浙江省宁波市镇海中学2019届高三下学期开学考试数学试题(无答案)

绝密★启用前2019届浙江省宁波市镇海中学高三下学期高考适应性考试数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N |y ＝x ﹣1，x ∈A }，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2，3} B ．{﹣1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{x ﹣1≤x ≤2}答案：A解出集合A 和B 即可求得两个集合的并集. 解析：∵集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥=+{x ∈Z |﹣2＜x ≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B ＝{y ∈N |y ＝x ﹣1，x ∈A }＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A ∪B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}． 故选：A ． 点评：此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素. 2．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C()()21f x ax x ax x =-=-，令20,ax x -=解得1210,x x a==当0a ≤，()f x 的图像如下图当0a >，()f x 的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法. 3．若2m＞2n＞1，则（ ） A ．11m n＞ B ．πm ﹣n＞1C ．ln （m ﹣n ）＞0D ．1122log m log n ＞答案：B根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析. 解析：若2m ＞2n ＞1＝20，∴m ＞n ＞0，∴πm ﹣n ＞π0＝1，故B 正确； 而当m 12=，n 14=时，检验可得，A 、C 、D 都不正确， 故选：B ． 点评：此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.4．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则 （ ）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l答案：D解析：试题分析：由m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以//l α，又n ⊥平面β，,l n l β⊥⊄，所以l β//，由直线,m n 为异面直线，且m ⊥平面,n α⊥平面β，则α与β相交，否则，若//αβ则推出//m n ，与,m n 异面矛盾，所以,αβ相交，且交线平行于l ，故选D ．【考点】平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．5．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C 是符合要求的.【考点】三视图6．已知x，y满足不等式224xyx y tx y≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范围（）A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7] 答案：B作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.解析：画出不等式组24xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+=⎩所表示的可行域如图△AOB当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在224x y tx y+=⎧⎨+=⎩的交点（82433t t--，）处取得最大值，此时Z＝t+16由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选：B．点评：此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.7．已知,a b 是平面内互不相等的两个非零向量,且1,a a b =-与b 的夹角为150,则b 的取值范围是（ ）A ．B ．[1,3]C ．D ．[3,2]答案：C试题分析：如下图所示，,,AB a AD b ==则AC DB a b ==-，因为a b -与b 的夹角为150，即150DAB ∠=︒，所以30ADB ∠=︒，设DBA θ∠=，则0150θ<<︒，在三角形ABD 中，由正弦定理得sin 30sin b a θ=︒，所以sin 2sin sin 30a b θθ=⨯=︒，所以02b <≤，故选C ．【考点】1．向量加减法的几何意义；2．正弦定理；3．正弦函数性质．8．设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于22a a b + （ ）A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(2,0)(0,2)-D ．(,2)(2,)-∞+∞答案：A 解析：由题意,根据双曲线的对称性知D 在x 轴上，设,0)Dx （，则由 BD AB ⊥得：，因为D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，所以，即01b a<<，所以双曲线渐近线斜率1,0)(0,1)bk a =±∈-⋃（，故选A ．9．已知符号函数sgnx 100010x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩，＞，，＜f （x ）是定义在R 上的减函数，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）（a ＞1），则（ ）A ．sgn [g （x ）]＝sgn xB ．sgn [g （x ）]＝﹣sgnxC ．sgn [g （x ）]＝sgn [f （x ）]D ．sgn [g （x ）]＝﹣sgn [f （x ）]答案：A根据符号函数的解析式，结合f （x ）的单调性分析即可得解. 解析：根据题意，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ），而f （x ）是R 上的减函数，当x ＞0时，x ＜ax ，则有f （x ）＞f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＞0，此时sgn [g （ x ）]＝1，当x ＝0时，x ＝ax ，则有f （x ）＝f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＝0，此时sgn [g （ x ）]＝0，当x ＜0时，x ＞ax ，则有f （x ）＜f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＜0，此时sgn [g （ x ）]＝﹣1，综合有：sgn [g （ x ）]＝sgn （x ）； 故选：A ． 点评：此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.10．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．（0，1）答案：D原问题转化为221x x a a -=有四个不同的实根，换元处理令t =，对g （t）21lnt t t ⎫=--⎪⎭进行零点个数讨论.解析：由题意，a ＞0，令t =， 则f （x ）＝a ⇔2x x x ln a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⇔221x x a a -=⇔221t =⇔210lnt t t ⎫-=⎪⎭． 记g （t）21lnt t t ⎫=-⎪⎭．当t ＜0时，g （t ）＝2ln （﹣t）t 1t-）单调递减，且g （﹣1）＝0， 又g （1）＝0，∴只需g （t ）＝0在（0，+∞）上有两个不等于1的不等根．则210lnt t t ⎫-=⎪⎭221tlntt =-， 记h （t ）221tlntt =-（t ＞0且t ≠1）， 则h ′（t ）()()()22222222212122141(1)(1)t t lnt lnt t t lnt t t t ⎛⎫-+- ⎪+--+⎝⎭==--．令φ（t ）2211t lnt t -=-+，则φ′（t ）()()2222222221211(1)(1)(1)t t t t t t t t t +---=-=-++＜0．∵φ（1）＝0，∴φ（t ）2211t lnt t -=-+在（0，1）大于0，在（1，+∞）上小于0．∴h ′（t ）在（0，1）上大于0，在（1，+∞）上小于0， 则h （t ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减． 由211222112t t tlnt lnt limlim t →→+==-1，即a ＜1．∴实数a 的取值范围是（0，1）． 故选：D ． 点评：此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.二、填空题 11．已知复数z 1a ii+=-是纯虚数，则实数a ＝_____，|z |＝_____． 答案：1 1根据复数运算法则计算复数z 1122a a i -+=+，根据复数的概念和模长公式计算得解. 解析： 复数z ()()()()()()11111111222a i i a a i a i a a i i i i ++-+++-+====+--+， ∵复数z 是纯虚数，∴102102a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得a ＝1，∴z ＝i ，∴|z |＝1， 故答案为：1，1． 点评：此题考查复数的概念和模长计算，根据复数是纯虚数建立方程求解，计算模长，关键在于熟练掌握复数的运算法则.12．已知在△ABC 中，AB =（2sin 32°，2cos 32°），BC =（cos 77°，﹣cos 13°），则AB ⋅BC =_____，△ABC 的面积为_____．答案：2①根据向量数量积的坐标表示结合两角差的正弦公式的逆用即可得解；②结合①求出22BA BC cos ABC AB BC⋅∠==，根据面积公式即可得解. 解析：①2327723213AB BC sin cos cos cos ⋅=︒⋅︒-︒⋅︒=2（sin 32°•cos 77°﹣cos 32°•sin 77°）()23277245sin sin =︒-︒=-︒=②21AB BC ==，，22BA BC cos ABC AB BC⋅∠==，∴2sin ABC ∠=，∴112122ABCSAB BC sin ABC =⋅∠=⨯⨯=．故答案为： 点评：此题考查平面向量与三角函数解三角形综合应用，涉及平面向量数量积的坐标表示，三角恒等变换，根据三角形面积公式求解三角形面积，综合性强.13．已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________． 答案：16 4只需令x ＝0，易得a 5，再由(x ＋1)3(x ＋2)2＝(x ＋1)5＋2(x ＋1)4＋(x ＋1)3，可得a 4＝45C ＋234C ＋23C . 解析：令x ＝0，得a 5＝(0＋1)3(0＋2)2＝4，而(x ＋1)3(x ＋2)2＝(x ＋1)3[(x ＋1)2＋2(x ＋1)＋1]＝(x ＋1)5＋2(x ＋1)4＋(x ＋1)3； 则a 4＝45C ＋234C ＋23C ＝5＋8＋3＝16. 故答案为：16,4. 点评：本题主要考查了多项式展开中的特定项的求解，可以用赋值法也可以用二项展开的通项公式求解，属于中档题.14．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则D （ξ1）＝_____，E （ξ1）﹣E （ξ2）＝_____． 答案：2 0.2分别求出随机变量ξ1和ξ2的分布列，根据期望和方差公式计算得解. 解析：设a ，b ∈{1，2，3，4，5}，则p （ξ1＝a ）1=，其ξ1分布列为：E （ξ1）15=⨯（1+2+3+4+5）＝3． D （ξ1）15=⨯[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2．ξ2＝1.4|a ﹣b |的可能取值分别为：1.4，2.8，4.2，5.6， P （ξ2＝1.4）25425==，P （ξ2＝2.8）253310==，P （ξ2＝4.2）252210==，P （ξ2＝5.6）251110==，可得分布列．E （ξ2）＝1.425⨯+2.8310⨯+4.2210⨯+5.6110⨯=2.8．∴E （ξ1）﹣E （ξ2）＝0.2． 故答案为：2，0.2． 点评：此题考查随机变量及其分布，关键在于准确求出随机变量取值的概率，根据公式准确计算期望和方差.15．已知二面角α﹣l ﹣β为60°，在其内部取点A ，在半平面α，β内分别取点B ，C ．若点A 到棱l 的距离为1，则△ABC 的周长的最小值为_____． 答案：3作A 关于平面α和β的对称点M ，N ，交α和β与D ，E ，连接MN ，AM ，AN ，DE ，根据对称性三角形ADC 的周长为AB +AC +BC ＝MB +BC +CN ，当四点共线时长度最短，结合对称性和余弦定理求解. 解析：作A 关于平面α和β的对称点M ，N ，交α和β与D ，E ， 连接MN ，AM ，AN ，DE ，根据对称性三角形ABC 的周长为AB +AC +BC ＝MB +BC +CN ，当M ，B ，C ，N 共线时，周长最小为MN 设平面ADE 交l 于，O ，连接OD ，OE ， 显然OD ⊥l ，OE ⊥l ，∠DOE ＝60°，∠MOA+∠AON ＝240°,OA ＝1， ∠MON ＝120°，且OM ＝ON ＝OA ＝1，根据余弦定理， 故MN 2＝1+1﹣2×1×1×cos 120°＝3， 故MN 3=． 故答案为：3．点评：此题考查求空间三角形边长的最值，关键在于根据几何性质找出对称关系，结合解三角形知识求解. 16．已知x ，y ＞0，且2811x y+=，则x +y 的最小值为_____． 答案：6处理变形x +y ＝x （281x y +）+y 8x y x y=++结合均值不等式求解最值. 解析：x ，y ＞0，且2811x y+=，则x +y ＝x （281x y +）+y 8x y x y=++≥=6， 当且仅当8xy x y==时取等号，此时x ＝4，y ＝2，取得最小值6． 故答案为：6 点评：此题考查利用均值不等式求解最值，关键在于熟练掌握均值不等式的适用条件，注意考虑等号成立的条件.17．在正奇数非减数列{}1,3,3,3,5,5,5,5,5,⋅⋅⋅中，每个正奇数k 出现k 次.已知存在整数b 、c 、d ，对所有的整数n 满足n a b d =+，其中[]x 表示不超过x 的最大整数.则b c d ++等于______. 答案：2 解析：将已知数列分组为（1）()(),3,3,3,5,5,5,5,5,⋅⋅⋅，() 21,21,,21k k k --⋅⋅⋅-， 共21k -个组.设n a 在第k 组，21n a k =-，则有135231135211k n k +++⋅⋅⋅+-+≤<+++⋅⋅⋅+-+， 即()22111k n k -+≤<+.注意到0k >1k <≤.所以，11k ⎤==+⎦.因此，21n a =+.故()2112b c d ++=+-+=.三、解答题18．已知△ABC 三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且3sin 2A +3sin 2B ＝4sinAsinB +3sin 2C ． （1）求cosC 的值；（2）若a ＝3，c =ABC 的面积．答案：（1）23；（2． （1）利用正弦定理对已知代数式化简，根据余弦定理求解余弦值； （2）根据余弦定理求出b ＝1或b ＝3，结合面积公式求解. 解析：（1）已知等式3sin 2A +3sin 2B ＝4sinAsinB +3sin 2C ，利用正弦定理化简得：3a 2+3b 2﹣3c 2＝4ab ，即a 2+b 2﹣c 243=ab ， ∴cosC 222223a b c ab +-==；（2）把a ＝3，c =3a 2+3b 2﹣3c 2＝4ab 得：b ＝1或b ＝3，∵cosC 23=，C 为三角形内角，∴sinC ==，∴S △ABC 12=absinC 12=⨯3×b =b ，则△ABC ． 点评：此题考查利用正余弦定理求解三角形，关键在于熟练掌握正弦定理进行边角互化，利用余弦定理求解边长，根据面积公式求解面积. 19．如图，在AOB 中，已知2AOB π∠=，6∠=BAO π，4AB =，D 为线段AB 的中点，AOC △是由AOB 绕直线AO 旋转而成，记二面角B AO C --的大小为θ.（1）当平面COD ⊥平面AOB 时，求θ的值； （2）当23πθ=时，求二面角--B OD C 的余弦值. 答案：(1) 2πθ=;(2)55-. (1)平面COD ⊥平面AOB ,建立坐标系，根据法向量互相垂直求得;(2)求两个平面的法向量的夹角. 解析：(1) 如图，以O 为原点，在平面OBC 内垂直于OB 的直线为x 轴,,OB OA 所在的直线分别为y 轴,z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,23),(0,2,0),3),(2sin ,2cos ,0)A B D C θθ，设1(,,)n x y z =为平面COD 的一个法向量,由1100n OD n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得sin cos 030x y y z θθ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩,取sin z θ=,则1(3cos ,3sin ,sin )n θθθ=-因为平面AOB 的一个法向量为2(1,0,0)n =由平面COD ⊥平面AOB ，得120n n ⋅=所30θ=即2πθ=.(2) 设二面角--B OD C 的大小为α，当2,3πθ=平面COD的一个法向量为12223(3cos,,sin )=(-,333222n πππ=-1212cos 53nn n n α⋅===-+‖, 综上,二面角--B OD C 的余弦值为5-. 点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角, 平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,难度一般.20．已知数列{a n }的各项均为正，S n 为数列{a n }的前n 项和，a n 2+2a n ＝4S n +3． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n 3nna =，求数列{b n }的前n 项和． 答案：（1）a n ＝2n +1；（2）223n n +-．（1）根据题意求出首项，再由（a n +12+2a n +1）﹣（a n 2+2a n ）＝4a n +1，求得该数列为等差数列即可求得通项公式；（2）利用错位相减法进行数列求和. 解析：（1）∵a n 2+2a n ＝4S n +3，∴a 12+2a 1＝4S 1+3，即211230a a --=，解得：a 1＝3或a 1＝﹣1（舍）， 又∵a n +12+2a n +1＝4S n +1+3，∴（a n +12+2a n +1）﹣（a n 2+2a n ）＝4a n +1， 整理得：（a n +1﹣a n ）（a n +1+a n ）＝2（a n +1+a n ）， 又∵数列{a n }的各项均为正， ∴a n +1﹣a n ＝2，∴数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列， ∴数列{a n }的通项公式a n ＝3+2（n ﹣1）＝2n +1； （2）由（1）可知b n 2133n n n a n +==，记数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝3•13+5•213++（2n +1）•13n ， 13T n ＝3•213+5•313•…+（2n ﹣1）•13n +（2n +1）•113n +， 错位相减得：23T n ＝1+2（231133+•13n +）﹣（2n +1）•113n +＝1+221111121331313n n n -+⎛⎫- ⎪+⎝⎭⨯--142433n n ++=-， ∴T n 32=（142433n n ++-）＝223n n +-．点评：此题考查求等差数列的基本量，根据递推关系判定等差数列，根据错位相减进行数列求和，关键在于熟记方法准确计算.21．已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0），焦点F 到准线的距离为3，抛物线E 上的两个动点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），其中x 1≠x 2且x 1+x 2＝4．线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点 C ．（1）求抛物线E 的方程； （2）求△ABC 面积的最大值． 答案：（1）y 2＝6x （2）3． （1）根据抛物线定义，写出焦点坐标和准线方程，列方程即可得解；（2）根据中点坐标表示出|AB |和点到直线的距离，得出面积，利用均值不等式求解最大值. 解析：（1）抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0），焦点F （2p，0）到准线x 2p =-的距离为3，可得p＝3，即有抛物线方程为y 2＝6x ；（2）设线段AB 的中点为M （x 0，y 0），则12022x x x +==， y 0122y y +=，k AB 21212221211206366y y y y y y x x y y y --====-+-，则线段AB 的垂直平分线方程为y ﹣y 003y =-（x ﹣2），① 可得x ＝5，y ＝0是①的一个解，所以AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点， 且点C （5，0），由①可得直线AB 的方程为y ﹣y 003y =（x ﹣2），即x 03y=（y ﹣y 0）+2 ②代入y 2＝6x 可得y 2＝2y 0（y ﹣y 0）+12，即y 2﹣2y 0y +2y 02＝0 ③， 由题意y 1，y 2是方程③的两个实根，且y 1≠y 2，所以△＝4y 02﹣4（2y 02﹣12）＝﹣4y 02+48＞0，解得﹣y 0＜， |AB|=====又C （5，0）到线段AB 的距离h ＝|CM|== 所以S △ABC 12=|AB |h==≤=，当且仅当9+y 02＝24﹣2y 02，即y 0A，B，或A，-，B所以S △ABC ． 点评：此题考查根据焦点和准线关系求抛物线方程，根据直线与抛物线位置关系求解三角形面积的最值，表示三角形的面积关系常涉及韦达定理整体代入，抛物线中需要考虑设点坐标的技巧，处理最值问题常用函数单调性求解或均值不等式求最值. 22．已知函数()(2)ln(1)()f x x x ax a R =++-∈（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和231n S n n =+-，4n nb a =，求证：数列{}n b 的前n 项和ln(1)(2)n T n n <++.答案：(Ⅰ)0x y -=；(Ⅱ)(,2]-∞；(Ⅲ)证明见解析.试题分析：()1将1a =，求出切线方程()2求导后讨论当2a ≤时和2a >时的单调性证明，求出实数a 的取值范围()3先求出n a 、n b 的通项公式，利用当0x >时，()()2ln 12x x x ++>得()2ln 12xx x +>+，下面证明：()()ln 12n T n n <++ 解析：（Ⅰ）因为1a =，所以()()()2ln 1f x x x x =++-，()()002ln100f =+⨯-=，切点为()0,0.由()()2ln 111x f x x x +=++-+'，所以()()020ln 011101f '+=++-=+，所以曲线()y f x =在()0,0处的切线方程为()010y x -=-，即0x y -=（Ⅱ）由()()2ln 11x f x x a x +=++-+'，令()()[)()0,g x f x x ∈'=+∞， 则()()()22110111x g x x x x =-=≥+++'（当且仅当0x =取等号）.故()f x '在[)0,+∞上为增函数.①当2a ≤时，()()00f x f ''≥≥,故()f x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()()00f x f ≥=恒成立，故2a ≤符合题意；②当2a >时，由于()020f a ='-<，()1110aa f e e-=+>'，根据零点存在定理， 必存在()0,1at e ∈-，使得()0f t '=，由于()f x '在[)0,+∞上为增函数，故当()0,x t ∈时，()0f t '<,故()f x 在()0,x t ∈上为减函数，所以当()0,x t ∈时，()()00f x f <=,故()0f x ≥在[)0,+∞上不恒成立，所以2a >不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围为(],2-∞（III ）证明：由24,13,1331,.22,22,21n n n n n S n n a b n n n n ⎧=⎪=⎧⎪=+-⇒=⇒=⎨⎨+≥⎩⎪≥⎪+⎩ 由（Ⅱ）知当0x >时，()()2ln 12x x x ++>，故当0x >时，()2ln 12xx x +>+， 故2222ln 1212n n n n⋅⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+，故1122ln 11nn k k k k ==⎛⎫+> ⎪+⎝⎭∑∑.下面证明：()()ln 12n T n n <++因为1222222ln 1ln 1ln 1ln 1ln 1ln 11231nk k n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++++⋅⋅⋅++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑()()()()1245612ln 3ln ln 12ln223412n n n n n n n n ++++⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯==++- ⎪-⎝⎭而，4222321311n T n =+++⋅⋅⋅++++ 1222222224111111213122131233nn n k T T kn n ==+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=+-=-++++++++∑所以，()()1ln 12ln23n n n T ++->-，即：()()1ln 12ln23n n n n T T ++>-+> 点睛：本题考查了利用导数的几何意义求出参数及证明不等式成立，借助第二问的证明过程，利用导数的单调性证明数列的不等式，在求解的过程中还要求出数列的和，计算较为复杂，本题属于难题．。

宁波市镇海中学2018-2019学年下学期开学考高一数学试卷一、单选题1．已知函数2,3()3,3x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()()15f f f -的值为A ．1B ．2C ．3D ．–32．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( )A ．()0,2B ．()1,9 C ．()1,4D ．()1,23．下列函数的周期不为π的是( )A ．2sin y x = B ．y =C ．()2sin cos y x x =-D ．cos cos y x x =+4．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r方向上的投影为( )A ．165-B ．165C ．1613-D ．16135．下列关系正确的是( ) A ．tan 20sin1cos8<<< B ．0cos8sin1tan 2<<< C ．tan 2cos80sin1<<<D ．tan 20cos8sin1<<<6．若非零向量a b r r，满足a b b +=r r r ，则（ ）A ．22a a b >+r r rB ．22a a b <+r r rC ．22b a b >+r r rD ．22b a b <+r r r7．在ABC ∆中，5sin 13A =，3cos 5B =，则cosC =（ ） A ．5665 B ．3365- C ．5665或1665-D ．1665- 8．向量a r ，b r 满足2a b a b ==⋅=r r r r ，当实数1t ≥时，向量a r 和a tb -r r的夹角范围是( )A ．[0,)3π B ．2[,)33ππC ．[,)32ππ D ．[,)3ππ9．已知函数()sin cos ()f x x a x a R =+∈对任意x ∈R 都满足()()44f x f x ππ+=-，则函数()sin ()g x x f x =+的最大值为A ．5B ．3CD．10．定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(0,2)x ∈时，()cos((1))2f x x π=-，且2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为( ) A ．9 B ．8C ．7D ．6二、填空题11．函数sin y x x =的图象可由函数cos y x x =+的图象至少向左平移________个单位长度得到. 12．函数1()(2f x =________.13．已知()0,απ∈，sin α与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，则()1tan tan 1cos 2ααα-+⋅的值为________.14．已知2a b +=r r ，4a b -=r r ，则a b +r r的范围是________.15．在ABC ∆中，AD 为BC 上的中线，1AB =，5AD =，45ABC ∠=︒，则sin ADC ∠=________，AC =________.16．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12x x <，有1212()()1f x f x x x ->--，且(1)1f =，则不等式22(log 31)2log 31x x f -<--的解集为________.17．在ABC ∆中，4AB =，5AC =，3BAC π∠=，H 为ABC ∆内一点，::2:3:5HAB HCB HAC S S S ∆∆∆=，则HA HC ⋅=u u u r u u u r________.三、解答题18．已知α，β为锐角，且1tan 7α=，sin β=. （1）求sin()αβ+； （2）求2αβ+.19．已知(2sin ,1)a x =+r ，(2,2)b =-r ，(sin 3,1)c x =-r ，(1,)(,)d k x R k R =∈∈u r.（1）若[,]22x ππ∈-，且//()a b c +r r r，求x 的值；（2）是否存在实数k 和x ，使()()a d b c +⊥+r u r r r？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.20．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知22222202b c a ca b c b c+-+=+-+. （1）求角A 的值；（2）若2a =，求三角形周长的取值范围.21．已知定义在[]22-,上的偶函数()f x 满足：当[]0,2x ∈时，()f x x =-+（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()20g x ax a a =-->，若对于任意的[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立，求实数a的取值范围.22．已知向量,cos )a x x ωω=r ，(sin ,cos )b x x ωω=-r ，且函数()f x a b =⋅r r的两个对称中心之间的最小距离为2π. （1）求()3f π；（2）若函数()1()2x G x m =+-在[0,]π上恰有两个零点，求实数m 的取值范围.解析宁波市镇海中学2018-2019学年下学期开学考高一数学试卷一、单选题1．已知函数2,3()3,3x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()()15f f f -的值为A ．1B ．2C ．3D ．–3 【答案】A【解析】根据自变量所属的取值范围代入分段函数对应的解析式求解即可. 【详解】由函数解析式可得：()1122f ==，()5532f =-=()()()()005112f f f f -===∴本题正确选项：A【点睛】本题考查分段函数的函数值的求解问题，属于基础题. 2．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( )A ．()0,2B ．()1,9 C ．()1,4D ．()1,2【答案】D【解析】集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】解：{}19P x x =<<，{}02Q x x =<<；()1,2P Q ∴⋂=.故选：D. 【点睛】本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.简单对数不等式问题的求解策略：(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0. 3．下列函数的周期不为π的是( )A ．2sin y x = B ．y =C ．()2sin cos y x x =- D ．cos cos y x x =+【答案】D【解析】利用三角函数的诱导公式、和差倍角公式，将三角函数化为标准式求解周期. 对选项,A C 运用二倍角公式化简再求周期，对B 化简降次求周期，对D 化简得2cos y x =直接求周期. 【详解】Q 函数21cos 2sin 2xy x -==的最小正周期为22ππ=，满足条件；函数tan y x ==的最小正周期为π，满足条件；函数()2sin cos 1sin 2y x x x =-=-最小正周期为22ππ=，满足条件； 函数cos cos 2cos y x x x =+=的最小正周期为221ππ=，不满足条件， 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数周期. 三角函数周期的求解方法公式法 (1)三角函数= = = y sin x y cos x y tan x ，，的最小正周期分别为22πππ，，； (2)(=)y Asin x ωϕ＋和(=)y Acos x ωϕ＋的最小正周期为2||πω，()=y tan x ωϕ＋的最小正周期为||πω 图象法 利用三角函数图象的特征求周期．如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期.4．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r方向上的投影为( )A ．165-B ．165C ．1613-D ．1613【答案】C【解析】先计算出16a b r r⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b⋅r rr 可得【详解】()4,3a =r Q ，()5,12b =-r，4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r，则向量a r 在b r方向上的投影为1613a b b⋅-=r rr ，故选：C. 【点睛】本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r的夹角为θ，向量a r 在b r 方向上的投影为cos a θ⋅r 或a b b⋅r rr5．下列关系正确的是( ) A ．tan 20sin1cos8<<< B ．0cos8sin1tan 2<<< C ．tan 2cos80sin1<<< D ．tan 20cos8sin1<<<【答案】C【解析】先分别判断弧度制1,2,8所在的象限，根据三角函数的定义判断函数值的符号. 【详解】1Q 是第一象限，sin10∴>，2Q 是第二象限，tan 20∴<，且tan 21<-，()cos8cos 82π=-，82π-Q 是第二象限，()cos8cos 820π∴=-<， tan 2cos80sin1∴<<<，故选：C. 【点睛】本题主要考查利用三角函数值的符号比较大小. 利用定义求三角函数值问题的常见类型及解法:(1)已知角α终边上一点P 的坐标，根据三角函数的定义求出相应的值即可．(2)若已知角α的终边所在直线的方程求三角函数值，可以先设出终边上一点的坐标，再根据定义求相应的值． (3)若角α终边上的点的坐标中含参数，要讨论参数的各种情况，以确定角α终边所在的象限，进一步正确得出各个三角函数值．此时注意不要漏解或多解．认清角的终边所在的象限，以确定三角函数值的符号，防止出现错误．6．若非零向量a b r r，满足a b b +=r r r ，则（ ）A ．22a a b >+r r rB ．22a a b <+r r rC ．22b a b >+r r rD ．22b a b <+r r r【答案】C 【解析】【详解】由已知22()a b b r r r ＋＝，即220a b a ⋅r r r ＋＝.22222||2242a b a a b b b a ⋅r r r r r r r r Q ＋－＝＋＝－符号不能确定，∴A 、B 均不对． 222||224a b b a a b ⋅r r r r r r Q ＋－＝＋22220a a a <r r r ＝－＝－.故选C.7．在ABC ∆中，5sin 13A =，3cos 5B =，则cosC =（ ） A ．5665B ．3365- C ．5665或1665-D ．1665-【答案】D【解析】根据B 的范围和同角三角函数关系求得sin B ，由大边对大角关系可知A 为锐角，从而得到cos A ；利用诱导公式和两角和差余弦公式可求得结果. 【详解】()0,B π∈Q ，3cos 5B =4sin 5B ∴= sin sin A B <Q A ∴为锐角，又5sin 13A = 12cos 13A ∴= ABC π++=Q()1235416cos cos cos cos sin sin 13513565C A B A B A B ∴=-+=-+=-⨯+⨯=- 本题正确选项：D 【点睛】本题考查三角形中三角函数值的求解，涉及到同角三角函数关系、三角形中大边对大角的关系、诱导公式和两角和差余弦公式的应用；易错点是忽略角所处的范围，造成求解三角函数值时符号发生错误.8．向量a r ，b r 满足2a b a b ==⋅=r r r r ，当实数1t ≥时，向量a r 和a tb -r r的夹角范围是( )A ．[0,)3π B ．2[,)33ππC ．[,)32ππ D ．[,)3ππ【答案】B【解析】利用2a b a b ==⋅=r r r r 求出,3a b π<>=r r ，几何法作出=CA a tb -u u u r r r ,得,=a a C b A t O r r -∠<>，当1t =时，=3,a a tb OAB r r π<>∠=-,当t →+∞时//OC AC 即23OAC π∠< 【详解】由2a b a b ==⋅=r r r r ，得a r ，b r 的夹角为3π，不妨设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，()1OC tb t =≥u u r u r ，不妨设()1OC tb t =≥u u ru r ，则点C 在OB 的延长线上运动，向量a r 和a tb -r r 的夹角可用OAC ∠表示，由图知：2[,)33OAC ππ∠∈， 故选：B.应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可．注意加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”；减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”；数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．9．已知函数()sin cos ()f x x a x a R =+∈对任意x ∈R 都满足()()44f x f x ππ+=-，则函数()sin ()g x x f x =+的最大值为A ．5B ．3C D ．【答案】C 【解析】∵函数()()sin cos f x x a x a R =+∈对任意x R ∈都满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴函数()f x 的对称轴为4x π=，且()()f x x θ=+∴422f a π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴1a =∴函数()()()sin 2sin cos g x x f x x x x β=+=++∴函数()g x 故选C点睛：本题考查函数的对称性及辅助角公式的应用.对于函数的对称性，若函数()y f x =满足()()f a x f a x =-+或(2)()f a x f x -=，则函数图象关于直线x a =对称；研究函数()sin cos f x A x B x ωω=+的图象和性质的关键一步是利用辅助角公式将函数的形式变成()()f x x ωϕ=+的形式.10．定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(0,2)x ∈时，()cos((1))2f x x π=-，且2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为( ) A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】B【解析】先由奇函数性质求出函数()f x 在[]2,2-上的解析式，再利用1()(2)2f x f x =-.得到[2,5]-的图象，2()()F x x f x x =-的零点个数，等价于求1()f x x=的解的个数.根据两函数交点个数即可求解.当(0,2)x ∈时，()cos((1))cos()sin()2222f x x x x ππππ=-=-=，()f x Q 是奇函数，()00f ∴=，当2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-， ()()12002f f ∴==，()()14202f f ==， 若()2,0x ∈-，则()0,2x -∈，则()sin()(in ()22)s x f x f x x ππ-=-=-=-， 即()sin()2f x x π=，()2,0x ∈-即当22x -≤≤时，()sin()2f x x π=，当24x ≤≤时，022x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin()2222222f x f x x x x ππππ=-=-=-=-，当45x ≤≤时，223x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin(44)24222f x f x x x x ππππ=-=--=--=， 由2()()0F x x f x x =-=，得：当0x =时，由(0)0F =，即0x =是()F x 的一个零点，当0x ≠时，由2()0f x xx -=得1()xf x =，即1()f x x=， 作出函数()f x 与1()g x x=在，[2,5]-上的图象如图： 由图象知两个函数在[2,5]-上共有7个交点，加上一个0x =， 故函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为8个， 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用. 判断函数零点个数的方法:直接法:即直接求零点，令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法:即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <g ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法:即利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()0()()f x h x g x Û＝＝，则函数f(x)的零点个数就是函数()y h x =和()y g x ＝的图象的交点个数性质法:即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.二、填空题11．函数sin y x x =的图象可由函数cos y x x =+的图象至少向左平移________个单位长度得到. 【答案】32π【解析】利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】Q 函数，cos 2sin()6y x x x π==+5sin 2sin()2sin()33y x x x x ππ==-=+，故把函数cos y x x =+的图象至少向左平移53362πππ-=个单位，可得sin y x x =的图象， 故答案为：32π. 【点睛】 本题主要考查函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换.三角函数图象变换主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x ，如果x 的系数不是1，则需把x 的系数提取后再确定平移的单位长度和方向.12．函数1()(2f x =________.【答案】1[,)2++∞ 【解析】先求出函数的定义域，利用复合函数的单调性之间的关系进行求解. 【详解】Q 函数()1()2f x =，210x x ∴--≥，求得x ≤x ≥，故函数的定义域为12x x ⎧-⎪≤⎨⎪⎩或12x +≥⎪⎭，本题即求21t x x =--在定义域内的增区间，再根据二次函数的性质可得21t x x =--在定义域内的增区间为1[,)2++∞，故答案为：1[)2++∞. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性. 复合函数单调性的规律:若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．13．已知()0,απ∈，sin α与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，则()1tan tan 1cos 2ααα-+⋅的值为________.【答案】16949【解析】由已知结合根与系数的关系求得sin cos αα+，进一步求得sin cos αα-，联立求得sin α，cos α的值，得到tan α及cos2α的值，则问题可解． 【详解】sin αQ 与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，7sin cos 13αα∴+=-，两边平方得：1202sin cos 169αα=-， ()0,απ∈Q ，sin 0α∴>，cos 0α<，则17sin cos 13αα-===. 联立7sin cos 1317sin cos 13αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得5sin 13α=，12cos 13α=-. 5tan 12α∴=-.则()511tan 287316912525tan 1cos 283349(1)(12)12169ααα+-===+⋅-⨯-⨯. 故答案为：16949. 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．14．已知2a b +=r r ，4a b -=r r ，则a b +r r的范围是________.【答案】【解析】设a m =r ，b n =u u r．对2a b +=r r ，4a b -=r r 两边平方，可得2210m n +=，再利用向基本不等式的性质即可得出． 【详解】设a m =r ，b n =r ，a b θ<>=r r ，. 2a b +=Q r r ，4a b -=r r， 222cos 4m n mn θ∴++=，222cos 16m n mn θ+-=， 2210m n ∴+=，则4a b ≤+≤=r ra b ∴+r r的范围是4,⎡⎣.故答案为：4,⎡⎣.【点睛】本题主要考查向量的模的运算.（1）向量的平方等于模的平方： 0a a a a cos r r r r g⋅=2a a a =⋅=，（2）基本不等式及其有关变形：0,0)2a ba b +>>当且仅当a b =时取等号. 15．在ABC ∆中，AD 为BC 上的中线，1AB =，5AD =，45ABC ∠=︒，则sin ADC ∠=________，AC =________.【解析】由已知在ABD ∆中，利用正弦定理可得sin ADB ∠，进而可求sin ADC ∠的值，在ABD ∆中，由余弦定理解得BD ，可求BC ，由余弦定理可得AC 的值.【详解】1AB =Q ，5AD =，45ABC ∠=︒， ∴在ABD ∆中，由正弦定理可得：1sin 2sin 5AB ABCADB AD⨯⋅∠∠===sin sin 10ADC ADB ∴∠=∠=. Q 在ABD ∆中，由余弦定理2222cos AD AB BD AB AD ABC =+-⋅⋅∠，可得：2251212BD BD =+-⨯⨯⨯，即：2240BD -=， ∴解得：BD =-2BC BD ∴==，∴由余弦定理可得：AC ===故答案为：10【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在平面几何中的综合应用. 平面几何中解三角形问题的求解思路:(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 16．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12x x <，有1212()()1f x f x x x ->--，且(1)1f =，则不等式22(log 31)2log 31x x f -<--的解集为________.【答案】(,0)(0,1)-∞U【解析】由条件()()12121f x f x x x ->--移项变形得112212[()][()]0f x x f x x x x +-+>-， 则()()g x f x x =+在R 上为增函数，再把问题不等式转化为()g x 函数不等式，利用单调性求解. 【详解】根据题意，设()()g x f x x =+，若函数()f x 满足对任意12x x <，有()()12121f x f x x x ->--，则112212[()][()]0f x x f x x x x +-+>-，则函数()g x 在R 上为增函数，又由(1)1f =，则(1)112g =+=，2222(log 31)2log 31(log 31)log 312x x x x f f -<--⇒-+-< 22(log 31)(1)log 311x x g g ⇒-<⇒-<，则有0312x<-<，解可得：1x <且0x ≠，即不等式的解集为(,0)(0,1)-∞U ； 故答案为：(,0)(0,1)-∞U . 【点睛】(())(())f g x f h x >不等式的解法：利用函数性质得到(())y f g x = 函数的单调性利用利用单调性去掉“f ”原不等式化为()()g x h x >或()()g x h x <从而得解. 17．在ABC ∆中，4AB =，5AC =，3BAC π∠=，H 为ABC ∆内一点，::2:3:5HAB HCB HAC S S S ∆∆∆=，则HA HC ⋅=u u u r u u u r________.【答案】92-【解析】根据题意建立平面直角坐标系，利用数形结合与面积的比求出点H 的坐标，再用坐标表示出向量，从而求出平面向量的数量积． 【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；则(0,0)A ，(4,0)B ，(5cos 60,5sin 60)C ︒︒，即5(,22C ； 又::2:3:5HAB HCB HAC S S S ∆∆∆=，15HAB ABC S S ∆∆∴=，作HE AB ⊥于E ，则H的纵坐标15y HE ===； 又12HAC ABC S S ∆∆=，作HF AC ⊥于F ，则1sin602HF AB =⨯⨯︒= 设HAE α∠=，则sin 2HA α=，…①sin(60)HA α︒-=…②sin(60)2sin αα︒-∴=，即1sin 222sin ααα-=求得sin tan s co ααα==， ∴点H的横坐标tan 52HE x AE α====，(25H ∴，5(,22HA ∴=--u u u r ，(0,HC =u u u r ， 50()322HA HC ∴⋅=-⨯+-⨯=-u u u r u u u r .故答案为： 3-【点睛】本题考查平面向量与几何综合问题 其求解方法：(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．三、解答题18．已知α，β为锐角，且1tan 7α=，sin 10β=. （1）求sin()αβ+； （2）求2αβ+.【答案】(1)(2) 4π【解析】分析：(1) 先根据同角三角函数关系得sin α=，cos α=，cos β=，再根据两角和正弦公式化简得结果，(2) 根据二倍角公式得sin2β，cos2β，再根据两角和余弦公式得()cos 2αβ+，最后根据范围求结果.详解： 由于,αβ为锐角，1tan 7α=，sin 10β=∴sin 10α=，cos 10α=，cos 10β=，sin()sin cos cos sin 101010105αβαβαβ+=+=⨯+=（2）3sin22sin cos 25βββ===，24cos212sin 5ββ=-=，∴()43cos 255αβ+=-=由于,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴24παβ+= 点睛：在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数.①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是π(0,)2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0,π)，选余弦函数较好；若角的范围为ππ(,)22-，选正弦函数较好 19．已知(2sin ,1)a x =+r ，(2,2)b =-r ，(sin 3,1)c x =-r ，(1,)(,)d k x R k R =∈∈u r.（1）若[,]22x ππ∈-，且//()a b c +r r r，求x 的值；（2）是否存在实数k 和x ，使()()a d b c +⊥+r u r r r？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）6π-；（2）存在，[5,1]--.【解析】（1）先根据2231b c sinx =-=-r r （，），（，），求出b c +r r的坐标，再根据()a b c ⋅+r r r ，找到向量坐标满足的关系式，根据x 的范围，就可求出x 的值.（2）先假设存在实数k 和x ，使()()a d b c +⊥+r u r r r ，则可得()a d b c +⋅+r u r r r()=0，再用向量数量积的坐标公式计算，若能解出k 的值，则存在，否则不存在. 【详解】（1）(2,2)b =-r Q ，(sin 3,1)c x =-r，(sin 1,1)b c x ∴+=--r r ，//()a b c +r r r Q ，(2sin )sin 1x x ∴-+=-，2sin 1x ∴=-，1sin 2x =-，[,]22x ππ∈-Q ，6x π∴=-.（2）(3sin ,1)a d x k +=++r u r ，(sin 1,1)b c x +=--r r若()()a d b c +⊥+r u r r r ，即(3sin )(sin 1)(1)0x x k +--+=，2sin 2sin 4sin [1,1]k x x x =+-=∈-，sin 1[0,2]x +∈，()2sin 15x +-，x ∈R ，2(sin 1)[0,4]x +∈，[5,1]k ∈--，存在[5,1]k ∈--使()()a d b c +⊥+r u r r r.【点睛】本题主要考查了平面向量、三角函数有关知识.平面向量平行、垂直与三角函数综合问题求解思路：利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解．20．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知22222202b c a ca b c b c+-+=+-+. （1）求角A 的值；（2）若2a =，求三角形周长的取值范围. 【答案】（1）23π；（2）2]+. 【解析】（1）由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求cosA ，结合A 的范围可求A 的值. （2）由正弦定理可求33c sinC b sinB ==，，设周长为y，利用三角函数恒等变换的应用化简得()23y sin B π=++，可求范围2333B πππ<+<，利用正弦函数的性质可求取值范围.【详解】（1）22222202b c a ca b c b c+-+=+-+Q ， ∴由余弦定理可得：2cos 02cos 2bc A cab C b c +=+，∴由正弦定理可得：sin cos sin 0sin cos 2sin sin C A CA CB C+=+，整理可得：02sin cos sin cos cos sin B A C A C A =++， 02sin cos sin B A B ∴=+， sin 0B >Q ， ∴可得：1cos 2A =-，()0,A π∈Q ， 23A π∴=（2）2a =Q ，23A π=，22sin sin 3sin 3b c B C π===Q，sin 3c C ∴=，b B =， 设周长为y ，则y a c b =++2B C =+2sin()333B B π=++-22cos 3B B =++，)233B π=++， 03B π<<Q ，2333B πππ∴<+<，sin()123B π∴<+≤，)2(4,2]333y B π∴=++∈+. ∴周长的取值范围是2]+.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的灵活运用. 三角形中最值范围问题的解题思路：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大． 21．已知定义在[]22-,上的偶函数()f x 满足：当[]0,2x ∈时，()f x x =-+（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()20g x ax a a =-->，若对于任意的[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）()[)[]2,00,2x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩；（2）02a <<. 【解析】【详解】试题分析： （1）当[]2,0x ∈-时，[]0,2x -∈，从而()f x x -=+()f x 为偶函数可得()f x 在[]2,0-上的解析式，进而可得()f x 在[]22-,上的解析式．（2）将问题转化为()()max min g x f x <处理．由于()f x 为偶函数，故只可求出当[]2,0x ∈-时()f x 的最小值即可，可得()min 0f x =．又()()max 22g x g a ==-，由20a -<，得2a <，即为所求．试题解析： （1）设[]2,0x ∈-，则[]0,2x -∈，∴()f x x -=+∵()f x 定义[]2,2x ∈-在偶函数， ∴()()f x f x x =-=+∴()[)[]2,00,2x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩ ． （2）由题意得“对任意[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立”等价于“()()max min g x f x <”．又因为()f x 是定义在[]22-,上的偶函数. 所以()f x 在区间[]2,0-和区间[]0,2上的值域相同.当[]2,0x ∈-时，()f x x =+设t =t ⎡∈⎣令22()23(1)4,h t t t t t ⎡=+-=+-∈⎣，则当1t =时，函数()h t 取得最小值(1)0h =，所以()min 0f x =．又()()max 22gx g a ==-由20a -<，解得2a <， 因此实数a 的取值范围为()0,2.点睛：（1）利用偶函数的性质可求函数的解析式，对于偶函数的值域根据其对称性只需求在y 轴一侧的值域即可，体现了转化的思想在解题中的应用． （2）本题中，将“对任意[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立”转化为“()()max min g x f x <”来处理，是数学中常用的解题方法，这一点要好好体会和运用．（3）形如y ax b =+±22．已知向量,cos )a x x ωω=r ，(sin ,cos )b x x ωω=-r ，且函数()f x a b =⋅r r 的两个对称中心之间的最小距离为2π. （1）求()3f π；（2）若函数()1()2xG x m =+-在[0,]π上恰有两个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）12；（2）[1,1)2--. 【解析】(1)根据向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性质求出的周期和ω即可.(2)求出函数()Gx 的解析式，利用参数法，结合三角函数的图象和性质进行求解即可. 【详解】（1）()21()sin cos 21cos 222f x a b x x x x x ωωωωω=⋅=-=-+r r112cos 2222ωx ωx =-- 1sin(2)62x πω=--， Q 函数()f x a b =⋅r r 的两个对称中心之间的最小距离为2π， 22T π∴=，得T π=， 即22Tππω==，得1ω=， 即()1sin(2)62f x x π=--. 则111()sin(2)1336222f πππ=⨯--=-=；（2）函数1()1()1)]0262x G x m m x π=+=+--=，得)162m x π=---，当0x π≤≤时，5666x πππ-≤-≤， 当5666x πππ≤-≤且62x ππ-≠时，sin()6y x π=-才有两个交点，此时1sin()126x π≤-<，则)26x π≤-<即0)622x π≤--<，1)11622x π-≤---<-，即112m -≤<-，即实数m 的取值范围是[1,1)2--. 【点睛】本题主要考查了三角函数图象与性质的综合问题.先将()y f x ＝化为si (n )y A x B w j ＝＋＋的形式，再借助(n )si y A x w j ＝＋的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题,注意活用辅助角公式准确化简；“x ωϕ＋”整体处理；数形结合，分离参数，活用函数图象．。

2019学年镇海中学高三下开学考数学 试题卷本试卷分选择题和非选择题两部分．考试时间120分钟，试卷总分为150分．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+V Sh =如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()()10,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=L球的表面积公式台体的体积公式24S R π=()1213V S S h =⋅球的体积公式其中1S 、2S 表示台体的上、下底面积，h 表示 343V R π=棱台的高其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、 选择题：每小题4分，共40分1. 设集合{}2|230A x x x =∈--<Z ，集合{}1,0,1B =-，则集合A B =I （ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-2. 已知双曲线()22210y x b b-=>）A ．3B ．2 CD3. 设实数x ，y 满足25100050x y x x y +-≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则实数42x y z =的最小值是（ ）A ．1024B ．14 C ．132 D ．11024 4. 设0ω>，将函数sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移3π个单位长度后与函数cos 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为（ ）A ．12B ．32C ．52 D ．15. 设m 、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若m α⊥，n α∥，则m n ⊥； ②若m α⊥，m n ⊥，则n α∥；③若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n α⊥； ④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥．其中正确的命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46. 在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个红球和2个白球，现从中有放回的摸取6次，每次随机摸一球，设摸得红球个数为X ，白球个数为Y ，则（ ） A ．()()E X E Y >，()()D X D Y = B ．()()E X E Y >，()()D X D Y >C ．()()E X E Y >，()()D X D Y <D ．()()E X E Y <，()()D X D Y <7. 下列命题中是真命题的是（ ） A ．“1x ≥”是“1x >”的充分不必要条件 B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈RC ．“若1x >，则10x ->”的否命题是“若1x >，则10x -≤”D ．“2x ≠或3y ≠”是“5x y +≠”的必要不充分条件8. 已知数列{}n a 满足0n a >，221114n n n n a a a a ++++=+，且112a =，则该数列的前2020项的和等于（ ） A ．30272 B ．1514 C ．30292 D ．15159. 已知长方形ABCD 中，AB BC >，现将ABC △沿AC 翻折至AB'C △（B'与B 不重合），设直线AB'与CD 所成角为α，二面角A B'C D --为β，则（ ）A ．αβ<B ．αβ>C ．αβ=D ．以上都不对10. 已知向量m ，n 满足()()20+-=m n m n ，()()210-++=m n m n ，则n 的最小值为（ ）A ．14B ．12CD ．1非选择题部分（共110分）二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11. 已知i 是虚数单位，且112i z =-，23+i z m =()m ∈R ，则1z = ，若21z z 是实数，则实数m = ．12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ，表面积是 ．13. 若()()()()727012732111x a a x a x a x --=+++++⋅⋅⋅++，则127=a a a ++⋅⋅⋅+ ，6=a ．（用数字表示）14. 已知向量a ，b ，c 满足++=a b c 0，=c ，c 与-a b 所成的角为56π，若t ∈R ，则()1t t -a +b 的最小值是 ；此时()1t t --=a +b c ．15. 学校水果店有苹果、梨、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西柚等7种水果，西柚数量不多，只够一个人购买，甲乙丙丁戊5位同学去购买，每人只能选择其中一种，这5位同学购买后，恰好买了其中三种水果，则他们购买水果的可能情况有 种．16. 已知椭圆r ：()222210x y a b a b+=>>，△ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设△ABC 三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k 、2k 、3k 且均不为0，O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为2，则123111k k k ++= ．17. 已知函数()()cos sin f x x a x x =--，对于任意的()10,x π∈，存在[]20,x π∈，使得()122cos 3f x x x >+-，则a 的取值范围是 ．三、解答题：5小题，共74分18. （本题满分14分）已知函数()sin cos f x x x -．（1）求函数()f x 的值域；（2）在ABC △中A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，且满足()1f B =，a 1b =，求c 的值．19. （本题满分15分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，AB DE P ，ACD △为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点．（1）求证：AF P 平面BCE ；（2）求直线AD 和平面BCE 所成角的正弦值．FEDCB A20. （本题满分15分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()()222220n n S n n S n n -+-++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列n b =，证明：121n b b b ++⋅⋅⋅+≤．21. （本题满分15分）已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率为12，并且经过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）一条斜率为k 的直线交椭圆于A ，B 两点（不同于P ），直线AP 和BP 的斜率分别为1k ，2k ，满足123k k +=，试判断直线AB 是否经过定点，请说明理由．22. （本题满分15分）已知函数()()ln 1sin f x x a x =+-，a ∈R ．（1）若()y f x =在()0,0处的切线为30x y -=，求a 的值； （2）若存在[]1,2x ∈，使得()2f x a ≥，求实数a 的取值范围．。

2019年高三数学(文)模拟考试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）球的体积公式334R V π=球，球的面积公式24S R π=球，其中R 表示球的半径 柱体的体积公式V sh =，其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V sh =，其中s 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式121()3V h s s =，其中12,s s 分别表示台体上,下的底面积，h 表示台体的高Ⅰ卷（选择题共50分）一． 选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1. 设全集U R =，集合{}21A x x x =><-或，{}0B x x =>，则()U A B =ð（ ）（A ）(]0,2 （B ） ()2,+∞ （C ）(0,2) （D ）(,1)-∞- 2．“0x y =”是“220x y +=”的（ ）（A ）充分不必要条件 (B ) 必要不充分条件 (C ) 充要条件 (D )既不充分也不必要条件 3. 若复数1112iz i -=+-+，化简后z = ( ) （A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i -4．下列函数中，周期为π且图像关于直线3x π=对称的函数是（ ）(A) ()2sin()23x f x π=+(B) ()2sin(2)3f x x π=+ (C) ()2sin()26x f x π=-(D) ()2sin(2)6f x x π=-5．已知,m n 是两条异面直线，点P 是直线,m n 外的任一点，有下面四个结论： ① 过点P 一定存在一个与直线,m n 都平行的平面。

② 过点P 一定存在一条与直线,m n 都相交的直线。

宁波市镇海中学高三期初考试数学试卷第一部分选择题1.为了使功能实现，以下哪个关于导入数据的说法是正确的？ A. 导入数据前需要进一步处理原始数据 B. 导入数据时要求数据必须按照一定的格式C. 导入数据后可以直接开始进行分析D. 导入数据不需要考虑数据的质量2.在数据分析过程中，以下哪个描述是正确的？ A. 数据分析只涉及定量数据 B. 数据分析是一个静态的过程 C. 数据分析可以解决所有问题 D. 数据分析是一个动态的过程3.在数据可视化中，以下哪个描述是错误的？ A. 数据可视化可以帮助人们更好地理解数据 B. 数据可视化只适用于少量数据 C. 数据可视化可以用图表、图形等形式展示数据 D. 数据可视化需要选择合适的图表类型来呈现数据4.关于机器学习的说法，以下哪个是正确的？ A. 机器学习只能用于处理结构化数据 B. 机器学习可以根据数据训练模型 C. 机器学习只能处理有标签的数据 D. 机器学习不需要考虑模型的泛化能力5.在数据分析中，以下哪个步骤是最后一步？ A. 数据清洗 B. 数据可视化 C. 数据建模 D. 结果解释第二部分填空题1.在数据挖掘中，____方法是一种常用的无监督学习方法。

2.机器学习中使用的评价指标有精确率、____、F1 分值等。

3.数据分析的首要任务是_____，以确保数据质量。

4.在数据可视化中，直方图可以用来展示数据的____分布。

5.关联规则挖掘是数据挖掘中常用的____任务之一。

第三部分简答题1.数据清洗在数据分析中的作用是什么？列举三个数据清洗的具体方法。

2.什么是过拟合？如何在机器学习中避免过拟合？3.请简要介绍一下主成分分析（PCA）的原理和应用领域。

4.什么是交叉验证？为什么在模型评估中需要使用交叉验证？5.数据可视化在数据分析中起到了什么作用？举例说明一种常用的数据可视化类型。

在本试卷中，共包含选择题、填空题和简答题三个部分，总分100分。

请同学们根据自己的理解和知识完成答题。

镇海中学学年第一学期期中考试高三数学试题卷一、选择题（本大题共小题，每题分，共分）1. 已知集合，则的元素的个数为A. B. C. D.2. 若且，则下列不等式中一定成立的是A. B. C. D.3. 已知是等差数列的前项和，且，则等于A. B. C. D.4. 函数的图像大致为5. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是A.B.C.D.6. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，则的函数解析式为A. B. )C. D. )7. 设命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是A. B. C. D.8. 已知，，，则A. B. C. D.9. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，设点是该椭圆和双曲线的一个公共点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为A. B. C. D.10. 设为正实数，且，则的最大值和最小值之和为A. B. C. D.二、填空题（本大题共小题，多空题每题分，单空题每题分，共分）11. 抛物线方程的焦点坐标为；准线方程为12. 已知点，点在线段上，则直线的斜率为；的最大值为13. 若实数满足约束条件，则的最小值为；的最小值为14. 已知长方体中，，则直线与平面所成的角为；若空间的一条直线与直线所成的角为，则直线与平面所成的最大角为15. 已知数列是等比数列且，，则的最大值为16. 已知圆，设点是恒过点的直线上任意一点，若在该圆上任意点满足，则直线的斜率的取值范围为17. 已知点为单位圆上两点，且满足，则的取值范围为三、解答题（本大题共小题，共分）18. 已知的最大值为（I）求实数的值；（II）若，求的值.19. 在锐角中，角所对边分别为，已知，（I）求；（II）求的取值范围.20. 如图，在三棱锥中，和都为等腰直角三角形，，，为的中点，且（I）求二面角的大小；（II）求直线与平面所成角的正弦值.21. 已知数列 的前 项和为 ，且满足： （I ）求数列 的通项公式；（II ）数列 满足 ， ，求数列 通项公式.22. 在平面直角坐标系中，已知 ， ，若线段 的中垂线 与抛物线B C总是相切.（I）求抛物线的方程；（II）若过点的直线交抛物线于两点，过分别作抛物线的切线相交于点. 分别与轴交于点.（i）证明：当变化时，的外接圆过定点，并求出定点的坐标；（ii）求的外接圆面积的最小值.。

2019年浙江省数学高考试题数学（镇海中学模拟卷及答案）考生须知：（与答题卷上的要求一致）1．全卷分试卷和答题卷，考试结束后，将答题卷上交。

2．试卷共4页，有3大题，22小题。

满分150分，考试时间120分钟。

3．答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

4.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效。

作图时先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

选择题部分（共40分）一、选择题：本大题有10小题，每小题4分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}0A x x =>，{}(2)(1)0B x x x =-+<，则A B =A ．(0,2)B ．(0,1)C ．(1,2)-D ．(1,)-+∞2. ()61x +展开式中含4x 项的系数是 A ．36CB ．46C C ．56C D ．66C3. 若,x y 满足约束条件0,3,2,x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩3z x y =+的最大值是A ． 6B ．7C ．8D ．9 4. 已知等比数列{}n a 满足1322a a a +=-，则公比q = A ．1- B ． 1 C ． 2- D ． 2 5. 已知a 为实数，“1a >”是“23a a <”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6. 已知随机变量ξ的分布列如右所示若2E ξ=，则D ξ的值可能是A ．43 B.32C. 2D.23（第8题图）7. 已知,a b 是正实数，若22a b +≥，则A ．12ab ≥ B.22142b a +≥ C. 1122a b+≥ D.221a b +≥ 8. 如图，11122233,,OA B A A B A A B ∆∆∆是边长相 等的等边三角形，且123,,,O A A A 四点共线. 若点123,,P P P 分别是边112233,,AB A B A B 上的动点，记113I OB OP =⋅，222I OB OP =⋅，331I OB OP =⋅，则 A ．321I I I >> B.132I I I >> C.312I I I >> D.213I I I >> 9. 已知函数21()(0)f x ax bx a x=+->有两个不同的零点12,x x ，则 A ． 12120,0x x x x +<< B ． 12120,0x x x x +>>C ． 12120,0x x x x +<>D ． 12120,0x x x x +><10. 已知三棱柱ABC A B C '''-，AA '⊥平面ABC ，P 是A B C '''∆内一点，点,E F 在直线BC 上运动，若直线PA 和AE 所成角的最小值与直线PF 和平面ABC 所成角的最大值相等，则满足条件的点P 的轨迹是 A ．直线的一部分 B ．圆的一部分 C ．抛物线的一部分 D ．椭圆的一部分非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

镇海区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学一、选择题1．已知向量=（﹣1，3），=（x ，2），且，则x=（ ）A．B．C．D．2． 已知集合A={x|1≤x ≤3}，B={x|0＜x ＜a}，若A ⊆B ，则实数a 的范围是（ ）A ．[3，+∞）B ．（3，+∞）C ．[﹣∞，3]D ．[﹣∞，3）3． 设集合{}|22A x R x =∈-≤≤，{}|10B x x =-≥，则()R A B =ð（ ）A.{}|12x x <≤B.{}|21x x -≤<C. {}|21x x -≤≤D. {}|22x x -≤≤ 【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题.4． 若函数f （x ）=3﹣|x ﹣1|+m 的图象与x 轴没有交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥0或m ＜﹣1B ．m ＞0或m ＜﹣1C ．m ＞1或m ≤0D ．m ＞1或m ＜05． 下列命题正确的是（ ）A ．很小的实数可以构成集合.B ．集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合.C ．自然数集 N 中最小的数是.D ．空集是任何集合的子集.6． 某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位： 小时）间的关系为0e ktP P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1%的污染物，则需要（ ）小时.A.8B.10C. 15D. 18【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.7． 已知直线x+ay ﹣1=0是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ） A ．2B ．6C ．4D ．28． 已知条件p ：|x+1|≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ．a ≤1 C ．a ≥﹣1D ．a ≤﹣39． 二项式（x 2﹣）6的展开式中不含x 3项的系数之和为（ ）A ．20B ．24C ．30D ．3610．已知偶函数f （x ）=log a |x ﹣b|在（﹣∞，0）上单调递增，则f （a+1）与f （b+2）的大小关系是（ ） A ．f （a+1）≥f （b+2） B ．f （a+1）＞f （b+2） C ．f （a+1）≤f （b+2） D ．f （a+1）＜f （b+2）11．在△ABC 中，b=，c=3，B=30°，则a=（ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．B ．2C ．或2D ．212．设函数f （x ）=的最小值为﹣1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≥﹣2B ．a ＞﹣2C ．a ≥﹣D ．a ＞﹣二、填空题13．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是y=x ，它的一个焦点在抛物线y 2=48x 的准线上，则双曲线的方程是 ．14．已知关于的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，则关于的不等式210bx ax ++>的解集 为___________.15．一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件i ＜m 中的整数m 的值是 ．16．过点（0，1）的直线与x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，则|AB|的最小值为 ．17．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】已知函数()f x xlnx ax ＝－＋在()0e ，上是增函数，函数()22xa g x e a ＝－＋，当[]03x ln ∈，时，函数g （x ）的最大值M 与最小值m 的差为32，则a 的值为______.18．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PBC △为等边三角形，则PC 与平面ABC 所成角的正弦值为______________.【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．三、解答题19．已知圆的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos （θ﹣）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点P 在该圆上，求线段OP 的最大值和最小值．20．在平面直角坐标系xOy中．己知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=4．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；（2）直线l与曲线C相交于A、B两点，求∠AOB的值．21．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．（1）证明：DF⊥AE；（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．22．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．23．（本小题满分12分）某市拟定2016年城市建设,,A B C三项重点工程，该市一大型城建公司准备参加这三个工程的竞标，假设这三个工程竞标成功与否相互独立，该公司对,,A B C三项重点工程竞标成功的概率分别为a，b，14()a b，已知三项工程都竞标成功的概率为124，至少有一项工程竞标成功的概率为34．（1）求a与b的值；（2）公司准备对该公司参加,,A B C三个项目的竞标团队进行奖励，A项目竞标成功奖励2万元，B项目竞标成功奖励4万元，C项目竞标成功奖励6万元，求竞标团队获得奖励金额的分布列与数学期望．【命题意图】本题考查相互独立事件、离散型随机变量分布列与期望等基础知识，意在考查学生的运算求解能力、审读能力、获取数据信息的能力，以及方程思想与分类讨论思想的应用．24．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且bsinA=acosB．（1）求B；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．25．已知函数f（x）=log a（x2+2），若f（5）=3；（1）求a的值；（2）求的值；（3）解不等式f（x）＜f（x+2）．26．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数（,是自然对数的底数）. （1）若函数在区间上是单调减函数,求实数的取值范围；（2）求函数的极值；（3）设函数图象上任意一点处的切线为，求在轴上的截距的取值范围．镇海区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】C【解析】解：∵，∴3x+2=0，解得x=﹣． 故选：C ．【点评】本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2． 【答案】B【解析】解：∵集合A={x|1≤x ≤3}，B={x|0＜x ＜a}， 若A ⊆B ，则a ＞3， 故选：B ．【点评】本题考查了集合的包含关系，考查不等式问题，是一道基础题．3． 【答案】B【解析】易知{}{}|10|1B x x x x =-≥=≥，所以()R A B =ð{}|21x x -≤<，故选B.4． 【答案】A【解析】解：∵函数f （x ）=3﹣|x ﹣1|+m的图象与x 轴没有交点，∴﹣m=3﹣|x ﹣1|无解，∵﹣|x ﹣1|≤0，∴0＜3﹣|x ﹣1|≤1，∴﹣m ≤0或﹣m ＞1， 解得m ≥0或m ＞﹣1 故选：A ．5． 【答案】D 【解析】试题分析：根据子集概念可知，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以选项D 是正确，故选D.考点：集合的概念；子集的概念. 6． 【答案】15 【解析】7．【答案】B【解析】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．∵AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|===6．故选：B．【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．8．【答案】A【解析】解：由|x+1|≤2得﹣3≤x≤1，即p：﹣3≤x≤1，若p是q的充分不必要条件，则a≥1，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．9．【答案】A【解析】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x12﹣3r，令12﹣3r=3，求得r=3，故展开式中含x3项的系数为•（﹣1）3=﹣20，而所有系数和为0，不含x3项的系数之和为20，故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．10．【答案】B【解析】解：∵y=log a|x﹣b|是偶函数∴log a|x﹣b|=log a|﹣x﹣b|∴|x﹣b|=|﹣x﹣b|∴x2﹣2bx+b2=x2+2bx+b2整理得4bx=0，由于x不恒为0，故b=0由此函数变为y=log a|x|当x∈（﹣∞，0）时，由于内层函数是一个减函数，又偶函数y=log a|x﹣b|在区间（﹣∞，0）上递增故外层函数是减函数，故可得0＜a＜1综上得0＜a＜1，b=0∴a+1＜b+2，而函数f（x）=log a|x﹣b|在（0，+∞）上单调递减∴f（a+1）＞f（b+2）故选B．11．【答案】C【解析】解：∵b=，c=3，B=30°，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：3=9+a2﹣3，整理可得：a2﹣3a+6=0，∴解得：a=或2．故选：C．12．【答案】C【解析】解：当x≥时，f（x）=4x﹣3≥2﹣3=﹣1，当x=时，取得最小值﹣1；当x＜时，f（x）=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+a﹣1，即有f（x）在（﹣∞，）递减，则f（x）＞f（）=a﹣，由题意可得a﹣≥﹣1，解得a≥﹣．故选：C．【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，主要考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法，属于中档题．二、填空题13．【答案】【解析】解：因为抛物线y2=48x的准线方程为x=﹣12，则由题意知，点F（﹣12，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=144，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以=，解得a2=36，b2=108，所以双曲线的方程为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c 和a 2的值，是解题的关键．14．【答案】),1()21,(+∞-∞ 【解析】考点：一元二次不等式的解法. 15．【答案】 6 ．【解析】解：第一次循环：S=0+=，i=1+1=2；第二次循环：S=+=，i=2+1=3；第三次循环：S=+=，i=3+1=4；第四次循环：S=+=，i=4+1=5；第五次循环：S=+=，i=5+1=6；输出S ，不满足判断框中的条件；∴判断框中的条件为i ＜6？故答案为：6．【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题16．【答案】 2【解析】解：∵x 2+y 2=4的圆心O （0，0），半径r=2， ∴点（0，1）到圆心O （0，0）的距离d=1， ∴点（0，1）在圆内．如图，|AB|最小时，弦心距最大为1，∴|AB|min =2=2．故答案为：2．17．【答案】52【解析】()1ln f x x a =--+'，因为()f x 在()0e ，上是增函数，即()0f x '≥在()0e ，上恒成立，ln 1a x ∴≥+，则()max ln 1a x ≥+，当x e =时，2a ≥，又()22xa g x e a =-+，令xt e =，则()[]2,1,32a g t t a t =-+∈， （1）当23a ≤≤时，()()2max 112a g t g a ==-+，()()2min 2a g t g a ==，则()()max min 312g t g t a -=-=，则52a =，（2）当3a >时，()()2max 112a g t g a ==-+，()()2min 332a g t g a ==-+，则()()max min 2g t g t -=，舍。