函数的应用3.2.2函数模型的应用实例学案(含解析)新人教A版必修1

函数模型的运用实例(第一课时)【教学设计】一、教学内容本课是普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版）数学1（必修），3.2.2 函数模型的运用实例的第一课时。

经过对例3，例4的教学让先生学习领会利用已知的函数模型解决成绩和建立确定的函数模型解决理论成绩，进而掌握建立数学模型解决理论成绩的普通步骤。

二、教学目标知识与技能目标：1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据，发掘隐含条件，建立函数模型；2.领会分段函数模型的理论运用，规范分段函数的标准方式；3.掌握用待定系数法求解已知函数类型的函数模型；4.学会验证数学模型与理论情况能否吻合的方法及运用数学模型进行预测。

5.会利用建立的函数模型解决理论成绩，掌握求解函数运用题的普通步骤；6.培养先生浏览理解、分析成绩、数形结合、抽象概括、数据处理、数学建模等数学能力.过程与方法目标：1.经过实例分析，巩固练习,结合多媒体教学，培养先生读图的能力；2.经过实例使先生感受函数的广泛运用，领会建立函数模型解决理论成绩的普通过程；3.浸透数形结合、转化与化归等数学思想方法.情感、态度与价值观目标：1.经过切身感受数学建模的过程，让先生体验数学在理论生活中的运用，领会数学来源于生活又服务于生活，体验数学在解决理论成绩中的价值和作用，激发学习数学的兴味与动力，加强学好数学的认识。

2.培养先生的应意图识、创新认识和勇于探求、勤于考虑的精神，优化先生的理性思想和求真务虚的科学态度。

三、教材分析本课时共有2个例题，其中例3是根据图形信息建立确定的函数模型解决理论成绩；例4 是利用已知的确定的函数模型解决理论成绩，并验证求解出的数学模型与理论情况的吻合程度及用数学模型进行预测。

分别在汽车和人口成绩这两种不同运用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决理论成绩.教学重点1.根据图形信息建立函数模型解决理论成绩.2.用待定系数法求解函数模型并运用.3.将理论成绩转化为数学成绩的过程。

优质资料---欢迎下载3.2 函数模型及其应用3.2.2 函数模型的应用实例 【使用说明及预习指导】1. 认真阅读教材106101-P ，再思考完成课本第P104的练习题；2. 限时40分钟，规范完成探究案，适当总结。

【重点难点】重点：选择适当的函数模型解决问题；难点：建立确定性函数模型和拟合函数模型解决实际问题。

【学习目标】1.能选择适当的函数模型解决问题;2.通过函数模型的应用实例的学习，熟悉解决问题的过程和方法，总结规律，提炼解题步骤。

探 究 案 探究一 给出函数模型的问题例1 某电子公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数R(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x>400.其中x 是仪器的月产量．(1)将利润f(x)表示为月产量x 的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)思考题1 (1)某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( ) A ．200副 B ．400副 C ．600副D ．800副(2)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p 与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c(a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 ( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟探究二 根据条件建立函数模型例2 某市原来民用电价为0.52 元/kwh.换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55 元/kwh ，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35 元/kwh.对于一个平均每月用电量为200 kwh 的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少kwh?思考题2 为了预防甲流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y＝(116)t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．探究三 已知图象或表格的应用问题例3 甲，乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如图所示．甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第6年2万只． 乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减少到第6年10个，请你根据提供的信息说明： (1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由． (3)哪一年的规模最大？说明理由．思考题 3 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检验，病毒细胞的总数与天数的数据记录如下表：已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过10的时候，小白鼠将会死亡，如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(2)第二次最迟应在何时注射该种药物,才能维持小白鼠的生命?(答案精确到天，已知lg2＝0.301 0) 小结：。

3.2.2 函数模型的应用实例（学案）一、学习目标 1．会利用给定的函数模型解决实际问题．(重点)2．能够建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题．(重点、难点)二、自主学习教材整理 函数模型的应用阅读教材P 101～P 106，完成下列问题．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f 1x ，x ∈D 1f 2x ，x ∈D 2……f n x ，x ∈D n三、合作探究 例1. 商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？【自主解答】 (1)设购买人数为n 人，羊毛衫的标价为每件x 元，利润为y 元，则x ∈(100,300]，n ＝kx ＋b (k ＜0)，∵0＝300k ＋b ，即b ＝－300k ，∴n ＝k (x －300)，y ＝(x －100)k (x －300)＝k (x －200)2－10 000k (x ∈(100,300])，∵k ＜0，∴x ＝200时，y m ax ＝－10 000k ，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．(2)由题意得，k (x －100)(x －300)＝－10 000k ·75%，即x 2－400x ＋37 500＝0，解得x＝250或x ＝150.所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．归纳总结：在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.例2. 声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg I 10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)． (1)平时常人交谈时的声强约为10－6W/m 2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7W/m 2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？【自主解答】 (1)当I ＝10－6W/m 2时，代入得Y ＝10lg 10－610－12＝10lg 106＝60，即声强级为60分贝．(2)当Y ＝0时，即为10lg I 10－12＝0，所以I 10－12＝1，I ＝10－12 W/m 2， 则能听到的最低声强为10－12 W/m 2.(3)当声强I ＝5×10－7W/m 2时，声强级Y ＝10lg 5×10－710－12＝10lg (5×105)＝50＋10lg 5＞50，所以这两位同学会影响其他同学休息．归纳总结：1．有关对数函数的应用题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．2．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y ＝N (1＋p )x ，(其中N 为基数，p 为增长率，x 为时间)的形式．例3. 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足于f (t )＝⎩⎨⎧15＋12t ，t 25－12t ，t (元)． (1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．【自主解答】 (1)由已知，由价格乘以销售量可得：y ＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫15＋12t －2t ，0≤t ≤10⎝⎛⎭⎫25－12t －2t ，10<t ≤20，＝⎩⎪⎨⎪⎧ t ＋－t ，0≤t ≤10－t －t，10<t ≤20，＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋10t ＋1 200，0≤t ≤10t 2－90t ＋2 000，10<t ≤20， (2)由(1)知①当0≤t ≤10时，y ＝－t 2＋10t ＋1 200＝－(t －5)2＋1 225，函数图象开口向下，对称轴为t ＝5，该函数在t ∈[0,5)递增，在t ∈(5,10]递减，∴y m ax ＝1 225(当t ＝5时取得)，y min ＝1 200(当t ＝0或10时取得)．②当10＜t ≤20时，y ＝t 2－90t ＋2 000＝(t －45)2－25，图象开口向上，对称轴为t ＝45，该函数在t ∈(10,20]递减，t ＝10时，y ＝1 200，y min ＝600(当t ＝20时取得)，由①②知y m ax ＝1 225(当t ＝5时取得)，y min ＝600(当t ＝20时取得)． 归纳总结：1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各界点，即明确自变量的取值区间．2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别求出来，再将其合到一起． 四、学以致用1．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点 由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t 小时内向居民供水总量为1006t (0≤t ≤24)，求供水 几小时后，蓄水池中的存水量最少.【解】 设t 小时后，蓄水池中的存水量为y 吨，则y ＝400＋60t －1006t (0≤t ≤24)，设u ＝t ，则u ∈[0，26]，y ＝60u 2－1006u ＋400＝60⎝⎛⎭⎫u －5662＋150， ∴当u ＝566，即t ＝256时，蓄水池中的存水量最少． 2．目前某县有100万人，经过x 年后为y 万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出y 关于x 的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．【解】 (1)当x ＝1时，y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；当x ＝2时，y ＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；当x ＝3时，y ＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；……故y 关于x 的函数解析式为y ＝100(1＋1.2%)x (x ∈N *)．(2)当x ＝10时，y ＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.故10年后该县约有112.7万人．(3)设x 年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x ＝120，解得x ＝log 1.012120100≈16. 故大约16年后该县的人口总数将达到120万．3．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15 000元.(1)写出每人需交费用y 关于人数x 的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？【解】 (1)当0＜x ≤30时，y ＝900；当30＜x ≤75，y ＝900－10(x －30)＝1 200－10x ；即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 900，0<x ≤301 200－10x ，30<x ≤75. (2)设旅行社所获利润为S 元，则当0＜x ≤30时，S ＝900x －15 000；当30＜x ≤75，S ＝x (1 200－10x )－15 000＝－10x 2＋1 200x －15 000；即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30－10x 2＋1 200x －15 000，30<x ≤75. 因为当0＜x ≤30时，S ＝900x －15 000为增函数，所以x ＝30时，S m ax ＝12 000；当30＜x ≤75时，S ＝－10x 2＋1 200x －15 000＝－10(x －60)2＋21 000，即x ＝60时，S m ax ＝21 000＞12 000.所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润． 五、自主小测1则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2 x2．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．3．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元．4．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1)5．已知A ，B 两地相距150 km ，某人开汽车以60 km/h 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50 km/h 的速度返回A 地． (1)把汽车离开A 地的距离s 表示为时间t 的函数(从A 地出发时 )，并画出函数的图象；(2)把车速v (km/h )表示为时间t (h )的函数，并画出函数的图象．参考答案1.【解析】 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2 x ，可知满足题意．【答案】D2.【解析】 因为L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120Q 2＋30Q －2 000＝ －120(Q －300)2＋2 500，所以，当Q ＝300时，L (Q )的最大值为2 500万元． 【答案】 2 5003.【解析】 设彩电的原价为a ，∴a (1＋0.4)·80%－a ＝270，即0.12a ＝270，解得a ＝2 250.∴每台彩电的原价为2 250元．【答案】 2 2504.【解析】 由题意，得14(1＋1.25%)x －2 008>20，即x －2 008>lg 107lg 8180＝1－lg 74lg 3－3lg 2－1＝28.7， 解得x >2 036.7，又x ∈N ，故x ＝2 037.【答案】 2 0375.【解】 (1)①汽车由A 地到B 地行驶t h 所走的距离s ＝60t (0≤t ≤2.5)．②汽车在B 地停留1小时，则汽车到A 地的距离s ＝150(2.5＜t ≤3.5)．③由B 地返回A 地，则汽车到A 地的距离s ＝150－50(t －3.5)＝325－50t (3.5＜x ≤6.5)．综上，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60t t ＜t 325－50t ＜t ，它的图象如图(1)所示．(1) (2) (2)速度v (km/h )与时间t (h )的函数关系式是v ＝⎩⎪⎨⎪⎧ t ＜t －＜t ，它的图象如图(2)所示．。

3.2.2函数模型的应用实例班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课前预习· 预习案【温馨寄语】有人说：“人人都可以成为自己的幸运的建筑师。

”愿你们在前行的道路上，用自己的双手建造幸运的大厦【学习目标】1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义2．恰当运用函数的三类表示法(解析式、图象、表格)并借助信息技术解决一些实际问题.【学习重点】1．将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义2．集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合【学习难点】1．运用数学模型分析解决实际问题2．对数函数应用题的基本类型和求解策略知识拓展· 探究案【交流展示】1．某市原来民用电价为0.52元kW·s，其中表示燕子的耗氧量.(1)当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？11．今有一组数据，如表所示：下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是A.指数函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数12．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：第被感染的计算机数量(则下列函数模型中能较好地反映计算机在第天被感染的数量与之间的关系的是A. B.C. D.【学习小结】1．幂函数模型解析式的两种类型及求解方法(1)已知函数解析式形式：用待定系数法求解.(2)解析式形式未知：审清题意，弄清常量，变量等各元素之间的关系，列出两个变量，之间的解析式，进而解决问题.2．二次函数模型应用题的解法(1)理解题意，设定变量，.(2)建立二次函数关系，并注明定义域.(3)运用二次函数相差知识求解.(4)回归到应用问题中去，给出答案.3．一次函数模型的特点和求解方法(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解.4．对一次函数解析式的三点说明解析式：.(1)一次项的系数.(2)时，是的正比例函数，即为非零常数).(3)时，直线必经过一、二象限；时，直线必经过原点；时，直线必经过三、四象限.5．数据拟合问题的三种求解策略(1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解.(2)列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较.(3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决.6．对数函数应用题的基本类型和求解策略(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解.(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义.7．指数型函数模型在生活中的应用(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率总理常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为 (其中为基础数，为增长率，为时间)的形式.(2)增长率问题多抽象为指数函数形式，当由指数函数形式来确定相差的量的值要求不严格时，可以通过图象近似求解.是数学常用的方法之一.【当堂检测】1．某商人购货，进价按原价扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数与按新价让利总额之间的函数关系是 .2．已知镭经过100年，质量便比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过年后的剩留量为，则的函数解析式为 .3．某企业实行裁员增效.已知现有员工人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万，但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员人后年纯收益为万元.(1)写出关于的函数关系式，并指出的取值范围.(2) 当时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁.)4．某工厂今年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可选用二次函数或指数型函数(其中，，为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问选择以上哪个函数作为模型较好？并说明理由.答案【交流展示】1．D2．D3．B4．y＝R－100Q－20000.(1)0≤Q≤400时，，当Q＝300时，y m a x＝25 000.(2)Q＞400时，y＝60 000－100Q＜20 000，综合(1)(2)，当每年生产300件产品时，总利润最大，为25 000元.5．B6．A7．108．(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2％＝100×(1＋1.2％)，2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)2，3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)3，……x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)x(x∈N).(2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)10＝100×1.01210≈112.7(万人).(3)设x年后人口将达到120万人，即可得到＝120，.所以大约16年后该城市人口总数达到120万人.9．A10．(1)由题意，当燕子静止时，它的速度υ＝0，所以，，解得：O＝10，则燕子静止时的耗氧量是10个单位.(2)由耗氧量O＝80得：.11．C12．C【当堂检测】1．(x∉N*)2．3．(1)由题意可得y＝(a－x)(1＋0.01x)－0.4x，因为，所以.即x的取值范围是中的自然数.(2)因为，且140＜a≤280，所以当a为偶数时，，y取最大值.当a为奇数时，，y取最大值.(因为尽可能少裁人，所以舍去.)答：当员工人数为偶数时，裁员人，才能获得最大的经济效益，当员工人数为奇数时，裁员人，才能获得最大的经济效益.4．设y1＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则有解得所以f(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3.①设y2＝g(x)＝mn x＋p则有解得所以g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝135.②比较①，②知，g(4)＝1.35更接近4月份的实际产量1.37万件.故选择y＝－0.8×0.5x＋1.4作为模型较好.。

3.2.2 函数模型的应用实例自主学习1．掌握几种初等函数的应用．2．理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法． 3．了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤．1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)________________________________________________； (2)________________________________________________； (3)________________________________________________． 2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)________________；(2)________；(3)______________； (4)______________； (5)________；(6)______________．对点讲练已知函数模型的应用问题【例1】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x >400).其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)变式迁移1 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t的函数关系式为y ＝(116)t －a (a 为常数)如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．自建函数模型的应用问题【例2】某公司每年需购买某种元件8 000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货(不分进货量大小)费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？变式迁移2 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．函数模型的选择【例3】某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝ab x＋c(其中a，b，c为常数，a≠0)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．变式迁移3 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)(1)Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t ；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．1．解答应用题的基本步骤： (1)设：合理、恰当地设出变量；(2)写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题； (3)算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；(4)答：将数学问题的解还原到实际生活问题中，给出最终的答案． 2．在中学阶段，用函数拟合解决实际问题的基本过程是：课时作业一、选择题1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是( )A ．V ＝log 2tB ．V ＝log 12t C ．V ＝t 2－12D ．V ＝2t －22．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( )A ．2 400元B ．900元C ．300元D ．3 600元3. 一个高为H ，盛水量为V 0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h 时水的体积为V ，则函数V ＝f (h )的图象大致是( )4．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡() A．3人B．4人C．5人D．6人二、填空题5．60年国庆，举国欢腾，某旅游胜地的客流量急速增加．某家客运公司为招揽游客，推出了客运定票的优惠政策：如果行程不超过100 km，票价是0.4元/km；如果超过100 km，则超过100 km的部分按0.3元/km定价．则客运票价y元与行程公里x km之间的函数关系是______________________________．6. 右图表示一位骑自行车和一位骑摩托车者在相距为80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用6 h(含途中休息的1 h)，骑摩托车者用了2 h．有人根据这个函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上骑自行车者．其中正确的序号是__________________________________________________．三、解答题7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不赔本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是多少．8．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，凡多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？3.2.2函数模型的应用实例答案自学导引1．(1)利用给定的函数模型解决实际问题 (2)建立确定性的函数模型解决问题 (3)建立拟合函数模型解决实际问题2．(1)收集数据 (2)描点 (3)选择函数模型 (4)求函数模型 (5)检验 (6)用函数模型解决实际问题对点讲练【例1】 解 (1)设每月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000 (0≤x ≤400)60 000－100x (x >400).(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，∴当x ＝300时，有最大值25 000；当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )<60 000－100×400<25 000. ∴当x ＝300时，f (x )取最大值．∴每月生产300台仪器时，利润最大， 最大利润为25 000元．变式迁移1 (1) y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110， t >110(2)0.6解析 (1)设y ＝kt (k ≠0)，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10， ∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．∴y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110，t >110.(2)由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6， 故至少需经过0.6小时．【例2】 解 设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入， 设为c 元，则y ＝500n ＋2×8 000n ×12＋c＝500n ＋8 000n ＋c ＝500(n ＋16n )＋c＝500(n －4n )2＋4 000＋c ，当且仅当n ＝4n，即n ＝4时，y 取得最小值且y min ＝4 000＋c .所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．变式迁移2 解 (1)设污水处理池的长为x m ，则宽为200xm ，总造价为y .∴y ＝400(2x ＋2×200x )＋248×200x ×2＋80×200＝800(x ＋324x )＋16 000.∵⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<200x≤16，∴12.5≤x ≤16.故其定义域为[12.5,16]．(2)先讨论y ＝800(x ＋324x)＋16 000在[12.5,16]上的单调性．设x 1，x 2∈[12.5,16]且x 1<x 2，则y 1－y 2＝800[(x 1－x 2)＋324(1x 1－1x 2)]＝800(x 1－x 2)(1－324x 1x 2)．∵x 1，x 2∈[12.5,16]，x 1<x 2， ∴x 1·x 2<162<324.∴1－324x 1x 2<0，x 1－x 2<0.∴y 1－y 2>0.∴此函数在[12.5,16]上单调递减． ∴当x ＝16时，y min ＝45 000(元)，此时，宽为20016m ＝12.5 m.∴当池长为16 m ，宽为12.5 m 时， 总造价最低为45 000元．【例3】 解 设f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝p ＋q ＋r ＝1，f (2)＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f (3)＝9p ＋3q ＋r ＝1.3.解得p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7. ∴f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，∴f (4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3. 设g (x )＝ab x ＋c (a ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝ab ＋c ＝1，g (2)＝ab 2＋c ＝1.2，g (3)＝ab 3＋c ＝1.3.解得a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4. ∴g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4，∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.经比较可知，用g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4作为模拟函数较好． 变式迁移3 解 (1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的， 故只能选取Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c 108＝a ×1102＋b ×110＋c 150＝a ×2502＋b ×250＋c， 解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， ∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg. 课时作业 1．C 2.A3．D [考察相同的Δh 内ΔV 的大小比较．] 4．B [设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝172时，y 有最小值，此时共放水34×172＝289(升)，可供4人洗澡．]5．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.4x ，0<x ≤100，40＋0.3(x －100)，x >1006．①②解析 ③错，骑摩托车者出发1.5 h 时走了60 km ，而从图中可看出骑自行车者走的距离大于60 km.7．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3 000＋20x －0.1x 2≤25x 0<x <240解得150≤x <240，x ∈N *∴生产者不赔本时的最低产量是150台．8．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550(个)．∴当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． (2)当0<x ≤100时，P ＝60； 当100<x <550时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－0.02x ； 当x ≥550时，P ＝51.∴P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x <550，51， x ≥550(x ∈N ＋)．(3)设销售商一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为S 元，则 S ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x <550，11x ， x ≥550(x ∈N ＋)当x ＝500时，S ＝22×500－0.02×5002＝6 000(元)；当x ＝1 000时，S ＝11×1 000＝11 000(元)．∴当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果一次订购1 000个零件时，利润是11 000元．。

[读教材·填要点]函数模型的应用(1)用已知的函数模型刻画实际问题；(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测，其基本过程如图所示：[小问题·大思维]1．在实际问题中常用的函数模型如下表所示，你能写出它们对应的解析式吗？提示：提示：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)2．在利用上述函数模型解决问题时，函数的定义域除了使函数解析式有意义之外，还需注意什么？提示：实际问题有意义．例如：“非负”，“取整”，“上、下限”等．已知函数模型的应用题[例1] 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示．(1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式P ＝f (t )，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q ＝g (t )；(2)规定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)[自主解答] (1)由图1可得，市场售价与时间的函数关系为f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－t ，0≤t ≤200，2t －300，200<t ≤300.由图2可得，种植成本与时间的函数关系为g (t )＝1200(t －150)2＋100,0≤t ≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意，得h (t )＝f (t )－g (t )，即h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1200t 2＋12t ＋1752，0≤t ≤200，－1200t 2＋72t －1 0252，200<t ≤300.当0≤t ≤200时，配方整理，得h (t )＝－1200(t －50)2＋100， 所以，当t ＝50时，h (t )取得区间[0,200]上的最大值100； 当200<t ≤300时，配方整理，得h (t )＝－1200(t －350)2＋100， 所以，当t ＝300时，h (t )取得区间[200,300]上的最大值87.5.综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t ＝50, 即从二月一日开始的第50天，上市的西红柿纯收益最大．——————————————————求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：图表中的第一步：实际问题――→分析、联想抽象、转化建立函数模型，这一步应从审题开始，通过分析和抽象找出题设与结论的数学关系，进一步转化为函数问题来求解，即建立合理的数学模型，因此，这一步称之为数学转化；第二步：建立函数模型――→数学推演数学结果，这一步就是采用数学的方法，解决函数模型所表述的数学问题．因此，这一步称之为数学解决；第三步：数学结果――→反译实际结果，这一步就是将数学结论转化为实际问题的结论．——————————————————————————————————————1．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．解析：高峰时间段200千瓦时的用电电费为： 50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)； 低谷时间段100千瓦时的用电电费为： 50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．合计：148.4(元)．答案：148.4指数函数、对数函数及幂函数模型[例2] 某公司拟投资100万元，有两种获利的方式可选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年收回本金和利息；另一种是年利率9%，按复利计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？并求比另一种投资5年可多得利息多少元？[解] 本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150万元．本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86万元．由此可见，按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元．——————————————————指数函数、对数函数的应用常与增长率相结合进行考查.在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N·1＋p x其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间的形式.另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可转化应用.——————————————————————————————————————2．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为：M ＝lg A －lg A 0.其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级．(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？解：(1)M ＝lg A －lg A 0＝lg AA 0＝lg 200.002＝4. 即这次地震的震级为4级．(2)⎩⎪⎨⎪⎧5＝lg A 5－lg A 08＝lg A 8－lg A 0，lg A 8A 5＝3，A 8A 5＝1 000. 即所求是1 000倍．[例3] 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示.年序最大积雪深度x/cm灌溉面积y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的图象；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？[自主解答] (1)描点作图如图甲：(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝ax＋b.取其中的两组数据(10.4,21.1)(24.0,45.8)，代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧21.1＝10.4a ＋b ，45.8＝24.0a ＋b ，用计算器可算得a ≈1.8，b ≈2.4.这样，我们得到一个函数模型y ＝1.8x ＋2.4.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．(3)由y ＝1.8×25＋2.4，求得y ＝47.4，即当最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地47.4 hm 2.——————————————————对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是：1根据原始数据，绘出散点图.2通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线. 3根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.4利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据. ——————————————————————————————————————3．某汽车公司曾在2013年初公告：2013年销量目标定为39.3万辆；且该公司董事长极力表示有信心完成这个销量目标．2010年，某汽车年销量8万辆； 2011年，某汽车年销量18万辆； 2012年，某汽车年销量30万辆．如果我们分别将2010,2011,2012,2013年定义为第一，二，三，四年，现在有两个函数模型：二次函数型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ≠1，b >0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y 与第x 年的关系？解：建立年销量y (万辆)与第x 年的函数，可知函数图象必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)． (1)构造二次函数型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点的坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为4.7. (2)构造指数函数型g (x )＝a ·b x＋c ，将点的坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1253，b ＝65，c ＝－42，则g (x )＝1253·(65)x－42，故g (4)＝1253×(65)4－42＝44.4，与计划误差为5.1.由上可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y (万辆)与第x 年的关系.解题高手 妙解题 同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！图(1)是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图(2)是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧Cm D 是半圆，曲边形ABCD 的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为3，设AB ＝2x ，BC ＝y .(1)写出y 关于x 的函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度最大．[巧思] 凹槽的强度最大，即横截面的面积最大．只要将凹槽横截面的面积S 表示成x 的函数，然后求函数的最值即可解决．[妙解] (1)易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为πx ，∴4＝2x ＋2y ＋πx ，∴y ＝4－2＋πx2.依题意知：0<x <y ，得0<x <44＋π，∴y ＝4－2＋πx 2(0<x <44＋π)．(2)依题意，设凹槽的强度为T ，横截面的面积为S ，则有T ＝3S ＝3(2xy －πx22)＝3(2x ·4－2＋πx 2－πx 22)＝3[4x －(2＋3π2)x 2]＝－34＋3π2(x －44＋3π)2＋834＋3π.∵0<44＋3π<44＋π，∴当x ＝44＋3π时，凹槽的强度最大．1．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( )A ．y ＝(0.957 6)x100B ．y ＝(0.957 6)100xC ．y ＝(0.957 6100)xD ．y ＝1－(0.042 4)x100解析：设镭一年放射掉其质量的t %，则有95.76%＝1·(1－t )100，t ＝1－(95.76100)1100，∴y ＝(1－t )x＝(0.9576)x100.答案：A2．一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( )解析：从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A；从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B；从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D.答案：C3．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是( )解析：水深h 越大，水的体积V 就越大，故函数V ＝f (h )是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的．答案：D4．某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出以后的头两天每天收费0.8元，以后每天收费0.5元，那么一张光盘在租出后的第10天应收租金________元．解析：设第n (n ∈N *)天收费y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.8n ， n ≤2且n ∈N *1.6＋0.5n －2，n ≥3且n ∈N*n ＝10时，y ＝1.6＋0.5×8＝5.6(元)．答案：5.65.如图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：通话2分钟，需付电话费________元；通话5分钟，需付电话费________元；如果t ≥3分钟，电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系式是________．解析：t ＝2时，y ＝3.6，t ＝5时，y ＝6. 当t ≥3时，设y ＝kt ＋b .代入(3,3.6)，(5,6)得k ＝1.2，b ＝0， ∴y ＝1.2t (t ≥3)．答案：3.6,6，y ＝1.2t (t ≥3)6．在泰山早晨观日出气温较低，为方便游客，一家旅馆备有120件棉衣提供出租，每件日租金50元，每天都客满．五一假期即将来临，该旅馆准备提高租金．经调查，如果每件的日租金每增加5元，则每天出租会减少6件，不考虑其他因素，棉衣日租金提到多少元时，棉衣日租金的总收入最高？解：设每件棉衣日租金提高x个5元，即提高5x元，则每天棉衣减少6x件，又设棉衣日租金的总收入为y元．∴y＝(50＋5x)×(120－6x)．∴y＝－30(x－5)2＋6 750∴当x＝5时，y max＝6 750，这时每件棉衣日租金为50＋5x＝50＋5×5＝75元．∴棉衣日租金提到75元时，棉衣日租金的总收入最高，最高为6 750元．一、选择题1．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )解析：图反映随着水深h 的增加，注水量V 增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．答案：B2．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的110，要使通过玻璃的光线强度为原来的13以下，至少需要重叠这样的玻璃块数是(lg3＝0.477 1)( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析：设原光线的强度为a ，重叠x 块玻璃后，通过玻璃的光线强度为y ，则y ＝a (1－110)x (x ∈N *)， 令y <13a ，即a (1－110)x <13a ，∴(910)x <13，∴x >lg 13lg 910. ∵lg 13lg 910＝－lg32lg3－1＝－0.477 12×0.477 1－1≈10.4.即x >10.4. 答案：B3．令有一组实验数据如下表所示：u1.5 4.04 7.5 12 18.01则能体现这些数据关系的函数模型是( ) A ．u ＝log 2t B ．u ＝2t－2 C ．u ＝t 2－12D ．u ＝2t －2解析：可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示．由散点图可知，图象不是直线，排除选项D ；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A ；当t ＝3时，2t －2＝23－2＝6，排除B ，故选C.答案：C4．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么( )A ．人可在7秒内追上汽车B ．人可在10秒内追上汽车C ．人追不上汽车，其间距最少为5米D ．人追不上汽车，其间距最少为7米解析：设汽车经过t 秒行驶的路程为s 米，则s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7，当t ＝6时，d 取得最小值为7. 答案：D 二、填空题5.对某种产品市场产销量情况如图所示，其中l 1表示产品各年年产量的变化规律；l 2表示产品各年的销量情况，下列叙述：①产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原计划进行生产； ②产品出现了供大于求的情况，价格将趋跌；③产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量．你认为较合理的叙述是________．解析：由图可知，对相同的年份，年产量>销售量，即出现了供大于求的情况，库存积压越来越严重，因而②③正确，这种情况下不宜再按原计划生产，故①不正确．答案：②③6.如图，开始时桶1中有a 升水，如果桶1向桶2注水，桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y 1＝a ·e －nt(n 为常数，t 为注水时间)，那么桶2中的水就是y 2＝a －a ·e－nt.如果由桶1向桶2中注水5分钟时，两桶中的水相等，那么经过________分钟桶1中的水只有a8.解析：由于t ＝5时两桶中的水相等， 所以a ·e－n ×5＝a －a ·e－n ×5，所以(e －n )5＝12，即e －n＝(12)15.由条件可得a ·e－nt＝a8，即(12)t 5＝(12)3，所以t ＝15. 答案：157．某地2002年年底人口为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长率为1%，要使2013年年底该地区人均住房面积至少为7平方米，平均每年新增住房面积至少为________万平方米(精确到1万平方米，参考数据：1.019≈1.093 7,1.0110≈1.104 6,1.0111≈1.115 7)．解析：设平均每年新增住房面积为x 万平方米，则 500×6＋11x5001＋1%11≥7，解得x ≥82.27≈82.答案：828.2011年1月29日广州日报：香港出现了第2宗甲型H1N1死亡病例．为了预防甲型H1N1流感，某学校教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比．药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝(116)t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．解析：(1)由图可设y ＝kt (0≤t ≤0.1)，把点(0.1,1)分别代入y ＝kt 和y ＝(116)t －a，得k ＝10，a ＝0.1.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ， 0≤t ≤110，116t －0.1， t >110，(2)由(116)t －0.1<0.25＝(116)12得t >0.6.答案：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ， 0≤t ≤110116t －0.1， t >110(2)0.6 三、解答题9．某学校准备购买一批电脑，在购买前进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6000元．甲公司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算．(1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y 甲、y 乙与购买台数x 之间的函数关系式； (2)根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合算？解：(1)y 甲＝⎩⎪⎨⎪⎧6 000x 0≤x ≤10，4 200x ＋18 000 x ≥11，y 乙＝5 100x (x ∈N )，(2)当x ≤10时，显然y 甲＞y 乙；当x ＞10时，令y 甲＞y 乙，即4 200x ＋18 000>5 100x ， 解得：x ＜20.故当购买的台数不超过20台时，应选择乙公司，当购买台数超过20台时，应选择甲公司．10．2013年，某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S (万元)与销售时间t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系)．根据图象提供的信息解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S (万元)与时间t (月)之间的函数关系式；(2)求截止到第几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第八个月公司所获利润是多少万元？解：(1)由二次函数图象可知，设S 与t 的函数关系式为S ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)． 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝－1.5，4a ＋2b ＋c ＝－2，25a ＋5b ＋c ＝2.5，或 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝－1.5，4a ＋2b ＋c ＝－2，c ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝－1.5，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝0.无论哪个均可解得a ＝12，b ＝－2，c ＝0； ∴所求函数关系式为S ＝12t 2－2t ； (2)把S ＝30代入，得30＝12t 2－2t ， 解得t 1＝10，t 2＝－6(舍去)，∴截止到第10个月末公司累积利润可达到30万元；(3)把t ＝7代入，得S ＝12×72－2×7＝212＝10.5(万元)， 把t ＝8代入，得S ＝12×82－2×8＝16(万元)．则第八个月获得的利润为16－10.5＝5.5(万元)，∴第8个月公司所获利润为5.5万元．。

3．2.2 函数模型的应用实例[学习目标] 1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题．[预习导引]1．解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：2．数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．解决学生疑难点要点一用已知函数模型解决问题例1 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43，0＜x ≤10，59，10＜x ≤16，－3x ＋107，16＜x ≤30.(1)开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5 min 与开讲后20 min 比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min 时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？ 解 (1)当0＜x ≤10时，f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43＝－0.1(x －13)2＋59.9.故f (x )在(0,10]上单调递增，最大值为f (10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；当16＜x ≤30时，f (x )单调递减，f (x )＜－3×16＋107＝59.因此，开讲后10 min ，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min. (2)f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，f (20)＝－3×20＋107＝47＜53.5＝f (5)．因此，开讲后5 min 学生的接受能力比开讲后20 min 强一些． (3)当0＜x ≤10时，令f (x )＝55， 则－0.1×(x －13)2＝－4.9，(x －13)2＝49. 所以x ＝20或x ＝6.但0＜x ≤10， 故x ＝6.当16＜x ≤30时，令f (x )＝55，则－3x ＋107＝55. 所以x ＝17 13.因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为17 13－6＝11 13＜13(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．规律方法 解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答． 解决此类型函数应用题的基本步骤是： 第一步：阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景．在此基础上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题．第二步：根据所给模型，列出函数关系式．根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果． 第四步：再将所得结论转译成具体问题的解答．跟踪演练1 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为：y ＝112 800x 3－380x ＋8(0＜x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ 解 当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(小时)，要耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫112 800×403－380×40＋8×2.5＝28.75(升)，即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油28.75升． 要点二 建立函数模型解决实际问题例2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)解 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13200－x ，20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x 200－x ，20≤x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )＝－13x 2＋2003x ＝－13(x 2－200x )＝－13(x －100)2＋10 0003，所以当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时． 规律方法 根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示．跟踪演练2 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M (亿元)和N (亿元)，它们与投资额t (亿元)的关系有经验公式：M ＝13 t ，N ＝16t ，今该公司将用3亿元投资这两个项目，若设甲项目投资x 亿元，投资这两个项目所获得的总利润为y 亿元． (1)写出y 关于x 的函数表达式； (2)求总利润y 的最大值．解 (1)当甲项目投资x 亿元时，获得利润为M ＝13x (亿元)，此时乙项目投资(3－x )亿元，获得利润为N ＝16(3－x )(亿元)，则有y ＝13x ＋16(3－x )，x ∈[0,3]．(2)令x ＝t ，t ∈[0，3]，则x ＝t 2， 此时y ＝13t ＋16(3－t 2)＝－16(t －1)2＋23.∵t ∈[0，3]，∴当t ＝1，即x ＝1时，y 有最大值为23.即总利润y 的最大值是23亿元．1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A ．310元B ．300元C ．390元D ．280元 答案 B解析 由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y ＝500x ＋300(x ≥0)，当x ＝0时，y ＝300.2．小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( )答案 D3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x 次后得到细胞的个数y 与x 的函数关系是( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x －1C ．y ＝2xD ．y ＝2x ＋1答案 D解析 分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x 次后y ＝2x ＋1个．4．长为3，宽为2的矩形，当长增加x ，宽减少x2时，面积达到最大，此时x 的值为________．答案 12解析 S ＝(3＋x )(2－x 2)＝－x 22＋x2＋6＝－12(x －12)2＋498，∴x ＝12时，S max ＝498.1.函数模型的应用实例主要包括三个方面： (1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定性的函数模型解决实际问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．一、基础达标1．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km ，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b ＜a )，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为( )答案 C解析 由题意可知，s 是关于时间t 的一次函数，所以其图象特征是直线上升．由于中间休息了一段时间，该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段．然后原路返回，图象下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升．2．国内快递1 000 g 以内的包裹的邮资标准如下表：运送距离x (km)0＜x ≤ 500 500＜x ≤ 1 000 1 000＜x ≤ 1 500 … 邮资y (元)5.006.007.00…( )A ．5.00元B ．6.00元C ．7.00元D ．8.00元 答案 C解析 由题意可知，当x ＝1 200时，y ＝7.00元．3．某机器总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝x 2－75x ，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为( ) A ．30 B ．40 C ．50 D ．60 答案 C解析 设安排生产x 台，则获得利润f (x )＝25x －y ＝－x 2＋100x＝－(x －50)2＋2 500.故当x ＝50台时，获利润最大．4．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x ＜A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( ) A ．75,25 B ．75,16 C ．60,25 D ．60,16 答案 D解析 由题意知，组装第A 件产品所需时间为c A ＝15，故组装第4件产品所需时间为c4＝30，解得c ＝60.将c ＝60代入cA＝15，得A ＝16. 5．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋xb ，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )A ．a ＝45，b ＝－30B ．a ＝30，b ＝－45C ．a ＝－30，b ＝45D ．a ＝－45，b ＝－30 答案 A解析 设生产x 吨产品全部卖出，获利润为y 元， 则y ＝xQ －P ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x b －⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000＋5x ＋110x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000(x ＞0)． 由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.∴⎩⎨⎧－a －52⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－30.6．已测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．答案 甲解析 对于甲：x ＝3时，y ＝32＋1＝10，对于乙：x ＝3时，y ＝8，因此用甲作为拟合模型较好．7．武汉市的一家报摊主从报社买进《武汉晚报》的价格是每份0.40元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，他应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？解 设报摊主每天买进报纸x 份，每月利润为y 元(x 为正整数)． 当x ≤250时，y ＝0.1×30×x ＝3x . 当250≤x ≤400时，y ＝0.1×20×x ＋0.1×10×250－(x －250)×0.32×10＝2x ＋250－3.2x ＋800 ＝1 050－1.2x . 当x ≥400时，y ＝0.1×20×400＋0.1×10×250－(x －400)×0.32×20－(x －250)×0.32×10＝800＋250－6.4x ＋2 560－3.2x ＋800 ＝－9.6x ＋4 410.当x ≤250时，取x ＝250，y max ＝3×250＝750(元)． 当250≤x ≤400时，取x ＝250，y max ＝750(元)． 当x ≥400时，取x ＝400，y max ＝570(元)．故他应该每天从报社买进250份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大值为750元． 二、能力提升8．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt .已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( ) A ．125 B ．100 C ．75 D ．50 答案 C解析 由已知，得49a ＝a ·e －50k ，∴e －k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49501.设经过t 1天后，一个新丸体积变为827a ，则827a ＝a ·e－kt 1， ∴827＝(e －k)t 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49501t， ∴t 150＝32，t 1＝75. 9．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N 90中，t 表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N 表示每分钟打出的字数．则当N ＝40时，t ＝________(已知lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)． 答案 36.72解析 当N ＝40时，则t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4090＝－144lg 59＝－144(lg 5－2lg 3)＝36.72. 10.如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y (m 2)与时间t (月)的关系y ＝a t，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2； ③浮萍从4 m 2蔓延到12 m 2需要经过1.5个月； ④浮萍每月增加的面积都相等． 其中正确的命题序号是________． 答案 ①②解析 由图象知，t ＝2时，y ＝4，∴a 2＝4，故a ＝2，①正确．当t ＝5时，y ＝25＝32＞30，②正确， 当y ＝4时，由4＝2t 1知t 1＝2，当y ＝12时，由12＝2t 2知t 2＝log 212＝2＋log 23.t 2－t 1＝log 23≠1.5，故③错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．11．在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．根据甲提供的资料有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如下图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额． (2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 解 设该店月利润余额为L ，则由题设得：L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000.①由销量图易得：Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50，14≤P ≤20，－32P ＋40，20＜P ≤26，代入①式得 L ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50P －14×100－5 600，14≤P ≤20，－32P ＋40P －14×100－5 600，20＜P ≤26，(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450(元)， 此时P ＝19.5(元)；当20＜P ≤26时，L max ＝1 2503(元)，此时P ＝613(元)．故当P ＝19.5(元)时，月利润余额最大，最大余额为450元． (2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20. 即最早可望在20年后脱贫． 三、探究与创新12．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12h t，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20 min ，那么降温到35℃时，需要多少时间？ 解 由题意知40－24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12h 20， 即14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12h 20，解得h ＝10.故T －24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1210t . 当T ＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1210t ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1210t ＝1164. 两边取对数，用计算器求得t ≈25.因此，约需要25 min ，可降温到35℃.13．今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：小时)间的关系为P ＝P 0e －kt (P 0，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数)，其中P 0为t ＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．(1)求常数k 的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11.)解 (1)由已知，当t ＝0时，P ＝P 0；当t ＝5时，P ＝90%P 0.于是有90%P 0＝P 0e －5k .解得k ＝－15ln 0.9(或0.022)． (2)由(1)得，知P ＝t P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0.9In 510e .当P＝40%P0时，有0.4P0＝tP⎪⎪⎭⎫⎝⎛0.9In51e.解得t＝ln 0.41 5ln 0.9≈－0.9215×－0.11＝4.600.11≈41.82.故污染物减少到40%至少需要42小时．。