11.3角的平分线的性质2

角的平分线的性质（二）一、教材的分析和处理本节课选自人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册，第十一章第三节内容“角的平分线的性质”。

1、教材的地位和作用角的平分线的性质是全等三角形知识的运用和延续，为后面证明线段相等、角相等的几何证明开辟了一种新的，更为简捷的方法。

同时也是轴对称图形的基础，并为解决九年级下册确定内切圆的圆心提供了依据。

本节分两个课时，我选的是第二课时。

本课时主要探究角的平分线的性质和判定，并能在此基础上进行简单的应用.教材不仅为学生动手操作、观察、思考、验证、交流等提供了较好的素材，使学生通过自主探究、合作交流等方式形成新的知识，更让学生学习了怎样从实际问题中建立数学模型，从而解决相关的实际问题。

2、教学目标知识与技能：掌握角的平分线的性质和判定，并会运用它们解决实际问题.过程与方法：通过让学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力，提高解决问题的能力.情感态度与价值观：经历对角的平分线的性质和判定的探索过程，发展应用数学知识的意识与能力，培养学生良好的学习态度及严谨的科学态度，体验探索过程中的乐趣与成功后的喜悦.3、教学重、难点重点：掌握角的平分线的性质和判定.难点：理解角的平分线的性质和判定的互逆关系，并能正确运用它们解决问题.4、教材的处理教材是围绕现实生活中的实际问题采用“创设问题情境—建立数学模型—解释、应用与拓展”的基本教学模式来展开教学活动。

让学生经历探索角的平分线的性质、判定的形成与初步的应用过程，从而能从理性逻辑思维的角度掌握性质和判定的区别与联系，达到真正的“学数学”和“用数学”。

二、教法、学法课堂教学利用引导，鼓励，赏识的教学方法充分调动学生的积极性，激发学生内在的动力，让他们主动的投入到学习中去，成为教学的主体和学习的主人，以获取最大限度的发展。

三、教学手段和教具准备教学手段：多媒体辅助教学，促进学生自主学习，提高学习效率.教具准备：学生各自准备一张三角形纸片.四、教学过程设计（1）创设情境、引入新知有两条小河交汇形成的三角区，土壤肥沃，气候宜人，有一头小牛的家就建在小河交汇所成的角平分线上的A处。

按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。

2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。

从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。

本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。

§11．3．2 角的平分线的性质（二）（三）情感与价值观要求通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣．教学重点：角平分线的性质及其应用．教学难点：灵活应用两个性质解决问题．教学方法：探索、归纳的方法．教学过程一．创设情境，引入新课[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？二．导入新课角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．操作：1．折出如图所示的折痕PD、PE．2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的．问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？问题2：（出示投影片）能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：学生通过讨论作出下列概括：已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．由已知事项推出的事项：PD=PE．于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：下面请同学们思考一个问题．思考：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2．比例尺为1：20000是什么意思？讨论结果展示：1．应该是用第二个性质．•这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，•这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表示实际距离200m的意思．作图如下：第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，•使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题．[例]如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．三．随堂练习1．课本P22练习．2．课本P22习题11．3第3题．在这里要提醒学生直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等．四．课时小结今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，可以看出，随着研究的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．五．课后作业：课本P22页习题11．3第4、5、6题．在本节课的教学中，我始终坚持以引导为起点，以问题为主线，以能力培养为核心，遵照教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则；通过师生双边活动，通过对单元的复习，使学生对本单元的知识系统化，重点知识突出化，能力培养阶梯化；在选择题目时注意了以基本题为主，少量思考性较强的题目为辅，兼顾了不同层次学生的不同要求。

数学：-11.3《角的平分线的性质》同步练习（人教版八年级上）一. 教学内容：1. 角平分线的作法．2. 角平分线的性质及判定．3. 角平分线的性质及判定的应用．二. 知识要点：1. 角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．①推导已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．①推导已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．证明：连结OP在Rt△PAO和Rt△PBO中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上．②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）3. 角平分线性质及判定的应用①为推导线段相等、角相等提供依据和思路；②实际生活中的应用．例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．4. 画一个任意三角形并作出两个角（内角、外角）的平分线，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系．三. 重点难点：1. 重点：角平分线的性质及判定2. 难点：角平分线的性质及判定的应用【考点分析】本讲内容作为基础内容来讲，它在中考题中偶尔以选择题或填空题的形式出现，但角平分线的性质及判定有时出现在综合题题目当中，因此还是比较重要的．【典型例题】例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．分析：由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路．证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．又∵AC＝AC′（已知），∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．∴∠ABC＝∠ABC′．（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）（三角形内角和定理）．即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性．例2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理．根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出∠1＝∠2，再利用平行线推得∠3＝∠4，最后用角平分线的定义得证．解：AD平分∠BAC．∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．评析：由角平分线的判定判断出PD平分∠EPF是解决本例的关键．“同理”是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”．例3. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P 到三边的垂线段．解：AP平分∠BAC．结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D．∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．同理PF＝PE，∴PD＝PF．∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．例4. 如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标．分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P到铁路的距离与到公路的距离相等，也是400m；点P在第四象限，求点P的坐标时要注意符号．解：（1）∵点P在公路与铁路所夹角的平分线上，∴点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，又∵点P到公路的距离是400m，∴点P（学校）到铁路的距离是400m．（2）学校所在位置的坐标是（400，－400）．评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等．例5. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．分析：由于点D在∠CAB的平分线上，若过点D作DE⊥AB于E，则DE＝DC．于是有BD＋DE＝BD＋DC＝BC ＝AC，只要知道AC与AE的关系即可得出结论．解：能．过点D作DE⊥AB于E，则△BDE的周长等于AB的长．理由如下：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE．在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．∴AC＝AE．又∵AC＝BC，∴AE＝BC．∴△BDE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB．评析：本题是一道探索题，要善于利用已知条件获得新结论，寻找与要解决的问题之间的联系．本题利用角平分线的性质将要探究的结论进行转化．这是初中几何中常用的一种数学思想．【方法总结】学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”这两个结论后，许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用这两个结论，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．【模拟试题】（答题时间：90分钟）一. 选择题1. 如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（）A. PC＞PDB. PC＝PDC. PC＜PDD. 不能确定2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D到AB的距离是（）A.4B.6C. 8D. 103. 在△ABC中，∠C＝90°，E是AB边的中点，BD是角平分线，且DE⊥AB，则（）A. BC＞AEB. BC＝AEC. BC＜AED. 以上都有可能4. 如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB的距离是（）A.3B.4C. 5D. 65. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（）A. DC＝DEB. ∠AED＝90°C. ∠ADE＝∠ADCD. DB＝DC6. 到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 不能确定7. 如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（）A. 4cmB. 6cmC. 10cmD. 以上都不对8. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处二. 填空题9. 如图所示，点P是∠CAB的平分线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，如果PF＝3cm，那么PE＝__________．10. 如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________，∠CDA＝__________．11. 如图所示，P在∠AOB的平分线上，在利用角平分线性质推证PD＝PE时，必须满足的条件是____________________．12. 如图所示，∠B＝∠C，AB＝AC，BD＝DC，则要证明AD是∠BAC的__________线．需要通过__________来证明．如果在已知条件中增加∠B与∠C互补后，就可以通过__________来证明．因为此时BD与DC已经分别是__________的距离．13. 如图所示，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，则点C在__________．14. 如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是__________．（2）若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长为__________．15. （1）∵OP平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴__________（依据：角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴OP平分∠AOB（依据：___________）．三. 解答题16. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．17. 如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°．（1）求证：DE＝DF；（2）若把最后一个条件改为：AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么结论还成立吗？18. 如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC＝BC．19. 如图所示，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm．（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1∶10000，用尺规作图）（2）求出仓库G到铁路的实际距离．四. 探究题有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：（1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；（2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；（3）连接AD、BC相交于点E；（4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线．你认为他这种作法对吗？试说明理由．参考答案一. 选择题1. B2. A3. B4. A5. D6. C7. B8. D二. 填空题9. 3cm 10. 40°，50° 11. PD⊥OA，PE⊥OB12. 角平分，全等，角平分线的性质，点D到AB、AC两边13. ∠DAB的角平分线上14. （1）3（2）1515. （1）PD＝PE（2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上三. 解答题16. （1）证明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE＝DC，∴点D在∠ABC的平分线上，∴BD平分∠ABC．（2）∵∠C＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝54°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝27°．17. （1）证明：作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，又∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN，∵∠EAF＋∠EDF＝180°，∴∠AED＋∠AFD＝360°－180°＝180°，∵∠AFD＋∠CFD＝180°，∴∠AED＝∠CFD，∴△DME≌△DNF，∴DE＝DF．（2）仍成立．18. 证明：∵∠1＝∠2，BD⊥OA，AE⊥OB，∴CD＝CE，∵∠DCA＝∠ECB，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ACD≌△BCE，∴AC＝BC．19. （1）图略，仓库G在∠NOQ的平分线上，（2）仓库G到铁路的实际距离是100m．四. 探究题他这种作法对，理由如下：由作法可知：OC＝OD，OB＝OA，∠COB＝∠DOA，∴△BCO≌△ADO，AC＝BD，∴∠OCE＝∠ODE，∵∠AEC＝∠BED，∴△ACE≌△BDE，∴CE＝DE，∵OE＝OE，∴△OCE≌△ODE，∴∠COE＝∠DOE，即OE平分∠MON．。

角的平分线的性质《第2课时》【教学目标】：(1)知识与技能目标：掌握角的平分线的两个性质；能应用角的平分线的性质解决一些简单的实际问题。

(2)过程与方法目标：通过探索集贸市场的位置加深学生对角的平分线的性质的理解。

引导学生从数学的视角观察客观世界，用数学的思维思考客观世界，以数学的语言描述客观世界。

(3)情感与态度目标：利用角的平分线的性质探索集贸市场的位置，使学生的求知欲望得到激发，使学生通过应用已学知识解决身边的问题，提高学生学习数学的兴趣。

【教学重点1：角的平分线的性质的运用及运用【教学难点】：角的平分线的性质的探究【教学突破点1通过实际生活中的例子对比角的平分线的两个性质。

【教法、学法设计】：合作探究式分层次教学，讲授、练习相结合。

【课前准备】：课件【教学过程设计】：问题1.一个S区有一个集贸市场，在公路与铁路所成的角平分线上的P点，要从P点建两条路，一条到公路上，另一条到铁路上，怎样修建距离最短？这两条路有什么关系？画出來看一看？问题2.以上我们运用了什么知识点？角平分线上的点到角的两边的距离相等.问题3.那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用利用所学的数学知识解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段。

引入复习符号语言填写下表:图形已知事项由已知事项推出的事项PD 丄OB,PE 丄OA,垂足为D、EPD=PE已知事项符合直角三角形全等的条件，所以RtAPEO^APDO (HL).于是可得ZPOE二ZP0D.由己知推出的事项：点P在ZA0B的平分线上.第一步：尺规作图法作lllZAOB 的平分线0P.第二步：在射线0P 上截取002. 5cm,确定C 点，C 点就是集贸 市场所建地了.总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤, 使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，乂要证线段相等的问题, 我们可以直接利用性质解决问题.二、讲授 新课(1)由此我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.这与“角平分线上的点到角的两边的距离相等”有什么区别与联 系吗？分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换.如图，要在S 区建立一个集贸市场，是它到公路、铁路距离相等, 离公路与铁路交叉处500米。

教学过程设计角平分线的判定定理的应用：多媒体展示：〔1〕现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，问他们的做法正确？那一种方法好？ ：， CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B ，AC=BC求证： OC 平分∠AOBB AO C证法1：∵CA ⊥OA ，BC ⊥OB ∴∠A=∠B 在△AOC 和△BOC 中⎩⎨⎧==BC AC OCOC ∴△AOC ≌△BOC 〔HL 〕∴∠AOC=∠BOC ∴OC 平分∠AOB 证法2：∵ CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B ， AC=BC ∴OC 平分∠AOB 〔角平分线判定定理〕〔2〕：如图，AD 、BE 是△ABC 的两个角平分线，AD 、BE 相交于O 点求证：O 在∠C 的平分线上三、课堂训练多媒体展示：、1.如图，DB ⊥AN 于B ，交AE 于点O ，OC ⊥AM 于点C ，且OB=OC ，假设∠OAB =25°，求∠ADB 的度数.想及证明，归纳角平分线的判定定理。

学生明确在一定条件下，证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。

教师引导学生分析，思考，写出证明过程。

教师标准书写格式。

学生应用角的平分线判定定理解题。

概括能力。

使学生明确角平分线判定定理的作用。

稳固角的平分线的性质与判定的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力。

稳固本节所学。

BD MC N E A G板 书 设 计2.如图，AB =AC ，DE ⊥AB 于E ， DF ⊥AC 于F ，且DE =DF . 求证：BD =DC 四、小结归纳1.角平分线判定定理及期作用；2.在一定条件下，证角平分线不再用三角形全等后角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。

3.三角形三个内角平分线交于一点，到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点。

五、作业设计1.教材习题11.3第3、4题；2.补充作业：如图，ABC ∆的外角∠CBD 、∠BCE 的平分线相交于点F 。

11.3角的平分线的性质（第一课时）学案学习目标：1、通过探究理解角平分线的性质并会运用2、掌握尺规作图作角平分线学习重点：理解角平分线的性质并会运用学习难点：掌握尺规作图作角平分线教学过程一.自主学习1、怎样用尺规作角的平分线？2、角的平分线上的点到角的两边的距离有什么关系？（一）课前巩固1、如图，AB＝AD，BC＝DC，求证AC是∠DAB的平分线（二）自学：教材P19（三）用尺规作一个角的平分线1、已知：∠AOB，2、练习，画出下列角的平分线求作：∠AOB的平分线OC3、练习，教材P19二、合作探究角平分线的性质1、探究，教材P202、归纳，角平分线的性质是：角平分线上的到角两边的相等。

3、用三角形全等证明性质，如图，已知：∠BAF=∠CAF,点O在AF上，OE⊥ AB , OD⊥AC,垂足分别为E,D.求证：OE=OD（各组按分配好的内容上黑板进行展示，其他组的同学进行补充）三、反馈拓展（1）△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F,求证EB＝FC（2）、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。

四、小结与质疑这节课你学到了什么？你还有哪些问题？五.课时达标1．结合图ll．3—2完成填空：的平分线上，PE⊥ OB ,PD⊥OA∴____=_____2．如图11．3—3，在，交BC于D，若BC=10cm，BD=6cm，求点D到AB的距离．3．如图11．3—4，在，AC=BC，AD平分．交BC于点D，是( )．六.布置作业1.必做题：P22第2题2.选做题：P23 第5题11.3角的平分线的性质（第二课时）学案学习目标：1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题学习重点：理解角平分线的性质并会运用学习难点：能应用这两个性质解决一些简单的实际问题一、自主学习一个点到角的两边距离相等这个点一定在角的平分线上吗？1、复习思考（1）画出三角形三个内角的平分线你发现了什么特点吗？（2）如图，△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角的平分组CE相交于P,求证点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等。

课题11.3.2角平分线的判定课型 自学互学展示课 时间 班级学习目标 1、掌握角平分线的判定方法；2、掌握角平分线的性质与判定方法的综合应用。

学习环节学 习 过 程一、学一学 （1）已知，如图，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D,E 。

PD=PE 求证：OC 是∠AOB 的平分线。

试一试1题（2）角平分线的判定定理：__________________________________________________； 二、试一试1、如图，∠AOB=72°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD=CE ，则∠DOC= __________。

2、在△A BC 中，∠B =∠C ，点D 为BC 边的中点，DE ⊥AB ， DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F.求证：点D 在∠A 的平分线上.三、综合应用1.点O 是△ABC 内一点,且点O 到三边的距离相等,∠A =60°,则∠BOC 的度数为( )A .60°B .90°C .120°D .150°O DECABOD CB A A BC O2.如图,AB =AD ,CB =CD ,AC 、BD 相交于点O ,则下列结论正确的是( ) A . OA =OC B . 点O 到AB 、CD 的距离相等C . 点O 到CB 、CD 的距离相等 D . ∠BDA =∠BDC2题图 3题图3、如图,△ABC 中,∠B =90°, ∠A 、∠C 的平分线交于点O ，则∠AOC 的度数为4.△ABC 中,∠C =90°,点O 为△ABC 三条角平分线的交点,OD ⊥BC 于D ,OE ⊥AC 于E ,OF ⊥AB 于F ,且AB =10cm ,BC =8cm ,AC =6cm ,则点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为( )A .2cm 2cm 2cmB . 3cm 3cm 3cmC .4cm 4cm 4cmD . 2cm 3cm 5cm5、已知，如图，∠C=∠C 丿=90°，AC=AC 丿， 求证：（1）∠ABC=∠AB C 丿；(2)BC=B C 丿.(要求：不用三角形全等判定）教 学 后反 思A BC C 丿11.3.2.角平分线的判定随堂练习1、如图，△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 为垂足，在以下结论中：①△ADE ≌△ADF ；②△BDE ≌△CDF ；③△ABD ≌△ACD ；④AE =AF ；⑤BE =CF ；⑥BD =CD ．其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．42、如图，Rt △ABC 中，∠C =90º，BD 是角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，BC =6，CD =3，AE =4，则DE =_______，AD =_______，△ABC 的周长是_______．3、如图，△ABC 中，P 是角平分线A D ，BE 的交点． 求证：点P 在∠C 的平分线上．11.3.2.角平分线的判定随堂练习1、如图，△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 为垂足，在以下结论中：①△ADE ≌△ADF ；②△BDE ≌△CDF ；③△ABD ≌△ACD ；④AE =AF ；⑤BE =CF ；⑥BD =CD ．其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．42、如图，Rt △ABC 中，∠C =90º，BD 是角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，BC =6，CD =3，AE =4，则DE =_______，AD =_______，△ABC 的周长是_______．3、如图，△ABC 中，P 是角平分线A D ，BE 的交点． 求证：点P 在∠C 的平分线上．ABCDEP AB CD EF ABC DEABCDEP AB CD EF ABC DE。

角平分线的性质和判定复习11.3角的平分线的性质（二）问题1：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：问题2：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表： 性质一：∵ ∴ 性质二：∵∴ 3.学生思考：如图所示，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m ，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？一、夯实基础1．如图1所示，AD ⊥OB ，BC ⊥OA ，垂足分别为D 、C ，AD 与BC 相交于点P ，若PA ＝PB ，则∠1与∠2的大小是（ ） A.∠1＝∠2 B.∠1＞∠2 C.∠1＜∠2 D.无法确定2．△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB ＝12cm ，则△DBE 的周长为（ ）A 、12cm B 、10cm C 、14cm D 、11cm 3．如图2所示，已知PA 、PC 分别是△ABC 的外角∠DAC 、∠ECA 的平分线，PM ⊥BD ，PN ⊥BE ，垂足分别为M 、N ，那么PM 与PN 的关系是（） A.PM ＞PN B.PM ＝PN C.PM ＜PN D.无法确定4．如图3所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠A 的平分线，DE⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，下面给出四个结论，其中正确的结论有( )①AD 平分∠EDF ； ②AE=AF ；③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等 ④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 5． 如图，已知点D 是∠ABC 的平分线上一点，点P 在BD 上，PA ⊥AB ，PC ⊥BC ，垂足分别为A ，C ．下列结论错误的是（ ）． A ．AD=CP B ．△ABP ≌△CBP C ．△ABD ≌△CBD D ．∠ADB=∠CDB ． 6． (2007广东)到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）Ａ．三条中线的交点 Ｂ．三条高的交点 Ｃ．三条边的垂直平分线的交点Ｄ．三条角平分线的交点7．在△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠CAB ，BC ＝8cm ，BD＝5cm ，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ． 二、细心做一做，你会成功BDＣD M A NP E图2 B 图3 图1A BCD PSS8．已知：AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，求证：∠B ＝∠C.9．如图，已知在△ABC 中，90C ∠= ，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ⊥ 交AC 于E ．求证：BE 平分ABC ∠．10． 先作图，再证明．（1①作ACB ∠的平分线CD ，交AB 于点D ； ②延长BC 到点E ，使CE CA =，连结AE ． （2）求证：CD AE ∥．11.如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB. 求证：DF ＝EF. 证明：∵∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴ ＝ （角的平分线的性质） ∵∠3＝∠1＋90°，∠4＝∠2＋90°，∴∠3＝∠4. (剩余的补充完整)12．如图，△ABC 中，P 是角平分线AD ，BE 的交点．求证：点P 在∠C 的平分线上．13．已知：如图，90B C ∠=∠=，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠． （1）若连接AM ，则AM 是否平分BAD ∠？请你证明你的结论． （2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．中考链接16．（2007广东茂名）Rt 90ABC C BAC ∠∠在△中，＝，分线AD 交BC 于点D ，2CD ＝，则点D 到AB 的距离是（ A ．1 B ．2 C ．3 D ．417．（2006年镇江）⑴如图，已知△ABC ，∠C ＝90°.（尺规作图，保留作图痕迹）：① 作∠B 的平分线，与AC 相交于点D ； ② ②在AB 边上取一点E ，使BE ＝BC③ 连接ED;⑵根据所作图形，写出一组相等的线段和 一组相等的锐角.（不包括BE ＝BC ，∠EBD ＝∠CBD ）答：________________________________________________．A B CD EPＭF34PDEO ABC12A EＣ参考答案夯实基础1．选A ，提示：∵AD ⊥OB ，BC ⊥OA ，PA ＝PB2．2．选A ；提示：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，∠C △AED ，∴CD ＝DE ，AE ＝AC ，∴△DBE 的周长＝DE ＋EB BC ＋EB ＝AC ＋EB ＝AE ＋EB ＝AB ＝12cm ．3．选B ，提示：过P 作PT ⊥AC 于T ，因为PA 平分∠DAC 又PC 平分∠ACE ，PT ⊥AC ，PN ⊥BE ，∴PN ＝PT ，∴PM 4．选D ，提示：①②③④都正确． 5．A6．8，提示：根据角平分线的性质可得D 到斜边AB 7．①、②、④ 8．269．由∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，可作DE ⊥AB 于E 离是DE 的长，由角平分线的性质可知DE ＝CD ．又BC 以DE ＝CD ＝3cm ．所以D 点到直线AB 的距离是3cm ． 10．四处．提示：如图2所示：⑴作出△ABC 两内角的平分线，其交点为O 1；⑵分别作出△ABC 两外角平分线，其交点分别为O 2，O 3，O 4，故满足条件的修建点有四处，即O 1，O 2，O 3，O 4．11．因为AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以DE ＝DF ，在Rt △DEB 与Rt △DFC 中，BD ＝CD ，DE ＝DF ，所以Rt △DEB ≌Rt △DFC （HL ），所以∠B ＝∠C ． 12．D ∵是AB 的中点，12BD AB =∴， 2AB BC =∵，12BC AB =∴，BD BC =∴． 又∵DE AB ⊥，90C ∠= ，90C BDE ∠=∠=∴又BE BE =，Rt Rt BDE BCE △≌△（HL ）， DBE EBC ∠=∠∴，BE ∴平分ABC ∠．（1）作图略；（2）AC CE =∵，AC CE ⊥，ACE ∴△为等腰直角三角形，．45ACD ∠=∴又CD ∵平分ACB ∠．45CAE ∠=∴．ACD CAE ∠=∠∴．CD AE ∴∥． （1）AM 平分DAB ∠． 证明：过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ．12∠=∠∵，MC CD ⊥，ME AD ⊥， ME MC =∴又MC MB =∵，ME MB =∴． MB AB ∵⊥，ME AD ⊥， ∴AM 平分DAB ∠．（2）AM DM ⊥，理由如下： 90B C ∠=∠= ∵，CD AB ∴∥（垂直于同一条直线的两条直线平行）．180CDA DAB ∠+∠= ∴（两直线平行，同旁内角互补）又112CDA ∠=∠∵，132DAB ∠=∠（角平分线定义）2123180∠+∠= ∴，1390∠+∠= ∴， 90AMD ∠= ∴．即AM DM ⊥．BB 的平分线，标出交点D ；标出点E ，连接ED ；⑵写出DE ＝DC ，∠BDE ＝∠BDC 或∠ADE ＝∠ABC ．2。