2019届人教版中考复习数学练习专题三：开放型探索专题(有答案)

专题三开放型探索专题的青睐，中考题型以填空题、解答题为【课堂精讲】例1如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明．（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．分析：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH，（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．解答：（1）添加：EH=FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH=CH，在△△BEH和△CFH中，，∴△BEH≌△CFH（SAS）；（2）解：∵BH=CH，EH=FH，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵当BH=EH时，则BC=EF，∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定基础题，难度不大例2.如图2－1－3，边长为1的正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O .有直角∠MPN ，使直角顶点P 与点O 重合，直角边PM ，PN 分别与OA ，OB 重合，然后逆时针旋转∠MPN ，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)，PM ，PN 分别交AB ，BC 于E ，F 两点，连结EF 交OB 于点G ，则下列结论中正确的是____． ①EF ＝2OE ；②S四边形OEBF∶S正方形ABCD＝1∶4；③BE ＋BF ＝2OA ；④在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝34；⑤OG ·BD ＝AE 2＋CF 2.图2－1－3 第4题答图【解析】 ∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，∠BOC ＝90°，∴∠BOF ＋∠COF ＝90°，∵∠EOF ＝90°，∴∠BOF ＋∠BOE ＝90°，∴∠BOE ＝∠COF ，∴△BOE ≌△COF (ASA )，∴OE ＝OF ，BE ＝CF ，∴EF ＝2OE .故①正确；∵S 四边形OE BF ＝S △BOE ＋S △BOF ＝S △BOF ＋S △COF ＝S △BOC ＝14S 正方形ABCD ，∴S 四边形OEBF ∶S 正方形ABCD ＝1∶4.故②正确；∵BE ＋BF ＝BF ＋CF ＝BC ＝2OA .故③正确；如答图，过点O 作OH ⊥BC 交BC 于点H ，∵BC ＝1，∴OH ＝12BC ＝12，设AE ＝x ，则BE ＝CF＝1－x ，BF ＝x ，∴S △BEF ＋S △COF ＝12BE ·BF ＋12CF ·OH ＝12x (1－x )＋12(1－x )×12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋932，∵a ＝－12＜0，∴当x ＝14时，S △BEF ＋S △COF 最大，即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝14.故④错误；∵∠EOG ＝∠BOE ，∠OEG ＝∠OBE ＝45°，∴△OEG ∽△OBE ，∴OE ∶OB ＝OG ∶OE ，∴OG ·OB ＝OE 2，∵OB ＝12BD ，OE ＝22EF ，∴OG ·BD ＝EF 2，∵在△BEF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2，∴EF2＝AE 2＋CF 2，∴OG ·BD ＝AE 2＋CF 2.故⑤正确．故答案为①②③⑤.【课堂提升】1.如图，直线a、b被直线c所截，若满足，则a、b平行．2.写出一个运算结果是a6的算式．3.如图2－1－5，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB.E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图①，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE____CF；EF____|BE－AF|(选填“＞”“＜”或“＝”)；②如图②，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件____，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．(2)如图③，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请写出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明)．图2－1－54.如图2－1－6①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．5.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G，(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角。

专题综合检测(一)（30分钟 50分）一、选择题(每小题5分，共15分)1.(2018·莆田中考)等腰三角形的两条边长分别为3，6，那么它的周长为( )(A)15 (B)12(C)12或15 (D)不能确定2.如图，直线y=x+2与双曲线m3yx-=在第二象限有两个交点，那么m的取值范围在数轴上表示为( )3.(2017·宁波中考)如图，用邻边长分别为a，b(a﹤b)的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆.把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽(拼接处材料忽略不计)，则a与b满足的关系式是( )(A)b=(B)b=(C)b=(D)b=二、填空题(每小题5分，共10分)4.已知x2+x-1=0，则代数式2x3+4x2+3的值为________________________.5.(2018·潜江中考)已知ABCD的周长为28，自顶点A作AE⊥CD于点E，AF⊥CB于点F.若AE=3，AF=4，则CE-CF=_______________.三、解答题(共25分)6.(12分)(2017·黄冈中考)新星小学门口有一直线马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为4 米，为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得低于2 米，现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为∠FAE＝15°和∠FAD=30° .司机距车头的水平距离为0.8 米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准(E,D,C,B 四点在平行于斑马线的同一直线上)?(tan152sin15cos151.7321.414)44︒=︒=︒=≈参考数据：【探究创新】7.(13分)(2017·河北中考)如图1和图2,在△ABC 中,AB=13,BC=14,cos ∠ABC=513.探究如图1,AH ⊥BC 于点H,则AH=________,AC=________, △ABC 的面积S △ABC =__________.拓展 如图2,点D 在AC 上(可与点A,C 重合),分别过点A,C 作直线BD 的垂线,垂足为E,F,设BD=x,AE=m,CF=n.(当点D 与点A 重合时,我们认为S △ABD=0)(1)用含x,m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ;(2)求(m+n)与x 的函数关系式,并求(m+n)的最大值和最小值;(3)对给定的一个x 值,有时只能确定唯一的点D,指出这样的x 的取值范围.发现请你确定一条直线,使得A,B,C 三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程),并写出这个最小值.答案解析1.【解析】选A.由题意可知：当6是腰时，三角形的周长是15；当3是腰时，3+3=6，不能组成三角形.2.【解析】选B.由题意可得m-3<0，故m<3；由直线y=x+2与双曲线m 3y x -=在第二象限有两个交点，可得m 3x 2x -+=，即x 2+2x-(m-3)=0，即Δ=4+4(m-3)>0，所以m>2.综上，可得2<m<3，故选B. 3.【解析】选D.如图，设小圆半径为r ，由题意得112r 2(a)22π=⋅π，解得1r a.4=在Rt△O1O2H中，O1O2=13r a a24+=，O1H=12b，211O H a r a.24=-=又O1O22=O1H2+O2H2,所以222311(a)(b)(a)424=+，解得b=故选D.4.【解析】把x2+x看成一个整体，得x2+x=1，所以2x3+4x2+3=2x3+2x2+2x2+3= 2x(x2+x)+2x2+3=2x+2x2+3=2(x2+x)+3=2+3=5.答案：55.【解析】(1)当E，F分别在线段CD和CB上时，如图所示：设BC=x，DC=y，则根据题意可得：x y14 4x3y+=⎧⎨=⎩，，解得x6y8=⎧⎨=⎩，，即BC=6，DC=8，根据勾股定理可知DE BF==所以CE-CF=((862---=(2)当E，F分别在CD，CB的延长线上时，如图所示：同理可得答案：226.【解析】由题意得：∠FAE=15°，∠FAD=30°,∴∠EAD=15°.∵FA∥BE, ∴∠AED=15°,即AD=DE=4米.在Rt△ADB中，∠ADB=∠FAD=30°,∴BD=AD·cos30°4==3.464米,DC=BD-BC=3.464-0.8=2.664米＞2米, ∴该车停车符合上述安全标准.7.【解析】探究 12 15 84拓展 (1)由三角形面积公式,得ABD CBD11S mx,S nx.22==(2)由(1)得CBDABD2S2Sm,n,x x==∴m+n=CBDABD2S2S168.x x x+=由于AC边上的高为ABC2S28456, 15155⨯==∴x的取值范围是565≤x≤14.∵(m+n)随x的增大而减小,∴当x=565时,(m+n)的最大值为15;当x=14时,(m+n)的最小值为12.(3)x的取值范围是x=565或13<x≤14.发现 AC所在的直线,最小值为56 5.【高手支招】解压轴题时遇到困难的原因及应对策略原因：在解压轴题时遇到的困难可能来自多方面，如基础知识和基本技能欠缺、解题经验缺失或训练程度不够、自信心不足等，具体表现可能是“不知从何处下手，不知向何方前进”.应对策略：在求解中考数学压轴题时，要重视一些数学思想方法的灵活应用.数学思想方法是解好压轴题的重要工具，也是保证压轴题能求解的“对而全、全而美”的重要前提.针对近年全国各地中考数学压轴题的特点，在学习中要狠抓基础知识的落实，因为基础知识是“不变量”，而所谓的考试“热点”只是与题目的形式有关.有效地解答中考压轴题的关键是要以不变应万变.加大综合题的训练力度，加强解题方法的训练，加强数学思想方法的渗透，注重“基本模式”的积累与变化。

开放与探究型问题70分)一、选择题(每题6分，共12分)1．[2016·荆门]如图43－1，点A ，B ，C 在一条直线上，△ABD ，△BCE 均为等边三角形，连结AE 和CD ，AE 分别交CD ，BD 于点M ，P ，CD 交B E 于点Q ，连结PQ ，BM ，下面结论：①△ABE ≌△DBC ；②∠DMA ＝60°；③△BPQ 为等边三角形；④MB 平分∠AMC ，其中结论正确的有(D) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 由等边三角形的性质得出AB ＝DB ，∠ABD ＝∠CBE ＝60°，BE ＝BC ，得出∠ABE ＝∠DBC ，由SAS 即可证出△ABE ≌△DBC ；由△ABE ≌△DBC ，得出∠BAE ＝∠BDC ，根据∠APB ＝DPM ，得出∠DMA ＝∠ABD ＝60°； 由ASA 证明△ABP ≌△DBQ ，得出对应边相等BP ＝BQ ，即可得出△BPQ 为等边三角形； ∠DMA ＝60°，得到∠AMC ＝120°，所以∠AMC ＋∠PBQ ＝180°，所以P ，B ，Q ，M 四点共圆，又由于BP ＝BQ ，由圆周角定理得出∠BMP ＝∠BMQ ，即MB 平分∠AMC .2．[2016·湖州]如图43－2，AC 是矩形ABCD 的对角线，⊙O 是△ABC 的内切圆，现将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，使点D 与点O 重合，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AD ，BC 上，连结OG ，DG ，若OG ⊥DG ，且⊙O 的半径长为1，则下列结论不成立的是 (A)A ．CD ＋DF ＝4B ．CD －DF ＝23－3C ．BC ＋AB ＝23＋4D ．BC －AB ＝2【解析】 如答图所示，设AB 与圆O 相切于点M ，BC 与⊙O 相切于点H ，连结MO 并延长MO 交CD 于点T ，连结OH ，连结OD 交FG 于R ，过点G 作GN ⊥AD 于点N ，分别交OD 于图43－1图43－2点K，交OT于点P.由折叠易知，OG＝DG，OH⊥BC，所以∠OHG＝∠GCD＝90°，∠HOG＋∠OGH＝90°，∵OG⊥DG，∴∠OGH＋∠DGC＝90°，∴∠DGC＝∠HOG，∴△OHG≌△GCD，∴HG＝CD，GC＝OH＝1，易得四边形BMOH是正方形，所以BM＝BH＝MO＝OH＝1，设CD＝m，则HG＝m，AB＝m，∴AM＝m－1，又∵⊙O是△ABC的切圆，∴AC＝m＋1＋m－1＝2m，∴AC＝2AB，∴∠ACB＝30°，∴BC＝3AB，2＋m＝3m，解得m＝3＋1，m＝AB＝3＋1，BC＝2＋m＝3＋3，∴BC－AB＝2，D选项正确；BC＋AB＝2m＋2＝23＋4，C选项正确．由折叠知，OG＝GD，又OG⊥GD，∴△OGD是等腰直角三角形，且OR＝RD，所以RG＝RD，RG⊥RD，注意到GN⊥AD为所作，∴∠GRD＝∠FRD＝90°，∠RKG＝∠NKD，∴∠RKG＋∠RGK＝∠NKD＋∠NDK＝90°，∴∠NDK＝∠RGK，所以△RKG≌△RFD，所以FD＝KG，易得四边形OHGP是矩形，所以PG＝1，由GN∥DC，可得△OPK∽△OTD，∴PKDT＝OPOT＝PK3＝3＋12＋3＝3－1，∴PK＝3－3，∴KG＝4－3＝DF，CD－DF＝3＋1－(4－3)＝23－3，B选项正确；CD＋DF＝3＋1＋(4－3)＝5，A选项错误．故选A.二、填空题(每题6分，共12分)3．[2016·南充]如图43－3，正方形ABCD 边长为1，以AB 为直径作半圆，点P 是CD 中点，BP 与半圆交于点Q ，连结DQ .给出如下结论：①DQ ＝1；②PQ BQ ＝32；③S △PDQ ＝18；④cos ∠ADQ ＝35.其中正确结论是__①②④__.(填写序号)图43－3 第3题答图【解析】 ①正确．理由：连结OQ ，OD ， ∵DP ＝12CD ＝BO ＝12AB ，且DP ∥OB ，∴四边形OBPD 是平行四边形． ∴∠AOD ＝∠OBQ ，∠DOQ ＝∠OQB ， ∵OB ＝OQ ，∴∠OBQ ＝∠OQB ， ∴∠AOD ＝∠DOQ ，∴△AOD ≌△QOD ， ∴∠OQD ＝∠DAO ＝90°，DQ ＝AD ＝1. 所以①正确．②正确．理由：延长DQ 交BC 于点E ，过点Q 作QF ⊥CD ，垂足为F ，根据切线长定理，得QE ＝BE ，设QE ＝x ，则BE ＝x ，DE ＝1＋x ，CE ＝1－x ， 在Rt △CDE 中， (1＋x )2＝(1－x )2＋1， 解得x ＝14，CE ＝34，∵△DQF ∽△DEC ，∴DQ DE ＝FQ CE ＝45，得FQ ＝35， ∵△PQF ∽△PBC ， ∴PQ BP ＝FQ CB ＝35，∴PQBQ＝32，所以②正确；③错误，理由：S△PDQ＝12DP·QF＝12×12×35＝320，所以③错误；④正确，理由：∵AD∥BC，∴∠ADQ＝∠DEC，∴cos∠ADQ＝cos∠DEC＝CEDE＝3454＝35，所以④正确．故答案为①②④.4．[2017·岳阳]如图43－4，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C.连结AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D.下列结论正确的是__②③④__．(写出所有正确结论的序号)①△CPD∽△DPA；②若∠A＝30°，则PC＝3BC；③若∠CPA＝30°，则PB＝OB；④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值．三、解答题(共46分)5．(16分)[2016·重庆]在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.图43－5(1)如图①，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长；图43－4(2)如图②，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.求证：BE＋CF＝12 AB；(3)如图③，将(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交与点F，作DN⊥AC于点N，若DN＝FN，求证：BE＋CF＝3(BE－CF)．解：(1)由四边形AEDF的内角和为360°，可知DE⊥AB，又∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BD＝2.在Rt△BDE中，∠B＝60°，∴BE＝1；(2)如答图①，取AB的中点G，连结DG，易证：DG为△ABC的中位线，故DG＝DC，∠BGD＝∠C＝60°，又四边形AEDF的对角互补，故∠GED＝∠DFC，∴△DEG≌△DFC.故EG＝CF，∴BE＋CF＝BE＋EG＝BG＝12 AB；第5题答图①第5题答图②(3)如答图②，取AB的中点G，连结DG，同(2)，易证△DEG≌△DFC，故EG＝CF，故BE－CF＝BE－EG＝BG＝12 AB.设CN＝x，在Rt△DCN中，CD＝2x，DN＝3x，在Rt△DFN中，NF＝DN＝3x，故EG＝CF＝(3－1)x，BE＝BG＋EG＝DC＋CF＝2x＋(3－1)x＝(3＋1)x，故BE＋CF＝(3＋1)x＋(3－1)x＝23x，3(BE－CF)＝3[(3＋1)x－(3－1)x]＝23x.故BE＋CF＝3(BE－CF)．6．(15分)(1)如图43－6①，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE，CD.请你完成图形，并证明：BE＝CD；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)图43－6(2)如图②，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连结BE，CD.BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；(3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识，完成下题：如图③，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100 m，AC＝AE，求BE的长．解：(1)如答图①，证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，∴△CAD≌△EAB，∴BE＝CD；(2)BE＝CD.理由如下：∵四边形ABFD和四边形ACGE均为正方形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠CAD＝∠EAB，∴△CAD≌△EAB，∴BE＝CD；(3)由(1)，(2)的解题经验可知，过A在△ABC的外侧作等腰直角三角形ABD，如答图②，∠BAD＝90°，则AD＝AB＝100，∠ABD ＝45°，∴BD＝100 2.连结CD，则由(2)可知BE＝CD.第6题答图①∵∠ABC ＝45°，∴∠DBC ＝∠ABD ＋∠ABC ＝90°. 在Rt △DBC 中，BC ＝100，BD ＝1002， ∴CD ＝1002＋（1002）2＝1003， ∴BE 的长为1003m.7．(15分)[2017·成都]如图43－7，矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，E 是AD 边上一点，DE ＝1nAD (n 为大于2的整数)，连结BE ，作BE 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点F ，G ，FG 与BE 的交点为O ，连结BF 和EG .(1)试判断四边形BFEG 的形状，并说明理由； (2)当AB ＝a (a 为常数)，n ＝3时，求FG 的长；(3)记四边形BFEG 的面积为S 1，矩形ABCD 的面积为S 2，当S 1S 2＝1730时，求n 的值． 解：(1)四边形BFEG 是菱形． 理由如下： ∵FG 垂直平分BE ，∴BO ＝EO ，∠BOG ＝∠EOF ＝90°在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠GBO ＝∠FEO . ∴△BOG ≌△EOF (ASA )． ∴BG ＝EF .∴四边形BFEG 是平行四边形． 又∵FG ⊥BE ，∴平行四边形BFEG 是菱形；(2)当AB ＝a ，n ＝3时，AD ＝2a ，AE ＝43a ，根据勾股定理可得BE ＝53a ，∵AF ＝AE －EF ＝AE －BF ，在Rt △ABF 中AB 2＋AF 2＝BF 2，∴AF ＝724a ，EF ＝2524a ，∵菱形BGEF 面积＝12BE ·FG ＝EF ·AB ，∴FG ＝54a ；图43－7(3)设AB＝x，则DE＝2x n，当S1S2＝1730时，BG·ABAB·AD＝1730，可得BG＝1715x，在Rt△ABF中AB2＋AF2＝BF2，∴AF＝815 x，∴AE＝AF＋FE＝AF＋BG＝53x，DE＝AD－AE＝13x，∴n＝6.(15分)8．(15分)[2016·株洲]如图43－8，已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C，D 两点，CD＝2，∠DAB＝30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q.图43－8(1)当点P运动到Q，C两点重合时(如图①)，求AP的长；(2)点运动过程中，有几个位置(几种情况)使△CQD的面积为12？(直接写出答案)(3)当使△CQD的面积为12，且Q位于以CD为直径的上半圆上，CQ＞QD时(如图②)，求AP的长．解：(1)∵AB是圆O的切线，∴∠OBA＝90°，∵CD＝2，∠DAB＝30°，∴OB＝1，∴OB＝OC＝AC＝1，∵当点P运动到Q，C两点重合，∴PC为圆O的切线，∴∠PCA＝90°，∵∠DAB＝30°，AC＝1，∴AP ＝233；第8题答图(2)由于CD 的长度为2，而S △CQD ＝12，故CD 上的高的长度为12，从而如答图①，可知有4个位置使△CQD 的面积为12；(3)过点Q 作QN ⊥AD 于点N ， 过点P 作PM ⊥AD 于点M .∵S △CQD ＝12，∴12QN ·CD ＝12，∴QN ＝12，∵CD 是圆O 的直径，∴∠CQD ＝90°， 易证△QCN ∽△DQN ，∴QN DN ＝CNQN， ∴QN 2＝CN ·DN .设CN ＝x ，则DN ＝2－x ，∴x (2－x )＝14，解得x 1＝2－32，x 2＝2＋32，∵CQ ＞QD ，∴CN ＝2＋32，∴CNQN＝2＋ 3. 易证△PMC ∽△QNC ，∴CN QN ＝CMPM＝2＋3， ∴CM ＝(2＋3)MP ，在Rt △AMP 中，AM ＝3MP∵AM ＋CM ＝AC ＝1，∴(2＋3)MP ＋3MP ＝1， ∴MP ＝3－14，∴AP ＝2MP ＝3－12.(15分)10．(15分)[2016·嘉兴]类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．(1)概念理解如图43－10①，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件；(2)问题探究①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形．她的猜想正确吗？请说明理由；②如图②，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连结AA′，BC′.小红要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离(即线段BB′的长)?(3)应用拓展如图③，“等邻边四边形”ABCD中，AB＝AD，∠BAD＋∠BCD＝90°，AC，BD为对角线，AC＝2AB.试探究BC，CD，BD的数量关系．图43－10解：(1)AB＝BC或BC＝CD或CD＝AD或DA＝AB；(任写一个即可)(2)①正确．理由为：∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，∴这个“等邻边四边形”是菱形；②由∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，得AC＝5，∵将Rt△ABC平移得到Rt△A′B′C′，∴BB′＝AA′，A′B′∥AB，A′B′＝2，B′C′＝1，A′C′＝5，(Ⅰ)如答图①，当AA′＝AB时，BB′＝AA′＝AB＝2；(Ⅱ)如答图②，当AA′＝A′C′时，BB′＝AA′＝A′C′＝5；(Ⅲ)如答图③，当BC′＝A′C′＝5时，延长C′B′交AB于点D，则C′D⊥AB，∵BB′平分∠ABC，∴∠ABB′＝12∠ABC＝45°，∴∠BB′D＝∠ABB′＝45°，∴B′D＝BD.设B′D＝BD＝x，则C′D＝x＋1，BB′＝2x，∵在Rt△BC′D中，BD2＋(C′D)2＝(BC′)2，∴x2＋(x＋1)2＝(5)2，解得x1＝1，x2＝－2(不合题意，舍去)，∴BB′＝2x＝2；(Ⅳ)如答图④，当BC′＝AB＝2时，与(Ⅲ)同理得：BD2＋(C′D)2＝(BC′)2，设B′D＝BD＝x，则x2＋(x＋1)2＝22，解得x1＝－1＋72，x2＝－1－72(不合题意，舍去)，∴BB′＝2x＝14－22；第10题答图(3)BC，CD，BD的数量关系为：BC2＋CD2＝2BD2.∵AB＝AD，∴如答图⑤，将△ADC线绕点A旋转到△ABF，连结CF，则△ABF≌△ADC，∴∠ABF＝∠ADC，∠BAF＝∠DAC，AF＝AC，FB＝CD，∴∠BAD＝∠CAF，ACAF＝ADAB＝1，∴△ACF∽△ABD，∴CFBD＝ACAB，∵AC＝2AB，∴CF＝2BD，∵∠BAD＋∠ADC＋∠BCD＋∠ABC＝360°，第10题答图⑤∴∠ABC＋∠ADC＝360°－(∠BAD＋∠BCD)＝360°－90°＝270°，∴∠ABC＋∠ABF＝270°，∴∠CBF＝90°，∴BC2＋FB2＝CF2＝(2BD)2＝2BD2，∴BC2＋CD2＝2BD2.。

中考数学专题复习《开放探索》课件+教案中考数学模拟试题一、教学目标：1. 让学生掌握开放探索题的基本类型和解题方法。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生在中考数学考试中的得分率。

二、教学内容：1. 开放探索题的基本类型：条件开放、方法开放、结论开放等。

2. 开放探索题的解题方法：画图分析、列方程解答、猜想验证等。

3. 典型例题解析：结合中考真题，分析开放探索题的解题思路。

4. 模拟试题训练：针对性练习，巩固所学知识。

三、教学过程：1. 导入：以中考真题为例，让学生感受开放探索题的特点和挑战。

2. 知识讲解：介绍开放探索题的基本类型和解题方法。

3. 例题解析：分析典型例题，引导学生掌握解题思路。

4. 练习巩固：布置适量练习题，让学生运用所学知识。

5. 总结提升：对本节课内容进行总结，强调重点和难点。

四、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况。

2. 练习完成情况：检查学生完成练习题的数量和质量。

3. 模拟试题成绩：评估学生在模拟试题中的表现，发现问题所在。

五、课后作业：1. 复习开放探索题的基本类型和解题方法。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 准备下一节课的内容，提前预习。

六、教学策略与方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究开放探索题的解题方法。

2. 利用多媒体课件，展示开放探索题的典型例题和模拟试题。

3. 组织小组讨论，让学生互相交流解题思路和经验。

4. 给予学生充分的时间独立思考和解决问题，及时给予指导和鼓励。

七、教学资源：1. 多媒体课件：展示开放探索题的典型例题和模拟试题。

2. 练习题库：提供丰富的开放探索题练习题，供学生巩固所学知识。

3. 教学参考书：提供相关知识点的详细解释和例题解析。

4. 学生手册：收录学生的练习成果和优秀解题案例。

八、教学步骤：1. 回顾上节课的内容，复习开放探索题的基本类型和解题方法。

2. 讲解新的开放探索题型，引导学生掌握解题思路和技巧。

专题三开放型探索专题的青睐，中考题型以填空题、解答题为【课堂精讲】例如图，在四边形中，点是的中点，作射线，在线段及其延长线上分别取点，，连结，．（）请你添加一个条件，使得△≌△，你添加的条件是，并证明．（）在问题（）中，当与满足什么关系时，四边形是矩形，请说明理由．分析：（）根据全等三角形的判定方法，可得出当，∥，∠∠时，都可以证明△≌△，（）由（）可得出四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出时，四边形是矩形．解答：（）添加：，证明：∵点是的中点，∴，在△△和△中，，∴△≌△（）；（）解：∵，，∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵当时，则，∴平行四边形为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定基础题，难度不大例.如图－－，边长为的正方形的对角线，相交于点.有直角∠，使直角顶点与点重合，直角边，分别与，重合，然后逆时针旋转∠，旋转角为θ(°＜θ＜°)，，分别交，于，两点，连结交于点，则下列结论中正确的是．①＝；②四边形∶正方形＝∶；③＋＝；④在旋转过程中，当△与△的面积之和最大时，＝；⑤·＝＋.图－－第题答图【解析】∵四边形是正方形，∴＝，∠＝∠＝°，∠＝°，∴∠＋∠＝°，∵∠＝°，∴∠＋∠＝°，∴∠＝∠，∴△≌△()，∴＝，＝，∴＝.故①正确；∵四边形＝△＋△＝△＋△＝△＝正方形，∴四边形∶正方形＝∶.故②正确；∵＋＝＋＝＝.故③正确；如答图，过点作⊥交于点，∵＝，∴＝＝，设＝，则＝＝－，＝，∴△＋△＝·＋·＝(－)＋(－)×＝－＋，∵＝－＜，∴当＝时，△＋△最大，即在旋转过程中，当△与△的面积之和最大时，＝.故④错误；∵∠＝∠，∠＝∠＝°，∴△∽△，∴∶＝∶，∴·＝，∵＝，＝，∴·＝，∵在△中，＝＋，∴＝＋，∴·＝＋.故⑤正确．故答案为①②③⑤.【课堂提升】.如图，直线、被直线所截，若满足，则、平行．.写出一个运算结果是的算式．.如图－－，是经过∠顶点的一条直线，＝，分别是直线上两点，且∠＝∠＝∠α.()若直线经过∠的内部，且，在射线上，请解决下面两个问题：①如图①，若∠＝°，∠α＝°，则；－(选填“＞”“＜”或“＝”)；②如图②，若°＜∠＜°，请添加一个关于∠α与∠关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．()如图③，若直线经过∠的外部，∠α＝∠，请写出，，三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明)．图－－.如图－－①，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点.()求证：△是等腰三角形；()如图②，过点作∥，交于点，连结交于点.①判断四边形的形状，并说明理由；②若＝，＝，求的长．.如图，正方形中，点，分别在边，上，，和相交于点，()观察图形，写出图中所有与∠相等的角。

开放性问题【专题点拨】开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等.【解题策略】在解决开放探索问题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.【典例解析】类型一：条件开放型问题例题1：（2016·某某省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；函数及其图象．【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，==，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．变式训练1：（2016·某某某某）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．类型二：结论开放型问题例题2：（2016·某某随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c ＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解析】二次函数图象与系数的关系．（1）正确．根据对称轴公式计算即可．（2）错误，利用x=﹣3时，y＜0，即可判断．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．（4）错误．利用函数图象即可判断．（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．【解答】解：（1）正确．∵﹣ =2，∴4a+b=0．故正确．（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，故（2）错误．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），∴解得，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵a＜0，∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），∵﹣2=，2﹣（﹣）=，∴＜∴点C离对称轴的距离近，∴y3＞y2，∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，∴y1＜y2∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．（5）正确．∵a＜0，∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．∴正确的有三个，故选B．变式训练2：（2016·某某某某·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值X围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个类型三：解题策略开放型例题3：(2014 年某某襄阳)如图 Z3-1，在△ABC 中，点D，E 分别在边 AC，AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)（2）选择其中的成立条件进行证明。

中考数学复习专题讲座三：开放性问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。

三、中考考点精讲考点一：条件开放型条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1（义乌市）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是．（不添加辅助线）．考点：全等三角形的判定。

810360专题：开放型。

分析：由已知可证∠ECD﹦∠FBD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF 或∠DEC=∠DFB等）；解答：解：（1）添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）．（2）证明：在△BDF和△CDE中∵∴△BDF≌△CDE．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2（宁德）如图，点E、F分别是AD上的两点，AB∥CD，AB=CD，AF=DE．问：线段CE、BF有什么数量关系和位置关系？并加以证明．考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质；平行线的判定与性质。

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xxxx年中考数学开放探究型问题试题归总解析一、选择题1.如图所示，在平面直角坐标系中，直线om是正比例函数y=-3x的图象，点A的坐标为，在直线om 上找点N，使△oNA是等腰三角形，符合条件的点N 的个数是.个个个个【答案】A。

【考点】正比例函数图象的性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定。

【分析】如图，根据正比例函数图象的性质和锐角三角函数，可以求出∠AoN2=600，故当oA=oN2时，AN2=oA。

因此符合条件的点N只有N1和N2两个。

故选A。

2.如图，在平行四边形ABcD中，过对角线BD上一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为E、F、G、H，则图中面积相等的平行四边形的对数为A、3B、4c、5D、6【答案】D。

【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的全等三角形，即。

则，。

因此图中面积相等的平行四边形的对数有三对：，。

故选D。

3.在锐角△ABc中，∠BAc=60°，BN、cm为高，P为Bc的中点，连接mN、mP、NP，则结论：①NP=mP ②当∠ABc=60°时，mN∥Bc③BN=2AN④AN︰AB=Am︰Ac，一定正确的有A、1个B、2个c、3个D、4个【答案】c。

【考点】直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定与和性质，平行的判定，锐角三角函数的定义。

【分析】①由BN、cm为高，P为Bc的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得NP=mP。

故①正确。

专题三 开放与探索开放探索型问题有条件开放与探索、结论开放与探索、条件结论都开放与探索等，这类题目新颖，思考方向不确定，因此比一般综合题更能考查学生综合运用知识的能力，从而深受命题者的青睐．中考题型以填空题、解答题为主．考向一 条件开放问题条件开放探索问题的特征是缺少确定的条件，所需补充的条件不能由结论直接推出，而满足结论的条件往往也是不唯一的．【例1】如图，已知AC ⊥BD 于点P ，AP ＝CP ，请增加一个条件：使△ABP ≌△CDP (不能添加辅助线)，你增加的条件是__________．解析：要证明△ABP ≌△CDP ，已经给出了两个条件：AP ＝CP ，AC ⊥BD (即∠APB ＝∠CPD ＝90°)，根据证明两个三角形全等的判断方法，可以添加一个条件角或者边．答案：∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ，AB ∥CD ，BP ＝DP ，AB ＝CD .(任选其中一个)方法归纳 解决此类题的方法是：从所给的结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，运用所学的定理，进行逻辑推理，从而找出满足结论的条件．考向二 结论开放问题结论开放探索问题是给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，符合条件的结论往往呈现多样性．【例2】(2011广东河源)如图1，已知线段AB 的长为2a ，点P 是AB 上的动点(P 不与A ，B 重合)，分别以AP ，PB 为边向线段AB 的同一侧作正△APC 和正△PBD .(1)当△APC 与△PBD 的面积之和取最小值时，AP ＝__________.(直接写结果)(2)连接AD ，BC ，相交于点Q ，设∠AQC ＝α，那么α的大小是否会随点P 的移动而变化？请说明理由．(3)如图2，若点P 固定，将△PBD 绕点P 按顺时针方向旋转(旋转角小于180°)，此时α的大小是否发生变化？(只需直接写出你的猜想，不必证明)图1 图2分析：(1)设等边△APC 边长为x ，高为32x ，则面积为34x 2，则等边△BDP 边长为2a－x ，高为32(2a －x )，则面积为34(2a －x )2， 面积之和为S ＝34x 2＋34(2a －x )2＝32x 2－3ax ＋3a 2，这是一个二次函数的最值问题．当x ＝a 时，S 最小＝32a 2. (2)判别α的大小是否会随点P 的移动而变化，只需计算∠AQC . (3)根据(2)证明过程或直观可得结论． 解：(1)a(2)α的大小不会随点P 的移动而变化． 理由：∵△APC 是等边三角形， ∴PA ＝PC ，∠APC ＝60°. ∵△BDP 是等边三角形，∴PB ＝PD ，∠BPD ＝60°，∴∠APC ＝∠BPD ， ∴∠APD ＝∠CPB ，∴△APD ≌△CPB ， ∴∠PAD ＝∠PCB .∵∠QAP ＋∠QAC ＋∠ACP ＝120°， ∴∠QCP ＋∠QAC ＋∠ACP ＝120°， ∴∠AQC ＝180°－120°＝60°.(3)此时α的大小不会发生改变，始终等于60°.方法归纳 解答本题将等边三角形的面积用二次函数表示是解答本题的难点．解答结论开放性问题常常需要借助直观或特殊化方法探求．考向三 条件与结论开放问题条件、结论开放探索问题是指条件和结论都不唯一，此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有开放性，它要求学生通过自己的观察和思考，将已知的信息集中进行分析，通过这一思维活动揭示事物的内在联系．【例3】(1)如图1，在正方形ABCD 中，M 是BC 边(不含端点B ，C )上任意一点，P 是BC 延长线上一点，N 是∠DCP 的平分线上一点．若∠AMN ＝90°，求证：AM ＝MN .下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边AB 上截取AE ＝MC ，连接ME .正方形ABCD 中，∠B ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC . ∴∠NMC ＝180°－∠AMN －∠AMB ＝180°－∠B －∠AMB ＝∠MAB ＝∠MAE . (下面请你完成余下的证明过程)图1 图2(2)若将(1)中的“正方形ABCD ”改为“正三角形ABC ”(如图2)，N 是∠ACP 的平分线上一点，则当∠AMN ＝60°时，结论AM ＝MN 是否还成立？请说明理由．(3)若将(1)中的“正方形ABCD ”改为“正n 边形ABCD …X ”，请你作出猜想：当∠AMN ＝__________时，结论AM ＝MN 仍然成立．(直接写出答案，不需要证明)分析：证两条线段相等，最常用的方法是证明两条线段所在三角形全等．(1)中给出了线段EM ，即想提示考生证明△AEM ≌△MCN .由题目中的条件知，只需再找一角即可．(2)中解法同(1)，在AB 上构造出线段AE ＝MC ，连接ME .进一步证明△AEM ≌△MCN .(3)是将(1)(2)中特殊问题推广到一般情况，应抓住本质：∠AMN 与正多边形的内角度数相等．解：(1)∵AE ＝MC ，∴BE ＝BM ，∴∠BEM ＝∠EMB ＝45°，∴∠AEM ＝135°.∵CN 平分∠DCP ，∴∠PCN ＝45°，∴∠AEM ＝∠MCN ＝135°.在△AEM 和△MCN 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AEM ＝∠MCN ，AE ＝MC ，∠EAM ＝∠CMN ，∴△AEM ≌△MCN ，∴AM ＝MN . (2)仍然成立．在边AB 上截取AE ＝MC ，连接ME . ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠B ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ACP ＝120°.∵AE ＝MC ，∴BE ＝BM ， ∴∠BEM ＝∠EMB ＝60°， ∴∠AEM ＝120°.∵CN 平分∠ACP ，∴∠PCN ＝60°， ∴∠AEM ＝∠MCN ＝120°.∵∠CMN ＝180°－∠AMN －∠AMB ＝180°－∠B －∠AMB ＝∠BAM ，∴△AEM ≌△MCN ，∴AM ＝MN .(3)n －n.方法归纳 解答本题的关键是结合已给出的材料借助类比思想进行．一般地，解答条件、结论开放探索问题，即条件和结论都不确定，首先要认定条件和结论，然后组成一个新的命题并加以证明或判断．一、选择题1．如图，在网格中有一个直角三角形(网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度)，若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其他的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上，那么符合要求的新三角形有( )A ．4个B ．6个C ．7个D ．9个2．根据图1所示的程序，得到了y 与x 的函数图象(如图2)，过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P ，Q ，连接OP ，OQ .则以下结论①x ＜0时，y ＝2x，②△OPQ 的面积为定值，③x ＞0时，y 随x 的增大而增大， ④MQ ＝2PM ，⑤∠POQ 可以等于90°.图1 图2其中正确的结论是( )A．①②④ B．②④⑤C．③④⑤ D．②③⑤二、填空题3．在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是__________．(写出一种即可)4．若关于x的方程x2－mx＋3＝0有实数根，则m的值可以为__________．(任意给出一个符合条件的值即可)三、解答题5．如图，将△ABC的顶点A放在⊙O上，现从AC与⊙O相切于点A(如图1)的位置开始，将△ABC绕着点A顺时针旋转，设旋转角为α(0°＜α＜120°)，旋转后AC，AB分别与⊙O 交于点E，F，连接EF(如图2)．已知∠BAC＝60°，∠C＝90°，AC＝8，⊙O的直径为8.图1 图2 备用图(1)在旋转过程中，有以下几个量：①弦EF的长；②EF的长；③∠AFE的度数；④点O到EF的距离．其中不变的量是__________(填序号)．(2)当BC与⊙O相切时，请直接写出α的值，并求此时△AEF的面积．6．如图1，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC ＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G，H点，如图2.(1)问：始终与△AGC相似的三角形有__________及__________；(2)设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图2情形说明理由)；(3)问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？图1 图27．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD (AD ＞AB )，将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连接AF 和CE .(1)求证：四边形AFCE 是菱形；(2)若AE ＝10 cm ，△ABF 的面积为24 cm 2，求△ABF 的周长；(3)在线段AC 上是否存在一点P ，使得2AE 2＝AC ·AP ？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．8．已知：二次函数y ＝x 2＋bx －3的图象经过点P (－2,5)． (1)求b 的值，并写出当1＜x ≤3时y 的取值范围．(2)设点P 1(m ，y 1)，P 2(m ＋1，y 2)，P 3(m ＋2，y 3)在这个二次函数的图象上． ①当m ＝4时，y 1，y 2，y 3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由．②当m 取不小于5的任意实数时，y 1，y 2，y 3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．9．如图1，已知抛物线的顶点为A (0,1)，矩形CDEF 的顶点C ，F 在抛物线上，D ，E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B (0,2)且其面积为8.(1)求此抛物线的解析式．(2)如图2，若P 点为抛物线上不同于A 的一点，连接PB 并延长交抛物线于点Q ，过点P ，Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为S ，R .①求证：PB ＝PS ； ②判断△SBR 的形状；③试探索在线段SR 上是否存在点M ，使得以点P ，S ，M 为顶点的三角形和以点Q ，R ，M 为顶点的三角形相似，若存在，请找出M 点的位置；若不存在，请说明理由．图1 图2参考答案专题提升演练 1．C 以较短的直角边为公共边可以画三个符合要求的三角形，以较长的直角边为公共边也可以画三个符合要求的三角形，以斜边为公共边也可以画一个符合要求的三角形，这样可以画七个符合要求的三角形，故选C.2．B 根据图中所示程序，可得y 与x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2xx ，4x x，易知①错误；∵PQ ∥x 轴，∴点P 在y ＝－2x 上，∴S △POM ＝12×OM ×PM ＝12|k |＝1，同理可得S △QOM＝2，∴S △POQ ＝S △POM ＋S △QOM ＝1＋2＝3，∴②正确；当x ＞0时，y ＝4x，y 随x 的增大而减小，∴③错误；设OM ＝a ，当y ＝a 时，P 点的横坐标为－2a，Q 点的横坐标为4a ，则PM ＝2a ，MQ ＝4a，则MQ ＝2PM ，∴④正确；当点M 在y 轴的正半轴上由下向上运动时，∠POQ 由180°逐渐变小至0°，∴∠POQ 可以等于90°，∴⑤正确．3．∠A ＝90°或∠B ＝90°或∠C ＝90°或∠D ＝90°或AC ＝BD (答案不唯一，写出一种即可) 由已知条件AB ＝DC ，AD ＝BC ，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再要使ABCD 是矩形，根据判定矩形的方法，只需有一个角为直角的平行四边形即为矩形，或者对角线相等的平行四边形是矩形，所以可添的条件为角是直角或对角线相等．4．答案不唯一，所填写的数值只要满足m 2≥12即可，如4等 由于这个方程有实数根，因此Δ＝b 2－4ac ＝(－m )2－12＝m 2－12≥0，即m 2≥12.5．解：(1)①②④(2)α＝90°.依题意可知，△ACB 旋转90°后AC 为⊙O 直径，且点C 与点E 重合，因此∠AFE ＝90°.∵AC ＝8，∠BAC ＝60°，∴AF ＝12AC ＝4，EF ＝43，∴S △AEF ＝12×4×43＝8 3.6．解：(1)△HGA △HAB (2)由(1)可知△AGC ∽△HAB ， ∴CG AB ＝AC BH ，即x 9＝9y ， ∴y ＝81x.(3)由(1)知△AGC ∽△HGA .∴要使△AGH 是等腰三角形，只要△AGC 是等腰三角形即可．有两种情况，(1)CG 为底，AC ＝AG 时，得AG ＝9，此时CG 等于92，(2)CG 为腰，CG＝AG 时，此时CG ＝922.7．解：(1)证明：由折叠可知EF ⊥AC ，AO ＝CO . ∵AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，∠AEO ＝∠CFO . ∴△AOE ≌△COF . ∴EO ＝FO .∴四边形AFCE 是菱形． (2)由(1)得AF ＝AE ＝10. 设AB ＝a ，BF ＝b ，得a 2＋b 2＝100①，ab ＝48②.①＋2×②得(a ＋b )2＝196，得a ＋b ＝14(另一负值舍去)． ∴△ABF 的周长为24 cm.(3)存在，过点E 作AD 的垂线交AC 于点P ，则点P 符合题意．证明：∵∠AEP ＝∠AOE ＝90°，∠EAP ＝∠OAE ，∴△AOE ∽△AEP .∴AO AE ＝AE AP，得AE 2＝AO ·AP ，即2AE 2＝2AO ·AP .又AC ＝2AO ，∴2AE 2＝AC ·AP .8．解：(1)把点P 代入二次函数解析式，得5＝(－2)2－2b －3，解得b ＝－2.所以二次函数解析式为y ＝x 2－2x －3. 当x ＝1时，y ＝－4，当x ＝3时，y ＝0，所以当1＜x ≤3时，y 的取值范围为－4＜y ≤0. (2)①m ＝4时，y 1，y 2，y 3的值分别为5,12,21，由于5＋12＜21，不能成为三角形的三边长．②当m 取不小于5的任意实数时，由图象知y 1＜y 2＜y 3，y 1，y 2，y 3的值分别为m 2－2m －3，m 2－4，m 2＋2m －3，y 1＋y 2－y 3＝(m 2－2m －3)＋(m 2－4)－(m 2＋2m －3)＝m 2－4m －4＝(m－2)2－8，当m 不小于5时成立，(m －2)2≥9，所以(m －2)2－8＞0，即y 1＋y 2＞y 3成立．所以当m 取不小于5的任意实数时，y 1，y 2，y 3一定能作为同一个三角形三边的长． 9．(1)解：方法一：∵B 点坐标为(0,2)， ∴OB ＝2.∵矩形CDEF 面积为8， ∴CF ＝4.∴C 点坐标为(－2,2)，F 点坐标为 (2,2)．设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ， 其过三点A (0,1)，C (－2,2)，F (2,2)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝c ，2＝4a －2b ＋c ，2＝4a ＋2b ＋c .解这个方程组，得 a ＝14，b ＝0，c ＝1. ∴此抛物线的解析式为y ＝14x 2＋1.方法二：∵B 点坐标为(0,2)， ∴OB ＝2.∵矩形CDEF 面积为8， ∴CF ＝4.∴C 点坐标为(－2,2)．根据题意可设抛物线解析式为y ＝ax 2＋c . 其过点A (0,1)和C (－2,2)． 得⎩⎪⎨⎪⎧1＝c ，2＝4a ＋c . 解这个方程组，得a ＝14，c ＝1.∴此抛物线解析式为y ＝14x 2＋1.(2)①过点B 作BN ⊥PS ，垂足为N .∵P 点在抛物线y ＝14x 2＋1上，可设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，14a 2＋1， ∴PS ＝14a 2＋1，OB ＝NS ＝2，BN ＝a .∴PN ＝PS －NS ＝14a 2－1.在Rt △PNB 中，PB 2＝PN 2＋BN 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2－12＋a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋12. ∴PB ＝PS ＝14a 2＋1.②根据①同理可知BQ ＝QR . ∴∠1＝∠2， 又∵∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3. 同理∠SBP ＝∠5.∴2∠5＋2∠3＝180°. ∴∠5＋∠3＝90°， ∴∠SBR ＝90°.∴△SBR 为直角三角形． ③若以P ，S ，M 为顶点的三角形与以Q ，M ，R 为顶点的三角形相似， ∵∠PSM ＝∠MRQ ＝90°，∴有△PSM ∽△MRQ 和△PSM ∽△QRM 两种情况．当△PSM ∽△MRQ 时，∠SPM ＝∠RMQ ，∠SMP ＝∠RQM .由直角三角形两锐角互余性质，知∠PMS ＋∠QMR ＝90°， ∴∠PMQ ＝90°.取PQ 中点为N ，连接MN ，则MN ＝12PQ ＝12(QR ＋PS )．∴MN 为直角梯形SRQP 的中位线． ∴点M 为SR 的中点． 当△PSM ∽△QRM 时，RM MS ＝QR PS ＝QBBP.又QB BP ＝RO OS，∴RMMS＝ROOS，即M点与点O重合．∴点M为原点O.综上所述，当点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ；当点M为原点时，△PSM∽△QRM.。

B A D E2019中考数学专项三-开放探索1.〔2017山东省潍坊市〕一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过〔2，1〕点；②当x ＞0时，y 随x 的增大而减小、这个函数解析式为如：y=，y=﹣x+3，y=﹣x 2+5等、〔写出一个即可〕考点：二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质。

专题：开放型。

分析：此题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可、解答：解：符合题意的函数解析式可以是y=，y=﹣x+3，y=﹣x 2+5等，〔此题答案不唯一〕故答案为：y=，y=﹣x+3，y=﹣x 2+5等、点评：此题考查了一次函数，反比例函数，二次函数的性质、关键是从三种函数解析式上考虑，只要符合题意即可、2.〔2017年青海，10,2分〕如图2，四边形ABCD 是平行四边形，E 是CD 延长线上的任意一点，连接BE 交AD 于点O ，如果△ABO ≌△DEO ，那么需要添加的条件是。

〔只需一个即可，图中不能添加任何点或线〕【答案】开放型题，答案不唯一〔参考答案：O 是AD 的中点或OA=OD;AB=DE;D 是CE 的中点；O 是BE 的中点或OB=OE;或OD 是△EBC 的中位线〕3.、如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，并且BF ＝CE ，∠B ＝∠E 、(1)请你只添加一个条件(不再加辅助线)，使得△ABC ≌△DEF 、你添加的条件是：、 (2)添加了条件后，证明△ABC ≌△DEF 、 解：〔1〕∠A=∠D 或AB=DE 或∠ACB=∠DFE 等条件. 〔2〕证明：∵BF=CE ∴BF+FC=EC+FC ∴ 在△ABC 和△DEF 中∠A=∠D ，∠B=∠E ，BC=EF ∴△ABC ≌△DEF 〔AAS 〕4.〔2017山西省〕25、(此题9分)如图(1)，Rt △ABC 中，∠ACB=-90°，CD ⊥AB ，垂足为D 、AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F 〔1〕求证：CE=CF 、〔2〕将图〔1〕中的△AD E 沿AB 向右平移到△A ’D ’E ’的位置，使点E ’落在BC 边上，其它条图2图3件不变，如图〔2〕所示、试猜想：BE'与CF 有怎样的数量关系?请证明你的结论、4、(此题9分)如图(1)，Rt △ABC 中，∠ACB=-90°，CD ⊥AB ，垂足为D 、AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F〔1〕求证：CE=CF 、 证明：略〔2〕将图〔1〕中的△ADE 沿AB 向右平移到△A ’D ’E ’的位置，使点E ’落在BC 边上，其它条件不变，如图〔2〕所示、试猜想：BE'与CF 有怎样的数量关系?请证明你的结论、 解：相等证明：如图，过点E 作EG ⊥AC 于G 、又∵AF 平分∠CAB ，ED ⊥AB ，∴ED=EG 、由平移的性质可知：D ’E ’=DE ，∴D ’E ’=GE 、 ∵∠ACB=90°、∴∠ACD+∠DCB=90° ∵CD ⊥AB 于D 、∴∠B+∠DCB=90°、 ∴∠ACD=∠B在Rt △CEG 与Rt △BE ’D ’中， ∵∠GCE=∠B ，∠CGE=∠BD ’E ’，CE=D ’E ’ ∴△CEG ≌△BE ’D ’ ∴CE=BE ’由〔1〕可知CE=CF ， (其它证法可参照给分)、5.〔2017福建省漳州市〕如图，直线y ＝－2x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，将△OAB绕点O 逆时针方向旋转90°后得到△OCD 、 〔1〕填空：点C 的坐标是(_▲，_▲)，点D 的坐标是(_▲，_▲)；〔2〕设直线CD 与AB 交于点M ，求线段BM 的长；〔3〕在y 轴上是否存在点P ，使得△BMP 是等腰三角形？假设存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标；假设不存在，请说明理由、【答案】 解：〔1〕点C 的坐标是(0，1)，点D 的坐标是(－2，0)………………4分〔2〕方法一：由〔1〕可知CD ＝OC 2＋OD 2＝5，BC ＝1又∠1＝∠5，∠4＝∠3∴△BMC ∽△DOC ………………6分 ∴BM DO ＝BC DC 即BM 2＝15∴BM ＝255………………8分方法二：设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b由〔1〕得⎩⎨⎧b ＝1－2k ＋b ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1k ＝12∴直线CD 的解析式为y ＝12x ＋1 又∠1＝∠5，∠BCM ＝∠DCO∴△BMC ∽△DOC ………………6分 ∴BM DO ＝BC DC 即BM 2＝15∴BM ＝255………………8分∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2y ＝12x ＋1∴⎩⎨⎧x ＝25y ＝65∴M 的坐标为(25，65)………………6分过点M 作ME ⊥y 轴于点E ，那么ME ＝25，BE ＝45∴BM ＝ME 2＋BE 2＝255………………8分〔3〕存在………………9分分两种情况讨论： ①以BM 为腰时∵BM ＝255，又点P 在y 轴上，且BP ＝BM此时满足条件的点P 有两个，它们是P 1(0，2＋255)、P 2(0，2－255)……………11分过点M 作ME ⊥y 轴于点E ，∵∠BMC ＝90°， 那么△BME ∽△BCM∴BE BM ＝BM BC ∴BE ＝BM 2BC ＝45 又∵BM ＝BP∴PE ＝BE ＝45 ∴BP ＝85∴OP ＝2－85＝25此时满足条件的点P 有一个，它是P 3(0，25)……………12分②以BM 为底时，作BM 的垂直平分线，分别交y 轴、BM 于点P 、F ， 由〔2〕得∠BMC ＝90°，∴PF ∥CM∵F 是BM 的中点，∴BP ＝12BC ＝12∴OP ＝32此时满足条件的点P 有一个，它是P 4(0，32)综上所述，符合条件的点P 有四个，它们是：P 1(0，2＋255)、P 2(0，2－255)、P 3(0，25)、P 4(0，32)……………13分6.〔2017青海省西宁市〕在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为(－1，0)、如下图，B 点在抛物线y ＝12x 2＋12x －2图象上，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，且B 点横坐标为－3、 〔1〕求证：△BDC ≌△COA ；〔2〕求BC 所在直线的函数关系式； 〔3〕抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？假设存在，求出所有点P 的坐标；假设不存在，请说明理由、 【答案】〔1〕证明：∵∠BCD ＋∠ACO ＝90°，∠ACO ＋∠OAC ＝90°，∴∠BCD ＝∠OAC∵△ABC 为等腰直角三角形∴BC ＝AC 在△BDC 和△COA 中 ∠BDC ＝∠COA ＝90° ∠BCD ＝∠OAC BC ＝AC∴△BDC ≌△COA 〔AAS 〕………………4分〔2〕解：∵C 点坐标为(－1，0)∴BD ＝CO ＝1∵B 点横坐标为－3 ∴B 点坐标为(－3，1)设BC 所在直线的函数关系式为y ＝kx ＋b ∴⎩⎨⎧－k ＋b ＝0－3k ＋b ＝1解得⎩⎨⎧k ＝－12b ＝－12∴BC 所在直线的函数关系式为y ＝－12x －12………………8分〔3〕解：存在………………9分∵二次函数解析式为：y ＝12x 2＋12x －2∴y ＝12x 2＋12x －2＝12(x ＋12)2x －178∴对称轴为直线x ＝－12………………10分假设以AC 为直角边，点C 为直角顶点，对称轴上有一点P 1，使CP 1⊥AC ，∵BC ⊥AC ∵点P 1为直线BC 与对轴称直线x ＝－12的交点 由题意可得：⎩⎨⎧y ＝－12x －12x ＝－12解得：⎩⎨⎧x ＝－12y ＝－14∴P 1〔－12，－14〕假设以AC 为直角边，点A 为直角顶点，对称轴上有一点P 2，使AP 2⊥AC ，那么过点A 作AP 2∥BC ，交对轴称直线x ＝－12于点P 2 ∵CD ＝OA ∴A 〔0，2〕由题意得直线AP 2的解析式为：y ＝－12x ＋2⎩⎨⎧y ＝－12x ＋2x ＝－12解得：⎩⎨⎧x ＝－12y ＝－94∴P 2〔－12，94〕∴P 点坐标分别为P 1〔－12，－14〕、P 2〔－12，94〕………………12分〔注：每题只给出一种解法，如有不同解法请对照评分标准给分〕7.〔2017湖北省十堰市〕如图，抛物线c bx x y ++=2与x 轴交于点A 〔1，0〕和点B ，与y 轴交于点C 〔0，－3〕. 〔1〕求抛物线的解析式； 〔2〕如图〔1〕，点H 〔0，－1〕.问在抛物线上是否存在点G 〔点G 在y 轴的左侧〕，使得GHA GHCS S∆∆=？假设存在，求出G 点坐标，假设不存在，请说明理由；〔3〕如图〔2〕，抛物线上点D 在x 轴上的正投影为点E 〔－2，0〕，F 是OC 的中点，连接DF ，P 为线段BD 上一点，，假设∠EPF ＝∠BDF ，求线段PE 的长.考点：二次函数综合题。