2015-2016学年吉林东北师大附中高一数学教案：5.3.1《两直线的交点坐标》(新人教A版必修2)

《两条直线的交点》教案一、教学目标(一)知识教学点知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解，会应用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系，以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件．(二)能力训练点通过研究两直线的位置关系与它们对应方程组的解，培养学生的数形结合能力；通过对方程组解的讨论培养学生的分类思想；求出x后直接分析出y的表达式，培养学生的抽象思维能力与类比思维能力．(三)学科渗透点通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系，培养学生的转化思想．二、教材分析1．重点：两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系，本节是从交点个数为特征对两直线位置关系的进一步讨论．2．难点：对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论．3．疑点：当方程组中有一个未知数的系数为零时两直线位置关系的简要说明．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)两直线交点与方程组解的关系设两直线的方程是l1： A1x+B1y+c1=0， l2： A2x+B2y+C2=0．如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点．因此，两条直线是否相交，就要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解．(二)对方程组的解的讨论若A1、A2、B1、B2中有一个或两个为零，则两直线中至少有一条与坐标轴平行，很容易得到两直线的位置关系．下面设A1、A2、B1、B2全不为零．解这个方程组：(1)×B2得 A1B2x+B1B2y+B2C1=0，(3)(2)×B1得A2B1x+B1B2y+B1C2=0． (4)(3)-(4)得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0．下面分两种情况讨论：将上面表达式中右边的A1、A2分别用B1、B2代入即可得上面得到y可把方程组写成即将x用y换，A1、A2分别与B1、B2对换后上面的方程组还原成原方程组．综上所述，方程组有唯一解：这时l1与l2相交，上面x和y的值就是交点的坐标．(2)当A1B2-A2B1=0时：①当B1C2-B2C1≠0时，这时C1、C2不能全为零(为什么？)．设C2②如果B1C2-B2C1=0，这时C1、C2或全为零或全不为零(当C1、(三)统一通过解方程组研究两直线的位置关系与通过斜率研究两直线位置关系的结论说明：在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究．(四)例题例1 求下列两条直线的交点：l1：3x+4y-2=0， l2： 2x+y+2=0．解：解方程组∴l1与l2的交点是M(-2，2)．例2 已知两条直线：l1： x+my+6=0，l2： (m-2)x+3y+2m=0．当m为何值时，l1与l2：(1)相交，(2)平行，(3)重合．解：将两直线的方程组成方程组解得m=-1或m=3．(2)当m=-1时，方程组为∴方程无解，l1与l2平行．(3)当m=3时，方程组为两方程为同一个方程，l1与l2重合．(五)课后小结(1)两直线的位置关系与它们对应的方程的解的个数的对应关系．(2)直线的三种位置关系所对应的方程特征．(3)对方程组中系数含有字母的两直线位置关系的讨论方法．五、布置作业1．(教材第35页，1．9练习第2题)判断下列各对直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标：2．(教材第35页，1．9练习第3题)A和C取什么值时，直线Ax-2y-1=0和直线6x-4y+c=0(1)平行；(2)重合；(3)相交．解：(1)A=3，C≠-2；(2)A=3，C=-2；(3)A≠3．3．(习题三第7题)已知两条直线：l1：(3+m)x+4y=5-3m，l2：2x+(5+m)y=8．m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．解：(1)m≠1且m≠-7；(2)m=-7；(3)m=-1．六、板书设计。

高中数学直线相交讲解教案在高中的数学课程中，直线相交是几何学的一个基础而重要的部分。

它不仅关乎于理论知识的学习，更与实际问题的解决息息相关。

因此，设计一份清晰、合理的教案对于帮助学生理解这一概念至关重要。

接下来，我们将通过一个高中数学直线相交的教案范本来探讨如何高效地进行教学。

首先，我们需要明确教学目标。

在直线相交的教学中，学生需要掌握以下几点：理解并能够描述两直线相交的条件；掌握求两直线交点的方法；以及了解交点的意义和性质。

这些目标将指导我们整个教案的内容安排。

教案的第一步是引入新课。

为了激发学生的学习兴趣，可以以日常生活中的实际例子作为切入点，例如讨论城市交通网中的路口，或者建筑设计中梁柱的交接等。

之后，教师可以引导学生思考这些现象背后的数学原理，从而自然过渡到直线相交的概念。

接下来是知识讲授环节。

在这一部分，教师要系统地介绍直线相交的定义、性质和求解方法。

可以通过板书或多媒体展示不同的直线相交情况，包括垂直交叉、斜交叉等，并详细解释它们的数学表达和求法。

此外，重点强调特殊情况，如平行线不相交的情况，以及为什么它们不会相交。

练习是巩固知识的重要环节。

教师应设计不同难度的题目，让学生通过实践来加深对知识点的理解。

题目可以从简单的计算题开始，逐步过渡到需要综合运用多个知识点的应用题。

在此过程中，鼓励学生相互讨论，共同解决问题。

为了让学生更好地理解直线相交的应用，可以设置情景模拟或实际测量的活动。

比如，让学生在操场上用标线画出直线，并实际寻找或计算出它们的交点位置。

这样的活动不仅能增强学生的实践能力，还能让他们体会到数学与现实世界的联系。

在总结回顾环节，教师需要梳理本节课的主要知识点，确保学生对直线相交有清晰的认识。

同时，可以提出一些延伸问题，为下一节课的学习埋下伏笔。

最后，布置适当的课后作业是必不可少的。

作业应该涵盖课堂上讲解的所有关键点，并且有助于学生在家中自主复习和巩固所学内容。

在整个教学过程中，教师要注意观察学生的反应，及时调整教学方法和节奏，确保每个学生都能跟上进度，理解和掌握直线相交的知识。

两条直线的交点坐标教学设计一、内容分析1．知识简介本节内容在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2》第三章直线与方程（直线的交点坐标与距离公式的第一课时）．通过方程把握直线上的点，用代数方法研究直线上的点，对直线进行定量研究，强调解决在同一平面内两条直线位置关系（三类情况相交、平行、重合）代数方法．本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.2．通过对同一平面内两条直线有三种位置关系的学习，在能力上对学生明确要求如下：⑴牢固地掌握在同一平面内两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合．⑵以两条直线有三种位置关系为工具，会解决平面上的数学问题，为解决空间问题奠定必要的基础．⑶能够用相应的直线方程组成的二元一次方程组解的情况解决数学形上的基本问题．让学生做到把数的问题转化成形的问题，研究数学形与数之间的联系．3．关键、难点、重点的确定及依据根据这一节课内容的特点以及学生的实际情况，为此，在教学过程中紧扣两直线相交是否有交点，就要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解这一核心，利用图形形象直观地表示两直线相交的交．让学生自己去感受：两直线相交就是要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解．为此：关键：是在平面直角坐标系中直线与二元一次方程组的关系．难点：是根据二元一次方程组的系数判定直线的位置关系．重点：是判断两直线的相交及两直线交点的求解．4．本节教材的地位与作用求交点问题（直线与直线、直线与曲线、曲线与曲线）是数学的重要概念之一，是解决数学问题的重要基础，在解析几何里表现得尤为突出．解析的思想在空间的应用更为广泛，是进一步学习高中数学、大学数学的基础．因此从高中数学的整体知识来看，本节课的内容很重要，它起到了承上启下的作用．二、教学方法5．学生现状的分析及对策．学情分析：就本节知识内容而言比较简单，学生不太重视，学生的基础又参差不齐．为此，在教学中要全面考虑、认真讲解、耐心辅导．教学对策：为了更好地完成教学任务，让学生尽快掌握知识，形成一定的能力．针对学生的认知规律，通过图形（平面直角坐标系）表示，增强学生的直观感受，在此基础上激发学生不断地探索知识，形成正确的知识，进而高效率地学习数学知识．6．教学目标的确定及依据教学原则明确强调要将思想教育的内容渗透到数学教学中去，使学生获得知识和培养能力的同时，在思想教育方面受到良好的熏陶，依据教学目的和教学原则以及学生的学习现状，我制定了本节课将要完成的教育目标.⑴情感目标：通过对两直线求交点概念的学习，使学生认识到两直线位置关系的重要性；通过数形结合的比较，体现数学的美感．提高学生对数学文化学习的兴趣．树立学生认识客观事物内在联系的正确观点；提高学生辨证地看待问题的能力．通过课堂教学使学生与教师、学生与学生善于合作与交流．⑵知识目标：牢固掌握两直线相交就是要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解的方法.⑶能力目标：（见前2）7．注重学生对教学目标的掌握和反馈教学的三维目标有短期的（知识）和长期的（情感、能力）目标．本节课以在同一平面内两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合为背景．以学生的认知规律为前提建构关于两直线相交的基本知识体系， 精讲精练、学用结合．使学生感知两条直线相交，是由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解；不断的巩固所学习的课堂知识；运用“交点”解决实际问题形成技巧技能．与优、中、后进各层次的学生进行课堂或课后交流，不断的完善学生自主学习的过程．三、教学策略 8．教学设计见附件1 教学设计，附件2板书设计 9．教具（多媒体）（图1、图2、图3） 附件1 教学设计 方法和手段1．教学方法的采用．数学的学习是每一个学生主动接受数学知识以及在自己原有知识的基础上以自己的方式不断建构的过程．本节课以讲授法、发现法为主，并结合启发、引导、讲练结合的具体教学方式为主线进行课堂教学，引导学生积极思考，发挥学生的主观能动作用，体现学生的主体性．2．教学手段的采用．根据本节内容的特点，为了更有效地抓住关键、突破难点、突出重点，提高课堂效率，使学生尽快掌握本节课的知识内容，采用多媒体辅助教学，强化记忆，节省教学时间，提高教与学的效率．四、教学过程 复习回顾我们一起研究了平面上两直线(斜截式)的平行（斜率相等且截距不相等），重合(斜率截距都相等），垂直（斜率之积等于-1）的位置关系. 这一节，我们来研究在同一平面内两条直线相交的交点问题.(课题)讲授新课:1.观察出示小黑板，同学按同桌分开，左侧同学解方程组，右侧同学分别在同一直角坐标系下作图（数形结合），然后观察这三个方程组的系数关系，探索⎩⎨⎧≠=++≠=++)0(0)0(0222222111111C B A C y B x A C B A C y B x A 的解的情况与系数之间的关系.猜想: 唯一解 212121l l B BA A ⇔≠⇔无穷多解21212121l l C CB B A A ≡⇔==⇔无解 21212121l l C CB B A A ⇔≠=⇔若222,,C B A 中有一个为0，那么方程组的解及此时两直线的位置关系怎样呢?启发分析.两直线是否相交的判断:设两条直线的方程是0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点，因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解. 2.例题讲解例1.求下列两条直线的交点并作图.022:，0243:21=++=-+y x l y x l解:解方程组⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=++=-+22得 0220243y x y x y x 所以，l 1与l 2的交点是M(-2，2). 例2.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程: 022:,022:21=--=+-y x l y x l解:解方程组⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=--=+-22得 022022y x y x y x 所以， l 1与l 2的交点是(2，2). 方法一:设经过原点的直线方程为kx y =，把点(2，2)的坐标代入以上方程，得1=k ，所以所求直线方程为x y =．方法二:020020--=--x y ，即x y =. 例3 直线 ,023)2(:,06:21=++-=++m y x m l my x l 当m 为何值时，直线1l 与2l 01相交，02平行，03垂直，04重合?分析:01当1≠m 且3≠m 时，21l l ;02当1-=m 时，21l l ;03当21=m 时，21l l ⊥;04当3=m ，21l l ≡. 3.课堂练习4.课堂小结:大家掌握了两直线相交的判断方法，并能熟练求解两直线交点坐标.另外，了解两直线方程组成的二元一次方程组无解，则两直线平行；有无数多个解，则两直线重合.进一步体现了以形论数与就数构形，数形结合的重要数学思想.5.课后作业附件2 板书设计。

两直线的交点坐标教案教案标题：两直线的交点坐标教案教学目标：1. 理解两直线的交点坐标的概念和意义；2. 掌握求解两直线交点坐标的方法；3. 能够应用所学知识解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备：投影仪、计算器、白板、马克笔；2. 学生准备：直尺、铅笔、纸、计算器。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过引入实际问题，如两条铁轨相交的问题，引发学生对两直线交点坐标的兴趣；2. 提问学生：你们对两直线的交点坐标有什么了解？二、知识讲解（15分钟）1. 教师通过投影仪展示直线交点的概念，并解释交点坐标的含义；2. 教师讲解两直线交点坐标的求解方法，包括代入法和消元法；3. 教师通过示例演示两种方法的具体步骤和计算过程。

三、示范演练（15分钟）1. 教师选取一些简单的例题，引导学生运用代入法和消元法求解两直线的交点坐标；2. 学生跟随教师的指导，逐步完成计算过程；3. 教师及时给予学生反馈和指导，纠正他们可能存在的错误。

四、合作探究（20分钟）1. 学生分组合作，互相出题并解答；2. 学生通过合作讨论，探究两直线交点坐标的应用场景；3. 学生将自己的解题过程和思路展示给全班，进行互评和讨论。

五、拓展应用（10分钟）1. 教师提供一些实际问题，要求学生运用所学知识解决；2. 学生独立或小组完成问题的分析和求解；3. 学生展示解题过程和答案，教师进行点评和总结。

六、作业布置（5分钟）1. 布置相关练习题，要求学生独立完成；2. 强调作业的重要性，鼓励学生主动思考和解决问题。

教学反思：本节课通过引入实际问题，结合示范演练和合作探究等多种教学方法，激发了学生对两直线交点坐标的学习兴趣。

通过学生的自主探究和合作讨论，培养了学生的解决问题的能力和团队合作精神。

同时，通过拓展应用和作业布置，巩固了学生的学习成果。

高中数学两直线交点教案教学目标：1. 理解两条直线的交点概念。

2. 掌握求解两直线交点的方法。

3. 能够应用所学知识解决实际问题。

教学重点：1. 直线的方程形式。

2. 求解两直线交点的方法。

教学难点：1. 通过代数方法求解两直线交点。

2. 将代数方法应用于实际问题。

教学准备：1. 教师准备：课件、板书、教学素材。

2. 学生准备：课本、笔记、计算器。

教学流程：Step 1：导入教师引导学生回顾直线的基本性质，以及两条直线相交的情况。

Step 2：理论学习1. 讲解两直线交点的定义。

2. 介绍求解两直线交点的方法：代数方法。

3. 举例说明代数方法的具体步骤。

Step 3：示范演练教师通过板书和实例演示如何求解两直线交点，学生跟随进行练习。

Step 4：练习检测学生独立进行练习，检测其对两直线交点的理解和掌握程度。

Step 5：拓展应用教师带领学生应用所学知识解决实际问题，如求解交通信号灯的优化问题等。

Step 6：课堂总结教师总结本节课的重点内容，强调两直线交点的概念和求解方法，并提出下节课预习内容。

Step 7：作业布置布置作业，巩固所学知识。

教学反馈：通过学生作业和课堂表现等方式进行教学反馈，及时发现和解决问题。

教学延伸：鼓励学生主动探索更多应用场景，深入了解两直线交点的实际意义。

资源链接：1. 直线方程的概念及性质2. 两直线交点的相关练习题以上为本节课的教案内容，希望能够帮助学生更好地理解和掌握两直线交点的求解方法。

祝学生学习顺利！。

环节一 两条直线的交点坐标（一）设置导入，引入新课通过前一阶段的学习，我们把几何图形放入平面直角坐标系中. 用坐标来表示点00(,)x y ，用二元一次方程0Ax By C ++=来表示直线，实现几何图形的代数化. 进而得到：点在直线上，则点的坐标一定满足这条直线的方程，即000Ax By C ++=. 反之，直线方程的每一组解都表示直线上的点坐标. 即：若00(,)x y 满足000Ax By C ++=，则点00(,)x y 一定在以0Ax By C ++=的直线上. 这样我们可以通过点与坐标，直线与二元一次方程建立了一一对应，进而用代数方法对直线进行定量研究. （二）探究问题，抽象方法问题1. 若直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=相交，它们的交点坐标与直线l 1 ，l 1的方程有什么关系？答案：两条直线的交点的坐标为方程组的解. 追问：如何求两条相交直线的交点坐标？答案：把这两条直线的直线方程，联立方程组再求解，以方程组的解为坐标的点即为两条直线的交点.➢ 点、线及它们之间关系所对应的代数关系总结如下：问题2. 通过方程组101012020200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，的解能否判断直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=的位置关系？若能判断，如何判断？答案：方程组解的个数公共点的个数 直线的位置关系唯一解 有且仅有1个公共点相交 无解 没有 平行 无数多组解无数个重合（三）应用巩固、深化理解例1 求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：1:3420l x y +-=, 2:220.l x y ++=答案：解方程组3420,220.x y x y +-=⎧⎨++=⎩得2,2.x y =-⎧⎨=⎩所以1l 与2l 的交点是(2,2)M -.根据直线方程画出两条直线，标出交点坐标，如右图.例2 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点的坐标. （1）12:0,:33100l x y l x y -=+-=；（2）12:340:6210l x y l x y -+=--=，； （3）12:3450:68100l x y l x y +-=+-=，. 答案：解：（1）解方程组0,33100x y x y -=⎧⎨+-=⎩得5,35.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩方程组有一解，所以直线1l 与直线2l 相交，交点坐标为55(,)33. （2）解方程组340,(1)6210.(2)x y x y -+=⎧⎨--=⎩ (1)2(2)⨯-得90=矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，直线1l 与直线2l 平行，即1//l 2l .（3）解方程组3450,(1)68100.(2)x y x y --=⎧⎨+-=⎩ (1)2⨯得01086=-+y x ，因此（1）和（2）可以化为同一个方程，即（1）和（2）表示同一条直线， 1l 与2l 重合.追问1：若题目改为 “判断下列各对直线的位置关系”，你还有其他的判断方法吗？ 答案：（1）将两条直线方程化为斜截式，直线1:l y x =，210:3l y x =-+. 直线1l 与直线2l 的斜率不等，12,l l 相交.（2）将两条直线方程化为斜截式，直线1:34l y x =+，21:33l y x =-. 直线1l 与直线2l 的斜率相等，截距不等，12,l l 平行.（3）将两条直线方程化为斜截式，直线135:44l y x =-，135:44l y x =-. 直线1l 与直线2l 的斜率相等，截距相等，12,l l 重合.追问2： 比较用解方程组和用斜率与截距判断两直线的位置关系的方法，你有什么体会？答案：两种方法都是用代数方法判断，其中，用斜率和截距判断两条直线的位置关系，关注的是直线方程系数之间的关系，这种方法能快速判断两条直线平行或相交（垂直）. 用解方程组的方法判断两条直线的位置关系，关注的是解的个数与交点个数的对应，它不但可以判断两条直线的位置关系，还可以求出两条直线的交点坐标， 但计算量有时较大. 当然，如果仅仅判断两条直线位置关系，可以用斜率和截距来判断，不需要求出交点坐标.例3 已知直线l 经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=，求直线l 的方程.答案：由直线经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，可确定直线上一点. 又由所求直线平行于直线4370x y --=，可以确定斜率. 所以可以写出直线l 的点斜式方程.解：联立方程组280, (1)210. (2)x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得交点坐标为(3,2).由直线l 与4370x y --=平行知，直线l 的斜率为43. 所以直线l 的方程为42(3)3y x -=-，整理得4360x y --=.追问：若把“平行于直线4370x y --=”改为“垂直于直线4370x y --=”，你能求出直线l 的方程吗？答案：由直线l 与4370x y --=垂直知，直线l 的斜率为34-. 又由于直线过点(3,2)，所以直线l 的方程为32(3)4y x -=--，整理得34170x y +-=. （四）梳理归纳，感悟本质：问题3. 如何用代数的方法判断两条直线的位置关系？如何求两条直线的交点坐标？ 问题4. 结合两条直线的交点坐标的研究，谈谈你对坐标法的理解？ 答案：求两条直线的交点坐标的方法：写出这两条直线的直线方程，联立方程组求解，以方程组的解为坐标的点即为两条直线的交点，反之两条直线的交点的坐标为方程组的解.。

高中数学直线相交问题教案在高中数学的平面几何部分，直线相交问题是学生们必须掌握的基本内容之一。

它不仅关系到解题技巧的培养，也是空间想象能力和逻辑推理能力的重要体现。

接下来，本文将详细介绍一份关于直线相交问题的教案范本，以帮助教师们更高效地进行教学。

#### 1. 引入新课开始新课前，教师可以设计一个简单而有趣的实验来激发学生的兴趣。

例如，请学生用直尺和铅笔在白纸上任意画两条直线，观察并记录下两线交点的情况。

这个活动能够直观地展示直线相交的基本现象，为后续的理论学习打下基础。

#### 2. 知识讲解教师首先应明确直线相交的定义：如果两条直线有一个共同点，则称这两条直线相交。

接着，引导学生探讨两直线相交的条件，包括斜率的关系以及两直线不平行等。

通过举例说明，教师可以进一步讲解如何判断两条直线是否相交，以及如何求出它们的交点坐标。

这里可以结合代数方法（如解二元一次方程组）和几何方法（如利用相似三角形或交叉相乘）进行讲解。

#### 3. 例题演示选取几个典型的例题，如垂直平分线的求法、两直线的夹角度计算等，进行详细的板书演示。

在解题过程中，教师要注重方法和步骤的讲解，同时鼓励学生提出问题和自己的见解。

#### 4. 课堂练习为了巩固知识点，教师应设计不同难度的练习题供学生尝试。

这些题目可以是直接计算题，也可以是应用题，如在实际情境中确定两条规划道路的交点位置等。

#### 5. 小组讨论分组让学生探讨一些实际问题，如城市规划中的街道布局、工程建设中管线的交叉等，这些问题往往涉及直线相交的知识。

通过讨论，学生可以将抽象的数学知识与现实世界联系起来，增强学习的实践性和趣味性。

#### 6. 总结反馈课程结束前，教师应总结本节课的核心内容，回顾直线相交的判断方法和求交点的计算步骤。

同时，可以邀请几位学生分享他们在小组讨论中的想法和收获，促进班级间的交流与合作。

#### 7. 作业布置作为课后的延伸，教师可以布置适量的作业题，既包括计算题也包括思考题。

3.3.1两直线的交点坐标教案教学目标知识与技能：1.直线和直线的交点2．二元一次方程组的解过程和方法：1. 学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。

2．掌握数形结合的学习法。

3．组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断。

情态和价值：1. 通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系。

2．能够用辩证的观点看问题。

教学重点，难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。

难点：两直线相交与二元一次方程的关系。

教学方法：启发引导式在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相互关系。

引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。

由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。

教具：用POWERPOINT课件的辅助式教学教学过程：一、情境设置，导入新课用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。

课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？二、讲授新课1.分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系已知两直线l1：A1x+B1y +C1=0, l2：A2x+B2y+C2=0，如何判断这两条直线的关系？教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。

课堂设问：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？（1）若二元一次方程组有唯一解，l 1与l 2相交。

（2）若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行。

（3）若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合。

课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？2.例题讲解，规范表示，解决问题 例1求下列两直线交点坐标l 1：3x +4y -2=0，L 2：2x +y +2=0 解：解方程组 34202220x y x y +-=⎧⎨++=⎩ 得 x=-2，y=2所以l 1与l 2的交点坐标为M （-2，2），如图。

两条直线的交点坐标教案教学目标：1. 理解两条直线的交点是满足两个方程组的解；2. 掌握求解两个方程组的方法；3. 能够应用求解两条直线交点的方法解决实际问题。

教学内容：1. 引入问题：什么是两条直线的交点？2. 介绍求解两个方程组的方法：消元法和代入法。

3. 列举几个实际问题，引导学生应用所学知识解决问题。

教学过程：Step 1：引入问题教师出示两条直线的示意图，引导学生思考两条直线的交点是什么，为什么存在交点。

Step 2：介绍求解方程组的方法教师讲解消元法和代入法两种求解方程组的方法。

并以具体的例子进行演示，解释每一步的操作过程。

- 消元法：通过消去变量的方式，将方程组化为较简单的形式，然后求解未知数。

- 代入法：通过将一个方程的解代入另一个方程，消去一个变量，从而得到另一个变量的值，最终求解未知数。

Step 3：实际问题的应用教师给出几个实际问题，鼓励学生应用所学知识解决问题。

例如：问题一：已知两条直线的方程分别为y = 2x + 1和y = -3x + 5，求解两直线的交点坐标。

问题二：一块矩形农田的长和宽分别为x和y，已知长的方程为2x + y = 10，宽和长的比率为2:3，求农田的长和宽。

Step 4：解答问题，讲解解题思路和步骤问题一的解答：解法一：消元法对方程组进行消元操作：2x + 1 = -3x + 55x = 4x = 4/5将x的解代入其中一个方程，求得y的值：y = 2(4/5) + 1 = 3.8所以两条直线的交点坐标为(4/5, 3.8)。

解法二：代入法将y = 2x + 1代入y = -3x + 5，得到：2x + 1 = -3x + 55x = 4x = 4/5将x的解代入其中一个方程，求得y的值：y = 2(4/5) + 1 = 3.8所以两条直线的交点坐标为(4/5, 3.8)。

问题二的解答：已知长的方程为2x + y = 10，宽和长的比率为2:3，宽的方程为2y = 3x。

1.4 两条直线的交点学 习 目 标核 心 素 养1.学会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点)2.理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系．(难点)1.通过学习解方程组的方法求两直线交点坐标培养数学运算素养.2.通过理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系提升数学抽象素养.两直线的交点已知两条不重合的直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. (1)若点P (x 0，y 0)是l 1与l 2的交点， 则⎩⎨⎧A 1x 0＋B 1y 0＋C 1＝0，A 2x 0＋B 2y 0＋C 2＝0. (2)若两直线方程组成的方程组⎩⎨⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，有唯一解⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝y 0，则两条直线相交，交点坐标为(x 0，y 0)．因此求两条直线的交点，就是求这两条直线方程的公共解．思考：两条直线的交点同时满足这两条直线吗？ 提示：满足．1．两条直线l 1：2x －y －1＝0与l 2：x ＋3y －11＝0的交点坐标为( ) A ．(3,2) B ．(2,3) C ．(－2，－3)D ．(－3，－2)B [解方程组⎩⎨⎧2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，故两条直线的交点坐标为(2,3)．]2．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是________．a ≠2 [由题意得6a －12≠0，即a ≠2.]3．直线y ＝kx ＋3过直线2x －y ＋1＝0与y ＝x ＋5的交点，则k 的值为________． 32 [由⎩⎨⎧2x －y ＋1＝0，y ＝x ＋5，得交点(4,9)， 代入y ＝kx ＋3得9＝4k ＋3，∴k ＝32.]两直线的交点问题(1)l 1：2x ＋3y －7＝0，l 2：5x －y －9＝0； (2)l 1：2x －3y ＋5＝0，l 2：4x －6y ＋10＝0； (3)l 1：2x －y ＋1＝0，l 2：4x －2y ＋3＝0.[解] (1)解方程组⎩⎨⎧ 2x ＋3y －7＝0，5x －y －9＝0，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1， 所以交点坐标为(2,1)，所以l 1与l 2相交． (2)解方程组⎩⎨⎧2x －3y ＋5＝0， ①4x －6y ＋10＝0， ②①×2得4x －6y ＋10＝0.因此①和②可以化成同一方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合． (3)解方程组⎩⎨⎧2x －y ＋1＝0， ①4x －2y ＋3＝0， ②①×2－②，得－1＝0，矛盾，方程组无解，所以两条直线无公共点，l 1∥l 2.解答本题充分利用了直线相交与联立直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解此类问题的基础.[跟进训练]1．直线ax ＋2y ＋8＝0，x ＋3y －4＝0和5x ＋2y ＋6＝0相交于一点，求a 的值．[解] 解方程组⎩⎨⎧ x ＋3y －4＝0，5x ＋2y ＋6＝0得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴直线x ＋3y －4＝0和5x ＋2y ＋6＝0的交点坐标为(－2，2)，代入直线方程ax ＋2y ＋8＝0，得－2a ＋4＋8＝0，∴a ＝6.过两直线交点的直线方程12线5x －y ＋3＝0的直线方程．[解] 法一：由⎩⎨⎧3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，又所求直线与直线5x －y ＋3＝0平行， 所以斜率k ＝5，由点斜式得y －2＝5(x －1)， 即5x －y －3＝0.法二：设所求直线方程为3x ＋2y －7＋λ(x －y ＋1)＝0，即(λ＋3)x ＋(2－λ)y －7＋λ＝0.∵直线与5x －y ＋3＝0平行， ∴－(λ＋3)＝5(2－λ)，解得λ＝134， ∴所求直线为3x ＋2y －7＋134(x －y ＋1)＝0， 即5x －y －3＝0.经过两直线交点的直线系方程：①与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋C ′＝0(C ′≠C )； ②与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋C ′＝0；③过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为λ1(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ2(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ1，λ2为参数).,当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为l 1；,当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为l 2.[跟进训练]2．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．[解] 法一：由方程组⎩⎨⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，所以其斜率k ＝2－2＝－1， 直线方程为y ＝－x ，一般式为x ＋y ＝0. 法二：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )， 即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0， 将原点坐标(0,0)代入上式解得λ＝1， ∴l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.直线恒过定点问题1．不论k 取什么值，直线y ＝kx ＋2恒过定点，试求出此定点．提示：由直线的方程可知当x ＝0时y ＝2，此时与k 的取值无关．故直线恒过点(0,2)．2．不论m 取什么值：直线y －2＝m (x ＋3)恒过定点．求出此定点． 提示：由直线方程可知当x ＝－3时y ＝2与m 的取值无关故直线恒过定点(－3,2)．【例3】 求证：无论k 取何值时，直线(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0必过定点，并求出该定点坐标．[证明] 法一： 当k ＝1时，直线方程为x ＝1. 当k ＝0时，直线方程为x ＋y ＝0. 由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋y ＝0得交点P (1，－1)， 将P (1，－1)代入原方程左边得k ＋1－(k －1)×(－1)－2k ＝k ＋1＋k －1－2k ＝0， 即点P 的坐标总适合直线方程．∴无论k 取何实数，点P (1，－1)总在直线(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0上． 法二：将原方程化为k (x －y －2)＋x ＋y ＝0， 要使其对任意实数k 恒成立，则有⎩⎨⎧x －y －2＝0，x ＋y ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.∴不论k 为何实数，原直线都过定点(1，－1)．若将本例中的直线方程改为(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5应如何求解． [证明] 法一：取m ＝1时，直线方程为y ＝－4；取m ＝12时，直线方程为x ＝9.两直线的交点为P (9，－4)，将点P 的坐标代入原方程左边 (m －1)×9＋(2m －1)×(－4)＝m －5.故不论m 取何实数，点P (9，－4)总在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上， 即直线恒过点P (9，－4)．法二：原方程化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0. 若对任意m 都成立，则有⎩⎨⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0.∴⎩⎨⎧x ＝9，y ＝－4.∴不论m 为何实数，所给直线都过定点P (9，－4)．1．求直线过定点，可以分离系数，即将原方程化为f (x ，y )＋mg (x ，y )＝0的形式，欲使此式成立与m 的取值无关，则⎩⎨⎧f (x ，y )＝0，g (x ，y )＝0.由此方程组求得定点坐标．2．分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点的坐标，代入原方程成立，则此点为定点．1．解含有参数的直线过定点问题将含有一个参数的二元一次方程常整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中λ为常数)形式，可通过⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0求解定点． 2．方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)．1．思考辨析(1)两条直线不相交就平行．( )(2)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．( ) (3)两直线平行，则由两直线方程组成的方程组无解． ( ) (4)若两直线重合，则由两直线方程组成的方程组有无数组解．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．直线2x －y ＝7与直线3x ＋2y －7＝0的交点坐标是( ) A ．(3，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，－1) D ．(3,1)A [联立两直线的方程，得⎩⎨⎧ 2x －y ＝7，3x ＋2y －7＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1，即交点为(3，－1)，故选A.]3．当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．(－1，－2) [直线方程可写成a (x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．]4．已知直线l 1：x －2y ＋4＝0，l 2：x ＋y －2＝0，设其交点为P . (1)求交点P 的坐标；(2)设直线l 3：3x －4y ＋5＝0，分别求过点P 且与直线l 3平行及垂直的直线方程．[解] (1)∵直线l 1：x －2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋y －2＝0的交点为P ， 由⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2，∴P (0,2)． (2)∵l 3：3x －4y ＋5＝0，设与l 3平行的直线方程为3x －4y ＋C ＝0(C ≠5)， 将P (0,2)代入得C ＝8，∴过点P (0,2)且与l 3平行的直线方程是3x －4y ＋8＝0. 设与l 3垂直的直线方程为4x ＋3y ＋C ＝0， 将P (0,2)代入得C ＝－6，∴过点P (0,2)且与l 3垂直的直线方程是4x ＋3y －6＝0.。