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一次函数与二元一次方程第2课时教案设计

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《诺亚舟学习机在课堂教学中的设计案例》一次函数与二元一次方程(组)教学设计

《诺亚舟学习机在课堂教学中的设计案例》一次函数与二元一次方程(组)教学设计
图关键 步骤 ： 过 滑杆 设 置 系数 ａ ｂ ｃ、 （ ３）作 出函数 图 通 、 、 ｄ图 ； 像（ ４ ； 图 ）选择 移动 工具 ， 点击 移动 点 ， 拖动点 Ａ Ｂ Ｃ、 可 得到 、 、 Ｄ，
多少费用？ 学生 已经 学 习过 列方程 （ ） 用题 ， 组 解应 因此可 能列 出一 分别 元 一次方程 或二元一次 方程组 ， 方程模型解 决问题 。结 合前面对 任意 两直 线相 交的 图像 。选择交 点工 具 ， 点击 两条直线 得交 用 选择 垂线 段工 具过 交点 分别做 横轴 与纵 轴 的垂 线 。 出所 垂足 次 函数 与一元 一次方 程 、 元一次 不等 式之 间关系 的探究 ， 自 一 我 点，
索 ：是否 任意 两个 一次 函数 的交 点坐标 都 是 它们所 对应 的二元
一
次 方程 组 的解 ？此 时 ， 师留给 学生 充分探 索交流 的时 间与空 教 间 。 学生 可 能 出现 的疑 问给 予帮 助 ， 生共 同 归纳 出 ： “ ” 对 师 从 形
的 角度看 ， 解方程 组相 当于确 定 两条直 线交 点的 坐标 （ ２ 。作 图 ）
Ａ Ｂ Ｃ、 ， 、 、 Ｄ 可得任 意 方程 组 的解 （ ５ 。其 二 ， 自变量 ｘ 何 图 ） 当 取 值时， 函数 ｙ 一 ｘ 与 ｙ ２ 一 ： ＋ ＝ Ｘ １的值相 等？ 这个 函数值 是什
一
然地 提 出问题 ：一次 函数 与二元一 次方程之 间是否也有 联系昵？ ” “
标 的数据 ， 即是 方程组 的解 。选 择移动 工具 ， 点击移 动点 ， 拖动点
从 而揭示课题 。［ 计 意图］ 际情境 中学 习可以激发学 生的学 习 ｉ 殳 在实
兴趣 。 因此 。 “ 网收费” 用 上 这一 生活实际创 设情境 ， 用问题启发学 并 生去思 、 励学生 去探 、 鼓 激励 学生去 说 ， 力给学 生造 成 “ 求通而 努 心 未能得 。 口欲言而 不能说 ” 的情 势 ， 而唤起 学 生强烈 的 求知欲 ， 从 使

二元一次方程与一次函数说课稿

二元一次方程与一次函数说课稿

二元一次方程与一次函数说课稿 二元一次方程与一次函数说课稿1 一、教材分析 （一）教材的地位和作用 函数、方程和不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型。用函数的观点看方程（组）与不等式，学生不仅能加深对方程（组）、不等式的理解，提高认识问题的水平，而且能从函数的角度将三者统一起来，感受数学的统一美，学生在探索过程中体验到的数形结合以及数学建模思想，既是对前面所学知识的升华，同时也对今后学习高中的解析几何有着十分重要的意义。

（二）教学目标 新一轮的课程改革，旨在促进学生全面、持续、和谐的发展，我认为本节课的教学应达到以下目标：知识技能方面：理解一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法解二元一次方程组;

数学思考方面：经历一次函数与二元一次方程（组）关系的探索及相关实际问题的解决过程，学会用函数的观点去思考问题; 解决问题方面：能综合应用一次函数、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）解决相关实际问题;

情感态度方面：在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，体验数学的价值，建立自信。

（三）教学重、难点 从以上目标可以看出，学生既要通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的探究，习得知识、培养能力，又要用此关系解决相关实际问题，因此，本节课的教学重点应是一次函数与二元一次方程（组）关系的探索。考虑到八年级学生的数学应用意识不强，本节课的难点应是综合运用方程（组）、不等式和函数的知识解决相关实际问题。而关键则是通过问题情境的设计，激发学生的求知欲，引导学生探索、交流，引导学生发现、分析、解决问题。

二、教法分析 《数学课程标准》明确指出“数学教学是数学活动的教学”，“学生是数学学习的主人”。教师的职责在于向学生提供从事数学活动的机会，在活动中激发学生的学习潜能，引导学生自由探索、合作交流与实践创新。对于认知主体来说，八年级学生乐于探索，富于幻想，但他们的数学推理能力以及对知识的主动迁移能力较弱，为帮助学生更好地构建新的认知结构，促进学生的主动发展，本节课我采用情境—探究式教学法，以“情境――问题――探究――交流――应用――反思――提高” 的模式展开，以学生为中心，使其在“生动活泼、民主开放、主动探索”的氛围中愉快学习。

5.6 二元一次方程与一次函数 课件 2024-2025学年数学北师版八年级上册

5.6 二元一次方程与一次函数 课件 2024-2025学年数学北师版八年级上册

(答案图)
观察图象,可得直线y=-x-2与直线
y=2x+4的交点坐标为(-2,0),
+ = −2,
∴方程组ቊ
的解为
−2 + = 4
= −2,
ቊ
= 0.
(答案图)
1.如图,已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P,则根据
= + ,
图象可得,关于x,y的二元一次方程组ቊ
(1)将两个二元一次方程化图象,确定交点坐标;
(3)交点的横、纵坐标就是二元一次方程组的解.
利用一次函数图象解二元一次方程组
利用图象确定方程组
+ = −2,
ቊ
的解.
−2 + = 4
解:如答案图所示,画出一
次函数y=-x-2与一次函数
y=2x+4的图象.
则B(0,-1),
1
∴△ABC的面积= ×(5+1)×2=6.
2
(3)在直线BC上能否找到点P,使得S△ABP=9?若能,请求出
点P的坐标;若不能,请说明理由.
(3)能找到点P使S△ABP=9.理由如下:
1
设P(t,-t-1),则S△ABP= ×(5+1)× =9,
2
解得t=3或t=-3,
∴点P的坐标为(3,-4)或(-3,2).
综上,△AOD的面积为6.
= 1 + 1 ,
注意:方程组ቊ
(k1,k2≠0) 的 解 与 函 数
= 2 + 2
y=k1x+b1和y=k2x+b2图象的关系如下:
方程组有唯一解⇔一个交点⇔k1≠k2;
方程组无解⇔平行⇔k1=k2且b1≠b2;

《 一次函数的图象》示范公开课教学设计【北师大版八年级数学上册】第2课时

《 一次函数的图象》示范公开课教学设计【北师大版八年级数学上册】第2课时

第四章一次函数4.3 一次函数的图象第2课时教学设计一、教学目标1．经历一次函数图象的画图过程，初步了解画函数图象的一般步骤；经历一次函数图象变化情况的探索过程，发展数形结合的意识和能力.2．能熟练画出一次函数的图象；掌握一次函数及其图象的简单性质.二、教学重点及难点重点：用“两点法”画出一次函数图象是研究一次函数的性质的基础．难点：直线y=kx+b(k、b是常数，k≠0)常数k和b的取值对于直线的位置的影响．三、教学用具多媒体课件.四、相关资源《正比例函数y=－2x+1的图象的画法》动画或图片，《两点法画图象》的动画，《一次函数y=2x+3，y=－x，y=－x+3和y=5x－2的图象的画法》动画或图片.五、教学过程【复习导入】师：1．什么叫函数?在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．2．函数的表示方法有哪几种?（1）解析法（2）列表法（3）图象法3．同学们，上节课我们学习了正比例函数的图象，请画出正比例函数y=－2x的图象。

【探究新知】1．师：正比例函数y=－2x的图象是过原点的一条直线，那你们知道一次函数y=－2x+1 的图象是什么形状吗?那就让我们一起做一做，看一看，如何作出一次函数？要回答这个问题，必须弄清楚以下几点：（1）函数的图象是由无数个点构成的．（2）这些点在坐标系中是一对一对的有序实数．（3）此解析式实际上是一个二元一次方程，它的一对一对的x、y值可看作是图象上的点的坐标．（4）要找出它的某个点，实际上就是求出这个二元一次方程的一组解．（5）把x的值作为横坐标，y的值作为纵坐标．（6）把函数作图问题转化为求方程的解的问题．例画出一次函数y =－2x +1的图象。

解：列表：描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出对应的点。

连线：把这些点依次连接起来，得到y=－2x+1的图象，它是一条直线。

二元一次方程与一次函数的关系教学案精编

二元一次方程与一次函数的关系教学案精编

(3)在一次函数 y=5－x 的图象上任取一点，它的坐标适合方程 x+y=5 吗？
(4)以方程 x+y=5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y=5－x 的图象相同吗？
【课堂练习】 ： 1、下列说法中正确的是（
）.
（A）二元一次方程 3x 2 y 5 的解为有限个 （B）方程 3x 2 y 7 的解 x 、 y 为自然数的有无数对
x 1 2.已知 1 是方程 ax 4 y 2 的一个解，那么 a __________. y 2
3.已知 x y 4 ， x y 10 ，则 2 xy ________.
1
1 x 4.若 2 同时满足方程 2 x 3 y m 和方程 4 x y n ，则 m · n _________. y 1
的解的情况如何？你发现了什么？
【课堂练习】 1、（1）、有一组数同时适合方程 x+y=2 和 x+y=5 吗？ （2）、一次函数 y = 2− x，y = 5− x 的图象之间有何关系？
2、(1)在同一直角坐标系中作出一次函数 y=x+2，y=x-3 的图像． (2)两者的图像有何关系? (3) 你 能 找 出 一 组 数 适 合 方 程 x-y=2 ， x-y=3 吗 ?_________________ ， • 这 说 明 方 程 组
三、主要练习： 【知识点】 ：二元一次方程与一次函数的关系。 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图像与相应的一次函数的图像相同， 是一条直线。 【例题】 ： (1)方程 x+y=5 的解有多少个？写出其中几个？
(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数 y=5－x 的图象上吗？

北师大版八年级上册数学教案：5.6二元一次方程组与一次函数

北师大版八年级上册数学教案：5.6二元一次方程组与一次函数
（2）利用图像法求解二元一次方程组。强调通过绘制一次函数图像，观察图像交点来求解方程组的方法，并指导学生掌握图像的绘制技巧。
举例：求解方程组{y=3x-2, y=-x+4}，通过绘制两个一次函数的图像，找到它们的交点(2, 4)。
（3）实际应用问题中的二元一次方程组。重点教授如何从实际情境中抽象出二元一次方程组，并运用所学知识解决实际问题。
举例：小华和小明同时从同一地点出发，小华以每小时5公里的速度向南走，小明以每小时4公里的速度向东走，经过2小时后他们相距多远？可抽象为方程组{x=5t, y=4t}。
2.教学难点
（1）理解一次函数图像与二元一次方程组解的关系。难点在于帮助学生建立数形结合的观念，理解图像上的点与方程组解的一一对应关系。
举例：如何将两个物体同时运动的问题转化为二元一次方程组，并求解。
（4）解决含有两个未知数的方程组问题。对于一些学生来说，同时处理两个未知数可能会感到困惑，需要教授他们如何系统化地解决这类问题。
举例：如何按步骤解决方程组{3x+2y=8, 2x-3y=1}？
在教学过程中，需要针对这些重点和难点内容，通过生动的例子、直观的图像和实际操作，帮助学生透彻理解并掌握相关知识。同时，注重引导学生积极思考、提问和讨论，以提高他们对二元一次方程组与一次函数的理解和应用能力。
北师大版八年级上册数学教案：5.6二元一次方程组与一次函数
一、教学内容
北师大版八年级上册数学教案：5.6二元一次方程组与一次函数
本节课我们将探讨以下内容：
1.理解二元一次方程组的解与一次函数的关系；
2.学习利用一次函数图像求解二元一次方程组；
3.掌握二元一次方程组的解在实际问题中的应用；
4.举例说明二元一次方程组与一次函数的交集和平衡点。

一次函数与二元一次方程ppt课件

y=2x+1,y=3x的图像;
(2)利用你所画的图像,直接写出方程组
= 2 + 1,
的解.
= 3
图6-5-2
探
究
与
应
用
1
解:(1)函数y=2x+1的图像经过点(0,1),(- ,0);
2
函数y=3x的图像经过点(0,0),(1,3).
作函数y=2x+1,y=3x的图像如图.
= 2 + 1,
拓展
5 2
,
3 3
=
= −2 + 4,
[解析] 由
得
= − 1,
=
5
,
3
2
,
3
∴一次函数y=-2x+4与y=x-1的图像的交点坐标为
5 2
,
3 3
.
谢 谢 观 看！
探
究
与
应
用
拓展 (2021苏州期末)一次函数y=-2x+4与y=x-1的图像的交
点坐标为
5 2
,
3 3
.
相关解析
例1 B [解析] 因为以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标
1
的点(x,y)都在直线y=- x+b-1上,直线的函数表达式乘2,得2y=
2
-x+2b-2,变形为x+2y-2b+2=0,所以-b=-2b+2,解得b=2.故选B.
2x-y-3=0的形式,反过来,二元一次方程2x-y-3=0
可以写成一次函数y=2x-3的形式.
图6-5-1
探
究
与
应
用
(2)点P(4,5)在函数y=2x-3的图像上,x=4,y=5是方程2x-y-3=0的解;

2024秋八年级数学上册第6章一次函数6.6一次函数与二元一次方程(组)说课稿(新版)苏科版

1. 拓展资源：
- 数学故事：《函数的发展史》：介绍一次函数的起源及其在数学史上的地位，帮助学生了解数学概念的形成过程。
- 数学杂Байду номын сангаас或文章：选择一些介绍一次函数在实际应用中的文章，如一次函数在经济学、物理学等领域的应用，让学生看到数学知识的广泛性。
- 数学游戏：设计一些包含一次函数知识点的数学游戏，如“函数图像寻宝”等，提高学生的学习兴趣和动手操作能力。
- 收集一些生活中的实例图片和图表，如坐标轴上的移动点表示物体运动，以直观展示一次函数与实际问题的联系。
- 准备一些视频资源，如数学实验操作视频，展示如何从图像推导方程解的过程。
- 设计并打印一些练习题和思考题，包括不同难度层次的问题，以便进行课堂巩固和课后作业。
3. 实验器材：
- 如果条件允许，准备几何画板或函数绘图器，让学生通过实际操作探索一次函数的性质。
二、核心素养目标
三、教学难点与重点
1. 教学重点
- 掌握一次函数与二元一次方程（组）的相互转化方法。
- 能够通过图像识别一次函数与二元一次方程（组）的解。
- 运用一次函数解决实际问题，理解其在生活中的应用。
- 通过具体例子，如经济增长、距离速度问题等，强化一次函数与方程的实际意义。
2. 教学难点
- 理解一次函数图像与二元一次方程（组）解的关系，特别是当图像与坐标轴交点与解的关系。
提问与讨论：对不懂的问题提出疑问，参与班级讨论，分享解题思路。
- 教学方法/手段/资源：
讲授法：通过讲解，帮助学生理解知识点。
实践活动法：通过小组讨论，让学生在实践中掌握技能。
合作学习法：通过团队合作，培养学生的沟通能力。
- 作用与目的：
加深学生对知识点的理解，通过实践活动，培养学生的应用能力。

人教版八年级数学下册课件：19.2一次函数--2.3 一次函数与方程、不等式(2)一次函数与二元一次方程组


24
知识点三：二元一次方程组与一次函数的关系
学以致用
3.已知坐标平面上有两直线相交于一点(2，a)，且两直线的方
程式分别为2x+3y=7，3x-2y=b，其中a，b为两数，求a+b之值
为何?( C)A.1 B.-1 C.5 D.-5
4.若一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象没有交点，则关于x
∴OA=3,OB=1,∴AB=4.∴S△ABC=
1 2
×4×1=2.
27
知识点四：一次函数与方程(组)与几何图形的综合问题
典例讲评
解：(3)能，理由如下：设点P的横坐标为x， y
则
S△APB=
1 2
×4×|x|=6，
A C
解得x=±3.
O
x
B
把x=3代入y=-2x-1，得y=-7；
把x=-3代入y=-2x-1，得y=5；
情景引入
大家观察一次函数的解析式y=x+1，是否有过这样的 疑问:为什么一次函数的解析式与二元一次方程非常相似呢? 是的，你没有猜错，如果我们将一次函数的解析式看作为 一个元一次方程，那么，一次函数y=x+1上的每一个点坐 标就对应二元一次方程x-y+1=0上的一个解.一次函数图象 上有无数个点，二元一次方程也有无数个解.本节课，我们 就来看看一次函数与二元一次方程的关系.
y y=kx-1
A
O Bx C
31
知识点四：一次函数与方程(组)与几何图形的综合问题
学以致用
2.（3）①当点A运动到什么位置时， △AOB的面积是 ？ ②在①成立的情况下，在两条坐标轴上是
否存在一定P，使△POA是等腰直角三角 形？若存在，请写出满足条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

【2024版】2022年数学八上《二元一次方程与-一次函数》课件精品(新北师大版)

二元一次方程组与对应两条相交直线的关系
二元一次方程组与对应两条平行线的关系
北师大版 数学 八年级 上册
5.1 认识二元一次方程组
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.某队为了争取较好名次,想在全部16场比赛中得到28分,那么这个队胜负场数分别是多少?
用学过的一元一次方程能解决此问题吗？
解：没有,直线y=2－x与y=5 －x平行.
在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如下图，那么关于x，y的方程组 的解是___________．
〔2，2〕
3．如图，两条直线的交点坐标可以看作哪个方程组的解？
解：
3-1
2
-3
x
y
0
如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，那么方程组 的解是多少？
D
中，是二元一次方
二元一次方程组的判断
提示：三个要素：
含有两个未知数
含有未知数的项的次数为1
整式方程
以下方程组中，哪些是二元一次方程组_______________
〔3〕
〔5〕
〔6〕
x
y
探究 公园门票问题中的方程 x+y=8 ，且符合问题的实际意义的值有哪些？把它们填入表中.
思考1 如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？
不是
例1 判断以下方程是否为二元一次方程：
(7) 4x+ π =0
(8) 2x=1-3y
不是
是
二元一次方程的判断
判断一个方程是否为二元一次方程的方法： 一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0，且含未知数的项的次数都是1.
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一次函数与二元一次方程第2课时教案设计
教学目标
【知识与技能】
1. 学会用函数图象来解二元一次方程组.
2. 通过学习，了解方程组的解在坐标平面内的意义.
【过程与方法】
1. 经历探索、思考等教学活动和思维过程，发展学生的合
情推理能力，能有条理地、清晰地阐述观点.
2. 让学生体验数形结合的思想和解决问题的方法，提高解
决问题的能力.
3. 体会解决问题的多种途径，发散学生的思维，发展学生
的创新能力和实践能力.
【情感、态度与价值观】
在探究过程中发展学生的合作交流意识和独立思考精神，
增强学生对数学思维、数学方法的好奇心和兴趣.
重点难点
【重点】
用图象法解二元一次方程组.
【难点】
归纳用图象法解二元一次方程组的具体步骤.
教学过程
一、 复习回顾，导入新知
教师多媒体出示：(提问学生)
1.一次函数与二元一次方程之间有什么对应关系？
2.二元一次方程的图象是什么？怎么画？
3.以前我们学过哪些方法解二元一次方程组？
4.怎么检验方程组的解？
二、共同探究，获取新知
教师多媒体出示：❶一次函数与二元一次方程组的联系
1. (1) 在平面直角坐标系中画出直线l1:y=-0.5x+1与直线
l2:y=2x
+6的图象;

(2) 如果直线l1与l2相交于点P，写出点P的坐标P( -2 ,
2 );
(3) 检验点P的坐标是不是下面方程组的解？
问：为什么点P的坐标是以上方程组的解呢？
说明：直线l1:y=-0.5x+1是方程x+2y=2的图象，因此直
线l1上任意一点的坐标都是方程x+2y=2的解；……所以直线
l1与直线l2的交点P的坐标是方程x+2y=2与2x-y=-6的公共
解，即方程组的解.
引导学生归纳结论：
● 因为每个二元一次方程的图象都是一条直线，所以解二

x
y
8
6
4
2

2
51015
P

4
2
-3

l2:y=2x+6
l1:y=-12x+1
(-3,0)
-2
O




6222yx
yx


22-y
x




6222yx
yx
元一次方程组就转化为在平面直角坐标系里研究两条直线
的交点问题了.
● 两直线交点的坐标就是二元一次方程组的解.
2.例题讲解
1). 利用函数图象解方程组
解 对于方程①，有
过点(0,1)和(-1,0)画出方程①所对应的直
线l:y=x+1.
对于方程② ，有

两直线交于点P(1，2). ∴原方程组的解为
引导学生归纳图象法解二元一次方程组的步骤：
1.画图——画出两方程的图象.
2.指点——指出交点坐标.
3.写解——写出方程组的解.
2). 利用函数图象解方程组
解 对于方程①，有
过点(0,-1)和(2,4)画出方程①所对应的直线
l1:y=-1.5x-1.
对于方程② ，有

x
y
6
4
2

2
4

51015
1
-1

1
P
4
2

l:y=x+1

l:y=-2x+4
(1,2)
-2
O

x 0 -1
y 1 0

x 0 2
y 4 0

x 0 2
y -1 4

x 0 2
y 1 -2




421yx
yx




21y
x




446223yx
yx

过点(0,4),(2,0)画出
方程②所对应的直线
l:y=-2x+4.如右图所示.
过点(0,1)(2,-2)画出方程②所对应的直线 l2:y=-1.5x+1.
3). 利用函数图象解方程组
解 对于方程①，有
过点(0,-2)和(2,3)画出方程①所对应的直线


3.探究 ❷二元一次方程组中的对应系数比与方程组的解

的个数之间的关系.
观察发现：1.二元一次方程组的解有几种情况？
2.两方程中同一个未知数的系数之比以及常数
项之比与解的情况有何关系？

x
y
4

2

2
4
6

551015
l2:y=-32x+1
-1
1-11P42-3

l1:y=-32x-1
(1,2)
-2
O

x
y
2

2
4
6

510
8
3
l:y=2.5x-2
2
4

3
1
O

x 0 2
y -2 3

x 0 2
y -2 3

如右图所示：
两直线平行，
故原方程组无解.




84-10425yx
yx

l1:y=2.5x-2.
对于方程②，有
同样地，过点(0,-2)和(2,3)画出方
程②所对应的直线 l2:y=2.5x-2.如
右图所示：
两直线重合，原方程组有无穷多组解.
引导学生得出结论：
三、迁移巩固
四、课堂小结
❶一次函数与二元一次方程组的联系
❷二元一次方程组中的对应系数比与方程组的解的个数之
间的关系.
四、课堂小结
书面作业：课本P53/习题12.3/2.
课后思考：课本P63/B组复习题/3.
两个一次函数表达式写成如下形式，l1:y=k1x+b1，
l2:y=k2x+b2.问k1,k2,b1,b2有何关系时，直线l1与l
2
分别相交、

平行、重合？