2019-2020学年重庆外国语学校高一下学期6月月考数学试卷 (解析版)

重庆外国语学校2019—2020学年(下) 半期考试高2022级·数学试题（满分150分，120分钟完成）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每个小题只有一个正确选项）1.下列命题中，正确的是（ ） A. 若22a bc c<，则a b < B. 若a b >，则lg lg a b >C. 若a b >，则22a b >D. 若0a b >>，0c d <<，则ac bd >【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：对于A ，若22a bc c<，则20c >，则a b <，故A 正确； 对于B ，当0a b >>时，lg a 和lg b 无意义， 只有当0a b >>时，则lg lg a b >，故B 错；对于C ，若a b >，当0,1a b ==-时，22a b >不成立，故C 错； 对于D ，0a b >>，0c d <<时，则0c d ->->， 所以ac bd ->-，则ac bd <，故D 错. 故选：A ．【点睛】本题考查了不等式的性质，以及特殊值法的应用．2.设向量(3,)a m →=，向量(1,2)b →=-，若向量a →与向量b →共线，则m 的值为（ ） A.32B. 32-C. 6D. -6【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用向量共线的坐标运算即可求出结果.【详解】解：由题可知，(3,)a m →=，(1,2)b →=-，a →与b →共线， 则32m ⨯=-，解得：6m =-. 故选：D.【点睛】本题考查向量共线的坐标运算，属于基础题.3.已知集合{}2|230A x x x =--≤，集合{}||1|3B x x =-≤，集合4|05x C x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A ，B ，C 的关系为（ ）A. B A ⊆B. A B =C. C B ⊆D. A C ⊆【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法可求出集合A ，根据绝对值不等式的解法可求出集合B ，根据分式不等式的解法可求出集合C ，从而可得出集合A ，B ，C 间的关系. 详解】解：由于{}{{}2|23013A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}|1324B x x x x =-≤=-≤≤，{}4|0545x C x x x x -⎧⎫=≤=-<≤⎨⎬+⎩⎭，可知，A C ⊆. 故选：D. 【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式和分式不等式的解法，以及集合间的关系，考查计算能力. 4.正项等比数列{}n a 中，3a 2=，46a a 64⋅=，则5612a a a a ++的值是( )A. 4B. 8C. 16D. 64【答案】C 【解析】分析：设正项等比数列{a n }的公比为q ，由a 3=2，a 4•a 6=64，利用通项公式解得q 2，再利用通项公式即可得出． 详解：设正项等比数列{a n }的公比为q，，a 3=2，a 4•a 6=64，，228112,64,a q a q ==【解得q 2=4，则5612a a a a +=+=42=16， 故选C，点睛：本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律. 5.已知α为第二象限角，sin cos αα+=cos2α=（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】21312sin cos (sin cos ),221sin 2sin 232433k k ππααααπαπαα+=+=+<<+∴+=∴=-Q253cos 2424cos 292k k παππαπα=+<<+∴=Q ，故选A.6.设向量(,3)a n →=，向量(0,3)b →=，若向量23a b →→-与向量3a b →→-垂直，则n 的值为（ ）A.B. ±C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量坐标加减法运算分别求出()232,3a b n →→-=-和()33,6a b n →→-=，由于233a a b b →→→→⎛⎫⎛⎫-⊥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，再利用向量垂直的坐标运算，即可求出n 的值. 【详解】解：由题可知，(,3)a n →=，向量(0,3)b →=， 则()()()232,330,32,3a b n n →→-=-=-，()()()33,30,33,6a b n n →→-=-=，由于，则23180n n ⋅-=，解得：n = 故选：D【点睛】本题考查向量坐标的加减法运算和向量垂直的坐标运算，属于基础题.7.我们学校是一所有着悠久传统文化的学校，我们学校全名叫重庆外国语学校（Chongqing Foreign Language School ），又名四川外国语大学附属外国语学校，简称“重外”，1981年，被定为四川省首批办好的重点中学；1997年，被列为重庆市教委首批办好的直属重点中学之一；2001年被国家教育部指定为20%高三学生享有保送资格的全国十三所学校之一，今年我校保送取得了非常辉煌的成绩，目前为止，包括清华大学，北京大学在内目前共保送122名同学，其中北京大学，南开大学，北京外国语大学保送的人数成公差为正数的等差数列，三个学校保送人数之和为24人，三个学校保送学生人数之积为312，则北京外国语大学保送的人数为（以上数据均来自于学校官网）（ ） A. 10 B. 11C. 13D. 14【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设北京大学，南开大学，北京外国语大学保送的人数分别为,,a b c ，由等差中项的性质，可知a b c <<且2b a c =+，结合24312a b c abc ++=⎧⎨=⎩，求出c ，即可求得北京外国语大学保送的人数. 【详解】解：由题可知，设北京大学，南开大学，北京外国语大学保送的人数分别为,,a b c ， 可知，,,a b c 成公差为正数的等差数列，即：a b c <<， 则：2b a c =+，三个学校保送人数之和为24人，三个学校保送学生人数之积为312，则：24312a b c abc ++=⎧⎨=⎩，整理得：324b =，8b ∴=，1639a c ac +=⎧∴⎨=⎩，解得：3a =或13（舍去），所以3,13a c ==，即北京外国语大学保送的人数为13. 故选：C.【点睛】本题考查等差数列的实际应用，涉及等差中项的性质，属于基础题.8.若数列{}n a 为等差数列，n S 为数列n a 的前n 项和，已知1020S =，3090S =，则20S 的值为（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可知，1020103020,,,S S S S S --L 是等差数列，即202020,20,90S S --成等差数列，利用等差中项的性质，即可列式求出20S .【详解】解：已知数列{}n a 为等差数列，1020S =，3090S =， 则232,,,n n n n n S S S S S --L 也是等差数列， 所以，1020103020,,,S S S S S --L 是等差数列， 即：202020,20,90S S --成等差数列， 由等差中项得：()20202202090S S -=+-， 解得：2050S =. 故选：B.【点睛】本题考查等差数列前n 项和的有关性质，以及等差中项的应用，考查计算能力. 9.若x ，y R +∈，且315x y+=，则34x y +的最小值是（ ）A. 5B.245C.5D.195【答案】A 【解析】 【分析】 将条件315x y+=进行转化，利用基本不等式，即可得到式子的最小值．【详解】解：由于正数x ，y 满足315x y+=，则319412334(34)()555555y x x y x y x y x y+=++=+++1313625555≥++⨯=， 即：345x y +≥，当且仅当12355y x x y=，即2x y =，即523131y x y y +=+=， 1x ∴=，12y =时取等号， 故34x y +的最小值是5. 故选：A ．【点睛】本题考查基本不等式的应用，将条件进行转化，利用1的代换是解决本题的关键．10.如图，在ABC V 中，14AD AB →→=，12AE AC →→=，BE 和CD 相交于点F ，则向量AF →等于（ ）A. 1277AB AC →→+B. 1377AB AC →→+C. 121414AB AC →→+ D. 131414AB AC →→+ 【答案】B 【解析】 【分析】过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ，作//FN AC 交AB 于点N ，由平行线得出三角形相似，得出线段成比例，结合14AD AB →→=，12AE AC →→=，证出37AM AC →→=和17AN AB →→=，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得AB →和AC →表示AF →.【详解】解：过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ，作//FN AC 交AB 于点N ，已知14AD AB →→=，12AE AC →→=，//FN AC Q ，则MFE ABE :△△和MCF ACD :△△，则：MF ME AB AE =且MF MCAD AC=， 即：2MF ME AB AC=且14MF MC AC AB =，所以124MCMF ME AB AC AC ==， 则：8MC ME =，所以37AM AC =，解得：37AM AC →→=，同理//FM AB ，NBF ABE :△△和NFD ACD :△△，则：NF NB AE AB =且NF NDAC AD =， 即：12NF NB AB AC =且14NF ND AC AB=，所以142NBNF ND AC AB AB ==， 则：8NB ND =，即()8AB AN AD AN -=-， 所以184AB AN AB AN ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即28AB AN AB AN -=-， 得：17AN AB =， 解得：17AN AB →→=，Q 四边形AMFN 是平行四边形，∴由向量加法法则，得AF AN AM →→→=+，所以1377AF AB AC →→→=+.故选：B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理，考查运算能力.11.O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，[)0,μ∈+∞，则P 点的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心【答案】B 【解析】 【分析】 先根据||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，确定||||A AB A AC C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，再由AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭可得到AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，可得答案．【详解】解：Q||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，∴||||A AB A AC C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，又Q AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，∴AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴向量AP →的方向与BAC ∠的角平分线一致∴P 点的轨迹一定经过ABC V 的内心.故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的线性运算和向量的数乘，以及对三角形内心的理解，考查化简运算能力． 12.数列{}n a 满足()11121n n n a a n ++=-+-，则数列{}n a 的前48项和为（ ）A. 1006B. 1176C. 1228D. 2368【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可知()11121n n n a a n ++--=-，分别列出各项，再整理得出132a a +=，248a a +=，572a a +=，6824a a +=，L ，45472a a +=，4648184a a +=，可知，相邻的奇数项之和为2，相邻的偶数项之和为等差数列，首项为8，公差为16，利用分组求和法，即可求出{}n a 的前48项和. 【详解】解：由题可知，()11121n n n a a n ++=-+-，即：()11121n n n a a n ++--=-，则有：211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，8713a a -=，9815a a +=，L ，474691a a +=，484793a a -=.所以，132a a +=，248a a +=，572a a +=，6824a a +=，L ，45472a a +=，4648184a a +=，可知，相邻的奇数项之和为2，相邻的偶数项之和为等差数列，首项为8，公差为16， 设数列{}n a 的前48项和为48S ，则4812345645464748S a a a a a a a a a a =++++++++++L ，()()1357454724684648a a a a a a a a a a a a =+++++++++++++L L12111221281611762⨯=⨯+⨯+⨯=， 所以数列{}n a 的前48项和为：1176. 故选：B.【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及利用分组求和法求和，考查归纳思想和计算能力.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1054100S S ==，则n a 的通项公式为_____. 【答案】21n -【解析】 【分析】根据题意，得出525S =，10100S =，根据等差数列前n 项和列式求出1a 和d ，最后运用等差数列通项公式即可求出.【详解】解：由题可知，{}n a 为等差数列，且1054100S S ==， 则：525S =，10100S =， 即：11510251045100a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：112a d =⎧⎨=⎩，所以()11221n a n n =+-⨯=-， 则n a 的通项公式为：21n -. 故答案为：21n -.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和利用等差数列前n 项和公式求出基本量，属于基础题.14.已知向量a r 、b r的夹角为120°，1a =r ，3b =r ，则2a b +=r r _____．【解析】 【分析】根据模的计算公式：2a b +=r r【详解】向量a r 、b r的夹角为120°，1a =r ，3b =r ，所以()22a b+=r r 42a +r4a r •2b b +=r r 4×1+4×1×3×cos120°+9＝7，所以2a b +=rr【点睛】本题主要考查了向量模的计算，属于基础题。

等于第 1 页，共 12 页2018-2019 学年重庆外国语学校高一（下）期中数学试卷选择题（本大题共 12小题，共 60.0 分）数列 1， ，，， ， 的一个通项公式可能是 A. 已知 ， A.B. C.， a ， b ， ，则下列不等式成立的是D.B . 中，B . 已知等差数列 A. 64 在 中， ， ， A.B.在 中，若 ， A.等腰三角形 B.钝角三角形 D.， ，则 的值是31 C.C. 30，则 b 等于D.15 二次不等式 的解集为 C. 则 必定是 C.直角三角形 ，则 D. D.A. B. 5C. 已知 中，角 A ，B ，C 的对边为 面积为 3，则 A.已知等比数列 a ，b ， B. C. 中，各项都是正数，且 锐角三角形 ab 的值为 D.6 c ，且 ， ， 的 ，， D.成等差数列，则 等于A.6 等差数列 中， ， ，当其前 n 项和取得最大值时， A.16 B.8 某校运动会开幕式上举行升旗仪式， 排测得旗杆顶部的仰角分别为 B. 7 C.8 D. 9 C. 9 D.17 在坡度为的看台上， 同一列上的第一和最后 ， 和 ，第一排和最后一排的距离为 如图所示 ，则旗杆的高度为A. 10m数列 满足 ，且对于任意的 都有D.，则1. 2.3. 4.5. 6.7.8.9. 10.11.B.C.12.已知数列的前n 项和为，且满足，，，若不等式对任意的正整数n恒成立，则整数m的最大值为A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.在等比数列中，已知，则_________________________14.在中，，，，则解的情况是____________________________________ 填“无解”“一解”或“两解”15.在数列中，已知，则__________________________________ ．16.在中，a，b，c分别为内角A，B，C 的对边，其面积为S，若，则周长的最大值为____________ ．三、解答题（本大题共6 小题，共70.0 分）17.已知数列是公差不为0 的等差数列，首项，且，，成等比数列．求数列的通项公式；设数列满足，求数列的前n 项和18.设函数．若，解不等式；若，解关于x 的不等式．19.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c 已知．Ⅰ 求角C 的大小Ⅱ 若，的面积为，求的周长．20. 已知数列 的前 n 项的和为 ，且 ，其中 ．求数列 的通项公式； 若数列 满足 ，求数列的前 n 项和 ，并证明 ．若 ，求 的大小； 若 ，且 ，求 AD 的长．已知数列 满足 ， 设 ，求证是等比数列；求数列 的通项公式；设 ，数列 的前 n 项和为 ，求 的范围．21. 如图， D 是直角 斜边 BC 上一点， ．22.1.答案： B解析： 【分析】 本题考查了不完全归纳法求数列的通项公式，做题时要认真观察，找到规律，属于基础 题．根据数列前几项找规律，求出数列的通项公式，【解答】 解：数列 1， ， ， ， 中， 分子是连续整数，分母是连续奇数， 故数列 1， ， 故选 B ．2.答案： B解析： 解： ，，故选： B ． 由不等式的性质直接可以判断选项 B 正确 本题考查不等式性质的运用，属于基础题．3.答案： D解析： 【分析】 本题考查了等差数列的性质，属于基础题． 对等差数列 ，有 成立，代入数值计算即可． 【解答】 解：因为 是等差数列， 所以所以 ． 故选 D ．4.答案： A解析： 【分析】 本题考查正弦定理的应用，三角形的解法，是基础题． 利用三角形的内角和求出 C ，然后利用正弦定理求解即可． 【解答】解： 中， ， ， ，故选： A ．5.答案： A答案与解析的一个通项公式可能是，由正弦定理可得：解析：解：，由余弦定理可得，，整理可得，，为等腰三角形．故选：A．由已知结合余弦定理即可得到b，c 之间的关系，从而可判断．本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的简单应用，属于基础题．6. D解析：解：不等式的解集为，，原不等式等价于，由韦达定理知，，，，．故选：D ．先对原不等式进行等价变形，进而利用韦达定理求得和的值，进而求得aba和b，则的值可求得．本题主要考查了一元二次不等式的解法，注意和一元二次方程的相关问题解决．7.答案：C解析：解：，，．的面积为3，，解得．则，解得．故选：C．利用三角形面积计算公式及其余弦定理即可得出．本题考查了三角形面积计算公式及其余弦考查了推理能力与计算能力，属于中档定理，题．8.答案：D解析：解：，，成等差数列，，，，舍去．故选：D ．根据所给的三项成等差数列，写出关系式，得到公比的值，把要求的代数式整理成只含 有首项和公比的形式，进一步化简计算得到结果．本题主要考查了等差数列和等比数列的性质， 考查了学生综合分析的能力和对基础知识 的理解，是基础题．9.答案： B，当其前 n 项和取得最大值时， ． 故选： B ． 本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质， 中档题．10.答案： B解析： 解：如图， 依题意知 ，，在 中， ，即旗杆的高度为 30m ． 故选： B ．作图，分别求得 ， 和 ，然后利用正弦定理求得 AC ，最后在直角 三角形 ACD 中求得AD本题主要考查了解三角形的实际应用． 结合了正弦定理等基础知识， 考查了学生分析和 推理的能力，属于中档题．11.答案： D解析： 解： 数列 满足 ，且对于任意的 都有 ， ，解析： 解： ，利用等差数列的通项公式求和公式及其性质可得：进而得出结论．考查了推理能力与计算能力， 属于由正弦定理知． ．． ．故选： D ．数列 满足 ，且对于任意的 都有 ，可得，利用 ，可得再利用裂项求和方法即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、累加求和方法、裂项求和 方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案： B解析：解： ， ， ， 可得时， ，由 可得 ， 即有 ； 不等式 ， 当 时， 不成立， 即为 ，即为， 设 ， ， 可得 ， 即有 为 的最大值，且为 ，即有 ，即 ，可得 m 的最大值为 4． 故选： B ．将 n 换为 ，两式相减，运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，可得； ，设断单调性，可得 的最大值，解不等式可得所求最大值．本题考查整数的最大值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是中档题．13.答案： 4解析： 解：根据题意，在等比数列 中， 已知 ，则 ，则 ， 则； 故答案为： 4．根据题意，由等比数列的性质可得 ，则 ，又由 ，即可得答 案． 本题考查等比数列的性质，关键是掌握等比中项的性质，属于基础题．14.答案： 无解解析： 解：由正弦定理得： 即 ，解得 ， 因为， ，故角 B 无解． 即此三角形解的情况是无解． 故答案为：无解．．由 a ， b 及 sinA 的值，利用正弦定理即可求出 sinB 的值，求解即可．，判即有 ，此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，是一道基础题．15.答案：解析：解：在数列中，已知，当时，，所以数列的等差数列，则．所以．故答案为：．推出数列是等差数列，求出通项公式，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，是基本知识的考查．16.答案：6解析：解：，，，．由余弦定理可得：，可得，即，当且仅当时取等号．周长的最大值为．故答案为：6．由，利用三角形面积计算公式、余弦定理可得A ，再利用余弦定理、结合基本不等式的性质即可得出．本题考查了三角形面积计算公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：设数列的公差为d，由题意，即：，解得：，或舍去，所以：．由可知，，，．解析：直接利用已知条件求出数列的通项公式．利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求出数列的和．18.答案：解：，当时，即为，即，解得故不等式的解集为；由可知，，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为空集；当时，不等式的解集为．解析：将代入，直接计算即可；可知，然后分类讨论即可求解不等式．本题主要考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，属于基础题．19.答案：解：Ⅰ ．由正弦定理可得：，，可得：，，．Ⅱ ，，的面积为，解得：，由余弦定理可得：，解得：，的周长．解析：Ⅰ 由正弦定理可得，结合，可求，结合范围，可求C 的值．Ⅱ 由已知利用三角形面积公式可求 ，根据余弦定理可解得 ，即可 解得 的周长． 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于 中档题．20.答案： 解：在中，由 时， ，得 ，当 时， ， 由 ， ， 两式相减得 ，即 是首项为 ，公比为 的等比数列， 所以 ， ；求得 ，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和，再由不等式的性质，即可得证． 本题考查数列的递推式的运用： 求通项公式， 考查等比数列的通项公式和求和公式的运 用，以及数列的错位相减法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．21.答案： Ⅰ ， ， ，在 中，由正弦定理可得：，，或 ，又，；Ⅱ，，解运用数列的递推式： 时， ，当 时， ，结 ．合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项公式；两式相减得：所以证明： ， 则在 中，由勾股定理可得： ，可得： ，， ， ，令 ，由余弦定理：在 中， ，在 中， ，， 解得： ，可得： ．解析： 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计 算能力和转化思想，属于中档题．Ⅰ 由已知可求 ，在 中，由正弦定理可得 ，即 可解得 ．Ⅱ 由已知在 中，由勾股定理可得 ， ， ，令22.答案： 证明：依题意，由 ，可得两边取以 5 为底的对数，可得，即 ．，数列 是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列． 解：由 知， ， 即，，，可得：，由余弦定理即可解得 AD的值．，．解：由 知，解析：第题将递推式进行转化变形可得再两边取以5 为底的对数进行计算可证得数列是等比数列；第题先根据第题的结论计算出数列的通项公式，进一步可计算出数列的通项公式；第题先将数列的表达式进行变形之后运用裂项相消法计算前n 项和，然后根据逐步推导并进行不等式运算可得的范围．本题主要考查数列由递推公式求通项公式，裂项相消法计算前n项和．考查了转化和化归思想，整体思想，以及不等式的运算能力，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．。

2019-2020学年重庆市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．直线ax﹣y+1＝0与3x+y+2＝0垂直，则实数a＝（）A．﹣3B．﹣C．D．32．已知向量，则＝（）A．4B．5C．6D．73．某学校采购了10000只口罩，其中蓝色、粉色、白色的比例为5：3：2，若采用分层抽样的方法，取出500只分发给高一年级学生使用，则抽到白色口罩的只数为（）A．300B．250C．200D．1004．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则甲组数据的众数与乙组数据的中位数分别是（）A．52，65B．52，66C．73，65D．73，665．设等差数列{a n}前n项和为S n，若a2+a11＝4，则S12＝（）A．12B．24C．36D．406．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a cos C＝c sin A，则C＝（）A．B．C．D．7．从单词“book”的四个字母中任取2个，则取到的2个字母不相同的概率为（）A．B．C．D．8．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝2a4+3a3，则a6＝（）A．2B．54C．162D．2439．已知变量x，y满足不等式组，则z＝x﹣2y的最大值为（）A．﹣3B．C．1D．210．中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，已知四个直角三角形的两条直角边的长度之比为，若向大正方形中随机投入一点，则该点落入小正方形的概率为（）A．B．C．D．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b2≥2c2，则角C的最大值为（）A．B．C．D．12．已知P为△ABC所在平面内的一点，＝2，||＝4，若点Q在线段AP上运动，则的最小值为（）A．﹣9B．﹣12C．﹣3D．﹣4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则b ＝．14．已知单位向量满足，则与的夹角的余弦值为．15．已知x＞0，y＞0，且，则2x+y的最小值为．16．已知数列{a n}的通项公式为，将数列{a n}中的奇数项按原顺序依次排列得到新数列{b n}，则数列{b n}的前n项和为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，点A（1，3），B（2，1），C（﹣1，0）．（1）求直线AB的方程；（2）求△ABC的面积．18．已知函数f（x）＝x2﹣（2a+1）x+a+1，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤0的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥0的解集为R，求a的取值范围．19．已知向量．（1）若，其中λ＜0，求的坐标；（2）若与的夹角为，求的值．20．自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产．某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图．已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等．（1）估计口罩生产车间工人生产速度的中位数；（2）为了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄（参加工作的年限），数据如表：工龄x（单位：年）68121014生产速度y（单位：4055606065件/小时）根据上述数据求每名工人的生产速度关于他的工龄x 的回归方程，并据此估计该车间某位有18年工龄的工人的生产速度．回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝﹣．21．在△ABC中，AC ＝，CD平分∠ACB交AB于点D，已知CD ＝，∠BDC ＝．（1）求AD；（2）求．22．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a8﹣2a3＝3，S3＝a7．（1）求a n及S n；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，是否存在正整数m，n（m＜n），使得成等比数列？若存在，求出所有满足条件的m，n；否则，请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线ax﹣y+1＝0与3x+y+2＝0垂直，则实数a＝（）A．﹣3B．﹣C．D．3【分析】由已知结合直线垂直的条件即可求解．解：因为直线ax﹣y+1＝0与3x+y+2＝0垂直，所以3a﹣1＝0即a＝．故选：C．2．已知向量，则＝（）A．4B．5C．6D．7【分析】求出向量的和，然后求解向量的模即可．解：向量，可得＝（3，4），则＝＝5．故选：B．3．某学校采购了10000只口罩，其中蓝色、粉色、白色的比例为5：3：2，若采用分层抽样的方法，取出500只分发给高一年级学生使用，则抽到白色口罩的只数为（）A．300B．250C．200D．100【分析】用样本容量乘以白色口罩占的比例，即为所求．解：白色口罩占的比例为＝，故应抽取500×＝100只，故选：D．4．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则甲组数据的众数与乙组数据的中位数分别是（）A．52，65B．52，66C．73，65D．73，66【分析】根据众数与中位数的定义结合茎叶图中数据即可得出答案．解：甲组数据为：52，52，68，73，73，73，73，84；故甲里面的众数是73，乙组数据从小到大排列为：51，56，64，66，72，82；正中间两个为64，66；故乙组数据的中位数为65．故选：C．5．设等差数列{a n}前n项和为S n，若a2+a11＝4，则S12＝（）A．12B．24C．36D．40【分析】根据题意，由等差数列的性质可得a1+a12＝4，进而有等差数列的前n项和公式计算可得答案．解：根据题意，等差数列{a n}中a2+a11＝4，则a1+a12＝4，则有S12＝＝＝24；故选：B．6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a cos C＝c sin A，则C＝（）A．B．C．D．【分析】由已知利用正弦定理可得：sin A cos C＝sin C sin A，结合sin A＞0，利用同角三角函数基本关系式可求tan C＝1，结合范围C∈（0，π），可求C的值．解：∵a cos C＝c sin A，∴由正弦定理可得：sin A cos C＝sin C sin A，∵A为三角形内角，sin A＞0，∴可得：cos C＝sin C，即tan C＝1，∵C∈（0，π），∴C＝．故选：A．7．从单词“book”的四个字母中任取2个，则取到的2个字母不相同的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝，取到的2个字母不相同包含的基本事件个数m＝＝5．由此能求出取到的2个字母不相同的概率．解：从单词“book”的四个字母中任取2个，基本事件总数n＝，取到的2个字母不相同包含的基本事件个数m＝＝5．∴取到的2个字母不相同的概率p＝．故选：D．8．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝2a4+3a3，则a6＝（）A．2B．54C．162D．243【分析】根据题意，由等比数列的性质可得a2q3＝2a2q2+3a2q，变形可得q2＝2q+3，解可得q的值，结合等比数列的通项公式分析可得答案．解：根据题意，各项均为正数的等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝2a4+3a3，则a2q3＝2a2q2+3a2q，变形可得q2＝2q+3，进而可得q＝3或﹣1，又由{a n}各项均为正数，则q＝3，则a6＝a2q4＝162；故选：C．9．已知变量x，y满足不等式组，则z＝x﹣2y的最大值为（）A．﹣3B．C．1D．2【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x﹣2y，得y＝x﹣z，平移直线y＝x﹣z，由图象可知当直线y＝x﹣z经过点B时，直线y＝x﹣z 的截距最小，此时z最大，由，解得B（，），此时z max＝﹣2×＝﹣．故选：B．10．中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，已知四个直角三角形的两条直角边的长度之比为，若向大正方形中随机投入一点，则该点落入小正方形的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出两个正方形的边长之间的关系即可求解结论．解：设小正方形的边长为1；则直角三角形另一直角边为2；故大正方形的边长为：＝；故向大正方形中随机投入一点，则该点落入小正方形的概率为：＝；故选：C．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b2≥2c2，则角C的最大值为（）A．B．C．D．【分析】利用余弦定理表示出cos C，利用基本不等式变形，将已知等式代入求出cos C 的最小值，即可确定出C的最大值．解：∵a2+b2≥2c2，a2+b2≥2ab，∴cos C＝≥＝≥＝，∵C为三角形内角，C∈（0，π），且cos C在（0，π）上单调递减，故C，∴角C的最大值为，故选：B．12．已知P为△ABC所在平面内的一点，＝2，||＝4，若点Q在线段AP上运动，则的最小值为（）A．﹣9B．﹣12C．﹣3D．﹣4【分析】本题根据题意画出图形，结合图形表示出向量，，再根据已知条件可推导出得+2＝3，再代入进行转化计算，并将向量运算的最值问题转化二次函数的最值问题，进行计算即可得到正确选项．解：由题意，画图如下，根据题意及图，可知＝﹣，＝﹣，∵＝2，∴﹣＝2（﹣），整理，得+2＝3，则＝•3＝﹣3||•||＝﹣3||•（4﹣||）＝3（||2﹣4||），设||＝m，很明显m∈[0，4]，故＝3（||2﹣4||）＝3（m2﹣4m）＝3（m﹣2）2﹣12，根据二次函数的性质，可知：当m＝2时，取得最小值为﹣12．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则b ＝．【分析】由已知利用特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式可求sin B，sin A的值，进而由正弦定理可求得b的值．解：∵，∴sin B＝，sin A＝＝，∴由正弦定理，可得：b＝＝＝．故答案为：．14．已知单位向量满足，则与的夹角的余弦值为．【分析】运用向量的模的平方的运算法则，结合向量，的数量积，求解向量的夹角公式即可．解：单位向量满足，可得|﹣2|2＝4，即，1﹣4×+4＝4，所以＝．故答案为：．15．已知x＞0，y＞0，且，则2x+y的最小值为9．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x＞0，y＞0，且，则2x+y＝（2x+y）（）＝（10+）＝9，当且仅当且即x＝，y＝6时取等号，此时2x+y取得最大值9．故答案为：916．已知数列{a n}的通项公式为，将数列{a n}中的奇数项按原顺序依次排列得到新数列{b n}，则数列{b n}的前n项和为•4n﹣3n2．【分析】本题先根据题意计算出数列{b n}的通项公式，然后根据通项公式的特点运用分组求和法可计算出数列{b n}的前n项和．解：由题意，可知b n＝a2n﹣1＝22n﹣1﹣3（2n﹣1）+1＝•4n﹣6n+4，故b1+b2+…+b n＝（•41﹣6×1+4）+（•42﹣6×2+4）+…+（•4n﹣6n+4）＝（41+42+…+4n）﹣6×（1+2+…+n）+4n＝•﹣6•+4n＝•4n﹣3n2+n﹣．故答案为：•4n﹣3n2+n﹣．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，点A（1，3），B（2，1），C（﹣1，0）．（1）求直线AB的方程；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）先求AB的斜率，进而可求直线方程；（2）先求出点C到AB的距离，进而可求三角形的面积解：（1）由题意可知，直线AB的斜率k＝＝﹣2，故直线AB的方程为y﹣1＝﹣2（x﹣2）即y＝﹣2x+5，（2）点C到直线AB的方程d＝＝，|AB|＝＝，故△ABC的面积S＝＝．18．已知函数f（x）＝x2﹣（2a+1）x+a+1，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤0的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥0的解集为R，求a的取值范围．【分析】（1）由二次不等式的解法：因式分解法，可得所求解集；（2）由二次不等式恒成立，可得判别式小于等于0，解不等式可得所求范围．解：（1）当a＝1时，不等式f（x）≤0即x2﹣3x+2≤0，即（x﹣1）（x﹣2）≤0，可得1≤x≤2，可得解集为[1，2]；（2）关于x的不等式f（x）≥0的解集为R，可得△＝（2a+1）2﹣4（a+1）＝4a2﹣3≤0，解得﹣≤a≤，则a的取值范围是[﹣，]．19．已知向量．（1）若，其中λ＜0，求的坐标；（2）若与的夹角为，求的值．【分析】本题第（1）题先根据已知条件代入可得向量关于λ的坐标，然后根据模的定义进行计算，即可得到λ的值，从而可得的坐标；第（2）题先计算出的模，然后根据向量的运算及向量的数量积对进行化简计算并代入数值即可计算出结果．解：（1）由题意，可知＝（λ，﹣2λ），则＝＝•|λ|＝2，故|λ|＝2，∵λ＜0，∴λ＝﹣2，∴＝（﹣2，4）．（2）由题意，可知||＝＝，则＝22﹣•﹣2＝2•||2﹣||•||•cos ＜，＞﹣||2＝2•（）2﹣•2•cos﹣（2）2＝10﹣10•（﹣）﹣20＝﹣5．20．自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产．某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图．已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等．（1）估计口罩生产车间工人生产速度的中位数；（2）为了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄（参加工作的年限），数据如表：工龄x（单位：年）68121014生产速度y（单位：4055606065件/小时）根据上述数据求每名工人的生产速度关于他的工龄x 的回归方程，并据此估计该车间某位有18年工龄的工人的生产速度．回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝﹣．【分析】（1）设前4组的频数分别为a1，a2，a3，a4，公差为d，由已知列式求得首项与公差，再由中位数公式列式求解工人生产速度的中位数；（2）求出与的值，可得线性回归方程，取x＝18求得y值即可．解：（1）设前4组的频数分别为a1，a2，a3，a4，公差为d，由题意a2＝a1+d＝0.016×10＝0.16．①故a1+a2+a3+a4＝4a1+6d＝1﹣0.016×10＝0.84．②联立①②，解得a1＝0.06，d＝0.1．又a1+a2+a3＝0.48，∴中位数为50+＝；（2），＝．＝＝＝，．∴回归直线方程为．当x＝18时，．故估计该车间某位有18年工龄的工人的生产速度为78件/小时．21．在△ABC中，AC＝，CD平分∠ACB交AB于点D，已知CD＝，∠BDC＝．（1）求AD；（2）求．【分析】（1）设AD＝m，在△ADC中，由余弦定理可得AD的值；（2）在△BDC，△ADC中，由正弦定理即可求解．解：（1）设AD＝m，∠ADC＝π﹣∠BDC＝π﹣＝，所以，在△ADC中，由余弦定理可得：m2+CD2﹣2m•CD•cos＝AC2，即m2+2﹣2m•（﹣）＝10，解得m＝2，即AD＝2．（2）在△BDC，△ADC中，由正弦定理可得：＝＝＝＝＝．22．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a8﹣2a3＝3，S3＝a7．（1）求a n及S n；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，是否存在正整数m，n（m＜n），使得成等比数列？若存在，求出所有满足条件的m，n；否则，请说明理由．【分析】本题第（1）题先设等差数列{a n}的公差为d，然后根据已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出a n及S n；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后根据通项公式的特点运用裂项相消法计算出前n项和T n的表达式，分别写出故T1，T m，T n的表达式，然后根据等比中项的性质列出关于m、n的关系式，再进一步转化成用m表示出n的表达式，根据m＜n且m∈N*，列出关于m的不等式并解出m的取值范围，再根据m的取值范围及m∈N*确定m的可能取值，并计算出对应的n的取值，最后根据n∈N*，即可确定满足条件的m，n的对应取值．解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则，化简整理，得，解得，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1，n∈N*，S n＝3n+×2＝n2+2n．（2）由（1）知，＝＝（﹣），则T n＝b1+b2+…+b n＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝，故T1＝×＝，T m＝，T n＝，∵成等比数列，∴T m2＝T1•T n，即＝•，化简，得3（2n+3）m2＝n（2m+3）2，整理，得n＝，∵m＜n且m∈N*，∴m＜，m∈N*，解得3＜m＜3（1+），∵6＜3（1+）＜7，且m∈N*，∴3＜m＜7，∴m可能取的值为4，5，6，当m＝4时，n＝＝，当m＝5时，n＝＝，当m＝6时，n＝＝36，∵n∈N*，∴满足条件的m，n只有一组，即为：．。

2018-2019学年重庆市重庆外国语学校高一下学期期中数学试题一、单选题1．数列1，，，，，…的一个通项公式是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】通过观察数列的分子和分母，猜想出数列的通项公式. 【详解】由于数列的分母是奇数列，分子 是自然数列，故通项公式为.故选D.【点睛】本小题考查观察数列给定的项，猜想数列的通项公式.根据分子和分母的规律，易得出正确的选项.属于基础题.2．已知a b >，0abc ≠，,,a b c ∈R ，则下列不等式成立的是( ) A ．22a b > B ．a c b c ->-C ．ac bc >D ．22a b< 【答案】B【解析】不等式两边同时加上同一个实数不等号不变. 【详解】若a b >，因为不等式两边同时加上同一个实数不等号不变，所以a c b c ->-. 故选：B 【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.3．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64【答案】A【解析】根据等差数列性质解得8a ，再根据等差数列性质得结果. 【详解】因为79881284162168216115a a a a a a a +=∴=∴=∴=-=-=故选:A 【点睛】本题考查等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．在△ABC 中，cA ＝75°，B ＝60°，则b 等于( ) A．2BC ．32D．2【答案】A【解析】因为A ＝75°，B ＝60°， 所以C ＝180°－75°－60°＝45°． 在△ABC 中，由正弦定理得sin sin b cB C=，所以sin sin 60sin sin 452c B b C ︒====︒．选A ．5．在ABC ∆中，若2cos 0a b C -=，则ABC ∆必定是( ) A ．等腰三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．锐角三角形【答案】A【解析】利用正弦定理进行边角互化可得sin 2sin cos 0A B C -=，进一步化简可推出B C =，三角形为等腰三角形.【详解】2cos 0a b C -=Q ，sin 2sin cos 0A B C ∴-=，又()A B C π=-+,所以sin()2sin cos 0cos sin sin cos 0B C B C B C B C +-=⇒-=， 化简得sin()0C B -=，所以B C =，ABC ∆为等腰三角形. 故选：A 【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形的形状，属于基础题.6．设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,则ab 的值是A ．-6B ．-5C ．6D ．5【答案】C【解析】由一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭, 可得0a <且1-和13是210ax bx ++=的两根，从而利用根与系数的关系求解即可. 【详解】由一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,可得：0a <且1-和13是210ax bx ++=的两根， 所以：()01131113a b a a ⎧⎪<⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，从而得：3b 2a =-=-，.所以6ab =. 故选C.. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解及二次方程根与系数的关系，属于基础题. 7．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边为,,a b c ，且5a =，4cos 5C =，ABC ∆的面积为3，则c = A．B．CD【答案】C【解析】由三角形面积公式可求b,再根据余弦定理可求c. 【详解】 因为4cos 5C =,所以3sin 5C =， 由in 12s S ab C =，可得2b =， 根据余弦定理，22242cos 2920135c a b ab C =+-=-⨯=，所以c = ，故选C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题.8．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且13213,,22a a a 成等差数列，则8967a a a a +=+ A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】D【解析】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0），由题意可得关于q 的式子，解之可得q ，而所求的式子等于q 2，计算可得． 【详解】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0） 由题意可得31212322a a a ⨯=+，即q 2-2q-3=0， 解得q=-1（舍去），或q=3，故()26728967679a a qa a q a a a a ．++===++ 故选：D ． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题． 9．等差数列{}n a 中，16170,0S S ><，当其前n 项和取得最大值时，n =( ) A ．16 B ．8C ．9D ．17【答案】B【解析】由等差数列的前n 项和公式知若16170,0S S ><则80a >，90a <，所以8S 为最大值. 【详解】116168916()=8()02a a a S a +=+>，所以890a a +>，11717917()1702a a S a +==<，所以90a <，则80a >，可知8a 是等差数列{}n a 中大于零的最后一项，因此8S 是前n 项和里最大的. 故选：B 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式及其最值，等差数列的性质，属于基础题. 10．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15︒的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30︒，第一排和最后一排的距离为106m （如图所示），则旗杆的高度为（ ）A ．10m B ．30m C ．103m D ．203m【答案】B【解析】如图，依题意知∠ABC=30°+15°=45°,∠ACB=180°−60°−15°=105°，∴∠BAC=180°−45°−105°=30°， 由正弦定理知sin sin BC AC BAC ABC=∠∠，∴1062203122BC AC sin ABC sin BAC =⋅∠=⨯=∠(m) 在Rt △ACD 中,332033022AD AC =⋅=⨯= (m) 即旗杆的高度为30m. 本题选择B 选项.点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.11．数列{}n a 满足11a =，且对于任意的n *∈N 都有11n n a a a n +=++，则122017111···a a a +++等于（ ） A ．20162017B ．40322017C ．20172018D ．40342018【答案】D【解析】由题意可得：11n n a a n +-=+，则：1213211,2,23,,n n a a a a a a n -=-=-=-=L ，以上各式相加可得：()12n n n a +=，则：11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 12201711111111403421223201720182018a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L . 本题选择D 选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2111,0,441n n n a a a S n +=>=++，若不等式2483(5)2nn n n m a -+<-⋅对任意的正整数n 恒成立，则整数m 的最大值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【解析】由21441n n a S n +=++知2144(1)1n n a S n -=+-+，两式相减可得12n n a a +-=，数列{}n a 是等差数列，求出通项公式代入2483(5)2n n n n m a -+<-⋅，转化为2352n n m -->对任意的正整数恒成立，利用数列的单调性，求得当3n =时，n b 取得最大值38，即可求解.【详解】由题意，数列满足21441n n a S n +=++，则当2n ≥时，2144(1)1n n a S n -=+-+，两式相减可得22114()444n n n n n a a S S a +--=-+=+，所以222144(2)n n n n a a a a +=++=+，又由0n a >，所以12n n a a +=+，即12n n a a +-=，所以数列{}n a 表示首项11a =，公差为2的等差数列，所以*21()n a n n =-∈N ，因为2483(5)2n n n n m a -+<-⋅，所以2483(5)2(21)nn n m n -+<-⋅-，即(23)(21)(5)2(21)nn n m n --<-⋅-， 则(23)(5)2nn m -<-对任意的正整数恒成立，又20n >，所以2352nn m -->对任意的正整数恒成立， 设232n n n b -=，则111212325222n n n n n n n n b b +++---+-=-=， 所以12334,n b b b b b b <<>>>L ，当3n =时，n b 最大,此时最大值为38，所以538m ->，即337858m <-=，所以m 的最大整数为4，故选B . 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式求数列的通项公式，以及不等式的恒成立问题的求解，属于较难题.二、填空题13．在等比数列{a n }中，已知246a a a =8，则35a a =__________ 【答案】4【解析】利用等比数列通项公式得a 2a 4a 6=34a =8，求出a 4=2，再由a 3a 5=24a ，能求出结果． 【详解】∵在等比数列{a n }中，a 2a 4a 6=8，∴a 2a 4a 6=34a =8， 解得a 4=2，∴a 3a 5=24a =4． 故答案为4． 【点睛】本题考查等比数列的等比中项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，是基础题．14．在ABC V 中，60,3A a b ︒∠===，则ABC V 解的情况是_____（填“无解”、“一解”或“两解”）. 【答案】无解【解析】由正弦定理确定． 【详解】由正弦定理得sin sin 14b A B a ===>，无解． 故答案为：无解． 【点睛】本题考查用正弦定理解三角形，判断解的个数，可以由正弦定理求出角的正弦，由正弦值来判断角的个数，同时注意大边对大角的性质即可． 15．在数列{}n a 中，已知12,3m n m n a a a a +==+，则n a n=___________. 【答案】23【解析】令m =1，得11n n a a a +=+可以推出数列{}n a 为等差数列，求出通项公式即可求出na n. 【详解】令m =1，得11n n a a a +=+，即1123n n a a a +-==， 所以数列{}n a 是首项为123a =，公差为23的等差数列， 222(1)333n n n a =+-⨯=，所以23n a n =故答案为：23【点睛】本题考查等差数列的通项公式，注意递推公式的合理应用，属于基础题. 16．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，其面积为S ，若2a =，222b c a =+-，则ABC ∆周长的最大值为_________. 【答案】6【解析】由三角形面积公式化简已知等式可得222sin 3A b a bc c =+-，利用余弦定理化简即可求出角A ，再次利用余弦定理及基本不等式可求得4bc ≤，进而求得4b c +≤，即可计算周长的最大值.【详解】将1sin 2S bc A =222sin A b a c =+-，cos A A =，即tan A =(0,)A π∈，3A π∴=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2242b c bc bc bc bc =+-≥-=，当且仅当b =c 时等号成立，又因为2224()3b c bc b c bc =+-=+-，所以2()4343416b c bc +=+≤+⨯=， 即4b c +≤，当且仅当b =c 时等号成立，∴ABC ∆周长的最大值为6.故答案为：6 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.三、解答题17．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项；(2)设数列2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1)*(N )n a n n =∈；(2)21*22(N )2n n n S n n++=+-∈.【解析】(1)由等比中项的性质列出方程求解d ，写出通项公式即可；(2)求出n b 的通项公式，利用等差数列、等比数列的前n 项和公式分部求和即可. 【详解】(1)因为139,,a a a 成等比数列，所以3129a a a =⋅，则2(12)18d d +=+，得1d =，所以1(1)1(1)n a n n n n N =+-⨯=≥∈且；(2) 因为22na n n nb a n =+=+,所以()()()()232(12)22322(123)222n n Sn n n =++++++++=++++++++L L L 21(1)2(12)222122n n n n n n ++-+=+=+--.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n 项和，等比数列的性质及前n 项和，属于基础题. 18．设函数2()(1)1f x ax a x =-++． (1)若2a =-，解不等式()0f x >； (2)若0a >，解关于x 的不等式()0f x >. 【答案】(1)1,12⎛⎫-⎪⎝⎭；(2)01a <<，不等式的解集为1(,1),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；1a =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞⋃+∞；1a >时，不等式的解集为1,(1,)a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U . 【解析】(1)当2a =-时，不等式为2210x x -++>，求解即可；(2)对应不等式为(1)(1)0ax x -->，求出对应方程的根，对两根的大小关系进行分类讨论求不等式的解.【详解】(1)若2a =-，则不等式()0f x >即为2210x x -++>， (1)(21)0x x -+<，解得112x -<<； (2)当0a >时，由()0f x >得2(1)10ax a x -++>，即(1)(1)0ax x -->， 方程(1)(1)0ax x --=的两根为1,1a， 当11a >即01a <<时，不等式的解集为1(,1),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当11a=即1a =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞⋃+∞； 当11a <即1a >时，不等式的解集为1,(1,)a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U .综上所述：当01a <<，不等式的解集为1(,1),a ⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭；当1a =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞⋃+∞；当1a >时，不等式的解集为1,(1,)a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U .【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，对对应方程的根进行分类讨论是解含参一元二次不等式的关键，属于基础题.19．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos sin C c B =． （1）求角C 的大小（2）若c =ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长．【答案】（Ⅰ）3C π=．（Ⅱ）10+【解析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式可得tan C 值，结合范围()0,C π∈，即可得解C 的值．（Ⅱ）利用正弦定理及面积公式可得ab ，再利用余弦定理化简可得a b +值，联立得,a b 从而解得ABC ∆周长．【详解】（Ⅰ）由正弦定理sin sin b c B C=，得cos sin sin B C B C =，在ABC n 中，因为sin 0B ≠sin C C =故tan C =又因为0＜C ＜π，所以3C π=．（Ⅱ）由已知，得1sin 2ab C =又3C π=，所以24ab =.由已知及余弦定理，得222cos 28a b ab C +-=，所以22=52a b +，从而()2100a b +=.即10a b +=又c =ABC ∆的周长为10+【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．20．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且112n n S a =-，其中*N n ∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并证明2n T <.【答案】(1)*2(N )3n n n a ∈=；(2)22223n n n T +=-<，证明见解析. 【解析】(1)首先令n =1求出首项，然后当2n ≥时，由112n n S a =-，11112n n S a --=-两式相减即可证明数列{}n a 为等比数列，直接写出等比数列的通项公式；(2)利用错位相减法及等比数列的前n 项和公式求出2223n n n T +=-，即可求得范围. 【详解】(1)112n n S a =-，令1n =得111121,23a a a =-=， 当2n ≥时，112n n S a =-，11112n n S a --=-两式相减得11111,223n n n n n a a a a a --=-=，所以{}n a 是首项为23，公比为13的等比数列，所以1*212(N )333n n n a n -⎛⎫=⋅=∈ ⎪⎝⎭. (2)12314124224324(1)24233333n n n n n T -⨯-⨯-⨯-⨯---=+++++L ， 012214124224324(1)242333333n n n n n T --⨯-⨯-⨯-⨯---=+++++L ， 两式相减得：12144442223333n n n n T --=++++-L 111(1)42443324413313n n n n n ---+=+⨯-=--， 所以22223n nn T +=-<. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n 项和公式，错位相减法求和，属于中档题. 21．如图，D 是直角ABC V 斜边BC 上一点，3AC DC =．(Ⅰ)若60BAD ∠=o ，求ADC ∠的大小；(Ⅱ)若2BD DC =，且6AB =，求AD 的长．【答案】(Ⅰ)120(o Ⅱ【解析】(Ⅰ)由已知可求DAC 30∠=o ，在ADC V 中，由正弦定理可得sin ADC ∠=，即可解得ADC 120∠=o ．(Ⅱ)由已知在ABC V 中，由勾股定理可得DC 1=，BD 2=，AC =，令ADB θ∠=，由余弦定理26AD 44ADcos θ23AD 12ADcos θ=+-⎧⎪=++⎨⎪⎩，即可解得AD 的值． 【详解】(Ⅰ)BAD 60∠=o Q ，BAC 90∠=o ，DAC 30o ∠∴=，在ADC V 中，由正弦定理可得：DC AC sin DAC sin ADC∠∠=，AC sin ADC sin DAC DC ∠∠∴== ADC 120∠∴=o 或60o ，又BAD 60∠=o ，ADC 120∠∴=o(Ⅱ)BD 2DC =Q ，BC 3DC ∴=，在ABC V 中，由勾股定理可得：222BC AB AC =+，可得：229DC 63DC =+，DC 1∴=，BD 2=，AC =，令ADB θ∠=，由余弦定理：在ADB V 中，222AB AD BD 2AD BD cos θ=+-⋅⋅，在ADC V 中，()222AC AD CD 2AD CD cos πθ=+-⋅⋅-， 可得：26AD 44ADcos θ23AD 12ADcos θ=+-⎧⎪=++⎨⎪⎩， ∴解得：2AD 2=，可得：AD =【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22．已知数列{}n a 满足()2112,66N n n n a a a a n ++==++∈(1)设()5log 3n n c a =+，求证{}n c 是等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式；（3）设21166n n n nb a a a =--+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的范围. 【答案】(1)证明见解析；(2) 1253()n n a n N -+=-∈；（3）51164n T -≤<-. 【解析】(1)由已知等式可得()2133n n a a ++=+，同时取以5为底的对数化简即可证明；(2)求出{}n C 的通项公式，对数式写为指数式即可得解；(3)化简可得11166n n n b a a +=---，求出n T ，由n ∈+N 利用不等式的性质求出n T 的范围. 【详解】(1)由2166n n n a a a +=++得()2133n n a a ++=+， ∴()()515log 32log 3n n a a ++=+，即12n n c c +=∴{}n c 是以2为公比的等比数列；(2)又15log 51c ==，∴12n n c -=，即()15log 32n n a -+=，∴1235n n a -+=故1253()n n a n N -+=-∈； （3）∵1211116666n n n n n n b a a a a a +=-=--+--，12a = ∴21122311111111666666459n n n n T a a a a a a +=-=--+-+--------. 因为*n N ∈，所以22252551596n n ≥=⇒-≥21101659n ∴<≤-，则51164n T -≤<-. 【点睛】本题考查等比数列的证明及等比数列的通项公式，裂项相消法求和，涉及不等式的性质，属于中档题.。

重庆外国语学校2019—2020学年度（下）6月月考高一英语试题（满分150， 120 分钟完成）注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷选择题部分（共100分)第一部分：听力(共两节，满分30分)做题时，请先将答案标在试卷上。

录音结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.What is the man looking for?A.A book.B. His iPhone.C. A pay phone.2.Where is the woman going next?A.To a snack bar.B.To a movie theater.C.To her friend Simon’s house.3.What will the man do next?A.Fill out another form.B.Correct his mistake on the form.C.Tell the woman his medical history.4.When will the man most likely get home?A.At 7:00.B. At about 7:30.C. After 8:00.5.Where does the conversation probably take place?A.On a farm.B. At a fruit market.C. At customs.第二节(共15小题；每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。

2019-2020学年重庆市育才中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．sin585︒的值为（ ）A ．2B ．2-C D ． 答案：B根据诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解. 解：sin585sin(360225)sin(18045)sin 45︒=︒+︒=︒+︒=-︒=-故选：B. 点评：本题考查诱导公式求值，熟记公式是解题关键，属于基础题. 2．已知0a b >>，R c ∈，那么下列命题正确的是（ ） A ．2211a b< B ．11a cb c<++ C ．11a cb c>++ D ．11ac bc< 答案：A 对于选项A ,222211()()0b a b a a b a b +--=<，判断得解；对于选项B 和C ，差的符号不能确定，所以不正确；对于选项D ，差的符号不能确定，所以该选项不正确. 解： 对于选项A ,222211()()b a b a a b a b +--=，因为0a b >>，所以22()()0b a b a a b +-<，所以2211a b <，所以该选项正确； 对于选项B ，11()()b a ac b c a c b c --=++++，如：5,2,4,a b c ===-则分母小于零，如：5,2,6a b c ===，则分母大于零，所以差的符号不能确定，所以该选项不正确；对于选项C ，11()()b aa cbc a c b c --=++++，如：5,2,4,a b c ===-则分母小于零，如：5,2,6a b c ===，则分母大于零，所以差的符号不能确定，所以该选项不正确； 对于选项D ，11b aac bc abc--=，差的符号不能确定，所以该选项不正确.故选：A. 点评：本题主要考查作差比较法比较代数式的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．已知()()1,1,,22A B -，O 是坐标原点，则AB OA +=（ ） A ．()1,3- B ．()3,1-C ．()1,1-D ．()2,2-答案：D根据向量线性运算可得+=AB OA OB ，由坐标可得结果. 解：()2,2+=+==-AB OA OA AB OB故选：D 点评：本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.4．在区间[]1,2-上随机取出一个数a ，则[]0,1a ∈的概率为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．16答案：A利用几何概型长度型概率计算公式求解. 解：在区间[]1,2-上随机取出一个数a ，则[]0,1a ∈的概率()101213P -==--.故选：A 点评：本题考查几何概型问题的概率，属于基础题.5．在等差数列{}n a 中，若45615a a a ++=，则28a a +=（ ） A ．6 B ．10C ．7D ．5答案：B根据等差数列的性质，可得5a ，然后由2852a a a +=，简单计算结果. 解：由题可知：456553155++==⇒=a a a a a又2852a a a +=，所以2810a a += 故选：B 点评：本题主要考查等差数列的性质，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，考验计算，属基础题. 6．已知(,)2παπ∈，3sin 5α=，则tan()4πα-=（ ） A ．17 B ．17-C ．7D ．7-答案：D试题分析：根据3(,),sin 25παπα∈=,可得,则.根据正切和角公式有tan()4πα-=【考点】根据角度判断三角符号;正切和角公式.7．已知不等式210ax bx --≥的解集是11[,]23--,则不等式20x bx a --<的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(,2)(3,)-∞⋃+∞ C ．11(,)32D ．11(,)(,)32-∞⋃+∞答案：A根据所给的不等式的解集，并结合一元二次方程根与系数的关系求出a b ，的值，然后再解不等式即可． 解：∵不等式210ax bx --≥的解集是1123⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，， ∴1123x x =-=-，是方程210ax bx --=的两根，∴1152361111236b a a⎧⎛⎫=-+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=-⨯-=⎪⎪⎝⎭⎩，解得65a b =-⎧⎨=⎩．∴不等式20x bx a --<为2560x x -+<， 解得23x <<，∴不等式的解集为()23，．故选A ． 点评：本题考查二次不等式的解法，解题时注意结合“三个二次”间的关系，注意不等式解集的端点值、二次方程的根与二次函数图象与x 轴交点横坐标间的关系，解题的关键是根据条件求出a b ，的值．8．已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( ) A ．0.4 B ．0.6C ．0.8D ．1答案：B5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，恰有一件次品，有6种，分别是(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，设事件A =“恰有一件次品”，则()60.610P A ==，故选B ． 【考点】古典概型．9．已知0a >，0b >，则112ab a b++的最小值是（ ） A ．2 B ．22C ．4D ．5答案：C 试题分析：由可知，，当且仅当，即时等号成立，又，当且仅当，即，，所以时等号成立．【考点】均值定理10．第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．第一场得分的中位数为52B ．第二场得分的平均数为193C ．第一场得分的极差大于第二场得分的极差D ．第一场与第二场得分的众数相等 答案：C根据茎叶图按顺序排列第一场、第二场得分分数，中间两数的平均数即为中位数，出现次数最多的数为众数，最大数减最小数为极差，求出相应数据即可判断各项正误. 解：由茎叶图可知第一场得分为：0,0,0,0,0,2,3,7,10,12,17,19，中位数为52，众数为0，极差为19，第二场得分为：0,0,0,0,3,6,7,7,9,10,10,24，众数为0，平均数为193，极差为24，所以选项C 的说法是错误的. 故选：C 点评：本题考查茎叶图，根据茎叶图计算样本数据的中位数、众数及平均数，属于基础题.11．若sin 11cos 3αα=-，则22cos 3s nin 2i 2s ααα+-=（ ）A ．2-B ．22C ．4D ．5答案：A利用二倍角余弦公式化简、代入即可求解. 解： 由sin 11cos 3αα=-，可得3sin 1cos αα=-，22cos 3sin 22cos 1cos 2cos 121co si s 1cos 2n 22αααααααα+-+---===---， 故选：A 点评：本题考查了二倍角的余弦公式，需熟记公式，属于基础题. 12．梯形ABCD 中AB 平行于CD ,2,1,4AB CD DAB π==∠=，P 为腰AD 所在直线上任意一点，则32PB PC +的最小值是（ ） A ．43 B ．42C ．4D ．36答案：B利用建系的方法，假设,==AD t AP m ，分别计算,PB PC 以及32+PB PC ，然后令522=-k t m ，最后根据二次函数的性质可得结果. 解：依据题意，建立如图所示平面直角坐标系设,==AD t AP m ， 由4π∠=DAB ，所以()222222,,,2,0⎫⎫⎫+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P D C B 则2222222,,1,222222⎛⎫⎛⎫=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭PB m m PC t m m所以52523282222⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎝⎭PB PC t m t m 令222=-k t m ，则()328,+=+PB PC k k 所以()()2222328216642432PB PC k k k k k +=++=++=++当4k =-时，有min3242+=PB PC故选：B 点评：本题考查利用建系的方法解决向量的问题，本题关键在于采用建系，用坐标表示向量，几何问题代数化，便于计算，属难题.二、填空题13．等比数列{}n a 中，131,13a S ==，其中公比0q >，则2a =________. 答案：3利用等比数列的前n 项和公式求出q ，再利用等比数列的通项公式即可求解. 解：由题意131,13a S ==，可知1q ≠ 所以()3131131a q S q-==-，整理可得2120q q +-=，解得3q =或4q =-，又0q >，所以3q =， 所以213a a q ==. 故答案为：3 点评：本题考查了等比数列的前n 项和公式、等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题. 14．2020年初，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常返校开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图（如图所示）.已知学习时长在[)9,11的学生人数为25，则n 的值为______.答案：50利用频率和为1可构造方程求得x ，根据总数⨯频率=频数可构造方程求得n . 解：由频率分布直方图的性质可得：()20.050.150.051x ⨯+++=，解得：0.25x =，∴学习时长在[)9,11的频率为：2520.5x n==，解得：50n =. 故答案为：50. 点评：本题考查利用频率分布直方图计算频率、总数的问题，属于基础题. 15．已知2,2a b ==，且()b a b ⊥-，则a b +=________.答案：10首先利用向量垂直，()0b a b ⋅-=，求出a b ⋅，再利用向量模的求法即可求解. 解：因为2,2a b ==，且()b a b ⊥-，所以()0b a b ⋅-=，即20a b b ⋅-=，解得2a b ⋅=， 所以22244210a b a a b b +=+⋅+=++=.故答案为：10 点评：本题主要考查了向量数量积、向量模的求法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.三、双空题16．如图，在平面四边形ABCD 中，ACD △的面积为3，2,31AB BC ==-，120,135ABC BCD ∠=︒∠=︒，则ACD ∠=________，AD =________.答案：90 22在ABC 中，利用余弦定理求出AC ，再利用正弦定理求出ACB ∠，从而求出ACD ∠，根据三角形的面积公式求出CD ，在ACD ∆中，利用勾股定理即可求出AD . 解：在ABC 中，2,1AB BC ==，120ABC ∠=︒，由余弦定理可得2222cos 120AC AB BC AB BC =+-⋅∠，解得AC =,由正弦定理：sin sin AB AC ACB B =∠∠，即2sin sin120ACB =∠，解得sin 2ACB ∠=，所以45ACB ∠=， 由135BCD ∠=︒，所以90ACD ∠=，因为ACD △所以12ACDSAC CD =⋅⋅=CD =，所以AD ==故答案为：90；点评：本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，属于基础题.四、解答题17．某市自来水厂向全市生产与生活供水，蓄水池（蓄量足够大）在每天凌晨0点时将会有水15千吨，水厂每小时向池中注水2千吨，同时从池中向全市供水，若已知()024x x ≤≤小时内供水总量为3千吨时，供水就会出现紧张现象.（1）一天内将在哪个时间段内出现供水紧张现象？（2）若将每小时向池内注水2千吨改为每小时向池内注水()2a a >千吨，求a 的最小值，使得供水紧张现象消除.答案：（1）4时至9时出现供水紧张现象；（2）2512（1）设蓄水量为y ，根据题意求出函数解析式，求解3y <即可；（2）当每小时向池内注水()2a a >千吨时求出函数解析式，利用换元法根据二次函数的图象与性质求出最小值，令最小值大于等于3求解a 即可得a 的最小值. 解：（1）设蓄水量为y ，根据题意，152y x =+-()024x ≤≤，令1523y x =+-<，)230<，解得23<<，则49x <<，所以一天内将在4时至9时出现供水紧张现象.（2）每小时向池内注水()2a a >千吨，则)151024y ax x =≤≤+-，令[0,t =，则2x t =，()21015f t at t t =-+∈，，对称轴为5x a =，因为2a >，所以5502a <<< ()min 2525525101515f t f a a a a a ⎛⎫==⋅-⨯+=-+ ⎪⎝⎭，令()251532a a -+≥>，解得2512a ≥， 所以使得供水紧张现象消除的a 的最小值为2512. 点评：本题考查函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，属于中档题. 18．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若将函数()f x 图象上每点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在区间,12ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.答案：（1）π；（2）2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（1）根据两角和与差的正弦、余弦公式并结合辅助角公式化简可得()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后根据周期公式简单计算可得结果.（2）根据（1）的条件，以及伸缩变换可得()g x ，然后使用整体法以及正弦型函数的性质可得结果. 解：（1）由题可知：()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos(2)cos 2cos sin 2sin cos 2233322πππ-=+=+x x x x xsin()sin cos cos sin sin 44422πππ-=-=-x x x x xsin()sin cos cos sin cos 44422πππ+=+=+x x x x x所以221()cos 22sin cos 2=+-f x x x x x则11()cos 22cos 22cos 22222=+-=-f x x x x x x 所以()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以最小正周期22T ππ== （2）由（1）可知：()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 依题变换之后()sin 6g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭由,12ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ，所以5,646πππ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x所以sin 62π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦x所以()g x 在区间,12ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 19．有如下数阵：23345121(2),(2,2),(2,2,2),,(2,2,,2)n n n +-，其中第n 个括号内的所有元素之和记为n a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令22(1)log (4)n nn n b n a =-⋅+-，求数列{}n b 的前100项和100S .答案：（1）42n nn a =-；（2）10010100S = （1）121222n n n n a +-=+++，利用等比数列的求和公式即可得出.（2）()222(1)log (4)1nn n n n b n a n n =-⋅+-=-⋅+，由分组求和即可得出. 解：（1）()1212212224221n n nn n n n na +--=+++==--，（2）()222(1)log (4)1nn n n n b n a n n =-⋅+-=-⋅+， 其中()11232n n n +++++=， ()()()()212221211241k kk k k ---+-=-，∴数列{}n b 的前100项和：()()()50100110010015031994150501010022k S k =⨯+⨯+=+-=+=∑点评：本题主要考查了等比数列的前n 项和公式、等差数列的前n 项和公式、分组求和法，属于中档题.20．在某种产品表面进行腐蚀性实验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时向t 之间对应的一组数据：（1）求数据6,10,10,13,16,17,19的均值y 与方差2y s ；（2）试求腐蚀深度y 对时间t 的回归直线方程，并预测第100秒时产品表面的腐蚀深度（计算结果保留小数点后两位）.（可能用到的公式与数据：y a bx =+，其中1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx ====---⋅==--∑∑∑∑，a y bx =-，7777221111175,6075,1311,2730ii ii i i i i i tt y t y ========∑∑∑∑）答案：（1）13y =；21287y s =（2）0.28 6.31y x =+；34.31()m （1）利用平均数以及方差公式即可求解.（2）求出横坐标的平均数，利用最小二乘法求出回归直线方程的系数，得到回归直线方程，利用回归方程，代入计算，可得结论. 解： （1）6101013161719137y ++++++==，()()()()()()()2222222261310131013131316131713191312877ys -+-+-+-+-+-+-==所以均值13y =；方差21287y s =（2）5101520354050257t ++++++==， 12221273 =0725134550.2860757251700ni ii ni i t y nt yb ntt ==-⨯-⋅=⨯=≈-⨯-∑∑， 4551325 6.311700a =-⨯≈， 所以回归直线方程为0.28 6.31y x =+， 当t =100秒时，0.28100 6.3134.31y =⨯+=.所以腐蚀深度y 对时间t 的回归直线方程：0.28 6.31y x =+， 第100秒时产品表面的腐蚀深度约为34.31()m . 点评：本题考查了最小二乘法求回归直线方程，考查了运算求解能力，属于基础题. 21．在ABC 中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，且()2cos cos a c B b C -=. （1）若2,1a c ==，解这个三角形；（2）我们知道，如果PQ 是某个定圆的一条弦，点M 在PQ 分圆所得的优（劣）弧上运动，则PMQ ∠的大小确定.本题中，若b =ABC 的外接圆，根据a 的取值讨论ABC 解的个数，并请说明a 取何值时ABC 的面积最大. 答案：（1）236A B C πππ===，，，b =（2）答案见解析；当a =ABC的面积取得最大值（1）利用正弦定理对已知等式进行边化角，再利用两角和的正弦公式进一步化简即可求得cos B ，从而求出角B ，再利用余弦定理求出边b ，相应值代入正弦定理即可求得角A C 、；（2）由正弦定理可得sin 4a A =，因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以可根据正弦函数的图象与性质对sin 4aA =的值进行分类讨论确定角A 的解的个数从而确定ABC 的解的个数；由余弦定理及基本不等式可得12ac ≤，代入三角形面积公式即可求得ABC 的面积的最大值.解： （1）()2cos cos a c B b C -=，利用正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+， 即()2sin cos sin sin A B B C A =+=，又sin 0A ≠，所以1cos 2B =， ()0,B π∈，3B π∴=，2,1a c ==，22212cos 41432b ac ac B ∴=+-=+-⨯=，b =由正弦定理得2sin sin sin a b cA B C====，1sin 1,sin 2A C ∴==， ()0,A C π∈、，26A C ππ∴==，，∴在ABC 中，236A B C πππ===，，，21a b c ===，.（2）4sin sin a b A B ===，sin 4aA ∴=， 且由3B π=知20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，①当0a <≤sin 4a A =∈，此时ABC 有1个解；②当4a <<时，sin (1)42a A =∈，此时ABC 有2个解； ③当4a =时，sin 14aA ==，此时ABC 有1个解； ④当4a >时，sin 14aA =>，此时ABC 无解.由余弦定理得222b a c ac ac =+-≥，即12ac ≤，当且仅当a c ==所以ABC 的面积1=sin 24ABCSac B ac =≤当a c ==ABC 的面积取得最大值点评：本题考查解三角形、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，涉及利用基本不等式求三角形的面积的最值，属于较难题.22．一农妇原有*0a N ∈个鸡蛋，现分9次售卖鸡蛋，设每次卖出后剩下的鸡蛋个数依次为129,,,a a a ⋯个.（1）如果农妇第一次卖去全部鸡蛋的一半又半个，第二次卖去剩下的一半又半个，第三次又卖去剩下的一半又半个，…，第九次仍然卖去剩下的一半又半个，而且这次恰好全部卖完，求987,,a a a ，给出数列{}n a 的递推公式并据此求出0a ；（2）鸡蛋无法分割出售，如果农妇原有鸡蛋0511a =个，是否存在()*,,2p q N p ∈>，使得农妇按如下方式卖鸡蛋：第一次卖去全部的1p 又1q 个，第二次卖去剩下的1p 又1q个，第三次又卖去剩下的1p 又1q 个，…，第九次仍然卖去剩下的1p 又1q个，而且这次恰好全部卖完？如果存在，求出可能的,p q 的值，如果不存在，请说明理由. 答案：（1）9870,1,3===a a a ，11122-=-n n a a ，0511a =（2）,p q 不存在，理由见详解.（1）依据题意可得9870,1,3===a a a ，并可知递推关系为11122-=-n n a a ，利用递推公式可得数列{}n a 的通项公式，进一步计算可得0a（2）依题意可得111-=--n n n a a a p q，然后可得数列{}n a 的通项公式，根据90a =，可得()()981511+=+p p q p ，简单判断可得结果. 解：（1）由题可知：可直接得到9870,1,3===a a a 且11122-=-n n a a 由()1111111222--=-⇒+=+n n n n a a a a ， 所以数列{}1n a +是以11a +为首项，公比为12的等比数列 则()111112-⎛⎫+=+⋅ ⎪⎝⎭n n a a ，又101122=-a a 所以()01112⎛⎫+=+⋅ ⎪⎝⎭nn a a ，又90a =，所以()9901112⎛⎫+=+⋅ ⎪⎝⎭a a ，则0511a = （2）由题可知：111-=--n n n a a a p q，即()111-=-++n n p p a a p q p 令()11-+=++n n p a M a M p ，则1111-⎛⎫=+- ⎪++⎝⎭n n p p a a M p p 所以()111⎛⎫-=-⎪++⎝⎭p p M p q p ，则=p M q所以11-⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭n n p p p a a q p q ， 则数列⎧⎫+⎨⎬⎩⎭n p a q 是以1+p a q 为首项，1p p +为公比的等比数列 则111-⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭n n p p p a a q q p ，又()1011=-++p pa a p q p 所以()190111-⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭n p p p p p a a q p q p q p ，又90a =，0511a =，代入上式化简可得()()981511+=+p p q p由*,p q N ∈，所以1,1p q ==，又2p >，所以,p q 不存在点评：本题考查等比数列的实际应用，以及根据递推公式证明等比数列，考查分析能力以及逻辑推理能力，对计算的要求很高，属难题.。

2019-2020学年重庆市石柱中学高一(下)第一次月考数学试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知点A(1,2)，B(−1,1)，C(2,0)，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. (−1,−3) B. (0,2) C. (−2,−1) D. (1,3)2. 已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1,a 2,a 5为等比数列，则a 2为( )A. −3B. −2C. 3D. 23. 已知a ⃗ =(3,−1)，b ⃗ =(−5,5)，则a ⃗ ⋅b ⃗ 的值为( )A. 20B. 10C. −20D. −104. 数列1，3，6，10…的一个通项公式是( )A. a n =n 2−(n −1)B. a n =n(n+1)2C. a n =n 2−1D. a n =n(n−1)25. 在△ABC 中，已知a =√5,c =2，cos A =23，则b = ( )A. √2B. √3C. 2D. 36. 在等比数列{a n }中，若2a 2，3a 3，4a 4成等差数列，则公比q 为( )A. 1B. 2C. 1或12D. 127. 已知|a ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =12，(a ⃗ −b ⃗ )2=12，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角等于( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°8. 在△ABC 中，A ：B ：C =2：0.5：0.5，则a ：b ：c =( )A. 2：0.5：0.5B. √2：1：1C. √3：1：1D. 120：30：309. 如图，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，用a ⃗ ，b ⃗ 表示AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. a ⃗ +34b ⃗ B. 14a ⃗ +34b ⃗ C. 14a ⃗ +14b ⃗ D. 34a⃗ +14b ⃗ 10. 在△ABC 中，若A =π6,a =2,b =2√3，则B =( )A. π6或5π6B. π3C. π3或2π3D. 2π311. 在△ABC 中，若b =ccosA ，则△ABC 是( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 锐角三角形12. △ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c.若，且b =2，则a 的最小值为( )A. 4√65B. 4√75C. 9625D.11225二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知数列{a n }满足a 1=2,a n+1=3a n −2，则a 3=__________。

2019-2020学年重庆悦来中学高一数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. cos（﹣π）的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣参考答案：A【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】直接利用诱导公式化简，利用特殊角的三角函数值求解即可．【解答】解：cos（﹣π）=cosπ=cos（6π﹣）=cos=．故选：A．2. 设顶点都在一个球面上的三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为2，则该球的表面积为（）A．9πB．8πC．D．参考答案：D【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为2的正三棱柱，设上下底面中心连线EF的中点O，则O就是球心，其外接球的半径为OA1，又设D为A1C1中点，在直角三角形EDA1中，EA1==在直角三角形OEA1中，OE=1，由勾股定理得OA1==∴球的表面积为S=4π?=π，故选：D．【点评】本题考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．3. 若是上的减函数，且的图象经过点和点，则当不等式的解集为时，的值为( )A. 0B. －1 C. 1 D. 2参考答案：C4. 容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间［10,40）的频率为（）（A）0.35 （B）0.45 （C）0.55 （D）0.65参考答案：B略5. 数列的第10项是（）A． B． C． D．参考答案：C略6. （5分）下列说法正确的是①必然事件的概率等于1；②某事件的概率等于1.1；③互斥事件一定是对立事件；④对立事件一定是互斥事件．（）A．①②B．②④C．①④D．①③参考答案：C考点：互斥事件与对立事件．专题：规律型．分析：本题考查事件的关系，涉及到互斥事件，对立事件，必然事件，以及概率的性质，根据这些概念对四个合理进行判断得出正确选项即可．解答：①必然事件的概率等于1，此命题正确，必然事件一定发生，故其概率是1；②某事件的概率等于1.1，必然事件的概率是1，故概率为1.1的事件不存在，此命题不正确；③互斥事件一定是对立事件，因为对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故本命题不正确；④对立事件一定是互斥事件，因为对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故本命题正确．由上判断知，①④是正确命题故选C．点评：本题考查互斥事件与对立事件，解题的关键是全面了解事件的关系以及概率的性质．属于概念型题7. 若函数，则（）A．B．C．D．参考答案：B略8. 函数在区间内的零点个数（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B9. 定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0）（x1≠x2），都有＜0．则下列结论正确的是（）A．f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25）B．f（log25）＜f（20.3）＜f（0.32）C．f（log25）＜f（0.32）＜f（20.3）D．f（0.32）＜f（log25）＜f（20.3）参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2，都有＜0，可知f （x）在（﹣∞，0）上是减函数，又由f（x）是R上的偶函数可得f（x）在（0，+∞）上是增函数，从而可得结论．【解答】解：∵对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2，都有＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，又∵f（x）是R上的偶函数，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，∵0.32＜20.3＜log25∴f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25）．故选：A．10. 将函数的图象向左平移｛｝个单位后，得函数的图象，则等于（）；A. B. C. D参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域是, 则函数的定义域是 .参考答案：略12. 化简：lg4+lg25= ．参考答案：2【考点】对数的运算性质．【分析】由对数的运算法则把lg4+lg25等价转化为lg（4×25），再由对数的性质能够求出结果．【解答】解：lg4+lg25=lg（4×25）=lg100=2．故答案为：2．【点评】本题考查对数的运算法则和对数的性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．13. 将边长为2，锐角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点E，F，G 分另AC，BD，BC的中点，则下列命题中正确的是．（将正确的命题序号全填上）①EF∥AB；②EF是异面直线AC与BD的公垂线；③CD∥平面EFG；④AC垂直于截面BDE．参考答案：②③④【考点】L3：棱锥的结构特征．【分析】根据中位线定理和空间线面位置的判定与性质判断．【解答】解：设AD的中点为M，连接FM，则AB∥FM，∵FM与EF相交，∴EF与AB为异面直线，故①错误；由△ABC≌△ADC可得BE=DE，∴EF⊥BD，同理可得EF⊥AC，∴EF是异面直线AC与BD的公垂线，故②正确；由中位线定理可得FG∥CD，∴CD∥平面EFG，故③正确；∵AB=BC，∴BE⊥AC，同理可得：DE⊥AC，∴AC⊥平面BDE．故④正确．故答案为：②③④．14. 若集合为{1，a，}={0，a2，a+b}时，则a﹣b=．参考答案：﹣1【考点】集合的相等．【分析】利用集合相等的概念分类讨论求出a和b的值，则答案可求．【解答】解：由题意，b=0，a2=1∴a=﹣1（a=1舍去），b=0，∴a﹣b=﹣1，故答案为﹣1．15. 已知M={(x,y)|x2+y2=1,0<y≤1}，N={(x,y)|y=x+b,b∈R}，并且M∩N≠ ，那么b 的取值范围是 .参考答案：略16. 若，则取值范围________参考答案：略17. 已知则参考答案：(-6,2)略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知等差数列{}n a 满足364,2a a ==-，则{}n a 的公差是（） A ．1 B ．1-C ．2D ．2-答案：D根据等差数列的通项公式即可求解. 解：因为等差数列{}n a 满足364,2a a ==-， 所以633a a d =+， 即243d -=+， 解得2d =-， 故选：D 点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，属于容易题.2．已知直线20ax y a ++=与直线10x ay a ++-=垂直，则实数a 的值是（） A ．0 B ．1-C ．1D ．±1答案：A由题意结合直线垂直的性质可得0a a +=，即可得解. 解：因为直线20ax y a ++=与直线10x ay a ++-=垂直， 所以0a a +=即0a =， 所以实数a 的值是0. 故选：A. 点评：本题考查了直线垂直的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.3．过点(32)-，且与22194x y +=有相同焦点的椭圆的方程是（）A ．2211510x y +=B ．221225100x y +=C ．2211015x y +=D ．221100225x y +=答案：A试题分析：椭圆22194x y +=，∴焦点坐标为：0），（0），∵椭圆的焦点与椭圆22194x y +=有相同焦点设椭圆的方程为：2222+x y a b=1，∴椭圆的半焦距a 2-b 2=5 结合2294+1a b=，解得：a 2=15，b 2=10 ∴椭圆的标准方程为2211510x y +=，故选A ．【考点】本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质． 点评：常见题型，围绕a,b,c 布列方程组．4．已知单调递减的等比数列{}n a 满足142318,32a a a a +==，则5a =（） A ．32 B ．16C ．2D ．1答案：D根据等比数列的性质可得23a a =14a a ，联立方程即可求出1416,2a a ==，求出公比即可求解. 解：递减的等比数列{}n a 中，由3232a a =可得，1432a a =,又1418a a +=，等比数列单调递减， 解得1416,2a a ==，所以34118a q a ==， 故12q =， 所以54112a a =⨯=， 故选：D 点评：本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列的性质，属于中档题. 5．已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，30,45A B ==，则a b=（） A． B．2C．2D ．23答案：B利用正弦定理直接求解即可. 解：由正弦定理知，sin sin a bA B=,即sin sin 30sin sin 452a Ab B ︒===︒， 故选：B 点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于容易题.6．已知定点()00,P x y 在单位圆221x y +=内部，则直线001x x y y +=与圆221x y +=的位置关系是（） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定答案：C根据点在圆的内部可得22001x y +<，再利用圆心到直线的距离与半径关系判断即可.解：()00,p x y 在圆221x y +=的内部22001x y ∴+<因为圆心为(0,0)，半径为r ，所以圆心到直线的距离1d r =>=∴直线与圆相离，故选：C 点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，点到直线的距离，属于中档题.7．已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足222b c a bc +=-，则A =（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 答案：C利用余弦定理求A 的值. 解：222b c a bc +=-，222b c a bc -∴+=-，∴2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，0A π<<，∴23A π=， 故选：C. 点评：本题考查余弦定理的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题.8．过点()1,2M 作直线16y x m =-+与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则该椭圆的离心率是（） A ．23BC ．1112D．6答案：B设()11,A x y ，()22,B x y ，由直线的斜率公式、中点坐标公式及点差法可得2213b a =，再由椭圆离心率公式即可得解. 解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由直线AB 的斜率为16-可得121216y y x x ， 由线段AB 的中点为()1,2M 可得1212x x +=，1222y y+=，由点,A B 在椭圆上可得22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差得22221212220x x y y a b --+=， 所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，即()()121222240x x y y a b --+=，所以()212212213y y b a x x -=-=-，所以该椭圆的离心率c e a ===故选：B. 点评：本题考查了直线与椭圆的综合应用、点差法的应用及椭圆离心率的求解，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题. 9．已知正实数,x y 满足2x y +=，则12xy+的最小值是（） A ．32+ B ．C ．3D ．答案：A由题意结合基本不等式可得123122x y +≥+⨯. 解：因为正实数,x y 满足2x y +=，所以()1211212313322222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=⋅++=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当222y x =即2x =，4y =-.所以12x y +的最小值是32+. 故选：A. 点评：本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 10．已知非直角ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()4,cos sin 0a c b C C a ==-+=，则b =（）A B C D 答案：B先利用正弦定理把()cos sin 0b C C a -=中的边统一成角，化简求出角B ，再利用余弦定理可求出b .解：解：因为()cos sin 0b C C a -=，所以由正弦定理得，()sin cos sin sin 0B C B C A C -=, 因为A B C π++=，所以()A B C π=-+，所以sin sin[()]sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+,sin cos sin 0B C B C C -=，因为sin 0C ≠cos B B -=所以ππ5πsin ,62666B B π⎛⎫-=-<-< ⎪⎝⎭， 所以63B ππ-=或263B ππ-=，解得2B π=（舍去），或56B π=，由余弦定理得，2222cos 16324(31b a c ac B =+-=+-⨯=，所以b = 故选：B 点评：此题考查了正弦定理和余弦定理，三角函数恒等变换公式，考查了计算能力，属于中档题.11．已知12,F F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，过1F 的直线与椭圆交于,P Q 两点，2PQ PF ⊥，且234PF PQ =，则11PF QF =（） A ．32B ．43C ．54D ．3答案：D由题意设()23,0x PF x =>，由平面几何的知识可得4PQ x =、25QF x =，由椭圆的定义可得3a x =，再由椭圆的定义可得1QF x =、13PF x =，即可得解. 解：由题意画出图形，如图：设()23,0x PF x =>，则4PQ x =，由2PQ PF ⊥可得22225QF PF PQ x =+=，所以121222412a PF PF QF QF PQ PF QF x =+++=++=， 所以3a x =，所以122a F x Q QF =-=，1223a x PF PF =-=，所以1133PF xQF x==. 故选：D. 点评：本题考查了椭圆定义的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于基础题. 12．在平行四边形ABCD 中，11,B C 分别是边,BC CD 中点，22,B C 分别是线段11,BB CC 中点，…,n n B C 分别是线段()*11,,2n n BB CC n N n --∈≥中点，设数列{}{},n n b c 满足：向量n n n n B C b AB c AC →→→=+，则下列命题正确的是（）①{}n b 为常数列，{}n c 为递增数列；②{}n n b c +为等比数列，其前n 项和为112n-； ③{}n n b c ⋅为等比数列，其前n 项和为112n n -+-；④若平行四边形ABCD 为菱形，23πBAD ∠=，设n n n a B C →=，则数列{}n a 不单调.A ．①④B ．②④C ．③④D ．①答案：D根据向量的加法、减法运算可归纳出nnB C →，得到数列{}n b 、{}n c 的通项公式11,12n n nb c =-=-，根据通项公式可逐项判断，即可得出结论. 解：在平行四边形ABCD 中，11,B C 分别是边,BC CD 中点，22,B C 分别是线段11,BB CC 中点，…,n n B C 分别是线段()*11,,2n n BB CC n N n --∈≥中点，可得112B C BC →→=,234B C BC →→=,378B C BC →→=，⋯，即有212n n nB C BC →→-=， 112CC AB →→=-，214CC AB →→=-，318CC AB →→=-，⋯，即有12n n CC AB →→=-，所以2112111122222n n n n n n n n n n n BC AB A B C B C CC C AB AB AB AC→→→→→→→→→→--=⎛⎫⎛⎫-=--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=11,12n n nb c ∴=-=-， 所以{}n b 为常数列，{}n c 为递增数列正确，故①正确；111122n n n nb c +=-+-=-，∴数列{}n n b c +为等比数列，前n 项和为11112211212n n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=-- ⎪⎝⎭-，故②错误； 112nn n b c =⋅-，显然不是等比数列，故③错误； 设菱形边长为a ，n n n a B C →====令11(0,]22n t =∈为减函数， 则21y t t =-+在1(0,]2t ∈上为减函数，又12nt =为减函数， 所以n a =.故选：D 点评：本题考查数列与向量的综合问题的解法，注意运用向量的加减和数乘运算，考查数列的单调性和最值，以及转化思想和化简运算能力，属于难题. 二、填空题13．1和4的等比中项是 . 答案：2±试题分析：设1和4的等比中项是a ，则2144,2a a =⨯==±. 【考点】等比中项的性质.14．已知ABC 的三个内角,,A BC 所对的边分别为,,a b c ，13,3b c C ===，则a =__________.答案：5由题意结合余弦定理可得2924163a a +-=，解方程即可得解.解：由余弦定理得2221cos 23a b c C ab +-==即2924163a a +-=，解得5a =或3a =-（舍去）， 所以5a =. 故答案为：5. 点评：本题考查了余弦定理解三角形的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.15．已知点M 在直线3230x y +-=上，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得30OMN ∠=，点M 的横坐标的取值范围是__________.答案：[1,2]根据圆的切线的性质,可知当过M 点作圆的切线，切线与OM 所成角是圆上的点与OM 所成角的最大值，所以只需此角大于等于30即可，转化为||2OM 即可，建立不等式求解即可得出结论. 解：设00(,)M x y ，过M 作O 切线交圆于P ，如图，根据圆的切线性质，有∠OMN ≦∠OMP . 如果∠OMP ≥30° 则O 上存在一点N 使得∠OMN =30°∴若圆O 上存在点N ，使∠OMN =30°，则∠OMR ≥30°||1OP =,||2OM ∴,又()222222000000||3241212OM x y x x x x =+=+-=-+ 200412124x x ∴-+≤，解得：012x ≤≤， 故答案为：[1,2] 点评：本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质,以及一元二次不等式的解法,综合考察了学生的转化能力，计算能力，属于中档题. 三、双空题16．已知数列{}n a 满足递推公式1121,1n n a a a +=+=.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则n a =__________，471n nn n S a +--+的最小值是__________.答案：21n -；174由题意可得()1121n n a a ++=+，由等比数列的性质可得21nn a =-；利用分组求和法可得122n n S n +=--，进而可得4792212n n n n n n S a +--=+-+，再由对勾函数的性质即可得解. 解：因为121n n a a +=+，所以()1121n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是首项为112a +=，公比为2的等比数列，所以12nn a +=，所以21n n a =-；所以()23121222222212n n n nS n n n +-=+++⋅⋅⋅+-=-=---，所以()1427472222921n n n nn n nn n n S a n ++--+--==+-+--， 由对勾函数的性质可得，当1n =时，22n =，9992222222nn +-=+-=； 当2n ≥时，24n ≥，所以9222nny =+-单调递增， 当2n =时，9917922422442nn +-=+-=<； 所以471n n n n S a +--+的最小值是174.故答案为：21n -；174. 点评：本题考查了构造新数列求数列的通项公式、等比数列的应用，考查了分组求和法求数列前n 项和的应用及对勾函数的应用，属于中档题. 四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，728S =，且248,,a a a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式n a ；（2）若{}n a 的公差不为0，求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .答案：（1）n a n =或4n a =；（2）1n nT n =+. （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等比数列的性质可得2428a a a =⋅，再由等差数列通项公式及前n 项和公式列方程即可得1a 、d ，由等差数列的通项公式即可得解； （2）由题意11111n n a a n n +=-+，由裂项相消法即可得解. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由248,,a a a 成等比数列可得2428a a a =⋅，则()()()71211176728237S a d a d a d a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪+=++⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩或140a d =⎧⎨=⎩，所以n a n =或4n a =；（2）若{}n a 的公差不为0，则n a n =，所以()1111111n n a a n n n n +==-++， 所以111111111122334111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 点评：本题考查了等差数列、等比数列的综合应用，考查了裂项相消法求数列前n 项和的应用，属于基础题.18．已知圆C 经过点()1,4P 和点()5,0Q 且圆心在直线1x y +=上.（1）求圆C 的标准方程；（2）若过点()1,4-的直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且120ACB ∠=︒，求直线l 的方程.答案：（1）22(1)16x y -+=；（2）1x =-或34130x y +-=..（1）求得线段PQ 的垂直平分线方程，联立方程组，求得圆心C ，根据4CQ =，求得圆的半径，即可求得圆C 的方程；（2）根据题意，得到圆心到直线l 的距离为2d =，①当直线l 的斜率不存在时，直线方程为1x =-，符合题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为40kx y k -++=，根据点到直线的距离公式，列出方程，求得k ，进而得出直线的方程. 解：（1）设PQ 的中点为00(,)C x y ， 因为点()1,4P 和点()5,0Q ，所以0015403,222xy ++====，即()3,2C ， 又由40115PQ k -==--，所以PQ 的垂直平分线的斜率为1k =， 所以线段PQ 的垂直平分线方程为10x y --=，联立方程组1010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得1,0x y ==，即圆心坐标(1,0)C ，又由4CQ =，即圆的半径为4r =， 所以圆C 的方程为22(1)16x y -+=.（2）过点()1,4-的直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且120ACB ∠=︒， 所以圆心到直线l 的距离为2d =，①当直线l 的斜率不存在时，此时直线方程为1x =-， 则圆心到直线l 的距离为2d =，符合题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为4(1)y k x -=+，即40kx y k -++=，则圆心到直线的距离为2d ==，解得34k =-，此时直线l 的方程为34130x y +-=，综上可得，直线l 的方程为1x =-或34130x y +-=.点评：本题主要考查了圆的标准方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.19．如图，在ABC 中，点D 为边BC 上一点满足,AD AC BAD C ⊥∠=，且1sin 7C =.（1）求sin B 的值；（2）求BDDC的值. 答案：（1）4749；（2）147. （1）由平面几何的知识结合诱导公式可得sin cos2B C =，再由余弦的二倍角公式即可得解；（2）设(),0AD x x =>，则7CD x =，由正弦定理可得747xBD =，即可得解. 解：（1）因为1sin 7C =，AD AC ⊥，BAD C ∠=， 所以()2sin sin sin cos 212sin 2B ADC BAD C C C C π⎛⎫=∠-∠=--==-⎪⎝⎭24714949=-=； （2）设(),0AD x x =>，则7CD x =，所以在ABD △中，由正弦定理可得4947sin sin 4749BD AD x xBAD B ===∠，所以747xBD =，所以7147747BD DC xx ==. 点评：本题考查了三角恒等变换的应用及正弦定理解三角形的应用，考查了转化化归思想与运算求解能力，属于基础题.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n S a =-. （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）设()()*14n n nnb n N a λ-=-∈，则是否存在实数λ使得数列{}nb 为递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由. 答案：（1）13n na =；（2）存在，413λ-<<. （1）由题意结合数列n a 与n S 的关系可得113n n a a -=，再由等比数列的性质即可得解； （2）由题意结合数列的单调性可得当2n ≥时，10n n b b ->-恒成立，即()()11341133n n nλλ--⎛⎫--->-⋅ ⎪⎝⎭⋅恒成立，按照n 为偶数、n 为奇数分类讨论即可得解.解：（1）当1n =时，111221a S a =-=，解得113a =； 当2n ≥时，()()11122211n n n n n n n a S S a a a a ---=--=---=，即113n n a a -=， 所以数列{}n a 是首项为13，公比为13的等比数列， 所以13n na =； （2）由题意()()14413n nnn n nnb a λλ-=-=--⋅，若数列{}n b 为递增数列，则当2n ≥时，()()11114134130nn nnn n n n b b λλ----⎡⎤-=--⋅---⋅>⎣⎦，即()()1113433110n nn n λλ---⎡⎤⋅+--⎣⋅->⎦恒成立，所以()()11341133n n nλλ--⎛⎫--->-⋅ ⎪⎝⎭⋅对于任意的2n ≥恒成立，当n 为偶数时，14433n λ-⎛⎫->-⋅ ⎪⎝⎭，当2n =时，1433n -⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭取最大值213443-⎛⎫-= ⎪⎝⎭-⋅，所以44λ->-，1λ<；当n 为奇数时，14433n λ-⎛⎫>-⋅ ⎪⎝⎭，当3n =时，1433n -⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭取最大值31416333-⎛⎫-⋅=-⎪⎝⎭，所以1643λ>-，43λ>-；综上，413λ-<<. 点评：本题考查了数列n a 与n S 的关系的应用、等比数列性质的应用，考查了数列单调性的应用及运算求解能力，属于中档题.21．已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其面积为15c R ⋅，其中R 为ABC 的外接圆半径. （1）求sin sin A B ⋅的值；（2）若7cos cos ,10A B c ⋅==，求ABC 的周长.答案：（1）15（2（1）由正弦定理及三角形面积即可求解；（2）由三角恒等变换可求出cos ,sin C C ，由正弦定理可求R ，由余弦定理可求+a b ，即可求解. 解： （1）1sin 2ABCS ab C =， 又2sin cR C=, sin 2cC R ∴=，225ABC ab c cRS R ∴=⋅=，245R ab ∴=，又2sin sin a bR A B==， 252sin 2sin 4R A R B R ∴⋅⋅=， 1sin sin 5A B ∴⋅=（2）由（1）知，711cos()cos cos sin sin 1052A B A B A B +=-=-=，1cos cos(())2C A B π∴=-+=-，0C π<<23C π∴=，sin 22C R∴==R ∴=2445R ab ∴==，2222cos c a b ab C ∴=+-，即222a b ab c ++=,22()19a b c ab ∴+=+=，a b ∴+=l a b c ∴=++=点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角恒等变换，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，其短轴长为2，右焦点为)，动点M 在椭圆C 上，点T 满足2MT MO =-，设点T 的轨迹为曲线C '.（1）求椭圆C 的方程和曲线C '的方程；（2）过点M 的直线()0y kx m m =+≠交C '于,P Q ，求PQT △面积的最大值.答案：（1）椭圆C 的方程为：2214x y +=；曲线C '的方程为221369x y +=；（2）18. （1）根据题意得：1b =，c =222a b c =+求得a 即可得椭圆C 的方程；设00(,)M x y ，(),T x y 通过已知条件得到220014x y +=与0033x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去00,x y 即可得到曲线C '的方程.（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，由()0y kx m m =+≠与221369x y +=联立解方程得到()2221484360k xkmx m +++-=，通过韦达定理得到12x x +与12x x ⋅，通过判别式得到220914m k<<+，通过弦长公式求得PQ ，通过点到直线的距离公式求得高d ，即可表示PQT △的面积，通过函数的换元法与函数的单调性求得面积的最大值即可. 解：解：（1）由题知：1b =，c =2222214a b c =+=+=，所以椭圆C 的方程为：2214x y +=.设00(,)M x y ，(),T x y ，因为2MT MO =-，所以000022x x x y y y -=⎧⎨-=⎩，所以0033x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 又因为动点M 在椭圆C 上，所以220014x y +=，所以223143x y ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭+= ⎪⎝⎭，化简得：221369x y +=， 所以曲线C '的方程为221369x y +=.（2）因为点00(,)M x y 的过直线()0y kx m m =+≠，所以()000y kx m m =+≠. 设()()1122,,,P x y Q x y ，由()2201369y kx m m x y ⎧=+≠⎪⎨+=⎪⎩消去y ，并整理得：()2221484360k x kmx m +++-=.因为直线()0y kx m m =+≠交C '于,P Q ，所以>0∆， 所以()()()22284144360km km-⋅+⋅->，化简得：229(14)k m +>，所以220914m k <<+.所以21212228436,1414km m x x x x k k-+=-⋅=++. 由（1）知：00(,)M x y 时，()003,3T x y.PQ ===4=点()003,3T x y 到直线()0y kx m m =+≠的距离：d ===，所以1122PQTSPQ d =⋅⋅=⋅422m =⋅4=4=设2214m t k=+，则09t <<，则PQTS===所以当92t =时，max944182PQT S ==⨯=. 所以PQT △的面积最大值为18. 点评：本题主要考查轨迹方程，椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，面积的最值，考查学生的计算能力，属于较难题.。