故Y 的分布列为离散型随机变量分布列的应用(12分)袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的概率分布列； (3)计算介于20分到40分之间的概率．【思路点拨】 解答本题(1)利用古典概型公式求解即可；解答本题(2)的关键在于确定X 的所有可能取值；解答本题(3)由题意知计算介于20分到40分之间的概率等于X ＝3与X ＝4的概率之和，由(2)易得其概率．【规范解答】 (1)法一 “一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23.4分法二 “一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B ，则事件A 和事件B 是对立事件，2分因为P (B )＝C 15C 22C 18C 10＝13，3分所以P (A )＝1－P (B )＝1－13＝23.4分(2)由题意，X 所有可能的取值为2,3,4,5.5分 P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130；6分 P (X ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22C 310＝215；7分 P (X ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22C 310＝310；8分P (X ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22C 310＝815.9分 所以随机变量X 的概率分布列为10分(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝215＋310＝1330.12分离散型随机变量分布列问题融合了排列、组合，古典概型、互斥事件、对立事件的概率等知识，是较强的综合应用．1．离散型随机变量可能取的值为有限个或可列举的无限个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出．2．求离散型随机变量的分布列时应注意以下几点(1)确定离散型随机变量的分布列的关键是搞清X取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率．(2)在求离散型随机变量X的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样可以减少运算量，也可利用分布列的性质验证分布列是否正确.1．如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是( ) A ．ξ取每一个可能值的概率都是非负实数 B ．ξ取所有可能值的概率之和为1C ．ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D ．ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 【解析】 根据离散型随机变量的特点易知D 是假命题． 【答案】 D2．若随机变量X 的分布列如下，则m 的值是( )A.13B.12C.6D.4【解析】 由分布列的性质得m >0，且13＋16＋m ＝1，故m ＝12.【答案】 B3．设随机变量ξ等可能取值1,2,3，…，n ，若P (ξ<4)＝0.3，则n 的值为________． 【解析】 由条件知，ξ取1,2,3，…，n 时的概率均为1n.又∵ξ<4时，n ＝1,2,3，且P (ξ<4)＝0.3，∴3n＝0.3即n ＝10.【答案】 104．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，摸出白球，1，摸出红球.求X 的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的分布列．【解】 (1)X 的分布列如下表：(2)X 的分布列如下表：一、选择题1．设随机变量X的分布列如下，则下列各式中正确的是( )A.P(X＝1)＝0.1 B．P(X＞－1)＝1C．P(X＜3)＝1 D．P(X＜0)＝0【解析】根据分布列知只有A正确．【答案】 A2．下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；④1天内的温度η是一个随机变量．其中是离散型随机变量的为( )A．①②B．③④C．①③D．②④【解析】①中经过的车辆数和③中寻呼次数都能列举出来，而②④中都不能列举出来，所以①③中的ξ是一个离散型随机变量．【答案】 C3．(2013·东营高二检测)已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝12k，k＝1,2，…，则P(2<ξ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.15【解析】2<ξ≤4时，ξ＝3,4.∴P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝123＋124＝316.【答案】 A4．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1,2,3,4,5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积记为X，则X所有可能值的个数是( ) A．6 B．7 C．10 D．25 【解析】X的所有可能值有1×2,1×3,1×4,1×5,2×3,2×4,2×5,3×4,3×5,4×5，共计10个．【答案】 C5．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里各任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112的是( )A ．P (X ＝0)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)【解析】 C 18C 16表示从甲袋中取出的是白球，从乙袋中取出的是红球的方法数，C 14C 16表示从甲袋中取出的是红球，从乙袋中取出的是白球的方法数，恰好对应X ＝1.【答案】 C 二、填空题6．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果P (X ＜10)＝0.3，P (10≤X ≤30)＝0.4，那么P (X ＞30)等于________．【解析】 根据随机变量的概率分布的性质，可知P (X ＜10)＋P (10≤X ≤30)＋P (X ＞30)＝1，故P (X ＞30)＝1－0.3－0.4＝0.3.【答案】 0.37．(2013·岳阳高二检测)设X 是一个离散型随机变量，其分布列为，则q 等于________．【解析】 由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，q 2≥0，12＋1－2q ＋q 2＝1，∴q ＝1－22. 【答案】 1－228．由于电脑故障，随机变量X 的分布列中部分数据丢失，以代替，其表如下：【解析】 由概率和为1知，最后一位数字和必为零， ∴P (X ＝5)＝0.15，从而P (X ＝3)＝0.25.∴P (X 为奇数)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6. 【答案】 0.6 三、解答题9．(2013·阜阳高二检测)某电视台举行选拔大奖赛，在选手综合素质测试中，有一道把我国四大文学名著《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与他们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，记一位选手该题得分为X .(1)求该选手得分不少于6分的概率； (2)求X 的分布列.【解】 (1)P (X ＝6)＝C 24A 44＝14，P (X ＝12)＝1A 44＝124，该选手得分不少于6分的概率为P ＝P (X ＝6)＋P (X ＝12)＝724.(2)X 的可能取值是0,3,6,12.P (X ＝3)＝C 14×2A 44＝13，P (X ＝0)＝1－724－13＝924＝38.X 的分布列为10．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X 的分布列为期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y 表示经销一件该商品的利润． 求Y 的分布列．【解】 Y 的可能取值为200元，250元，300元．P (Y ＝200)＝P (X ＝1)＝0.4，P (Y ＝250)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4， P (Y ＝300)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2.故Y 的分布列为图2－1－111．(2013·江西高考改编)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列．【解】(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28＝28种，当X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1,0,1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X的分布列为(教师用书独具)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，。

高中数学北师大版选修2-3第二章《二项分布》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1、知识与技能:
(1)理解n次独立重复试验的模型;理解二项分布的概念。

(2)能利用n次独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题。

2、过程与方法:在具体问题的解决过程中,领会二项分布需要满足的条件,培养运用概率模型解决实际问题的能力。

3、情感态度与价值观:在利用二项分布解决简单的实际问题过程中深化对某些随机现象的认识,进一步体会数学在日常生活中的广泛应用。

2学情分析
本节课是在学生学习了离散型随机变量的分布列、,互斥事件、相互独立事件、超几何分布的基础上学习的,学生对本节课内容的理解没有多大困难。

3重点难点
教学重点:理解n次独立重复试验的模型;理解二项分布的概念。

教学难点:理解二项分布,利用二项分布解决简单的实际问题。

4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】二项分布（一）
1、若A、B是互斥事件,则 P(A+B)=?
2、若A、B是相互独立事件,则 P(AB)=?
3、求离散型随机变量的分布列的方法步骤?
4、超几何分布。

2.2.3 独立重复试验与二项分布新知初探 1．独立重复试验在条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验． 2．二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n ．此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～，并称p 为． 点睛 两点分布与二项分布的区别1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)独立重复试验每次试验之间是相互独立的．( ) (2)独立重复试验每次试验只有发生与不发生两种结果．( ) (3)独立重复试验各次试验发生的事件是互斥的．( ) 2．已知X ～B ⎝⎛⎭⎫6，13，则P (X ＝4)＝________． 3．连续掷一枚硬币5次，恰好有3次出现正面向上的概率是________．4．某人射击一次击中目标的概率为0．6, 经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________． 课堂讲练题型一独立重复试验概率的求法典例 某人射击5次，每次中靶的概率均为0．9，求他至少有2次中靶的概率． 类题通法独立重复试验概率求解的关注点(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．(2)运用独立重复试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n 次独立重复试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率． 活学活用某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率；(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率．题型二二项分布问题典例 已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的．(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X ，求X 的概率分布列． (2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率． 类题通法判断一个随机变量是否服从二项分布的关键(1)对立性，即一次试验中，事件发生与否二者必居其一． (2)重复性，即试验独立重复地进行了n 次． (3)随机变量是事件发生的次数． 活学活用1．已知X ～B ⎝⎛⎭⎫10， 13，则P (X ＝2)＝________．2．某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X 的分布列．——★ 参 考 答 案 ★——新知初探 1．相同2．B (n ，p ) 成功概率 小试身手1．[[答案]](1)√ (2)√ (3)× 2．[[答案]]202433．[[答案]]5164．[[答案]]0．648 课堂讲练题型一独立重复试验概率的求法 典例 解：[法一 直接法]在5次射击中恰好有2次中靶的概率为C 25×0．92×0．13； 在5次射击中恰好有3次中靶的概率为C 35×0．93×0．12； 在5次射击中恰好有4次中靶的概率为C 45×0．94×0．1； 在5次射击中5次均中靶的概率为C 55×0．95． 所以至少有2次中靶的概率为C 25×0．92×0．13＋C 35×0．93×0．12＋C 45×0．94×0．1＋C 55×0．95＝0．008 1＋0．072 9＋0．328 05＋0．590 49＝0．999 54． [法二 间接法]至少有2次中靶的对立事件是至多有1次中靶，它包括恰好有1次中靶与全没有中靶两种情况，显然这是两个互斥事件．在5次射击中恰好有1次中靶的概率为C 15×0．9×0．14； 在5次射击中全没有中靶的概率为0．15， 所以至少有2次中靶的概率为1－C 15×0．9×0．14－0．15＝1－0．000 45－0．000 01＝0．999 54． 活学活用解：(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为P ＝35×⎝⎛⎭⎫1－35×35×⎝⎛⎭⎫1－35×35＝1083 125． (2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标．根据排列组合知识，5次当中选3次，共有C 35种情况，因为各次射击的结果互不影响，所以符合n 次独立重复试验概率模型．故所求概率为P ＝C 35×⎝⎛⎭⎫353×⎝⎛⎭⎫1－352＝216625．(3)该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把3次连续击中目标看成一个整体可得共有C 13种情况． 故所求概率为P ＝C 13·⎝⎛⎭⎫353·⎝⎛⎭⎫1－352＝3243 125． 题型二二项分布问题典例 解：(1)由题意，随机变量X 可能取值为0,1,2,3， 则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，13． 即P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫130⎝⎛⎭⎫1－133＝827， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫1－132＝49， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫1－131＝29， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫133＝127． 所以X 的概率分布列为(2)第二小组第7每次试验又是相互独立的，因此所求概率为P ＝C 36⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫1－133×13＝1602 187． 活学活用 1．[[答案]]1 2806 561[[解析]]P (X ＝2)＝C 210⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫238＝1 2806 561． 2．解：由题意可知：X ～B ⎝⎛⎭⎫3，34， 所以P (X ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫34k ·⎝⎛⎭⎫143－k ，k ＝0,1,2,3． 即P (X ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫340×⎝⎛⎭⎫143＝164； P (X ＝1)＝C 13×34×⎝⎛⎭⎫142＝964； P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫342×14＝2764； P (X ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫343＝2764．分布列为。