现代控制理论总复习

复习重点
第一章控制系统的状态空间描述
1 控制系统状态空间表达式
2 由系统的物理模型建立状态空间表达式
3 由系统的微分方程建立状态空间表达式
4 离散时间系统的状态空间表达式
第二章线性控制系统的分析
1 线性定常系统的运动分析
2 状态转移矩阵
3 线性定常非齐次状态方程的解
4 线性离散时间系统的运动分析
5 线性连续时间系统的离散化
第三章线性控制系统能控性和能观测性
1 线性连续系统的能控性及判据
2 线性连续系统的能观测性及判据
3 对偶原理概念
4 线性系统的能控标准型和能观测标准型
5 线性定常离散系统能控性与能观测性判据
6 线性系统的能控性结构分解和能观测性结构分解
7 传递函数矩阵的（能控、能观测、最小）实现
第四章控制系统的稳定性分析
1 李亚普诺夫稳定性定义
2 李亚普诺夫稳定性基本定理
3 线性系统李亚普诺夫稳定性分析
4 非线性系统李亚普诺夫稳定性分析
第五章线性定常系统综合
1 状态反馈和输出反馈
2 闭环系统的极点配置
3 状态观测器的实现
i。

现代控制理论复习（*为重点）第一章一、*线性定常连续系统如何建立状态空间表达式：状态方程，输出方程1.*实际系统，运动方程状态方程：状态变量的一阶导数构成的方程组输出方程：状态变量的个数与独立储能元件有关2.*模拟结构图，方框图状态变量从右往左设，每个积分器的输出为一个状态变量，输入为状态变量的导数。

3.*传递函数，微分方程（有无数种）典型的状态空间表达式（为了研究方便）：能控标准型（两种），能观标准型（两种），约旦标准型。

其中任意两种状态空间表达式都是状态变量线性变换的关系。

1）能控标准I型：A：友矩阵b：（0,0,1）c:（b0,b1,b2）d：（传递函数分子分母阶次相同时有）2）能观标准I型：A：b:（长除法）c：根据对偶原理写出：能控标准II型/能观标准II型3）约旦标准型模拟结构图并联形式无重根，有重根*如何变换成约旦阵(对角阵)？如何构成线性变换阵T？1.无重根1）代数余子式（参考）2）定义（特征值,特征矢量）：T=(p1,p2…)2.有重根广义特征矢量：T=（p1,p2…）*状态空间表达式求传递函数W(s)=公式二、*非线性系统线性化处理给平衡状态进行线性化处理三、线性定常离散系统：G(z) G H*求传递函数G(z)=四、时变系统，传递函数阵不考第二章*线性定常系统方程求解一、状态转移矩阵的性质二、*四种方法求状态转移矩阵：1．定义法（展开）：开放形式2．*拉式反变换3．*对角阵/对角化4．凯莱哈密顿定理三、离散系统定义，*z反变换*线性定常连续系统离散化直接离散，近似离散时变，非线性系统不考第三章判定系统的能控性：1.模拟结构图2.对角阵/约旦阵（A,B）3.*能控判定阵M4.*能控标准型5.部分传递函数(sI-A)^(-1)B无零极点对消判定系统的能观性1.模拟结构图2.对角阵/约旦阵（A,C）3.*能观判定阵N4.*能观标准型5.部分传递函数C(sI-A)^(-1)无零极点对消线性定常系统的对偶关系*能控能观分解1.能控判定阵的秩→判断有几个变量能控→使线性变换阵非奇异的(n-m)个列矢量2.能观判定阵的秩→同上3.如果一个状态空间表达式能控则能变换成能控标准型（*能控II 简单）4.如果一个状态空间表达式能观则能变换成能观标准型（*能观I 简单）*最小实现所有状态变量既能控又能观如何寻找？1.能控能观分解→能控能观2. （了解）传递函数→能控（观）标准型→按能观（控）性分解→找出能控能观第四章现代控制理论：平衡状态稳定性（平衡点可能不止一个）第一法（间接法）线性定常系统→看特征值→左半平面→稳定非线性系统线性化→看特征值→左半平面，右半平面，虚轴特征值和闭环极点在传递函数无零极点对消时是相同的第二法（直接法）李雅普诺夫稳定，渐进稳定，大范围渐进稳定，不稳定李雅普诺夫函数（能量函数）V判断初始状态要有能量（V>0）V通常取二次型形式比较简单渐进稳定：V>0，对V求导，求得后：1）V的导数小于02）V的导数小于等于0→判断在x不为0时，V的导数恒不为零3）判断是否大范围渐进稳定如何求平衡状态？x的导数=A*x=0 (不管b*x)李雅普诺夫方法在线性定常连续系统渐进稳定依据第五章三种反馈控制方式，相应性能，对能控能观的影响，改善系统性能极点任意配置：原系统完全能控→状态反馈任意极点配置输出反馈不能实现任意极点配置（特别是单输入输出）原系统完全能观→输出到x导数端反馈实现任意极点配置系统镇定（特征值均在左半平面）状态反馈：不能控子系统渐进稳定输出到x导数端反馈：不能观子系统渐进稳定输出反馈：解耦问题（能解耦标准形不考）*状态解耦，积分型解耦系统状态观测器状态重构状态观测器的输入？输出？能构建的条件：完全能观或不能观子系统渐进稳定如果完全能观：可以通过G调节x的估计值接近x的速度全维状态观测器：可实现极点配置降维状态观测器（不考）习题1.状态空间表达式求传递函数（或传递函数阵）零极点对消，说明该系统（不）能控（不）能观。

现代控制理论复习总纲判断题部分 5题×2＝10一、（10分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在括号里打√，反之打×。

1、具有对角标准形状态空间描述的系统可以看成是由多个一阶环节串联组成的系统。

(× ) 2、传递函数的状态空间实现不唯一的一个主要原因是状态变量选取不唯一。

(√ ) 3、状态变量是用于完全描述系统动态行为的一组变量，因此都具有物理意义。

( × ) 4、输出变量是状态变量的部分信息，因此一个系统状态能控意味着系统输出能控。

(× ) 5、等价的状态空间模型具有相同的传递函数。

(√ )6、若传递函数存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控的。

(× )7、若线性系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则它是大范围渐近稳定的。

( √ )8、若一线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统的任意一个状态出发的状态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡状态。

(√ )9、状态反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能，但不改变系统的能控性和能观性。

(× ) 10、如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们就可以断定该系统是不稳定的。

(× ) 11.描述系统的状态方程不是唯一的。

√12.用独立变量描述的系统状态向量的维数不是唯一的。

×13.对单输入单输出系统，如果1()C sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控或者不可观测。

√ 14.对多输入多数出系统，如果1()sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控。

× 15.李雅普诺夫直接法的四个判定定理中所述的条件都是充分条件。

√16.李雅普诺夫函数是正定函数，李雅普诺夫稳定性是关于系统平衡状态的稳定性。

√ 17.线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的可控性不变。

√ 18.用状态反馈进行系统极点配置可能会改变系统的可观测性。

第二章线性系统的数学描述数学模型可以有许多不同的形式，较常见的有三种：第一种是：把系统的输入量和输出量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入输出描述，或外部描述；第二种是：不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态空间描述或内部描述；第三种是：用比较直观的方块图（结构图）和信号流图模型进行描述。

910 2.1 线性系统的时域数学模型()(1)(2)121()()()()()n n n n n c t a c t a c t a c t a c t ---+++++()(1)(2)0121()()()()()m m m m m b r t b r t b r t b r t b r t ---=+++++ (2.1) 式中，()r t 和()c t 分别是系统的输入信号和输出信号，()()n c t 为()c t 对时间t 的n 阶导数；i a (1,2,)i n =和j b (0,1,)j m =是由系统的结构参数决定的系数。

2.2 传递函数11m n b s a s --++++++11 式中1011()m m m m M s b s b s b s b --=++++1011()nn n n N s a s a s a s a --=++++()M s 和()N s 分别称为传递函数()G s 的分子多项式和分母多项式。

2.5 线性系统的状态空间描述A Buy C du =+⎧⎨=+⎩x x x(2.3) 2.5.2 状态空间表达式与传递函数的关系1()()G s C sI A B D -=-+(2.4)12 2.5.3 状态空间表达式的建立情形一： 线性微分方程中不含输入的导数项，传递函数没有零点()(1)11n n n n y a y a y a y u --++++= (2.5)情形二 线性微分方程含有输入的导数(不超过3阶)，传递函数有零点 ()(1)()(1)11011n n n n n n n n y a y a y a y b u b u b u b u ----++++=++++ (2.6) 1011111()()n n n nn n n nb s b s b s b Y s U s s a s a s a ----++++=++++(2.7)13 Chp.9 状态空间系统响应、可控性与可观性9.1 线性定常系统的响应已知线性定常连续系统状态方程的一般形式为0()()(), (0)t A t B t =+=x x u x x(2.8) 状态变量的初始值为0x ，控制作用为()t u 。

《现代控制理论》复习题一、填空题1动态系统的状态是一个可以确定该系统____________ 的信息集合。

这些信息对于确定系统_ 的行为是充分且必要的。

2 .以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交____________________________ 空间，称之为_________________ 。

3. _______ 定义：线性定常系统的状态方程为双t) Ax(t) Bu(t),给定系统一个初始状态x(t0)X o,如果在b t。

的有限时间区间［tit］内,存在容许控制u(t),使x(t i) 0,则称系统状态在t o时刻是________ 的;如果系统对任意一个初始状态都, 称系统是状态完全_________ 的。

x(t) Ax(t) Bu(t)4•系统的状态方程和输出方程联立，写为y(t)Cx(t) Du(t)，称为系统的__________________________ ,或称为系统动态方程，或称系统方程。

5•当系统用状态方程x Ax Bu表示时，系统的特征多项式为。

7 0 02(I)& 0 5 0 x0 u6.设有如下两个线性定常系统0 0 19则系统(1 ) , ( II )700 0 1(II ) &050 x 4 0 u00 1 7 5的能控性为，系统(1 ) ,系统(II ) < 7 •非线性系统x f(X)在平衡状态x e处一次近似的线性化方程为& Ax，若A的所有特征值______________________________ ，那么非线性系统& f(x)在平衡状态X e处是一致渐近稳定的。

8•状态反馈可以改善系统性能，但有时不便于检测。

解决这个问题的方法是：____________ 一个系统，用这个系统的状态来实现状态反馈。

9•线性定常系统齐次状态方程解x(t) to)x(t o)是在没有输入向量作用下，由系统初始状态X(t o) X。

《现代控制论》复习内容考试注意事项：1. 不准携带任何答案和书籍，违者零分处理。

2. 需携带电子计算器3. 希望大家认真复习一、 复习内容第一章：1.1状态变量及状态空间表达式1.2 状态空间表达式的模拟结构图1.3 状态空间表达式的建立（一）其中重点复习：从系统的机理出发建立状态空间表达式（例1-5直流他励电动机），1.4 状态空间表达式的建立（二）其中重点复习：传递函数中没有零点时的实现。

1.6 从状态空间表达式求传递函数第二章2.1线性定常齐次状态方程的解（定义法求解，标准型求解，利用拉氏反变换求解，应用凯莱-哈密顿定理求解，在做题时可以采用其中一种）2.5 离散时间系统状态方程的解（需要仔细看理论部分的求解过程，具体可以参考例2-11）第三章3.1 能控性的定义3.2 线性定常系统的能控性判别（转换成标准型进行判别，或者直接由A 和B 判别，可参考例3-1，例3-2，例3-3，例3-4，例3-5，考试时可选一种方式进行判别）3.9 传递函数矩阵的实现问题（重点复习最小实现，可参考例3-19，例3-20）第四章4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义4.2李雅普诺夫第一法（可参考例4-1，例4-2）4.3李雅普诺夫第二法（例4-4，例4-5，例4-6，例4-7，例4-8）4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用（例4-9，例4-10，例4-11）二、 课后习题答案第一章（解题方法可以参考书中例题和讲义，略）第二章2.4：求解过程可参考书中的四种方法123311243312cos 2sin 2(1)2sin 2cos 2()()(2)()()Att t t t At t t t t t t e t t e e e e e e e e e -----⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤+-=⎢⎥-+⎣⎦2.6：解223300220111,A 002!3!1(),01()()(0)()()1110101101111211()[1,0]12At t t A e I At A t A t t t x t t x t Bu d t t d t t t y t x t t τττττ⎡⎤==++++⎢⎥⎣⎦⎡⎤Φ=⎢⎥⎣⎦=Φ+Φ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤++⎢⎥=⎢⎥+⎣⎦==+⎰⎰由将带入得带入注：求解方法也可以采用三种法2.11解首先写出 01()(1)(2)G s s s =++的状态空间表达式 011()(1)(2)G s s s =-++ []000101,02111A B C -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=-求其状态转移矩阵0200tA t t e e e --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对000(,,)A B C 进行离散化，包括零保持器。

《现代控制理论》复习资料《现代控制理论》复习资料题型一：已知系统传函，求①能控标准型、能观标准型②约旦标准型例题：P155 3-4、3-9解题步骤：1）根据传函→能控能观标准型传函：0122111012211)(a s a s a s a s s s s s W n n n n n n n n n +++++++++=--------- ββββ① 根据传函有无零极点对消判断是否能观能控② 写出能控标准Ⅰ型(以三阶为例)---=210100010a a a A=100b ][210βββ=c③ 写出能观标准Ⅱ型(以三阶为例)---=210100100a a a A =210βββb ]100[=c2）根据能控标准型→约旦标准型① 求λi ，Pi0||=-A I λ，求得λiλi 互异时，λiPi=APiλi 有重根时，λ1P 1-AP 1=0λ2P 2-AP 2=-P 1λ3P 3-AP 3=-P 2② 求T,T -1T=(P 1，P 2...P n )③ 求T -1AT,T -1B,CTBu T ATz T Z 11--?+=Du CTz y +=题型二：已知状态空间表达式，求①画模拟结构图②判断能控性、能观性③系统传函例题：P56 1-7解题步骤：1）状态空间表达式→模拟结构图P152）状态空间表达式→判断能控、能观性见题型四3）状态空间表达式→传函方法一：根据模拟结构图直接写出传函 (见P23 图)方法二：① 先求1)()(---A sI A sI 、② D b A sI C s W +-=-1)()(题型三：已知状态空间表达式，①求At e t =)(φ②u(t),求x(t)例题：P69 例2-8 P87 例2-6,2-4解题步骤：1)求)(t φ方法一：化为约旦标准型1-=T Te e At At① 求λi ，Pi② 求T,T -1③ 1-=T Te e At At方法二：拉氏反变换])[(11---=A sI L e At① 求1)()(---A sI A sI 、② ])[(11---=A sI L e At方法三：用凯莱-哈密顿定理① 求λi② 求αi (t)③ 两个特征值：I t A t e At )()(01αα+=三个特征值：I t A t A t e At )()()(012ααα++=2)求x(t)τττφφd Bu t x t t x t)()()0()()(0?-+=题型四：已知状态空间表达式(含参数)，判断能控性、能观性(三阶) 例题：P154 3-1解题步骤：方法一：化为约旦表达式A 的特征值互异部分，B 中各行不全为0，则能控；C 中各列不全为0，则能观；A 的特征值相同部分，B 中每个约旦块最后一行不全为0，则能控；C 中每个约旦块第一行不全为0 ，则能观。

1．系统状态变量选择原则：标量相互独立、个数等于微分方程的阶数。

2．X点=Ax+Bu Y=Cx+Du；A系统矩阵B输入矩阵C 输出矩阵D直接转移矩阵G系数矩阵H输出反馈矩阵3．线性系统的状态模拟结构图的三个基本环节是：积分器、加法器、比例器。

4．线性系统状态方程的建立有哪四种方法：a 根据系统的机理建立b 由系统微分方程建立c 由方框图导出d 由传递函数导出。

5．I(t)的意义：状态转移矩阵；计算方法有：a直接计算法b拉氏反变换法c特征值法d化e At为A的有限项法。

6．线性定常系统X点=Ax+Bu的能控性意义是：给定一个初始状态，X(t0)在t> t0的有限区间[t0 ，t1]内，能找到控制u(t1)=0，使X(t1)=0则称系统状态在t0时刻是能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全能控的，其能控阵Qc=[B AB A2BA3B A(N-1)B] Rank(Qc)=n7．若线性定常系统的A为对角标准型，系统状态完全能控的判据是：B波阵中不包括元素全为零的行；若线性定常系统的A为约当标准型系统状态完全能控的判据是：B波阵中对应于每个约当块Ji(i=1，2，3…k)最后一行元素不全为零。

8．线性定常连续系统E(A，B，C，D)输出完全能控的充要条件是：输出能控性矩阵Rank [CB CABCA2B CA3B CA(N-1)B D]=m，m为系统输出矢量的维数。

9，线性定常系统E(A，B，C)状态能观测的意义：如果在[t0t1]内，通过观测Y(t),能唯一确定系统的初始状态X(t0)，则称系统在Xo是能观测的，若系统对任意的初始状态都能观测，则称系统是状态完全能观测的。

判断系统完全能观测的充要条件是：Rank(Qo)= Rank [C CA CA2CA3B CA(N-1)]T=n。

10，SISO线性定常系统E(A，B，C)，若其传递函数中没有零极点相消现象那么系统一定是既能控又能观测的；若有零极点相消现象那么系统视状态量的选择不同，它有可能是不能控的、不能观测的、亦或是不能控又不能观测的。