2021版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件教案

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件【高考会这样考】1．考查四种命题的意义及相互关系．2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解．3．考查题型主要以选择题、填空题形式出现，常与集合、几何等知识结合命题．【复习指导】复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的理解及判定．基础梳理1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若綈p，则綈q逆否命题若綈q，则綈p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．一个区别否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假．三种方法充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．(2)等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．双基自测1．(人教A版教材习题改编)以下三个命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________．解析①由2＞－3⇒/ 22＞(－3)2知，该命题为假；②a2＞b2⇒|a|2＞|b|2⇒|a|＞|b|，该命题为真；③a＞b⇒a＋c＞b＋c，又a＋c＞b＋c⇒a＞b；∴“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件为真命题．答案②③2．(2011·陕西)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()．\A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b解析“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”．答案 D3．(2011·山东)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y ＝f(x)是奇函数”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.答案 B4．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()．A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数解析原命题是全称命题，则其否定是特称命题，故选D.答案 D5．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为.答案若a≤b，则有2a≤2b－1考向一命题正误的判断【例1】►(2011·海南三亚)设集合A、B，有下列四个命题：①A⃘B⇔对任意x∈A都有x∉B；②A⃘B⇔A∩B＝∅；③A⃘B⇔B⃘A；④A⃘B⇔存在x∈A，使得x∉B.其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上)．[审题视点] 对于假命题，举出恰当的反例是一难点．解析①不正确，如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，有A⃘B但2∈A且2∈B.②不正确，如A＝{1,2}，B＝{2,3}，有A⃘B而A∩B＝{2}．③不正确，如A＝{1,2}，B＝{2}，有A⃘B但B⊆A.④正确．答案④正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．【训练1】给出如下三个命题：①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；②设a，b∈R，且ab≠0，若ab＜1，则ba＞1；③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中不正确命题的序号是()．A．①②③B．①②C．②③D．①③解析对于①，可举反例：如a，b，c，d依次取值为1,4,2,8，故①错；对于②，可举反例：如a、b异号，虽然ab＜1，但ba＜0，故②错；对于③，y＝f(|x|)＝log2|x|，显然为偶函数，故选B.答案 B考向二四种命题的真假判断【例2】►已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()．A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题[审题视点] 分清命题的条件和结论，理解四种命题间的关系是解题关键．解析f′(x)＝e x－m≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m≤e x在(0，＋∞)上恒成立，故m≤1，这说明原命题正确，反之若m≤1，则f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故选D. 答案 D判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．【训练2】已知命题“函数f(x)、g(x)定义在R上，h(x)＝f(x)·g(x)，如果f(x)、g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3解析由f(x)、g(x)均为奇函数，可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，反之则不成立，如h(x)＝x2是偶函数，但函数f(x)＝x2e x，g(x)＝ex都不是奇函数，故逆命题不正确，故其否命题也不正确，即只有原命题和逆否命题正确．答案 C考向三充要条件的判断【例3】►指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.[审题视点] 结合充分条件，必要条件的定义判断所给命题间的关系．解(1)在△ABC中，∠A＝∠B⇒sin A＝sin B，反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A＝B.故p是q的充要条件．(2)易知，綈p：x＋y＝8，綈q：x＝2且y＝6，显然綈q⇒綈p，但綈p⇒/ 綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，所以p是q的必要不充分条件．(4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，所以p⇒q但q⇒/ p，故p是q的充分不必要条件．判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．【训练3】(2010·山东)设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析a1＜a2且a1＞0，则a1(1－q)＜0，a1＞0且q＞1，则数列{a n}递增；反之亦然．答案：C难点突破2——高考中充要条件的求解从近几年课改区高考试题可以看出，高考主要以选择题或填空题的形式对充分条件、必要条件内容进行考查，一般难度不大，属中档题，常与不等式、数列、向量、三角函数、导数、立体几何等内容结合考查．考查形式主要有两种：一是判断指定的条件与结论之间的关系；二是探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件．判断充分、必要条件要从两方面考虑：一是必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪个成立，该类问题虽然属于容易题，但有时会因颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分．一、充要条件与不等式的解题策略【示例】►(2011·天津)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、充要条件与方程结合的解题策略【示例】►(2011·陕西)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.三、充要条件与数列结合的解题策略【示例】►(2010·山东)设{a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件四、充要条件与向量结合的解题策略【示例】►(2010·福建)若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件五、充要条件与三角函数结合的解题策略【示例】► (2010·上海)“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的()． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件。

2021年高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件习题理[基础达标]一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列关于命题的说法错误的是()A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题是“若x≠1,则x2-3x+2≠0”B.命题“若0<a<1,则函数y=a x的值域是[0,+∞)”是假命题C.命题“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a≤1,则a2≤1”D.命题“存在实数x∈R,使得sin x+cos x=2”为真命题1.D【解析】对于选项D,由于sin x+cos x=sin x+∈[-],所以说法错误,其他选项的说法正确.2A=,B={x|log2(x-1)<0},那么“x∈A”是“x∈B”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件2.C【解析】A=={x|1<x<2},B={x|log2(x-1)<0}={x|1<x<2},所以A=B,故“x∈A”是“x ∈B”的充要条件.3x<1”是“log2(x+1)<1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分又不必要条件D.充要条件3.B【解析】由log2(x+1)<1,得0<x+1<2,解得-1<x<1,而集合{x|-1<x<1}是集合{x|x<1}的真子集,故选项B正确.4l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.B【解析】已知m⊥α,当l⊥m时,可得l∥α或l⊂α,故“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件.5a=1”是“直线l1:ax+y-1=0与直线l2:4x+(a+3)y+5+a=0平行”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.C【解析】直线l1:ax+y-1=0与直线l2:4x+(a+3)y+5+a=0平行,则,解得a=1,∴是充要条件.6α=cos α”是“cos 2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.A【解析】因为cos 2α=0⇔cos2α=sin2α⇔cos α=sin α或cos α=-sin α,所以“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.7.命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a≥4B.a≤4C.a≥5D.a≤57.C【解析】命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件是a≥4,故其充分不必要条件是集合[4,+∞)的非空真子集,正确选项为C.二、填空题(每小题5分,共15分)8.命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题为.8.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0【解析】“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题为“若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0”.9.(xx·新余期末考试)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△ABC的面积为”的.(选填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)9.充分不必要条件【解析】直线所过的定点(0,1)在圆上,不妨设其为A点,而B点也在圆上,若S△OAB=|OA|·|OB|sin ∠AOB=sin ∠AOB=,则∠AOB必为直角,所以S△OAB=的等价条件是k=±1,所以“k=1”时,必有△ABC的面积为,但反之未必成立.10.已知p:≤x≤1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.10. 【解析】q:(x-a)(x-a-1)≤0,∴a≤x≤a+1.由p是q的充分不必要条件,知∴0≤a≤.[高考冲关]1.(5分a,b是两个非零的平面向量,则“|a|=|b|”是“(a+b)·(a-b)=0”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1.C【解析】由|a|=|b|得a2=b2⇒a2-b2=0⇒(a-b)(a+b)=0,反之也成立,故选项C正确.2.(5分z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是() A.真、假、真 B.假、假、真C.真、真、假D.假、假、假2.B【解析】由共轭复数的性质知原命题是真命题,则其逆否命题也是真命题,排除选项C,D;又其逆命题与否命题也是互为逆否命题,必是同真同假,又可以排除选项A.3.(5分a为实数,则|a|≥1是关于x的绝对值不等式|x|+|x-1|≤a有解的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.B【解析】由|a|≥1得a≥1或a≤-1,而1≤|x|+|x-1|,所以(|x|+|x-1|)min=1,不等式|x|+|x-1|≤a有解,则必须a≥1,而{a|a≥1}是{a|a≥1或a≤-1}的真子集,故选项B 正确.4.(5分)若“x2-2x-8>0”是“x<m”的必要不充分条件,则m的最大值为.4.-2【解析】由x2-2x-8>0得x>4或x<-2,故m的最大值为-2.5.(5分)设命题p:|x-1|>2,命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围为.5.[-1,2]【解析】p:|x-1|>2⇒x>3或x<-1;q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0⇒a≤x≤a+1,所以 p:-1≤x≤3,由 p是q的必要不充分条件,得 (等号不能同时成立),解得-1≤a≤2,故实数a的取值范围为[-1,2].6.(10分)已知P={x|x2-8x-20≤0},S={x||x-1|≤m}.(1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?若存在,求实数m的取值范围;(2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件?若存在,求实数m的取值范围.6.【解析】(1)由已知可得P={x|-2≤x≤10},S={x|1-m≤x≤m+1}.若x∈P是x∈S的充要条件,则故m不存在.(2)若存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P.若S=⌀,即m<0时,满足条件.若S≠⌀,应有解得0≤m≤3.综上可得m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件.。

命题及其关系、充分条件与必要条件 课时作业 1．(2020·人大附中段考)命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1 B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1 D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1 答案 D 解析 原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“－1定是“x≥1或x≤－1”．故选D． 2．命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题是( ) A．若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0 B．若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0 C．若x2＋y2≠0，则x，y都不为0 D．若x2＋y2＝0，则x，y都不为0 答案 B 解析 否命题是既否定条件又否定结论． 3．命题“若m>－1，则m>－4”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析 原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若m>－4，则m>－1”为假命题，故否命题也为假命题，故选B． 4．若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 f(x)是定义在R上的奇函数可以推出f(0)＝0，但f(0)＝0不能推出函数f(x)为奇函数，例如f(x)＝x2.故选B．

5．(2019·大连模拟)设a，b∈R，若p：aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 若p：－1<1，则p⇒/ q；若q：1b<1a<0，则a分条件．故选B． 6．已知命题p：若x2－3x＋2＝0，则x＝1 或x＝2，下列说法正确的是( ) A．p的否定是真命题 B．p的否命题是真命题 C．p的逆命题是假命题 D．p的逆否命题是假命题 答案 B 解析 命题p的否命题是：若x2－3x＋2≠0，则x≠1且x≠2，是真命题，且p是真命题，故p的逆命题是真命题，逆否命题是真命题，p的否定是假命题，故选B． 7．下列命题中为真命题的是( ) A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题 B．命题“若x2≤1，则x≤1”的否命题 C．命题“若x＝1，则x2－x＝0”的否命题

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件一、知识梳理1．命题在数学中，可以判断真假用文字或符号表达的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A⊆/B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．二、教材衍化1．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是________，是________命题(填“真”或“假”)．解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．答案：若x≤y，则x2≤y2假2．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的________条件．解析：2－x≥0，则x≤2，(x－1)2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知：“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．答案：必要不充分3．原命题“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有2个．答案：2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．( )(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．( )(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( )(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )(5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)命题的条件与结论不明确；(2)含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况；(3)对充分必要条件判断错误．1．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0.2．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤0.3．条件p：x>a，条件q：x≥2.(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________；(2)若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是________．解析：设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}，(1)因为p是q的充分不必要条件，所以A B，所以a≥2；(2)因为p是q的必要不充分条件，所以B A，所以a<2.答案：(1)a≥2(2)a<2四种命题的相互关系及真假判断(自主练透)1．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：选D.命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．2．有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是( )A．①②B．②③C．④D．①②③解析：选D.①原命题的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m ≤1，Δ＝4－4m ≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A ∩B ＝B ，得B ⊆A ，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．3．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k2，k ∈Z ，记原命题：“x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C.因为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k ＋12 {k ∈Z }，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k2，k ∈Z ，所以PQ ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题， 则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题， 则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点 ①对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．[提醒] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．(2)判断命题真假的2种方法①直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．充分条件、必要条件的判断(师生共研)(1)(2020·郑州模拟)已知a ，b 都是实数，那么“b >a >0”是“1a >1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2020·延安模拟)已知p ：x ＝2，q ：x －2＝2－x ，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 (1)若1a >1b ，则1a －1b ＝b －a ab >0.当0<a <b 时，1a >1b 成立；当a >0，b <0时，满足1a >1b，但0<a <b 不成立．故“b >a >0”是“1a >1b”的充分不必要条件，故选A.(2)当x －2＝2－x 时，两边平方可得(x －2)2＝2－x ，即(x －2)(x －1)＝0，解得x 1＝2，x 2＝1.当x ＝1时，－1＝1，不成立，故舍去，则x ＝2，所以p 是q 的充要条件，故选C.【答案】 (1)A (2)C判断充要条件的3种常用方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与﹁B ⇒﹁A ，B ⇒A 与﹁A ⇒﹁B ，A ⇔B 与﹁B ⇔﹁A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．[提醒] 判断充要条件需注意3点 (1)要分清条件与结论分别是什么． (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断． (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．1．(2019·高考天津卷)设x ∈R ，则“x 2－5x <0”是“|x －1|<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.由x 2－5x <0可得0<x <5.由|x －1|<1可得0<x <2.由于区间(0，2)是(0，5)的真子集，故“x 2－5x <0”是“|x －1|<1”的必要而不充分条件．2．(2020·安徽淮南二模)设λ∈R ，则“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x ＋4y ＋1＝0，3x ＋2y －2＝0，此时两条直线平行；若直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合．综上，“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的充分不必要条件，故选A.充分条件、必要条件的探求及应用 (典例迁移)(1)设集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x ≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( )A ．－1<x ≤1B ．x ≤1C ．x >－1D ．－1<x <1(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，则m 的取值范围为________．【解析】 (1)因为集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x ≥1}，又因为“x ∈A 且x ∉B ”，所以－1<x <1；又当－1<x <1时，满足x ∈A 且x ∉B ，所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是“－1<x <1”．故选D.(2)由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0，3]． 【答案】 (1)D (2)[0，3]【迁移探究】 (变问法)本例(2)条件不变，若“x ∈﹁P ”是“x ∈﹁S ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为“x ∈﹁P ”是“x ∈﹁S ”的必要不充分条件， 所以P ⇒S 且S ⇒P .所以[－2，10][1－m ，1＋m ]．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.所以m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．1．命题“对任意的x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A．a≥9 B．a≤9C．a≥10 D．a≤10解析：选C.命题“对任意的x∈[1，3]，x2－a≤0”⇔“对任意的x∈[1，3]，x2≤a”⇔9≤a.则a≥10是命题“对任意的x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C.2．若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．解析：由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.答案：3[基础题组练]1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：选B.命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．2．“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是( )A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0解析：选C.依题意得，原命题的题设为若x2＋y2＝0，结论为x，y全为零．逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，故选C.3．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．4．下列命题：①“若a ≤b ，则a ＜b ”的否命题；②“若a ＝1，则ax 2－x ＋3≥0的解集为R ”的逆否命题； ③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；④“若2x 为有理数，则x 为无理数”的逆否命题． 其中真命题的序号为( ) A ．②④ B ．①②③ C ．②③④D ．①③④解析：选B.对于①，逆命题为真，故否命题为真； 对于②，原命题为真，故逆否命题为真； 对于③，“面积相等的圆周长相同”为真；对于④，“若2x 为有理数，则x 为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选B.5．设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.因为|a －3b |＝|3a ＋b |，所以(a －3b )2＝(3a ＋b )2，所以a 2－6a ·b ＋9b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2，又因为|a |＝|b |＝1，所以a ·b ＝0，所以a ⊥b ；反之也成立．故选C.6．(2020·咸阳模拟)已知p ：m ＝－1，q ：直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意得直线x ＋m 2y ＝0的斜率是－1，所以－1m2＝－1，m ＝±1.所以p 是q的充分不必要条件．故选A.7．(2020·郑州模拟)设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“a ·(b －c )＝0”是“b ＝c ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.由b ＝c ，得b －c ＝0，得a ·(b －c )＝0；反之不成立．故“a ·(b －c )＝0”是“b ＝c ”的必要不充分条件．8．使a ＞0，b ＞0成立的一个必要不充分条件是( ) A ．a ＋b ＞0 B ．a －b ＞0 C ．ab ＞1D ．a b＞1解析：选A.因为a ＞0，b ＞0⇒a ＋b ＞0，反之不成立，而由a ＞0，b ＞0不能推出a －b ＞0，ab ＞1，a b＞1，故选A.9．在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件．解析：由A ＝B ，得tan A ＝tan B ，反之，若tan A ＝tan B ，则A ＝B ＋k π，k ∈Z .因为0<A <π，0<B <π，所以A ＝B ，故“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的充要条件．答案：充要10．在命题“若m >－n ，则m 2>n 2”的逆命题，否命题，逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：311．(2020·齐鲁名校调研)给出下列说法：①“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题；②“在△ABC 中，sin B >sin C 是B >C 的充要条件”是真命题；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”． 以上说法中正确的是________(填序号)． 解析：对于①，“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B >sin C ⇔b >c ⇔B >C ，②正确；对于③，“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④[综合题组练]1．(2020·抚州七校联考)A ，B ，C 三个学生参加了一次考试，A ，B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．则下列四个命题中为p 的逆否命题的是( )A ．若及格分不低于70分，则A ，B ，C 都及格 B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分 C ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p 的逆否命题是若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.2．(2020·合肥模拟)若a ，b 都是正整数，则a ＋b ＞ab 成立的充要条件是( ) A ．a ＝b ＝1 B ．a ，b 至少有一个为1 C ．a ＝b ＝2D ．a ＞1且b ＞1解析：选B.因为a ＋b ＞ab ，所以(a －1)(b －1)＜1.因为a ，b ∈N +，所以(a －1)(b －1)∈N ，所以(a －1)(b －1)＝0，所以a ＝1或b ＝1.故选B.3．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故实数a 的取值范围是－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]4．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且﹁q 的一个充分不必要条件是﹁p ，则a 的取值范围是________．解析：由x 2＋2x －3＞0，得x ＜－3或x ＞1，由﹁q 的一个充分不必要条件是﹁p ，可知﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件，故a ≥1.答案：[1，＋∞)。