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一、点、直线、平面的投影1.1 点的投影∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙第24～24页习题1.2 直线的投影∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙第25～27页习题1.3 平面的投影∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙第28～29页习题1.4 直线与平面、平面与平面相对关系∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙第30～32页习题1234题号：题号：56789101112131415题号：161718192021题号：2223242526272829303132333435363738391.5 换面法∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙第33～35页习题1.6 旋转法∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙第36～36页习题1.7 投影变换综合题∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙第37～37页习题点、直线、平面的投影题号：404142434445464748495051题号：525354555657题号：58596061621. 已知A、B、C三点的直观图，画出它们的投影图，并将各点的坐标值填入表中。
2. 已知A、B、C各点对投影面的距离，画出它们的三面投影图和直观图。
3. 已知点Ａ的坐标（40，15，0），画出其三面投影并作出点Ｂ和点Ｃ的三面投影。
（a）点B ——在点Ａ右面20mm，前面15mm，上面20mm；（b）点C ——在点Ａ左面10mm，后面15mm，上面15mm。
第一部分点与直线一、已知各点的空间位置，画出其投影图（尺寸由立体图量取，并取整）。
知识点：点的投影规律1、1、点的投影规律（一般点、投影轴上点、投影面内点）——高平齐（Z）；长对正（X）；宽相等（Y）（相对原点）。
2、2、立体图的画法（轴向测量；轴向平行作图法——各线都分别平行于轴线）3、3、答案见下图：二、已知点的一个投影和下列条件，求其余两个投影。
（1）（1） A点与V面的距离为20mm。
（2） B点在A点的左方10mm。
知识点：1、点的投影规律（一般点、投影轴上点、投影面内点）——高平齐（Z）；长对正（X）；宽相等（Y）（相对原点）。
2、立体图的画法（轴向测量；轴向平行作图法——各线都分别平行于轴线）3、答案见下图：三、已知点A（35、20、20），B（15、0、25），求作它们的投影图。
答案见下图：四、已知各点的两个投影，求作出第三投影。
答案见下图：五、判断下列各点的相对位置。
知识点：点的相对位置（X—大左小右；Y—大前小后；Z—大上小下）；坐标的量取。
答案见下图：六、已知点B在点A的左方10mm，下方15mm，前方10mm；点C在点D的正前方10mm，作出点B和点C的三面投影。
答案见下图：七、已知A点（10，10，15）；点B距离投投影面W、V、H分别为20、15、5；点C在点A左方10，前方10，上方5，作出A、B、C的三面投影。
答案见下图：距离相等，点B的三个坐标值有什么关系，作出点B的各投影。
知识点：1、点的投影规律:高平齐（Z ）；长对正（X ）；宽相等（Y ）（相对原点）——点到H 、V 、W 面的距离分别为：Z 、Y 、X 。
2、若点B 到H 、V 、W 面的距离相等，则：Z b =Y b =X b 。
2、答案见下图：九、判断下列各直线对投影面的相对位置，并画出三面投影。
答案见下图：个解）。
答案见下图：十一、求线段AB的实长及其与H、V面的倾角α、β知识点：直角三角形法求直线的倾角及线段实长。
点、直线和平面>> 点>> 点在两投影面体系中的投影1 点1.1 点在两投影面体系中的投影1.1.1 两投影面体系的建立两投影面体系由互相垂直相交的两个投影面组成，如图1所示，其中一个为水平投影面（简称水平面），以H表示，另一个为正立投影面（简称正面），以V表示。
两投影面的交线称为投影轴，以OX表示。
水平投影面H与正立投影面V将空间分为四个部分，称为四个分角，即第一分角、第二分角、第三分角、第四分角。
(1) 投影如图2所示，空间点A处于第一分角，按正投影法将点A向正面和水平面投射，即由点A向正面作垂线，得垂足a′，则a′称为空间点A的正面投影；由点A向水平面作垂线，得垂足a ，则a称为空间点A的水平投影。
画出点A的正面投射线Aa′和水平投射线Aa所确定的平面Aaa′与V、H面的交线a′a x和aa x 。
图2 点在两投影面体系中的投影(2) 注写规定空间点用大写字母表示，如A、B、C…；点的水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c…；点的正面投影用相应的小写字母加一撇表示，如a′、b′、c′…。
(3) 投影面展开为了把空间点A的两个投影表示在一个平面上，保持V面不动，将H 面的前半部分绕OX轴向下旋转90°、后半部分绕OX轴向上旋转90°与V面重合。
则得到点A的两面投影图。
(4) 擦去边界,得到点的两面投影图投影面可以看作是没有边界的平面，故符号V、H及投影面的边界线都不需画出。
1.1.3 点在两投影面体系中的投影规律(a) (b)图3 点在两投影面体系中的投影规律(1) 一点的水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴。
在图3(a)中，点A的正面投射线Aa′和水平投射线Aa所确定的平面Aaa′垂直于V 和H平面。
根据初等几何知识，若三个平面互相垂直，其交线必互相垂直，所以有aa x⊥a′a x、aa x⊥OX和a′a x⊥OX。
当a随H面旋转重合于V面时，aa x⊥OX的关系不变。
第1章点、直线、平面的投影在工程图样中，为了在平面上表达空间物体的形状，广泛采用投影的方法。
本章介绍投影法的基本概念和如何在平面上表示空间几何要素（点、直线和平面）的方法。
1.1 投影法的基本知识在日常生活中，物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生一个物体的影子。
人们根据这一自然物理现象，创造了用投影来表达物体形状的方法，即：光线通过物体向选定的面投射，并在该面上得到图形,这种现象就叫投影（projection）。
这种确定空间几何元素和物体投影的方法，称为投影法（projection method）。
投影法通常分为中心投影法（perspective projection method）和平行投影法(parallel projection method)两种。
1.1.1 中心投影法如图1-1所示，设一平面P（投影面）与光源S（投影中心）之间，有一个△ABC（被投影物）。
经投影中心S分别向△ABC顶点A、B、C各引一直线SA、SB、SC（称为投射线），并与投影面P交于a、b、c三点。
则a、b、c三点就是空间A、B、C三点在P平面上的投影，△abc就是空间△ABC在P平面上的投影。
图1-1 中心投影法这种投射线汇交于一点的投影方法称为中心投影法。
中心投影法的投影中心位于有限远处，该投影法得到的投影图形称为中心投影。
由于中心投影法得到的物体投影的大小与物体的位置有关，如果改变物体（△ABC）与投影中心（S）的距离，投影（△abc）的大小也随之改变，即不能反映空间物体的实际大小。
因此，中心投影法通常不用于绘制机械图样，而用于建筑物的外观透视图等。
1.1.2 平行投影法如图1-2所示，若将投影中心S沿一不平行于投影面的方向移到无穷远处，则所有投射线将趋于相互平行。
这种投射线相互平行的投影方法，称为平行投影法。
平行投影法的投影中心位于无穷远处，该投影法得到的投影图形称为平行投影。
投射线的方向称为投影方向。
由于平行投影法中，平行移动空间物体，即改变物体与投影面的距离时，它的投影的形状和大小都不会改变。
平行投影法按照投射线与投影面倾角的不同又分为正投影法（Orthogonal method）和斜投影法（Oblique projection method）两种：当投影方向（即投射线的方向）垂直于投影面时称为正投影法，如图1-2(a)所示；当投影方向倾斜于投影面时称为斜投影法，如图1-2(b)所示。
正投影法得到的投影称为正投影，斜投影法得到的投影称为斜投影。
(a)正投影法(b)斜投影法图1-2 平行投影法正投影法是机械图样绘制中最常用的一种方法。
本教材后续章节中提及的投影，若无特殊说明，均指正投影。
1.2 点的投影点(point)是构成形体最基本的几何元素,一切几何形体都可看作是点的集合。
点的投影(point projection)是线(line)、面(surface)、体（body）的投影基础。
1.2.1 点的单面投影如图1-3所示，已知投影面P和空间点A，过点A作P平面的垂线（投射线），得唯一投影a。
反之，若已知点的投影a，就不能唯一确定A点的空间位置。
也就是说，点的一个投影不能确定点的空间位置，即：单面投影不具有“可逆性”。
因此，常将几何形体放置在相互垂直的两个或三个投影面之间，然后向这些投影面作投影，形成多面正投影。
图1-3点的单面投影及其空间位置关系1.2.2 点的两面投影如图1-4(a)所示，设置两个互相垂直的平面为投影面（projection plane）,其中一个是正立投影面（vertical projection plane）用V表示，另一个是水平投影面（horizontal projection plane）用H表示，V面和H面组成两投影面体系。
两投影面的交线为投影轴（projection axis）用OX 表示。
H a aX VOa'Xa'Oa x a x(a) 立体图(b) 投影面展开后(c) 投影图图1-4 点在V、H两面体系中的投影在两面投影体系中，设一空间点A，从A点分别向H面、V面作垂线（投射线），其垂足分别是点A的水平投影a和正面投影a'。
由于Aa'⊥V、Aa⊥H，故投射面Aaa'⊥OX轴并交于点a X，因此，a'a X⊥OX、aa X⊥OX。
如图1-4(a)中A点投影a、a'分别在H面、V面上，要把两个投影表示在一个平面上，按照国家制图标准规定：V面不动，将H面绕OX轴、按图1-4(a)中所示箭头的方向，自前向下旋转90°与V面重合，如图1-4(b)所示，称为点的两面投影图。
由于投影面是无限的，故在投影图上通常不画出它的边框线，这样便得到如图1-4(c)所示的点的两面投影图。
从图1-4(a)和图1-4(c)，根据立体几何知识，可以知道平面Aaa X a'为一矩形，展开后aa'形成一条投影连线并与OX轴交于点a X，且aa'⊥OX轴。
同时，a'a X=Aa，反映点A到H面的距离；aa X=Aa'，反映点A到V面的距离。
这里需要说明的是：规定空间点用大写字母表示（如A），点的水平投影用相应的小写字母表示（如a），点的正面投影用相应的小写字母并在右上角加一撇表示（如a'）。
（1）点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX 轴，即：aa '⊥OX ；（2）点的正面投影到OX 轴的距离等于点到H 面的距离，点的水平投影到OX 轴的距离等于点到V 面的距离，即：a 'a X =Aa ，aa X =Aa '。
1.2.3 点的三面投影虽然点的两面投影已能确定该点的位置，但为了更清楚地图示某些几何形体，在两投影面体系的基础上，再增加一个与V 面、H 面都垂直的侧立投影面（profile projection plane ）, 用W 表示，如图1-5(a)所示。
三个投影面之间两两相交产生三条交线，即三条投影轴OX 、OY 、OZ ，它们相互垂直并交于O 点，形成三投影面体系。
HX XaV a'Y H a YH O a YW Y WZWa" aX a a' O Za" a x a z a YH Y Ha YW Y W(a) 立体图 (b) 投影面展开后 (c) 投影图图1-5 点在V 、H 、W 三面体系中的投影如图1-5(a)所示：从A 向W 面作垂线（投射线），垂足即为A 点的侧面投影，记作a "。
这里需要指出的是，规定点的侧面（W 面）投影用空间点的相应小写字母右上角加两撇表示。
在三投影面体系中，三条投射线每两条可以确定一个投射面，即平面Aaa '、Aaa "、Aa 'a ",它们分别与三投影轴OX 、OY 、OZ 交于点a X 、a Y 、a Z 。
为了将三个投影a 、a '、a "表示在一个平面上，参照两面投影体系，根据国家制图标准规定：V 面不动，H 面、W 面按图1-5(a)中箭头所示方向分别绕OX 轴自前向下旋转90°、绕OZ 轴自前向右旋转90°。
这样，H 面、W 面与V 面就重合成一个平面。
这里投影轴OY 被分成Y H 、Y W 两支，随H 面旋转的OY 轴用OY H 表示，随W 面旋转的OY 轴用OY W 表示，且OY 轴上的a Y 点也相应地用a YH 、a YW 表示，如图1-5(b)。
与两面投影体系一样，投影图上不画边框线，得到空间点A 在三投影面体系中的投影图，如图1-5(c)。
在投影图中，OY 轴上的点a Y 因展开而分成a YH 、a YW 。
为了方便作图，可以过O 点作一条45°的辅助线，aa YH 、a "a YW 的延长线必与该辅助线相交于一点。
从图1-5(a)和图1-5(c)，同样，根据立体几何知识，可知：展开后a 'a "形成一条投影连线并与OZ 轴交于点a Z ，且a 'a "⊥OZ 轴。
同时，a 'a X =a "a YW =Aa ，反映点A 到H 面的距离；a 'a Z =aa YH =Aa "，反映点A 到W 面的距离；a "a Z =aa X =Aa '，反映点A 到V 面的距离。
（1）点的投影连线垂直于相应的投影轴，即：aa '⊥OX ，a 'a "⊥OZ ；（2）点的投影到相应投影轴的距离等于点到相应投影面的距离，即：a 'a X =a "a YW =Aa ，a 'a Z =aa YH =Aa "，a "a Z =aa X =Aa '。
利用点在三投影面体系中的投影特性，只要知道空间一点的任意两个投影，就能求出该点的第三面投影（简称为二求三）。
1.2.4 点的三面投影与直角坐标的关系如图1-6(a)，若将三投影面当作三个坐标平面，三投影轴当作三坐标轴，三轴的交点O 作为坐标原点，则三投影面体系便是一个笛卡儿空间直角坐标系。
因此，空间点A 到三个投影面的距离，也就是A 点的三个直角坐标X 、Y 、Z 。
即，点的投影与坐标有如下关系：点A 到W 面的距离Aa "=a 'a Z =aa YH =Oa X =X A ； 点A 到V 面的距离Aa '=a "a Z =aa X =Oa y =Y A ； 点A 到H 面的距离Aa =a 'a X =a "a YW =Oa X =Z A 。
由此可见，若已知A 点的投影（a 、a '、a "），即可确定该点的坐标，也就是确定了该点的空间位置，反之亦然。
从图1-6(b)可知，点的每个投影包含点的两个坐标，点的任意两个投影包含了点的三个坐标，所以，根据点的任意两个投影，也可确定点的空间位置。
YH X W(a) 立体图 (b) 投影图图1-6 点的三面投影与直角坐标【例】 已知A 点的直角坐标为（15，10，20），求点A 的三面投影（图样中的尺寸单位为mm 时，不需标注计量单位）。
〖解〗 步骤如下：（1）作相互垂直的两条细直线为投影轴，并且过原点O 作一条45°辅助线平分∠Y H OY W 。
依据X A = Oa X ，沿OX 轴取Oa X =15mm ，得到点a X ，如图1-7(a)；（2）过点a X 作OX 轴的垂线，在此垂线上，依据Y A =Oa y ，从a X 向上取a X a '=20mm ，得到点A 的正面投影a '；依据Z A =Oa X ，从a X 向下取a X a =10mm ，得到点A 的水平投影a ，如图1-7(b)；（3）现已知点A 的两面投影a '、a ，可求第三投影。
