第二章 光纤传输的基本理论

分
形 式
E 电场强度矢量 H 磁场强度矢量 D 电位移矢量
磁感应强度矢量
D dS dV B
B dS 0
S
S

J 传导电流密度矢量
式中，D E；B H ；，分别为介质的介电常数 和磁导率。
是自由电荷体密度。
1
a
2 3
o1z源自图 2.2.3 光纤中的子午光线
图中n１、n２分别为纤芯和包层的折射率。要使光完全限制在光纤 内传输，光线在纤芯包层分界面上的入射角 须满足： 。 即：
n2 n2 sin 0 ， 0 arcsin( ) n1 n1 n2 2 ) n1
0
或 sin 0 1 (
x 包层n 2 r 纤芯n 1

z
y
图 光纤中的圆柱坐标
E ( H )各分量的含义
Ez ( H z )： 光纤轴（纵）向分量
r x
Er ( H r )：光纤端面径向分量
E ( H )：光纤端面沿圆周方向分量
y

z
1 E 2 E ( E ) 0 2 (3) t (3)、(4)的解为 2 1 H 2 H ( ) H 0 2 (4) t E (r , , z, t ) E (r , ) exp[ j (t z )] (5) H (r , , z, t ) H (r , ) exp[ j (t z )] (6)
2
1 E 2 E ( E ) 0 2 (3) t 2 1 H 2 H ( ) H 0 2 (4) t
2
（3）、（4）是光在光纤中传播的基本方程。
光纤具有圆柱形结构，选用圆柱坐标(r，φ，z)，使 z轴与光纤中心轴线一致， 如下图所示。
（a） 导波模
（b） 衬底辐射模
（c） 辐射模
二、薄膜波导的特征方程
形成导波模的条件： 1、θ＞θ12＞θ13 2、满足横向谐振条件 即满足为薄膜波导的特征方程
2n1kd cos 213 212 2m
式中：k


c

2
m 0，2， (2.1.1) 1，
ω为光波的角频率，c为光速，λ为光的波长，d为波 导薄膜的厚度，2ψ13、 2ψ12为在波导薄膜上下界面 处发生全反射引起的相位变化；m为模指数。
二、子午光线和斜光线
光纤中传输的光线可以分为两大类：子午光线和斜光线。 子午光线:经过光纤轴线的平面称为子午面。光纤中子午面 有许多个。在图 2.2.2(a)中画出了一个子午面MN。位于 子午面内的光线称为子午光线。子午光线是与光纤轴线相 交的平面折线，子午光线在光纤端面上的投影是一条过光 纤中心的直线。 斜光线:光纤中不在子午面内传播的光线都是斜光线。斜光 线与光纤的轴线既不平行也不相交，其光线传输轨迹是空 间螺旋折线。斜光线在光纤端面上的投影是不过光纤中心 的折线。如图 2.2.2(b)所示。此折线可为左旋，也可为 右旋，但它和光纤的中心轴是等距的。

： XP与XC的夹角，表示折射光线在界面上的入射角


C'
由于α，β所在的平面相互垂直，根据立体几何公式有：
cos cos cos
式中， 表示XY与XP的夹角，即XY与光纤界面过X点的法线的夹角。 将 α＝ 90－θ´代入（2.2.7）式，可得：

cos sin cos
在端面上，SX的入射角为θ０，折射角为θ ´ ，由折射定律可得：
n0 sin 0 n1 sin cos
在光纤内部，光线在纤芯和包层的界面上反射，入射角为， 发生全反射的条件是：
n2 sin n1
由此可以导出斜光线在光纤端面入射时的最大孔径角
：
斜
sin 斜
n1 n2
图 2.2.1 光纤的结构和折射率分布图
一、相对折射率差
一、相对折射率差 相对折射率差定义为：
2 n12 n2 2n12
在均匀光纤中导波模是靠光线在纤芯和包层交界 面上发生全反射而传播的。这种传播行为与平面介质 波导相同，由于光纤的交界面是圆柱形的，使得光纤 中光线传播比平面波导中光线传播更复杂。
式中， 和 H 分别为电场和磁场矢量，可在直角 E
坐标中用分量形式表示，（1）、（2）式也可用分 量式（在x，y，z方向的关系式）表示。
E 1 1 2 E 2 ( ) E ( ) 0 (1) t 2 H 1 1 2 H 2 ( ) H ( ) 0 (2) t 由于光纤是非磁性介质，在光纤介质中μ处处相等， 有μ＝μ0，因而有 ，由 (1)、(2)式得 0
常见光纤名词
数值孔径（Numeric Aperture）
NA sin 0 n0 sin 0 n1 sin 0 空气中，n0 1 sin 0 n1 sin 0 n1 n2
2 2
n n2
2 1
2
θ
接收锥
四、斜光线在均匀光纤中传输
θ0 :入射角 ∠XYP＝θ´ ：折射角（轴线角） β：XP与XC的夹角 α＝ 90－θ´ ：XY与XP的夹角
c
平面介质波导的色散方程可写为：
n1
2

d cos 13 12 m
对一定的模式，m是定值。当工作波长λ变化时，为 满足色散方程，平面波的入射角θ必须做相应的变化， 才能形成导波模。λ增加，θ减小。当θ减小到
c 时，导波模转化为辐射模。导波模被截止。对应 于 c 的波长称为该模式的截止波长。
(a)子午光线
(b)斜光线
图 2.2.2 光纤中的光线
三、子午光纤在均匀光纤中传输
当子午光线入射到纤芯界面时，入射光线、反射光线 和分界面的法线三者均在子午面内，如图 2.2.3所示。 因而研究子午光线在光纤中的传播可简化为研究光线 在子午面内的传播。
3 2 y
c
c
1
l L x 纤芯 n 1 包层 n 2
临界角
入射角=反射角
n1 n2 n1 > n2
θ1
900 n1 n2
n1 n2
θ2
临界角
全反射
第一节 平面介质波导的光线理论
平面介质波导是光波导最基本、最简单的结构形式。
最简单的平面介质波导是 三层平板结构，如图 2.1.1 所示。中间一层称为薄膜 层，折射率为 n1，厚度为 d。上面一层称为覆盖层， 折射率为 n3。下面一层称 为衬底层，折射 率为 n2。为使光波集中在 薄膜中，n2和 n3必须小于 n1。如果 n2＝n3，这种波 导称为对称平面介质波导 （或对称薄膜波导）。一 般情况有：n1＞n2＞n3。
式中， 0
90 0 ，又n0 sin n1 sin ,
2 1 2
设n0为空气的折射率。则
n0 sin 0 n1 sin 0 n n2
只有入射角 γ≤γ０的子午光线才可以在光纤中传输，为 光纤所收集。γ０的大小反映了光纤收集光的能力，通常 称 γ０为最大孔径角。

三、波导模式的轴向相位传播系数
用β替换θ，可将(2.1.1)式表示为导波模传播系数β随 角频率ψ变化的方程，即薄膜波导的色散方程。
平面波导的图解如下 1 2
(a)对称波导(n1=n3)基模解
(b)非对称波导基模解
(c)平面波导基模解
曲线1，2的交点即方程的解
平面波导色散曲线
利用色散方程得出某一m值下的传播系数β随角频率 ψ变化的曲线，就是平面介质波导的色散曲线。
图2.1.1 三层平板介质波导示意图
一、平面介质中波导中光的传输模式 二、薄膜波导的特征方程 三、波导模式的轴向相位传播系数
四、导波模的截止波长
一、平面介质中波导中光的传输模式
根据入射角的不同，平面波在两均匀介质交界面上， 发生反射时，有三种不同的情况，从而可以得到两种 不同的传输模。假设薄膜覆盖层、薄膜衬底界面的全 反射临界角分别为θ13、θ12。 １．导波模 波导内传输光的入射角θ满足θ＞θ12＞θ13时，光在波 导薄膜的上下两个界面上都要发生全反射。这样，光 就被限制在波导薄膜中沿z方向传播，传播路径如图 2.1.1(a)所示。这种模式称为导波模或导模。
导波模
连续谱
2.1.4 平面波导色散曲线
四、导波模的截止波长
在金属波导中，轴向相位传播常数 β＝０意味着导波截止。 而在介质波导中，当平面波的入射角θ小于波导边界的临界 角时，光线不能发生全反射，部分光会离开波导，形成辐 射模，即认为波导中导波模是截止的。所以定义 （ 为全反射的临界角）为导波模的截止条件。 c
根据斯托克斯公式（1）和高斯公式（2）， 将积分形式化成微分形式。
a dl ( a ) dS
a dS ( a )dV
S
L
S
2、 微分形式
B E t D H J t D B 0
第二章 光纤 传输的基本理论
第一节 平面介质波导的光线理论 第二节 均匀光纤的光线理论 第三节 均匀光纤的波动理论 第四节 渐变型光纤的光线理论 第五节 渐变型光纤的波动理论 光线理论和光波动理论。光线理论是用几何 光学的方法来研究光在光纤中的传输特性。 光波动理论是以电磁波理论为基础。
光的基本知识
3、光纤中的麦克斯韦方程组
0, J 0
B E t D H t D 0 B 0
二、光在光纤中传输的基本方程
经推导，得到电磁波在非均匀介质中传播的基本 方程或矢量亥姆霍兹方程。 2 E 1 1 2 E 2 ( ) E ( ) 0 (1) t 2 H 1 1 2 H 2 ( ) H ( ) 0 (2) t