2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(下)期中数学试卷

湖北省华东师大附中2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a ＞b ，c ＞d ，则下列不等式成立的是（ ）A ．a+d ＞b+cB ．ac ＞bdC ．D ．d ﹣a ＜c ﹣b2．等差数列{a n }满足a n ＞0，，则其前10项之和为（ ）A ．﹣9B ．15C ．﹣15D ．±153．已知等比数列{a n }的前三项依次为a ﹣1，a+1，a+4，则a n =（ ）A ．B ．C ．D ．4．设f （x ）=x 2+bx+1，且f （﹣1）=f （3），则f （x ）＞0的解集是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B ．RC ．{x ∈R|x ≠1}D ．{x ∈R|x=1}5．设S n 为数列{a n }的n 前项和，a n =2n ﹣49，则S n 取最小值时，n 的值为（ ） A ．12 B ．13 C ．24 D ．256．设x ，y 满足约束条件，则z=3x+y 的最大值为（ ）A ．5B ．3C ．7D ．﹣87．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1=1，则S 4=（ ） A ．15 B ．7 C ．8 D ．168．若，则sin2θ=（ ）A ．B ．C ．D ．9．在△ABC 中，若，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰或直角三角形C ．不能确定D ．等腰三角形10．在△ABC 中，A=60°，AB=2，且△ABC 的面积S △ABC =，则边BC 的长为（ ）A ．B ．3C ．D ．711．已知数列{a n }中，a 1=1，前n 项和为S n ，且点P （a n ，a n+1）在直线y=x+1上，则=（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知非零实数a ，b 满足关系式，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：已知x=1是不等式k 2x 2﹣6kx+8≥0的解，则k 的取值范围是 ．14．定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列{a n }是等积数列且a 1=2，公积为10，那么这个数列前21项和S 21的值为 ．15．在钝角△ABC 中，已知a=1，b=2，则最大边的取值范围是 ． 16．下表是一个有i 行j 列的表格．已知每行每列都成等差数列，其中a i ，j 表示表格中第i 行第j 列的数，则a 4，5= ，a i ，j = ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）若不等式ax 2+5x ﹣2＞0的解集是，（1）求实数a 的值；（2）求不等式ax 2﹣5x+a 2﹣1＞0的解集．18．（12分）△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cosA=．（Ⅰ）求•；（Ⅱ）若c ﹣b=1，求a 的值．19．（12分）数列{a n } 中，a 1=2，a n+1=a n +cn （c 是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a 1，a 2，a 3成等比数列． （Ⅰ） 求c 的值；（Ⅱ）求{a n } 的通项公式；（Ⅲ）证明数列是等差数列．20．（12分）已知函数f （x ）=sin 2（）+sin （）cos （）﹣．（Ⅰ）求f （x ）的值域；（Ⅱ）若f （x ）（x ＞0）的图象与直线y=交点的横坐标由小到大依次是x 1，x 2…，x n ，求数列{x n }的前2n 项的和．21．（12分）7月份，有一款新服装投入某市场销售．7月1日该款服装仅销售出3件，7月2日售出6件，7月3日售出9件，7月4日售出12件，尔后，每天售出的件数分别递增3件直到日销售量达到最大（只有1天）后，每天销售的件数开始下降，分别递减2件，到7月31日刚好售出3件．（1）问7月几号该款服装销售件数最多？其最大值是多少？（2）按规律，当该商场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行，问该款服装在社会上流行几天？说明理由．22．（12分）已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2+a 3+a 4=28，且a 3+2是a 2，a 4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n =a n log a n ，S n =b 1+b 2+b 3+…+b n ，对任意正整数n ，S n +（n+m ）a n+1＜0恒成立，试求m 的取值范围．湖北省华东师大附中2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a ＞b ，c ＞d ，则下列不等式成立的是（ ）A ．a+d ＞b+cB ．ac ＞bdC ．D ．d ﹣a ＜c ﹣b【考点】71：不等关系与不等式；72：不等式比较大小．【分析】本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决． 【解答】解：∵a ＞b ，c ＞d ∴设a=1，b=﹣1，c=﹣2，d=﹣5选项A ，1+（﹣5）＞﹣1+（﹣2），不成立 选项B ，1×（﹣2）＞（﹣1）×（﹣5），不成立取选项C ，，不成立故选D【点评】本题主要考查了基本不等式，基本不等式在考纲中是C 级要求，本题属于基础题．2．等差数列{a n }满足a n ＞0，，则其前10项之和为（ ）A ．﹣9B ．15C ．﹣15D ．±15【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】等差数列{a n }满足a n ＞0，，∴=9，解得a 4+a 7=3=a 1+a 10．再利用求和公式即可得出．【解答】解：∵等差数列{a n }满足a n ＞0，，∴=9，解得a 4+a 7=3=a 1+a 10．则其前10项之和==5×3=15．故选：B ．【点评】本题考查了等差数列的求和公式与通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．已知等比数列{an }的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则an=（）A．B．C．D．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】由题意可得（a+1）2=（a﹣1）（a+4），解得 a=5，由此可得首项和公比，从而得到通项公式．【解答】解：∵已知等比数列{an}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则（a+1）2=（a﹣1）（a+4），解得 a=5，故此等比数列的首项为4，公比为=，故通项公式为，故选C．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式的应用，属于中档题．4．设f（x）=x2+bx+1，且f（﹣1）=f（3），则f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．R C．{x∈R|x≠1} D．{x∈R|x=1}【考点】74：一元二次不等式的解法；3W：二次函数的性质．【分析】由f（x）=x2+bx+1，且f（﹣1）=f（3），解得b=﹣2．故f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，由此能求出f（x）＞0的解集．【解答】解：∵f（x）=x2+bx+1，且f（﹣1）=f（3），∴，解得b=﹣2．∴f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴f（x）＞0的解集为{x|x≠1}．故选C．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．设Sn 为数列{an}的n前项和，an=2n﹣49，则Sn取最小值时，n的值为（）A．12 B．13 C．24 D．25【考点】85：等差数列的前n项和；82：数列的函数特性．【分析】由an =2n﹣49可得数列{an}为等差数列，然后根据等差数列的求和公式求出Sn，最后结合二次函数的性质求出最值时的n即可．【解答】解：由an =2n﹣49可得数列{an}为等差数列∴a1=2﹣49=﹣47=（n﹣24）2﹣242结合二次函数的性质可得当n=24时和有最小值故选C．【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，以及利用二次函数的性质求解数列的和的最值，属于中档题．6．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5 B．3 C．7 D．﹣8【考点】7C：简单线性规划．【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=﹣3x，将l平移与可行域有公共点，直线y=﹣3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=﹣3x+z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可．【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=﹣3x，将l平移至过点A（3，﹣2）处时，函数z=3x+y有最大值7．故选C．【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解．7．等比数列{an }的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．15 B．7 C．8 D．16【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用4a1，2a2，a3成等差数列求出公比即可得到结论．【解答】解：∵4a1，2a2，a3成等差数列．a1=1，∴4a1+a3=2×2a2，即4+q2﹣4q=0，即q2﹣4q+4=0，（q﹣2）2=0，解得q=2，∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，∴S4=1+2+4+8=15．故选：A【点评】本题考查等比数列的前n项和的计算，根据条件求出公比是解决本题的关键．8．若，则sin2θ=（）A． B． C． D．【考点】GS：二倍角的正弦．【分析】根据﹣θ++θ=，利用两角和的余弦函数公式以特殊角的三角函数值得到sin（﹣θ）sin（+θ）和cos（﹣θ）cos（+θ）相等都等于，然后利用正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数求出sin（θ﹣）sin（+θ）和cos（θ﹣）cos（+θ）的值，然后根据2θ=[（θ﹣）+（θ+）]，利用两角和的余弦函数公式化简后将相应的值代入即可求出cos2θ的值，然后根据角的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出sin2θ的值．【解答】解：由于cos（﹣θ）•cos（+θ）﹣sin（﹣θ）sin（+θ）=cos（﹣θ+θ）=cos=0则sin（﹣θ）sin（+θ）=cos（﹣θ）•cos（+θ）=所以sin（θ﹣）sin（+θ）=﹣， =cos（θ﹣）cos（）=则cos2θ=cos[（θ﹣）+（θ+）]=cos（θ﹣）cos（θ）﹣sin（θ﹣）sin（θ+）=所以sin2θ===故选B．【点评】此题要求学生灵活运用两角和与差的余弦函数公式、同角三角函数间的基本关系化简求值，会利用三角函数的奇偶性解决实际问题，是一道中档题．做题时注意灵活变换角度．9．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形 B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】把已知等式的左边利用同角三角函数间的基本关系切化弦，右边利用正弦定理变形，然后根据二倍角的正弦函数公式化简，由A和B为三角形的内角，根据正弦函数图象与性质得到A与B角度之间的关系，根据角度之间的关系即可得到三角形ABC的形状．【解答】解：由正弦定理得： ==2R，（R为三角形外接圆的半径）∴a=2RsinA，b=2RsinB，∴变形为： =，化简得：2sinBcosB=2sinAcosA，即sin2B=sin2A，由A 和B 为三角形的内角，得到2A=2B 或2A+2B=180°， 即A=B 或A+B=90°，则△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形． 故选B【点评】此题考查了正弦定理，三角函数的恒等变换及正弦函数图象与性质．根据正弦定理及同角三角函数公式化简已知的等式是本题的突破点．10．在△ABC 中，A=60°，AB=2，且△ABC 的面积S △ABC =，则边BC 的长为（ ）A ．B ．3C ．D ．7【考点】HT ：三角形中的几何计算．【分析】由△ABC 的面积，求出AC=1，由余弦定理可得BC=，计算可得答案．【解答】解：∵ =sin60°=，∴AC=1，△ABC 中，由余弦定理可得BC==，故选A ．【点评】本题考查三角形的面积公式，余弦定理的应用，求出 AC=1，是解题的关键．11．已知数列{a n }中，a 1=1，前n 项和为S n ，且点P （a n ，a n+1）在直线y=x+1上，则=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】8E ：数列的求和．【分析】通过将点P （a n ，a n+1）代入直线y=x+1，进而可知数列{a n }是首项、公差均为1的等差数列，从而裂项可知=2（﹣），进而并项相加即得结论．【解答】解：因为点P （a n ，a n+1）在直线y=x+1上， 所以a n+1=a n +1， 又因为a 1=1，所以数列{a}是首项、公差均为1的等差数列，n=， ==2（﹣），所以Sn所以=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=，故选：A．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．12．已知非零实数a，b满足关系式，则的值是（）A． B．C．D．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】已知等式左边分子分母利用辅助角公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，右边角度变形，确定出θ，所求式子即为tanθ，即可求出解．【解答】解： =tan（+θ）=tan=tan（+）（其中sinθ=，cosθ=），∴θ=kπ+，k∈Z，∴=tanθ=tan（kπ+）=tan=．故选：C．【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．二、填空题：（2017春•黄梅县校级期中）已知x=1是不等式k2x2﹣6kx+8≥0的解，则k的取值范围是k≥4或k≤2 ．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】根据题意，把x=1代入不等式k2x2﹣6kx+8≥0中，求关于x的不等式解集即可．【解答】解：x=1是不等式k2x2﹣6kx+8≥0的解，∴k2•12﹣6k•1+8≥0，即k2﹣6k+8≥0，解得k≥4或k≤2，∴k的取值范围是k≥4或k≤2．故答案为：k≥4或k≤2．【点评】本题考查了一元二次不等式的解集问题，是基础题．14．定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列{an }是等积数列且a1=2，公积为10，那么这个数列前21项和S21的值为72 ．【考点】8E：数列的求和．【分析】由等积数列的定义，可得a1=2，a2=5，a3=2，a4=5，…，即为周期为2的数列，即可得到数列前21项和．【解答】解：数列{an }是等积数列且a1=2，公积为10，可得a2=5，a3=2，a4=5，…，则前21项和S21=2+5+2+5+…+2=7×10+2=72．故答案为：72．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的求和，注意运用周期性，考查运算能力，属于基础题．15．在钝角△ABC中，已知a=1，b=2，则最大边的取值范围是＜x＜3 ．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据三角形三边关系求出c的范围，当∠C为直角时，利用勾股定理确定c的值，故当∠C为钝角时，确定出c的范围即可．【解答】解：根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得到c的范围为1＜c ＜3，当∠C为直角时，c==，当∠C为钝角时，得到c＞，当∠C为锐角时，B为钝角，此时b为最大边，1＜b＜3，则最大边的范围为＜x＜3．故答案为：＜x＜3【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．16．下表是一个有i行j列的表格．已知每行每列都成等差数列，其中ai，j 表示表格中第i行第j列的数，则a4，5= 49 ，ai，j= 2ij+i+j ．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据图象和每行、每列都是等差数列，该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j =4+3（j﹣1），第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5（j﹣1），第i行是首项为4+3（i﹣1），公差为2i+1的等差数列，即可得出．【解答】解：根据图象和每行、每列都是等差数列，该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3（j﹣1），第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5（j﹣1），第i行是首项为4+3（i﹣1），公差为2i+1的等差数列，因此aij=4+3（i﹣1）+（2i+1）（j﹣1），=2ij+i+j=i（2j+1）+j=2ij+i+j．可得a4，5=2×4×5+4+5=49．故答案为：49，2ij+i+j．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（2013•宁阳县校级模拟）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，（1）求实数a的值；（2）求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．【考点】77：一元二次不等式与一元二次方程；74：一元二次不等式的解法．【分析】（1）由二次不等式的解集形式，判断出，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值．（2）由（1）我们易得a的值，代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解：（1）∵ax2+5x﹣2＞0的解集是，∴a＜0，，2是ax2+5x﹣2=0的两根解得 a=﹣2；（2）则不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0可化为﹣2x2﹣5x+3＞0解得故不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a的值，是解答本题的关键．18．（12分）（2010•安徽）△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=．（Ⅰ）求•；（Ⅱ）若c﹣b=1，求a的值．【考点】HS：余弦定理的应用；9R：平面向量数量积的运算；GG：同角三角函数间的基本关系．【分析】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知△ABC的面积是30，cosA=，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值．第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可．根据同角三角函数关系，由cosA=得sinA的值，再根据△ABC面积公式得bc=156；直接求数量积•．由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，代入已知条件c﹣b=1，及bc=156求a的值．【解答】解：由cosA=，得sinA==．又sinA=30，∴bc=156．（Ⅰ）•=bccosA=156×=144．（Ⅱ）a2=b2+c2﹣2bccosA=（c﹣b）2+2bc（1﹣cosA）=1+2•156•（1﹣）=25，∴a=5．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力．19．（12分）（2009•杭州一模）数列{an } 中，a1=2，an+1=an+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成等比数列．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求{an} 的通项公式；（Ⅲ）证明数列是等差数列．【考点】8H：数列递推式；8C：等差关系的确定；8G：等比数列的性质．【分析】（Ⅰ）先利用递推关系式求出a1，a2，a3关于c的表达式，再结合a1，a2，a3成等比数列即可求c的值；（Ⅱ）先利用递推关系式求出an ﹣an﹣1=（n﹣1）c，再利用叠加法得；把（Ⅰ）的结论代入整理后即可求得{an} 的通项公式；（Ⅲ）把前两问的结论相结合求出数列的表达式，再利用等差数列的定义证明即可．【解答】解：（Ⅰ）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，因为a1，a2，a3成等比数列，所以（2+c）2=2（2+3c），解得c=0（舍）或c=2．故c=2；（II）当n≥2时，由于a2﹣a1=c，a3﹣a2=2c，an﹣an﹣1=（n﹣1）c，所以．又a1=2，c=2，故an=2+n（n﹣1）=n2﹣n+2（n=2，3，）．当n=1时，上式也成立，所以an=n2﹣n+2（n=1，2，）；（Ⅲ）；bn+1=n．bn+1﹣bn=1，∴数列是等差数列．【点评】本题主要考查数列递推式以及等差关系的确定问题．是对等差数列和等比数列知识的综合考查，属于中档题目．解决第二问的关键在于求数列通项中叠加法的应用．20．（12分）（2011•广东校级模拟）已知函数f （x ）=sin 2（）+sin （）cos（）﹣．（Ⅰ）求f （x ）的值域；（Ⅱ）若f （x ）（x ＞0）的图象与直线y=交点的横坐标由小到大依次是x 1，x 2…，x n ，求数列{x n }的前2n 项的和．【考点】H4：正弦函数的定义域和值域；8N ：数列与三角函数的综合．【分析】（I ）利用辅助角公式对函数化简可得f （x ）=sinx ，结合正弦函数的性质可求．（II ）由正弦曲线的对称性、周期性可知，，，代入等差数列的前n 项和公式可求．【解答】解：（Ⅰ） ==sinx所以f （x ）的值域为[﹣1，1]（Ⅱ）由正弦曲线的对称性、周期性可知，，∴x 1+x 2+…+x 2n ﹣1+x 2n =π+5π+…（4n ﹣3）π =（2n 2﹣n ）π【点评】本题主要考查了辅助角公式的应用，正弦函数的值域的求解，正弦函数的对称性及周期性的应用，还考查了数列的求和公式的运用．21．（12分）（2017春•黄梅县校级期中）7月份，有一款新服装投入某市场销售．7月1日该款服装仅销售出3件，7月2日售出6件，7月3日售出9件，7月4日售出12件，尔后，每天售出的件数分别递增3件直到日销售量达到最大（只有1天）后，每天销售的件数开始下降，分别递减2件，到7月31日刚好售出3件．（1）问7月几号该款服装销售件数最多？其最大值是多少？（2）按规律，当该商场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行，问该款服装在社会上流行几天？说明理由． 【考点】8I ：数列与函数的综合；8E ：数列的求和．【分析】（1）设7月n 日售出的服装件数为，利用最大项求出K ，然后求出最大值．（2）求出数列的通项公式，数列的前n 项和，推出不等关系式，得到结果即可．【解答】解：（1）设7月n 日售出的服装件数为，为最大．，∴k=13，a k =39，∴7月13日该款服装销售件数最多，最大值为39件．…（6分）（2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，∵，（n ∈N *）∴∵S 13=273＞200，∴由1≤n ≤13时，S n ＞200得n ≥12， 由14≤n ≤31时，a n ＜20得n ≥23，∴从7月12日到7月22日共11天该款服装在社会上流行．…（13分）【点评】本题考查数列与函数结合问题，数列前n 项和的应用，数列的函数特征，考查分析问题解决问题的能力．22．（12分）（2014•合肥校级模拟）已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2+a 3+a 4=28，且a 3+2是a 2，a 4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n =a n log a n ，S n =b 1+b 2+b 3+…+b n ，对任意正整数n ，S n +（n+m ）a n+1＜0恒成立，试求m 的取值范围．【考点】8G ：等比数列的性质；8B ：数列的应用；8H ：数列递推式．【分析】（1）设等比数列{an }的首项为a1，公比为q，根据2（a3+2）=a2+a4，可求得a3．进而求得a2+a4=20．两式联立方程即可求得a1和q的值，最后根据等比数列的通项公式求得an．（2）把（1）中的an 代入bn，再利用错位相减法求得Sn，再由Sn+（n+m）an+1＜0恒成立进而求得m的范围．【解答】解：（1）设等比数列{an }的首项为a1，公比为q．依题意，有2（a3+2）=a2+a4，代入a2+a3+a4=28，得a3=8．∴a2+a4=20．∴解之得，或又{an}单调递增，∴q=2，a1=2，∴an=2n，（2）bn=2n•log2n=﹣n•2n，∴﹣Sn=1×2+2×22+3×23++n×2n①﹣2Sn=1×22+2×23++（n﹣1）2n+n•2n+1②①﹣②得，Sn=2+22+23++2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1由Sn +（n+m）an+1＜0，即2n+1﹣2﹣n•2n+1+n•2n+1+m•2n+1＜0对任意正整数n恒成立，∴m•2n+1＜2﹣2n+1．对任意正整数n，m＜﹣1恒成立．∵﹣1＞﹣1，∴m≤﹣1．即m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题主要考查等比数列的性质．本题考查了学生综合运算的能力．。

华师一附中2019-2020学年度下学期高一期中诚信检测数学试题时限：120分钟满分：150分命题人：张巧巧韩文晶王艺璇审题人：钟涛I 卷（共16小题，满分80分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、已知向量)3,(),1,1(x b a =-= 且b a⊥，则||b a +的值为（）A ．2B ．7C ．22D ．522．已知R a ∈,)3)(1(),2(2-+=-=a a N a a M ，则N M ,的大小关系是（）A ．NM >B ．NM ≥C ．NM <D ．NM ≤3.如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形'''O B A ,若1=O'A'，那么原三角形ABO 的面积是()A.21 B.22C.2D ．224．已知等比数列}{n a 中，81153a a a =，数列}{n b 是等差数列，且86a b =，则=+84b b ()A ．3B ．6C ．9D ．125．已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且CcA bB a cos 23cos cos =+，1=a ，3=b ，则=c ()A ．B ．1C ．D ．6．《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知A ，B ，C 三人分配奖金的衰分比为10％，若A 分得奖金1000元，则B ,C 所分得奖金分别为900元和810元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为()A ．20％，12800元B ．10％，12800元C ．20％，10240元D ．10％，10240元第3题图7.若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A ．2:1B ．3:1 C.2:3D ．5:18．在ABC ∆中，E D ,分别为AC BC ,边上的点，且DC BD 2=，若AD AB BE 43+=λ，则=λ()A ．45-B ．34-C.54-D ．43-9、若正数b a ,满足2=+b a ,则1411+++b a 的最小值是()A ．1B ．49C ．9D ．1610．对于实数x ，][x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列}{n a 满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a S 121，*N n ∈,其中n S 为数列}{n a 的前n 项和，则=+++][][][4021S S S ()A ．135B ．141C ．149D ．15511.已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是APB ∠的角平分线，I 为线段PC上一点，满足)0>+=λλAP AC BA BI104==-，BA BI ()A ．2B ．3C ．4D ．512.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知)(32*1N n n a a n n ∈+=++且1300=n S ，若32<a ，则n 的最大值为()A ．49B ．50C ．51D ．52二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共7小题，共35.0分）1.已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（ ）⃗a ⃗b |⃗a +⃗b |A. 3B. 2C. 4D. 32.函数y =的最小正周期为（ ）cotx +cosx1+sinx A.B. C.D. π2π3π22π3.已知a =，b =（），c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）1+tan16°1‒tan 16∘3221+cos58°2A. B. C. D. c >a >bc >b >a a >c >b b >a >c4.若在[0，]内有两个不同的实数x 满足cos2x +sin2x =m ，则实数m 的取值范围是（ ）π23A. B. C. D. l <m ≤21≤m <2‒2≤m ≤2m ≤25.已知函数f （x ）=A cos （ωx +φ）的一部分图象如图所示，f （）=，则f （0）π223=（ ）A.B.C.D.23‒23223‒2236.已知α+sin （α-1）=3，β+sin （β-1）=1，α，β∈[1-，1+]，=（sin ，cos ），=（cos ，sin ），则π2π2⃗m α2α2⃗n β2β2下面结论正确的是（ ）A. B. C. D. ⃗m ⋅⃗n=0⃗m ⋅⃗n=sin 1⃗m ⋅⃗n=sin 2⃗m//⃗n7.cos960°=（ ）A. B. C. D.1232‒12‒32二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）8.已知=（-2，3），=（λ，1），若与的夹角为锐角，则λ的取值范围为______．⃗a ⃗b ⃗a ⃗b 9.计算=______．tan40°+tan80°+tan240°tan 40∘tan 80∘三、解答题（本大题共4小题，共55.0分）10.如图，已知OPQ 是半径为，圆心角为的扇形，C 是该扇形弧上的动点，5π3ABCD 是形的内接矩形，其中D 在线段OQ 上，A 、B 在线段OP 上，记∠BOC 为θ．（1）若Rt △CBO 的周长为，求cos2θ的值；5(30+5)5（2）求OA •AB 的最大值，并求此时θ的值．11.如图，A ，B 是单位圆上的相异两定点（O 为圆心），且∠AOB =θ（θ为锐角）．点C 为单位圆上的动点，线段AC 交线段OB 于点M ．（1）求（结果用θ表示）；⃗OA ⋅⃗AB （2）若θ=60°①求的取值范围；⃗CA ⋅⃗CB ②设（0＜t ＜1），记=f （t ），求函数f （t ）的值域．⃗OM=t ⃗OB S △COMS △BMA 12.计算：（1）+(19)‒326423（2）．2log 32‒log 3329+log 38‒5log 5313.已知函数f （x ）=2sin （2x -）+1，x ∈[，]．π6π23π4（1）求f （x ）的最大值和最小值；（2）若不等式|f （x ）-m |＜2在[，]上恒成立，求实数m 的取值范围．π23π4答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵、均为单位向量，它们的夹角为60°∴||=||=1，•=∴===3∴=故选：D．由于本题中未给出向量的坐标，故求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．求向量的模一般有两种情况：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则或；若未知向量的坐标，只是已知条件中有向量的模及夹角，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．2.【答案】B【解析】解：函数y====cotx，故函数的周期为π，故选：B．由题意利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式，再利用余切函数的周期性，得出结论．本题主要考查同角三角函数的基本关系，余切函数的周期性，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由a==tan（45°+16°）＞tan45°=1，b=（）＜，1＞c===cos29°＞cos30°=，则a、b、c的大小关系为：a＞c＞b．故选：C．由a==tan（45°+16°）＞tan45°，b=（）＜，1＞c===cos29°＞cos30°，即可判断出大小关系．本题考查了和差倍角公式、三角函数单调性与求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：令y=cos2x+sin2x=2sin（2x+），在[0，]内，那么2x+，∴y的值域为[-1，2]．那么cos2x+sin2x=m有两个不同的实数，结合三角函数的图象：可得1≤m＜2．故选：B．辅助角公式化简y=cos2x+sin2x=2sin（2x+），在[0，]内求解y的值域范围，结合三角函数图象可得m的范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：由图象可得最小正周期为π．所以f（0）=f（π），注意到x=π与x=π关于x=π对称，故f（π）=-f（π）=．故选：B．根据图象求出周期，注意x=π与x=π关于x=π对称，求出f（π），就是f（0）的值本题考查由y=Acos（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查分析问题解决问题的能力，是基础题6.【答案】C【解析】解：根据题意得，sin（α-1）=3-α=2-（α-1）∈[-1，1]∴-1≤2-（α-1）≤1∴2≤α≤2∴α=2，同理β=2•=sin×cos+cos×sin=sin（）=sin（）=sin2故选：C．由题知，α+sin（α-1）=3即sin（α-1）=3-α=2-（α-1），利用sin（α-1）的有界性得α的范围从而求得•的值．本题涉及平面向量数量积的运算和三角函数的运算．7.【答案】C【解析】【分析】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．．【解答】解：cos960°=cos（720°+240°）=cos240°=cos（180°+60°）=-cos60°=-．故选C ．8.【答案】{λ|λ＜且λ≠-6 }32【解析】解：∵已知=（-2，3），=（λ，1），若与的夹角为锐角，∴=-2λ+3＞0，即λ＜；且、不共线，即≠，∴λ≠-6．综上可得，λ的范围为{λ|λ＜且λ≠-6 }，故答案为：{λ|λ＜且λ≠-6 }．根据题意可得＞0，且、不共线，由此求得λ的取值范围．本题主要考查两个向量的数量积、两个向量共线的条件，属于基础题．9.【答案】3【解析】解：∵tan40°+tan80°=tan120°（1-tan40°tan80°），∴====．故答案为：．利用两角和的正切函数的变形式，tan40°+tan80°=tan120°（1-tan40°tan80°），化简即可求出表达式的值．本题考查三角函数的求值与化简，两角和公式的应用，弦切互化，考查计算能力，是中档题．10.【答案】解：（1）∠BOC 为θ，可得BC =OC sinθ=sinθ，5OB =OC cosθ=cosθ，5由题意可得+sinθ+sinθ=，5555(30+5)化为sinθ+cosθ=，0＜θ＜，305π3两边平方可得2sinθcosθ=＞0，15即sin2θ=，cos2θ=±=±；151‒125265（2）在直角三角形OBC 中，BC =sinθ，5即有AD =sinθ，5OA =AD tan =sinθ，π6153由AB =OB -OA =cosθ-sinθ，5153则OA •AB =sinθcosθ-sin 2θ53353=sin2θ-（1-cos2θ）53656=（sin2θ+cos2θ）-，53321256=sin （2θ+）-，53π656当2θ+=，即θ=时，OA •AB取得最大值．π6π2π656【解析】（1）由题意可得BC=sinθ，OB=cosθ，由条件可得sinθ+cosθ=，0＜θ＜，两边平方，结合二倍角的正弦公式和两角平方关系可得所求值；（2）分别求得OA ，AB ，结合二倍角的正弦公式和余弦公式，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得最大值以及相应的角．本题考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的值域的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．11.【答案】解：（1）=；⃗OA⋅⃗AB =|⃗OA ||⃗AB|cos(π‒∠OAB)‒|⃗AB|cos∠OAB =‒2sin 2θ2（2）当θ=60°时，⃗OA ⋅⃗OB=12①=．⃗CA ⋅⃗CB=(⃗OA‒⃗OC)⋅(⃗OB‒⃗OC)⃗OA⋅⃗OB ‒⃗OA ⋅⃗OC ‒⃗OC ⋅⃗OB+1设∠BOC =α，由条件知，，α∈[0，2π3]∴⃗CA⋅⃗CB=32‒cos(π3+α)‒cosα=32‒12cosα+32sinα‒cosα==．32‒32cosα+32sinα=32‒3(32cosα‒12sinα)32‒3cos(α+π6)∵，∴，α∈[0，2π3]cos(α+π6)∈[‒32，32]∴∈[0，3]；⃗CA ⋅⃗CB ②设，则，⃗AM=λ⃗AC (0＜λ＜1)⃗OM=⃗OA+⃗AM=⃗OA+λ⃗AC=(1‒λ)⃗OA+λ⃗OC=t ⃗OB ∴，⃗OC=tλ⃗OB‒1‒λλ⃗OA由可得，，⃗OC=1|tλ⃗OB‒1‒λλ⃗OA |=1即，整理得，(tλ)2+(1‒λλ)2‒2×tλ×1‒λλ×⃗OA ⋅⃗OB=1λ=t 2‒t +12‒t ∴，CM AM=1‒λλ=1‒t 2t 2‒t +1∴．S △COMS △COM=⃗OM ⋅⃗CM ⃗MB ⋅⃗AM=t 1‒t×1‒t 2t 2‒t +1=t 2+t t 2‒t +1即．f(t)=t 2+t t 2‒t +1(0＜t ＜1)而．f(t)=t 2+t t 2‒t +1=1+2t ‒1t 2‒t +1令，2t ‒1=a(‒1＜a ＜1)，g(a)=1+a(a +12)2‒a +12+1=1+4a a 2+3当a =0时，g （0）=1；当a ≠0时，，利用单调性定义可证明函数在（-1，0）和（0，1）都是递减的，g(a)=14a +3ay =a +3a 因此，或，a +3a ＞4a +3a ＜‒4∴函数值域是（0，2）．f(t)=t 2+t t 2‒t +1(0＜t ＜1)【解析】（1）直接利用平面向量的数量积把用θ表示；（2）①利用向量的数量积运算结合向量的加减法运算把用∠BOC 表示，化简整理后由∠BOC 得范围求得的取值范围；②设，则，∴，由可得，，整理得，然后把转化为含有t 的代数式，换元后借助于函数单调性求得函数f （t ）的值域．本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数值域的求法，训练了利用配方法和函数单调性求函数的值域，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，难度较大．12.【答案】解：（1）+(19)‒326423=27+16=43．（2）2log 32‒log 3329+log 38‒5log 53=log 34‒log 3329+log 38‒3=-3log 3(4×932×8)=log 39-3=2-3=-1．【解析】（1）利用指数性质、运算法则直接求解．（2）利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.【答案】解：（1）由函数f （x ）=2sin （2x -）+1，π6∵x ∈[，]，π23π4∴2x -∈[，]，π65π64π3∴当2x -=时，f （x ）取得最大值为：2；π65π6当2x -=时，f （x ）取得最小值为：1-；π64π33（2）不等式|f （x ）-m |＜2在[，]上恒成立，即m -2＜f （x ）＜2+m在[，]上恒成立，π23π4π23π4由（1）可得，{m ‒2＜1‒32+m ＞2∴．0＜m ＜3‒3故实数m 的取值范围为（0，）．3‒3【解析】（1）根据x∈[，]．求内层函数的范围，结合正弦函数的性质可得f（x）的最大值和最小值；（2）不等式|f（x）-m|＜2在[，]上恒成立，即m-2＜f（x）＜2+m在[，]上恒成立，利用（1）的结果即可求解实数m的取值范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，转化思想求解参数范围问题．属于基础题．。

高一年级下学期期末检测数学试题参考答案二、填空题 13．7214．②③15 16．10011-132（） 三、解答题17．解：（1）由已知，根据正弦定理得：22(2)(2)a b c b c b c =-+-…（2分）222a b c bc ⇒=+-，由余弦定理：2222cos a b c bcA =+-1cos 2A∴=，又0,3A A ππ<<∴=………………………………………（5分）（2）在ABC ∆中：,34A aB ππ===∴由正弦定理得到：sin sin a Bb A==6分）A B C π++=sin sin()sincos cos sin 34344C A B ππππ∴=+=+=…………（8分） 11sin3224S ab c ∴==⨯⨯⨯=10分）18．解：（1）证明：连结11B D,E F 分别是正方体1AC 的棱1111,B C C D 的中点EF ∴ 1112B D ，11B D BD ，EF ∴ 12BD ∴四边形BDFE 是一个梯形…………………………………………………（4分） （2）由（1）设DF BE P =，则P ∈面1BC 且P ∈面1DC而面1BC 面111,DC CC P CC =∴∈，∴几何体1BCD EC F -为台体…………（5分）= ∥ =∥ = ∥正方体1AC 的棱长为a，,BD EF ∴==。

∴梯形BEFD的高4h a == ∴几何体1BCD EC F -的表面积222111113)()2242284S a a a a a a a =+⨯++++=表………………（8分）几何体1BCD EC F -的体积222311117()324824V a a a a a =⨯⨯++=…………（10分） 19．解：（1）当[200,300]x ∈时，设该项目获利为S 元，则由已知：2211200(20080000)(400)22S x x x x =--+=--∴当[200,300]x ∈时，0S <，因此该项目不能获利,当300x =时，S 取得最大值5000-， ∴政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏.………………………………（5分）（2）由题意可知：生活垃圾每吨的平均处理成本为：21805040,[120,144)3180000200,[144,500)2x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩当[120,144)x ∈时，21(120)2403y x x =-+ ∴当120x =时，yx取得最小值240………………………………………………（7分） 当[144,500)x ∈时，1800002002002002y x x x =+-≥= 当且仅当180000([144,500))2x x x=∈，即400x =时，等号成立. ∴此时当400x =时，yx取得最小值200…………………………………………（10分）200<240。

2018-2019学年湖北省武汉市华师一附中高一下学期期末数学试题一、单选题1．在ABC ∆中，sin cos sin B A C =，则ABC ∆的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．正三角形 【答案】A【解析】在ABC ∆中，由sin cos sin B A C=，变形为sin cos sin B A C =，再利用内角和转化为()sin cos sin A C A C +=，通过两角和的正弦展开判断.【详解】在ABC ∆中，因为sin cos sin B A C=， 所以sin cos sin B A C =，所以()sin cos sin A C A C +=，所以sin cos 0A C =， 所以2C π=，所以ABC ∆直角三角形.故选：A【点睛】本题主要考查了利用三角恒等变换判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是()0 1n n P P k =+（1k >-），n P 为预测人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有10k -<<，那么在这期间人口数A ．呈下降趋势B ．呈上升趋势C ．摆动变化D ．不变 【答案】A【解析】可以通过n P 与0P 之间的大小关系进行判断．【详解】当10k -<<时，()011011n k k <+<<+<，，所以()001n n P P k P =+<，呈下降趋势．【点睛】判断变化率可以通过比较初始值与变化之后的数值之间的大小来判断．3．若0,0,a b c d >><<则一定有（ ）A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c< 【答案】D【解析】本题主要考查不等关系．已知0,0a b c d >><<,所以110d c->->，所以a b d c ->-，故a b d c<．故选D 4．把一个已知圆锥截成个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为1:3，母线长为6cm ，则己知圆锥的母线长为（ ）cm .A ．8B ．9C ．10D ．12【答案】B【解析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥的轴截面三角形的相似性，通过圆台的上、下底面半径之比为1:3来求解.【详解】设圆锥的母线长为l ，因为圆台的上、下底面半径之比为1:3，所以6:1:3l l -=，解得9l =.故选：B【点睛】本题主要考查了旋转体轴截面中的比例关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．如图是棱长为a 的正方体的平面展开图，则在这个正方体中直线, MN EF 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】C【解析】根据异面直线所成的角的定义，先作其中一条的平行线，作出异面直线所成的角，然后求解.【详解】 如图所示：在正方体中，//MN EG ，所以FEG ∠直线, MN EF 所成角，由正方体的性质，知EF EG FG ==，所以3FEG π∠=.故选：C【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，还考查了推理论证的能力，属于基础题.6．设l 为直线，αβ，是两个不同的平面，下列说法中正确的是（ ）A ．若,l l αβP P ，则αβ∥B ．若,l αβα∥∥，则l β∥C ．若,l l αβ⊥P ，则αβ⊥D ．若,l αβα⊥P ，则l β⊥【答案】C【解析】画出长方体，按照选项的内容在长方体中找到相应的情况，即可得到答案【详解】对于选项A ，在长方体中，任何一条棱都和它相对的两个平面平行，但这两个平面相交，所以A 不正确；对于选项B ，若α，β分别是长方体的上、下底面，在下底面所在平面中任选一条直线l ，都有l αP ，但l β⊂，所以B 不正确；对于选项D ，在长方体中，令下底面为β，左边侧面为α，此时αβ⊥，在右边侧面中取一条对角线l ，则l αP ，但l 与β不垂直，所以D 不正确；对于选项C ，设平面m γβ=I ，且l γ⊂，因为l β∥，所以l m P ，又l α⊥，所以m α⊥，又m β⊂，所以αβ⊥，所以C 正确.【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，属于简单题7．将正整数1,2,3,4,,,n L L 按第k 组含1k +个数分组：()()()1,2,3,4,5,6,7,8,9,,L 那么2019所在的组数为（ ）A ．62B ．63C ．64D ．65 【答案】B【解析】观察规律，看每一组的最后一个数与组数的关系，可知第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +，然后再验证求解. 【详解】观察规律，第一组最后一个数是2=2，第二组最后一个数是5=2+3，第三组最后一个数是9=2+3+4，……，依此，第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +. 当62n =时，()320152n n +=，所以2019所在的组数为63. 故选：B【点睛】 本题主要考查了数列的递推，还考查了推理论证的能力，属于中档题.8．已知下列各命题：①两两相交且不共点的三条直线确定一个平面：②若真线a 不平行于平面a ，则直线a 与平面a 有公共点：③若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线： ④若两个二面角的两个面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补.则其中正确的命题共有（ ）个A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】①利用平面的基本性质判断.②利用直线与平面的位置关系判断.③由面面垂直的性质定理判断.④通过举反例来判断.【详解】①两两相交且不共点，形成三个不共线的点，确定一个平面，故正确.②若真线a 不平行于平面a ，则直线a 与平面a 相交或在平面内，所以有公共点，故正确.③若两个平面垂直，则一个平面内，若垂直交线的直线则垂直另一个平面，垂直另一平面内所有直线，若不垂直与交线，也与另一平面内垂直交线的直线及其平行线垂直，也有无数条，故正确.④若两个二面角的两个面分别对应垂直，则这两个二面角关系不确定，如图：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，二面角D-AA 1-F 与二面角D 1-DC-A 的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．故错误..故选：B【点睛】本题主要考查了点、线、面的位置关系，还考查了推理论证和理解辨析的能力，属于基础题.92,3,6，这个长方体的顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）A ．6πB ．8πC ．12πD ．24π【答案】A 【解析】设长方体的棱长为,,a b c ，球的半径为r ，根据题意有236ab ac bc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，再根据球的直径是长方体的体对角线求解.【详解】设长方体的棱长为,,a b c ，球的半径为r ， 根据题意，236ab ac bc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得222132a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以222162r a b c =++=， 所以外接球的表面积246s r ππ==，故选：A【点睛】本题主要考查了球的组合体问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10．边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将,ED DCF ∆∆分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于1A ，则直线1A D 与平面DEF 所成角的正弦值为（ ）A ．24B ．223C ．3D ．13【答案】D【解析】在正方形中连接BD ，交EF 于点G ，根据正方形的性质，EF DG ⊥ 在折叠图中DA '⊥平面A EF '，得到DA EF '⊥，从而EF ⊥平面A BG '，面A DG '⊥平面DEF ，则GD 是A D '在平面DEF 上的射影，找到直线与平面所所成的角.然后在直角三角A DG '∆中求解.【详解】如图所示：在正方形中连接BD ，交EF 于点G ，在折叠图，连接A G '，因为,,DA A E DA A F A E A F A '''''''⊥⊥⋂=，所以DA '⊥平面A EF '，所以DA EF '⊥，又因为EF DG ⊥，所以EF ⊥平面A BG '，又因为EF ⊂平面DEF ，所以A DG '⊥平面DEF ，则GD 是A D '在平面DEF 上的射影，所以A DG '∠即为所求. 因为22A G BG '==22322,2A D DG A D A G '''==+= 1sin 3A G A DG DG ''∠== 故选：D【点睛】 本题主要考查了折叠图问题，还考查了推理论证和空间想象的能力，属于中档题.11．三棱锥A BCD -的高33AH =，若AB AC =，二面角 A BC D --为3π，G 为ABC ∆的重心，则HG 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．10【答案】C【解析】根据AB=AC ，取BC 的中点E ，连结AE ，得到AE ⊥BC ，再由由AH ⊥平面BCD ，得到EH ⊥BC .，所以∠GEH 是二面角的平面角，然后在△GHE 中，利用余弦定理求解.【详解】:如图所示：取BC 的中点E ，连结AE ，∵AB=AC ，∴AE ⊥BC ，且点G 在中线AE 上，连结HE .∵AH ⊥平面BCD ，∴EH ⊥BC .∴∠GEH =60°.在Rt △AHE 中，∵∠AEH =60°，AH =33∴EH =AHtan 30°=3，AE =6，GE =13AE =2由余弦定理得HG 2=9+4-2×3×2cos 60°=7.∴HG故选：C【点睛】本题主要考查了二面角问题，还考查了空间想象和推理论证的能力，属于中档题.12．己知ABC ∆的周长为20，，7BC =， 则tan A 的值为（）A B ．1 C ． D ．2【答案】C【解析】根据ABC ∆的周长为20，求得()112022ABC S AB BC AC r ∆=++=⨯=1sin 2ABC S AB AC A ∆=⨯=AB AC ⨯=2222cos BC AB AC AB AC A =+-⨯⨯cos 1A A +=求解.【详解】因为ABC ∆的周长为20，所以()112022ABC S AB BC AC r ∆=++=⨯=又因为1sin 2ABC S AB AC A ∆=⨯=，所以sin AB AC A ⨯=.由余弦定理得：2222cos BC AB AC AB AC A =+-⨯⨯，()()221cos AB AC AB AC A =+-⨯⨯+，所以()491691cos A =-+ ，cos 1A A +=，即1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为A 为内角，所以,663A A πππ-=∴=，所以tan 3A =.故选：C【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若存在实数,,x y z ，使向量1BM xAB yAD zAA =++u u u u r u u u r u u u r u u u r ，则23x y z ++=__________．【答案】72【解析】在平行六面体中把向量用BM u u u u r 用1,,AB AD AA u u u r u u u r u u u r 表示，再利用待定系数法，求得,,x y z .再求解。

华中师大一附中2018—2019学年度下学期期中检测高二年级文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定为（）A. “，”B. “，”C. “，”D. “，”【答案】C【解析】由特称命题的否定为全称命题可得命题“，”的否定为“，”，故选C.2.在复平面内，复数(为虚数单位)对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】先化简复数，再根据实部和虚部的符号确定所在象限.【详解】.所以在第三象限，故选C.【点睛】本题主要考查复数的除法.复数除法运算一般是使其分母实数化.题目较为容易.3.“”是“函数有零点”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：，由，得，且，所以函数有零点．反之，函数有零点，只需，故选A．考点：充分必要条件．4.函数的定义域为开区间(a, b)，其导函数在(a, b)内的图象如图所示，则函数在开区间(a, b)内极大值点的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】利用导数图像推演出函数单调性的变化情况，从而可得极大点的个数.【详解】根据导数图像可知，函数在区间上单调性的变化是：先增后减，再增又减，故极大点有2个. 【点睛】本题主要考查利用导数图像判断函数的单调性问题，导数值为正则函数为增，导数值为负则函数为减.5.i是虚数单位，A. i B. C. 1 D. 【答案】D【解析】【分析】利用虚数单位的周期性，可求.【详解】因为，所以.故选D.【点睛】本题主要考查复数的乘方运算.注意到，，，能简化运算.6.已知命题p ：方程有实数根，命题，，则，，，这四个命题中，真命题的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：先根据指数的性质判定命题，根据二次函数的性质判断命题的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出.详解：∵，∴是方程的根，故命题：方程有实数根为真命题；又∵恒成立，所以命题：，为假命题，根据复合命题真假性的判断可得为假，为真，为假命题，为真命题，即真命题的个数为2个，故选B.点睛：本题考查了指数的性质、一元二次不等式成立问题、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.已知函数，为的导函数，则A. 1B.C. 0D.【答案】D【解析】【分析】先求出，代入1可求出.【详解】，代入可得，所以.【点睛】本题主要考查导数的运算.熟悉导数的运算规则，明确为常数是求解关键.8.已知函数的图像在点处的切线的斜率为3，设数列的前n项和为，则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数的几何意义求出b，再利用裂项求和求得.【详解】,由题意可得，即.，所以.故选C.【点睛】本题主要考查导数的几何意义及数列求和.函数在某点处的导数值即为该点处切线的斜率.裂项相消求和是注意剩余项.9.设点P是曲线上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出导数，结合导数的几何意义，可得斜率的范围，从而可求倾斜角的范围.【详解】，由于，所以，所以，结合正切函数的图像可得.故选B.【点睛】本题主要考查导数的几何意义.题目相对简单，但是要注意倾斜角的求解时，要关注正切函数的图像.10.下列命题正确的是（1）命题“，”的否定是“，”；（2）l为直线，，为两个不同的平面，若，，则；（3）给定命题p，q，若“为真命题”，则是假命题；（4）“”是“”的充分不必要条件．A. （1）（4）B. （2）（3）C. （3）（4）D. （1）（3）【答案】D【解析】【分析】逐个命题进行判定，对于（1）结合全称命题的否定方法可以判定；对于（2）要考虑全面直线与平面的位置关系；对于（3）根据复合命题的真假进行判断；对于（4）利用可以判定.【详解】对于（1）“，”的否定就是“，”，正确；对于（2）直线可能在平面内，所以不能得出，故不正确；对于（3）若“为真命题”则均为真命题，故是假命题，正确；对于（4）因为时可得，反之不能得出，故“”是“”的必要不充分条件,故不正确.故选D.【点睛】本题主要考查简易逻辑，涉及知识点较多，要逐一判定，最后得出结论.题目属于知识拼盘.11.定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据题意，令，由可得，即函数为减函数，利用单调性结合选项，分析即可得结论.详解：构造函数，则其导数，由，且恒有，可得，所以函数为减函数，又由，则有，即，可得，又由，则有，即，分析可得，故选C.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数..12.已知直线，若与直线和曲线分别交于A，B两点，则的最小值为A. 1B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】利用导数求出与直线平行的曲线的切线的切点，利用点到直线的距离可得.【详解】,令可得，所以切点为.根据题意可知且，所以，此时.故选B.【点睛】本题主要考查导数的几何意义.已知切线的斜率，结合导数可得切点.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数在[2, 6]内的平均变化率为________．【答案】24【解析】【分析】利用平均变化率的求解方法求解. 【详解】，所以平均变化率为.【点睛】本题主要考查平均变化率的求解，题目较为简单，明确求解步骤是解题关键.14.复数,，则的最大值是___________．【答案】. 【解析】【分析】设，且，求出，再由三角换元可求出最大值。

2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）抛物线的焦点坐标是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）2．（5分）圆（x﹣1）2+y2=1的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（）A．﹣1或﹣3 B．﹣1或3 C．1或﹣3 D．1或33．（5分）用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》里就有记载，如”米谷粒分“题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．169石B．268石C．338石D．1500石4．（5分）已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率是，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．y=±5．（5分）如图所示的程序框图的运行结果为（）A．﹣1 B．C．D．26．（5分）某班有50名学生，男女人数不等．随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如下：则下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这5名男生成绩的中位数大于5名女生成绩的中位数C．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数D．这5名男生成绩的标准差大于5名女生成绩的标准差7．（5分）给出下列说法：①方程x2+y2﹣2x+4y+6=0表示一个圆；②若m＞n＞0，则方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆；③已知点M（﹣1，0）、N（1，0），若|PM|﹣|PN|=2，则动点P的轨迹是双曲线的右支；④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）我国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为1，3，5，则输出的s值为（）A．17 B．12 C．15 D．59．（5分）两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣2by+b2﹣1=0相外切，且ab≠0，则的最大值为（）A．B．1 C．D．910．（5分）直线与抛物线C：y2=2px（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，OA⊥OB，且OD⊥AB，垂足为点D（1，2），则抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．11．（5分）已知直线l过椭圆C：的右焦点F，与椭圆C交于M，N两点，点P，Q是椭圆C上关于坐标原点O对称的两点，且PQ∥MN，则=（）A．B．C．D．12．（5分）双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P是双曲线右支上一点，I为△PF1F2的内心，PI交x轴于Q点，若|F1Q|=|PF2|，且PI：IQ=2：1，则双曲线的离心率e的值为（）A．2 B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某校老年教师90人，中年教师180人和青年教师160人，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的中年教师人数为．14．（5分）已知点P（a，b）关于直线l的对称点为P'（b，a），则圆C：x2+y2﹣4x﹣2y=0关于直线l对称的圆C'的标准方程为．15．（5分）过点M（1，1）作斜率为的直线l，l与椭圆（a＞b＞0）相交于A，B两点，若AM=MB，则椭圆的离心率为．16．（5分）平面内与两定点A1（0，﹣a），A2（0，a）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线，给出以下四个结论：①当m=﹣1时，曲线C是一个圆；②当m=﹣2时，曲线C的离心率为；③当m=2时，曲线C的渐近线方程为y=±x；④当m∈（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）时，曲线C的焦点坐标分别为（0，﹣）和（0，）．其中全部正确结论的序号为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y+1=0上存在两点关于l：x+my+1=0对称．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过点M（m，m）作圆C的切线，切点分别为P，Q，试求|PQ|的值．18．（10分）在一次“汉马”（武汉马拉松比赛的简称）全程比赛中，50名参赛选手（24名男选手和26名女选手）的成绩（单位：分钟）分别为数据a1，a2，…，a50（成绩不为0）．（Ⅰ）24名男选手成绩的茎叶图如图（1）所示，若将男选手成绩由好到差编为1～24号，再用系统抽样方法从中抽取6人，求其中成绩在区间[150，170）上的选手人数；（Ⅱ）如图（2）所示的程序用来对50名选手的成绩进行统计，为了便于区别性别，输入时，男选手的成绩数据用正数，女选手的成绩数据用相反数（负数），请完成图（2）中空白的判断框①处的填写，并说明输出数值M和A的统计意义．19．（12分）已知双曲线C的渐近线方程为y=±，右焦点坐标为（2，0），O为坐标原点．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且，试求实数k的取值范围．20．（12分）从参加某次高中英语竞赛的学生中抽出100名，将其成绩整理后，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[39.5，49.5），[49.5，59.5），[59.5，69.5），[69.5，79.5），[79.5，89.5），[89.5，99.5]．（Ⅰ）试求图中a的值，并计算区间[59.5，89.5）上的样本数据的频率和频数；（Ⅱ）试估计这次英语竞赛成绩的众数、中位数及平均成绩（结果精确到0.1）．21．（12分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点D（1，2）为抛物线C上一定点．（1）直线l过点F交抛物线C于A、B两点，若|AB|=5，求直线l的方程；（2）过点D作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线C于异于点D的两点P，Q，试证明直线PQ的斜率为定值，并求出该定值．22．（12分）已知A是圆C：x2+y2=4上任意一点，过A作x轴的垂线段AD，D 为垂足，当点A在圆C上运动时，线段AD的中点B的轨迹为曲线r（包括点（﹣2，0）和点（2，0）），O为坐标原点．（Ⅰ）求曲线r的方程；（Ⅱ）直线l与曲线r相切，且l与圆C相交于P，Q两点，当△POQ的面积最大时，试求直线l的方程．2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）抛物线的焦点坐标是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【解答】解：由题意，抛物线的焦点在y上，开口向下，且2p=，∴．∴抛物线的焦点坐标是（0，﹣）．故选：B．2．（5分）圆（x﹣1）2+y2=1的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（）A．﹣1或﹣3 B．﹣1或3 C．1或﹣3 D．1或3【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=1的圆心坐标为：（1，0），则：圆心（1，0）到直线x﹣y+a=0的距离d=，解得：a=1或﹣3．故选：C．3．（5分）用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》里就有记载，如”米谷粒分“题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．169石B．268石C．338石D．1500石【解答】解：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，∴这批米内夹谷约为：≈169（石）．故选：A．4．（5分）已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率是，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．y=±【解答】解：根据题意，已知双曲线的离心率是，即e==，则有a=c，又由b==c，则=，又由双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±x，故选：B．5．（5分）如图所示的程序框图的运行结果为（）A．﹣1 B．C．D．2【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；a=2，i=1，i＜2016，a=1﹣=；i=2，i＜2016，a=1﹣=﹣1；i=3，i＜2016，a=1﹣=2；i=4，…所以该程序中a的值是以3为周期的数值，当i=2015=671×3+2时，i＜2017，a=﹣1；当i=2016=672×3时，i＜2017，a=2；当i=2017=672×3+1时，i≥2017，退出循环，输出a=2．故选：D．6．（5分）某班有50名学生，男女人数不等．随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如下：则下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这5名男生成绩的中位数大于5名女生成绩的中位数C．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数D．这5名男生成绩的标准差大于5名女生成绩的标准差【解答】解：根据抽样方法的特点，抽样比例不等，不是分层抽样，A错误；这5名男生的中位数是90，小于女生成绩的中位数是93，B错误；无法判断该班男生成绩的平均数与该班女生成绩的平均数大小，∴C错误；根据公式，求得五名男生成绩的方差为=×[（86﹣90）2+（88﹣90）2+（90﹣90）2+（92﹣90）2+（94﹣90）2]=8，标准差为s1=2；五名女生成绩的方差为=×[（88﹣91）2×2+（93﹣91）2×3]=6，标准差为s2=；∴这五名男生成绩的标准差大于这五名女生成绩的标准差，D正确．故选：D．7．（5分）给出下列说法：①方程x2+y2﹣2x+4y+6=0表示一个圆；②若m＞n＞0，则方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆；③已知点M（﹣1，0）、N（1，0），若|PM|﹣|PN|=2，则动点P的轨迹是双曲线的右支；④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据题意，依次分析4个说法：对于①，方程x2+y2﹣2x+4y+6=0变形可得（x﹣1）2+（y+2）2=﹣1，不是圆的方程，①错误；对于②，方程mx2+ny2=1变形可得+=1，若m＞n＞0，则有＞＞0，则方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆；②正确；对于③，点M（﹣1，0）、N（1，0），则|MN|=2，若|PM|﹣|PN|=2，则动点P的轨迹是一条射线；③错误；对于④，由抛物线的定义，以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切，④正确；则②④正确；故选：B．8．（5分）我国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为1，3，5，则输出的s值为（）A．17 B．12 C．15 D．5【解答】解：∵输入的x=2，n=2，当输入的a为1时，S=1，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为3时，S=5，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S=15，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为15，故选：C．9．（5分）两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣2by+b2﹣1=0相外切，且ab≠0，则的最大值为（）A．B．1 C．D．9【解答】解：两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣2by+b2﹣1=0的圆心分别为（﹣a，0），（0，b），半径分别为：2，1．∵两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣2by+b2﹣1=0相外切，∴∴a2+b2=9⇒（ab）2，则，故选：C．10．（5分）直线与抛物线C：y2=2px（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，OA⊥OB，且OD⊥AB，垂足为点D（1，2），则抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．【解答】解：∵点D的坐标为（1，2），则k OD=2，又OD⊥AB，且AB过D（1，2），则直线AB的方程：y﹣2=﹣（x﹣1），整理得：2y+x﹣5=0；设点A的坐标（x1，y1），点B的坐标（x2，y2），由OA⊥OB，则•=0，即x1x2+y1y2=0，则AB的直线方程为x=5﹣2y，∴y1y2﹣2（y1+y2）+5=0，①，则，消去x得：y2﹣4py﹣10p=0，y1+y2=4p，y1y2=﹣10p，②把②代入解得p=，在抛物线的准线方程：x=﹣故选：D．11．（5分）已知直线l过椭圆C：的右焦点F，与椭圆C交于M，N两点，点P，Q是椭圆C上关于坐标原点O对称的两点，且PQ∥MN，则=（）A．B．C．D．【解答】解：①当直线斜率不存在时，|PQ|2=（2b）2=4b2，|MN|=，∴则=2a=2，②当直线斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），且M（x1，y1），N （x2，y2）．联立，消去y可得（3k2+2）x2﹣6k2x+3k2﹣6=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴|MN|=•=．…（10分）由直线y=kx代入椭圆方程，消去y，并整理得：x2=，y2=设P（x 3，y3），Q（﹣x4，﹣y4），则|PQ|2=4（x2+y2）=4×，则=2，∴综上所述，=2，故选A．方法二：根据题意取特殊情况，取直线MN的斜率不存在时，分别求得|PQ|2及|MN|，即可求得=2，故选：A．12．（5分）双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P是双曲线右支上一点，I为△PF1F2的内心，PI交x轴于Q点，若|F1Q|=|PF2|，且PI：IQ=2：1，则双曲线的离心率e的值为（）A．2 B．C．D．【解答】解：可设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由I为△PF1F2的内心，可得==2，则|QF1|=m，若|F1Q|=|PF2|=m，又PQ为∠F1PF2的角平分线，可得==，则n=4c﹣m，又m﹣n=2a，n=m，解得m=4a，n=2a，=2，即c=a，则e==．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某校老年教师90人，中年教师180人和青年教师160人，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的中年教师人数为36．【解答】解：某校老年教师90人，中年教师180人和青年教师160人，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，∴该样本的中年教师人数为：180×=36．故答案为：36．14．（5分）已知点P（a，b）关于直线l的对称点为P'（b，a），则圆C：x2+y2﹣4x﹣2y=0关于直线l对称的圆C'的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．【解答】解：点P（a，b）关于直线l的对称点为P'（b，a），则：直线l的方程为：y=x．圆C：x2+y2﹣4x﹣2y=0，转化为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，圆心（2，1）关于直线l的对称点坐标为：（1，2）则圆C关于直线l对称的圆C'的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．15．（5分）过点M（1，1）作斜率为的直线l，l与椭圆（a＞b＞0）相交于A，B两点，若AM=MB，则椭圆的离心率为．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．∵AM=MB，则x1+x2=2×1=2，y1+y2=2×1=2，=﹣．由+=1，+=1，相减可得：+=0，可得：+×=0，可得a2=3b2．∴e===．故答案为：．16．（5分）平面内与两定点A1（0，﹣a），A2（0，a）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线，给出以下四个结论：①当m=﹣1时，曲线C是一个圆；②当m=﹣2时，曲线C的离心率为；③当m=2时，曲线C的渐近线方程为y=±x；④当m∈（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）时，曲线C的焦点坐标分别为（0，﹣）和（0，）．其中全部正确结论的序号为①②④．【解答】解：设动点为M（x，y），当x≠0时，由条件可得，即y2﹣mx2=a2（x≠0），又A1（﹣a，0），A2（a，0）的坐标满足y2﹣mx2=a2．∴当m=﹣1时，曲线C的方程为y2+x2=a2，C是圆心在原点的圆，故①正确；当m=﹣2时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆，，离心率为，故②正确；当m=2时，曲线C的方程为，表示焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为y=，故③错误；当m∈（﹣∞，﹣1）时，曲线C的方程为，表示焦点在y轴上的椭圆，由，可知焦点坐标分别为（0，﹣）和（0，）；当m∈（0，+∞）时，C是焦点在y轴上的双曲线，方程为，由，可知焦点坐标分别为（0，﹣）和（0，），故④正确．∴正确结论的序号为①②④．故答案为：①②④．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y+1=0上存在两点关于l：x+my+1=0对称．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过点M（m，m）作圆C的切线，切点分别为P，Q，试求|PQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）圆C：x2+y2﹣2x+4y+1=0，转化为：（x﹣1）2+（y+2）2=4，圆上存在两点关于l：x+my+1=0对称．则：圆心坐标（1，﹣2）在直线x+my+1=0上．即：1﹣2m+1=0，解得：m=1．（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，m=1，所以：M（1，1）则：|MC|=3，|PC|=2，所以：|PM|=，设点P到直线MC的距离为d，则：，解得：d=，所以：．18．（10分）在一次“汉马”（武汉马拉松比赛的简称）全程比赛中，50名参赛选手（24名男选手和26名女选手）的成绩（单位：分钟）分别为数据a1，a2，…，a50（成绩不为0）．（Ⅰ）24名男选手成绩的茎叶图如图（1）所示，若将男选手成绩由好到差编为1～24号，再用系统抽样方法从中抽取6人，求其中成绩在区间[150，170）上的选手人数；（Ⅱ）如图（2）所示的程序用来对50名选手的成绩进行统计，为了便于区别性别，输入时，男选手的成绩数据用正数，女选手的成绩数据用相反数（负数），请完成图（2）中空白的判断框①处的填写，并说明输出数值M和A的统计意义．【解答】（本题满分为10分）解：（Ⅰ）依题意，男选手分为=6段，每段抽取1人，其中成绩在区间[150，170）上的恰有4段，每段1人，所以成绩在区间[150，170）上的选手人数为4．…4分（Ⅱ）根据题意，男生平均分用变量M表示，女生平均分用变量W表示，∴满足条件①时，表示该分数为男生分数，∵男生的成绩用正数，故条件①为：T＞0，…6分输出数值M的统计意义：24名男选手的平均成绩，…8分输出数值A的统计意义：50名选手的平均成绩，…10分19．（12分）已知双曲线C的渐近线方程为y=±，右焦点坐标为（2，0），O为坐标原点．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且，试求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），由题意可得c=2，=，且c2=a2+b2，解得a=，b=1，则双曲线的方程为﹣y2=1；（Ⅱ）∵直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点，∴方程组恒有两组不同的实数解，∴方程（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣9=0有两个不同实根，∴，∴k2＜1且k2≠，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=﹣，∵，∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+2＞0，∴（1+k2）•（﹣）+k•+2=＞0，可得k2＞，∵k2＜1，∴k的范围是（﹣1，﹣）∪（，1）．20．（12分）从参加某次高中英语竞赛的学生中抽出100名，将其成绩整理后，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[39.5，49.5），[49.5，59.5），[59.5，69.5），[69.5，79.5），[79.5，89.5），[89.5，99.5]．（Ⅰ）试求图中a的值，并计算区间[59.5，89.5）上的样本数据的频率和频数；（Ⅱ）试估计这次英语竞赛成绩的众数、中位数及平均成绩（结果精确到0.1）．【解答】解：（Ⅰ）根据频率和为1，得（0.01+0.015×2+0.03+a+0.005）×10=1，解得a=0.025；区间[59.5，89.5）上的样本数据的频率为（0.015+0.03+0.025）×10=0.70，∴频数为0.70×100=70；（Ⅱ）根据众数是最高小矩形底边的中点，试估众数为69.5+5=74.5；根据中位数两边频率相等，根据中位数是69.5+=≈72.8；计算平均成绩为=44.5×0.1+54.5×0.15+64.5×0.15+74.5×0.3+84.5×0.25+94.5×0.05=70.5．21．（12分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点D（1，2）为抛物线C上一定点．（1）直线l过点F交抛物线C于A、B两点，若|AB|=5，求直线l的方程；（2）过点D作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线C于异于点D的两点P，Q，试证明直线PQ的斜率为定值，并求出该定值．【解答】解：（1）依题意，点F的坐标为（1，0），设直线l的方程为x=my+1，联立方程组，消去x并整理得：y2﹣4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，则|AB|=•=4（m2+1）=5，解得：m=±，∴直线l的方程为2x+y﹣2=0或2x﹣y﹣2=0；（2）设直线DP的斜率为k，（k≠0），则直线DQ的斜率为﹣k，令t=，联立，消去x并整理得：y2﹣4ty+8t﹣4=0，设P（x P，y P），由D的坐标为（1，2），∴2y P=8t﹣4，故y P=4t﹣2，从而点P的坐标为（4t2﹣4t+1，4t﹣2），Q（4t2+4t+1，﹣4t﹣2），则直线PQ的斜率为：=﹣1，∴直线PQ的斜率为定值﹣1．22．（12分）已知A是圆C：x2+y2=4上任意一点，过A作x轴的垂线段AD，D 为垂足，当点A在圆C上运动时，线段AD的中点B的轨迹为曲线r（包括点（﹣2，0）和点（2，0）），O为坐标原点．（Ⅰ）求曲线r的方程；（Ⅱ）直线l与曲线r相切，且l与圆C相交于P，Q两点，当△POQ的面积最大时，试求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设线段AD的中点B（x，y），A（x′，y′），则：，即：，代入x′2+y′2=4，得到曲线r的方程为：．（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，不合题意．故设直线的方程为：y=kx+m．得到：，整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=0，解得：m2=4k2+1．点O到直线l的距离d=，且|PQ|=2，则：=≤2，当：d=时，三角形的面积的最大值为2．所以：d=，解得：k=．此时直线l的直线由4条，即：或．。

2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试题一、单选题1．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（）A．3 B．2 C．4 D．【答案】D【解析】由于本题中未给出向量的坐标，故求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．【详解】由均为单位向量，它们的夹角为60°∴∴，∴故选：D．【点睛】本题主要考查了向量的模的运算问题，对于求向量的模一般有两种情况：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则或；若未知向量的坐标，只是已知条件中有向量的模及夹角，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解，着重考查了推理与运算能力。

2．函数y=的最小正周期为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式，再利用余切函数的周期性，得出结论．【详解】由题意，函数，故函数的周期为π，故选：B．【点睛】本题主要考查了同角函数函数的基本关系式，以及余切函数的最小正周期的求解问题，其中熟记同角三角函数的基本关系式，合理、准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

3．已知a=，，c=，则a、b、c的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，，即可判断出大小关系．【详解】由题意，，则a、b、c的大小关系为：a＞c＞b．故选：C．【点睛】本题主要考查了和差倍角公式、三角函数单调性与求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若在[0，]内有两个不同的实数x满足cos2x+sin2x=m，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由三角函数的性质，求得函数的值域，再根据cos2x+sin2x=m有两个不同的实数，结合三角函数的图象，即可求解。

【详解】令y=cos2x+sin2x=2sin（2x+），在[0，]内，那么，∴y的值域为[-1，2]．那么cos2x+sin2x=m有两个不同的实数，结合三角函数的图象：可得1≤m＜2．故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．5．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的一部分图象如图所示，f（）=，则f（0）=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据图象求出周期，注意到与关于对称，求出，就是的值。

2017-2018学年湖北省武汉市华师大一附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数，则下列命题中正确的个数为（）①②③z的虚部为i④z在复平面上对应点在第一象限．A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）下列函数为偶函数且在（0，+∞）上为增函数的是（）A．B．C．D．f（x）=x（e x﹣e﹣x）3．（5分）已知集合，集合B={y|y=1﹣x2}，则集合{x|x∈A∪B 且x∉A∩B}为（）A．[﹣2，1]∪（2，+∞）B．（﹣2，1）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪[1，2） D．（﹣∞，﹣2]∪（1，2）4．（5分）下列说法正确的是（）A．“∀x，y∈R，若x+y≠0，则x≠1且y≠﹣1”是真命题B．在同一坐标系中，函数y=f（1+x）与y=f（1﹣x）的图象关于y轴对称C．命题“∃x∈R，使得x2+2x+3＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+2x+3＞0”D．a∈R，“＜1”是“a＞1”的充分不必要条件5．（5分）如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（）A．B．C．1 D．36．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为a n，则的值为（）A．B．C．D．7．（5分）若tanα﹣=，α∈（，），则sin（2α+）的值为（）A．B．C．D．8．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是（）小时．A．22 B．23 C．24 D．339．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则y=f（x）的图象可由y=cos2x图象（）A．向右平移个长度单位B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位10．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=sinπx+2|sinπx|，则方程f（x）﹣|lgx|=0在区间[0，10]上根的个数是（）A．17 B．18 C．19 D．2011．（5分）在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，，若，则与的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=e x（x﹣ae x）（其中e为自然对数的底数）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则下列说法中正确的是（）A．B．0＜x2＜1 C．D．f（x1）+f（x2）＞0二、填空题（每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数y=lg（﹣x2﹣2x+3）的单调递增区间是．14．（5分）已知向量，，且，则=．15．（5分）已知数列{a n}的通项公式为，当a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+…+a n a n+1a n+2取得最大值时，n的值为．16．（5分）若函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a﹣x）=2b（其中a2+b2≠0），则称函数y=f（x）为“中心对称函数”，称点（a，b）为函数f（x）的“中心点”．现有如下命题：①函数f（x）=sinx+1是“中心对称函数”；②若“中心对称函数”y=f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），则函数F（x）=f （x+a）﹣f（a）是R上的奇函数；③函数f（x）=x3﹣3x2+6x﹣2是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为（1，2）；④函数f（x）=2x﹣cosx是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为．其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知向量，，函数．（Ⅰ）求f（x）的对称中心；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值，并求出相应x的值．18．（12分）已知函数f（x）=+kx（k∈R）．（Ⅰ）当时，若方程f（x）﹣m=0有解，求实数m的取值范围；（Ⅱ）试讨论f（x）的奇偶性．19．（12分）已知数列{a n}，{b n}，S n为数列{a n}的前n项和，a2=4b1，S n=2a n﹣2，nb n+1﹣（n+1）b n=n2+n（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明为等差数列；（Ⅲ）若数列{c n}的通项公式为c n=，令T n为{c n}的前n项的和，求T2n．20．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax（a∈R，e为自然对数的底数）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，函数g（x）=（x﹣m）f（x）﹣e x+x2+x在x∈（2，+∞）上为增函数，求实数m的取值范围．21．（12分）如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO，其中OA=3km，，∠AOB=90°．物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON=30°．（Ⅰ）若M在距离A点2km处，求点M，N之间的距离；（Ⅱ）为节省投入资金，三角形人工湖OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．22．（12分）已知数列{a n}满足（n，t∈N*，t≥3，t为常数，n≤t）．（Ⅰ）设，n∈N*，证明：S n＞（t+1）ln（n+1）；（Ⅱ）证明：（e为自然对数底数）；（Ⅲ）设，n∈N*，试比较与T n 与1的大小关系，并说明理由．2017-2018学年湖北省武汉市华师大一附中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数，则下列命题中正确的个数为（）①②③z的虚部为i④z在复平面上对应点在第一象限．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：复数===1+i，则|z|==，=1﹣i，z的虚部为﹣1，z在复平面上对应点为（1，1）在第一象限．故①②④正确，③错误．故选：C．2．（5分）下列函数为偶函数且在（0，+∞）上为增函数的是（）A．B．C．D．f（x）=x（e x﹣e﹣x）【解答】解：对于A，f（x）=sin2x无单调性，不合题意，对于B，f（x）在（0，）递减，不合题意，对于C，函数不是偶函数，对于D，f（﹣x）=﹣x（e﹣x﹣e x）=x（e x﹣e﹣x）=f（x），是偶函数，函数在（0，+∞）递增，符合题意，故选：D．3．（5分）已知集合，集合B={y|y=1﹣x2}，则集合{x|x∈A∪B且x∉A∩B}为（）A．[﹣2，1]∪（2，+∞）B．（﹣2，1）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪[1，2） D．（﹣∞，﹣2]∪（1，2）【解答】解：∵集合={x|﹣2＜x＜2}，集合B={y|y=1﹣x2}={y|y≤1}，∴集合{x|x∈A∪B且x∉A∩B}=（﹣∞，﹣2]∪（1，2）．故选：D．4．（5分）下列说法正确的是（）A．“∀x，y∈R，若x+y≠0，则x≠1且y≠﹣1”是真命题B．在同一坐标系中，函数y=f（1+x）与y=f（1﹣x）的图象关于y轴对称C．命题“∃x∈R，使得x2+2x+3＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+2x+3＞0”D．a∈R，“＜1”是“a＞1”的充分不必要条件【解答】解：对于A，“∀x，y∈R，若x+y≠0，则x≠1且y≠﹣1”是假命题，∵它的逆否命题“∀x，y∈R，若x=1或y=﹣1，则x+y=0”是假命题，∴A错误；对于B，同一坐标系中，点（x，y）在函数y=f（1+x）的图象上，则（﹣x，y）在y=f（1﹣x）的图象上，∴函数y=f（1+x）与y=f（1﹣x）的图象关于y轴对称，B正确；对于C，命题“∃x∈R，使得x2+2x+3＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+2x+3≥0”，∴C错误；对于D，当＜1时，a＜0或a＞1，充分性不成立；a＞1时，＜1，必要性成立，是必要不充分条件；D错误．故选：B．5．（5分）如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（）A．B．C．1 D．3【解答】解：∵，∴设=λ，（λ＞0）得=+∴m=且=，解之得λ=8，m=故选：A．6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为a n，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{a n}，a1=5（尺），S31=9×40+30=390（尺），设公差为d（尺），则31×5+d=390，解得d=．则==•=•=．故选：B．7．（5分）若tanα﹣=，α∈（，），则sin（2α+）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由tanα﹣，得2tan2α﹣3tanα﹣2=0，即tanα=2或tanα=．∵α∈（，），∴tanα=2．则sin2α=，cos2α=．∴sin（2α+）=sin2αcos+cos2αsin=．故选：D．8．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是（）小时．A．22 B．23 C．24 D．33【解答】解：某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，∴，解得e11k=，∴该食品在33°C的保鲜时间：y=e33k+b=（e11k）3×e b=（）3×192=24（小时）．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则y=f（x）的图象可由y=cos2x图象（）A．向右平移个长度单位B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位【解答】解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|ω|＜）的部分图象可得=•=﹣，求得ω=2．再把点（，0）代入函数的解析式可得sin（2×+φ）=0，∴2×+φ=kπ，k∈z，求得φ=kπ﹣，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．故把y=cos2x=sin（2x+）的图象向右平移个长度单位，即可得到y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）的图象，故选：A．10．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=sinπx+2|sinπx|，则方程f（x）﹣|lgx|=0在区间[0，10]上根的个数是（）A．17 B．18 C．19 D．20【解答】解：f（x）=sinπx+2|sinπx|=，由f（x+4）=f（x），可知f（x）是以4为周期的周期函数，方程f（x）﹣|lgx|=0即f（x）=|lgx|，方程的根即为两函数y=f（x）与y=|lgx|图象交点的横坐标，作出函数图象如图：由图可知，方程f（x）﹣|lgx|=0在区间[0，10]上根的个数是19．故选：C．11．（5分）在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，，若，则与的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：设与的夹角为θ，由题意可得2=（﹣）2=2+2﹣2•=33+1﹣2•=36，∴•=﹣1，由，可得+•（+）=2+•+•+•=1﹣•﹣1+•=（﹣）=•=2，∴•=4，由•=1×6×cosθ=4，∴cosθ=，故选：B．12．（5分）设函数f（x）=e x（x﹣ae x）（其中e为自然对数的底数）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则下列说法中正确的是（）A．B．0＜x2＜1 C．D．f（x1）+f（x2）＞0【解答】解：∵函数f（x）=e x（x﹣ae x），∴f′（x）=（x+1﹣2a•e x）e x，由于函数f（x）的两个极值点为x1，x2，即x1，x2是方程f′（x）=0的两不等实根，即方程x+1﹣2ae x=0，且a≠0，∴=e x；设y1=（a≠0），y2=e x，在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示；要使这两个函数有2个不同的交点，应满足，解得0＜a＜，所以a的取值范围是（0，），结合图象，C正确，D错误，故选：C．二、填空题（每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数y=lg（﹣x2﹣2x+3）的单调递增区间是（﹣3，﹣1] ．【解答】解：令t=﹣x2﹣2x+3＞0，求得﹣3＜x＜1，可得函数的定义域为（﹣3，1），则y=lgt，本题即求函数t在定义域内的增区间，利用二次函数的性质可得它的增区间为（﹣3，﹣1]，故答案为：（﹣3，﹣1]．14．（5分）已知向量，，且，则=．【解答】解：∵，∴=6﹣2m=0，解得m=3．∴=（6，﹣2）﹣2（1，3）=（4，8）．∴==4．故答案为：．15．（5分）已知数列{a n}的通项公式为，当a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+…+a n a n+1a n+2取得最大值时，n的值为9．【解答】解：由≥0，解得n≤9.5，∴数列{a n}的前9项均为正数，从第10项（含第10项）开始，全为负数，∴当n=8时，a8a9a10＜0，当n=9时，a9a10a11＞0，当n≥10时，a n a n+1a n+2＜0，∵a8=﹣64+80﹣=16﹣，a11=﹣121+110﹣=﹣11﹣，∴a8+a11=5﹣=﹣＜0，∴a8a9a10+a9a10a11＞0．∴当a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+…+a n a n+1a n+2取得最大值时，n的值为9．故答案为916．（5分）若函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a﹣x）=2b（其中a2+b2≠0），则称函数y=f（x）为“中心对称函数”，称点（a，b）为函数f（x）的“中心点”．现有如下命题：①函数f（x）=sinx+1是“中心对称函数”；②若“中心对称函数”y=f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），则函数F（x）=f （x+a）﹣f（a）是R上的奇函数；③函数f（x）=x3﹣3x2+6x﹣2是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为（1，2）；④函数f（x）=2x﹣cosx是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为．其中正确的命题是①②③．（写出所有正确命题的序号）【解答】解：①∵函数f（x）=sinx+1，∴f（0+x）+f（0﹣x）=2，∴a=0，b=1，满足“准奇函数”的定义，故①正确；②若F（x）=f（x+a）﹣f（a），则F（﹣x）+F（x）=f（x+a）﹣f（a）+f（﹣x+a）﹣f（a）=f（a﹣x）+f（a+x）﹣2f（a），∵f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），∴f（a﹣x）+f（a+x）=2f（a），即F（﹣x）+F（x）=f（a﹣x）+f（a+x）﹣2f（a）=0，∴F（﹣x）=﹣F（x），∴函数F（x）=f（x+a）﹣f（a）为R上的奇函数，∴②正确．③函数f（x）=x3﹣3x2+6x﹣2，∴f（1+x）+f（1﹣x）=（1+x）3﹣3（1+x）2+6（1+x）﹣2+（1﹣x）3﹣3（1﹣x）2+6（1﹣x）﹣2=4，∴点（1，2）为函数f（x）的“中心点”，③正确；④f（x）=2x﹣cosx，f（+x）+f（﹣x）=2，得a=，b=2π，它的“中心点”一定为（，2π）．∴④错误．故答案为：①②③三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知向量，，函数．（Ⅰ）求f（x）的对称中心；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值，并求出相应x的值．【解答】解：（I）=2sinxcosx+2cosxcos（π﹣x）+1=sin2x﹣cos2x=．令2x﹣=kπ得x=+．∴f（x）的对称中心为．（II）由（I）得，f（x）=sin（2x﹣），∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣=时，即x=时，f（x）的最大值是；当2x﹣=﹣时，即x=0时，f（x）的最小值是﹣1．18．（12分）已知函数f（x）=+kx（k∈R）．（Ⅰ）当时，若方程f（x）﹣m=0有解，求实数m的取值范围；（Ⅱ）试讨论f（x）的奇偶性．【解答】解：（Ⅰ）由m=f（x）=log4（4x+1）﹣x=log4（4x+1）﹣log42x，∴m==．∵=2（当且仅当x=0时，取得等号），∴m≥．（Ⅱ）依题意得定义域为R，关于原点对称，∵f（x）=+kx，f（﹣x）=﹣kx，令f（x）=f（﹣x），得=﹣2kx，即=﹣2kx，∴x=﹣2kx对一切k∈R恒成立．∴时f（x）=f（﹣x），此时函数f（x）是偶函数；∵，∴函数f（x）不是奇函数，综上，当时，函数f（x）是偶函数；当时，函数f（x）是非奇非偶函数．19．（12分）已知数列{a n}，{b n}，S n为数列{a n}的前n项和，a2=4b1，S n=2a n﹣2，nb n+1﹣（n+1）b n=n2+n（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明为等差数列；（Ⅲ）若数列{c n}的通项公式为c n=，令T n为{c n}的前n项的和，求T2n．【解答】（1）解：当n＞1时，当n=1时，S1=2a1﹣2⇒a1=2，综上，{a n}是公比为2，首项为2的等比数列，（2）证明：∵a2=4b1，∴b1=1，∵，∴综上，是公差为1，首项为1的等差数列，．（3）解：令p n=c2n﹣+c2n=，1①﹣②，得，，∴．20．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax（a∈R，e为自然对数的底数）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，函数g（x）=（x﹣m）f（x）﹣e x+x2+x在x∈（2，+∞）上为增函数，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为x∈R，f'（x）=e x﹣a当a≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）在R上为增函数；当a＞0时，由f'（x）=0得x=lna则：当x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（﹣∞，lna）上为减函数，当x∈（lna，+∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（lna，+∞）上为增函数．…（6分）（Ⅱ）当a=1时，g（x）=（x﹣m）（e x﹣x）﹣e x+x2+x，∵g（x）在x∈（2，+∞）上为增函数，∴g'（x）=xe x﹣me x+m+1≥0在x∈（2，+∞）恒成立，即在x∈（2，+∞）恒成立，令，x∈（2，+∞），，令L（x）=e x﹣x﹣2，L'（x）=e x﹣1＞0在x∈（2，+∞）恒成立，即L（x）=e x﹣x﹣2在x∈（2，+∞）单调递增，即L（x）＞L（2）=e2﹣4＞0，∴h'（x）＞0即在x∈（2，+∞）单调递增，所以．…（12分）21．（12分）如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO，其中OA=3km，，∠AOB=90°．物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON=30°．（Ⅰ）若M在距离A点2km处，求点M，N之间的距离；（Ⅱ）为节省投入资金，三角形人工湖OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在△ABO中，因为，所以∠OAB=60°，在△OAM中，由余弦定理得：OM2=AO2+AM2﹣2AO•AMcosA=7，所以，所以，在△OAN中，sin∠ONA=sin（∠A+∠AON）=sin（∠AOM+90°）=，在△OMN中，由，得；…（6分）（Ⅱ）解法1：设∠AOM=θ，0°＜θ＜60°，在△OAM中，由，得，在△OAN中，由，得，所以====．当2θ+60°=90°，即θ=15°时，S的最小值为．△OMN所以应设计∠AOM=15°，可使△OMN的面积最小，最小面积是km2…（12分）解法2：设AM=x，0＜x＜3．在△OAM中，由余弦定理得OM2=AO2+AM2﹣2AO•AM•cosA=x2﹣3x+9，所以OM=，所以cos∠AOM==，在△OAN中，sin∠ONA=sin（∠A+∠AON）=sin（∠AOM+90°）=cos∠AOM=，由=，得ON=•=，=OM•ON•sin∠MON所以S△OMN=•••=，0＜x＜3，令6﹣x=t，则x=6﹣t，3＜t＜6，则：S△OMN==（t﹣9+）≥•（2﹣9）=．的最小值为，当且仅当t=，即t=3，x=6﹣3时等号成立，S△OMN所以M的位置为距离A点6﹣3km处，可使△OMN的面积最小，最小面积是km2．22．（12分）已知数列{a n}满足（n，t∈N*，t≥3，t为常数，n≤t）．（Ⅰ）设，n∈N*，证明：S n＞（t+1）ln（n+1）；（Ⅱ）证明：（e为自然对数底数）；（Ⅲ）设，n∈N*，试比较与T n与1的大小关系，并说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）即证：，即证：，设g（x）=x﹣ln（x+1），，∵当x＞0时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，当﹣1＜x＜0时，g'（x）＜0，g（x）在（﹣1，0）上单调递减，∴g（x）=x﹣ln（x+1）≥g（0）=0，（当且仅当x=0时等号成立），即x＞0时，有x＞ln（x+1），∴，∴S n＞（t+1）ln（n+1）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当x＞﹣1且x≠0时，有x＞ln（x+1），即当x＞0且x≠1时，有x﹣1＞lnx，∵，∴a n﹣1＞lna n，即，（Ⅲ），理由如下：解法一：由（Ⅱ）知：，=，=，，设=q，∵，∴=，∴（a1）t+（a2）t+（a3）t+…+（a n）t＜1．∴T n＜1解法二：∵n，t∈N*，t≥3，t为常数，n≤t，∴=下面用数学归纳法证明：t≥3，t∈N*时，＜1，即1t+2t+…+t t＜（1+t）t，①当t=3时，左边=13+23+33=36＜（1+3）3，即当t=3时不等式成立；②假设当t=k（k≥3）时不等式成立，即1k+2k+…+t k＜（1+k）k，则当t=k+1时，1k+1+2k+1+…+k k+1+（k+1）k+1=1×1k+2×2k+…+k×k k+（k+1）k+1＜（k+1）（1k+2k+…+k k）+（k+1）k+1＜（k+1）（k+1）k+（k+1）k+1=2（k+1）k+1，∵＞1+，∴（k+2）k+1＞2（k+1）k+1，∴1k+1+2k+1+…+k k+1+（k+1）k+1＜2（k+1）k+1＜（k+2）k+1，∴当t=k+1时，不等式也成立；综合①②t≥3，t∈N*时，1t+2t+…+t t＜（1+t）t，即成立，∴．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p)f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

湖北省武汉市华师一附中2018-2019学年高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．在ABC ∆中，sin cos sin B A C =，则ABC ∆的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．钝角三角形 D ．正三角形2．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是()0 1n n P P k =+（1k >-），n P 为预测人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有10k -<<，那么在这期间人口数A ．呈下降趋势B ．呈上升趋势C ．摆动变化D ．不变 3．若0,0,a b c d >><<则一定有（ ）A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c < 4．把一个已知圆锥截成个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为1:3，母线长为6cm ，则己知圆锥的母线长为（ ）cm .A ．8B ．9C ．10D ．12 5．如图是棱长为a 的正方体的平面展开图，则在这个正方体中直线, MN EF 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 6．设l 为直线，αβ，是两个不同的平面，下列说法中正确的是（ ） A ．若,l l αβ，则αβ∥B ．若,l αβα∥∥，则l β∥C ．若,l l αβ⊥，则αβ⊥D ．若,l αβα⊥，则l β⊥7．将正整数1,2,3,4,,,n 按第k 组含1k +个数分组：()()()1,2,3,4,5,6,7,8,9,,那么2019所在的组数为（ ）A ．62B ．63C ．64D ．65 8．已知下列各命题：①两两相交且不共点的三条直线确定一个平面：②若真线a 不平行于平面a ，则直线a 与平面a 有公共点：③若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线： ④若两个二面角的两个面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补.则其中正确的命题共有（ ）个A ．4B ．3C ．2D ．19，这个长方体的顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）A ．6πB ．8πC ．12πD ．24π 10．边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将,ED DCF ∆∆分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于1A ，则直线1A D 与平面DEF 所成角的正弦值为（ ）A B ．3 C D ．1311．三棱锥A BCD -的高AH =若AB AC =，二面角 A BC D --为3π，G 为ABC ∆的重心，则HG 的长为（ ）A B C D12．己知ABC ∆的周长为20，7BC =， 则tan A 的值为（ ）A B ．1 C D ．213．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若存在实数,,x y z ，使向量1BM xAB yAD zAA =++，则23x y z ++=__________．14．在ABC ∆中，已知A B >，则下列四个不等式中，正确的不等式的序号为 ____________①sin sin A B < ②sin sin A B > ③cos cos A B <④ cos cos A B >15．正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -各棱长均为1，则一动点从A 出发沿表面移动到1D 时的最短路程为__________．16．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2n n n n S a n N +=--∈则123100...S S S S ++++=__17．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且()()222sin asinA b c sinB c b C =-+-（1）求A 的大小：（2）若4a B π==，求ABC ∆的面积S .18．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为,a 点,E F 分别是棱1111,B C C D 的中点 （1）证明：四边形BDFE 是一个梯形：（2）求几何体1BCD EC F -的表面积和体积19．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：3221805040,[120,144)3120080000,[144,500)2x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．（1）当[200,300]x ∈时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？20．如图，已知平面111A B C 平行于三棱锥V ABC -的底面ABC ，等边1AB C ∆所在的平面与底面ABC 垂直，且2ACB π∠=，设2,1AC BC ==（1）求证：111B C AB ⊥且1111B C A C ⊥； （2）求二面角A VB C --的余弦值. 21．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为1，侧棱长为2. （1）求证：平面1ACD ⊥平面11BB D D ； （2）求直线1AA 与平面1ACD 所成的角的正弦值； （3）设H 为截面1ACD ∆内-点（不包括边界），求H 到面11ADD A ，面11DCC D ，面ABCD 的距离平方和的最小值. 22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()*112n n n a na n N +--=-∈，且63a S =，数列{}n b 满足，对任意的*n N ∈，且112,,,n n n n n n n S b S b S b -+≥+++成等比数列，其中12b =.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式 （2）记)*n c n N =∈，证明：当*n N ∈且2n ≥时，)()*12321n c c c c n N <++++<∈。