且 n>1).
-
������ ������
������ ������ ������
=
1 ������ ������ (a>0,m,n∈N+, ������
0 ,0的负分数指数幂无意义. (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras= ar+s (a>0,r,s∈Q). ②(ar)s= ars (a>0,r,s∈Q). ③(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q).
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考点一
考点二
考点三
指数幂的化简与求值 例1求值与化简: 4 (1) 16x8 y4 (x<0,y<0)的化简结果为( D ) A.2x2y B.2xy C.4x2y D.-2x2y
(2) 4
1 -2
1
·
1= -1 -3 (0.1) · (������3 · ������ )2
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考点一
考点二
考点三
解析: (1)画出函数f(x)的图像如图所示,由图可知: ①当x+1≥0且2x≥0,即x≥0时,f(2x)=f(x+1),不满足题意; ②当x+1>0且2x<0,即-1<x<0时,f(x+1)<f(2x)显然成立; ③当x+1≤0时,x≤-1,此时2x<0,若f(x+1)<f(2x),则x+1>2x,解得 x<1.故x≤-1. 综上所述,x的取值范围为(-∞,0). (2)指数函数y=ax的图像恒过点(0,1), 要得到函数y=4+ax-1(a>0,a≠1)的图像, 可将指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图像向右平移1个单位长度,再向 上平移4个单位长度. 则点(0,1)平移后得到点(1,5). 故点P的坐标为(1,5).
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考点一
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考点三
对点训练 2(1)(2018 四川宜宾模拟)已知函数 f(x)=x-4+
(0,4),当 x=a 时,f(x)取得最小值 b,则函数 g(x)=a|x+b|的图像为( A )
9 ,x∈ ������+1
e������ -1 ,������ < 1, (2)设函数 f(x)= 1 则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围 ������ 3 ,������ ≥ 1, 是 (-∞,8] .
1 ������ 2
1 ������ 2
-7,������ < 0, 若 f(a)<1,则实数 a 的取值范 ������ ,������ ≥ 0,
B.(1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
1 -3 . 2
解析:当 a<0 时,不等式 f(a)<1 即为 即 <
1 2
1 ������ 1 ������ -7<1,所以 2 <8, 2
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知识梳理
考点自诊
5.若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)内为减函数,则实数a的取值范围 是 (- 2,-1)∪(1, 2) . 解析:由 y=(a2-1)x 在(-∞,+∞)内为减函数,得 0<a2-1<1, 即 1<a2<2,即 1<a< 2或- 2<a<-1.
x-1
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考点二
考点三
指数函数的性质及其应用(多考向) 考向1 比较指数式的大小
例 3 已知
4 2 1 a=33 ,b=95 ,c=1213 ,则(
A )
A.b<a<c C.b<c<a
B.a<b<c D.c<a<b
4 3 2 3 2 5 1 3 2 3 2 3
-������ 2 ,������ ≤ 0,则满足 例 2(1)(2018 全国 1,文 12)设函数 f(x)= 1,������ > 0, f(x+1)<f(2x)的 x 的取值范围是 ( D )
A.(-∞,-1] C.(-1,0)
B.(0,+∞) D.(-∞,0)
(2)(2017河南郑州模拟)已知函数f(x)=4+ax-1的图像恒过定点P,则 点P的坐标是( A ) A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0) (3)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围 是 [-1,1] .
B ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
A.充分不必要条件 C.充要条件
1 ������ 1 解析:由 <1,解得 x>0.由 >1,解得 0<x<1. 3 ������ ������ 1 1 故“ <1”是“ >1”的必要不充分条件,故选 B. 3 ������
4.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( C ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 解析:由y=0.6x在区间(0,+∞)是减少的可知,0<0.61.5<0.60.6<1, 又1.50.6>1,故选C.
1 1
( 4������������ )
-1 3
8 5
1 1 1
(a>0,b>0).
解析: (1)
4
16x8 y4 =(16x8y4)4
=[24· (-x)8· (-y)4]4 =24× 4 · (-x)8× 4 · (-y)4× 4 =2(-x)2(-y)=-2x2y.
3 3 -3 2×42 ������2 ������ 2 (2)原式= 3 -3 10������2 ������ 2
2 1 (3)(-1)4 =(-1)2
������ ������ 4
( × )
=
-1. ( × ) )
(4)函数 y=3· 2x 与 y=2x+1 都不是指数函数.( (5)若 am>an,则 m>n. ( × )
2.(2018衡水金卷十模,1)已知集合A={y|y=2x-1,x∈R}, B={x|x2-x2<0},则( ) A.-1∈A B. 3∉B C.A∩(∁RB)=A D.A∪B=A
③0的正分数指数幂是
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考点自诊
(3)无理数指数幂 一般地,无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个 确定 有理数指数幂的运算性质 同样适用 于无理数指数幂.
的实数,
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3.指数函数的图像和性质 y=ax(a>0,且 a≠1) 函 数 0<a<1
a>1
图
象 在 x 轴 上方 ,过定点 (0,1) 当 x 逐渐增大时,图像逐 当 x 逐渐增大时,图像逐渐上 渐下降 升 R (0,+∞) 在 R 上单调递减 在 R 上单调递增 当 x=0 时, y=1 当 x<0 时, y>1 ; 当 x<0 时, 0<y<1 ; 当 x>0 时, 0<y<1 当 x>0 时, y>1
解析:∵A={y|y=2x-1,x∈R}={y|y>-1}=(-1,+∞), B={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2}=(-1,2),∴A∪B=A,故选D.
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3.“
1 ������ 1 <1”是“ >1”的( 3 ������
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思考画指数函数的图像及应用指数函数的图像解决问题时应注 意什么? 解题心得1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图像,应抓住三个关键 1 1 , 点:(1,a),(0,1), ������ . 2.与指数函数有关的函数图像的研究,往往利用相应指数函数的 图像,通过平移、对称变换得到其图像. 3.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函 数图像数形结合求解.
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考点一
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考点三
解析: (1)∵x∈(0,4),∴x+1>1,∴f(x)=x+1+������+1-5≥2 9-5=1, 当且仅当 x+1=������+1,即 x=2 时,取等号.∴a=2,b=1.
1 3
9
9
因此 g(x)=2|x+1|,该函数图像由 y=2|x|向左平移一个单位得到, 结合图像知 A 正确. (2)当 x<1 时,由 e ≤2,得 x<1;当 x≥1 时,由������ ≤2, 解得 1≤x≤8,综合可知 x 的取值范围为 x≤8.
解析:因为 a=3 = 9 > 9 =b,c=121 =11 > 9 =a,所以 c>a>b.
思考如何进行指数幂的大小比较?
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