平面与平面垂直的判定和性质

平面与平面垂直的判定和性质
课堂导入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检 查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线 和墙面紧贴，那么所砌的墙于地面垂直.这是为什 么呢？
W
1
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面相互垂直。
已知： ，AB, α
求 证：
W
5
该命题是假命题。
由,平面 内的直线AB与不平一 垂 面定 直能
α
A
α A
D
β
D
B
B
C
C
那么还需添加什么条件，才能使命题为真？
W
β
6
若增加条件ABCD，则命题为真，即
α
AB
CD
AB
。
A
D
β
AB CD
B
C
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
W
7
（1）面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
（2）平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β
的垂线,只需过这一点在平面内作交线的垂线。
α
D
C
β
W
α A
D
β
B
C
8
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周 上异于A、B的一点。
1)求证：平面PAC平面PBC；
α A
D
β
B
C
W
12
2)若PA=AB=a,
A C
6a 3
，
求
二面 P B角 C 的 A

想一想：
平面ADD1A1 ┴平面ABCD，过点A在 平面ADD1A1内的直线满足什么条件才能 与平面ABCD垂直呢？
3、性质定理：
如果两个平面垂直，那么在一个 平面内垂直于它们交线的直线垂直于 另一个平面
A D E
在β内引直线BE⊥CD,垂足为B,
则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角 由α⊥β知,AB⊥BE 又AB⊥CD 所以AB⊥β
两个平面垂直的判定
1、定义：
两个平面相交，如果它们所成的二 面角是直二面角，则两个平面垂直。

记作α⊥β



性质: 1、凡是直二面角都相等
2、两个平面相交,可引成四个二面角,如 果其中有一个是直二面角,那么其他各个 二面角都是直二面角
已知：AB┴β
想一想
AB
求证： ┴β
两个平面相交，如果其中一个 平面内只有一条直线垂直于另一个 平面，能否得到两个平面垂直？
C
B
而BE和CD是β内的两条相交直线
面面垂直
线面垂直
小 结：
1、两个平面互相垂直的定义 2、两个平面互相垂直的判定定理 3、两个平面互相垂直的性质定理
作业:
1、书P74 习题7、B组、1

A
D

C
B
证明：设 =CD AB
AB ┴
ABCD共面
பைடு நூலகம்
CD
AB ┴ CD
内作BE ┴ CD
设垂足为B，过B点在平面
则∠ABE是二面角 CD 的平面角
又 AB ┴ BE
∴∠ABE是直角
A

D
CD 是直二面角

O C
B
说明该平面角是直角。
（一般通过计算完成证明。）
六、两个平面垂直课堂练习
1．给出下列四个命题： ①垂直于同一个平面的两个平面平行； ②垂直于同一条直线的两个平面平行； ③垂直于同一个平面的两条直线平行； ④垂直于同一条直线的两条直线平行． 其中正确的命题的个数是（ B ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．给出下列四个命题：（其中a，b表直线，α，β，γ表平面）。 ①若a⊥b，a∥α，则b⊥α； ②若a∥α，α⊥β，则a⊥β； ③若β∥γ，α∥γ，则α⊥β； ④若α⊥β，a⊥β，则a∥α。 其中不正确的命题的个数是（ D ）． A． 1 B．2 C．3 D．4
学习目标
1 熟练掌握面面垂直定义 2 熟练掌握面面垂直的判定定理及其证明过程 3 掌握证明面面垂直的常用方法
1 直二面角定义 2 互相垂直的平面
平面与平面垂直的定义
α A D B C E
β
记作：
l


画法：



问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的 一面墙和地面是否垂直呢？ 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，
4、法向量垂直法
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嫌不够，又朝秦顺儿挥咯壹下手，秦顺儿这回可是真不明白咯：“爷，奴才……”“你该忙啥啊就忙啥啊去吧，爷这里现在用不着你。”秦顺 儿这才明白，爷这是嫌他碍眼咯。壹边悄悄退下，壹边暗自懊悔自己怎么这么没有眼力劲儿。秦顺儿退下の时候，玉盈正在跟膳房の太监交接 食盒，她背对着房门，根本不知道秦公公已经退下咯。因此，当她提着食盒进到屋子の时候，才发现屋里只有王爷壹各人，坐在椅子上，正在 专心地看书呢。玉盈见状好生奇怪，秦公公去咯哪里？本来她是想将食盒交给秦公公她就万事大吉可以走人咯，可是这屋子里只有王爷壹各人， 她走也不是，留也不是，总不能将食盒交给爷自己吧，玉盈再次陷入咯进退维谷の境地。这各进退维谷の境地就是他为她专门设下の，他哪里 是在看书，他这是分明在看她の笑话！他到是要再看看，现在の玉盈会怎么办。玉盈还能怎么办？她只有将食盒赶快放到桌子上，然后去拧咯 热巾。当她再次回到桌旁，不待她说话，他就像壹各听话の孩子，乖乖地伸出咯手。净过手后，她又默默地回到桌边，打开食盒，她只粗粗地 看咯壹下，就知道跟昨天壹样，今天还是四荤四素，因此荤菜她根本就没有从食盒中拿出来，只是将那四各素菜壹壹取出。今天居然有蘑菇， 她知道他喜欢这各菜，于是就将蘑菇放到咯离他最近の位置。从她昨天の表现他就知道，她非常咯解自己の口味，虽然他们只共进过壹次斋饭。 而刚刚她又细心体贴地将蘑菇放到咯离自己最近の位置，他更是感动，因为上壹次の斋饭里，根本就没有这道菜。他只是跟宝光寺の住持谈论 食经の时候偶尔提及过，她就记在咯心里，他怎么能不感动？虽然她壹直在躲着他，可是她の行动已经明白无误地表明咯，她の心中是这么地 惦记着他。这壹顿饭，他吃得既甘甜又苦涩，因为从点滴之处咯解到玉盈对他の心意而甘甜，因为直到现在都没有找到解决他们俩从问题の办 法而苦涩。眼见着爷快要用完晚膳咯，她赶快去端来茶水。从头到尾，他们没有说过壹句话，可是她将他服侍得又周到又体贴，完美得无懈可 击。第壹卷 第231章 微恙用过晚膳，王爷壹刻未停，径直就去德妃那里请安。二十三小格望眼欲穿地等咯将近有壹各时辰，终于盼星星盼月 亮地将十小格盼咯回来。壹见十小格进门，他の气就不打壹处来：“十哥，您刚才干啥啊去咯！”“壹各幕僚约我，好不容易替我牵咯壹各线 ……”“您下次别再用晚膳の时间咯！”“这哪是我能决定得咯の事情！好不容易才得到の大好机会，前面错过咯好几次呢。哎，我说，你至 于嘛！不就是多等咯壹会儿，也没耽误你吃没耽误你喝の，不就是少喝咯几口酒吗？下回十哥请你。”“这就不是耽误吃喝の事情！”“不是

C A D B
α
l
所以 BD⊥α，BD⊥BC， 所以△CBD是 ⊥ ， ⊥ ， 所以△ 是 直角三角形， 直角三角形， 在直角△ 在直角△BAC中，BC= 3 + 4 = 5 中
2 2
在直角△CBD中，CD= 52 + 122 = 13 在直角△ 中 所以CD的长为 所以 的长为13cm. 的长为
β β α α
2． 平面与平面垂直的判定定理： ． 平面与平面垂直的判定定理： ①文字语言：如果一个平面过另一个平面 文字语言： 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； ②图形语言： 图形语言：
α
A B
β
③符号语言：AB⊥β，AB∩β=B， 符号语言： ⊥ ， ， AB
ALeabharlann 平面ACD⊥平面BDC； ⊥平面 平面 ；
D B C
（2）在原图中，直角△BAC，因为 ）在原图中，直角△ ， AB=AC=a，所以 ，所以BC= 2 a， ， 所以 BD=DC=
2 2
a， ，
△BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以BC= 所以BC= 2 BD= a A 是等腰直角三角形。 △BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以AB=AC=BC， ， 所以 因此∠ 因此∠BAC=60°. °
B D C
练习题 1． 下列命题中正确的是（ C ） ． 下列命题中正确的是（ 分别过两条互相垂直的直线， （A）平面 和β分别过两条互相垂直的直线， ）平面α和 分别过两条互相垂直的直线 则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （B）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条平行直线， 的两条平行直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （C）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条相交直线， 的两条相交直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （D）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的无数条直线， 的无数条直线，则α⊥β ⊥

05
两平面垂直的实例分析
实例一：简单的几何图形
总结词
通过观察几何图形，可以直观地判断两平面是否垂直。
详细描述
在平面几何中，常见的图形如矩形、正方形和正六面体等，它们的相对面都是垂直的。通过观察这些图形的角和 边，可以直观地判断两平面是否垂直。
பைடு நூலகம்
实例二：建筑模型的分析
总结词
建筑模型中的墙面和地面通常都是垂直的。
判定定理的应用
应用场景
判定两平面是否垂直，特别是在几何、工程和物理学等领域中，两平面垂直的判 定定理具有广泛的应用价值。
实际应用
在建筑学中，为了确保结构的稳定性和安全性，需要判定各个平面是否垂直；在 机械工程中，判定两平面是否垂直对于零件的设计和制造至关重要；在物理学中 ，两平面垂直的判定定理可用于研究物体的运动轨迹和力的分布。
判定定理的证明
• 证明过程：设两平面分别为α和β，且α内的两条相交直线a和b 分别与β垂直。在直线a上任取一点A，由于a与β垂直，作直线c 平行于a且在β内，使得A落在c上。同理，在直线b上任取一点B， 作直线d平行于b且在β内，使得B落在d上。由于a和b相交，所 以点A和B确定了一个平面γ。由于c和d都在β内，且c与d相交， 所以β包含在γ内。又因为α与γ内的两条相交直线a和b都垂直， 所以α与γ垂直。由此可知，α与β垂直。
详细描述
在建筑领域，墙面和地面通常都是垂直的。这是因为垂直的 平面能够提供更好的支撑和稳定性。通过观察建筑物的结构 和设计，可以分析出两平面是否垂直。
实例三：物理实验的现象分析
总结词
物理实验中经常涉及到两平面垂直的情 况，如重力的方向与地面垂直。
VS
详细描述
在物理实验中，很多现象都涉及到两平面 垂直的情况。例如，在研究重力时，重力 的方向总是垂直于地面向下。通过分析这 些实验的现象和结果，可以深入理解两平 面垂直的性质和应用。

记作： l
思考1：
我们常说“把门开大些”，是指哪个
角开大一些？我们应该怎么刻画二面角的 大小？ 二、二面角的平面角的定义
半平面
l
半平面
以二面角的棱上 任意一点为端点，在
两个半平面和内分别作 垂直 于棱的两
条射线OB和OA得到平面角AOB称平面角
AOB为二面角 l 的平面角.
B
l
O
A
三、二面角的平面角的作法
C D
例2.如图，已知SA 平面ABC ,平面SAB 平面SBC . 求证：AB BC.
S
D
C
A
思路导引：SA 平面ABC SA BC AB BC BC 平面SAB 平面SAB 平面SBC ? 联想到面面垂直的性质，作AD SB. 证明：作AD SB.
B
平面SAB 平面SBC
PE
AM
平面PCD I 平面ABCD CD AM 平面ABCD
AM PM AM 平面PEM AM ME
AE2 8 1 9
ME 2
21
3
AE 2
ME 2
AM 2
AM 2 4 2 6
AM ME
P
C
D
E
M
B
A
例3.如图，边长为2的等边三角形PCD所在的平面 垂直于矩形ABCD所在的平面,BC 2 2,M是BC 的中点.
PA PA
面ABC 面PAB
面PAB
面ABC
A
C
PA PA
面ABC 面PAC
面PAC
面ABC
B
PA BC
面ABC 面ABC
PA BC AB BC
AB I PA A
BC BC

已知面面垂直时一般用性质定理在一个平面内作出交线的垂线使之转化为线面垂直然后转化为线线垂直故要熟练掌握三者之间的转化条如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角 （平面角是直角），就说这两个平面垂直。如图，
面面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直 面面垂 直） 面面垂直的性质定理： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。（面 面垂直 线面垂直） 性质定理符号表示：
线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系：
证明面面垂直的方法： 证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题的论证中 要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般用性质定理， 在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三 者之间的转化条件及常用方法．线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂 直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质；证不共面的两直线垂直通常利用线面垂直或利 用空间向量．
常用结论： （1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个 平面内，此结论可以作为性质定理用， （2）从该性质定理的条件看出：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这 条垂线必在这个平面内，点的位置既可以在交线上，也可以不在交线上，如图．

4、法向量垂直法
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晚上需要俺过来伺候吗？”耿憨说：“你们不要管了。等会儿大壮和青山回来之后，他们会照顾好的。青山和青海晚上就住在这院儿里，夜草 什么的，都结记着呢！”说话间，青海已经把三大包湿粉条拿来了。耿憨接过来，递给董妞儿和耿兰每人一包，又喊：“秀儿，你和英妹子也 过来。你们姐儿俩想说什么，以后再慢慢拉呱哇！”俩人过来了，耿憨把剩下的一包湿粉条递给女儿，说：“你也回去哇，和你耿正哥拉呱拉 呱去吧！俺和青海再干一会儿也就回去了。”于是，秀儿红着脸随同大家伙儿一起出了粉坊的大门。30第百十二回 耿兰开口叫亲人|（家乡饭 菜摆满桌，满盘满碟分外香；含泪喜吃团圆面，耿兰开口叫亲人。）耿老爹妻弟这饭铺是在原先饼铺的基础上扩展的，不过其规模还真是不小 呢，宽敞明亮的饭厅内摆了十几张大圆桌，并且大多已经坐满了食客。妻弟妹特地将最里边的两桌空出来，招呼大家去那里坐了吃团圆面。当 耿老爹父子们快步赶到时，先头走的老老少少也才刚刚到达。于是，大家互相谦让着落座。大壮和青山去邻县卖粉条去了，董家成和耿憨两家 余下的八口人坐了一桌；耿老爹一家加上老岳父和妻侄女差不多也正好坐一桌。至于妻弟夫妇和大妻侄郭栋都在张罗饭铺里的活计，是不能坐 下来和大家一起吃饭的。耿正看到，那三个形迹可疑的人就坐在旁边的饭桌上。耿老爹拉尚武坐在自己身旁，又站起来去请老岳父。耿正说 “爹，你和三弟坐着，俺去扶姥爷哇！”耿英拉着妹妹的手说：“兰兰，过来坐在姐和咱爹中间！”耿兰乖乖地坐在姐和爹中间的凳子上。耿 老爹怜爱地摸摸耿兰的头，低声儿说：“兰儿，你长大了！那一年爹和你哥哥姐姐们出门儿南下的时候，姐姐就是你这么大，而你才只有四岁 啊！今儿个在咱家门口一看到你，爹就想起了你姐姐当年的样子！你姐儿俩长得太像了，几乎就是一模一样！”听了爹的话，耿兰只是低着头 低低地“唔”了一声，还是不能张口叫爹和姐姐。幼小时和爹、两个哥哥和姐姐一起生活的日子，以及九年半之前那个黎明时的分别，在耿兰 的记忆中已经相当模糊了。在她十四年的成长历程中，似乎只是和娘相依为命，爹、大哥、二哥和姐姐，都只是在娘和她的讲述中知晓和“认 识”的。她很想念他们，盼着他们早日回来，但就在突然之间，爹、大哥二哥和姐姐真得就出现在了她的面前时，她是那么惊喜，但却又怎么 能够脱口喊出来曾经在心里叫了无数次的“爹！”、“大哥！”、“二哥！”和“姐姐！”啊！怎么能够扑上去和这些骨肉亲人们叙述相思呢！ 耿英的心里边突然感觉很是酸苦。她清楚地想起来九年半之前的那个黎明，临别时，可爱的小妹妹扑在她怀里伤心哭泣的样子，恍惚就在眼 前„„当时的她就像眼前的妹妹这么大，但一副

两个平面垂直的判定


1 两个平面垂直的定义：一般地，两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个 平面互相垂直。 2 两个垂直平面的画法：




3 两个平面垂直的判定： （1）定义法：求两个平面所成的二面角的大小， 通过计算看是否是直二面角。 （2） 两个平面平行的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂
韩四当官 都市仙灵 恋爱吧，大首席官！ 我不是变种人 绝品富二代 ；
水满脸,但是她却没有像月倾城一样,反而用手狠狠一擦眼泪.然后,用手在月倾城后脑重重の敲了一下,直接将月倾城敲晕了.和旁边の夜斧一点头,两人更加拼命の朝北方飞去. "月家,练家子,集体灵魂攻击,前面の异族！白家练家子准备偷袭."月姬看了一眼,远去の月倾城她们,对着身后 の月家强者和白家强者下达了开战命令.同时她眼中闪过一丝五彩光芒,她の双眸迸发出两道刺眼の光芒直射前边金角神族,这是月家の精神攻击,也是她攻击最强の一招. 同时她の身后十多名月家帝王境强者,眼睛同时亮了起来,无数道金色の光芒爆射而出,直接对着前方の金角神族.白家 の帝王境强者却是同时战智合体,各种武器握在手中,绕过月家女子,集体朝前面第一名金角族人扑去. 当前 第叁伍柒章 俺命令你呀们…去死！ 文章阅读 月姬の战术很简单,她和月家帝王境强者,一同启动月家の精神攻击,将前面那名金角神族陷入幻境.请大家检索（品@书￥网）看最 全！更新最快の哪怕…只要能陷入短短の一秒钟时候,白家近十名强者就可以偷袭成功.只要击杀一名金角神族.那么她们就有希望,获得最后の胜利…哪怕是惨烈の胜利！ 无数道金色の光芒,朝金角神族飙射而去,同时两旁近十名白家强者,面色森冷の朝这名金角神族扑去. "夜战八方, 杀！" 白家长老们将战气运转到最强状态,身形如电,分别手持刀枪斧剑,朝前方激射.但是却都没有出手,而是在月家无数道光芒射到了前方の金角神族眼睛上,才集体大喝一声.每人の武器上,同时冒出滚滚刀浪,速度再次提升一分,贴近金角神族,狠狠の劈下. "咻！" 无数道金色光芒直接 射到了金角神族眼中,顷刻没入.而扑过来の白家强者,全部惊喜の发现,这名金角神族突然眼睛一暗,突然失神,同时身体表面の黑色火焰猛然一缩. 好机会！ 众人连忙狂喜起来,如此好の时机,他们不抓住,就枉为白家の长老了. "嘎嘎,你呀们上当了！金炎裂天！" 只是他们の武器就要斩 在这么金角神族身体上时,这名金角神族の嘴角突然咧开,笑了起来.双眼迸发出火热の光芒,尽是残意.一张脸の蜘蛛の纹身这一刻仿佛活了过来一样,居然扭动起来,极其狰狞. 他残忍一笑,眼中露出一丝嘲弄之色,身体表面の黑色火焰猛然暴涨.他双手一挥,身体表面の火焰,直接爆裂而出, 迎风而涨,直接将身边の近十名白家の帝王境强者全部笼罩进去. "哧！" 黑色火焰暴涨而起,和白家の强者手中武器碰触,竟然直接将他们手上の武器全然融化,融成了铁水,以肉眼可见の速度,顷刻融化… 这…是什么火焰? 白家长老纷纷惊恐の睁大眼睛,不敢相信の望着他们手中の武器, 顷刻化为铁水.要知道他们身为白家长老,身体上の武器都是上阶宝器,竟然在黑色火焰下…直接融化? 只是,他们还没时候去想清楚这诡异の事情,就被铺面而来の滚滚黑焰笼罩进去.瞬间,近十名白家强者连发出惨叫の时候都没有,全部被黑色火焰融为灰烬… 这… 月姬和月家女子看着十 多名,刚才还活生生和他们有说有笑の白家长老,此刻纷纷化为灰烬.全部花容失色,倒吸一口凉气. 震撼、惊恐、绝望,各种神情在她们一双双秋水眸子中闪过. "嘎嘎,俺们伟大の金角神族永远是不可战胜の,女人们,要么臣服,陪俺兄弟玩玩.要么——死！"金蛛狂笑起来,带动脸上の蜘蛛 纹身扭动着,样子宛如地狱钻出来の厉鬼. "月家女子,永不屈服,孩子们为了月家,为了圣女,俺命令你呀们…去死！" 月姬凄凉一笑,神情慢慢变得平静,她几多眷念の朝静湖岛方向深深望了一眼,而后又朝北方月倾城逃去の方面望了一眼,露出满足の笑容,传音给空中の十多米月家长老. " 俺们全部投降！大人饶命,只要不杀俺们,要怎么样都可以！" 月家长老们,听到月姬の传音,纷纷对视一眼,从对方眼中看到了一丝残忍の笑意.而后他们纷纷收拢战气,收回手中の武器,咯咯の笑了起来,朝两名金角神族露出妩媚勾魂の神情. 月家长老,虽然每个都有几十岁の人了,但是在 月家特殊の保养之术下,各个看起来都和二八年龄の少女一样,并且她们各个都精通最顶级の媚术,一施展开始,宛如百花盛开,群芳争yaw. "嘎嘎,这物质位面の女子还真不错,金蛛,你呀赶紧去追那个女子,抓回来俺们一起享用！嘎嘎…这物质位面の女人就是懂味,你呀们选择臣服俺们伟大 の金角神族,是最正确の选择！"金蛛后面の金猪一见,脸上露出无比*邪の笑容,朝金蛛挥了挥手,自己却朝月家女子扑去. "大人,你呀好强壮哦！" "大人,你呀好威猛哦！" "……" 月家女子一见金猪扑了过来,纷纷将手中の武器一丢,扭着丰满の身躯,荡着风情万种の笑意,靠了过去,围绕 着金猪主动の贴身体上去,纷纷抱住,抚摸他身体起来. "嘎嘎,还真够味,等着俺金猪！" 金蛛一tian舌头,没有想太多,毕竟这群女子刚才发射の金色光芒,这种精神攻击对于灵魂无比强大の金角神族来说,可谓不咋大的意思.想到刚才那名哭得,撕心裂肺の绝美人子,他强忍着浑身のyu火, 朝北方追去. 月姬见金蛛竟然没有靠过来,脸色微微一沉,沉吟一下,脸上突然微笑起来,并且整张脸突然闪耀着柔和の光芒. 而后她整个人,朝金蛛急速飞去,本身看起来像一些风韵犹存中年女子,此时却宛如年轻了十多岁,浑身荡漾着一股别样の气息,魅惑天成,她一阵娇笑："这位大人,奴 家有事和你呀说！" "嗯?" 金蛛转头一看,却见月姬飞快の朝他飞来,脸上一副别样の媚意,微微一愣,他却面容陡然变色,浑身黑色火焰暴涨匆忙后退,大吼起来："站住,金猪不咋大的心！" "哈哈,迟了！"月姬再次凄美一笑,嘴角流出一滴鲜血,在她白嫩の脸上竟是别样の妖yaw,她眼中陡 然间爆发一股夺目の光华,身体也开始发出耀眼の光芒,她咧嘴笑了大喝起来："月家女子…勇敢去死吧！" "月家女子,永不屈服！" 随着月姬一声大喝,金猪身边の女子全部凄美一笑,大喝起来.同时她们の身体陡然间全部爆发出一股恐怖の气息,丰盈の身子全部散发出一阵刺眼の光芒,最 后全部化成一朵朵光彩夺目の烟花… "砰！" "砰！" "砰！" 十多朵烟花陡然绽放,照亮了附近の几百里山河.剧烈の爆炸声,响彻天地,久久不息,猛烈の冲击波,将下方の方圆十里花草树木,全部夷为平地,无数の烟尘,笼罩了整个天空,将天空染成了暗灰色… "不…" 月倾城躺在月香儿怀 中,被爆炸声惊醒.她猛然转头,刚好看到背后の天空,绽放了十几枚灿烂の烟花,一口鲜血从她嘴角喷出,她挣扎扭动起来,双手用力抓着自己头发,将美丽の发誓弄得无比凌乱,闭着眼睛,仰天惊叫起来,声音痛苦绝伦,肝肠寸断… "倾城！不…" 就在月倾城惊叫之后,北方の几十里外,响起一 声,更为震天动地の怒吼声. 吼声充满了惊恐,充满了哆嗦,充满了无边の愤怒.紧接着,北方の天空闪电般升起两道身影,两道身影划破长空,朝这边拼命の笔直而来,肆无忌惮…不顾一切の狂奔而来！ 本书来自 聘熟 当前 第叁伍捌章 女主…你呀一定要幸福哦 文章阅读 "嘎嘎嘎！" 金蛛 很愤怒,看着眼前被炸得浑身血肉斑驳,支离破碎の金猪,他脸上の蜘蛛纹身,快速の扭动起来,眼中迸发着无比狂暴の怒意.请大家检索（度#扣￥网）看最全！更新最快の他们伟大の金角神族,竟然被一群物质位面の凡人暗算了?这些卑jianの凡人竟然敢杀他の兄弟? "俺要杀了你呀们…嘎 嘎嘎！" 金蛛浑身黑色火焰吞吐个不停,双手重重握住,黑筋暴出.他顾不得自己身体还在涓涓流出の暗青色血液,一双眼睛尽是暗青色,愤怒の四处张望,想将所有人都杀死,发泄报复一番. 只是,他愤然の四处张望,却发现月家の女子刚才全部自爆了,而刚才下面の那些更加低级の护卫们, 早就四处逃逸,将不到人影.而唯一能看到の,就是刚才大吼一声"不"那么绝

1.A. 2.B.
SUCCESS
THANK YOU
2024/1/5
B
C
又∵AF⊥PC,AF 面PAC ,面PBC∩面PAC=PC
∴AF⊥平面PBC
课堂小结
平面和平面垂直的性质定理：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
面面垂直
线面垂直
证明线面垂直的两种方法： 线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直
高考链接
1（2008 辽宁）如图，在棱长为1的正方体ABCD ABCD
的任意一条直线 (×) 有可能平行,相交但不垂直,异面。
6)一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面
的无数条直线 (√)
7)一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平
面 (×)
可能平行,可能相交但不垂直,可能在平面内。
8)过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂 线必垂直于另一个平面 (√)
2.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形， AB=2，BC 2，侧面PAB是等边三角形，且侧面 PAB⊥底面ABCD。 （1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC； （2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角。
中，AP=BP=b（ 0<b<1），截面PQEF∥ AD 截面
PQGH∥AD 。 (Ⅰ)证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直； (Ⅱ)证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并 求出这个值； (Ⅲ)若与平面PQEF所成的角为45°，求与平面PQGH所 成角的正弦值.
【解析】
习题答案
α P
B β
DC
A 过P做PD⊥AB，垂足为D。 ∵PD⊥AB，∴PD⊥面β。 ∵过一点只能做一条直线与平面垂直。 ∴PC与PD必重合，即PC在面α内。

故 AD＝5（cm）．
因为 ，AC在平面 内，且AC角形ACD中，CD2 AC2 AD2 122 52 169
故CD＝13（cm）．
3
五、巩固提高 布置作业（5分钟）
1、平面与平面垂直的判定方法 2、平面与平面垂直的性质
五、巩固提高 布置作业（5分钟）
一、复习回顾 导入新课
1、平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果所成的二面角是直角，那么称这两个平面互 相垂直。平面α与平面β垂直，记作α⊥β。
2、平面与平面垂直的画法
（2）
注意：将两个平行四边形的一组对边画成垂直的位置
9.4.2 平面与平面垂直的 判定与性质
知识与技能
1、理解并掌握 平面与平面垂直 的判定定理与性 质（重点）. 2、能利用面面 垂直的判定与性 质，解释实际问 题（难点）.
学习目标
过程与方法
1、让学生在观 察物体模型的基 础上，进行操作 确认，获得对性 质定理正确性的 认识. 2、培养学生的 空间想象能力和 数学思维能力．
情感态度与价值观
1、培养学生关注 生活中的数学型 的习惯，体会学 知识的应用． 2、经历合作学习 的过程，尝试探 究与讨论，树立 团队合作意识．
二、设疑激探 自主学习（10分钟）
3
四、学生展示 教师点拨（10分钟）
2、 如图所示，平面α⊥平面β， AC在平面α内，
且AC⊥AB，BD在平面β内，且BD⊥AB，AC＝12 cm，
AB＝3 cm，BD＝4 cm．求CD的长．
解 在平面 内，连结AD．
又由于BD⊥AB，所以在直角三角形ABD中，
AD2 AB2 BD2 32 42 25
1
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平面与平面垂直的判定 定理和性质定理
A

B
从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。
3
二面角: 从一条直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角。
面
面
这两个半平 面叫做二面 角的面。
l
这条直线叫做 二面角的棱。
二面角的记法: 二面角－AB－
A
二面角C－AB－ D
C B D

B

A

l
二面角－ l－

l
二面角的平面角 过二面角棱上任一点在两个 半平面内分别作垂直于棱的射线， 则这两条射线所成的角叫做二面角 的平面角。
B
l
O A

二面角的平面角
二面角的平面角应注意什么？
注意：二面角的平面角必须满足： （1）、角的顶点在棱上。 （2）、角的两边分别在两个面内。 （3）、角的两边都要垂直于二面角的棱。
例3、如图，AB是 ⊙O的直径，PA垂直于⊙O所 在的平面，C是 圆周上不同于A、B的任意一点， 求证：平面PAC⊥平面PBC.
证明: 设已知⊙O平面为α PA 面 , BC 面
PA BC 又 AB为圆的直径 AC BC PA AC A PA 面PAC, AC 面PAC BC 面PAC BC 面PBC 面PAC 面PBC

B
l
O
A
平面角是直角的二 面角叫做直二面角
当两个半平面重合时,平面角为0 °, 当两个半平面合成一个平面时,平面角为180 °
平面角的范围是[0 °, 180 °]
面面垂直的定义： 一般地，两个平面相交，

6.平面SAB⊥平面SAD
D
A O B
C
7.平面SAC⊥平面SBD
思考题：如图，在正三棱柱ABC-A1 B1C1 中，
（正三棱柱 的中点，
求证：截面A1 EC⊥侧面AC1 。
A B F
C
A1
B1
E
C1
例3、 垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。
α
β
γ
b′ b
c′
c
两平面垂直的判定和性质

B A

l
O
如果两个平面相交所成的二面 角是直二面角，那么我们称这 两个平面相互垂直.
记作：
画法：
如果一个平面经过另一个平面的 判定定理： 一条垂线，那么这两个平面相互垂直.
已知:AB⊥β ,AB ∩β=B,AB
证明:设α∩β=CD, 则B∈CD ∵AB⊥β,CD β,∴AB⊥CD
D1 A E Ｂ G G G G
C
F
C1 B1
A1
思考题？
已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC，
问：图中所示的7个平面中，共有多少对互相垂直的平面？ 1.平面SAD⊥平面ABCD 2.平面SBD⊥平面ABCD 3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD S
5.平面SBC⊥平面SCD
已知：α ⊥γ ，β ⊥γ ,α ∩ β = а ,求证： a⊥γ . 证法一：
设α ∩ γ =b, β ∩ γ =c,在γ 内任取 一点P，作PM ⊥ b于M，PN ⊥c于N. 因为 α ⊥γ ，β ⊥γ ， 所以 PM ⊥ α ， PN ⊥ β . α a 因为 α ∩ β = a， β 所以 PM ⊥ a， PN ⊥ a， M b cN γ 所以 a⊥γ . P

学习目标
1 熟练掌握面面垂直定义 2 熟练掌握面面垂直的判定定理及其证明过程 3 掌握证明面面垂直的常用方法
1 直二面角定义 2 互相垂直的平面
平面与平面垂直的定义
α A D B C E
β
记作：
l


画法：



问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的 一面墙和地面是否垂直呢？ 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，
那么所砌的墙面与地面垂直。
大家知道其中的理论根据吗？
二、两个平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平 面互相垂直． 已知：AB⊥β，AB⊂α（图1）． 求证：α⊥β。 [证明]：设α∩β=CD， ∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD． 在平面 β 内过点 B 作直线BE⊥CD，则 ∠ABE是二面角α-CD-β的平面角， 而AB⊥BE，故α-CD-β是直二面角． ∴α⊥β。
3、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。 求证：平面PAC平面PBD。
P
A
D
O
B C
［总结提炼］
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的 ☆ 理解面面垂直的判定要依赖面面垂直的定义 ☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
2、判定定理法： 3、线面平行法： 如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这 两个平面互相垂直
O C
B
说明该平面角是直角。
（一般通过计算完成证明。）
六、两个平面垂直课堂练习
1．给出下列四个命题： ①垂直于同一个平面的两个平面平行； ②垂直于同一条直线的两个平面平行； ③垂直于同一个平面的两条直线平行； ④垂直于同一条直线的两条直线平行． 其中正确的命题的个数是（ B ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．给出下列四个命题：（其中a，b表直线，α，β，γ表平面）。 ①若a⊥b，a∥α，则b⊥α； ②若a∥α，α⊥β，则a⊥β； ③若β∥γ，α∥γ，则α⊥β； ④若α⊥β，a⊥β，则a∥α。 其中不正确的命题的个数是（ D ）． A． 1 B．2 C．3 D．4