现代控制理论知识点复习第一章 控制系统的状态空间表达式１．状态空间表达式 n 阶 DuCx y Bu Ax x +=+=&1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯: A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，D 直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x &；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。
实现是非唯一的。
方法：微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式。
注意：a 如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。
b 模拟结构图的等效。
如前馈点等效移到综合反馈点之前。
c 对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。
5．状态矢量的线性变换。
也说明了状态空间表达的非唯一性。
不改变系统的特征值。
特征多项式的系数也是系统的不变量。
特征矢量i p 的求解：也就是求0)(=-x A I i λ的非零解。
状态空间表达式变换为约旦标准型（Ａ为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。
a 互异根时，各特征矢量按列排。
b 有重根时，设3阶系统，1λ＝2λ，3λ为单根，对特征矢量1p ，3p 求法与前面相同， 2p 称作1λ的广义特征矢量，应满足121)(p p A I -=-λ。
系统的并联实现：特征根互异；有重根。
方法：系统函数→部分分式展开→模拟结构图→状态空间表达式。
6．由状态空间表达式求传递函数阵)(s WD B A sI C s W ++-=-1)()( r m ⨯的矩阵函数［ij W ］ij W 表示第j 个输入对第i 个输出的传递关系。
状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵)(s W 是不变的。
子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵)(s W 。
方法：画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。
第二章 控制系统状态空间表达式的解一．线性定常系统齐次状态方程（Ax x=&）的解：0)(x e t x At = 二．矩阵指数函数——状态转移矩阵1．At e t =)(φ表示)0(x 到)(t x 的转移。
5个基本性质。
2．At e 的计算：a 定义；b 变换为约旦标准型 AT T J 1)(-=Λ或,11--Λ=T Te T Te e Jt t At 或c 用拉氏反变换])[(11---=A sI L e At 记忆常用的拉氏变换对2222212cos ;sin ;)(1;!;1;1;1)(1;1)(ωωωωωδ+↔+↔+↔↔+↔↔↔↔-+-s s t s t a s te s n t a s e s t s t t at n n at d 应用凯莱-哈密顿定理三．线性定常系统非齐次方程（Bu Ax x +=&）的解：τττφφd Bu t x t t x t )()()0()()(0⎰-+=。
可由拉氏变换法证明（当然给出拉氏变换法的求解思路）。
求解步骤：先求At e t =)(φ，然后将B 和u(t)代入公式即可。
特殊激励下的解。
第三章 线性控制系统的能控性和能观性一．能控性及能观性定义（线性连续定常）二．线性定常系统的能控性判别（具有一般系统矩阵的多输入系统）判别方法（一）：通过线性变换 Bu Ax x +=& Bu T ATz T z11--+=→& 1．若A 的特征值互异，线性变换（Tz x =）为对角线标准型，AT T 1-=Λ，能控性充要条件：BT 1-没有全为0的行。
变换矩阵T 的求法。
2．若A 的特征值有相同的，线性变换（Tz x =）为约当标准型，AT T J 1-=，能控性充要条件：①对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的B T 1-中最后一行元素没有全为0的。
②B T 1-中对应于互异特征根部分，各行元素没有全为0的。
变换矩阵T 的求法。
这种方法能确定具体哪个状态不能控。
但线性变换比较复杂，关键是求T 、1-T 、B T 1-。
判别方法（二）：直接从Ａ，Ｂ判别Bu Ax x +=& 能控的充要条件是 能控性判别矩阵),,,(12B A B A AB B M n -=Λ的秩为n 。
在单输入系统中，M 是一个n n ⨯的方阵；而多输入系统，M 是一个nr n ⨯的矩阵，可通过)(T MM rank rankM =三．线性定常系统的能观性判别判别方法（一）：通过线性变换 Cx y Ax x ==& →TCzy ATz T z ==-1& １．若A 的特征值互异，线性变换（Tz x =）为对角线标准型，AT T 1-=Λ，能观性充要条件：TC 中没有全为0的列。
变换矩阵T 的求法。
２．若A 的特征值有相同的，线性变换（Tz x =）为约当标准型，AT T J 1-=，能控性充要条件：①对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的TC 中第一列元素没有全为０的。
②对应于互异特征根部分，对应的TC 中各列元素没有全为０的。
变换矩阵T 的求法。
这种方法能确定具体哪个状态不能观。
但线性变换比较复杂，关键是求T 、1-T 、TC 。
判别方法（二）：直接从Ａ，C 判别能观性的充要条件是 能观性判别矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1n CA CA C N M 的秩为n 。
在单输入系统中，N 是一个n n ⨯的方阵；而多输入系统，N 是一个n nm ⨯的矩阵，可通过)(T MM rank rankM =六．能控性与能观性的对偶原理１．若T A A 12=，T C B 12=，T B C 12=，则),,(1111C B A ∑与),,(2222C B A ∑对偶。
对偶系统的传递函数阵是互为转置的。
且他们的特征方程式是相同的。
２．1∑与2∑对偶，则1∑能控性等价于2∑能观性，1∑能观性等价于2∑能控性。
七．能控标准型和能观标准型对于状态反馈，化为能控标准型比较方便；对于观测器的设计及系统辨识，能观标准型比较方便。
１． 能控标准Ⅰ型（如果已知系统的状态空间表达式）①判别系统的能控性。
②计算特征多项式0111||a a a A I n n n +++=---λλλλΛ，即可写出A 。
③求变换矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-11111n c A p A p p T M ，111],,][1,,0,0[--=B A Ab b p n ΛΛ。
④求11-c T ，计算⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-10011M b T b c ，1c cT c =，也可以验证是否有111c c AT T A -=。
２． 能观标准Ⅱ型①判别系统的能观性。
②计算特征多项式0111||a a a A I n n n +++=---λλλλΛ，即可写出A 。
③求变换矩阵[]11112,,,T A AT T T n o -=Λ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--100111M M n cA cA c T 。
④求02T ，计算b T b 102-=，[]10002Λ==cT c ，也可以验证是否有212o o AT T A -=。
３． 如果已知传递函数阵，可直接写出能控标准Ⅰ型和能观标准Ⅱ型的状态空间表达。
0122111012211)(a s a s a s a s s s s s W n n n n n n n n n +++++++++=---------ΛΛββββ 能控标准Ⅰ型：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=-1210100001000010n a a a a A ΛΛM ΛMM ΛΛ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000M b ][110-=n c βββΛ 能观标准Ⅱ型：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=-1210100010001000n a a a a A ΛM ΛMM M ΛΛΛ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--1210n n b ββββM ]100[Λ=c八．线性系统的结构分解1．按能控性分解（状态不完全能控，即n n rankM <=1），通过非奇异变换xR x c ˆ=完成。
()n n c R R R R R ΛΛ121=，前1n 个列矢量是M 中1n 个线性无关的列，其他列矢量保证cR 非奇异的条件下是任意的。
2．按能观性分解（状态不完全能观，即n n rankN <=1），通过非奇异变换xR x o ˆ=完成。
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''=-n n o R R R R R M M1211，前1n 个行矢量是N 中1n 个线性无关的行，其他行矢量保证1-o R 非奇异的条件下是任意的。
3．按能控性和能观性分解（系统是不完全能控和不完全能观的），采用逐步分解法，虽然烦琐，但直观。
步骤：①首先按能控性分解（c x 能控状态，c x 不能控状态）。
②对不能控子系统按能观性分解（oc x 不能控能观状态，o c x 不能控不能观状态）。
③将能控子系统按能观性分解（co x 能控能观状态，o c x 能控不能观状态）。
④综合各步变换结果，写出最后的表达式。
另一种方法：化为约当标准型，判断各状态的能控性能观测性，最后按4种类型分类排列。
