(2021年整理)高中数学平面向量习题及答案

高中数学平面向量习题及答案

第 1 页 共 10 页 高中数学平面向量习题及答案

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高中数学平面向量习题及答案

第 2 页 共 10 页 第二章 平面向量

一、选择题

1．在△ABC中，AB＝AC，D,E分别是AB，AC的中点,则（ ）．

A．AB与AC共线

B．DE与CB共线

C．AD与AE相等

D．AD与BD相等

2．下列命题正确的是（ )．

A．向量AB与BA是两平行向量

B．若a，b都是单位向量，则a＝b

C．若AB＝DC,则A，B，C，D四点构成平行四边形

D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同

3．平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A（3，1)，B（－1，3），若点C满足OC＝OA＋OB，其中 ,∈R，且＋＝1，则点C的轨迹方程为（ ）．

A．3x＋2y－11＝0 B．(x－1）2＋(y－1）2＝5

C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝0

4．已知a、b是非零向量且满足（a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是（ )．

A．6 B．3 C．23 D．56

5．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），则AP＝( ）．

A．λ(AB＋AD）,λ∈(0，1) B．λ（AB＋BC),λ∈（0，22）

C．λ(AB－AD),λ∈（0，1） D．λ(AB－BC)，λ∈(0，22）

6．△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则DF＝（ ）．

A．EF＋ED B．EF－DE

C．EF＋AD D．EF＋AF

7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b｜＝4，(a＋2b）·（a－3b)＝－72，则向量a的模(第1题) 高中数学平面向量习题及答案

第 3 页 共 10 页 为( )．

A．2 B．4 C．6 D．12

8．点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA,则点O是△ABC的（ )．

A．三个内角的角平分线的交点

B．三条边的垂直平分线的交点

C．三条中线的交点

D．三条高的交点

9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b,DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（ ）．

A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形

10．如图，梯形ABCD中,|AD|＝｜BC｜,EF∥AB∥CD则相等向量是（ )．

A．AD与BC B．OA与OB

C．AC与BD D．EO与OF

二、填空题

11．已知向量OA＝(k,12)，OB＝（4，5)，OC＝(－k,10)，且A，B，C三点共线,则k＝ ．

12．已知向量a＝（x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M（－1,3),N(1，3）,则x＝ ．

13．已知平面上三点A，B，C满足｜AB|＝3，｜BC｜＝4，|CA|＝5,则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于 ．

14．给定两个向量a＝(3,4），b＝（2，－1），且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m等于 ．

15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的 ． (第10题) 高中数学平面向量习题及答案

第 4 页 共 10 页 16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c， OD＝d，若a＋c＝b＋d,则四边形ABCD的形状是 ．

三、解答题

17．已知点A(2，3），B(5，4),C(7，10),若点P满足AP＝AB＋λAC（λ∈R)，试求 λ为何值时，点P在第三象限内？

18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5),C(4，3），M，N，D分别是AB，AC，BC的中点,且MN与AD交于F，求DF．

(第18题) 高中数学平面向量习题及答案

第 5 页 共 10 页 19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE（利用向量证明）．

20．已知向量a＝（cos θ，sin θ），向量b＝(3，－1），则|2a－b｜的最大值． (第19题) 高中数学平面向量习题及答案

第 6 页 共 10 页 参考答案

一、选择题

1．B

解析：如图，AB与AC，AD与AE不平行,AD与BD共线反向．

2．A

解析：两个单位向量可能方向不同，故B不对．若AB＝DC，可能A，B,C，D四点共线，故C不对．两向量相等的充要条件是大小相等,方向相同,故D也不对．

3．D

解析：提示：设OC＝（x，y），OA＝（3，1),OB＝(－1，3)，OA＝(3，)，OB＝（－，3），又OA＋OB＝(3－，＋3），

∴ （x,y）＝(3－，＋3），∴33＋＝－＝yx ，又＋＝1，由此得到答案为D．

4．B

解析:∵(a－2b）⊥a，（b－2a)⊥b,

∴(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0,（b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，

∴ a2＝b2，即｜a|＝|b｜．∴｜a|2＝2｜a｜｜b｜cos θ＝2|a|2cosθ．解得cos θ＝21．

∴ a与b的夹角是3π．

5．A

解析:由平行四边形法则,AB＋AD＝AC，又AB＋BC＝AC，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1）．

6．D

解析：如图，∵AF＝DE，

∴ DF＝DE＋EF＝EF＋AF． (第1题) 高中数学平面向量习题及答案

第 7 页 共 10 页 （第6题)

7．C

解析：由(a＋2b）·（a－3b）＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．

而|b|＝4，a·b＝｜a｜|b|cos 60°＝2|a｜，

∴ ｜a|2－2|a｜－96＝－72，解得|a|＝6．

8．D

解析：由 OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，得OA·OB＝OC·OA，

即OA·(OC－OB)＝0，

故BC·OA＝0,BC⊥OA，同理可证AC⊥OB，

∴ O是△ABC的三条高的交点．

9．C

解析:∵AD＝AB＋BC＋DC＝－8a－2b＝2BC,∴AD∥BC且|AD｜≠｜BC｜．

∴ 四边形ABCD为梯形．

10．D

解析：AD与BC,AC与BD,OA与OB方向都不相同,不是相等向量．

二、填空题

11．－32．

解析：A，B，C三点共线等价于AB，BC共线，

AB＝OB－OA＝（4，5)－(k，12)＝（4－k，－7)，

BC＝OC－OB＝（－k，10)－（4，5）＝(－k－4，5），

又 A，B,C三点共线，

∴ 5（4－k)＝－7(－k－4),∴ k＝－32．

12．－1． 高中数学平面向量习题及答案

第 8 页 共 10 页 解析:∵ M(－1，3)，N（1，3)，

∴ MN＝(2，0），又a＝MN，

∴

0＝4－3－2＝3＋2xxx

解得4＝1＝－1＝－xxx或

∴ x＝－1．

13．－25．

解析：思路1：∵ AB＝3，BC＝4，CA＝5，

∴ △ABC为直角三角形且∠ABC＝90°，即AB⊥BC,∴AB·BC＝0,

∴ AB·BC＋BC·CA＋CA·AB

＝BC·CA＋CA·AB

＝CA·(BC＋AB）

＝－(CA)2

＝－2CA

＝－25．

思路2：∵ AB＝3，BC＝4，CA＝5，∴∠ABC＝90°，

∴ cos∠CAB＝CAAB＝53，cos∠BCA＝CABC＝54．

根据数积定义，结合图（右图)知AB·BC＝0，

BC·CA＝BC·CAcos∠ACE＝4×5×(－54）＝－16,

CA·AB＝CA·ABcos∠BAD＝3×5×(－53)＝－9．

∴ AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝0―16―9＝－25．

14．323．

解析：a＋mb＝（3＋2m,4－m)，a－b＝(1，5)． D

(第13题) 高中数学平面向量习题及答案

第 9 页 共 10 页 ∵ （a＋mb)⊥(a－b），

∴ (a＋mb)·(a－b)＝（3＋2m)×1＋（4－m)×5＝0m＝323．

15．答案：重心．

AC于点E，则OF解析：如图，以OA，OC为邻边作□AOCF交＝OA＋OC,又 OA＋OC＝－OB,

∴ OF＝2OE＝－OB．O是△ABC的重心．

16．答案：平行四边形．

解析：∵ a＋c＝b＋d,∴ a－b＝d－c，∴BA＝CD．

∴ 四边形ABCD为平行四边形．

三、解答题

17．λ＜－1．

解析:设点P的坐标为(x，y)，则AP＝（x,y）－(2，3）＝（x－2，y－3)．

AB＋λAC＝(5，4)－（2，3)＋λ［(7，10）－(2，3)]

＝(3，１)＋λ(5，7)

＝(3＋5λ，１＋7λ)．

∵ AP＝AB＋λAC，

∴ （x－2,y－3)＝（3＋5λ，1＋7λ）．

∴

713532yx 即7455yx

要使点P在第三象限内，只需074055 解得 λ＜－1．

18．DF＝（47，2）．

解析：∵ A(7,8)，B(3,5)，C(4,3），

AB＝(－4，－3），AC＝(－3,－5)． (第15题)

(第18题)