杆件的应力

σ
B A
D
C
E
O
ε
1. 弹性阶段 OAB：这一阶段可分为：斜直线 和微弯曲 ：这一阶段可分为：斜直线OA和微弯曲
线AB，该段范围内，试件变形是弹性的，卸载后变形可完全恢复。 ，该段范围内，试件变形是弹性的，卸载后变形可完全恢复。 去外力后变形完全消失的性质称为弹性
σ
D
B A
C
E
O
ε
1.OB段：弹性阶段 段
一、薄壁圆筒的扭转 等厚度的薄壁圆筒,平均半径为 壁厚为 等厚度的薄壁圆筒 平均半径为 r,壁厚为 t
壁厚t<<r
m 薄壁圆筒扭转试验
m
预先在圆筒的表面画上等间距 的纵向线和圆周线， 的纵向线和圆周线，从而形成 一系列的正方格子。 一系列的正方格子。 观察到的现象 圆周线保持不变； 圆周线保持不变；纵向线发生倾斜 设想 薄壁圆筒扭转后，横截面保持为大小均无改变的平面， 薄壁圆筒扭转后，横截面保持为大小均无改变的平面，相邻 两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。 两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。
标准试件 标距 l，通常取 l
= 5d
或l
= 10 d
夹头
夹头
液压式万能试验机 活塞
油管
活动试台
底座
低碳钢——含碳量在0.3%以下的碳素钢。 (I)低碳钢Q235(A3钢)试件的拉伸图：
（P— ∆L) 曲线——拉伸图 P
D B A
C
E
O
∆l
P
σ
P A
∆l
ε ∆l
l
（Ⅱ）低碳钢 Q 235 的应力—应变图（ σ−ε ）曲线
二、剪应力互等定理
纯剪切：单元体上只有 剪应力而无正应力。
τ′
dy
τ
t
微元体 单元体
(τ ⋅ t d y )dx = (τ ′ ⋅ t d x )dy dx
τ =τ′
在相互垂直的两个平面上, 剪应力互等定理 : 在相互垂直的两个平面上 剪应力一定成对出现，其数值相等， 剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同 时指向或背离两平面的交线。 时指向或背离两平面的交线。
6.2材料在拉伸与压缩时的力学性质
Ⅰ. 材料力学性质的实验研究
一、材料的力学（机械）性质——指材料在 材料的力学（机械）性质 指材料在 外力作用下表现出的变形、 外力作用下表现出的变形、破坏方面的特性 二、实验条件：常温、缓慢平稳加载（静 实验条件：常温、缓慢平稳加载（ 载）
Ⅱ. 材料的拉伸实验 一、低碳钢的拉伸实验
B
γ
C
D
'
C
'
剪应力在截面上均匀分布， 剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径 与周线相切
m
m
T
T
τ ⋅ dA
r
dA
r ⋅ τ ⋅ dA = T ∫ r ⋅ τ ∫ dA = T
A A
r ⋅ τ ⋅ 2π rt = T
T τ= 2 2π r t
根据精确的理论分析,当 根据精确的理论分析 当t≤r/10时,上式 时 上式 的误差不超过4.52%,是足够精确的。 是足够精确的。 的误差不超过 是足够精确的
Ip
ρ max
抗扭截面模量
Tρ τρ = Ip
τ max
τ max
τ max
T = Wt
下面求极惯性矩I p 和抗扭截面模量Wt
d /2
I p = ∫ ρ dA =
2 A
∫ρ
0
2
2 π ρ dρ = 2π
d /2
∫ρ
0
3
dρ
d 4 2 πd = 2π = 4 32
4
Wt =
Ip
6.3应力集中的概念 应力集中的概念
• 在局部区域应力突然增大的现象，称 为应力集中。
横截面上的最大应力σ 与平均应力σ 横截面上的最大应力σmax与平均应力σn 的比值称为应力集中系数， 表示。 的比值称为应力集中系数，以K表示。 应力集中系数 表示
σ max K= σn
§6.4圆轴扭转切应力 圆轴扭转切应力
h = 15～ 3.0 . d
低碳钢压缩时的σ-ε曲线 低碳钢压缩时的 曲线
σ
b
测不出
压缩
σ
拉伸
两条曲线的主要部分基本重合， 两条曲线的主要部分基本重合，因此 低碳钢压缩时的弹性模量、 低碳钢压缩时的弹性模量、屈服点等 都与拉伸试验的结果基本相同。 都与拉伸试验的结果基本相同。
ε
与塑性材料相反，脆性材料压缩的性质与拉伸时有较大区别。 与塑性材料相反，脆性材料压缩的性质与拉伸时有较大区别。 铸铁压缩时的应力 铸铁压缩时的应力-应变曲线与拉伸时的应力-应变曲线相比，其抗压 应变曲线相比， 强度远比抗拉强度高， 强度远比抗拉强度高，约为抗拉强度的2~5倍。 铸铁压缩时也有较大的塑性变形， 铸铁压缩时也有较大的塑性变形，其破坏形式为沿55~60º 左右的斜 面断裂。 面断裂。
三、剪切胡克定律
γ
在纯剪状态下，单元体 相对两侧面将发生微小 的相对错动，原来互相 垂直的两个棱边的夹角 改变了一个微量γ。
γ
两正交线段的直角 改变量——剪应变 改变量 剪应变
τ
薄壁圆筒的实验, 薄壁圆筒的实验 证实了剪应力与剪应变之间 存在着象拉压胡克定律类似的关系, 存在着象拉压胡克定律类似的关系 即当剪应力 不超过材料的剪切比例极限τ 不超过材料的剪切比例极限 p时,剪应力与剪应 剪应力与剪应 变成正比 即：当τ≤τp时
n
A − A1 × 100% 截面收缩率 :ψ = A
ψ = 60%
卸载定律： 卸载定律：材料在卸载时应力与应变成直线关系
σ
C
D
F
ε
P
残余应变（塑性 应变）
冷作硬化常温下把材料予拉到塑性变形阶段，然 常温下把材料予拉到塑性变形阶段，
后卸载，再次加载时，材料的线弹性范围将增大， 后卸载，再次加载时，材料的线弹性范围将增大，使材 料屈服极限提高，而塑性降低。 料屈服极限提高，而塑性降低。
ρ max
Ip πd = = d 16 2
3
o
ρ
dρ
对于空心圆，外径为D，内径为d
D/2
I p = ∫ ρ dA =
2 A
∫ρ
2
2 π ρ dρ =
π (D − d )
4 4
=
π D (1 − α )
4
d /2 4
32
32
Wt =
Ip
ρ max
πD
16
3
Ip = D 2
(1 − α )
4
=
极惯性矩： 实心圆： I p =
τ = Gγ
G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切 称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切 称为材料的剪切弹性模量 胡克定律。 胡克定律。
τ = Gγ
其中， 称为切变模量。常用单位GPa 其中，比例常数G 称为切变模量。常用单位GPa
剪切弹性模量G 剪切弹性模量 材料常数：拉压弹性模量E 材料常数：拉压弹性模量 泊松比µ 泊松比 对于各向同性材料,可以证明 、 、 对于各向同性材料 可以证明:E、G、µ 三个弹 可以证明 性常数之间存在着如下关系
铸铁压缩时的σ-ε曲线 铸铁压缩时的 曲线
σ b压
σ
压缩
O
ε
比较塑性材料与脆性材料的机械性质有以 区别： 下区别： 1. 塑性材料在断裂前有很大的塑性变形， 塑性材料在断裂前有很大的塑性变形 在断裂前有很大的塑性变形， 脆性材料断裂前的变形则很小 断裂前的变形则很小。 脆性材料断裂前的变形则很小。 2. 塑性材料抗压与抗拉的能力相近，适 塑性材料抗压与抗拉的能力相近 抗压与抗拉的能力相近， 用于受拉构件。脆性材料的抗压能力远比抗 用于受拉构件。脆性材料的抗压能力远比抗 拉能力强，且其价格便宜， 拉能力强，且其价格便宜，适用于受压的构 件而不适用于受拉的构件。 件而不适用于受拉的构件。
dϕ 2 G ∫ ρ dA = T dx A
令 I p = ∫ ρ dA
2 A 2
I p = ∫ ρ dA 极惯性矩
dϕ T 则 = dx G I p
A
dϕ T = dx G I p
τρ
dϕ = Gρ T = T ρ = Gρ G Ip Ip dx
τ max
T ρ max T = = Ip Wt
Wt =
E G= 2(1 + µ )
§6-4 圆轴扭转切应力
一、圆轴扭转时横截面上的应力
变形几何关系 从三方面考虑： 从三方面考虑：物理关系 静力学关系
1.变形几何关系 变形几何关系
观察到下列现象: 观察到下列现象 (1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距 各圆周线的形状、 各圆周线的形状 离没有变化 (2)纵向线仍为直线 但都倾斜了同一角度 纵向线仍为直线, 但都倾斜了同一角度γ 纵向线仍为直线 （3）表面方格变为平行四边形。 ）表面方格变为平行四边形。
OA段：变形是线弹性的，应力与应变成正 段 变形是线弹性的， 直线OA为线弹性区，其应力与应变之 为线弹性区， 比。直线 为线弹性区 σ =E σ 比称材料的弹性模量（杨氏模量）E， = 比称材料的弹性模量（杨氏模量）ε ，几tgα D 何意义为应力--应变曲线上直线段的斜率 应变曲线上直线段的斜率。 何意义为应力 应变曲线上直线段的斜率。 弹性极限 σ
εp ε
εe
ε
冷作硬化现象经 过退火后可消除
二、其它材料的拉伸实验 σ 对于在拉伸过程 σ 0.2
中没有明显屈服阶段 的材料， 的材料，通常规定以
产生0.2％的塑性应变 所对应的应力作为屈
服极限， 服极限，并称为名义
屈服极限，用σ0.2来