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*
选择。如果有
u (x) 是 R n 上的二次连续可微函数 i 1, 2,..., n u (x) / xi 0
u (x) 在 x * 点上的加边海塞矩阵的秩不
等于0。
那么 x* (p0 , y 0 ) 在 (p0 ,y 0 ) 可微。
Slide 24
例 u( x1 , x2 ) [ x1 x2 ]
连续实值函数则存在最上的连续函数
0 B B 非空 p 0 B 是有界、闭集
B
是紧集
存在最大值
Slide 11
Ch 1.3.1 解的性质：唯一性
如果偏好关系满足严格凸性，可行集B是凸集， 那么最优解唯一
证明：
假设x1，x 2都是最优选择,有u(x1 ) u (x 2 )
(1 r ) y1 y2
p1 1 r
（未来值形式）
p2 1
Slide 7
Ch 1.3 消费者选择问题
例：跨期消费选择
c2
(1 r ) y1 y2
c2 (1 r ) y1 y2 (1 r )c1
y2
c1
y1
y1 y2 /(1 r )
Slide 8
III、 xi 0, 0
Slide 18
Ch 1.3.2 解的充要条件
内点解必要条件
如果： x 0
*
x 0,
* i
i 1, 2,..., n
u (x * ) * * xi ( pi ) 0 xi u (x * ) * pi 0 xi
Slide 17
Ch 1.3.2 解的充要条件
必要条件：Kuhn-Tucker条件
L u (x * ) * pi 0 I、 xi xi
u (x * ) xi* ( * pi ) 0 xi
II、 y p x 0
*
* (y p x* ) 0
偏好的严格凸性
存在性
唯一性
偏好的递增性
瓦尔拉斯法则
x(p, y ) : Bp,y R
——马歇尔需求函数
Slide 16
Ch 1.3.2 解的充要条件
偏好具有良好性质， (x) 可导 u
MaxxX
u (x)
s.t : p x y
L (x,) u(x) ( y p x)
* *
L 1 2 * 1 0 x2
10 1 x1 -2 0=0
x1 10
Slide 32
作业3
1.20、1.22、1.23、1.24、1.25、 1.26、1.27
Slide 33
Ch 1.3 消费者选择问题
融资约束
c2
借不到钱
c2
存款利率rs < 贷款利率rc
y2 y1
c1
y1 y2 /(1 rc )
c1
Slide 9
Ch 1.3 消费者选择问题
消费者问题
MaxxX
u (x)
s.t : p x y
Slide 10
Ch 1.3.1 解的性质：存在性
A 1.10 : 如果定义域 D是一个紧集，那么
i 1, 2,..., n （1）
Slide 19
Ch 1.3.2 解的充要条件
内点解必要条件 x* 0
偏好的严格单调性
u (x * ) 0（几乎处处成立） xi u (x * ) / xi * 0 i 1, 2,..., n pi
y p x =0
p
y
p
Slide 25
Kuhn-Tucker条件
L u (x ) * pi 0 I、 xi xi
*
u (x * ) xi* ( * pi ) 0 xi
II、
y px 0
*
(y px ) 0
* *
III、 xi 0, 0
Slide 26
令x tx
1
0
u (x* )(x1 x* ) ＝ * p (x1 -x* ) * (y - y )=0
——与u(x)拟凹性矛盾
Slide 23
Ch 1.3.2 解的充要条件
定理1.3：需求函数的可微性
(p0 ,y 0 ) 0 下消费者的最优 设 x 0 在
i 1, 2,..., n
y p x =0
*
Slide 21
Ch 1.3.2 解的充要条件
证明 u (x) 拟凹
u(x)(x
1
x ) 0 如果 u (x ) u(x )
0
1 0
设u(x* )存在， x * , *） 是(1.10)的解 （ 有： u (x* ) *p
角点解
如果 x 0 那么最优解位于可行集的角上
*
u (x * ) * pi 0 xi
0
Slide 27
角点解
拟线性偏好
Slide 28
角点解
线性偏好 u ( x1 , x2 ) x1 x2
( p1 , p2 ) (1, 2)
y 10
4 2
x(p,y)=(10,0)
Ch 1.3 消费者问题
Ch 1.3 消费者选择问题
最优解的性质 最优解的充分必要条件
Slide 2
Ch 1.3 消费者选择问题
分析框架
· 偏好关系： X Rn 消费集：
B 可行集： X
*
*
最优化选择：
x B 使得 x B 都有x · x
Slide 3
Ch 1.3 消费者选择问题
y px =0
*
Slide 30
角点解
1、x1 x2 0
y p (0,0)=y 0
x 2、 1 0, x2 0 x2 0 1 2 0 1/ 2
* *
L 1 * 1/ 2 0 x1
Slide 31
角点解
x 3、 1 0, x2 0 x1 0 1 0 1
L ( x1 , x2 , )
1/
[ x1 x2 ]1/ ( y p1 x1 p2 x2 )
1/( p1 1) y x1 (p, y ) 1/( 1) p1 p1/( 1) 2
x2 (p, y )
p
1/( 1) 2 1/( 1) 1/( 1) 1 2
*
（2）
Slide 20
Ch 1.3.2 解的充要条件
定理1.4：内点解必要条件的充分性 * 如果效用函数连续拟凹，在 x 可导， 而且 (p,y) 0，* 0。那么满足以下必 x 要条件的解一定是消费者的效用最大 化解。
(1.10)
u (x ) * pi 0 xi
*
x1 2 4
Slide 29
角点解
L ( x1 , x2 , ) x1 x2 (10 x1 2 x2 )
L 1 * 0 x1 L 1 2 * 0 x2
* x1 (1 * ) 0 * x2 (1 2 * ) 0
xi 0, 0
Ch 1.3.1 解的性质：唯一性
非严格凸偏好
x2
x tx (1 t )x t [0,1]
t 1 2
x1 x2
x1
Slide 14
Ch 1.3.1 解的性质：瓦尔拉斯法则
瓦尔拉斯法则
偏好的递增性
px
*
y
Slide 15
Ch 1.3.1 解的性质
偏好的理性、连续性
p x =y
*
Slide 22
Ch 1.3.2 解的充要条件
假设 x 不是消费者的效用最大化选择 ,即
*
x R , u(x ) u(x )
0 n 0 *
0 *
s.t. p x y
0
u (x) 连续性 t [0,1]，使得
u (tx ) u (x ) s.t. p tx 0 y
预算 y 行动规则
制度、政府规制等 交易规则：完全竞争性市场
p 0
n 预算集： Bp,y {x R + px y}
Slide 6
Ch 1.3 消费者选择问题
例：跨期消费选择
X {x=(c1 , c2 ) c1 0, c2 0}
收入：y ( y1 , y2 ) 利率： r 预算约束： (1 r )c1 c2
B是凸集 x tx (1 t )x B · ：严格凸 u (x)是严格拟凹函数
t 1 2
u (x t ) min[u(x1 ), u(x 2 )]
——与假设矛盾假设不成立解是唯一的
Slide 12
Ch 1.3.1 解的性质：唯一性
非凸偏好
x2
x1 x2
x1
Slide 13
假设1.2
消费者偏好具有完备性、可传递 性、连续性和严格单调性。
形式理性
可以由一连续、严格递增的拟凹 实值函数 u (x)表示。
Slide 4
Ch 1.3 消费者选择问题
例：跨期消费选择
u (c1 , c2 ) c1 c2
