三角形的高及求角度问题(教案)

三角形认识的教案（推荐9篇）三角形认识的教案第1篇一、教学目标（一）知识与技能在观察、操作活动中，概括三角形的特征，认识各部分名称以及底和高的含义，会在三角形内画高，用字母表示三角形。

（二）过程与方法在观察、操作活动、概括中，积累认识图形的经验和方法。

（三）情感态度和价值观体验数学与生活的联系，培养学生学习数学的兴趣。

二、教学重难点教学重点：概括三角形的概念，认识三角形各部分的名称，知道三角形的底和高。

教学难点：会画三角形的高。

三、教学准备课件、实物投影。

四、教学过程（一）创设情境，引入新知1．出示主题图。

教师：同学们，你们知道这是哪儿吗？你能找出图中的三角形吗？ 2．生活中的三角形。

教师：生活中哪儿有三角形？（随着学生说出示）3．引入。

教师：真会观察，生活中的很多地方都会用到三角形，今天我们就一起走进三角形的世界。

【设计意图】关注学生已有的知识经验，让学生在熟悉的情境中找三角形，列举生活中的三角形，唤起旧知，调动学生已有的生活经验，丰富了三角形的表象，同时体会三角形与生活的密切联系。

（二）探究新知教学三角形的含义。

（1）教师：我们在生活中找到了三角形，现在请你画一个三角形。

（2）订正：谁来展示一下自己画出的三角形？说说你是怎么画的。

（先画一条线段，从这条线段的一个端点出发，再画一条线段，把两条线段的端点连接起来）预设：学生会画出不同的三角形。

在说画法的过程中体会“围成”。

（3）课件出示：教师：大家看，这两个是三角形吗？为什么？（有两条线段的端点没有连上）课件演示：画三角形的过程。

教师：大家说得非常好，三角形每相邻两条线段的端点必须相连，这样相连的三条线段就是“围成”。

（4）教师总结：说说什么是三角形？（由3条线段围成的图形叫做三角形）【设计意图】在画三角形、说画法、辨析交流的过程中，理解“围成”的含义，概括三角形的含义。

培养学生的观察能力和语言表达能力。

三角形认识的教案第2篇活动目标：1、通过观察、操作认识三角形的特征，认识三角形。

《认识底和高》（教案）五年级上册数学北师大版今天我要为大家分享的是五年级上册数学北师大版《认识底和高》的教案。

一、教学内容我们使用的教材是北师大版五年级上册的数学教材。

今天我们要学习的章节是第96页的内容，主要包括底和高的概念，以及如何计算三角形的底和高。

二、教学目标通过本节课的学习，我希望学生们能够理解并掌握底和高的概念，能够正确地找出三角形各个角的底，并能够计算出三角形的底和高。

三、教学难点与重点本节课的重点是让学生掌握底和高的概念，能够正确找出三角形的底和高。

难点在于让学生理解三角形底和高的计算方法。

四、教具与学具准备为了帮助学生们更好地理解底和高的概念，我准备了一些三角形模型和直尺。

学生们则需要准备好自己的笔记本和彩笔。

五、教学过程1.实践情景引入：我会向学生们展示一些三角形模型，并引导他们找出每个三角形的底和高。

2.讲解底和高的概念：我会向学生们解释底和高的概念，并通过模型展示如何找出三角形的底和高。

3.例题讲解：我会出示一些例题，引导学生们如何计算三角形的底和高。

在讲解过程中，我会强调底和高的计算方法。

4.随堂练习：我会给出一些练习题，让学生们自己动手计算三角形的底和高。

我会适时给予指导和帮助。

六、板书设计板书设计如下：三角形的底和高底：三角形的最长边高：从底到对顶角的线段七、作业设计1.请画出一个三角形，标出它的底和高。

答案：学生可以根据底和高的概念，自己画出一个三角形，并标出它的底和高。

2.计算下面三角形的底和高。

答案：学生可以根据底和高的计算方法，计算出每个三角形的底和高。

八、课后反思及拓展延伸通过本节课的学习，我发现学生们对于底和高的概念有了更深入的理解，大部分学生能够正确找出三角形的底和高。

但在计算过程中，有些学生对于如何正确使用直尺还有些困惑，需要在今后的教学中加强练习。

对于拓展延伸，我可以在下一节课中引入一些更复杂的三角形，让学生们尝试计算它们的底和高，进一步提高他们的计算能力。

第 2 课时 角度、高度问题学习目标 1.准确理解实际测量中常用的仰角、俯角、方向角等概念 .2.掌握测量高度的常见方法 .3.能把方向角等角度条件转化为解三角形的条件，解决航海等角度问题 . 知识点一 测量仰角 （或俯角 ） 求高度问题思考 如图， AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物， A 为建筑物的最高点，如果能测出点 C ，D 间的距离 m 和由 C 点，D 点观察 A 的仰角， 怎样求建筑物高度 AB ？ （已知测角仪器的高是h)在 Rt △AEC 中，AE ＝ ACsin α，AB ＝AE ＋h. 梳理 问题的本质如图，已知 ∠AEC 为直角，CD ＝m ，用 α，β，m 表示 AE 的长，所得结果再加上 h.知识点二 测量方向角求高度答案 解题思路是：在△ 所以 msin β sin α－βACD 中， AC ＝ m sin β sin α－ β.思考如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行A 处时测得公路北侧远处一山顶驶，到D 在北偏西 75 °的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山顶在北偏西 65°的方向上，仰角为 8°，怎样求此山的高度 CD?5sin 15 °BC ＝5s s i i n n 1105 ，°°再在 Rt △DBC 中求 DC ＝BCtan 8.° 梳理 问题本质如图，已知三棱锥 D －ABC ，DC ⊥平面 ABC ，AB ＝m ，用 α，β，m ，γ表示DC 的长 .1.在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针 .(× )2.在仰角或俯角中，视线与水平线的关系实质是斜线与斜线在水平面内的射影.(√ )类型一 测量仰角 (或俯角 )求高度问题 例 1 如图所示， D ，C ，B 在地平面同一直线上， DC ＝10 m ，从 D ，C 两地测得 A 点的仰角分别为 30°和 45°，则 A 点离地面的高 AB 等于 ( )解析 方法一 设 AB ＝x m ，则 BC ＝x m.答案 先在△ ABC 中，用正弦定理求A.10 mC.5（ 3－1） m考点 解三角形求高度 题点 测量俯角 (仰角 )求高度 答案 D B.5 3 m D.5（ 3＋1） m∴BD ＝（10＋x） m.解得 x ＝5（ 3＋1） m.∴A 点离地面的高 AB 等于 5( 3＋1) m.方法二 ∵∠ACB ＝45°，∴∠ACD ＝135°， ∴∠CAD ＝ 180°－ 135°－ 30°＝ 15°.∴AB ＝ACsin 45 ＝°5( 3＋1) m.反思与感悟 (1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形 .(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的 垂足在同一条直线上，观测者一直向 “目标物 ”前进.跟踪训练 1 某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 35°，沿倾斜角为 20°的斜坡前进 1 000 m 后到达 D 处，又测得山顶的仰角为 65°，则山的高度为 m.( 精确到 1 m)答案 811解析 如图，过点 D 作 DE ∥AC 交 BC 于E ， 因为 ∠DAC ＝20°， 所以 ∠ADE ＝160°， 于是 ∠ADB ＝360°－160°－ 65°＝135°.又∠BAD ＝35°－20°＝15°，所以 ∠ABD ＝30°.在 △ABD 中，由正弦定理，得ADsin ∠ ADB 1 000×sin 135 °AB ＝ ＝ ＝ 1 000 2(m).sin ∠ ABD sin 30 °在 Rt △ABC 中，BC ＝ABsin 35 ≈°811(m).答 山的高度约为 811 m.类型二 测量方向角求高度问题例 2 如图所示， A ，B 是水平面上的两个点，相距 800 m ，在 A 点测得∴tan ∠ADB ＝ AB ＝ x ＝ 3.DB 10＋ x 3由正弦定理，得 AC ＝·sin ∠ ADC10 ·sin 30 ＝° 20·sin 30 ＝° sin 15 ° 6－ 2山顶 C 的仰角为 45°，∠ BAD ＝120°，又在 B 点测得∠ ABD＝45°，其中 D 点是点 C 到水平面的垂足，求山高 CD.考点解三角形求高度题点测量俯角（仰角）求高度解由于 CD⊥平面 ABD，∠CAD ＝45°，所以 CD＝AD.因此只需在△ABD 中求出 AD 即可，在△ABD 中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，AB AD 由＝， sin15 °sin 45 °2800× 得 AD＝AB si·n s i1n545°＝°6－22＝800( 3＋1)(m).4即山的高度为 800（ 3＋1） m.反思与感悟此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“ 目标物” ，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题跟踪训练 2 如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B的正东＝45°，则塔 AB 的高是（）A.10 mC.10 3 m考点解三角形求高度题点测量方向角、仰角求高度答案 D 解析在△BCD 中， CD＝10 m，∠BDC＝45°，∠BCD＝ 15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，方向上，测得点A 的仰角为 60°，再由点C 沿北偏东 15°方向走 10 m 到位置D ，测得∠ BDCB.10 2 mD.10 6 mBC CD 由正弦定理，得 sin ∠BC BDC ＝sin ∠CDDBC ，又∠ABC ∈（0°，60°），∴∠ ABC ＝45°， ∴ B 点在 C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝ 90°＋ 30°＝120°，BD CD在 △BCD 中，由正弦定理得 BD ＝ CD ，sin ∠ BCD sin ∠ CBD∴ 缉私船沿北偏东 60°的方向行驶BC ＝ 10sin 45 °＝°10 2（m ）. 在 Rt △ABC 中， tan 60 ＝° AB ， BC，AB ＝ BC ×tan 60 ＝°10 6（m ）. 类型三 航海问题例 3 如图， 在海岸 A 处发现北偏东 45°方向， 距 A 处 （ 3－1）海里的 B 处 有一艘走私船 .在 A 处北偏西 75°方向，距 A 处2 海里的 C 处的我方缉私 船奉命以 10 3海里/时的速度追截走私速度，从 B 处向北偏东 30°方向逃窜 .问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求 出所需时间 .考点 解三角形求距离题点 测量方向角求距解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获 （在 D 点 ）走私船，则 CD ＝ 10 3t ，BD＝10t ，在 △ABC 中，由余弦定理，有 ＝（ 3－ 1）2＋ 22－ 2（ 3－ 1） ·2·cos 120 ＝°6. ∴ BC ＝ 6.又 ∵ BC sin A AC， sin ∠ABC ， sin ∠ABC ＝ AC ·si n A 2·sin 120 ° ＝ 2， 2， ∴ sin ∠ BCD ＝ BD ·sin ∠ CBD CD 10t ·si n 120 10 3t1. 2. 又∵∠BCD ∈（0 °， 60°）， ∴∠ BCD ＝ 30°，又在 △BCD 中， ∠ CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠ D ＝30°，∴BD ＝BC ，即 10t ＝ 6.∴t ＝ 106小时 ≈15分钟 .∴缉私船应沿北偏东 60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分钟 . 反思与感悟 解决航海问题一要搞清方位角 （方向角 ），二要弄清不动点 （三角形顶点 ），然后根 据条件，画出示意图，转化为解三角形问题 跟踪训练 3 甲船在 A 点发现乙船在北偏东 60°的 B 处，乙船以每小时 a 海里的速度向北行 驶，已知甲船的速度是每小时 3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进， 才能最快与乙船相遇？ 考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离解 如图所示 .设经过 t 小时两船在 C 点相遇， 则在 △ABC 中，BC ＝ at （海里 ），AC ＝ 3at （海里 ），B ＝90°＋ 30°＝120°，由 BC ＝ AC ，得 sin ∠ CAB sin BBCsin B at ×sin 120 sin ∠ CAB ＝ AC ∵0°<∠CAB<60°，∴∠ CAB ＝30°， ∴∠DAC ＝ 60°－ 30°＝30°，∴ 甲船应沿着北偏东 30°的方向前进，才能最快与乙船相遇1. 某公司要测量一水塔 CD 的高度，测量人员在地面选择了 A ，B 两个 观测点，且 A ，B ， C 三点在同一直线上，如图所示，在 A 处测得该水 塔顶端 D 的仰角为 α，在 B 处测得该水塔顶端 D 的仰角为 β. 若 AB ＝3 ＝ 2 ＝ 1， ＝ 3＝ 2， 3ata,0<β<α<2π，则水塔 CD 的高度为（) A. asin α－ βsin αA. sin βasin β sin α－β答案在△ ABC 中，由正弦定理得 sin A 3B 0 ＝°sin A 1C 35 ， ∴AC ＝ 100 2.AC＝ CD sin θ＋ 90° sin 153.一架飞机在海拔 8 000 m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为 ___ m.（精确到 0.1 m ）考点 解三角形求宽度题点 已知高度、俯角 （仰角 ）求宽度答案 5 856.4 B.asin αsin β sin α－ β C. sin α D. sin α－ βsin β考点 解三角形求高度 题点 测量俯角 （仰角 ）求高度 答案 B解析 根据题意知，在 △ABD 中，∠ ADB ＝ α－ β，由正弦定理， 得 sin αs A in D β，即 AD sin β在 Rt △ACD 中， CD ＝ADsin asin αsin β α＝ . sin α－ β 2. 如图所示，在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C对于山坡的斜度为 15°，向山顶前进 100 m 到达 B 处，又测得 C 对于山坡的斜度为 45°，若 CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为 θ，则 cos θ等于（A. 3 2B. 22C. 3－ 1D. 2－ 1考点 解三角形求角度题点 解三角形求角度解析在 △ADC 中， ∴ cos θ＝sin(θ＋90°)＝ AC ·sin 15 CD asinasin α－4.甲、乙两楼相距 20 米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°， 则甲、乙两楼的高分别是 ___________ .考点 解三角形求高度题点 测量俯角 （仰角 ）求高度答案 20 3米， 403 3米3解析 甲楼的高为 20tan 60 °＝20× 3＝20 3（米）， 乙楼的高为 20 3－20tan 30 ＝°20 3－20× 33＝403 3(米).5. _____________________________________ 某船开始看见一灯塔在南偏东 30 °方向，后来船沿南偏东 60 °的方向航行 45 km 后，看见该 灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 _________________________ km.考点 解三角形求距离题点 测量方向角求距离答案 15 3解析 设灯塔位置为 A ，船的初始位置为 O ，船的终止位置为 B ， 由题意知 ∠ AOB ＝ 30°， ∠OAB ＝ 120°，则∠OBA ＝30°，所以由正弦定理，得 AB ＝ 15 3，即此时船与灯塔的距离是 15 3 km.1.在研究三角形时， 灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁琐， 如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算 方式 .2. 测量底部不可到达的建筑物的高度问题 .由于底解析宽＝8 000 tan 30 8 000 tan 45 ＝5 856.4(m).a,0<β<α<2π，则水塔 CD 的高度为（)部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题、选择题 1.为了测某塔 AB 的高度，在一幢与塔 AB 相距 20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为 30°，塔基的 俯角为 45°，那么塔 AB 的高为 （ 3A.20 1＋ 3 m C.20（1＋ 3） m 考点 解三角形求高度题点 测量俯角 （仰角 ）求高度 答案 A 2.在某个位置测得某山峰仰角为 θ，对着山峰在地面上前进 600 m 后测得仰角为 2θ，继续在 地面上前进 200 3 m 以后测得山峰的仰角为 4θ，则该山峰的高度为 （ ）A.200 mB.300 mC.400 mD.100 3 m 考点 解三角形求高度题点 测量俯角 （仰角 ）求高度 答案 B解析 如图， △BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝ 600 m ， BC ＝ DC ＝ 200 3 m.在 △BCD 中，由余弦定理可得6002＋ 200 3 2－ 200 3 22× 600× 200 3 ∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°， 4θ＝60°. 在 Rt △ABC 中， AB ＝ BCsin 4θ＝200 3× 23＝ 300(m) ， 故选 B. 3.海上有 A ，B 两个小岛相距 10 n mile ，从 A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从 B 岛望 C 岛 和 A 岛成 75°的视角，则B ，C 间的距离是 （）解析 塔的高度为 cos 2θ＝D.3020tan 30 °＋20tanA.10 3 n mileB.103 6 n mileC.5 2 n mileD.5 6 n mile 考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离 答案 D 解析 在△ ABC 中， C ＝180°－60°－75°＝45°.BC AB BC 10 由正弦定理，得 ＝ ， ∴ ＝ ， sin A sin C sin 60 °sin 45 °解得 BC ＝5 6 n mile. 4.已知两座灯塔 A ，B 与海洋观察站 C 的距离相等， 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°， 在观察站 C 的南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的 ( )A. 北偏东 10°B. 北偏西 10°C.南偏东 10°D.南偏西 10°考点 三角形中角度的求解 题点 三角形中角度的求解 答案 B解析 如图，因为 △ ABC 为等腰三角形，45°，灯塔B解析如图所示，BC＝ 3h， AC＝h，∴AB＝ 3h2＋ h2＝2h（米）.45°，此人沿南偏东 40°方向前进 10 m 到 D，6.某人在 C 点测得某塔在南偏西 80°，塔顶仰角为测得塔顶 A 的仰角为 30°，则塔高为（）A.15 mB.5 mC.10 mD.12 m考点解三角形求高度题点测量俯角（仰角）求高度答案 C解析如图，设塔高为 h，在 Rt △AOC中，∠ACO＝45°，则 OC＝OA＝ h.在 Rt △AOD 中，∠ADO＝30°，则 OD ＝ 3h.在△OCD 中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理，得 OD 2＝OC2＋CD2－ 2OC ·CD cos∠ OCD ，即（ 3h）2＝h2＋102－2h×10×cos 120 ，°∴h2－5h－50＝0，解得 h＝10 或 h＝－ 5（舍）.即塔高为 10 m.7.一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 °的方向直线航行， 30 分钟后到达 B处，在 C处有一座灯塔，海轮在 A处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B，C 两点间的距离是（）A.10 2 海里B.10 3 海里C.20 3 海里D.20 2 海里考点解三角形求距离题点测量俯角（仰角）求距离答案 A解析 如图所示，易知，在△ABC 中， AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°， 根据正弦定理得BC＝ AB ， sin 30 ＝°sin 45 ， 解得 BC ＝10 2.8.要测量河流一侧某建筑物的高度，在河流的另一侧选择甲、乙两个观测点，在甲、乙两点 分别测得该建筑物顶点的仰角为 45°，30°，在水平面上测得该建筑物和甲地连线与甲、乙两解析在△ABC 中，由余弦定理，得地连线所成的角为 120°，甲、 A.100 2 m C.200 3 m 考点 解三角形求高度 题点 测量俯角 (仰角 )求高度 答案 D 解析 由题意画出示意图， 设高 AB ＝h ，在 Rt △ ABC 中， 在 Rt △ABD 中， 由已知得 BD ＝ 3h. 在 △BCD 中，由余弦定理 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ×CD ×cos ∠BCD ，得 乙两地相距 500 m则该建筑物的高度是 ( )B.400 m D.500m 由已知得 BC ＝h. 答案 3π 4考点 解三角形求距离 题点 测量俯角 （仰角 ）求距离 答案 3 2＋ 6 20解析 在△ ABC 中， ∠BCA ＝60°， ∠ABC ＝75°－60°＝15°，AC ＝0.1 km ，cos ∠ ACB ＝ 32＋ 2 2 2－ 29 2 ＝ 2× 3×2 2 ＝ 2. 2 3π 因为∠ACB ∈（0，π），所以 ∠ACB10.如图，测量河对岸的塔高 AB 时，选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D ，测得∠ BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在点 C 测 得塔顶A 的仰角为 60°，则塔高 AB ＝ 米 . 考点 解三角形求高度题点 测量俯角 （仰角 ）求高度 答案 15 6解析 在△BCD 中，∠CBD ＝ 180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理，得 BC＝ CDsin∠ BDC ＝ sin ∠ CBD所以 BC ＝3s 0in si n 1 3350 ＝°°15 2.在 Rt △ABC 中，AB ＝BCtan ∠ACB ＝15 2×tan 60 ＝ 15 6（米 ）.11.如图， A ，B ， C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内， B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔 顶 .测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°，30°，于水面 C 处测得 B 点和 D 点 的仰角均为 60°，AC ＝0.1 km.若 AB ＝ BD ，则 B ，D 间的距离为 km.由正弦定理，得 sin ∠AB BCA ＝sin ∠AC ABC ，所以 AB ＝0.1sin 60sin°3 2＋ 6 20 (km) ， 又因为 BD ＝ AB ，所以 BD ＝3 22＋06(km).三、解答题 12. 如图所示，在地面上共线的三点 A ，B ， C 处测得一建筑物的仰角分别为 30°，45°，60°，且 AB ＝ BC ＝ 60 m ，求建筑物的高度 .考点 解三角形求高度题点 测量俯角 （仰角 ）求高度 解 设建筑物的高度为 h ，由题图知， ∴在△PBA 和 △PBC 中，分别由余弦定理，22260 ＋2h － 4h 得cos ∠PBA ＝， ①2× 60× 2h2 242∵∠ PBA ＋∠PBC ＝180°， ∴cos ∠PBA ＋ cos ∠ PBC ＝0.③由①②③ ，解得 h ＝30 6或 h ＝－ 30 6（舍去 ），即建筑物的高度为 30 6 m. 13. 甲船在 A 处，乙船在 A 的南偏东 45°方向，距 A 有 9海里的 B 处，并以 20 海里/时的速度 沿南偏西 15°方向行驶，若甲船以 28海里 /时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？ 考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离解 如图所示，设用 t 小时甲船能追上乙船，且在 C 处相遇 .在△ABC 中， AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9，2 2 2由余弦定理得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BCcos ∠即(28t)2＝92＋(20t)2－2×9×20t× －21，2 3 9128t2－60t－27＝0，∴t＝或 t＝－(舍∴ 甲船用43小时能最快追上乙船四、探究与拓展14.______________________ 某人在塔的正东沿着南偏西 60°的方向前进 40 m 后，望见塔在东北方向，最大仰角为 30°，则塔高为__________________________ m.考点解三角形求高度题点测量方向角、仰角求高度答案10 3－33解析如图所示，若沿途测得塔的设 AE 为塔， B 为塔正东方向一点，沿南偏西 60 °前进 40 m 到达 C 处，即 BC＝40，∠ CAB＝135°，∠ABC＝30°，∠ ACB＝15°.AC BC在△ABC 中，＝，sin∠ ABC sin∠CAB即AC＝40，∴AC ＝20 2.sin 30 °sin 135 °在△ABC 中，由面积公式知1121×BC×AG＝12×BC×AC×sin∠ACB. AG＝AC×CB×sin∠ACBBC＝ AC × sin ∠ ACB＝ 20 2sin 15 ，∴ AG＝20 2sin(45 °－ 30°)＝20 2 22× 23－22×12＝ 10（ 3－ 1）.在 Rt △AEG 中，∵ AE＝ AG tan∠AGE ，∴AE＝ 10（ 3－ 1）× 33＝10－1033，∴ 塔高为 10－1033 m.15.为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围 1 千米处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西 3千米有一条北偏东 60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时 12 千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？考点解三角形的实际综合应用题点解三角形的实际综合应用解如图所示，考点为 A，检查开始处为 B ，设检查员行驶到公路上 C， D 两点之间时收不到信号，即公路上两点到C，考点的距离为 1 千米 .在△ABC 中，AB＝ 3（千米），AC＝ 1（千米），∠ ABC＝ 30°，由正弦定理，得 sin∠ACB＝sin A C30×°AB＝23，∴∠ ACB＝ 120°（∠ ACB ＝60°不合题意），∴∠ BAC＝ 30°，∴ BC＝AC ＝1（千米）.在△ACD 中，AC＝AD＝1，∠ACD ＝60°，∴△ ACD 为等边三角形，∴CD＝1（千米）. ∵B1C2×60＝5，∴在BC 上需 5分钟，CD 上需 5分钟.∴最长需要 5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少 5 分钟才算合格1所以∠CBA ＝21(180 °－80°)＝50°，60°－50°＝ 10°，故选 B.5.从高出海平面 h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为 30 °，看正南方向有一只船俯角为则此时两船间的距离为 ( )A.2h 米B. 2h 米C. 3h米D.2 2h 米考点解三角形求距离题点测量俯角 (仰角 )求距离答案 A2 2 23h2＝h2＋5002＋h×500，解得 h＝500(m)( 负值舍去 ).故选 D.、填空题9.如图所示为一角槽，已知 AB⊥AD ，AB⊥BE，并测量得 AC＝3 mm，BC＝2 2 mm，AB＝ 29 mm，则∠ ACB＝________ .考点解三角形求角度题点解三角形求角度。

人教版数学四年级下册三角形的内角和优秀教案（精推３篇）〖人教版数学四年级下册三角形的内角和优秀教案第【1】篇〗《三角形内角和》教学设计教材分析：《三角形内角和》一课是人教版义务教育课程标准实验教材四年级下册第五单元的内容，是学生在学习了上册《平行与垂直》中的《角的认识》和本册本单元《三角形的特性》以及《三角形三边关系》、《三角形的分类》等知识之后进行的，它是三角形的一个重要特征，也是掌握多边形内角和及解决其他实际问题的基础，因此，学习、掌握“三角形的内角和是 180°”这一规律具有重要意义。

首先，教师应使学生明确“内角”的意义，然后引导学生探索三角形内角和等于多少。

三角形的内角和是否正好等于180°呢？教材中安排了两个活动：一是把三角形三个内角撕下来，再拼在一起，组成一个平角，因此三角形内角和是 180 度。

二是把三个内角折叠在一起，发现也能组成一个平角。

每个活动都要使学生动手试一试，加深对三角形内角和的认识，体验三角形内角和性质的探索过程。

另外，教材还从两个方面引导学生应用三角形的内角和：一是根据三角形中已知的两个角的度数，求另一个角的度数；二是直角三角形里的两个锐角和等于 90 度，钝角三角形里的两个锐角和小于90 度。

本节课的教学重点是让学生经历“三角形内角和是180°”这一知识的形成、发展和应用的全过程。

而教学难点则放在对不同探究方法的指导和学生对规律的灵活运用。

学情分析：四年级的学生已初步具备了动手操作的意识和能力，并能够在探究问题的过程中，运用已有的知识和经验，通过交流、比较、评价等寻找解决问题的途径和策略。

“三角形的内角和是 180°”这一结论，大多数学生在四年级上册“角的度量”也有接触，但不一定清楚道理，所以本课的重点不在于了解，而在于验证，让学生在课堂上经历研究问题的全过程。

学生在本课学习前已经认识了三角形的基本特征及分类，学生课上对数学知识、能力和思考问题的角度有一定的差异，因此比较容易出现解决问题的策略多样化。

初中数学求角度数教案教学目标：1. 理解什么是角度，掌握角度的度量单位。

2. 学会使用量角器求解角度数。

3. 能够应用所学知识解决实际问题。

教学重点：1. 角度的概念及度量单位。

2. 使用量角器求解角度数的方法。

教学难点：1. 角度的换算。

2. 应用题的解决。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 量角器。

3. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 向学生介绍角度的概念，引导学生思考在日常生活中有哪些场景会用到角度的概念。

2. 讲解角度的度量单位，即度、分、秒。

二、新课讲解（15分钟）1. 讲解使用量角器求解角度数的方法。

步骤1：画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合。

步骤2：在量角器上对准要测量的角，找到对应的刻度线。

步骤3：读取刻度线上的数值，即为所求的角度数。

2. 讲解角度的换算，即1度等于60分，1分等于60秒。

三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，总结求解角度数的方法。

五、课后作业（课后自主完成）1. 完成练习题，加强巩固。

2. 观察生活中的一些场景，试着用角度的知识去解释。

教学反思：本节课通过讲解角度的概念、度量单位以及使用量角器求解角度数的方法，使学生掌握了求解角度数的基本技能。

在课堂练习环节，学生能够独立完成练习题，对所学知识有了较好的掌握。

但在课后作业中，发现部分学生对角度的换算掌握不够熟练，需要在今后的教学中加强练习。

总体来说，本节课达到了预期的教学目标，学生对角度的概念和求解方法有了较好的理解。

在今后的教学中，要继续注重培养学生的动手操作能力和实际应用能力，使他们在解决实际问题时能灵活运用所学知识。

第25章解直角三角形图25.1.1．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．图25.1.2而这一问题的解决将涉及到直角三角形中的边角关系．三条边有什么关系？它的边与角又有什么关系？这一切都是本章图25.2.1 不变时，三条边的比例也不变（即为一个固定值）。

图25.2.2三．课堂练习P91（练习）：1～4（习题25.2）：1～3显示再按下列顺序依次按键：显示结果为0.897 859 012.所以sin63゜52′41″≈0.8979（屏幕显示出显示结果为0.349 215 633.（屏幕显示出显示结果为36.538 445 77.再按键：≈36゜32′.图25.3.1．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，图25.3.2图25.3.3为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆图25.3.4（米）．2. AE图25.3.5图25.3.6︒=32tan概括1. 了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程；2. 理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；3. 能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题．课堂练习1.求下列阴影部分的面积：（第2题）已知直角三角形两条直角边分别为6、8，求斜边上中线的长．cot 60°－2tan 45°;cos2 60°;tan260︒（第5题）6.小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39°角．的风筝有多高？（精确到1米）7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∠A平分线AM的长为15 cm求直角边AC和斜边AB的长．（第9题）（第10题）一架25米的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物7米．如果梯子的顶部滑下4米，梯子的底部滑开多远？如图，一段河坝的断面为梯形，试根据图中数据，求出坡角（第13题）两建筑物的水平距离BC为24米，从点A测得点的俯角b＝60°，求AB和CD两座建筑物的高．（第14题）。

高一数学教案解三角形5篇等腰三角形,看似简单平常,实则魅力无穷.许多关键问题三角问题与等腰三角形密切相关,形变解题中若能根据题意恰当构造,则可使一些三角问题别开生面地得以解决,更给人一种形象直观、流畅清晰、解法优美之感.今天在这里整理了一些，我们一起来呢吧!高一数学教案解三角形1[教学重、难点] 认识直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形和等边三角形，体会每一类三角形的特点。

[教学准备] 学生、老师剪下附页2中的图2。

[教学过程] 一、画一画，说一说1、学生各自借助三角板或直尺分别画一个锐角、直角、钝角。

2、教师巡查练习境况。

3、学生展示练习，说一说为什么是锐角、直角、钝角?二、分一分 1、小组活动;把附页2中的图2中的三角形需要进行分类，动手前先观察这些三角形的特点，然后小组讨论怎样分后?2、汇报：进行分类的标准和方法。

可以按角来分，可以按边来分。

二、按角分类： 1、观察观察具体来说三角形有什么共同的特点，从而归纳出来三个角都是锐角的'三角形是锐角三角形。

2、观察共同第三类三角形有什么共同的特点，从而归纳出有一个角是直角的三角形是直角三角形3、观测观察第三类三角形有什么互助的特点，从而归纳出有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。

三、按边分类： 1、观察这类三角形的边有什么共同的特点，引导学生发现每个三角形中都有两条边，这样三角形的三角形叫等腰三角形，并透露各部分的名称。

2、引导学生发现有的菱形三角形三条边都相等，这样的矩形是等边三角形。

讨论等边三角形是等腰三角形吗?四、填一填：24、25页让学生辨认各种三角形。

五、练一练：第1题：通过“猜三角形游戏”让学生体会到看到一个锐角，不能重新考虑是一个锐角三角形，必须三个角都是锐角总算是九个锐角三角形。

第2题：在点子图上画作三角形第3题:剪一剪。

六、完成26页实践活动。

[板书设计] 三角形的分类按角分类：按边分类：高一数学教案可解三角形2教学目标：1、通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力;2、了解三角形的高，并能在一般性的三角形中作出中均它们.教学重点：在具体的三角形中作出三角形的低.教学难点：画出钝角三角形的三条高.活动准备：学生预先剪好三种三角形，一副三角板.教学过程：过菱形的一个顶点A，你能画出它的对边BC的垂线吗?试试看，你准行!从而引出新课：1、三角形的高：三角形从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.如图，线段AM是BC边上的高.∵AM是BC边上的高，∴AM⊥BC.做一做：每人准备一个锐角三角形纸片：(1)你能画出这个三角形的高吗?你能用折纸的方法得到它吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系呢?小组讨论交流.结论：锐角三角形的'三条高在正三角形的内部且交于一点.3、议一议：每人画出一个直角三角形和一个钝角三角形.(1)画出直角三角形的三条高，并观察它们有怎样的位置关系?(2)你能折出高德帕伦三角形的三条高吗?你能画出它们吗?(3)钝角三角形的三条高交于假脉一点吗?它们所在的直线交于一点吗?小组讨论交流.结论：1、直角三角形的等腰三条高交于直角顶点处.2、钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在四边形的外部.4、练习：如图，(1)共有___________个直角三角形;(2)高AD、BE、CF相对应的底分别是_______，_____，____;(3)AD=3，BC=6，AB=5，BE=4.则S△ABC=___________，CF=_________，AC=_____________.5、小结：(1)锐角三角形的三条高在三角形的内部且交于一点.(2)直角三角形的三条高交于直角顶点处.(3)钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在三角形的中间层.作业：P127 1、2、3高一数学教案可解三角形3《三角形中位线》教案一、教学目标：1.使学生掌握三角形中位线概念,理解中位线定理,会运用它进行有关论证和计算2.掌握添加辅助线解题的技巧.3.提高中学生分析问题,解决问题的能力,增强学习兴趣.二、教学方法探究式自主学习：以学生的自主探究为主，教职员加以引导启发，在师生的共同探究活动中，完成本课的教学目标，提高学生的能力,使学生更好的适应新课程标准三、教学内容﹑教材重、难点分析：三角形中位线定理的学习是继学习-平行四边形与平行线等分线段定理后的一个新内容,教材首先给出了三角形中位线的定义,并与三角形中线加以区分,接着以同一法的思想探索出三角形中所位线定理,最后是利用中位线定理解答例一所给的环境问题.在今后的学习中要经常运用这个定理解决有关直线平行和也常线段倍分等问题.本节课的重点是三角形中位线定理,难点是定理的证明,关键在于如何添加辅助线,在今后的学习中要经常运用这个定理解决有关直线平行和也常线段倍分等问题.四、教学内容媒体的选择和设计通过多媒体课件，打开学生的思路,增加课堂的容量,提高课堂效率。

数学5 第一章 解三角形第1课时课题: §1．1．1正弦定理●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ B C Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin aA c=，sin bB c=，又sin 1c C c==,A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。