误差分析与计算

第三节 系统误差分析与计算对于一个控制系统来说，不但要求其是稳定的，而且还要求其动态特性要好。

但这还不够，因为系统在输入作用下的过渡过程和稳态过程组成了时间响应的全部内容，因而研究系统的稳态过程也是相当重要的。

评定稳态过程的质量指标为稳态误差，是系统控制准确度的一种量度，是一项重要的性能指标。

控制系统设计的课题之一，就是如何使系统的稳态误差小于某个允许值。

一、误差与稳态误差1、误差误差——严格说就是被控对象的实际输出信号与理论输出信号之差。

工程上有两种误差定义。

①按输出端定义的误差含义：误差为系统希望输出量与系统实际输出量之差。

即： ()()()r e t c t c t =−或： ()()()r E s C s C s =−一般来说，这种误差信号直观实用，但是常无法进行测量，具有明显的数学意义，工程实际中相对前一种误差较少使用。

②按输入端定义的误差。

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()11111E s R s B s R s H s C s R s H s s R s R s H s s G s H s R s G s H s R s G s H s =−=−=−Φ⎡⎤=−Φ⎣⎦⎡⎤=−⋅⋅⎢⎥+⎣⎦=⋅+有时也将()()()11e s G s H s Φ=+称为误差传递函数。

或者，误差表示为时间的函数：()()()e t r t b t =−这种形式的误差可以进行测量，具有一定的物理意义。

2、稳态误差在时域中误差是时间t 的函数()e t 。

一个稳定的闭环控制系统，在外加输入作用下，经过一段时间，其瞬态响应分量衰减到可以忽略的程度，其输出信号()c t 趋于稳态分量，同样其误差信号()ss c t ()e t 也将趋于一个稳态的。

()ss e t 稳态误差——当时间当t 时，→∞()e t 的稳态分量称为稳态误差，既稳定系统误差的终值。

记为()ss e t ()。

控制系统的误差分析和计算控制系统是一种能够根据输入信号自动调整输出信号以达到特定目标的系统。

在实际应用中，控制系统通常会存在误差，这是由于系统本身的局限性或者外部干扰所导致的。

因此，误差分析和计算是控制系统设计中非常重要的一个方面。

误差的分类在控制系统中，可以将误差分为静态误差和动态误差两类。

静态误差是指系统在达到稳定状态后与期望值之间的偏差，而动态误差则是指系统在过渡过程中可能出现的偏差。

静态误差静态误差可以进一步分为系统固有误差和外部扰动引起的误差两类。

1.系统固有误差：这种误差是由于系统本身的局限性造成的。

常见的系统固有误差有零点偏移和增益误差。

零点偏移是指当输入信号为零时，系统的输出不为零，而增益误差则是指系统的输出与输入的比例不匹配。

2.外部扰动引起的误差：除了系统固有误差外，控制系统还会受到外部扰动的影响而产生误差。

这些扰动可以是环境变化、传感器误差或者外力干扰等。

动态误差动态误差是指系统在过渡过程中与期望值之间的偏差。

常见的动态误差有超调、震荡和稳定时间等。

1.超调：当系统在响应过程中超过期望值时，会产生超调误差。

一般来说，超调误差越小，系统的性能越好。

2.震荡：当系统在过渡过程中出现频繁的来回振荡时，会产生震荡误差。

震荡误差会导致系统不稳定，甚至无法收敛到期望值。

3.稳定时间：稳定时间是指系统从初始状态到达稳定状态所需的时间。

稳定时间越小，系统的响应速度越快。

误差计算方法误差计算是评估控制系统性能的重要指标之一。

常用的误差计算方法包括绝对误差、相对误差和均方根误差等。

绝对误差绝对误差是指系统输出与期望值之间的差值的绝对值。

可以用以下公式表示：绝对误差 = |期望值 - 系统输出|绝对误差可以直观地反映系统的偏差情况，但它没有考虑到系统和期望值的尺度差异。

相对误差相对误差是指绝对误差与期望值之间的比值。

可以用以下公式表示：相对误差 = (绝对误差 / 期望值) * 100%相对误差可以解决绝对误差忽略尺度差异的问题，但它对于系统输出为零的情况会出现无穷大的情况。

测量误差分析及处理测量误差是指测量结果与被测量真值之间的差异。

在实际测量中，由于各种因素的影响，几乎所有的测量都存在一定的误差。

因此，对测量误差进行分析和处理是保证测量结果准确性和可靠性的重要步骤。

一、测量误差的分类1.由人工操作引起的误差：如读数、估计误差、标志误差等。

2.由测量仪器本身引起的系统误差：如仪器固有误差、量程误差、灵敏度误差、非线性误差等。

3.由环境条件引起的误差：如温度、湿度、大气压力等变化引起的误差。

4.由被测量对象本身引起的误差：如形状、材质、表面状态等造成的误差。

二、测量误差的处理方法1.校正补偿法：通过对测量仪器进行校正，把系统误差减小到最小范围内，提高测量仪器的准确性和可靠性。

2.平均法：通过多次测量并取平均值，消除人为误差以及瞬时误差，提高测量结果的精度。

3.区间估计法：根据测量值的分布规律进行统计分析，得到误差范围，从而对测量结果进行合理的处理和评定。

4.转化法：将不确定因素转化为已知的误差，通过相应的公式计算测量结果的修正值，从而减小测量误差的影响。

5.误差传递定律：通过分析测量结果与各个误差之间的关系，计算各个误差对测量结果的影响程度，确定主要影响因素，采取相应措施减小误差。

三、测量误差的评定标准1.绝对误差：指测量结果与真实值之差的绝对值，常用百分数表示。

2.相对误差：指测量结果与真实值之差除以真实值的比值，常用百分数表示。

3.系统误差：指一组测量值质量上所表现出的系统性偏差，可以通过校正来消除。

系统误差一般由测量仪器本身引起，是可以预测和确定的。

4.随机误差：指一组测量值中各个测量结果与其算术平均值之差，常用标准差描述。

随机误差是由多种因素共同作用引起的，通常无法完全消除，但可以通过重复测量和平均值来降低。

四、测量误差的控制措施1.选择合适的测量仪器：根据测量要求选择适合的测量仪器，保证其准确度和稳定性。

2.采取科学合理的测量方法：合理安排测量程序，严格按照测量要求进行测量操作，提高测量的可再现性和准确性。

误差分析与数值计算方法误差是数值计算中一个重要的概念，它代表着计算结果与真实值之间的差异。

在科学与工程领域中，对误差的理解和处理至关重要。

误差分析是一种量化误差的方法，可以帮助我们评估计算结果的可靠性和准确性。

本文将探讨误差分析的基本概念和数值计算方法中常用的误差分析技术。

一、误差的类型在误差分析中，我们主要关注两种类型的误差：绝对误差和相对误差。

绝对误差是计算结果与真实值之间的差异，通常用绝对值来表示。

相对误差则是绝对误差与真实值之比，在实际计算中更常用。

除了这两种基本的误差类型，我们还需要考虑舍入误差和截断误差。

舍入误差是由于计算过程中进行近似表示引起的误差，而截断误差则是由于截断计算结果的小数位数而引起的误差。

二、误差分析方法1. 精度与有效数字在数值计算中，精度是一个重要的概念。

它反映了计算结果的准确程度。

有效数字的概念与精度相关。

有效数字指的是计算结果中能够反映真实值的数字个数。

例如，测量结果为3.14时，有效数字为3。

在进行误差分析时，我们需要根据有效数字的要求来确定误差的大小和误差限度。

2. 误差传播误差的传播是指在数值计算过程中，误差如何从初始数据传递到最终结果。

误差传播的方法通常根据线性和非线性的计算过程来区分。

在线性系统中，误差传播相对简单，可以通过简单的数学方法进行分析。

而在非线性系统中，误差传播更加复杂，可能需要使用数值方法来近似计算误差的传递。

3. 误差估计误差估计是一种用于确定计算结果误差大小的技术。

常见的误差估计方法包括局部截断误差法、全局截断误差法和统计方法。

局部截断误差法是一种通过近似表示截断误差来估计计算结果误差的方法。

全局截断误差法则是通过分析整个计算过程来估计误差。

统计方法则是一种通过多次计算并分析计算结果的统计特性来估计误差大小的方法。

4. 数值稳定性和条件数数值稳定性是指数值计算方法对输入数据扰动的敏感度。

当计算方法对扰动非常敏感时，称其为数值不稳定。