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2020届高三模拟考试试卷化学2020.5本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分120分，考试时间100分钟。
可能用到的相对原子质量：H—1C—12N—14O—16Na—23S—32Cr—52Cu—64第Ⅰ卷(选择题共40分)单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共20分。
每小题只有一个选项符合题意。
1. 下列我国科技成果所涉及物质的应用中，发生的不是化学变化的是()2. 下列化学用语正确的是()A. 中子数为10的氧原子：18 8OB. Al3＋的结构示意图：C. CCl 4分子的比例模型：D. Na 2O 2的电子式：Na ··O ······O ······Na3. 下列有关物质性质与用途具有对应关系的是( ) A. Na 2SiO 3易溶于水，可用于生产黏合剂和防火剂 B. CO 2不支持燃烧，可用作镁着火时的灭火剂 C. NaHCO 3能与碱反应，可用作食品膨松剂 D. ClO 2具有强氧化性，可用于饮用水消毒4. 室温下，下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是( )A. pH ＝12的溶液：Al 3＋、K ＋、Cl －、SO 2－4B. 无色透明的溶液：Na ＋、Mg 2＋、NO －3、Br －C. 加入铁粉放出H 2的溶液：NH ＋4、Fe 3＋、CH 3COO －、SO 2－4D. c(NaClO)＝0.1 mol·L －1的溶液：H ＋、NH ＋4、MnO －4、I －5. 下列反应的离子方程式正确的是( )A. Al 2O 3溶于NaOH 溶液：Al 2O 3＋2OH －===2AlO －2＋2H 2OB. AgNO 3溶液中加入过量氨水：Ag ＋＋NH 3·H 2O===AgOH ↓＋NH ＋4C. 用惰性电极电解0.1 mol·L －1 CuCl 2溶液：2Cl －＋2H 2O=====电解H 2↑＋Cl 2↑＋2OH －D. 过量NaHCO 3溶液和澄清石灰水混合：Ca 2＋＋HCO －3＋OH －===CaCO 3↓＋H 2O 6. 下列实验装置进行相应实验，设计正确且能达到实验目的的是( )A. 用图1所示装置制取少量氢气B. 用图2所示装置制备乙烯C. 用图3所示装置验证Na和水反应的热效应D. 用图4所示装置制取并收集氨气7. 下列图像与描述相符的是()A. 图1是C(s)＋H2O(g)CO(g)＋H2(g)的平衡常数与反应温度的关系曲线，说明该反应的ΔH<0B. 图2表示SO2氧化反应分别在有、无催化剂的情况下反应过程中的能量变化C. 图3是室温下AgCl和AgI的饱和溶液中离子浓度的关系曲线，说明该温度下反应AgCl(s)＋I－(aq)AgI(s)＋Cl－(aq)的平衡常数K＝2.5×106D. 图4表示向BaCl2溶液中滴加稀硫酸至过量的过程中溶液导电性的变化8. 短周期主族元素X、Y、Z、W的原子序数依次增大，其中Y是金属元素，X原子的最外层电子数是其电子层数的2倍，Z原子的最外层有6个电子，X、Y、W原子最外层电子数之和等于13。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|24}x x -≤≤ C ．{|22}x x -≤≤ D ．{|24}x x -<≤【答案】B【解析】直接利用并集的定义计算即可. 【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2．已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A ．2B CD ．1【答案】C【解析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模的计算的公式计算即可. 【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A ．36.5 B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】 由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D 【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3 B ．7C ．7-D ．3-【答案】C【解析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.5．已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】B【解析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6．已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A ．BC ．4D ．5【答案】A【解析】由(2)0a a b ⋅-=r r r，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r，即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r， 所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r==故选：A 【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7．已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点()1,2对称 B ．关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于点()3,3对称 D ．关于点()1,3对称【答案】B【解析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到. 【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.9．函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D. 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．163πB ．3π C ．29π D ．169π【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A ．2sin 2x - B ．2sin2xC ．2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ， 所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12．如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A ．2B 21C ．2D 21【答案】D【解析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可. 【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD，SA SB SC SP、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R.四棱锥的体积211222 3323P ABCD ABCDVS PD-⨯=⨯⨯=⨯=W，四棱锥的表面积S22112222222242222PAD PAB ABCDS S S=++=⨯⨯+⨯⨯⨯+=+ V V W，因为13P ABCDV S-=⨯R⨯，所以3222142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13．设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344z y x =-，易知截距越小，z 越大，平移直线34y x =，可知当目标函数经过点A 时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4 【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．曲线()e 43xf x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________.【答案】52y x =-【解析】直接利用导数的几何意义计算即可. 【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =- 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +--【解析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可. 【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--，又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +-- 【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16．已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，11222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意.因为b a >，所以22211b e a=->，所以2e >，所以2 3.e <≤故答案为：(2,3] 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题17．某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,85 6[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）.（2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，,a A c C ∴==，sin )a c A C ∴+=+sin()]A A B =++1sin sin sin sin cos322A A A A A π⎡⎤⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎥⎝⎭⎦⎣⎦6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 19．在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -的体积为32时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =.【解析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可． 【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=23332228a a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ,'2a OD = 因为3133'3162a V S OD =⨯⨯==， 所以2a =． 【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△将根与系数的关系代入化简即可解决. 【详解】 (1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△1m =≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.21．设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x -=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a--<，即证明2111ln a a a--<， 构造函数()211ln 1h a a a a=++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->．∴()211ln 10h a a a a=++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决. 【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为21x y ⎧=-⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23．已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x-＃；（2）[7,3]-【解析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可；（2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立，∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。
9.“江淮十校” 2018届高三第二次联考数 学(文科)一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的。
1.已知全集 U = R ，集合 A = {x|y = ln(1 — x)} , B = {x| x 1 2 — 2x v 0)}，则 A A B = A. (0, 1) B. (0 , 2) C. (1 , 2) D. 1, 2)呻 呻呻呻呻 呻呻 呻2. 若向量a 、b 满足| a| = 5 , b = (1 , — 3), a • b = 5,则a 与b 的夹角为 A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°3.已知p : | m + 1| v 1, q ：幕函数y = ( m 2 — m — 1) x m 在(0 ,+^ )上单调递减，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不 必要条件4. 已知等差数列{ a n }的前 n 项和 S n ，若 3( a ? + a 4) + 2( a 6 + a g +) = 12,则 S 11 = A. 6B. 11C. 33D. 485. 下列命题中正确的是A. 命题“ x € 0, 1］，使 x 2 — 1 >0” 的否定为“-x € 0, 1］，都有x 2 — K 0”B. 若命题p 为假命题，命题q 为真命题，则(—p) V ( -q )为假命题C. 命题“若：• b > 0，则a 与b 的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题D. 命题“若x 2 + x = 0,则x = 0或x =— 1”的逆否命题为“若 X M 0且X M — 1，则x 2 + X M 0” 6.已知函数f(x) = sin ®x+ ..3COS 3X ( W >0)的图像与x 轴交点的横坐标依次构成一个公差 x 轴向右平移［个单位，得到函数g(x)的图像,61 sin2 C已知△ ABC ，角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c , b = 2, B = , -S - C = 1,则厶6 1+ COS 2C ABC 的面积为为二的等差数列，把函数2则下列叙述不正确的是 f(x)的图像沿 8.A. g(x)的图像关于点(一 兀，0)对称B. g(x)的图像关于直线 D. g(x)是奇函数x =对称4G 为AB 边上一点，OG 是/ AOB 25OA + mOB ，m€ R ,则EAJ 的值为|OB| A. -2B. 1C.D. 27.在厶AOB 中, C g(x)在4，/上是增函数 的平分线，且OG =奇函数f(x)定义域为(一n 0) U (0 , n ,其导函数是f'(x),当0v x vn 时，有f '(x) sinx—f(x)x > 0，则关于x 的不等式f(x) v 2f 「)sinx 的解集为6A. ( — ■O )U (二，nB.(—O) U (0,二) 6666C. ( — n ， —-)U (二,n6 6D. ( — n,-)U (0 ,) 6 6已知数列｛ a n ｝的前n 项和S n , 1 n 定义 n i =1S 为数列｛ a n ｝前 n 项的叠加和，若 2016项数列a 1 , a 2, a s ，…，a 2°16的叠加和为 2 2A. 2017B. 2018C. 2017D. 2018填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
绝密★启用并使用完毕前高考针对性训练数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设12i2iz -=+，则z =（）A ．iB ．i-C ．4i 5+D ．4i 5-2．若sin cos αα-=，则tan α=（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（）A ．5-B ．5C ．15D ．354．已知{}n a 是等比数列，且27844a a a a =-=-，则3a =（）A ．B ．C ．2-D ．2±5．某单位设置了a ，b ，c 三档工资，已知甲、乙、丙三人工资各不相同，且甲的工资比c 档高，乙的工资比b 档高，丙领取的不是b 档工资，则甲、乙、丙领取的工资档次依次为（）A ．a ，b ，cB ．b ，a ，cC ．a ，c ，bD ．b ，c ，a6．三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（）A B C ．18D ．367．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P在C 上，且2122PF PF a ⋅= ，PO = ，则C 的离心率为（）A B C ．3D ．28．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()yf x xf y xy x y -=-，则下列结论一定成立的是（）A ．()11f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 有最小值D ．()f x 在[]0,1上单调递增二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某同学投篮两次，第一次命中率为23．若第一次命中，则第二次命中率为34；若第一次未命中，则第二次命中率为12．记()1,2i A i =为第i 次命中，X 为命中次数，则（）A ．22()3P A =B ．4()3E X =C ．4()9D X =D ．123(|)4P A A =10．已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ．若1a =，且()sin sin sin A b B c b C -=+，则（）A ．3sin 2A =B ．ABC △面积的最大值为34C ．3R =D ．BC 边上的高的最大值为611．已知函数()sin ln f x x x =⋅，则（）A ．曲线()y f x =在πx =处的切线斜率为ln πB ．方程()2024f x =有无数个实数根C ．曲线()y f x =上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于1eD ．2()2x y f x =-在()1,+∞上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则数列{}n a 的前20项的和为______．13．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，16AA =，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，则平面1MNC 截该四棱柱所得截面的周长为______．14．已知抛物线22x y =与圆()()22240x y rr +-=>相交于四个不同的点A ，B ，C ，D ，则r 的取值范围为______，四边形ABCD 面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y a bx =+和2y c dx =+哪一个适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．参考公式及数据；1221ˆni ii ni i x ynx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，52155i i x ==∑，541979ii x ==∑，51390i i y ==∑，511221i i i x y ==∑，5214607.9i i i x y ==∑16．（本小题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ABC ⊥平面BCFE ，AF DE ⊥，45ABC CBF ∠=∠=︒，1AC AB >=．（1）求三棱台ABC DEF -的高；（2）若直线AC 与平面ABF 所成角的正弦值为155，求BC ．17．（本小题满分15分）已知函数()22xxf x a =+-，其中0a >且1a ≠．（1）若()f x 是偶函数，求a 的值；（2）若0x >时，()0f x >，求a 的取值范围．18．（本小题满分17分）已知点21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，A 到E的两焦点的距离之和为．（1）求E 的方程；（2）过抛物线()2:1C y x m m =->上一动点P ，作E 的两条切线分别交C 于另外两点Q ，R ．（ⅰ）当P 为C 的顶点时，求直线QR 在y 轴上的截距（结果用含有m 的式子表示）；（ⅱ）是否存在m ，使得直线QR 总与E 相切．若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分17分）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设,y q ∈R ，*n ∈N ，记[]11n n q q-=++⋅⋅⋅+，[][][][]!11n n n =⨯-⨯⋅⋅⋅⨯，并规定[]0!1=．记1(,)()()()()n n q F x n x y x y x qy x q y -=+=++⋅⋅⋅+，并规定()0,0()1q F x x y =+=．定义[][][](,),0(,)11(),1,2,,kqn kq F x n k D F x n n n n k x y k n-=⎧⎪=⎨-⋅⋅⋅-++=⋅⋅⋅⎪⎩（1）若1y q ==，求(),2F x 和1(,2)q D F x ；（2）求[][]!(0,)!k qn k D F n n -；（3）证明：[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑．2024年5月济南市高三模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ABACBCDC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDADBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．21013．14．4)；四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）2y c dx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：52211()115i i x x ===∑，511785i i y y ===∑，52215222221553905()4607.95317.9550.8537455()5()9795ˆ5i ii ii xy x ydx x ==-⨯-⨯⨯====⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭∑∑，239055()0.8568.655ˆ5ˆcy d x =-⨯=-⨯=，所以，268.65ˆ0.85y x =+．（3）令6x =，268.650.85699.25ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为99.25亿元．另解（此种解法酌情给分）：（1）y a bx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：1234535x ++++==，511785i i y y ===∑，()()515222151221537851 5.13ˆ555105i ii i i x yx ybx x==-⨯-⨯⨯====-⨯-⨯∑∑，()78 5.1362.7ˆˆa y b x =-⨯=-⨯=，所以，7ˆ62. 5.1yx =+．（3）令6x =，62.7 5.1693.3ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为93.3亿元．16．【解析】解：（1）作FO BC ⊥于点O ，因为平面ABC ⊥平面BCFE ，所以FO ⊥平面ABC ，FO 即为三棱台ABC DEF -的高．又因为AB ⊂平面ABC ，所以FO AB ⊥．连接AO ，因为AB DE ∥，AF DE ⊥，所以AB AF ⊥，FO AF F = ，所以AB ⊥平面AFO ，又AO ⊂平面AFO ，所以AB AO ⊥．45ABC CBF ∠=∠=︒，1AB =．所以1AO =，BO FO ==ABC DEF -．（2）以O 为原点，在面ABC 内，作OG BC ⊥，以OG ，OB ，OF 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B，F，,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，FB =，设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =则022n FB n AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取()1,1,1n = ，设BC BO λ=，则22,022AC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线AC 与平面ABF 所成角为α，15sin cos ,5AC n α===，化简得281890λλ-+=，解得32λ=或34λ=（舍去，因为AC AB >，所以1λ>），所以BC =．17．【解析】（1）由题意，()()11f f -=，即112222a a +-=+-，解得，12a =或2a =-（舍）又经检验，12a =时，()f x 是偶函数．所以，a 的值为12．（2）当12a =时，0x ∀>，1()22202x xf x ⎛⎫=+->= ⎪⎝⎭成立；当12a >且1a ≠时，0x ∀>，1()22222xx x xf x a ⎛⎫=+->+- ⎪⎝⎭，又12202xx⎛⎫+-> ⎪⎝⎭已证，故此时符合题意；当102a <<时，()ln 2ln 2x xf x a a '=+，易知，此时()f x '在R 上单调递增，且(0)ln(2)0f a =<'．故存在00x >，使得当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，从而()f x 单调递减，所以，存在02x >，使得0(0)02x f f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故此时不合题意．综上所述，12a ≥且1a ≠．18．【解析】（1）由题意2a =，得a =又21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在E 上，得221112a b +=，从而1b =．故E 的方程为2212x y +=．（2）（ⅰ）当P 为C 的顶点时，()0,P m ，不妨设R 在第一象限，直线PR 的方程为y kx m =-，联立E 的方程为2212x y +=可得222(21)4220k x kmx m +-+-=．由22222Δ(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m =-+-=-+=可得2221k m +=．联立直线PR 的方程y kx m =-与抛物线2:C y x m =-的方程可得x k =，则R 点的纵坐标为22212122R m m m y k m m ---=-=-=，由对称性知2212Q m m y --=，故直线QR 在y 轴上的截距为2212m m --．（ⅱ）要使（2）中的直线QR 与E 相切，必有22112m m b --==，即2230m m --=，解得3m =或1-（舍去）．设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,R x y ，则2113y x =-，2223y x =-，2333y x =-．直线PQ 的方程为211121()y y y y x x x x --=--，即1212()3y x x x x x =+--．联立椭圆方程2212x y +=可得222121212122()14()(3)2(3)20x x x x x x x x x x ⎡⎤++-++++-=⎣⎦．由[]22212121212Δ4()(3)42()12(3)2x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++-+++-⎣⎦⎣⎦22221212128(2228)0x x x x x x =+---=可得222212*********x x x x x x +---=，即121212250x x y y y y ++++=．同理可得131313250x x y y y y ++++=．因为直线1112(1)50x x y y y ++++=同时经过点QR ，所以QR 的直线方程为1112(1)50x x y y y ++++=．联立椭圆方程2212x y +=可得222111118(1)8(5)16480x y x x y x y ⎡⎤++++++=⎣⎦，于是[]2222211111111Δ8(5)48(1)(1648)64(1)(3)0x y x y y y x y ⎡⎤=+-+++=+--=⎣⎦．故直线QR 与椭圆相切，因此3m =符合题意．19．【解析】（1）若1y q ==，222(,2)()()(1)(1)F x x y x qy x q xy y x =++=+++=+，而[]11(,2)2()(1)()2(1)q q D F x x y q x y x =+=++=+．（2）当0k =时，[][](1)2!(0,)(0,)(0,)!n n k n q q n k D F n D F n F n q y n --===．当0k ≠时，由[][][](0,)11(0)kn kq qD F n n n k y -=-⋅⋅⋅++[][][][][]()(1)()(1)/22!11!n k n k n k n k n kn k n n n n k qyqy n k --------=-⋅⋅⋅-+=-，可得[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=．因此[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=，0,1,2,,k n = ．（3）要证[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑，只需证[][][][][]1()(1)/2(1)/200!!()()()![]!!!nnn n k n k n k kk k n k k k k n n x y x qy x qy q y x q x y n k k n k k -------==++⋅⋅⋅+==--∑∑．令1()()()()nn k k k G y x y x qy x q y a y -==++⋅⋅⋅+=∑，一方面，110101()()()()n nkkk k k n n k k k n k k x y G qy x y a q y xa xq a q a y a q y -+-==+=+=+++∑∑，另一方面，10101()()()()n nnnkn k n n k k k n k k x q y G y x q y a y xa xa q a y a q y +-==+=+=+++∑∑，当1q ≠且0x ≠时，由于()()()()nx y G qy x q y G y +=+，比较两式中ky 的系数可得111k k n k k k k xq a q a xa q a ---+=+，则[]1111(1)[]k n k k kk q n k a q q a x q x k ----+-==-⋅，由0na x =可知[][][](1)1120120!!!k k n k k k k k k n a a a a a q x a a a n k k -----=⋅⋅⋅⋅⋅=-．当1q =时，由[]11n n q qn -=++⋅⋅⋅+=，[]!!n n =可知()[][]00!C ![]!nn nn k k k n k kn k k n x y y x yx n k k --==+==-∑∑，此时命题也成立．当0x =时，[](1)/2(0,)(,)(0,)!k nq n n nk qk D F n F x n qy D F n x k -====∑也成立．综上所述，()()[]00,,!knq k k D F n F x n x k ==∑．。
绝密★启用前2020届湖北省八校（黄冈中学等）高三下学期第二次联考数学（文）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．复数212z i i=-（i 为虚数单位）在复平面上对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B根据题意，化简复数，对应复平面内的点的坐标，即可求解. 解：由题意，根据复数的运算可得复数2z i =-+， 则z 对应点()2,1-在第二象限， 故选B . 点评：本题考查复数的几何意义，属于基础题.2．已知集合U =R ，{}2,A x x n n ==∈N ，(){}20B x x x =->，则()U A B =I ð（） A ．{}0 B ．{}2C ．{}0,2D ．{}0,1,2答案：C根据题意，分析A 集合为大于等于0的偶数集，求解B 集合，计算补集，再求交集. 解：集合U =R ，因为集合A 为大于等于0的偶数集，集合{|0B x x =<或2}x >， 所以{}02U B x x =≤≤ð，{}0,2U A C B ⋂=. 故选：C . 点评：本题考查集合的补集和交集运算，属于基础题.3．已知椭圆2221(5)25x y a a +=>的两个焦点为12,F F ，且12||10F F =，弦MN 过点2F ，则1F MN ∆的周长为（）A ．10B ．20C ．D ．答案：D由焦距可求得c ，进而得到a ；由椭圆定义可求得结果. 解：12210F F c ==Q 5c ∴=a ∴=由椭圆定义知：12122MF MF NF NF a +=+==1F MN ∴∆的周长为1212MF MF NF NF +++=故选：D 点评：本题考查椭圆定义的应用，关键是明确所求三角形的周长实际为椭圆上两点到两焦点距离之和的总和，即4a .4．已知向量a r 是单位向量，()3,4b =r ，且//a b r r，则2a b -=r r （）A ．11B ．9C ．11或9D ．121或81答案：C根据题意，由//a b r r，可知两向量的夹角为0或π，利用向量数量积求模长，计算可求解. 解：由题意，因为//a b r r，则两向量的夹角为0或π，则有5b =r，cos 5a b a b θ⋅==±r r r r则211a b -===r r 或9.故选：C . 点评：本题主要考查向量数量积以及向量模长的运算，属于基础题.5．已知2lg 3a =，5log 2b =，0.512c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c -<<答案：A根据题意，由指数函数单调性及对数函数单调性，分别比较,,a b c 与102，的大小关系，即可求解. 解： ∵2lg03a =<， 5510log 2log 52b <=<=0.5110.50.52c =>=. 故a b c <<. 故选：A 点评：本题考查指数式对数式比较大小问题，属于基础题.6．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从五个阳数中随机抽取三个数，则能使这三个数之和等于15的概率是（）A ．310B ．15C ．23D ．13答案：B根据题意，列举三个数之和为15的所有情况，根据古典概型计算概率. 解：从三个阳数1,3,5,7,9中随机抽取三个数共有10种取法， 合题意的有2种：{}1,5,9和{}3,5,7， 由此可得所求概率为15. 故选：B点评：本题考查古典概型的计算，属于基础题. 7．设x ，y 满足约束条件100x y x y --≤⎧⎨+≤⎩，目标函数3z x y =-，则（）A ．z 的最大值为3B ．z 的最大值为2C ．z 的最小值为3D ．z 的最小值为2答案：B根据题意，由约束条件画出可行域，转化目标函数，利用截距最小求得目标函数的最值. 解：由题意，根据约束条件，作出可行域，如图所示：3y x z =-，作图可得直线3y x z =-过点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭时目标函数在y 轴上的截距最小，进而z 有最大值2. 故选：B 点评：本题考查线性规划问题，当线性约束条件为开放区域时，取得最值的有可能是顶点或者边，需谨慎思考，本题属于中等题. 8．已知函数()π32sin cos 32f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的值域是（） A ．3322⎡-⎢⎣⎦B ．32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 答案：B根据三角恒等变化，利用两角和余弦公式、二倍角公式、辅助角公式，化简函数得()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求得ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由三角函数性质即可求解值域 解：()2π1π2sin cos sin cos sin 22sin 2323f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin 232x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦. 故选：B . 点评：本题考查三角函数求值域问题，考查三角恒等变换，属于基础题.9．已知函数()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，当0x >时，()21xf x =-，则使不等式()3log 30f x -<成立的x 的取值范围是（） A ．(),9-∞ B ．()0,9C ．()9,+∞D ．10,9⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：B根据题意，分析函数()f x 的单调性及连续性，根据0x >时函数解析式，求得()23f =，化简不等式，利用函数单调性解抽象函数不等式，得到3log 2x <，再解对数不等式即可求解. 解：当0x >时，()21xf x =-是增函数且()0f x >，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =满足()21xf x =-，又函数()f x 在R 上是连续函数，所以函数()f x 在R 上是增函数， 且()23f =，进而原不等式化为()()3log 2f x f <， 结合()f x 的单调性可得3log 2x <，所以09x <<， 即原不等式的解集为()0,9， 故选：B .点评：本题考查函数的性质综合应用，考查利用函数单调性解不等式，考查转化与化归思想，属于中等题型.10．设直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与圆22:1C x y +=相切于点P ，且P 位于第一象限，O 为坐标原点，则AOB V 的面积的最小值为（） A ．1 B．2CD ．2答案：A根据题意，设出直线与坐标轴的交点坐标(),0A a ，()0,B b ，利用直线方程截距式列出方程并化简方程，再根据基本不等式求出2ab ≥，代入三角形面积公式，即可求解三角形面积的最小值. 解：依题意，设(),0A a ，()0,B b ，直线l 与圆22:1C x y +=相切于点P ，P 位于第一象限则直线过一、二、四象限，即0a >，0b >， 则直线方程为1x ya b+=，化简得bx ay ab +=，直线与圆相切，故圆心到直线的距离1d r ===，ab =≥，∴2ab ≥，当且仅当a b ==.∴112AOB S ab =≥V .即三角形面积最小值为1 故选：A . 点评：本题考查直线的截距式方程，考查基本不等式，综合性较强，属于中等题型. 11．如图所示，三棱锥P ABC -的外接球的半径为R ，且PA 过球心，PAB △围绕棱PA 旋转60°后恰好与PAC V 重合，若60PAB ∠=︒，且三棱锥P ABC -则R =（）。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷（三）数学（文）试题一、单选题1．集合{(,)|1}P x y y x ==+，{}2(,)|Q x y y x ==，则集合P Q I 中元素的个数是（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】根据集合,P Q 元素特征，联立方程，判断其解的个数即可. 【详解】P Q I 表示直线1y x =+与抛物线2y x =的图象交点，联立21y x y x=+⎧⎨=⎩，整理得210,1450x x --=∆=+=>， ∴方程有两个不同的实数解，即方程组有两个解，可知两个函数有两个公共点，故集合P Q I 中元素的个数为2． 故选：C. 【点睛】本题考查交集中元素的个数，注意集合元素的特征，属于基础题． 2．若复z 满足(2)23i z i ⋅+=-+（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i B ．2iC ．1D ．2【答案】D【解析】根据复数除法的运算法则，求出z ，即可得出结论. 【详解】∵223i z i i ⋅+=-+，∴212iz i i-+==+， ∴z 的虚部为2． 故选：D. 【点睛】本题考查复数的代数运算及复数的基本概念，属于基础题．3．已知向量()()2332a b ==r r ，，，，则|–|a b =r rA ．B ．2C ．D ．50【答案】A【解析】本题先计算a b -r r，再根据模的概念求出||a b -r r ．【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-r r，所以||a b -==r r故选A 【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若75a =，927S =，则公差d 等于（ ） A ．0 B ．1C ．12D ．32【答案】B【解析】由927S =可求出5a ，结合已知即可求解. 【详解】()199599272a a S a +===，解得53a =， 所以75531752a a d --===-． 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的前n 和、等差数列基本量的运算，掌握公式及性质是解题的关键，属于基础题．5．若双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，则C 的两个焦点坐标为（ ）A ．(0,B ．(0)C ．(0,D ．(【答案】C【解析】根据双曲线渐近线方程，建立m 的等量关系，求出双曲线方程，即可得出结论. 【详解】∵双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，23=，解得4m =， ∴双曲线方程为22149y x -=，∴双曲线C 的两个焦点坐标为(0,． 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质与标准方程的应用，要注意双曲线焦点位置，属于基础题．6．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中不正确的是（ ） A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 【答案】B【解析】根据表格提供的数据，逐项分析，即可得出结论. 【详解】选项A ，该公司2018年度冰箱类电器利润率占比为负值， 因此冰箱类销售亏损，所以A 项正确；选项B ，该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润是不同的量，不知道相应的总量，无法比较，所以B 项错误；选项C ，该公司2018年度空调类净利润占比比其它类占比大的多， 因此2018年度净利润主要由空调类电器销售提供，所以C 项正确； 选项D ，剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度总净利润变大， 而空调类电器销售净利润不变，因此利润占比降低，所以选项D 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查统计图表与实际问题，考查数据分析能力,属于基础题．7．函数()()11x x e f x x e+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案． 【详解】∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ； 又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ， 故选A ． 【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．8．将函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕπ=+<<的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ=（ ）A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π 【答案】D【解析】根据函数平移关系求出()g x ，再由()g x 的对称性，得到ϕ的值，结合其范围，即可求解. 【详解】因为()cos 2cos 263g x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象关于y 轴对称， 所以()3k k πϕπ+=∈Z ，因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=． 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换关系以及余弦函数的对称性，属于基础题． 9．已知1b a <<，则下列大小关系不正确的是（ ） A ．b a a a < B ．a b b b > C ．b b a b > D ．b a a b >【答案】D【解析】根据指数函数和幂函数的单调性，逐项验证，即可得出结论. 【详解】∵1b a <<，∴x y a =和x y b =均为增函数， ∴b a a a <，a b b b >，A ，B 项正确，又∵by x =在(0,)+∞为增函数，∴b b a b >， C 项正确； b a 和a b 的大小关系不能确定，如3,2,b aa b a b ==>；4,2,b a a b a b ===；5,2,b a a b a b ==< ，故D 项不正确．故选：D. 【点睛】本题考查比较指数幂的大小关系，应用指数函数与幂函数的性质是解题的关键，属于基础题．10．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．12π+B ．136π+ C ．12π+D ．1233π+ 【答案】B【解析】根据三视图知该几何体是三棱锥与14圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可． 【详解】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体， 如图所示；则该组合体的体积为21111111212323436V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+； 所以对应不规则几何体的体积为136π+．故选B ．【点睛】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．11．如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．33B ．5 C ．306D ．66【答案】D【解析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=o设2,AB =则1,5,BH HE AH ===所以6,AE =连接,6,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD V 中6cos ,226EAD ∠==⨯⨯ 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.12．已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．(,)e -+∞D ．[,)e -+?【答案】A 【解析】【详解】由函数()()ln xe f x k x x x =+-，可得()211'1x x x e x e x e f x k x x x x ⎛⎫--⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x Q 有唯一极值点()1,'0x f x =∴=有唯一根1x =，0xe k x ∴-=无根，即y k=与()xe g x x =无交点，可得()()21'x e x g x x-=，由()'0g x >得，()g x 在[)1+∞上递增，由()'0g x <得，()g x 在()0,1上递减，()()min 1,g x g e k e ∴==∴≤，即实数k 的取值范围是(],e -∞，故选A. 【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题13．设x ，y 满足约束条件001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩，则3z x y =-的取值范围为_________．【答案】(1,9)-【解析】做出满足条件的可行域，根据图形求出目标函数的最大值和最小值即可. 【详解】做出满足不等式组001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩表示的平面区域，如下图（阴影部分）所示，根据图形，当目标函数3z x y =-过点(0,1)A 时， 取得最小值为1-，当目标函数3z x y =-过点(3,0)B 时， 取得最大值为9，所以3z x y =-的取值范围为(1,9)-. 故答案为：(1,9)-. 【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，4727a a =，则63S S =_________． 【答案】2827【解析】根据已知求出等比数列的公比，再由等比数列的前n 项和公式，即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 根据题意，有3127q =，解得13q =， 则()()6136331128112711a q S q q S a q q--==+=--． 故答案为：2827. 【点睛】本题考查等比数列的前n项和，考查计算求解能力，属于基础题.A B C D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外15．高三某班一学习小组的,,,活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A不在散步，也不在打篮球；②B不在跳舞，也不在散步；③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；④D不在打篮球，也不在散步；⑤C不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D在_________.【答案】画画【解析】以上命题都是真命题，∴对应的情况是：则由表格知A在跳舞，B在打篮球，∵③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件，∴C在散步，则D在画画，故答案为画画16．设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 【详解】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y ， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．三、解答题17．在ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，122cos b a c C=-．（1）求角B 的大小；（2）若2a =，b =，求ABC V 的面积．【答案】（1）3B π=； （2 【解析】（1）由正弦定理将已知等式边化角，再由两角和的正弦公式，即可求解； （2）利用余弦定理，建立c 边方程关系，再由三角形面积公式，即可求出结论. 【详解】 （1）由122cos b a c C=-，得sin 12sin sin 2cos B A C C =-，2sin cos 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin B C B C C B C B C C =+-=+-，∴2cos sin sin B C C =，又∵在ABC V 中，sin 0C ≠， ∴1cos 2B =，∵0B π<<，∴3B π=．（2）在ABC V 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 即2742c c =+-，∴2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍）， ∴ABC V 的面积133sin 2S ac B ==． 【点睛】本题考查正、余弦定理以及两角和差公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础题． 18．某快递网点收取快递费用的标准是重量不超过1kg 的包裹收费10元，重量超过1kg 的包裹，除收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）．（1）求这60天每天包裹数量的平均数和中位数；（2）该快递网点负责人从收取的每件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点的利润，剩余的作为其他费用．已知该网点有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该网点每天的利润有多少元？ 【答案】（1）平均数和中位数都为260件； （2）1000元．【解析】（1）根据频率分布直方图，求出每组的频率，即可求出平均数，确定中位数所在的组，然后根据中位数左右两边图形面积各占0.5，即可求出中位数；（2）由（1）每天包裹数量的平均数求出网点平均总收入，扣除工作人员工资即为所求. 【详解】（1）每天包裹数量的平均数为0.1500.11500.52500.23500.1450260⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；(0,200)Q 的频率为0.2，[200,300)的频率为0.5中位数为0.32001002600.5+⨯=， 所以该网点每天包裹的平均数和中位数都为260件． （2）由（1）可知平均每天的揽件数为260， 利润为260531001000⨯-⨯=元， 所以该网点平均每天的利润有1000元． 【点睛】本题考查频率分布直方图求中位数、平均数以及简单应用，属于基础题．19．在如图所示的几何体中，已知BAC 90∠=o ，PA ⊥平面ABC ，AB 3=，AC 4=，PA 2.=若M 是BC 的中点，且PQ //AC ，QM //平面PAB ．()1求线段PQ 的长度；()2求三棱锥Q AMC -的体积V ．【答案】（1）2；（2）2.【解析】()1取AB 的中点N ，连接MN ，PN ，推导出四边形PQMN 为平行四边形，由此能求出线段PQ 的长度．()2取AC 的中点H ，连接QH ，推导出四边形PQHA 为平行四边形，由此能求出三棱锥Q AMC -的体积． 【详解】解：()1取AB 的中点N ，连接MN ，PN ，MN //AC ∴，且1MN AC 22==，PQ //AC Q ，P ∴、Q 、M 、N 确定平面α， QM //Q 平面PAB ，且平面α⋂平面PAB PN =，又QM ⊂平面α，QM //PN ∴，∴四边形PQMN 为平行四边形，PQ MN 2∴==．解：()2取AC 的中点H ，连接QH ，PQ //AH Q ，且PQ=AH=2，∴四边形PQHA 为平行四边形， QH //PA ∴，PA ⊥Q 平面ABC ，QH ∴⊥平面ABC ，AMC 11S AC AB 322=⨯⨯=V Q （），QH PA 2==，∴三棱锥Q AMC -的体积：AMC 11V S QH 32233V =⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查线段长的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>. (1)过抛物线C 的焦点F 且与x 轴垂直的直线交曲线C 于A 、B 两点，经过曲线C 上任意一点Q 作x 轴的垂线，垂足为H .求证: 2||||||QH AB OH =⋅；(2)过点(2,2)D 的直线与抛物线C 交于M 、N 两点且OM ON ⊥，OD MN ⊥.求抛物线C 的方程.【答案】（1）见解析；（2）24y x =【解析】（1）设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==再根据点Q 在抛物线上可得到结果；（2）联立直线和抛物线得到2280y py p +-=，设()()1122,,,M x y N x y ，OM ON ⊥有12120x x y y +=，根据韦达定理得到结果.【详解】（1）设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==2AB p =，从而2200||2QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ，有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设()()1122,,,M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有()()1212440y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21．已知2()2()x f x mx e m R =-∈.（Ⅰ）若()'()g x f x =，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 在(1,(1))f 处的切线与(22)3y e x =-+平行时，关于x 的不等式()0f x ax +<在(0,1)上恒成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()g x 在(ln ,)m +∞上单调递减，在(,ln )m -∞上单调递增. （Ⅱ）(,21]a e ∈-∞-.【解析】试题分析：（Ⅰ）求得函数的导数'()2()xg x m e =-，分0m ≤和0m >两种情况讨论，即可得到函数()g x 的单调性；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得1m =，把不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<，得2x e a xx<-在(0,1)上恒成立，设2()xe F x x x=-，利用导数求得函数()F x 的单调性与最值，即可得到实数a 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）因为()()'22xg x f x mx e ==-，所以()()'2xg x m e=-，当0m ≤时，()'0g x <，所以()g x 在R 上单调递减，当0m >时，令()'0g x <，得ln x m >，令()'0g x >，得ln x m <， 所以()g x 在()ln ,m +∞上单调递减，在(),ln m -∞上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()'122f m e =-，由2222m e e -=-，得1m =，不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<，得2xe a x x<-在()0,1上恒成立.设()2x e F x x x =-，则()2222'x x xe e x F x x --=. 设()222xxh x xe e x =--，则()()'222221xxxxh x xe e e x x e =+--=-，在区间()0,1上，()'0h x >，则函数()h x 递增，所以()()11h x h <=-， 所以在区间()0,1上，()'0F x <，函数()F x 递减.当0x →时，()F x →+∞，而()121F e =-，所以()()21,F x e ∈-+∞， 因为()a F x <在()0,1上恒成立，所以(],21a e ∈-∞-.点睛：本题主要考查导数求解函数的单调区间，利用导数求解不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (2)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (3)利用导数研究函数的图象与性质，注意数形结合思想的应用．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线11C x y +=:与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知():0l θαρ=>与1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当4OB OA =时，求α的值． 【答案】（1）1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；2C 的极坐标方程为：4cos ρθ= （2）4πα=【解析】（1）根据直角坐标与极坐标的互化关系，参数方程与一般方程的互化关系，即得解；（2）将():0l θαρ=>代入1C ，2C 的极坐标方程，求得||,||OA OB 的表达式，代入4OB OA=，即得解.【详解】（1）解：将直角坐标与极坐标互化关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线11C x y +=:得cos sin 1ρθρθ+=，即：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 所以曲线1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 又曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．利用22sin cos 1ϕϕ+=消去参数ϕ得2240x y x +-=，将直角坐标与极坐标互化关系：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式化简得4cos ρθ=，所以曲线2C 的极坐标方程为：4cos ρθ=．（2）∵():0l θαρ=>与曲线1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，所以将()0θαρ=>代入14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭及4cos ρθ=得14OA πα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4cos OB α=， 又4OBOA =，sin 14παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin cos αα=，4πα=． 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.23．已知函数()11f x x x =+--， ()22g x x a x b =++-，其中a ， b 均为正实数，且2a b +=．（Ⅰ）求不等式()1f x ≥的解集； （Ⅱ）当x ∈R 时，求证()()f x g x ≤．【答案】（1）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）见解析【解析】（Ⅰ）把()f x 用分段函数来表示，分类讨论，求得()1f x ≥的解集． （Ⅱ）当x ∈R 时，先求得()f x 的最大值为2，再求得()g x ）的最小值，根据()g x 的最小值减去()f x 的最大值大于或等于零，可得()()f x g x ≤成立． 【详解】（Ⅰ）由题意， ()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩＜＜，（1）当1x ≤-时， ()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解；（2）当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜．（3）当1x ≥时， ()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （Ⅱ）当x R ∈时， ()()11112f x x x x x =+--≤++-=；()()222222g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+．而()()()22222222222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x R ∈时，()()222f x a b g x ≤≤+≤，所以，当x R ∈时， ()()f x g x ≤．【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题．。
浙江省山水联盟2020届高三下学期返校考试（4月）数学学科 试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分（40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合2{230}=∈--≤A x Z x x ，211{2}2-=>y B y ，则⋂A B 中的元素个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2. 双曲线C 的方程为2221-=x y ，则（ ）A ．实轴长为2，焦点坐标 B ．实轴长为2，焦点坐标 CD3.已知实数x ，y 满足24122+≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩x y x y x y ，则2=-z x y （ ）A ．最小值为0，不存在最大值B ．最小值为4，不存在最大值C ．最大值为0，不存在最小值D ．最大值为4，不存在最小值 4. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱，已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是（ ） A ．16 B ．18C ．12D ．14 5.若(0,)2π∈x ，则“sin 1<x x ”是“cos22-<x x x ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6.函数3sin cos ()-=x x xf x x 的图像大致是（ ）A BC D7.设102b <<，随机变量X 的分布列如下表所示 X 123Pabc已知()2=E X ,则当b 在1(0,)2内增大时，()D X 的变化情况（ ）A ．先增大再减小B ．先减小再增大C ．增大D ．减小 8.如图正四棱锥P -ABCD ，E 为线段BC 上的一个动点，记二面角P -CD -B 为α，PE 与平面ABCD 所成的角为β，PE 与CD 所成的角为γ，则（ ） A . αβγ≤≤ B . γαβ≤≤C . βαγ≤≤D . γβα≤≤9.已知,∈a b R ，函数(),0(),0⎧++≤=⎨>⎩x x a e ax x f x x x ，若函数()=--y f x ax b 恰有3个零点，则（ ）A .a >1，b >0B .a >1，b <0C .a <1，b >0D .a <1，b <010.已知{}n a 为等差数列，且213ln 2=+a a a ，则（ ）A .12<a a 且34<a aB .12<a a 且34>a aC .12>a a 且34<a aD .12>a a 且34>a a非选择题部分（110分）二、填空题（本大题共7题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11.设复数312=-z i（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是 ，z 为____________. 12.设直线l 1，l 2方程分别为1:230-+=l x y ，2:480-+=l x ay ，且12//l l ，则_______.=a l 1，l 2两条平行线间的距离为__________.13.若二项式31)(21)+n x x的展开式中各项系数之和为108，则n =__________,有理项的个数为_______________.14.在∆ABC中，90,2∠=︒==ACB BC ，点M 在BC 上，且1sin 3∠=BAM ，则sin ∠=BMA _________，AM = .15.设椭圆M 的标准方程为22221(0)+=>>x y a b a b ，若斜率为1的直线与椭圆M 相切同时亦与圆C :222()+-=x y b b （b 为椭圆的短半轴）相切，记椭圆的离心率为e ，则e 2=__________.16.设1,3⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦a ，∈b R ，函数3()=--f x ax x b 在[]1,1-上的最大值是23，则22+a b 的值是 .17.平面中存在三个向量,,r r r a b c ，若4,4,0==⋅=r r r r 且a b a b ，且c r 满足22150-⋅+=r r rc a c ，则4++-r r r r c a b c的最小值__________．三、解答题（本大题共5小题，共74分。
2025届安徽宿州五校高三下学期第五次调研考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( )A ．sin y x =π.B ．|1|y x =-C ．cos y x π=D ．e e x x y -=+2．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（ ）A ．156B ．124C ．136D ．1803．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥ 4．设a=log 73，13b log 7=，c=30.7，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b c a << D ．b a c <<5．已知函数()222ln 02x x e f x e x x e⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ）A ．1eB eC 2eD ．21e6．若圆锥轴截面面积为60°，则体积为( )A B C D 7．若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．2-8．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ 9．定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-成立，已知()ln a f π=，12b f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 6c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>10．已知点(A 在双曲线()2221010x y b b -=>上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2CD ．11．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题；③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（ ）A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④12．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年高三年级调研考试(三)数学(文)卷一、选择题1.若集合A =x ,y x 2-2x =0,y ∈R ，B =x ,y y 2=2x ，则A ∩B 中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】因为A =x ,y x =0 或x =2,y ∈R ，B =x ,y y 2=2x ，所以A ∩B =0,0 ,2,2 ,2,-2 ，故选C .2.已知a +2i 2a ∈R 是纯虚数，则a +i =()A.3 B.5 C.3D.5【答案】B【解析】a +2i 2=a 2-4+4a i ，因为a +2i 2a ∈R 是纯虚数，所以a 2-4=04a ≠0，所以a =±2，由a +i =±2+i =5 ，故选B .3.若a <b <1且ab ≠0，则下列结论恒成立的是()A.a <12B.ab <b 2C.1a >1b>1D.ab +1>a +b【答案】D【解析】取a =23 ，b =34 ，可排除A ，取a =-2，b =-12 ，可排除B ，取a =-2，b =12，可排除C ，由a <b <1可得a -1 b -1 >0，展开得ab +1>a +b ，故选D .4.已知圆x 2+y 2-2x +4y =0关于双曲线C :x 22m -y 2m +1=1m >0 的一条渐近线对称，则m =()A.12B.13C.15D.17【答案】D【解析】圆x 2+y 2-2x +4y =0关于双曲线C :x 22m-y 2m +1=1m >0 的一条渐近线对称，则圆心1,-2 在渐近线y =-m +12mx 上，所以m +12m =2，m =17，故选D .5.已知a ,b 是单位向量，且a +b =2,-1 ，则a -b =()A.1B.2C.3D.2【答案】A【解析】因为a ,b 是单位向量，a +b =2 ,-1 ，两边平方得2a ⋅b =1，所以a -b =a 2-2a ⋅b +b 2=1，故选A .6.已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 6=2，a 2+a 10 2a 3+a 9 =12，则S 5=()A.5B.3C.-3D.-5【答案】D【解析】由题意得a 2+a 10 2a 3+a 9 =2a 6a 3+a 3+a 9 =2a 6a 3+2a 6 =4a 3+4 =12，可得a 3=-1，所以S 5=5a 3=-5，故选D .7.新冠肺炎病毒可以通过飞沫方式传染，已知甲通过检测确诊为新冠肺炎，经过追踪发现甲有A ,B ,C ,D ,E 5名密切接触者，现把这5人分为2组(一组2人，一组3人)，分别送到2个医院进行隔离观察，则A ,B 在同一个医院的概率为()A.15B.310C.25D.12【答案】C【解析】把A ,B ,C ,D ,E 分为2组(一组2人，一组3人)，结果有：AB ,CDE ，AC ,BDE ，AD ,BCE ，AE ,BCD ，BC ,ADE ，BD ,ACE ，BE ,ACD ，CD ,ABE ，CE ,ABD ，DE ,ABC ，共10种，A ,B 在同一个医院的结果有：AB ,CDE ，CD ,ABE ，CE ,ABD ，DE ,ABC ，共4种，所以所求概率P =410 =25 ，故选C .8.已知函数f x =1,x >00,x =0-1,x <0，g x =sinπx ，则下列结论错误的是()A.g f x =0B.f f x =f xC.f x g x =sinπxD.f g x +2 =1【答案】C【解析】由f x =1,x >00,x =0-1,x <0，g x =sinπx ，可得当x >0时，g f x =g 1 =sinπ=0，当x =0时，g f x =g 0 =sin0=0，当x <0时g f x =g -1 =sin -π =0，所以A 正确；当x >0时，f x =1，f f x =f 1 =1，f f x =f x 成立，当x =0时，f 0 =0，f f 0 =f 0 =0，f f x =f x 成立，当x <0时，f x =-1，f f x =f -1 =-1，f f x =f x 成立，所以B 正确，由f 32 g 32 =-1，可知C 错误，由g x ≥-1，g x +2≥1，可知f g x +2 =1正确，故选C .9.已知函数f x =x 3+ax 2-3x +b 满足f x +f -x =2，则f x 的图象在x =1处的切线方程为()A.y =-1B.y =0C.y =x -1D.y =-x +1【答案】A【解析】由f x +f-x=2可得2ax2+2b=2，所以a=0，b=1，f x =x3-3x+1，f x =3x2-3，f1 =-1，f 1 =0，所以f x 的图象在x=1处的切线方程为y=-1，故选A.10.《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，共17卷，是中国古代数学名著，明朝数学家程大位著.书中有这样一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”现给出该问题中求小僧人数的算法的程序框图，则图中①②可分别填入()A.s=3m+n3 ；n=100B.s=3n+m3 ；n=100C.s=3n+m3 ；s=100D.s=3m+n3 ；s=100【答案】D【解析】由程序框图可知，n表示小僧人数，m表示大僧人数，根据“大僧三个更无争，小僧三人分一个”，设馒头数为s，则s=3m+n3 ，所以①中填入s=3m+n3，当s=100时结束程序，输出n，故选D.11.如图，正三角形ABC为圆锥的轴截面，D为AB的中点，E为弧BC的中点，则直线DE与AC所成角的余弦值为()A.13B.12C.22D.34【答案】C【解析】取BC 中点O ，BO 中点F ，连接OD ,OE ,FE ,DF ，则∠ODE 就是直线DE 与AC 所成角.设AB =4，则OD =2，OF =1，OE =2，DF =3 ，EF =OE 2+OF 2 =5 ，DE =DF 2+EF 2 =22 ，所以∠ODE =π4 ，即直线DE 与AC 所成角的余弦值为22，故选C .12.已知椭圆C :x 2a 2 +y 2b2 =1a >b >0 的右焦点为F ，设c =a 2-b 2 ，直线x c +y b =1与椭圆C 在第四象限交于点A ，点A 在x 同上的射影为B ，若AB ⋅AF =49b 2，则椭圆C 的离心率为()A.15B.5 5C.25D.10 5【答案】B【解析】由AB ⊥x 轴可得AB ⋅AF =AB 2，所以AB =2b 3，又AB FB=tan ∠BFA =b c ，所以FB =2c 3 ，所以A 5c 3 ,-2b3，代入椭圆C 的方程得25c 29a 2+49 =1，所以e =5 5，故选B .二、填空题13.若函数f x =x 2,x ≥1a x +1 ,x <1的值域为R ，则a 的取值范围是______.【答案】12 ,+∞ 【解析】当x ≥1时，f x =x 2≥1，若a =0，x <1时，f x =0，f x 的值域不是R ；若a <0，x <1时，f x >2a ，f x 的值域不是R ，若a >0，x <1时，f x <2a ，所以当2a ≥1时，f x 的值域为R ，所以a 的取值范围是12,+∞ .14.正项数列a n 满足a 2=1，a 2n +1a n=2a n +a n +1，则使a n >100的最小的n 值为______.【答案】9【解析】由a 2n +1a n=2a n +a n +1得a 2n +1-a n a n +1-2a 2n =0，即a n +1+a n a n +1-2a n =0，因为a n >0，所以a n +1-2a n =0，a n +1=2a n ，a n =a 2⋅2n -2=2n -2，a 8=64，a 9=128，所以使a n >100的最小的n 值为9.15.已知f x =sin x +π3 ，若方程f x =a 在0,5π3上只有4个不同实根x 1,x 2,x 3,x 4x 1<x 2<x 3<x 4 ，则a x 1+2x 2+2x 3+x 4 的最小值为______.【答案】23π【解析】画出f x 的图象，由图象可知3 2≤a <1，x 1+x 2=2×π6 =π3 ，x 2+x 3=2×2π3 =4π3 ，x 3+x 4=2×7π6 =7π3，相加得x 1+2x 2+2x 3+x 4=4π，所以a x 1+2x 2+2x 3+x 4 的最小值为23 π.16.在△ABC 中，AB =AC =3，BC =3，点D 在BC 上，且BD =2DC ，将△ABD 沿AD 折起，使点B 到达点P 位置，且AP ⊥AC ，则三棱锥P -ACD 的外接球半径为______.【答案】7 2【解析】由题意可得AD =DC =1，AB ⊥AD ，因为AP ⊥AC ，所以三棱锥P -ACD 中，AP ⊥底面ADC ，把三棱锥P -ACD 补成三棱柱，则该三棱柱的外接球就是三棱锥P -ACD 的外接球，球心是三棱柱上下底面外接圆圆心连线的中点，底面外接圆半径r =12 ⋅3 sin120°=1，又AP =3，所以三棱锥P -ACD 外接球半径R =12+3 22 =72.三、解答题17.2020年上半年，随着新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球超过60个国家或地区宣布进人紧急状态，部分国家或地区直接宣布“封国”或“封城”，随着国外部分活动进入停摆，全球经济缺乏活力，一些企业开始倒闭，下表为2020年第一季度企业成立年限与倒闭分布情况统计表：企业成立年份20192018201720162015企业成立年限x 12345倒闭企业数量(万家) 5.28 4.72 3.58 2.70 2.15倒闭企业所占比例y %21.4%19.1%14.5%10.9%8.7%(1)由所给数据可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于x 的回归方程，预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例.参考数据：5i =1y i =74.6 ，5i =1x i y i =190.2 ，5i =1y i-y 2≈10.70，10 ≈3.16，相关系数r =ni =1x i y i -nx yn i =1x i -x 2ni =1y i -y2，样本x i ,y i i =1,2,...,n 的最小二乘估计公式为b =ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2 ，a =y -b x .【答案】(1)用线性回归模型拟合y 与x 的关系;(2)4.84%【解析】(1)由表中数据及参考数据可得x =3，5i =1x i -x 2=10 ，5i =1y i -y 2≈10.70，由5i =1x i =15 ，5i =1y i =74.6 ，可得x =3，y =14.92，所以5i =1x i y i -5x y=190.2-5×3×14.92=-33.6 ，所以r ≈-33.610.70×3.16≈-0.99，因为y 与x 的相关系数近似为-0.99，说明y 与x 的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(2)b =5i =1x i y i -5x y5i =1x 2i -5x 2 =-33.655-5×9 =-3.36，则a =y -b x=14.92+3.36×3=25，所以y 关于x 的回归方程y=-3.36x +25.当x =6时，y=-3.36×6+25=4.84，所以预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例为4.84%.18.已知△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且满足c tan A tan C+1 -9b =0.(1)求cos A 的值；(2)若点D 在边BC 上，AD 平分角A ，且AD =5 ，求1b+1c 的值.【答案】(1)19 ;(2)23【解析】(1)由c tan Atan C+1 -9b =0及正弦定理可得sin C ⋅sin A cos C +sin C cos Asin C cos A-9sin B =0，即sin A +Ccos A-9sin B =0，因为sin A +C =sin π-B =sin B ，且sin B ≠0，所以cos A =19.(2)因为cos A =19 ，所以sin A =1-cos 2A =459 ，因为AD 平分角A ，所以sin ∠BAD =sin ∠CAD =1-cos A 2=1-19 2=23，由S △ABC =S △ADB +S △ADC ，可得12 bc sin A =12 c ⋅AD sin ∠BAD +12b ⋅AD sin ∠CAD ，12 bc ⋅459 =12 c ⋅5 ⋅23 +12 b ⋅5 ⋅23 ，整理得23bc =b +c ，所以1b+1c =23 .19.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，点D 为BB 1中点，点E 为点B 关于直线AC 的对称点，AB =BC =AA 1=2，AC =22.(1)求证：平面AC 1D ⊥平面ACC 1A 1；(2)求三棱锥E -ADC 1的体积.【答案】(1)见解析;(2)三棱锥E -ADC 1的体积为23【解析】(1)设AC 1的中点为F ，连接BE 与AC 交于G ，则点G 为AC 中点，连接DF ,FG ，则FG ∥CC 1，且FG =12CC 1.又D 为BB 1的中点，所以DB ∥FG ，且DB =FG ，所以四边形BDFG 为平行四边形，所以BG ∥DF ，因为AA 1⊥底面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，因为AB =BC ，G 为AC 中点，所以BG ⊥平面ACC 1A 1，所以DF ⊥平面ACC 1A 1.又DF ⊂平面AC 1D ，所以平面AC 1D ⊥平面ACC 1A 1.(2)由(1)知BE ∥DF ，所以点E ,B 到平面ADC 1的距离相等，所以V 三棱锥E -ADC 1=V 三棱锥B -ADC 1=V 三棱锥A -BDC 1.由AB =BC =2，AC =22，可得AB ⊥BC ，因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，AB ⊥平面BCC 1B 1，又△BDC 1的面积S =12 ×1×2=1，所以V 三棱锥A -BDC 1=13 ×AB ×S =13 ×2×1=23，所以三棱锥E -ADC 1的体积为23.20.已知抛物线C :y 2=2px p >0 与直线y =x +1只有一个公共点，点A ,B 是抛物线C 上的动点.(1)求抛物线C 的方程；(2)①若k OA +k OB =1，求证：直线AB 过定点；②若P x 0,y 0 是抛物线C 上与原点不重合的定点，且k PA +k PB =0，求证：直线AB 的斜率为定值，并求出该定值.【答案】(1)y 2=4x ;(2)①见解析;②见解析,定值为-2y 0 .【解析】(1)y 2=2px 与y =x +1联立得y 2-2py +2p =0因为抛物线C 与直线y =x +1只有一个公共点，所以△=2p 2-8p =0，p =2，所以抛物线C 的方程为y 2=4x .(2)①设A y 214 ,y 1 ，B y 224 ,y 2，则k OA +k OB =4y 1 +4y 2=1，所以y 1y 2y 1+y 2 =4，又k AB =y 1-y 2y 214 -y 224=4y 1+y 2 ，所以直线AB 的方程为y -y 1=4y 1+y 2x -y 214，即y =4y 1+y 2 x +y 1-y 21y 1+y 2 =4y 1+y 2 x +y 1y 2y 1+y 2 =4y 1+y 2x +4，当x =0时y =4，所以直线AB 过定点0,4 .②设A y 214 ,y 1 ，B y 224 ,y 2，则k PA +k PB =y 1-y 0y 214 -y 204 +y 2-y 0y 224 -y 204=4y 1+y 0 +4y 2+y 0 =0，所以y 1+y 0+y 2+y 0=0，y 1+y 2=-2y 0，所以直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2y 214 -y 224=4y 1+y 2 =-2y 0 .即直线AB 的斜率为定值-2y 0 .21.已知函数f x =ax 2ln x +12-x ln x +1.(1)若a <e2，讨论f x 的单调性；(2)若a =1，x ≥1，求证：f x >32 x 2-2x +1+sin x .【答案】(1)当a ≤0时，f x 在0,1e 上单调递增，在1e,+∞ 上单调递减；当0<a <e 2 时，f x 在0,1e 和12a ,+∞ 上单调递增，在1e ,12a上单调递减;(2)见解析【解析】(1)因为f x =ax 2ln x +12-x ln x +1，所以f x =2ax ln x +2ax -ln x -1=2ax -1 ln x +1 x >0 ，①若a ≤0，则2ax -1<0，当x ∈0,1e时，f x >0，f x 是增函数，当x ∈1e,+∞ 时，f x <0，f x 是减函数；②若0<a <e 2 ，即12a >1e ，当x ∈0,1e 和x ∈12a ,+∞ 时，f x >0，f x 是增函数，当x ∈1e ,12a时，f x <0，f x 是减函数.综上可得，当a ≤0时，f x 在0,1e 上单调递增，在1e,+∞ 上单调递减；当0<a <e 2 时，f x 在0,1e 和12a ,+∞ 上单调递增，在1e ,12a上单调递减.(2)当a =1时，要证f x >32x 2-2x +1+sin x ，只需证f x ≥32 x 2-2x +2，即证x 2-x ln x -1+1x≥0，因为x ≥1，所以x 2-x ≥0，设g x =ln x -1+1x，则g x =1x -1x 2 =x -1x2 ≥0，所以g x 在1,+∞ 上是增函数，g x ≥g 1 =0，ln x -1+1x≥0，所以x 2-x ln x -1+1x≥0，因此f x >32x 2-2x +1+sin x 成立22.平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为3,3 ，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2=2+22 ρsin θ+π4.(1)求曲线C 的参数方程；(2)若P ,Q 是曲线C 上的不同两点，且AP 2+AQ 2=40，求证：线段PQ 的中点M 恒在一条直线上，并求出此直线的直角坐标方程.【答案】(1)曲线C 的参数方程x =1+2cos φy =1+2sin φ(φ为参数);(2)x +y =0【解析】(1)ρ2=2+22 ρsin θ+π4=2+2ρcos θ+2ρsin θ，由ρ2=x 2+y 2，ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2+2x +2y ，即x -1 2+y -1 2=4，设x -1=2cos φ，y -1=2sin φ，得曲线C 的参数方程x =1+2cos φy =1+2sin φ(φ为参数).(2)设P 1+2cos φ1,1+2sin φ1 ，Q 1+2cos φ2,1+2sin φ2 ，设M x ,y ，则x =1+cos φ1+cos φ2，y =1+sin φ1+sin φ2，由AP 2+AQ 2=40，得2cos φ1-2 2+2sin φ1-2 2+2cos φ2-2 2+2sin φ2-2 2=40，整理得1+cos φ1+cos φ2+1+sin φ1+sin φ2=0，即x +y =0，所以点M 恒在直线x +y =0上，所以此直线的直角坐标方程为x +y =0.23.已知函数f x =x -m -x -2m .(1)若m =2，求不等式f x >1的解集；(2)若对满足a >b >0的任意实数a ,b ，关于x 的方程f x =a +1a -b b的解集∅，求m 的取值范围.【答案】(1)72,+∞ ;(2)m 的取值范围是-3,3【解析】解：(1)当m =2时，f x =x -2 -x -4 =-2,x <22x -6,2≤x ≤42,x >4，当x <2时，-2>1不成立，当2≤x ≤4时，由2x -6>1，得72<x ≤4，当x >4时，2>1成立，所以不等式f x >1的解集为72,+∞ .(2)因为f x =x -m -x -2m ≤x -m -x -2m =m ，所以-m ≤f x ≤m ，又a +1a -b b =a -b +b +1a -b b ≥33a -b b ⋅1a -b b=3，当a -b =b =1a -b b，即a =2，b =1时取等号，若对满足a >b >0的任意实数a ,b ，关于x 的方程f x =a +1a -b b的解集为∅，则m <3，所以m 的取值范围是-3,3 .。
绝密★启用前安徽省蚌埠普通高中2020届高三毕业班下学期第三次教学质量检查考试数学(文)试题2020年5月本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|x2－5x＜－4},集合B＝{x|x≤0},则A∩(RðB)＝A.(0,4)B.(1,4)C.(－1,4)D.(－1,0)2.已知i为虚数单位,复数z满足(1－i)(z＋i)＝1,则z＝A.12－12i B.12＋12i C.1－i D.1＋i3.已知双曲线2214x ym-=的离心率为2,则实数m的值为A.4B.8C.12D.164.已知直线l,m和平面α,且m⊂α,则“l⊥m”是“l⊥α”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.在统计学中,同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率,环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表,根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图,下列说法正确的是A.2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B.2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C.2019年我国居民每月消费价格逐月递增D.2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降6.已知数列{a n }的前n 项和为S n 。
若数列{S n }是首项为1,公比为2的等比数列,则a 2020＝A.2019B.2020C.22018D.220197.已知向量a ＝(1,0),b ＝(2－m,2＋m),若a ·b ＝0,则2a －b ＝A.(2,－4)B.(－2,4)C.(2,4)D.(－2,0)8.已知sin(α－4π)＝3,则sin2α＝ A.223 B.63 C.23 D.139.已知函数f(x)是一次函数,且f[f(x)－2x]＝3恒成立,则f(3)＝A.1B.3C.5D.710.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示。
专题8 数列数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要． 预测2020年将保持稳定，注意主观题与不等式、函数等相结合.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC．D．2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3-B ．1-C ．3D ．13．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路 B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路若存在两项,m n a a32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．955．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知数列{}n a 中,32a =,71a =.若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则5a =( ) A ．23B ．32C ．43D ．34二、多选题6．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则下列正确的是（ ） A ．12a =-B ．12a =C ．4d =D ．4d =-7．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路8．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 9．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A ． 0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为810．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知数列{}{},n n a b 满足1111312,2ln(),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（ ） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增； D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.三、填空题11．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为___．12．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N≤∈个圆环所需移动的最少次数，{}na 满足11a=，且()()112122n n n a n a a n --⎧-⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数，则解下5个圆环需最少移动________次.四、解答题13．（2020·山东高三模拟）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为414S =, 且137,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .14．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 15．（2020届山东省高考模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a a =-（*n N ∈），数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 通项公式； （Ⅱ）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12nT ＜． 16．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．17．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12111n n T S S S =+++，证明：34n T <. 19．（2020届山东省泰安市肥城市一模）记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.20．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，且139a a a 、、成等比数列，246a a +=.（1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）设()21cos3n n n a b a π+=，求数列{}nb 的前2020项的和2020S.21．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N . (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式; (2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.22．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，627S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和.若124m T =，求m .23．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且*12(1)()n n a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n ＝log 2（a n +2）﹣log 23，求数列32n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .24．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）数列{}n a 满足：123a a a +++()1312nn a +=- （1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3n na b n a =，求{}n b 的前n 项和n T .25．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）． （1）在下列条件中选择一个________使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列(){}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 27．（2020·山东高三下学期开学）已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226n T ≤<． 28．（2020届山东省淄博市高三二模）已知数列{}n a 满足132a =，且()1112,22n n n a a n n *--=+≥∈N .（1）求证：数列{}2nn a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .29．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.30．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）（本小题满分12分）设函数()()22ln 11x f x x x =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅲ）已知数列{}n a 中， 11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：11ln 2n n n na S a a ++>-.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC． D．【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f === 故选D.2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3- B ．1-C ．3D ．1【答案】C 【解析】当2n ≥ 时，1121,,33n n n n n n S a S a --++== 两式作差可得：11211213311n n n n n a n n n a a a a n n --+++=-⇒==+-- ， 据此可得，当2n = 时，1nn a a -的最大值为33．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ）A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路【答案】C 【解析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由S 6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案．4．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a a a =+=，若存在两项,m n a a 32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．95【答案】A 【解析】因为数列{}n a 是正项等比数列，28516a a a ，3520a a +=，所以2285516a a a a ，516a =，34a =，所以253a a q =，2q ，451a a q ，11a =，1112n n n a a q --==，32=，所以1110222m n，12m n +=，414114112125n m mnm n mnm n431124520,0n m mnm n ，当且仅当2n m =时“=”成立， 所以14mn的最小值为34，故选A 。
专题11立体几何解答题考纲解读三年高考分析1、对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．对于探索性问题用向量法比较容易入手．一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．2、空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．3、空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段P A，PB，PC两两互相垂直，且P A＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．垂直关系的证明和平行关系的证明是考查的重点，解题时常用到平行判定定理、垂直判定定理、垂直性质定理、平行性质定理，考查学生的数学逻辑推理能力、数学运算能力、直观想象能力，题型以选择填空题和解答题为主，中等难度.1、直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.2、直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.1．【2019年天津文科17】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面P AC⊥平面PCD，P A⊥CD，CD＝2，AD＝3．（Ⅰ）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面P AD；（Ⅱ）求证：P A⊥平面PCD；（Ⅲ）求直线AD与平面P AC所成角的正弦值．2．【2019年新课标3文科19】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的四边形ACGD的面积．3．【2019年新课标2文科17】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E﹣BB1C1C的体积．4．【2019年新课标1文科19】如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．5．【2019年北京文科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E 为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面P AC；（Ⅱ）若∠ABC＝60°，求证：平面P AB⊥平面P AE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面P AE？说明理由．6．【2018年新课标2文科19】如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．7．【2018年新课标1文科18】如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC 为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ DA，求三棱锥Q﹣ABP的体积．8．【2018年新课标3文科19】如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．9．【2018年北京文科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面P AB⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD．10．【2018年天津文科17】如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝2，∠BAD＝90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．11．【2017年新课标2文科18】如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC AD，∠BAD＝∠ABC＝90°．（1）证明：直线BC∥平面P AD；（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．12．【2017年新课标1文科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）证明：平面P AB⊥平面P AD；（2）若P A＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．13．【2017年新课标3文科19】如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．14．【2017年北京文科18】如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥AB，P A⊥BC，AB⊥BC，P A＝AB＝BC ＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：P A⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面P AC；（3）当P A∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．15．【2017年天津文科17】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD ＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．1．【2019年湖南省娄底市高三上学期期末】如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，22AB CD BC ==，BD 为梯形对角线，将梯形中的ABD ∆部分沿AB 翻折至ABE 位置，使ABE∆所在平面与原梯形所在平面垂直（如图2）.（1）求证：平面AED ⊥平面BCE ；（2）探究线段EA 上是否存在点P ，使//EC 平面PBD ？若存在，求出EPEA；若不存在说明理由. 2．【四川省威远中学2020届高三上学期第一次月考】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ； (2)求三棱锥P －ABC 体积的最大值； (3)若，点E 在线段PB 上，求CE ＋OE 的最小值．3．【2019年山西重点中学协作体高三暑假联考】如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AD DC CB ===，60ABC =︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =.（1）求证：BC ⊥平面ACFE ； （2）求多面体ABCDEF 的体积.4．【2020年四川省雅安市雨城区雅安中学高三上学期开学摸底】如图，已知多面体ABCDEF 中，ABD ∆、ADE ∆均为正三角形，平面ADE ⊥平面ABCD ，AB CD EF P P ，::2:3:4AD EF CD =. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面BFC ； （Ⅱ）若2AD =，求该多面体的体积.5．【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试】如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，160,CBB A ∠=o在侧面11BB C C 上的投影恰为1B C 的中点O ．（1） 证明：1B C AB ⊥； （2） 若1ACAB ⊥，且三棱柱111ABC A B C -的体积为38，求三棱柱111ABC A B C -的高.6．【湖南省衡阳市第八中学2020届高三上学期月考（二)】如图，在五面体ABCDFE 中，侧面ABCD 是正方形，ABE ∆是等腰直角三角形，点O 是正方形ABCD 对角线的交点EA EB =，26AD EF ==且//EF AD .（1）证明：//OF 平面ABE ；（2）若侧面ABCD 与底面ABE 垂直，求五面体ABCDFE 的体积.7．【江西省南昌市2020届高三上学期开学摸底考试】如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，12AB AC AA ===，E 是BC 的中点，F 是1A E 上一点，且12A F FE =.（Ⅰ）证明：AF⊥平面1A BC ；（Ⅱ）求三棱锥11C A FC -的体积．8．【2020年安徽省江淮十校高三第一次联考】如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，2SA AB ==，AE SC ⊥，垂足为E ，点A 在面SDC 上的投影为F 。
2020届浙江省高三下学期6月新高考进阶数学试题一、单选题1．已知(){}2ln 2A x Ny x x =∈=--∣，{B y Ny =∈=∣，则()NA B ＝（ ） A ．{}1,2 B ．{}0,1C ．{}1,2,3D ．∅【答案】A【解析】首先确定集合,A B 中的元素，然后再由集合的运算法则计算． 【详解】由220x x -->得1x <-或2x >，∴{|2}A x N x =∈>，{0,1,2}NA =，10x -≥，11x -≤≤，011x ≤-≤，∴1e ≤≤，即1y e ≤≤，又y N ∈，∴1y =或2，即{1,2}B =，∴(){1,2}NA B =．故选：A ． 【点睛】本题考查集合的综合运算，解题关键是确定集合中的元素．一定要注意代表元的形式，对于与函数有关的数集，要注意是函数的定义域还是函数的值域．2．多项式396x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的常数项是（ ） A ．216 B ．216-C ．540D ．540-【答案】D【解析】由于296x x =+-，故只需求解6的常数项即可. 【详解】解：因为332669x x ⎡⎤==⎢⎥⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以()631663rrr rr r r T C C x --+⎛==- ⎝，令30r -=，得3r =， 所以常数项为：()3363540C -=-.故选：D.【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是二项式定理的展开式的通项公式.解题时多项式应化为二项式，这样求解较方便.3．正项等比数列{}n a ，m n p q +=+，“m n p q a a a a +≥+”是“mn pq <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先判断是否是充分条件，可令m n p q ===，显示条件成立，但结论不成立，故不充分；再证是否是必要条件，不妨假设m 最大，则n 最小，且0m p q n -=->，设{}n a 公比为,0x x >再得到()mnpqx x x x +-+(1)()m pp n xx x -=--，对x 分01x <<，1x =，1x >讨论，可证得m n p q x x x x +>+，从而得到m n p q a a a a +≥+，得到答案. 【详解】解：设正项等比数列{}n a 的公比为(0)x x >，因为m n p q +=+，当m n p q a a a a +≥+时，令m n p q ===，不等式成立，但是mn pq <不成立； 故“m n p q a a a a +≥+”是“mn pq <”的不充分条件；当mn pq <时，显然,,,m n p q 互不相等，设{}n a 公比为,0x x >m n p q a a a a +≥+等价于1111m n p q x x x x ----+≥+，即m n p q x x x x +≥+，因为m n p q +=+，mn pq <，所以()m p q m pq +-<，即()()0m p m q -->， 不妨假设m 最大，所以n 最小，所以0m p q n -=->，()m n p q x x x x +-+(1)(1)p m p n q n x x x x --=---(1)()m p p n x x x -=--当1x >时，1m p x ->，p n x x >，∴m n p q x x x x +>+； 当1x =时，m n p q x x x x +=+；当01x <<时，1m p x -<，p n x x <，∴m n p q x x x x +>+； 综上知，当mn pq <时，有m n p q a a a a +≥+， 故“m n p q a a a a +≥+”是“mn pq <”的必要条件.即“m n p q a a a a +≥+”是“mn pq <”的必要不充分条件. 故选：B ． 【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，等比数列的通项公式及性质，作差法比较厌，还考查了学生的分析推理能力，转化与化归思想，难度较大.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体两两垂直的平面共有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对【答案】D【解析】先根据三视图还原几何体的直观图，结合线面、面面垂直的判定定理即可. 【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD -， 其中ABCD 为边长为1的正方形，PA ⊥平面ABCD ， 所以平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAC ⊥平面ABCD ,又,,AD AB PA AD AB PA A ⊥⊥⋂=, 所以AD ⊥平面PAB ,平面PAD ⊥平面PAB ,又AC BD ⊥,,PA BD PA AC A ⊥⋂=,所以BD ⊥平面PAC ,平面PBD ⊥平面PAC ,同理可证：CD ⊥平面PAD ，CB ⊥PAB ，故平面PBC ⊥平面PAB ， 平面PCD ⊥平面PAD ，故该几何体两两垂直的平面共有7对.故选：D 【点睛】本题主要考查线面、面面垂直的判定定理，属于基础题. 5．若4AB =，3AC CB =，平面内一点P ，满足||||PA PC PB PCPA PB ⋅⋅=，sin PAB ∠的最大值是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．16【答案】C【解析】由条件可得3,1AC BC ==，PC 是角平分线，然后由角平分线的性质可得3PA ACPB BC==，设PB x =，则3PA x =，然后221692222cos 22343393x x x PAB x x +-∠==+≥=⨯⨯，即可得出sin PAB ∠的最大值. 【详解】由4AB =，3AC CB =可得3,1AC BC == 因为||||PA PC PB PC PA PB ⋅⋅=，所以APC BPC ∠=∠，即PC 是角平分线所以由角平分线的性质可得3PA ACPB BC== 设PB x =，则3PA x =，由,PA PB AB PA PB AB +>-<可得12x <<因为221692222cos 22343393x x x PAB x x +-∠==+≥=⨯⨯当且仅当233x x =，即x =cos PAB ∠的最小值为3所以sin PAB ∠的最大值是13故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的数量积、余弦定理和利用基本不等式求最值，考查了学生的分析转化能力，属于中档题.6．已知函数22()(sin )(cos )()k k f x x x k Z +=-∈，()2121()(sin )(cos )k k g x x x k Z --+-=∈，()f x 与()g x 的最小正周期分别是（ ）A ．2,21k k ππ-B ．,2kππ C ．2,21k ππ- D ．,2ππ【答案】D【解析】用特殊值2k =分析，求出()f x 的周期，可知AB 错误，又33()sin cos g x x x =-，再验证并得到C 错，从而得到答案.【详解】令2k =，则44()sin cos cos2f x x x x =-=-，最小正周期为π，故AB 错误，33()sin cos g x x x =-，若其周期为23π，由(0)1g =-，21()38g π+=， 则2()(0)3g g π≠，故C 错误，D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查了三角函数的周期，考查了特殊值法的应用，属于中档题.7．新冠疫情期间，网上购物成为主流．因保管不善，五个快递ABCDE 上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是（ ） A ．310B ．13C ．1130D ．25【答案】C【解析】5个快递送到5个地方有55120A =种方法，全送错的方法：第一步A 送错有4种可能，然后第二步是关键，考虑A 送错的地方对应的快递，如A 送到丙地，第二步考虑快递C ，而C 送错位置分两类，一类是送到甲，一类是送其他三个地方，再对剩下的3个快递分别考虑即可完成． 【详解】5个快递送到5个地方有55120A =种方法，全送错的方法数：先分步：第一步快递A 送错有4种方法，第二步考虑A 所送位置对应的快递，假设A 送到丙地，第二步考虑快递C ，对C 分类，第一类C 送到甲地，则剩下,,B D E 要均送错有2种可能（丁戊乙，戊乙丁），第二类C 送到乙丁戊中的一个地方，有3种可能，如送到丁地，剩下的,,B D E 只有甲乙戊三地可送，全送错有3种可能（甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲），∴总的方法数为4(1233)44⨯⨯+⨯=，所求概率为441112030P ==． 故选：C ． 【点睛】本题考查古典概型，快递送错位置与信装错信封（信封上已写地址）是同一回事，属于典型的计数问题，注意其求解方法，分类还是分步要确定好． 8．函数()0xy xx =>的最小值是（ ）A ．1eB ．11ee ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1D ．0+（无最小值，无限趋向于0）【答案】B 【解析】将()0xy xx =>变形得ln ln y x x =，可得ln x x y e =，求得该函数的导数，利用导数研究函数ln x xy e =的单调性与极值，进而可得出该函数的最小值.【详解】当0x >时，在等式x y x =两边取自然对数得ln ln y x x =，ln x xy e ∴=，()ln ln 1x x y e x '∴=+，令0y '=，得1=x e.当10x e<<时，0y '<，此时函数ln x xy e =单调递减；当1x e>时，0y '>，此时函数ln x x y e =单调递增. 因此，函数ln x xy e =在1=x e 处取得最小值，即1min 1e y e ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，将函数解析式变形为ln x x y e =是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9．双曲线上22221(0)x y b a a b-=>>有两点A 、B ，O 为坐标原点，F 为双曲线焦点，满足OA OB ⊥，当A 、B 在双曲线上运动时，使得恒222111||||||OA OB OF +≤成立，则离心率取值范围是（ ）A ．12⎦B ．32⎦C ．⎭ D ．⎛ ⎝ 【答案】A【解析】先根据OA OB ⊥得到12120x x y y +=，再联立直线方程和双曲线方程利用韦达定理化简得到2222221m a b k b a =+-，从而得到22222211||||b a a b OA OB -+=为定值，即可求解离心率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB :y kx m =+ 因为OA OB ⊥，即12120OA OB x x y y ⋅=+=联立22221y kx mx y a b=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()22222222220b a k x kma x a m a b ----=2122222kma x x b a k +=-，()22212222a m b x x b a k-+=- ()()()2212121112y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++代入得2222212222m b a b k y y b a k-=- 所以()2222222212122222220a m b m b a b k x x y y b a k b a k-+-+=+=-- 整理得2222221m a b k b a=+-即由()0,0O 到直线AB :y kx m =+的距离d =所以距离为一个定值又()()222222211||||||||||||||||||OA OB AB OA OB OA OB OA OB +==⋅⋅+ 又11||||||22ABCSOA OB AB d =⋅=⋅ 即()222||||||OA OB AB d ⋅=所以()2222222222211||11||||||||AB k b a d ma bOA OB OA OB +-+====⋅ 又222111||||||OA OB OF +≤所以222221112b a e a bc -+≤⇒<≤又b a e >⇒<12e +<≤ 故选：A 【点睛】此题考查双曲线的离心率，难点是联立方程后的化简过程，对计算的要求较高，属于较难题目. 10．函数43221()x ax bx ax f x x--++=，a ∀，b R ∈，[1,2]x ∈上()f x 最大值(),M a b 的最小值为（ ）A ．916B ．932C ．716D ．732【答案】B 【解析】令1t x x=-，把函数式变形化简为2()()2f x g t t at b ==+--，注意30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后由(,)M a b 定义有(,)(0)M a b g ≥①，3(,)2M a b g ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭②，3(,)4M a b g ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭③，由①＋②＋2×③结合绝对值不等式的性质，计算后可得最小值．【详解】221()a f x x ax b x x =--++，令1t x x=-，则2()()2f x g t t at b ==+--， [1,2]x ∈，则130,2t x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦， 由题意(,)(0)2M a b g b ≥=-，3173(,)242M a b g a b ⎛⎫≥=-- ⎪⎝⎭，3413(,)4164M a b g a b ⎛⎫≥=-- ⎪⎝⎭3412(,)228M a b a b ⇒≥+-，∴173341(,)(,)2(,)224228M a b M a b M a b b a b a b ++≥-+--++- 17334192242288b a b a b ≥-+--++-=， ∴9(,)32M a b ≥．当且仅当553,322b a ==等号同时成立． ∴(,)M a b 的最小值为932．故选：B ． 【点睛】本题考查求绝对值函数的最值，考查绝对值不等式的性质和应用，考查运算求解能力，属于中档题．二、填空题11．在复变函数中，自变量z 可以写成(cos sin )i z r i r e θθθ=⨯+=⨯，其中||r z =，θ是z 的辐角．点(),x y 绕原点逆时针旋转θ后的位置可利用复数推导，点()2,3A 绕原点逆时针旋转3arcsin5得A '_______；复变函数ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，z =_______．【答案】118(,)55- 1-【解析】点A 对应的复数sin )z i αα=+，其中cos 1313αα==A '对应的复数)sin()]z i αβαβ'=+++，其中34sin ,cos 55ββ==，利用两角和差公式求得A '的坐标；由ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，则i z e π=cos sin i ππ=+，化简可得z . 【详解】点A 对应的复数sin )z i αα=+，其中cos ,sin 1313αα==则A '对应的复数)sin()]z i αβαβ'=+++，其中34sin ,cos 55ββ==，则cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ+=-=-，sin()sin cos cos sin 65αβαβαβ+=+=，则118)55z i '=+=-+，故A '的坐标为118(,)55-；由ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，则i z e π=cos sin i ππ=+， 得1z =-. 故答案为：118(,)55-；1- 【点睛】本题考查了复数的运算，结合考查了两角和的正弦、余弦公式，还考查了学生阅读理解能力，分析能力，运算能力，属于中档题.12．在ABC 中，35AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，cos C 的最小值为_______．【解析】可先用向量的数量积公式将原式变形为：cos 3cos 5cos bc A ac B ab C +=，然后再结合余弦定理整理为222379a b c +=，再由cos C 的余弦定理得到,a b 的关系式，最后利用基本不等式求解即可. 【详解】已知23AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，可得cos 3cos 5cos bc A ac B ab C +=，将角A,B,C 的余弦定理代入得222379a b c +=，由222222239c 9s 22o a ba b C c ab ab ++-==≥，当b =时取到等号，故cos C.【点睛】本是考查了向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用，能正确转化23AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅是解题关键.属于中档题.13．“520”告白季，心形方程成为数学爱好者表白的不二之选．已知椭圆经旋转和对称变换后可得心形方程．若心形方程22||1x x y y -+=，则x y +的取值范围是_______．【答案】,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】当0x ≥时，有221x xy y -+=，配方得22()133()2x y x y xy ++-=≤⋅，解得x y +的范围，当0x <时，有221x xy y ++=，配方得22()1()2x y x y xy ++-=≤，再解得x y +的范围，综合可得x y +的取值范围. 【详解】（1）当0x ≥时，有221x xy y -+=，配方得22()133()2x y x y xy ++-=≤⋅， 则2()4x y +≤，得22x y -≤+≤，当且仅当0x y =≥时取得最值，则1x y ==时，x y +有最大值为2；又由0x ≥时，有2210x yx y -+-=，则22()4(1)0y y ∆=---≥，得243y ≤，y ≤≤，即2x y ≤+≤；（2）当0x <时，有221x xy y ++=，配方得22()1()2x y x y xy ++-=≤， 则24()3x y +≤，得x y ≤+≤0x y =<时取得最值，则x y ==x y +有最小值为3-；综合（1）（2）可得x y +∈3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了有条件等式求值域，可利用等式，结合基本不等式构建不等式，再解构建的不等式求得值域，注意取“=”条件，还考查了分析推理能力，运算能力，难度较大. 14．三棱锥O ABC -中，OA 、OB 、OC 两两垂直且相等，点P 为线段OA 上动点，点Q 为平面OBC 上动点，且满足13OP OA ≤，OP BQ =，PQ 和OB 所成角θ，cos θ的最小值为_______．【答案】3【解析】如图所示,根据已知可设()10,0,03P t t ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，()0,0,1A ，()1,0,0B ，()0,1,0C ，(),,0Q a b ，由OP BQ =可得：()2221a b t -+=，(),,PQ a b t →=-，()1,0,0OB →=，cos cos ,OB PQ θ→→==.研究,a t 范围，化简计算即可得出结果. 【详解】如图所示,根据已知可设()(0,0,1),(1,0,010,0,03),(0,1,0),(,,0)A B C Q P t t a b ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭OP BQ =()2221a b t ∴-+=，(),,PQ a b t →=-，()1,0,0OB →=，cos cos ,OB PQ θ→→===，1t a t -≤-≤，11t a t -≤≤+，13t ≤，cos θ∴=≥==令187m a =-，则()21717766s 3co m m m m θ+⎛⎫==+≥⎪⎝⎭， 此时13t =，79a =符合条件.故答案为：73.【点睛】本题考查考查线线角求法、空间向量应用，考查空间想象能力和计算能力，属于难题.三、双空题15．如表是随机变量102a ξ⎛⎫<<⎪⎝⎭的分布列，()E ξ=_______，()2D ξ∈_______． ξ0 12Pa12a -a【答案】1 ()0,4【解析】利用期望的公式求出()E ξ，再根据()2D ξ422()[]E E ξξ=-，化简求取值范围. 【详解】由题()E ξ01221a a a =⋅+-+=,又4444()01(12)2114E a a a a ξ=⋅+⋅-+⋅=+，2()E ξ=22201(12)212a a a a ⋅+⋅-+⋅=+，则()2D ξ422()[]E E ξξ=-22114(12)410a a a a =+-+=-+，1(0,)2a ∈，令2()410,f a a a =-+1(0,)2a ∈，则()f a 在1(0,)2a ∈递增，得()(0,4)f a ∈，故()2D ξ∈()0,4.故答案为：1；()0,4. 【点睛】本题考查了期望与方差的计算，熟记并灵活运用公式是解题的关键，属于中档题.16．已知2x y +=，2x >-，3y >-，则2223x y x y +++的最小值为_______，此时x y -_______．【答案】4725-【解析】令2,3m x n y =+=+，则0,0,7m n m n >>+=，再化简2223x y x y +++493m n =+-，利用49m n +149()()7m n m n=++化简，均值不等式求最值，得到答案. 【详解】令2,3m x n y =+=+，则0,0,7m n m n >>+=，再化简2223x y x y +++493m n=+-， 又49m n +149()()7m n m n =++13149131225()77777n m m n =++≥+=， 当且仅当49n m m n=时取得最小值，又7m n +=，得1421,55m n ==， 即当46,55x y ==时，2223x y x y +++有最小值254377-=，此时x y -=25-. 故答案为：47；25-.【点睛】本题考查了基本不等式求最值，结合考查了换元法的应用，属于中档题.17．直线1: 2l y x =-与直线2:(0)l y kx k k =+>相交于点P ．直线1l 与x 轴交于点1P ，过点1P 作x 轴的垂线交直线2l 于点1Q ，过点1Q 作y 轴的垂线交直线1l 于点2P ，过点2P 作x 轴的垂线交直线2l 于点2Q ，，这样一直作下去，可得到一系列点1P 、1Q 、2P 、2Q ，，点(1,2,3)n P n =的横坐标构成数列{}n x .那么，k =_______时，{}n x 为周期数列；k =_______时，{}n x 为等比数列．【答案】1 2【解析】由题意依次计算1P 、1Q 、2P 、2Q ，，归纳出结论n x ，再由周期数列和等比数列的定义求解． 【详解】1l 的方程是2y x =-，2l 的方程是y kx k =+，则1(2,0)P ，()12,3Q k ，2(23,3)P k k -，22(23,33)Q k k k --，223(233,33)P k k k k -+-，2233(233,333)Q k k k k k -+-+，23234(2333,333)P k k k k k k -+--+，…，∴211233(1)3n n n x k k k --=-+++-⋅，∴()13121n nk k x k-⎡⎤--⎣⎦=-+，要使{}n x 为周期数列，则存在*n N ∈且1n >，2n x =，即()1310n k k -⎡⎤--=⎣⎦， ∵0k >，只有1k =且n 为奇数时满足题意，故1k =，要使{}n x 为等比数列，则2213x x x =，22(23)2(233)k k k -=-+，∵0k >，∴2k =，此时12(1)n n x -=⨯-，{}n x 是等比数列．故答案为：1；2． 【点睛】本题考查周期数列与等比数列的概念，考查归纳推理．解题关键是是由归纳推理得出n x 的表达式．也可由数列的前几项满足条件得出k 值，然后检验数列{}n x 后面的项也满足条件即可．四、解答题18．在非直角ABC 中，4tan tan tan tan tan 3A B C B C ++=⋅，5a =. （1）求sin A ；（2）若AD 是角平分线，AD =，求ABCS ．【答案】（1）4sin 5A =；（2）12. 【解析】（1）先根据内角和为π得到tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅，从而可求tan A 的值，利用同角的三角函数的基本关系式可求sin A .（2）由（1）可得sin2A =，设,AB x AC y ==，则根据面积公式可得()3011x y xy +=，再由余弦定理得,x y 的关系，两者结合可求30xy =，从而可求面积. 【详解】（1）因为()()tan tan tan A B C B C π=--=-+，故tan tan tan 1tan tan B CA B C+=--，整理得到tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅，所以4tan tan tan tan tan 3A B C B C ⋅=.因为,B C 为三角形内角，故tan tan 0B C ≠，故4tan 3A =，因为A 为三角形内角，故0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故4sin 5A ==. （2）设,AB x AC y ==. 由（1）知0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5A =，故3cos 5A =，故2312sin 52A =-，而0,24A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故5sin 25A =. 由ADBADCABCSSS+=可得111sin sin sin 22222A A AD AB AD AC AB AC A ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯， 故()245541155x y xy +⨯⨯=⨯，整理得到()3011x y xy +=. 由余弦定理可得2232255x y xy +-⨯=，整理得到：()216255x y xy +-=， 故()21212880259000xy xy --⨯=即()()121750300xy xy +-=， 故30xy =，所以面积为14301225⨯⨯=. 【点睛】本题考查余弦定理解三角形以及面积公式的应用，当解三角形中遇到角平分线时，可考虑用面积关系来讨论，本题数据较大，不易计算.19．四面体A BCD -中，3AB AC AD BC BD =====，E 是AB 上一动点，F 、G 分别是CD 、EF 的中点．（1）当E 是AB 中点，3CD =时，求证：DG BC ⊥；（2）1AE =，当四面体A BCD -体积最大时，求二面角D CE B --的平面角的正弦值．【答案】（1）见解析；（22203【解析】（1）当3CD =时，四面体A BCD -是正四面体，通过正四面体的性质建立空间直角坐标系，通过计算得0BC DG =，从而得证. （2）取AB 的中点H ，连接CH ，DH ，FH ，易证明13A BCD A CDHB CDH CDHV V V SAB ---=+=，设CF x =，利用勾股定理计算得到FH ，利用体积公式22411127272333244A BCD CDHV S AB x x x x -==⋅⋅⋅-⋅=-，算出体积表达式，进行配方得到体积取最大值时364CF =，22227364FH CH CF x CF =-=-==，故,,CH DH AB 两两互相垂直，利用空间直角坐标系计算得出答案. 【详解】（1）取BC 的中点H ，连接DH ，BF ，DH BF O =，连接OA ，过O 做CD 的平行线交BD 于点M ， 如图，3AB AC AD BC BD =====，3CD =，∴ 此三棱锥是正四面体，∴O 为BCD ∆的中心，AO ⊥ 面BCD ，以O 为坐标原点，分别以OF ，OM ，OA 为空间直角坐标系的x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，易知，2293394DH DC CH =-=-=，1332OH DH ==，233OD DH ==，22936AO AD OD =-=-= ∴(3,0,0)B - ，33(,,0)22C -，33(,,0)22D ，(0,0,6)A ，36(,0,)22E -，3(,0,0)F ，6(0,0,)G ， ∴333(,,0)2BC =- ，336(,,)2DG =-- ，∴0BC DG = ，∴DG BC ⊥得证. （2）如图，取AB 的中点H ，连接CH ，DH ，FH ， 3AB AC AD BC BD =====，∴ ABC ，ABD △ 均为等边三角形， ∴AB CH ⊥，AB DH ⊥，CH DH H =，,CH DH ⊂面CDH ，∴AB ⊥面CDH ，∴13A BCD A CDHB CDH CDHV V V SAB ---=+=，设CF x = ，则222223279()24CH DH BC BH ==-=-=，222274FH CH CF x =-=-， ∴22411127272333244A BCD CDHV S AB x x x x -==⋅⋅⋅-⋅=-，∴24222727729()4864A BCD V x x x -=-=--+， ∴当2278x =，即36x = 时，四面体A BCD -体积有最大值， 此时， 222273644FH CH CF x =-=-=， ∴FH CF =，∴CDH △为等腰直角三角形，CH DH ⊥，如图，以H 为坐标原点，HC 为x 轴，HD 为y 轴，HA 为z 轴，建立空间直角坐标系，1AE =，∴3(0,0,)2B -，(,0,0)2C，(0,,0)2D ，1(0,0,)2E ，∴(CD =，1()2CE =，3()2CB =- 设面CDE 的法向量为111(,,)n x y z = ，由0n CD = ，0n CE =得，11110221022x y x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ∴取(1,1,3n =，设面BCE 的法向量为222(,,)m x y z = ，由0m CB = ，0m CE =得，2222302102x z x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ∴取(0,1,0)m =，∴cos 2929n m n mθ===⋅ ，∴sin 29θ= ，故答案是29. 【点睛】（1）此题通过传统方法需要证明点G 在高线OA ，比较繁琐，建系可以有效的避免这一点，证明起来比较简单；（2）第二问的关键是找到什么时候四面体A BCD -的体积最大，需要构建体积表达式，利用函数的方法求出四面体A BCD -的体积最大时满足的条件，后建系计算即可得出答案，此题计算较为复杂，大家要细心解答.20．在数列{}n a 中，11a =，22a =，2134n n n a a a ++=+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）n b =n S是数列{n b 的前n项和，n n T =，求证：1232n T T T ++⋅⋅⋅+<． 【答案】（1）()11324155n n n a --=⋅+-⋅；（2）证明见解析.【解析】（1）由题得()2114n n n n a a a a ++++=+，构造数列{}1n n a a ++为等比数列，得1134n n n a a -++=⋅，从而有1294n n n a a -+-=⋅，对n 分奇偶，采用累加法求出{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得42n nn b =-，则可得n S ，故131122121n n n T +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，采用裂项相消法求12n T T T ++⋅⋅⋅+即可证明. 【详解】（1）由2134n n n a a a ++=+得，()2114n n n n a a a a ++++=+，又213a a +=， 所以数列{}1n n a a ++为首项为3，公比为4的等比数列，故1134n n n a a -++=⋅，又2134n n n a a +++=⋅，则有1294n n n a a -+-=⋅，所以当n 为奇数时，()()()131532n n n a a a a a a a a -=+-+-+-⋅⋅⋅+()32231214432191441941455n n n ----⋅=++++=+⋅=⋅⋅⋅+⋅-，当n 为偶数时，1113234455n n n n a a --+=⋅-=⋅-，经验证12,a a 均符合， 故()11324155n n n a --=⋅+-⋅； （2）4n n b ==，则42n nn b =-， 所以()()224442224442221412n n nnn S -⋅-⋅=+++-+++⋅⋅⋅⋅⋅-⋅=-- 11124233n n ++=⋅-+，所以()()11112323112212122121124233n nn n n n n n n n n b T ++++⋅⎛⎫====⋅- ⎪----⎝+⎭-所以122312112131111221212211n n n T T T +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥---⎛⎫++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+- ⎪-⎝⎭⎝⎭⎣-⎝⎦⎭ 131312212n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式，数列的通项公式，数列求和，考查了累加法，裂项相消法这些数列求解的基本方法，综合考查了学生的运算求解能力.21．已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>，过抛物线焦点F 的直线1l 、2l 分别交抛物线于A 、B 、C 、D （B 、C 在x 轴上方），()11,A x y ，()22,B x y ，1214y y =-.（1）求抛物线Γ的标准方程；（2）若45BFC ∠=︒，求AB CD ⋅的最小值． 【答案】（1）2y x =；（2）24162-【解析】（1）设直线1l 的方程为2p x ky =+，联立抛物线方程与2px ky =+，利用韦达定理写出12y y ，解出p 的值；（2）设直线1l 的倾斜角为α，利用含α的式子表示弦长AB ，同理可得CD ，得出AB CD ⋅的表达式，然后利用三角恒等变换结合三角函数等知识点求解最值.【详解】解：（1）由题意得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为2p x ky =+，代入()220y px p =>得：2220y pky p --=，则21214yy p ⋅=-=-，得12p =，当AB x ⊥轴时，21214y y p ⋅=-=-成立， 所以抛物线Γ的标准方程为：2y x =.（2）设直线1l 的倾斜角为α，则直线2l 的倾斜角为45α+，如图所示，分别过点,A B 作,BM AN 分别垂直于抛物线2y x =的准线，垂足分别为M 、N ，再分别作BP AQ 、垂直于x 轴，则cos BF p BF α⋅+=，得1cos pBF α=-，cos p AF AF α-⋅=，得1cos pAF α=+,所以22211cos 1cos sin sin p p p AB AF BF αααα=+=+==+-，同理可得()()2221sin 45sin 45p CD αα==++所以()22211sin sin 4522sin AB CD ααααα⋅==⋅+⎡⎤⎫⋅+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 2211241621212sin 2242πα=≥=-⎡⎛⎛⎫-++ ⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭当且仅当242ππα-=， 3=8πα时AB CD ⋅取最小值.所以AB CD ⋅的最小值为24-【点睛】本题考查直线与抛物线的综合，难度较大.解答时要合理设元，巧妙利用韦达定理求解，关于弦长最值问题一定要现将弦长用所设未知量表示出来，然后设法求出最值. 22．函数()ax f x e x =-，0a >.（1）对任意[0,)x ∈+∞，21()12f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围； （2）若1a >，对任意(,)x e ∈+∞，2()(6)ln 60ln f x ax ax x x+--+≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1a ≥；（2）>1a 【解析】（1）由已知条件得21102axe x x ---≥在[0,)x ∈+∞上恒成立，令()2112ax g x e x x =---，即需()0g x ≥在[0,)x ∈+∞上恒成立，对()g x 求导，分析其导函数的正负，得出()g x 的图象变化趋势，可得出a 的取值范围； （2）不等式2()(6)ln 60ln f x ax ax x x+--+≥等价于()()22ln 26ln 6ln 2ax x e ax ax x x e +-≥-+，令()226x F x e x x =+-，对函数()F x 求导，分析函数的单调性，运用单调性求解不等式，得到ln xa x≥在(,)x e ∈+∞上恒成立，令()ln xG x x=，对其求导函数，研究其单调性，根据函数()G x 的最值，可得a 的取值范围． 【详解】（1）由函数()axf x e x =-，得不等式21()12f x x ≥+等价于21102ax e x x ---≥在[0,)x ∈+∞上恒成立，令()2112axg x e x x =---，则()'1ax g x ae x =--，令()()'1ax h x g x ae x ==--，则()'21axh x a e =-，因为0a >，所以()'21axh x a e =-在R 上单调递增，又[0,)x ∈+∞，所以()()'2'2101ax h x a e h a =-≥=-，当210a -≥时，即1a ≥时，()'0h x ≥，所以()h x 在[0,)+∞上单调递增，所以()()010h x h a ≥=-≥，即()'0g x ≥，所以()g x 在[0,)+∞上单调递增，所以()()00g x g ≥=，所以21102axe x x ---≥在[0,)x ∈+∞上恒成立，满足题意，所以1a ≥满足；当210a -<时，即01a <<时，()'00h <，又()'h x 在[0,)+∞上单调递增，所以存在唯一0[0,)x ∈+∞使得()'0h x =，即02021ln ax a ex a a==-，，所以()'h x 在0[0,)x 上()'0h x <，()h x 在0[0,)x 上单调递减，()'h x 在()0+x ∞，上()'>0h x ，()h x 在()0+x ∞，上单调递增， 所以()()0h x h x ≥，而()000122ln 11+ln 1ax a a h x ae x a a a a-+=--=-=， 令()()'22ln 1,>0aH a a a H a a-=-+=，所以()H a 在()01，上单调递增，所以()()12ln11+10H a H <=-=，所以()00h x <，即()'00g x <，又()'010g a =-<，()'+x g x →+∞→∞，，所以存在()10+x x ∈∞，使得()'0g x =，即1110ax x ae --=，且()'g x 在()10x ，上()'0g x <，()g x 在()10x ，上单调递减，()'g x 在()1+x ∞，上()'>0g x ，()g x 在()1+x ∞，上单调递增，所以()()1g x g x ≥，而()00g =，所以()10g x <，这与()0g x ≥在[0,)+∞上恒成立相矛盾，所以01a <<不满足题意， 综上可得a 的取值范围1a ≥； （2）因为(,)x e ∈+∞，所以不等式2()(6)ln 60ln f x ax ax x x+--+≥等价于()()22ln 26ln 6ln 2ax x e ax ax x x e +-≥-+，令()226xF x e x x =+-，则()()'22623xxF x e x e x =+-=+-，因为()'F x 在R 上单调递增，且()()'12+13>0F e =-，1'2112+3022F e ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在唯一的2112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得()'20F x =， 所以()2x x ∈-∞，时，()'0F x <，()F x 在()2x -∞，上单调递减，()2+x x ∈∞，时，()'>0F x ，()F x 在()2+，x ∞上单调递增， 因为(,)x e ∈+∞，1a >，所以>1,ln >1ax e x >，所以要使()()22ln 26ln 6ln 2ax x e ax ax x x e +-≥-+在(,)x e ∈+∞上成立，即()()ln F ax F x ≥在(,)x e ∈+∞上成立，则需ln >1ax x ≥，即ln x a x≥在(,)x e ∈+∞上恒成立，令()ln x G x x=，则()2'1ln x G x x -=，因为(,)x e ∈+∞，所以ln >1x ，所以1ln 0x -<，即()'0G x <，所以()ln x G x x=在(,)x e ∈+∞上单调递减，所以()()ln 1e G x G e e e <==，所以1a e≥ ，又>1a ，所以a 的取值范围是>1a ． 【点睛】本题考查运用导函数解决不等式的恒成立问题中求参数的范围的问题，关键在于构造合适的函数，通过对其导函数取得正负的区间，得出所构造的函数的单调性，属于难题.。
1 1 0 1 2南昌二中 2020 届高三第四次考试文科数学试卷一、单选题（每小题 5 分，共 12 小题，共 60 分）1．已知集合 A = {0 ，2}， B = {-2 ，- 1，0 ， ，2}，则 A B =A ． {0 ，2}2． 1 + 2i=1 - 2iB ． { ，2}C ． { }D ． {-2 ，- 1，0 ， ，2}4 3A ． - - i5 54 3B ． - + i5 53 4C ． - - i5 53 4D ． - + i5 53．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是A.32 34 32B.33 45 35C.34 45 32D.33 36 354．若 sin α = 1 3，则 cos2α =A ． 8 9B ．7 9 C ． - 7 9 D ． - 895．已知平面向量 a , b 的夹角为135 ，且 a = 1， 2a + b = 2 ，则 b =A ． 2B ． 2C ． 3 - 1D ． 36．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122 .若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率为A ． 3 2 fB ． 3 22 fC ． 12 25 fD ． 12 27 f7．执行如图所示的程序框图，如果输入的 x ∈ [-2，]，则输出的 y 值的取值范围是A.y≤-或y≥0B.-2≤y≤C.y≤-2或0≤y≤D.y≤-2或y≥⎪x+1,x≤0⎪log()b c3B．3C．162π224C．[2D．[,1)522223338.观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a12+b12=A．322B．521C．123D．199⎧19.已知f(x)=⎨2，若存在三个不同实数a,b,c使得f(a)=f(b)=f(c)，则⎩2019x,x>0abc的取值范围是A．(0,1]B．[-2,0)C．(-2,0]D．(0,1)10.设a，，分别是ABC的内角A,B,C的对边，已知(b+c)sin(A+C)=(a+c)(sinA-sinC)，设D是BC边的中点，且ABC的面积为3，则AB⋅DA+DB等于A．2B．4C．-4D．-211.已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD//B C，AB=DC=AD=2，BC=P A=4，P A⊥面ABCD，则球O的体积为A．642π162πD．16π12.已知椭圆E:x2y2+a b2=1(a>b>0)的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点．若AF+BF=4，点M到直线的距离不小于则椭圆E的离心率的取值范围是4 5，A．(0,33 ]B．(0,]二、填空题（每小题5分，共20分）14.已知α , β 为第二象限的角，cos(α - ) = - ,sin(β + ) =π s13.过点 (-2,4 )且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为_________.4543 π 513，则 in （α + β）的值为_____.15.设函数 f (x )是定义在 R 上周期为 2 的函数，且对任意的实数 x ，恒 f (x )- f (-x ) = 0 ，当 x ∈ [-1,0]时， f (x ) = x 2．若 g (x ) = f (x )- log x 在 x ∈ (0, +∞) 上有且仅有三个零a点，则 a 的取值范围为_____.16. 已知实数 x ， y 满足 x 2 + y 2 ≤ 1，则 2 x + y - 4 + 6 - x - 3 y 的最大值是．三、解答题（共 5 小题，共 60 分）17.（12 分）2018 年 8 月 8 日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来。
