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百师联盟2021届高三开学摸底联考新高考卷数学试卷2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．复数2i1i-的虚部为 A ．﹣1 B ．1 C ．12 D ．12- 2．已知集合A ＝{}21, x x n n Z =+∈，B ＝{}010y y <<，则集合A B 的子集个数为A ．32B ．31C ．16D ．15 3．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能为A ．221()f x x x =-B ．221()f x x x=- C ．31()f x x x =- D ．31()f x x x=- 4．已知平面α，直线l ，m ，n ，满足m ∥α，n ∥α，且m ，n互为异面直线，则“l ⊥m 且l ⊥n ”是“l ⊥α”的 第3题 A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．我国历法中将一年分春、夏 、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某大学美术学院的甲、乙、丙、丁四个同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成其中一个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是 A ．116 B ．14 C ．13 D ．126．已知m ≠0，向量a ＝(m ，n )，b ＝(﹣2，m )，若a b a b +=-，则实数n ＝ A ．2± B ．2 C ．﹣2 D ．2 7．61()ax x+的展开式的常数项为﹣160，则实数a ＝A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣18．已知04πθ<<，则A ．sin cos cos (cos )(cos )(sin )θθθθθθ>> B ．cos sin cos (sin )(cos )(cos )θθθθθθ>> C ．cos cos sin (cos )(sin )(cos )θθθθθθ>> D ．cos sin cos (cos )(cos )(sin )θθθθθθ>>二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下表为2019年某煤炭公司1~10月份的煤炭生产量，则下列结论正确的是A ．极差为12.5万吨B ．平均值为24万吨C ．中位数为24万吨D ．众数为17.5万吨 10．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，用一个平面α截这个正方体，把该正方体分为体积相等的两部分，则下列结论正确的是A ．这两部分的表面积也相等B ．截面可以是三角形C ．截面可以是五边形D ．截面可以是正六边形 11．如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，ϕ＜2π)的部分图象，若()f x 在[0，2π]内有且 只有一个最小值点，ω的值可以为 A ．13 B ．23C ．1D ．2 12．双曲线C ：22221x ya b-=(a ＞0，b ＞0)的焦点在圆O ：2213x y +=上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M 、N ，点E(0，a )满足EO EM EN 0++=（其中O 为坐标原点），则A ．双曲线C 的一条渐近线方程为320x y -=B ．双曲线C 的离心率为13C ．OE 1=D ．△OMN 的面积为6三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置第11题上） 13．若cos(4π﹣2α)＝35，则sin α＝ ．14．若直线340x y a ++=与圆22(2)4x y -+=有且仅有一个公共点，则实数a 的值为 ．15．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续．预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为 元（取1.211＝7.5，1.212＝9） 16．已知函数2()log f x x kx =-在x ∈(0，16]上有三个零点，则实数k 的取值范围为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cosB ＋b cosA ＝2c cosB ． （1）求角B ；（2）若A ＝4π，角B 的角平分线交AC 于点D ，BD ，求CD 的长．18．（本小题满分12分）在①1a ，14，2a 成等差数列，②1a ，21a +，3a 成等比数列，③334S =，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，132n n S a a =+，(n N *∈)，10a ≠，且 ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记22log n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P —ABC 中，侧面PBC 是边长为2的等边三角形，M ，N 分别为AB ，AP 的中点，过MN 的平面与侧面PBC 交于EF ．（1）求证：MN ∥EF ；（2）若平面PBC ⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝3，求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆M ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为2，且过点(2)．（1）求椭圆M 的方程；（2）若A ，B 分别为椭圆M 的上，下顶点，过点B 且斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆M 于另一点N （异于椭圆的右顶点），交x 轴于点P ，直线AN 与直线x ＝a 相交于点Q ．求证：直线PQ 的斜率为定值．21．（本小题满分12分）随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有的需求都可以通过网络购物来解决，同时顾客的评价也成为电商的“生命线”．某电商平台在其旗下的所有电商中随机抽取了50家，对电商的顾客评价，包括商品符合度、物流服务、服务态度、快递包装等方面进行调查，并把调查结果转化为顾客的评价指数x ，得到了如下的频率分布表：将表中的频率作为概率，并且估计出顾客评价指数在65及以上的电商占全体电商的80%．（1）求a ，b 的值；（2）画出这50家电商顾客评价指数的频率分布直方图； （3）平台将对全体电商进行业务培训，预计培训后，原顾客评价指数在[45，65)、[65，85)和[85，95)的电商的顾客评价指数将分别提高20、10、5．现从这50家电商中随机抽取两家，经培训后，记其顾客评价指数提高值的和为ξ，求ξ的分布列和期望．22．（本小题满分12分）已知21()ln 2f x x a x =+． （1）求()f x 的极值；（2）若函数()()2F x f x x =-有两个极值点1x ，2x ，且122()()2eF x F x +>--（e 为自然对数的底数）恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案11。
2021届百校联盟高三普通高中教育教学质量监测考试全国数学（理）试题一、单选题1．若2z i =-，则2z z -=（ ）A ．3B ．2C D【答案】C【解析】由复数的四则运算求2z z -，然后求模即可. 【详解】依题意，()22234z i i =-=-，故234213z z i i i -=--+=-=故选：C 【点睛】本题考查了复数的四则运算，根据已知复数求复数的模，属于简单题. 2．若集合(){}23log 318A x y x x ==--，{}5,2,2,5,7B =--，则AB =（ ）A ．{}2,2,5-B ．{}5,7-C ．{}5,2,7--D ．{}5,5,7-【答案】B【解析】先求出集合A ，即可求出交集. 【详解】依题意，{}{231803A x x x x x =-->=<-或}6x >，∴{}5,7A B ⋂=-.故选：B. 【点睛】本题考查集合的交集运算，其中涉及到对数函数的定义域和一元二次不等式的解法，属于基础题.3．我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图（1）为北京某宫殿建筑，图（2）为该宫殿某一“柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为1，则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为（ ）图（1） 图（2）A ．9929π++B ．181829π++C ．1818218π++D ．189218π++【答案】C【解析】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，求出其表面积即可. 【详解】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，故所求表面积()23336332321821S πππ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=+. 故答案为：C. 【点睛】本题考查由三视图求几何体表面积，属于基础题.4．已知抛物线1C ：26y x =上的点M 到焦点F 的距离为92，若点N 在2C ：2221x y 上，则点M 到点N 距离的最小值为（ ）A ．261B 431C 331D ．2【答案】B【解析】根据抛物线焦半径得到3M x =，代入抛物线方程得到点坐标，再利用点到圆心的距离减去半径即为答案. 【详解】依题意，3922M MF x =+=，故3M x =，则M y ==±由对称性，不妨设(M ，故M 到点N 11=.故选：B. 【点睛】本题考查抛物线的方程、几何性质，点到圆上点距离最小的问题.5．已知两个随机变量x ，y 呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设2ln u y =，()223v x =-，利用最小二乘法，得到线性回归方程123u v =-+，则（ ）A ．变量y 的估计值的最大值为eB ．变量y 的估计值的最小值为eC ．变量y 的估计值的最大值为2eD ．变量y 的估计值的最小值为2e【答案】A【解析】根据题意可得出()212316x y e --+=，再根据二次函数和指数函数的性质可求出最值. 【详解】依题意，()212ln 2323y x =--+，则()21ln 2316y x =--+， 则()212316x y e --+=，故当32x =时，变量y 的估计值的最大值为e .故选：A. 【点睛】本题考查变量间的相关关系，涉及指数函数和二次函数的性质，属于基础题. 6．函数()3ln 2f x x x =-的图象在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（ ） A ．5344y x =- B ．524y x =-+ C ．1144y x =- D ．14y x =-【答案】A【解析】利用导数求出切线的斜率，求出12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，利用点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】依题意，1128f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()213f x x x '=-，故切线斜率1352244k f ⎛⎫'==-= ⎪⎝⎭， 所求切线方程为151842x y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，即5344y x =-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题. 7．已知函数()()()3cos 0f x x ωϕω=+>，若33f π⎛⎫⎪⎝⎭-=，03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为（ ） A ．12B ．34C ．2D ．3【答案】B【解析】根据三角函数解析式及33f π⎛⎫⎪⎝⎭-=，03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，有2423T T k π+⋅=，结合2||T πω=得到()3214k ω+=即可求ω的最小值. 【详解】依题意，33f π⎛⎫⎪⎝⎭-=，03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故4233T T k ππ⎛⎫+⋅=-- ⎪⎝⎭，即()21243k T π+=， 故()212243k ππω+⋅=，解得()3214k ω+=，k Z ∈； 因为0>ω，故ω的最小值为34. 故选：B 【点睛】本题考查了根据三角函数周期性求参数ω的最值，由所过点的坐标，可得有关周期的表达式，结合周期与参数ω的关系求最值. 8．()()26322x x --的展开式中，4x 的系数为（ ） A ．0B ．4320C ．480D ．3840【答案】B【解析】由于()()()()266232291242x x x x x --=-+-，所以()()26322x x --的展开式中4x 的系数等于9乘以6(2)x -展开式中2x 的系数，减去12乘以6(2)x -展开式中3x 的系数，再加上4乘以6(2)x -展开式中4x 的系数即可得答案 【详解】 依题意，()()()()266232291242x x x x x --=-+-，6(2)x -展开式的通项公式为616(2)r rr r T C x -+=-，故4x 的系数为()()()4322346669C 212C 24C 2216019202404320⨯⨯--⨯⨯-+⨯⨯-=++=. 故选：B 【点睛】此题考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于基础题9．已知圆C 过点()1,3，()0,2，()7,5-，直线l ：12510x y --=与圆C 交于M ，N 两点，则MN =（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】先设圆C ：220x y Dx Ey F ++++=，根据题中条件列出方程组，求出圆的方程；再由弦长的几何法，即可得出结果. 【详解】设圆C ：220x y Dx Ey F ++++=， 由圆C 过点()1,3，()0,2，()7,5-，可得103042074750D E F E F D E F +++=⎧⎪++=⎨⎪+-+=⎩，解得8D =-，2E =，8F=-，故圆C ：()()224125x y -++=；则圆心()41-,到直线l ：12510x y --=的距离4d ==，故6MN ==. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求圆的弦长，考查求圆的方程，属于常考题型.10．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()1,m ，其中0m >；若2an 21t 5α=-，则()cos 2m απ+=（ ） A ．613-B ．1213- C ．613D ．1213【答案】D【解析】根据题意，由二倍角的正切公式，以及三角函数的定义，求出3tan 2m α==，从而可得正弦和余弦值，再由诱导公式和二倍角的正弦公式，即可得出结果. 【详解】依题意，22tan 12tan 21tan 5ααα==--，解得2tan 3α=-或3tan 2α=；因为0m >，由三角函数的定义，可得，3tan 2m α==，则sin α==，cos α== 故()312cos 2cos 2sin 22sin cos 213m απαπααα⎛⎫+=+=== ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题主要考查求三角函数的值，熟记二倍角公式，三角函数的定义，以及诱导公式即可，属于基础题型.11．已知三棱锥S ABC -中，SBC 为等腰直角三角形，90BSC ABC ∠=∠=︒，2BAC BCA ∠=∠，D ，E ，F 分别为线段AB ，BC ，AC 的中点，则直线SA ，SB ，AC ，SD 中，与平面SEF 所成角为定值的有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】B【解析】根据题意，由线面垂直的判定定理，先证明BC ⊥平面SEF ，得到BS 与平面SEF 所成角为BSE ∠，AC 与平面SEF 所成的角为CFE ∠，求出这两个角，再由平面SBC 与平面ABC 的位置关系未知，即可判定出结果. 【详解】作出图形如图所示，因为E ，F 分別为线段BC ，AC 的中点， 故//EF AB ，则EF BC ⊥； 而CS BS =，则SE BC ⊥； 又SEEF E =，SE ⊂平面SEF ，EF ⊂平面SEF ，故BC ⊥平面SEF ，故BS 与平面SEF 所成角为BSE ∠，AC 与平面SEF 所成的角为CFE ∠， 因为SBC 为等腰直角三角形，所以45BSE ∠=︒；因为2BAC BCA ∠=∠，90ABC ∠=︒，所以60CFE A ∠=∠=︒；由于平面SBC 与平面ABC 的位置关系未知，故SA ，SD 与平面SEF 所成的角不为定值. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求线面角，根据线面角的定义求解即可，属于常考题型.12．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭【答案】C【解析】()f x 恰有两个极值点，则0fx 恰有两个不同的解，求出f x 可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02xg x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件. 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为0,，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=. 因为()f x 恰有两个极值点，所以0fx恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02xt x -=+确定，且这个解不等于1.令()()e 02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在0,上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e 3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.二、填空题13．若实数x ，y 满足20030x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.【答案】92【解析】根据约束条件画出可行域，由目标函数的几何意义，结合图形，即可得出结果. 【详解】不等式组20030x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由2z x y =+可得2y x z =-+， 则z 表示直线2y x z =-+在y 轴的截距，由图像可得，当直线2y x z =-+过点M 时，在y 轴的截距最大，即z 有最大值；联立030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得33,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故max 92z =.故答案为：92. 【点睛】本题主要考查求线性目标函数的最值，根据数形结合的方法求解即可，属于常考题型. 14．已知||5a =，||3b =，若a 在b 方向上的投影为3-，则23a b +=______. 73【解析】根据题意可求出3cos ,5a b =-，将23a b +转化为224129a a b b +⋅+求解. 【详解】依题意，cos ,3a a b ⋅=-，则3cos ,5a b =-，故2222323412945125393735a b a a b b ⎛⎫+=+⋅+=⨯-⨯⨯⨯-+⨯= ⎪⎝⎭.73【点睛】本题考查向量模的求解，属于基础题.15．已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，4SA AB ==，6BC =，AC =则三棱锥S ABC -外接球的表面积为______. 【答案】68π【解析】根据题意三棱锥S ABC -外接球等价于棱长为4，4，6的长方体的外接球，即可求出球半径，求出表面积. 【详解】依题意，222AB BC AC +=，故AB BC ⊥；SA ⊥平面ABC ，∴可将三棱锥S ABC -置于棱长为4，4，6的长方体中，∴可知三棱锥S ABC -外接球的半径2R =，故外接球表面积2468S R ππ==. 故答案为：68π. 【点睛】本题考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.16．已知O 为坐标原点.双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，2OA AF =，以A 为圆心的圆A 与y 轴相切，且与双曲线的一条渐近线交于点O ，P ，记双曲线C 的左顶点为M ，若22PMF PF M ∠=∠，则双曲线C 的渐近线方程为______.【答案】y =【解析】根据题意得到圆A ：22224c c x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设点P 在第一象限，联立圆的方程与渐近线方程，求得点P 的坐标，然后由22PMF PF M ∠=∠求解。
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学下学期第二次百校联考试题理〔扫描〕2021高三第二次百校联考理科数学参考答案〔1〕A 解析：i 1i 222z ===-+-，故i.22z =-- 〔2〕A 解析：由题意可得[]2,1U C M=-，(],0N =-∞，故()U C M N =[]2,0-. 〔3〕D 解析：因为a c ⊥，所以()0a c a a b λμ⋅=⋅+=，可得02μλ+=，即20λμ+=. 〔4〕B 解析：从自然数1~5中任取3个不同的数的根本领件总数为3510C =，其中平均数大于3的情况有〔1,4,5〕，〔2,3,5〕，〔2,4,5〕，〔3,4,5〕，一共4种，故概率为2.5 〔5〕B 解析：因为(0,)2x π∀∈，sin x x >，所以(,0)2x π∀∈-，sin x x >lg(1)1x -<的解集为()9,1-，所以q〔6〕C 解析：根据题意可得：2122S q S +=+，即1212q q ++=+，解得32q =. 〔7〕C 解析：根据椭圆的对称性和定义可得28AF BF a +==，因为90AFB ∠=，OF c =,所以26AB c ==，所以ABF ∆的周长为2214a c +=.〔8〕C 解析：34134123231110ln |ln |ln |i i i i e e e e e e e e e e e e s dx dx dx x x x x x x ++=++++=+++⎰⎰⎰110i =-=，解得11i =，应选C.（9）C 解析：由题意可得sin(22)3x πϕ++sin(22)3x πϕ=+-，整理得sin 20ϕ=，即,2k k Z πϕ=∈，因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为.2π 〔10〕A 解析：设圆柱的高为h ，那么根据题意可得32243r r h ππ⨯=，解得883h r ==， 那么该建筑物的外表积22266S r rh πππ=+=，所以一共需涂料费用6600元.〔11〕D 解析：画出可行域知当3y x z =-+与24y x =-相切时，z 取最大值，对24y x =-求导可得23x -=-，解得32x =，代入24y x =-可得74y =，所以max 37253244z =⨯+=，当2,0x y =-=时，z 取最小值6-，应选D.〔12〕A 解析：根据题意可得()1()1a b f a e f b e =-==-，所以2a b e e +=，那么(2)a b b e be -=-.令()x g x xe =-(0)x <，那么'()(1)x x x g x e xe x e =--=-+，当(,1)x ∈-∞-时，'()0gx >，当(1,0)x ∈-时，'()0g x <，所以max 1()(1)g x g e =-=. 〔13〕-4解析：341241441()()(1),r r r r r r r T C x C x x--+=-=-令1248r -=，解得1r =，所以8x 的系数为-4. 〔14〕1e --解析：因为(e)(e)e e f g -=-+=，所以(e)e ln e f a =-=+,1 e.a =-- 〔15〕2解析：由32n n a a +=+可得54321()()6n n n n n n a a a a a a +++++++-++=，所以数列{}32313n n n a a a --++是首项为123a a a ++，公差为6的等差数列，设123a a a x ++=， 那么302930626702x ⨯+⨯=，解得2x =，即1232a a a ++=. 〔16〕9解析：设双曲线的左，右焦点分别为12,,F F 根据题意可得：122||||16||1||5d PM d PF d PF d PF +≥+-=++-=++，结合图像可知2||d PF +的最小值为2F 到渐近线的间隔，因为2F 到渐近线的间隔为4，所以||d PM +的最小值为9.〔17〕解析：〔Ⅰ〕由及正弦定理可得:1sin cos sin a c A C C==,因为c =tan C =.3C π=----------4分 〔Ⅱ〕根据正弦定理可知2sin sin sin a b c A B C ===，所以2sin ,2sin a A b B == 22sin sin 2sin 2sin 2cos 2cos 2a A b B A B A B +=+=--， 因为23A B π+=，所以4sin sin 2cos 2cos(2)3a Ab B A A π+=---12cos 222sin(2)226A A A π=-+=+-， 因为2(0,),3A π∈所以72(,),666A πππ-∈-所以1sin(2),162A π⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦， 所以32sin(2)(,3],62A π+-∈所以3sin sin (,3].2a Ab B +∈-----------12分 〔18〕解析：〔Ⅰ〕设他能出车的事件为A ， 那么11111159()(1)(1).22223372P A =⨯-⨯+⨯-⨯=-----------4分 〔Ⅱ〕根据题意可得X 的可能取值为0,1,2,3,4.所以X 的分布列为：E X=012343636363636⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=7.3---------12分. 〔19〕解析：〔Ⅰ〕连接AC 交BD 于点O ，分别以OA ，OB ，OS 为x 轴，y 轴，SA =，所以OS =S ，(0,A D B ，(0,E F 设G 是AD 的中点，那么,0)22G -， 2(,22SG =-，(22EF =--，(22EB =--， 因为0SG EF⋅=，0SG EB ⋅=，所以SG EF ⊥，SG EB ⊥， 因为EF ⊂平面BEF ，EB ⊂平面BEF ，所以SG ⊥平面BEF ，又SG ⊂平面SAD ，所以平面BEF ⊥〔几何法：取AD 中点G ，连接SG 交EF 于点M ，连接BM ，BG,那么BM SG EF SG ⊥⊥,〕 〔Ⅱ〕设OS h =，那么(0,0,)S h ，),(0,)22h h E F ， 那么222(,,0),()2h EF EB =--=--，设平面BEF 的法向量为1(,,)n x y z =， 那么110,0n EF n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即002x y hz x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令1x =，那么1,y z =-= 所以1(1,1,n h=--，取平面ABCD 的法向量为2(0,0,1)n =， 那么根据题意可得1212cos 60||,||||n n n n ⋅=即12=h = 所以143S ABCD V -=⨯=-----------12分 〔20〕解析:〔Ⅰ〕因为抛物线1:C 22y px =与圆2:C 22(2)4x y -+=都关于x 轴对称， 所以交点,A B 关于x 轴对称，又因为OAB ∆为直角三角形，所以AB 为圆2C 的直径，不妨设点A 在第一象限，那么可得点A 〔2,2〕，代入抛物线方程得1p =， 所以抛物线1C 的方程为22y x =.---------------5分〔Ⅱ〕根据题意可知直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为y kx =，设点(,)E E E x y ，(,)F F F x y ，联立22y kx y x =⎧⎨=⎩，可解得222F F x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为E 是OF 的中点，所以211E E x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入圆2C 方程得22211(2)4k k -+=， 整理可得42130k k -=，又因为0k≠，所以k =， 所以直线l 的方程为.y x =-------------12分 〔21〕解析：〔Ⅰ〕由题意可知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'()ln 11ln f x x x x x =+--=-，令()ln g x x x =-，那么'11()1x g x x x -=-=， 当01x <<时，'()0g x >；当1x >时，'()0g x <，所以max ()(1)1g x g ==-，即()ln 0g x x x =-<，所以'()0f x <，所以()f x 〔Ⅱ〕2()ln f x x x ax x =--的零点情况，即方程2ln 0x x ax x --=的根情况， 因为0x >，所以方程可化为ln 1x a x-=， 令ln 1()x h x x -=，那么'221(ln 1)2ln ()x x h x x x ---==，令'()0h x =，可得2x e =， 当20x e <<时，'()0h x >， 当2x e >时，'()0h x <，所以2max 21()()h x h e e ==，且当0x →时，()f x →-∞；当2x e >时，()0h x >， 所以ln 1()x h x x-=的图像大致如下列图， 结合图像可知，当21a e >时，方程ln 1x a x-=没有根； 当21a e =或者0a ≤时，方程ln 1x a x-=有一个根； 当210a e <<时，方程ln 1x a x -=有两个根.所以当21ae >时，函数()f x 无零点；当21a e =或者0a ≤时，函数()f x 有一个零点；当210a e <<时，函数()f x〔22〕解析：〔Ⅰ〕∵M 为AB 的中点，∴OM ⊥AB ，∵N 为CD 的中点，∴ON ⊥CD ，在四边形OMEN 中，∴∠OME+∠ONE=180°，∴O ，M ，E ，N 四点一共圆.------------5分〔Ⅱ〕因为AB=CD ，所以AB CD =,所以BC AD =，所以,BDC ABD ∠=∠所以BE=DE ，连接OB ，OD ，设BD 的中点为1O ，那么1EO BD ⊥，1OO BD ⊥， 所以1,,E O O 三点一共线，所以EO BD ⊥.--------------10分. （23）解析：〔Ⅰ〕消去参数可得221x y +=,因为2παπ≤≤，所以11,10x y -≤≤-≤≤，所以曲线1C 是221x y +=在x 轴下方的局部，所以曲线1C 的极坐标方程为1(2)ρπθπ=≤≤，曲线2C 的直角坐标方程为22(1)1xy +-=------------5分 〔Ⅱ〕设00(,)P x y ，那么010y -≤≤，直线l的倾斜角为，那么直线l 的参数方程为:(为参数).……………………………7分代入的直角坐标方程得, 由直线参数方程中的几何意义可知PM PN ⋅=0|12|y -， 因为010y -≤≤，所以[]1,3PM PN ⋅∈………10分（24）解析：〔Ⅰ〕21x m -<，即121m x m -<<+，解得1122m m x -+<<， 因为不等式的整数解为2，所以11222m m -+<<，解得35m <<， 因为m ∈Z ，所以4m =．……………………5分〔Ⅱ〕由题意可知4ab =，0a b >>，所以0a b ->，因为222()28()a b a b ab a b a b a b a b +-+==-+≥=---〔当且仅当8a b a b-=-，即a b ==.所以22a b a b +≥-分。
2021年百校联盟普通高中高考数学教育教学质量监测试卷（全国Ⅱ卷） 一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|x <2}，B ={x|x >−1}，则A ∩(∁R B)=( )A. {x|−1<x <2}B. {x|x ≤−1}C. {x|−1≤x <2}D. {x|≥2}2. (2+5i)(1−2i)=( )A. −12+iB. −12−iC. 12−iD. 12+i3. 国家统计局后发布的2020年煤炭进口月度走势图如图所示，现有如下说法：①2020年7月至11月期间，我国月煤炭的进口量逐渐减少； ②2020年12月煤炭进口量比11月份增加2732万吨； ③2020年3月至10月煤炭进口量的月平均值超过2000万吨． 则上述说法正确的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 34. 若a >b >2，则下列不等式恒成立的是( )A. 1a−2>1bB. lg(a−2b−2)<0 C. √a −13>√b −13D. 12a >12b5. 已知数列{a n }是等差数列，若a 4+2a 17<a 1<3a 13，则使得a n >0成立的最小正整数n 的值为( )A. 17B. 18C. 19D. 206. 为了庆祝学校的元旦晚会，甲、乙、丙、丁计划报名参加晚会的相声、小品、歌唱、舞蹈这4个节目，每个同学限报1个节目，在乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同的条件下，每个同学报的节目都不相同的概率为( )A. 332B. 227C. 23D. 297. 已知直线l ：x −my +3=0将圆C ：x 2+y 2−6x −4y +2=0的面积平分，过点M(−5,m)作圆C 的切线，切点为N ，则|MN|=( )A. 3√3B. 3√6C. 3√5D. 6√28. 已知函数f(x)=x 2(1+cosx)+2x 2+3x+1x，则下列说法正确的是( )A. 函数f(x)的图象关于原点对称B. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增C. 函数y =f(x)−5在(0,+∞)上无零点D. 函数f(x)的图象关于直线x =3对称9. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，记双曲线C 过一、三象限的渐近线的倾斜角为α，若点M 在过原点且倾斜角为α2的直线上，且|MF 1|−|MF 2|=2α，∠OMF 2=90°，则双曲线C 的离心率为( )A. 2√5−2B. √5−1C. 2√5−1D. √510. 已知四棱锥S −ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，SA =AB =6，平面α过SB ，CD ，SD 的中点，则平面α截四棱锥S −ABCD 所得的截面面积为( )A.454√6B. 27√62C. 9√6D. 12√611. 已知函数f(x)=2(2|cosx|+cosx)⋅sinx ，则( )A. 当x ∈[0,3π2]时，f(x)∈[0,3] B. 函数f(x)的最小正周期为π C. 函数f(x)在[π,5π4]上单调递减D. 函数f(x)的对称中心为(2kπ,0)(k ∈Z)12. 若关于x 的不等式2e x+2>x 2+2(1−a)x +a 2在(0,+∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. [−2e,2e]B. [−√2e,√2e]C. [−e,e]D. [−√2e,√2e]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知平面向量m⃗⃗⃗ =(3,−2)，n ⃗ =(2,λ)，若m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则|m ⃗⃗⃗ +n ⃗ |= ______ ． 14. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，若抛物线C 与圆O ：x 2+y 2=12交于P ，Q 两点，且|PQ|=4√2，则△PFO 的面积为(O 为坐标原点) ______ ．15. 已知三棱锥S −ABC 外接球的球心O 在线段SA 上，若△ABC 与△SBC 均为面积是√3的等边三角形，则三棱锥S −ABC 的体积为______ ．16. 已知首项为1的数列{a n }的前n 项和为S n ，若λS n+1+S n S n+2=λS n +S n+12，且数列a 1，a 2，…，a k (k ≥3)成各项均不相等的等差数列，则k 的最大值为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC中，tan(5π4−A)=13．(1)求sin2A+cos2A的值；(2)若△ABC的面积为4，AB=4，求BC的值．18.已知某品牌的蛋糕店在A地区有两家连锁分店，每个分店配有2名员工，且每个分店中至少有1人上班时，该分店可以正常营业；若某一家分店的员工全部休息，另一家分店的员工全部上班，则必须对员工进行调岗，将1人调至员工全部休息的分店，使得两店都正常营业；若人手不够，则挂出“今日休息”的牌样．(1)已知元旦这天，每名员工正常上班的概率均为13，求元旦这天不发生调岗的概率；(2)已知元旦这天，每名员工正常上班的概率均为12，记挂出“今日休息”的牌样的店数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．19.如图所示，已知三棱柱ABC−A1B1C1，AC⊥CB，C1C⊥CB，∠ACC1=120°，四边形ACC1A1为菱形，∠CAB=45°，M，N分别是AA1，B1C1的中点．(1)求证：A1N//平面BC1M；(2)求直线BN与平面BC1M所成角的正弦值．20. 已知函数f(x)=(1+x)lnx +1x ．(1)求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (2)求证：f(x)≥x ．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，M ，为椭圆C 上两个动点，A(0,3)，当M ，N 分别为椭圆C 的左，右顶点时，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5． (1)求椭圆C 的方程；(2)若线段MN 的垂直平分线l 的方程为x −y +λ=0，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <283，求实数λ的取值范围．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−ty =1−√3t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =2+2sinθ(θ为参数).以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，其中点M 的极坐标为(1,π2)．(1)求直线l 以及曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|1|MA|−1|MB||的值．23. 已知函数f(x)=|2x −3|+|x +1|．(1)作出函数f(x)的图象；(2)若关于x 的不等式f(x)+x 2≥3x +a 恒成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】利用集合补集与交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合补集与交集的求解，解题的关键是掌握补集与交集的定义，属于基础题．【解答】解：因为B={x|x>−1}，所以∁R B={x|x≤−1}，又集合A={x|x<2}，则A∩(∁R B)={x|x≤−1}．故选：B．2.【答案】D【解析】解：(2+5i)(1−2i)=2−4i+5i+10=12+i，故选：D．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：根据柱状图得知：2020年7月至11月期间，我国月煤炭的进口量逐渐减少；故①正确；2020年12月煤炭进口量比11月份增加3908−1176=2732万吨，故②正确；≈2316.25>2000，超过2000万吨，故③正2020年3月至10月煤炭进口量的月平均值为2788+3005+...+13738确．故选：D．直接利用柱状图，平均值的求法的应用判断①②③的结论．本题考查的知识要点：柱状图，平均值的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：当a =5，b =3时，1a−2=1b ，故A 选项错误， 当a =102，b =12，可得lg(a−2b−2)=lg10=1>0，故B 选项错误， 由指数函数的单调性可知，12a <12b ，故选项D 错误． 故选：C ．根据已知条件，结合特殊值赋值法，以及指数函数的单调性，即可求解．本题考查了不等式的基本性质、以及指数函数的单调性，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，由{a 4+2a 17<a 1a 1<3a 13得{2a 1+35d <0a 1+18d >0，即{a 18+a 19<0a 19>0，则a 18<0<a 19，所以使得a n >0成立的最小正整数n 的值为19． 故选：C ．设等差数列{a n }的公差为d ，根据{a 4+2a 17<a 1a 1<3a 13易分析出数列{a n }是由负到正的递增数列，所以可确定使得a n >0成立的最小正整数n 的值．本题主要考查等差数列的通项与性质，考查分析推理和运算求解能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：根据题意，甲、乙、丙、丁计划报名参加晚会的相声、小品、歌唱、舞蹈这4个节目，若乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同，有C 41×3×3×3种情况，其中每个同学报的节目都不相同的情况有A 44种，则在乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同的条件下，每个同学报的节目都不相同的概率P =A 44C 41×3×3×3=29； 故选：D ．根据题意，由分步计数原理计算“乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同”和“每个同学报的节目都不相同”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．本题考查古典古典概型的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由圆C：x2+y2−6x−4y+2=0，得(x−3)2+(y−2)2=11，则圆心坐标为(3,2)，代入直线l：x−my+3=0，得3−2m+3=0，即m=3，故M(−5,3)，则|MN|=√|MC|2−r2=√65−11=3√6．故选：B．化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标，代入直线方程可得m值，得到M的坐标，再由两点间的距离公式及勾股定理求解．本题考查直线与圆的位置关系，考查两点间距离公式的应用，是基础题．8.【答案】C【解析】解：函数f(x)=x2(1+cosx)+2x2+3x+1x =x(1+cosx)+2x+1x+3，易知：y=x(1+cosx)和函数y=2x+1x为奇函数，且函数的图象关于原点对称，故函数f(x)=x2(1+cosx)+2x2+3x+1x，关于(0,3)对称，故AD错误；由于当x>0时，y=x(1+cosx)≥0，且3+2x+1x≥2√2+3，即f(x)>5，故函数y=f(x)−5在(0,+∞)上无零点，故C正确．由于函数满足f(0.1)>13>f(π2)，故B错误．故选：C．直接利用函数的图象和性质，函数的单调性和对称性的关系判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：函数的图象和性质，函数的单调性和对称性的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由题意设P在第一象限，延长F2M交直线y=tanα⋅x(0<α<π2)于点P，由∠OMF2=90°可得M为PF2是中点，|OP|=|OF2|=c，设P(x,ba x)，则x2+b2a2x2=c2，可得x2=a2c2a2+b2=a2，所以x=a，所以可得P(a,b)则M(a+c2,b2)代入双曲线的方程可得：x2a2−y2b2=1中，可得：(a+c2)2a2−(b2)2b2=1，解得：e=ca=√5−1，故选：B．由题意可得|MF1|−|MF2|=2α可得M在双曲线上，延长F2M交渐近线于P点，可得M为PF2的中点，可得M的坐标，代入双曲线的方程可得a，c之间的关系，求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质，及角平分线的性质，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：分别取SB，BC，CD，SD的中点E，F，G，H，线段SA上靠近S的四等分点I，则平面EFGHI 即为平面α，而EF=HG=3√3，FG=3√2，IE=IH=3√52，故所求截面面积为3√2×3√3+12×3√2×3√32=454√6，故选：A．作图取取SB，BC，CD，SD的中点E，F，G，H，线段SA上靠近S的四等分点I，可得平面EFGHI即为平面α，数形结合即可求得截面面积本题考查平面的基本性质及截面面积求法，数形结合思想的应用，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：当cosx≥0，即x∈[−π2+2kπ,π2+2kπ]时，f(x)=2(2cosx+cosx)⋅sinx=6sinxcosx=3sin2x．当cosx<0，即x∈(π2+2kπ,3π2+2kπ)时，f(x)=2(−2cosx+cosx)⋅sinx=−2sinxcosx=−sin2x．即f(x)={3sinx,−π2+2kπ≤x≤π2+2kπ−sin2x,π2+2kπ<x<3π2+2kπ，k∈Z．作出函数f(x)的大致图像如下图所示：当x∈[0,3π2]时，f(x)∈[−1,3]，故A错；函数f(x)的最小正周期为2π，故B错；函数f(x)的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)，故D错．故选：C．遇见有绝对值的函数，首先考虑去绝对值．再利用正弦型函数的性质判断周期、单调性及对称中心．该题考查三角函数二倍角公式的利用，及正弦型函数的周期性、单调性、对称性等性质，属于中等题型．12.【答案】D【解析】解：不等式不等式2e x+2>x2+2(1−a)x+a2化为：e x+2−12(x−a)2−x>0．令g(x)=e x+2−12(x−a)2−x，g′(x)=e x+2−x−1+a，可得函数g′(x)在(0,+∞)上单调递增，①a≥1−e2时，g′(x)≥0，函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，∴g(0)=e2−12a2≥0，解得−√2e≤a≤√2e.②a<1−e2时，g′(0)<0，∃x0∈(0,+∞)，使得g′(x0)=0，且函数g(x)在(0,x0)上单调递减，g(0)=e2−12a2<e2−12(1−e2)2<0，∴∃x∈(0,x0)，使得g(x)<0，不符合题意，舍去．综上可得：−√2e≤a≤√2e.故选：D．不等式不等式2e x+2>x2+2(1−a)x+a2化为：e x+2−12(x−a)2−x>0.令g(x)=e x+2−12(x−a)2−x，g′(x)=e x+2−x−1+a，可得函数g′(x)在(0,+∞)上单调递增，对a分类讨论，利用函数的单调性即可得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】【解析】解：∵m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，m⃗⃗⃗ =(3,−2)，n⃗=(2,λ)，∴m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=0，即6−2λ=0，解得λ=3，∴m⃗⃗⃗ +n⃗=(5,1)，∴|m⃗⃗⃗ +n⃗|=√52+12=√26．故答案为：√26．根据已知条件，利用向量垂直的性质求出λ，再求出|m⃗⃗⃗ +n⃗|即可．本题考查了向量垂直的性质，以及向量的模，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.【答案】√2【解析】解：不妨设P在第一象限，则y P=2√2，代入x2+y2=12中，解得：x P=2，故P(2,2√2)，×2√2×1=√2．代入抛物线方程可得p=2，所以△PFO的面积为：12故答案为：√2．求出P的坐标，代入抛物线方程，求解p，即可得到抛物线方程．本题考查抛物线的简单性质的应用，圆的方程的应用，是中档题．15.【答案】【解析】解：如图，∵三棱锥S−ABC外接球的球心O在线段SA上，∴OS=OA=OB=OC，又△ABC与△SBC均为面积是√3的等边三角形，设BC=a，则12a2×√32=√3，得a=2，即AB=BS=AC=SC=BC=2，可得BO⊥SA，CO⊥SA，进一步求得∠AB=∠ACS=90°，得到SA=2√2，设BC中点D，连接AD，SD，求得AD=SD=√3．且BC⊥AD，BC⊥SD，又SD∩AD=D，∴BC⊥平面SDA，在△SDA中，∵SD=AD=√3，SA=2√2，∴S△DSA=12×2√2×√3−2=√2，则V S−ABC=13S△DSA×BC=13×√2×2=2√23．故答案为：2√23．由已知可得AC⊥SC，AB⊥SB，再由已知三角形面积求得等边三角形的边长，进一步得到SA，取BC中点D，连接SD，AD，证明BC⊥平面SDA，求出三角形SDA的面积，代入棱锥体积公式可得三棱锥S−ABC 的体积．本题考查多面体的外接球，考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】4【解析】解：数列a1，a2，…，a k(k≥3)成各项均不相等的等差数列，公差为d，则d≠0，a1=1，S1=a1=1，k=3，则a2=1+d，S2=a1+a2=2+d，a3=1+2d，S3=3+3d，因为λS n+1+S n S n+2=λS n+S n+12，当n=1时，λS2+S2S2=λS1+S22，可得λ(1+d)=d2+d+1①，同理，当k=4，n=2时，有λ(1+2d)=3d2+2d+1②，由①②可得，d=−2，λ=−3，当k=4时，符合题意，当k=5时，不符合题意．故k的最大值为4．故答案为：4．由已知的等式，利用赋值法，n和k进行取值，得到关于λ和d的关系，求出λ和d的值，然后验证即可得到答案．本题考查数列递推公式的应用，解题的关键是利用递推关系求出d 和λ的值，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵tan(5π4−A)=tan(π4−A)=1−tanA 1+tanA =13，∴tanA =12，∴sin 2A +cos2A =sin 2A +cos 2A −sin 2A =cos 2A =cos 2Asin 2A+cos 2A =1tan 2A+1=45． (2)∵tanA =12>0，A ∈(0,π)， ∴sinA =√55，cosA =2√55， 又S =12bcsinA =4，c =AB =4， ∴b =2√5，由余弦定理知，a 2=b 2+c 2−2bccosA =20+16−2×2√5×4×2√55=4，∴a =2，即BC =2．【解析】(1)结合诱导公式和两角差的正切公式，可得tanA =12，再由二倍角公式和“同除余弦可化切”的思想，即可得解；(2)先根据三角函数的定义求得sin A 和cos A 的值，再由面积公式知b =2√5，然后根据余弦定理，即可得解．本题考查解三角形与三角恒等变换的综合应用，熟练掌握余弦定理，二倍角公式和两角差的正切公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)记元旦这天发生调岗为事件M ，则P(M)=C 21×13×13×23×23=881， 故元旦这天不发生调岗的概率=1−P(M)=1−881=7381． (2)根据题意，ξ的所有可能取值为0，1，2．则P(ξ=2)=14×14=116，P(ξ=1)=14×12+12×14=14， ∴P(ξ=0)=1−P(ξ=1)−P(ξ=2)=1−14−116=1116，∴ξ的分布列为：∴E(ξ)=0×1116+1×14+2×116=38．【解析】(1)记元旦这天发生调岗为事件M ，利用互斥事件、相互独立事件概率计算公式可得P(M)，再利用对立事件概率计算公式即可得出元旦这天不发生调岗的概率．(2)根据题意，ξ的所有可能取值为0，1，2.利用互斥事件、相互独立事件概率计算公式即可得出分布列及其数学期望．本题考查了随机变量的分布列及其数学期望、互斥事件、相互独立事件概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：取线段BC 1的中点P ，连接PM ，PN ，因为N 为B 1C 1的中点，所以PN//BB 1，且PN =12BB 1， 又M 为A 1A 的中点，所以A 1M//BB 1，且A 1M =12BB 1，所以PN//A 1M ，且PN =A 1M ，所以四边形A 1NPM 是平行四边形， 所以A 1N//PM ，又PM ⊂平面BC 1M ，A 1N ⊄平面BC 1M ，所以A 1N//平面BC 1M ； (2)解：作A 1O ⊥AC 于点O ，因为∠ACC 1=120°，所以∠AA 1O =30°， 所以AO =12A 1A =12AC ，即O 为AC 的中点；因为AC ⊥CB ，C 1C ⊥CB ，AC ∩CC 1=C ，所以BC ⊥平面A 1ACC 1， 所以BC ⊥A 1O ；因为AC ∩BC =C ，所以A 1O ⊥平面ABC ；故以点O 为坐标原点，OA ，OA 1所在直线分别为x 轴和z 轴，以过点O 且平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图所示，令AA 1=AC =BC =2a ，则B(−a,2a ，0)，C 1(−2a,0,√3a)，M(12a,0,√32a)，N(−2a,a,√3a)，所以BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,−a,√3a)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32a,−2a,√32a)，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(52a,0,−√32a)，设平面BC 1M 一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{(x,y,z)⋅(32a,−2a,√32a)=0(x,y,z)⋅(52a,0,−√32a)=0，得{32x −2y +√32z =052x −√32z =0，取x =√3，y =2√3，z =5，所以m ⃗⃗⃗ =(√3,2√3,5)， 故直线BN 与平面BC 1M 所成角的正弦值sinθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√610．【解析】(1)取线段BC 1的中点P ，连接PM ，PN ，可得四边形A 1NPM 是平行四边形，由A 1N//PM 可得答案；(2)作A 1O ⊥AC 于点O ，得BC ⊥平面A 1ACC 1，A 1O ⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，OA ，OA 1所在直线分别为x 轴和z 轴，以过点O 且平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BC 1M 一个法向量m⃗⃗⃗ 再求与BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角可得答案． 本题考查了线面平行的证明、线面角的向量求法，解题的关键点是建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解，考查了学生的空间想象能力和计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)依题意，f′(x)=lnx +1x +1−1x 2，故f′(1)=1，又f(1)=1，故所求切线方程为y −1=x −1，即y =x ． (2)证明：由f(x)≥x ，得(1+x)lnx +1x ⩾x ，即lnx +1−x x⩾0，令g(x)=lnx +1x −1，则g′(x)=1x −1x 2=x−1x 2，当0<x <1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x >1时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 所以g(x)min =g(1)=0，即g(x)⩾0恒成立， 所以f(x)⩾x 恒成立．【解析】(1)根据导数的几何意义有k =f′(1)=1，进而结合点斜式求出切线方程； (2)把要证的不等式等价于lnx +1−x x⩾0，构造函数g(x)=lnx +1x−1，求g(x)的最小值即可求证原不等式．本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数最值，考查不等式的证明，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意可得M(−a,0)，N(a,0)，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,−3)⋅(a,−3)=−a 2+9=5，解得a 2=4， 所以e =c a=√1−b 2a2=√22，解得b 2=2，所以椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．(2)设直线MN 的方程为y =−x +n ，联立 {y =−x +nx 24+y 22=1，得3x 2−4nx +2(n 2−2)=0，由△=(−4n)2−4×3×2(n 2−2)>0，得n 2<6， 设M(x 1−x 1+n)，N(x 2,−x 2+n)， 则x 1+x 2=4n3，x 1x 2=2(n 2−2)3，设MN 的中点为P(x 0,−x 0+n)，则x 0=x 1+x 22=2n3，−x 0+n =n3， 由于点P 在直线x −y +λ=0上，所以n3=2n 3+λ，得n =−3λ，代入n 2<6，得9λ2<6，所以−√63<λ<√63①，因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,−x 1+n −3)，AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,−x 2+n −3)， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,−x 1+n −3)⋅(x 2,−x 2+n −3)=4(n 2−2)3−4n(n−3)3+(n −3)2=3n 2−6n+193，由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <283，得3n 2−6n +19<28， 解得−1<n <3， 所以−1<−3λ<3， 即−1<λ<13②， 由①②得−√63<λ<13，所以实数λ的取值范围为(−√63,13).【解析】(1)由题意可得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,−3)⋅(a,−3)=5，解得a 2，又e =c a =√1−b 2a 2=√22，解得b 2，即可得出答案．(2)设直线MN 的方程为y =−x +n ，联立椭圆的方程，由△>0，得n 2<6，设M(x 1,−x 1+n)，N(x 2,−x 2+n)，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，设MN 的中点为P(x 0,−x 0+n)，则x 0=x 1+x 22=2n3，−x 0+n =n3，把点P 代入直线x −y +λ=0上，得n =−3λ，代入n 2<6，推出−√63<λ<√63①，由数量积计算AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <283，得3n 2−6n +19<28，解得−1<λ<13②，由①②，即可得出实数λ的取值范围．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)由{x =−ty =1−√3t (t 为参数)，消去参数t 可得y =√3x +1，由{x =2cosθy =2+2sinθ(θ为参数)，可得{x =2cosθy −2=2sinθ，消去参数θ，得x 2+(y −2)2=(2cosθ)2+(2sinθ)2=4，即x 2+y 2−4y =0， ∴直线l 的普通方程为y =√3x +1，曲线C 的普通方程为x 2+y 2−4y =0； (2)由(1,π2)，得M(0,1)，设直线l 的参数方程为{x =12t y =1+√32t(t 为参数)， 设点A 、B 对应的参数分别t 1、t 2，将直线l 的参数方程代入x 2+y 2−4y =0， 得t 2−√3t −3=0，△=3+4×3=15， ∴t 1t 2=−3，t 1+t 2=√3， 由于直线l 过M(0,1)， 故|1|MA|−1|MB||=||MB|−|MA|||MA|⋅|MB|=|t 1+t 2||t 1t 2|=√33．【解析】(1)分别把直线l 与曲线C 的参数方程中的参数消去，可得直线l 与曲线C 的普通方程； (2)写出直线l 参数方程的标准形式，代入曲线C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，由参数t 的几何意义及根与系数的关系求得|1|MA|−1|MB||的值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(1)f(x)=|2x −3|+|x +1|={2−3xx <−14−x,−1≤x ≤323x −2,x >32，作出f(x)的图象如右上图所示；(2)由题意，如图所示，|2x −3|+|x +1|+x 2≥3x +a ， 即|2x −3|+|x +1|≥−x 2+3x +a 恒成立，结合y =f(x)的图象和二次函数y =−x 2+3x +a 的图象可得， 临界状态为y =−x 2+3x +a 过y =f(x)的最低点(32,52)， 将(32,52)代入y =−x 2+3x +a 中，解得a =14， 所以实数a 的取值范围是(−∞,14].【解析】(1)写出f(x)的分段形式，作出f(x)的图象；(2)由题意可得|2x −3|+|x +1|≥−x 2+3x +a 恒成立，结合y =f(x)的图象和二次函数y =−x 2+3x +a 的图象可得，求得二次函数经过点(32,52)时a 的值，结合图象可得所求范围．本题考查含绝对值的图象和函数恒成立问题解法，考查分类讨论思想和数形结合思想、运算能力，属于中档题．。
绝密★启用前百师联盟2021届高三上学期高考一轮复习联考(二)(全国卷I)数学(理)试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.集合U ＝{x||x|≤4且x ∈Z},集合B ＝{x|x ∈U 且62x -∈U},则U B ＝A.{－4,－3,－2,1,2,3}B.{－3,－2,1,2,3}C.{－3,－2,0,1,2,3}D.{－3,1,2,3}2.已知复数z ＝1＋i,z 为z 的共轭复数,则|z ·(z ＋1)|＝3.函数f(x)＝()2log x x 2f x 1x 2≥⎧⎪⎨+<⎪⎩，，,则f(0)＝ A.－1 B.0 C.1 D.24.明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑。
其中有一段著述“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一”。
注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底,相比于上一层,每一层灯的盏数成倍增加”,则该塔正中间一层的灯的盏数为A.3B.12C.24D.48 5.已知α和β表示两个不重合的平面,a 和b 表示两条不重合的直线,则平面α//平面β的一个充分条件是A.a//b,a//α且b//βB.a ⊂α,b ⊂α且a//β,b//βC.a⊥b ,a//α且b⊥βD.a//b,a⊥α且b⊥β6.已知等差数列{a n }的前项和为S n ,若93S S ＝6,则126S S ＝ A.177 B.83 C.143 D.1037.已知实数x,y 满足约束条件x y 10x 2y 202x y 20+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则z ＝y 3x 1--的取值范围为 A.(－∞,－1]∪[2,＋∞) B.[－1,2] C.[0,3] D.(－∞,0]∪[3,＋∞)8.如图,在△ABC 中,AB ＝4,AC ＝22,∠BAC ＝135°,D 为边BC 的中点,且AM MD =,则向量BM 的模为26 B.52226或5226或522 9.将函数f(x)＝2(cosx ＋sinx)·cosx －1的图象向左平移24π个单位后得到函数。
2021届百师联盟高三一轮复习联考（二）全国卷 数学（理）试题一、单选题1．集合{|4U x x =≤且}x Z ∈，集合{|B x x U =∈且62U x ⎫∈⎬-⎭，则UB =（ ）A ．{}4,3,2,1,2,3---B ．{}3,2,1,2,3--C ．{}3,2,0,1,2,3--D ．{}3,1,2,3-【答案】B【分析】列举法写出集合U 和集合B ，利用补集的定义计算即可． 【详解】因为{}4,3,2,1,0,1,2,3,4U =----，{}4,1,0,4B =--， 所以{}U3,2,1,2,3B =--，故选：B.2．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ⋅+=（ ） AB ．2C ．10D【答案】D【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案. 【详解】因为1z i =+， 所以1z i =-，12z i +=+，所以()()()1123z z i i i ⋅+=-⋅+=-== 故选:D.3．函数()()2log 212x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，，，则()0f =（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】C【分析】由2x <时，()()1f x f x =+，可得()()()2012log 21f f f ====．【详解】因为()()2log ,21,2x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，所以()()()2012log 21f f f ====，故选：C.4．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为（ ）A ．3B ．12C ．24D ．48【答案】C【分析】题意说明从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a ，由系数前n 项和公式求得1a ，再由通项公式计算出中间项．【详解】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a ，则有()7171238112a S ⋅-==-，解得13a =，中间层灯盏数34124a a q ==，故选：C.5．已知α和β表示两个不重合的平面，a 和b 表示两条不重合的直线，则平面//α平面β的一个充分条件是（ ）A ．//a b ，//a α且b β//B ．a α⊂，b α⊂且//a β，b β//C ．a b ⊥，//a α且b β⊥D ．//a b ，a α⊥且b β⊥【答案】D【分析】分别考虑各选项中平面α与β相交时，是否符合所给的条件，即可得到答案.【详解】A 、B 、C 选项中平面α和平面β均有可能相交；D 中由//a b ，a α⊥可得b α⊥，又b β⊥，所以//αβ.故选:D.6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则612SS =（ ） A ．177B ．83 C ．143D ．103【答案】D【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果.【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列， 所以()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =.又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，∴31210S S =，从而126103S S =. 故选：D【点睛】思路点睛：（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，（2）()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =， （3）()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，化简解得31210S S =.7．已知实数x 、y 满足约束条件10220220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则31z y x =--的取值范围为（ ）A ．(][),12,-∞-⋃+∞B ．[]1,2-C ．[]0,3D ．(][),03,-∞⋃+∞【答案】A【分析】作出不等式组所表示的可行域，由目标函数31z y x =--表示可行域内的点()(),1P x y x ≠与点()1,3M 连线的斜率，数形结合可求得z 的取值范围. 【详解】画出如图所示的可行域，目标函数31z y x =--表示可行域内的点()(,1)P x y x ≠与点()1,3M 连线的斜率. 联立10220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，可得点()0,1A ，同理可得点()2,2C .如图易知31210MA k -==-，32112MC k -==--，所以1z ≤-或2z ≥. 故选：A.【点睛】方法点睛：根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+ 转化为直线的斜截式：a z y xb b =-+ ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+-，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合两点间的距离公式求解；（3）斜率型：形如y bz x a-=-，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解． 8．如图，在ABC 中，4AB =，22AC =，135BAC ∠=︒，D 为边BC 的中点，且AM MD =，则向量BM 的模为（ ）A 26B ．522C 26或52 D 26或522【答案】B【分析】由条件可得8AB AC ⋅=-，然后用AB 、AC 表示出BM ，然后可算出答案.【详解】因为4AB =，AC =135BAC ∠=︒，所以8AB AC ⋅=-. 因为12BM AM AB AD AB =-=-=()131444AB AC AB AB AC +-=-+，所以BM =231AB AC ⎫+⎪2231AB AB AC AC =-⋅+=故选：B9．将函数()()2cos sin cos 1f x x x x =+⋅-的图象向左平移24π个单位后得到函数()g x 的图象，且当1119,2412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()()()2220g x a g x a -++=有三个不等实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,0-B ．(1⎤-⎦C ．⎡-⎣D ．1⎦-⎡⎤⎣ 【答案】B【分析】将()f x 变形，根据平移变换求出()g x ，将方程()()()2220g x a g x a -++=有三个不等实根，化为()g x a =有三个不等实根，利用正弦函数的图象可得解.【详解】因为()()22cos sin cos 12cos sin 21cos 2sin 224f x x x x x x x x x π⎛⎫=+⋅-=+-=+=+ ⎪⎝⎭，所以()2244g x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 方程()()()2220gx a g x a -++=等价于()()()() 20g x a g x -⋅-=，所以()g x a =或()2g x =.因为()23x g x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()2g x =无解，所以()g x a =有三个不等实根.设23t x π=+，则函数化为y t =，572,342t x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则需满足直线y a =与函数57,42y t t ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象有三个交点，结合图形可得(2,1a ⎤∈--⎦， 故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解10．已知函数()ln f x x =，若函数()12g x kx =-与函数()y f x =的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是（ ）A ．120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭） B ．1122,e e --⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1122,00,e e --⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1122,00,e e -⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【分析】()g x 的图象是直线，()f x 的图象是()ln f x x =的图象及关于y 轴对称的图象，直线与()f x 的图象要有三个交点，可求出直线与()y f x =的图象相切时的斜率k ，然后结合图象利用分类讨论思想可得结论． 【详解】易知函数()12g x kx =-的图象是过定点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，斜率为k 的直线，设为l ；利用偶函数()f x 的图象关于y 轴对称的性质，作出()f x 的图象如图所示（左右两支），其中1,0A ，结合图形易知函数()g x 与函数()fx 的图象有且仅有三个交点时，直线l 与左支有两个交点()0k <或与右支有两个交点()0k >.当0k >时，直线l 与()fx 图象的右支相切于点B 为临界状态，且0PBk k<<.设()()000,1B x y x >，1()f x x'=，则有00011ln 2PB PB k x x k x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⋅-⎪⎩，解得12012PBx e k e -⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以120k e -<<；当0k <时，由于函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以120e k --<<. 故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查直线与函数图象交点个数问题，解题方法是数形结合思想，即作出函数图象与直线，观察它们交点个数，求出临界点的直线斜率，然后得出结论．11．如图，某市一个圆形公园的中心为喷泉广场，A 为入口，B 为公园内紧贴围墙修建的一个凉亭，C 为公园内紧贴围墙修建的公厕，已知300m AB =，500m BC =，120ABC ∠=︒，计划在公园内D 处紧贴围墙再修建一座凉亭，若要使得四条直线小路AB ，BC ，CD 和DA 的总长度L 最大，则DC 的长度应为（ ） （凉亭和公厕的大小忽略不计）A ．500mB ．700mC ．7003mD ．14003m 3【答案】B【分析】连接AC ，由余弦定理，在ABC 中，求出AC ；在ACD △中，求出AD 和CD 的关系，利用基本不等式求出AD CD +的最值即可． 【详解】连接AC ，则由余弦定理可得222222cos 3005002300AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯150********⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以700AC =.因为四边形ABCD 是该圆的内接四边形，所以18060D B =︒-=︒. 在ACD △中，2222cos AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅，即22490000AD CD =+AD CD -⋅，所以()24900003AD CD AD CD =+-⋅，所以()23AD CD AD CD ⋅=+-249000032AD CD +⎛⎫≤⨯ ⎪⎝⎭，所以1400AD CD +≤， 当且仅当700AD CD ==时等号成立，此时L 取得最大值， 故选：B.【点睛】方法点睛：本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查基本不等式求最值，解三角形问题中可以应用正余弦定理的题型有： 1.已知一边和两角；2.已知两边和其中一边的对角；3.已知两边和它们所夹的角；4.已知三边．12．直线2y x m =+与函数()2ln 3xf x xe x =-+的图象相切于点()00A x y ，，则00ln x x +=（ ）A ．2B ．ln 2C ．2eD ．ln 2-【答案】B【分析】由切线的斜率计算两次可得000022x xe x e x +-=，再对等式变形，两边取对数，即可得答案； 【详解】由已知，00x >且()0'2f x =.因为()2x xf x e xe x'=+-，所以000022x x e x e x +-=，即()()00002110x x x e x ++-=， 所以()000210xx e x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以0020x e x -=，即002x e x =， 两边同时取自然对数得00ln 2ln x x =-， 整理的00ln ln 2x x +=， 故选：B.【点睛】曲线在某点处的切线与过某点的切线是不一样的，要注意区别.由于点()00A x y ，是公切点，所以也就等价于都是在某点处的切线.二、填空题 13．若π1sin()43α+=，则sin 2α=________. 【答案】79-【分析】利用二倍角公式直接计算得到答案.【详解】27sin 2cos 22sin 1249ππααα⎛⎫⎛⎫=-+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.14．已知在平面直角坐标系中，向量()1,2a =-，()1,1b =，且m a b =+，n a b =-，设m 与n 的夹角为θ，则cos θ=_________.【分析】先求出m 和n ，再利用向量的夹角公式直接求解即可 【详解】因为()0,3m a b =+=，()2,1n a b =-=-，所以cos 53m n mnθ⋅===⨯⋅. 15．命题:p 对于任意[]13,x ∈-，2230x mx m -+++≥恒成立；命题:q 函数()xf x e mx =-在R 上单调递增.若命题p q ∨为真命题，命题p q ∧为假命题，则实数m 的取值范围是_______.【答案】0m ≤或154m ≥【分析】令2()23f x x mx m =-+++，利用数形结合可得(1)0f -≥且(3)0f ≥，即可化简命题p ；由()0f x '≥对任意x ∈R 恒成立，利用分离参数法，即可化简命题q ，再由命题p q ∨为真命题，命题p q ∧为假命题，可得p ，q 一真一假，列出不等式可得实数m 的取值范围.【详解】令2()23f x x mx m =-+++，若命题p 为真命题，则(1)0(3)0f f -≥⎧⎨≥⎩，即()22213023330m m m m ⎧-⨯--++≥⎪⎨-⨯+++≥⎪⎩，解得154m ≥； 若命题q 为真命题，则()e 0xf x m '=-≥对于任意x ∈R 恒成立，即x m e ≤恒成立，而()0,xe ∈+∞，所以0m ≤.因为命题p q ∨为真命题，命题p q ∧为假命题，所以p 真q 假或p 假q 真，所以1540m m ⎧≥⎪⎨⎪>⎩或1540m m ⎧<⎪⎨⎪≤⎩，所以0m ≤或154m ≥.故答案为：0m ≤或154m ≥【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立，求参数范围的常用方法： (1) 含参求最值法：参数不分离，直接含参求函数的最值加以解决；(2) 分离参数求最值法：先将参数分离，转化成求函数的最值问题加以解决； (3) 数形结合法: 确定主元，数形结合. 16．已知数列{}n a 中，132a =，且满足11122n n n a a -=+()*2,N n n ≥∈，若对于任意*N n ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是_________. 【答案】2【分析】将已知等式化为11221n n n n a a --=+，根据数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，可求得通项公式，将不等式化为()22n n n λ+≥恒成立，求出()22nn n +的最大值即可得解.【详解】因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a =， 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n n n a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22nn n λ+≥恒成立，所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N得2311*,2n n n N n ⎧≥⎪⎪-≤≤+⎨⎪∈≥⎪⎩2n =， 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2. 故答案为：2【点睛】关键点点睛：构造等差数列求出通项公式是本题的解题关键.三、解答题17．函数()3s 4in f x x m πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中06ω<<，28f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且对于任意x ∈R ，都有()5988f x f f ππ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪⎝ ⎪⎝⎭⎭.（1）求ω和m ；（2）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求()f x 的值域.【答案】（1）2ω=，1m =-；（2）1,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由不等式恒成立得最大值98f π⎛⎫⎪⎝⎭，最小值58f π⎛⎫⎪⎝⎭，由正弦定理的最值可求得ω的表达式，再利用06ω<<可得ω，然后由28f π⎛⎫=⎪⎝⎭求得m ； （2）求出52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，然后由正弦函数性质得值域．【详解】（1）因为()5988f x f f ππ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎪⎝⎭⎭恒成立， 所以98f π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的最大值，58f π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的最小值， 所以192842k πππωπ⋅+=+，1k Z ∈.① 252842k πππωπ⋅+=-+，2k Z ∈.② ①-②得：()1222k k πωππ⋅=+-，所以()1224k k ω=+-因为12k k Z -∈，06ω<<，所以2ω=. 又因为3sin 22884f m πππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即32m +=，所以1m =-. （2）()3sin 214f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 242x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，从而()1,22f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦即函数()f x 的值域是1,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.． 【点睛】易错点睛，本题考查求三角函数的解析式与值域，解题时得出98f π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的最大值，58f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()f x 的最小值时，应用正弦函数的最值求解是基本方法，这里易错占在于误认为9588ππ-是半个周期，从而解法上出现错误（当然这样求解结果不错，大家可以想一想为什么方法有小错误的？）． 18．数列{}n a 的前n 项和()2*4Nn S n n n =-∈，数列{}nb 的前n 项和nT ，满足()*210N nnT bn +-=∈.（1）求n a 及n b ；（2）设数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n A ，求n A 并证明：1n A ≤-. 【答案】（1）25n a n =-，13n n b =；（2）113n nn A -=--，证明见解析. 【分析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求出n a ，由210n n T b +-=可得11210n n T b --+-=，两式相减整理可得113n n b b -=，从而可得数列{}n b 是首项为113b =，公比13q =的等比数列，进而可求出n b ， （2）先利用错位相法求出n A ，再利用放缩法可证得结论 【详解】（1）当1n =时，113a S ==-；当2n ≥时，()()221414125n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-；13a =-符合上式，所以25n a n =-.当1n =时，11210T b +-=即1310b -=，所以113b =； 当2n ≥时，由210n n T b +-=可得11210n n T b --+-=，相减得120n n n b b b -+-=，即113n n b b -=， 所以数列{}n b 是首项为113b =，公比13q =的等比数列，所以13n n b =.（2）()1253n n na b n ⋅=-⋅， 所以()()()231111311253333n n A n =-⋅+-⋅+⋅++-⋅， 则()()()()2311111131272533333n n n A n n +=-⋅+-⋅++-⋅+-⋅， 相减得2312111112(25)33333n n n A n +⎛⎫=-+⨯+++--⋅ ⎪⎝⎭()21111113312251313n n n -+⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=-+⨯--⋅-12125333n n n +-=---122233n n +-=--，所以113n n n A -=--. 因为*n ∈N ，所以103n n -≥，所以1n A ≤-. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法通常有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法 19．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，212A c aB AC c =-⋅. （1）求角B ；（2）若ABCAC边上的高BD =a 和c 的大小. 【答案】（1）3π；（2）2a c ==. 【分析】（1）利用向量数量积的定义以及余弦定理得推论即可得出222c a b ac +-=，再利用余弦定理即可求角B ； （2）由题意可得11sin 22ac B b BD =⋅=3B π=，可以求出4ac =，2b =，再利用余弦定理即可求出228a c +=，即可求出a 和c 的大小.【详解】（1）因为21cos 2AB AC c b A c ac ⋅=⋅⋅=-， 所以2222122b c a c b c ac bc +-⋅⋅=-，即22222b c a c ac +-=-，所以222c a b ac +-=，所以2221cos 22c a b B ac +-==.因为()0,B π∈，所以3B π=.（2）因为ABC 11sin 22ac B b BD =⋅=又因为3B π=，BD =4ac =，2b =.又2222cos b a c ac B =+-，即228a c +=. 联立2248ac a c =⎧⎨+=⎩，解得2a c ==. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用数量积的定义21cos 2AB AC c b A c ac ⋅=⋅⋅=-，再利用余弦定理可得222c a b ac +-=，进而求出角B ，第二问的关键是利用三角形面积公式求出4ac =，2b =，再结合3B π=利用余弦定理可求出228a c +=，解方程组即可.20．某果农种植一种水果，每年施肥和灌溉等需投入4万元.为了提高产量同时改善水果口味以赢得市场，计划在今年投入x 万元用于改良品种.根据其他果农种植经验发现，该水果年产量t （万斤）与用于改良品种的资金投入x （万元）之间的关系大致为：31t mx =-+（0x ≥，m 为常数），若不改良品种，年产量为1万斤.该水果最初售价为每斤4.75元，改良品种后，售价每斤提高4x元.假设产量和价格不受其他因素的影响. （1）设该果农种植该水果所获得的年利润为y （万元），试求y 关于资金投入x （万元）的函数关系式，并求投入2万元改良品种时，年利润为多少？（2）该果农一年内应当投入多少万元用于改良品种，才能使得年利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）()3990441x y x x =--≥+，6.25万元；（2）一年内应投入5万元改良品种，能使年利润最大为7万元.【分析】（1）由已知可得3101m -=+，解得2m =，则销售额为24.75341x w x ⎛⎫⎛⎫=+⨯- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，由此可得年利润()553939940441441x x y x x x x =+---=--≥++，，进而可求出投入2万元改良品种时的年利润（2）对()3990441x y x x =--≥+变形得399191044141x x y x x +⎛⎫=--=-+ ⎪++⎝⎭，然后利用基本不等式可求得最值【详解】（1）根据已知可得当0x =时，1t =， 所以3101m-=+，所以2m =. 改良品种投入x 万元时，销售额为255394.75341441x x w x x ⎛⎫⎛⎫=+⨯-=+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 所以年利润()553939940441441x x y x x x x =+---=--≥++，当果农投入2万元改良品种时，年利润为 03929256.254434y =--==， 即该果农年利润为6.25万元 （2）因为0x ≥，所以11x +≥，所以399191010744141x x y x x +⎛⎫=--=-+≤-= ⎪++⎝⎭， 当且仅当()19041x x x +=≥+即5x =时等号成立， 所以一年内应投入5万元改良品种，能使年利润最大，最大利润为7万元. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 21．函数()2ln a xf x x x=-. （1）若12a =，求()f x 的单调性；（2）当0a >时，若函数()()2g x f x a =-有两个零点，求证：12a >. 【答案】（1）()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）证明见解析.【分析】（1）求导得()2221ln 1ln 1x x x f x x x--+'=-=，设()21ln x x x ϕ=-+，利用导数可得()x ϕ的单调性，并可得()x ϕ的零点，即可求出()f x 的单调性；（2）由函数()g x 有两个零点，所以()()22ln 20h x x a x ax x =-->，即()0h x =有两个不等实根，利用导数求得()h x 的单调性，结合题意可得201x a x =+，求出0x 的范围，利用对勾函数的单调性即可证明.【详解】（1）因为()ln xf x x x=-，（0x >）， 所以()2221ln 1ln 1x x xf x x x--+'=-=. 设()21ln x x x ϕ=-+，则()120x x xϕ'=+>， 所以()x ϕ在()0,∞+单调递增，又因为()10ϕ=，所以当()0,1x ∈时，()0x ϕ<，则()0f x '<，()f x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ>，则()0f x '>，()f x 单调递增. 综上，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. （2）证明：因为函数()()2ln 20a xg x x a x x=-->有两个零点， 所以方程22ln 20x a x ax --=有两个不等实根.设()()22ln 20h x x a x ax x =-->，即()0h x =有两个不等实根，则()()22222220a x ax ah x x a x x x--'=--=>.设()()22220m x x ax a x =-->，则由0a >可知24160a a ∆=+>，而()2222m x x ax a =--的对称轴方程为2ax =，且()020m a =-<，所以存在()00x ∈+∞,使得()20002220m x x ax a =--=，即2001x a x =+，且当()00,x x ∈时，()0m x <，则()0h x '<，所以()h x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0m x >，则()0h x '>，所以()h x 单调递增.因为()0h x =有两个不等实根，所以必有()00h x <，即20002ln 20x a x ax --<.将2001x a x =+，代入整理可得0012ln 0x x --<.设()()12ln 0m x x x x =-->，则易得()m x 在()0,∞+上单调递减， 又()10m =，所以01x >，结合对勾函数1y t t=+在()2,+∞单调递增可知200001112112x a x x x ==++->++， 即12a >成立，命题得证. 【点睛】解题的关键是利用导数判断函数的单调性，当导函数无法直接判断正负时，可构造新函数，并继续求导，即可求出导函数的单调性和极值，进而可得导函数的正负，即原函数的单调性，考查分析理解，化简求值的能力，属中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的方程为：20x --=，直线l上一点(5P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）判断曲线C 的形状并求出曲线C 的直角坐标方程； （2）直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求PA PB ⋅的值. 【答案】（1）C 是一个圆，2220x y x +-=；（2）18.【分析】（1）根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩即可求解.（2）求出直线l 的参数方程，将参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用韦达定理以及参数的几何意义即可求解.【详解】（1）曲线C 是一个圆，由C ：2cos ρθ=得22cos ρρθ=，即222x y x +=，整理得2220x y x +-=.（2）易知直线l：20x -=的斜率为k =30α=︒， 所以直线l的参数方程为512x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.将直线l 的参数方程代入曲线2220x y x +-=中，整理得：2180t ++=，易得30∆=>，设该方程的两根分别为1t 和2t，则12t t +=-12180t t ⋅=>， 所以121218PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅=. 23．函数()213f x x x =-++. （1）解不等式：()6f x ≤；（2）证明：对于任意x ∈R ，都有()4f x ≥成立. 【答案】（1）51,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析. 【分析】（1）去绝对值，分类讨论解不等式即可. （2）讨论x 的取值范围，求出函数的值域即可求解.【详解】（1）()31,32135,3131,1x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-+-≤≤⎨⎪+>⎩，由()6f x ≤可得3316x x <-⎧⎨--≤⎩或3156x x -≤≤⎧⎨-+≤⎩或1316x x >⎧⎨+≤⎩，所以无解或11x -≤≤或513x <≤，即513x -≤≤. 所以不等式()6f x ≤的解集是51,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）证明：当3x <-时，()318f x x =-->； 当31x -≤≤时，()[]54,8f x x =-+∈； 当1x >时，()314f x x =+>.综上，()[)4,f x ∈+∞，即()4f x ≥恒成立.。
百师联盟2021届高三一轮复习联考(二)全国卷I理科数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合U ＝{x||x|≤4且x ∈Z}，集合B ＝{x|x ∈U 且62x-∈U}，则UB ＝A.{－4，－3，－2，1，2，3}B.{－3，－2，1，2，3}C.{－3，－2，0，1，2，3}D.{－3，1，2，3} 2.已知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则|z ·(z ＋1)|＝B.2C.103.函数f(x)＝()2log x x 2f x 1x 2≥⎧⎪⎨+<⎪⎩，，，则f(0)＝A.－1B.0C.1D.24.明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑。
其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”。
注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为A.3B.12C.24D.485.已知α和β表示两个不重合的平面，a 和b 表示两条不重合的直线，则平面α//平面β的一个充分条件是A.a//b ，a//α且b//βB.a ⊂α，b ⊂α且a//β，b//βC.a ⊥b ，a//α且b ⊥βD.a//b ，a ⊥α且b ⊥β 6.已知等差数列{a n }的前项和为S n ，若93S S ＝6，则126SS ＝ A.177 B.83 C.143 D.1037.已知实数x ，y 满足约束条件x y 10x 2y 202x y 20+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z ＝y 3x 1--的取值范围为A.(－∞，－1]∪[2，＋∞)B.[－1，2]C.[0，3]D.(－∞，0]∪[3，＋∞) 8.如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝22，∠BAC ＝135°，D 为边BC 的中点，且AM MD =，则向量BM 的模为26 52 26或5226529.将函数f(x)＝2(cosx ＋sinx)·cosx －1的图象向左平移24π个单位后得到函数g(x)的图象，且当x ∈[1124π，1912π]时，关于x 的方程g 2(x)－(a ＋2)g(x)＋2a ＝0有三个不等实根，则实数a 的取值范围为A.[－1，0]B.(－2，－1]C.[－1，2]D.[－2，－1] 10.已知函数f(x)＝lnx ，若函数g(x)＝kx －12与函数y ＝f(|x|)的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是 A.(0，12e-) B.(－12e-，12e-) C.(－12e-，0)∪(0，12e-) D.(－12e-，0)∪(0，12e )11.如图，某市一个圆形公园的中心为喷泉广场，A 为入口，B 为公园内紧贴围墙修建的一个凉亭，C 为公园内紧贴围墙修建的公厕，已知AB ＝300m ，BC ＝500m ，∠ABC ＝120°，计划在公园内D 处紧贴围墙再修建一座凉亭，若要使得四条直线小路AB ，BC ，CD 和DA 的总长度L 最大，则DC 的长度应为(凉亭和公厕的大小忽略不计)A.500mB.700m 3m D.140033m 12.直线y ＝2x ＋m 与函数f(x)＝xe x －2lnx ＋3的图象相切于点A(x 0，y 0)，则x 0＋lnx 0＝ A.2 B.ln2 C.e 2 D.－ln2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
