2023-2024学年高考数学平面向量及其应用专项练习题(含答案)

2023-2024学年高考数学平面向量及其应用小专题

一、单选题

1．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）2, 2 1,a1 ,1 2,b

ba

A．B．（2，﹣1，2）424

3,3,3

C．D．（1，﹣2，1）242

3,3,3

2．设非零向量，满足，，则向量的夹角等于（ ）,,abcabc

abc,ab

A．B．C．D．1501206030

3．在中，满足，，，则（ ）ABC5BC

12AB

13AC

ACBC

A．B．0C．25D．6525

4．在中，若，则的形状是（ ）ABC20BCCABC

ABC

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．直角三角形D．等腰直角三角形

5．在中，分别是，，的对边.若，且，则ABCabc，，ABC2bac223abccac

的大小是（ ）A

A．B．C．D．π

6π

32π

35π

6

6．已知向量，，，则等于（ ）1,2ar

5ab25ab

b

A．B．525

C．5D．25

7．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）1e

2e

A．，B．，0a

12bee

1233aee

12bee

C．，D．，122aeerurur

12bee

122aeerurur

1224bee

8．如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两ABC

点（点N与点C不重合），设，则的值为（ ）,AMxABANyAC11

xy

A．3B．4C．5D．6

二、多选题

9．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若，，，4a4sin5Atan7C

则下列结论正确的是（ ）

A．B．3cos5Aπ

4B

C．D．中的面积为52

2bABC72

10．已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，．（ ）ABCπ

3C2c

A．面积的最大值为ABC3

B．的最大值为ACAB4323

C．的取值范围为cos

cosB

A(2,)

D．coscos2bAaB

11．设向量，，则（ ）2,0a1,1b

A．B．ab

()//abb

C．D．与的夹角为()abb

abπ

4

12．在中，角所对的边分别为，那么在下列给出的各组条件中，能确定三ABC,,ABC,,abc

角形有唯一解的是（ ）

A．，，B．，，30B2b2c30B2b4c

C．，，D．，，30B2b5c75A30B2b

三、填空题

13．设向量，，若，则 ．4,2a1,1bbakb

14．已知向量，且，则 ．2,,1,2atb

//abab

15．已知向量与向量满足：，，且与的夹角为，则 ．ab1a

2b

abπ

32ab

16．马尔代夫群岛是世界上风景最为优美的群岛之一，如图所示，为了测量两座岛之间AB，

的距离，小船从初始位置出发，已知在的北偏西的方向上，在的北偏东的CAC45BC15

方向上，现在船往东航行2百海里到达处，此时测得在的北偏西的方向上，船再返EBE30

回到处后，由向西航行百海里到达处，测得在的北偏东的方向上，则CC26DAD22.5

两座岛之间的距离为 百海里.,AB

答案：

1．A

【分析】根据投影向量的求解公式计算即可．

【详解】因为，，所以，，2, 2 1,a1 ,1 2,b

6ab3a

故向量在向量上的投影向量是.ba29, 1, 226aba

a

424

3,3,3

故选：A．

2．B

【分析】先将等式两边平方，可得，再用平面向量的夹角公式计算即可.abc21

2aba

【详解】由等式，两边平方得：，abc22()abc

则，且，所以.2222aabcbabc21

2aba

，即.2

21

12cos,2||||aabababa

,120ab

故选：B.

3．C

【分析】先判断三角形是直角三角形，再结合向量线性运算与数量积运算知识进行计算即可.

【详解】如图所示，

因为在中，满足，，，ABC5BC

12AB

13AC

所以，即，222ABBCAC

90ABC

所以.22025ACBCBCBABCBCBC故选：C

4．C

【分析】利用平面向量的数量积运算律计算即可.

【详解】由题意可知，22200BCCBBABCBCBCBABCBCBA

所以，即的形状是直角三角形.BCBAABC

故选：C

5．A

【分析】由，且，得到，利用余弦定理求解.2bac223abccac2223bcabc

【详解】因为，且，2bac223abccac

所以，2223bcabc

所以 ，2223cos22bcaAbc

因为 ，所以 ，0,πAπ

6A

故选：A

6．C

【分析】求出，对两边平方可得答案.ar25ab

【详解】，，5a

5ab

因为，所以，25ab222220

abaabb

即，解得.251020

b5b

故选：C.

7．C

【分析】由零向量与任意向量共线判断A，根据判断B，设，建立方程，根据3abrrab

方程解的情况判断C，根据判断D.1

2ab=

【详解】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；

对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；1233aee

12bee

3abrr对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，ab12122eeee1

2



可以作为一组基底；

对于D：设，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；122aeerurur

1224bee1

2ab=

故选：C.

8．A

【分析】利用平面向量基本定理计算即可.

【详解】设，则MGMNAGAMMGAMMNAMANAM

，11AMANxAByAC

又因为G是的重心，故，ABC1

331AGABAC

所以有.

1111331331

3x

xyy





故选：A

9．BC

【分析】利用同角三角函数的基本关系和判断的符号，即可判断A选sinsinBACcosA

项；由，求的值，即可判断B选项；由正弦定理，求的coscosBACBsinsinab

ABb

值，即可判断C选项；利用求面积，即可判断D选项.1sin2abC

【详解】解：由，得，4sin5A3cos5A

由，得为锐角且，，tan7CC72sin10C2cos10C

若，则，3cos5A172sinsinsincoscossin050BACACAC

与矛盾，故，故A错误；sin0B3cos5A

时，，3cos5A324722coscosπcos5105102BACAC

因为，所以，故B正确；(0,π)Bπ

4B由正弦定理，即，得，即，故C正确；sinsinab

ABsinsinaBbA24425b52

2b

所以的面积为，D错误．ABC115272sin4722210abC

故选：BC．

10．AB

【分析】由余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算判断A；由正弦定理，向量数量积

的定义，三角恒等变换结合正弦函数的性质求解判断B；利用三角恒等变换结合正切函数的

性质计算判断C；利用余弦定理计算判断D．

【详解】对于A，由，，得，当且仅当π

3C2c2242ababababab

时取等号，即的最大值为4， 2abab

则面积，即面积的最大值为， A正确；ABC113sin43222SabCABC3

对于B，由正弦定理得，则，，43

sinsin3bc

BC43sin3bB2π

3BA

83832πcossincoscossin()333ACABbcABAAA

2833143cos(cossin)4cossincos3223AAAAAA

，23431343π2(1cos2)sin2(sin2cos2)2sin(2)2332233AAAAA

显然，有，，则当，2π03A4π023Aππ5π2333Aππ232A

即时，取得最大值为，B正确；π

12AACAB4323

对于C，，由，2π2π2πcos()coscossinsincos13333tancoscoscos22AAABAAAA2π(0,)3A

得，因此的取值范围为，C错误；tan(,3)(0,)Acos

cosB

A1(,2)(,)2

对于D，由余弦定理得，D错误.22222222cs2oscobbcaacbbaBAcbcaca

故选：AB

11．CD