寿险精算 第三讲 人寿保险趸缴纯保费共78页文档

N N Dx
x
xn
x
xh
2.终身寿险的年缴纯保费
h Px
Ax ax:h|
Mx Nx Nxh
3.两全保险的年缴纯保费
P h x：n|
Ax:n| ax:h |
Mx
M xn Dxn Nx Nxh
课堂练习:
1.某人30岁投保20年期，延期10年，5年限期缴费的定期 人寿险,保险金额为100000元，求年缴纯保险费?
N x N x1 Dx
S x N x N x1
(Ia) x
Sx Dx
( Ia) x
S x 1 Dx
( Ia) x:n |
S x 1
S x n1 Dx
nN x n1
作业：
1.某人30岁(女)时投保寿险,约定45岁前死亡给付保险金 150000元,40岁至60岁之间死亡给付保险金为100000 元,60岁以后给付保险金50000元,求趸缴纯保险费?
(In| A)x (IA)1x:n| n|Ax
Rx Rxn nM xn N M xn
Dx
Dx
标准递减也可以看作：
A1 x:n |
A1 x:n 1|
A1 x:n 2|
A1 x:1|
nM x [Rx1 Rxn1 ] Dx
课堂练习
（x）=30，定期寿险保单。第一年死亡给付1000元， 第二年死亡给付1200元，第三年1400元，这样依次按 200元比例递增，n=20，求保险金的精算现值：
x:n |
Dx
Ax:n|
Mx
M xn Dx
Dxn
Ax
Mx Dx
m| Ax
M xm Dx
A1 x :n|
Mx
M Dx

▪ 净均衡原则的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下， 收费期望现时值等于支出期望现时值 。
净保费厘定的基本假定
❖ 三个基本假定条件:
▪ 同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布 的。
▪ 被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。 ▪ 保险公司可以预测将来的最低平稳收益（即预定利率）。
xtdt
趸缴纯保费的方差
❖ 方差公式
V ( z ta ) E ( r z t 2 ) E ( z t) 2 0 n e 2 tfT ( t) d E t ( z t) 2
❖记
2A1 x:n
ne2t
0
fT(t)dt
（相当于利息力翻倍以后求N年期寿险的趸缴保费）
❖ 所以方差等价为
Va(ztr)2Ax1:n(Ax1:n)2
寿险产品趸缴净保费的厘定
1 厘定原则和建模假设 2 建模思想 3 死亡即刻赔付趸缴净保费 4 死亡年末赔付趸缴净保费 5 不同时刻赔付的换算关系
建模思想
折算到保单签订日得到期望赔付值
要有一条共同的线索 将这些因素综合在一起考虑
什么时候 发生赔付
赔付额 等于多少
钱的 时间价值
赔付事件 发生概率
基本符号
❖ 假定：( x )岁的人，保额为1元，N年定期寿险
❖ 基本函数关系
1 , t n bt 0 , t n
vt vt , t 0
vt , t n
zt
btvt
0
,
t
n
趸缴纯保费的厘定
❖ 符号：
1
A x:n
❖ 厘定：
1
n
Ax:n E(zt) 0 zt fT(t)dt
nvt 0

1 死亡即刻赔付
1.1 n年期定期寿险 1.2 终身寿险 1.3 延期m年 终身寿险
1.4 n年期生存保险
1.5 n年期两全保险
1.6 延期m年的 n年期两全保险
1.7 递增寿险 1.8 递减寿险
1 , t m bt 0 , t m
v , t m zt bt vt 0 , t m
e2 t fT (t )dt E ( zt )2
m

1.4 n年期生存保险
1.5 n年期两全保险

记
2 m
Ax e2 t fT (t )dt
m

1.6 延期m年的 n年期两全保险
1.7 递增寿险 1.8 递减寿险

所以方差等价于
Var ( zt ) A ( m Ax )

,x 0
1.6 延期m年的 n年期两全保险
1.7 递增寿险 1.8 递减寿险
求： (1)
10
Ax
(2)Var(zt )
2 计算基数
例3.3答案
S ( x t ) (1) fT (t ) 0.04e0.04t S ( x) A e m x
10 0.06 t
1 死亡即刻赔付
1.1 n年期定期寿险 1.2 终身寿险 1.3 延期m年 终身寿险
10
0.04e
0.04 t
dt 0.04 e0.1t dt 0.147 0.04e0.16t
10
1.4 n年期生存保险
1.5 n年期两全保险
(2) Ax e
2 m 10
0.12 t
0.16 Var ( zt ) m2 Ax ( m Ax )2 0.0288

一年递增m次
将每一个保单年度分为均等的m个时间段， 如被保险人在第一保单年度的第一个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金1/m元， 如被保险人在第一保单年度的第二个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金2/m元， 。。。。。 如被保险人在第二保单年度的第一个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金1+1/m元， 如被保险人在第二保单年度的第二个1/m年内死
趸缴纯保费的厘定
符号：Ax:1n
趸缴纯保费厘定
1
Ax:n
E(zt ) vn n px
e n n px
现值随机变量的方差：
Var(zt ) v2n n px (vn n px )2
21
Ax:n
1
( Ax:n
)2
5、n年定期两全保险
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死 亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期 满，保险人在第n年末支付保险金的保险。它等价于n年生 存保险加上n年定期寿险的组合。
m
e2 t
fT
(t)dt
所以方差等价于
Var(zt )
2 m
Ax
(m
Ax )2
例4.3.3
假设（x）投保延期10年的终身寿险， 保额1元。
保险金在死亡即刻赔付。 已知
0.06，S (x) e0.04x , x 0
求：
(1) 10 Ax (2)Var(zt )
例4.3.3答案
(1)
保险利益： 如被保险人在第一保单年度内死亡，
则在死亡时立即给付保险金1元， 如被保险人在第二保单年度内死亡，
则在死亡时立即给付保险金2元， 。。。。。

费用分类
成分
投资费用
（1）投资分析成本（2）购买、销售及服务成本
1、新契约费 （1）销售费用，包括代理人佣金及宣传广告费（2）风
保
险分类，包括体检费用（3）准备新保单及记录
险 2、维持费 （1）保费收取及会计
费
（2）给付变更及理陪选择权准备
用
（3）与保单持有人进行联络
3、营业费用 （1）研究、开发新险种费用（2）精算及一般法律服务 （3）普通会计（4）税金、许可证等费用
0
Ax
P( Ax )ax
0
P( Ax )
Ax ax
方差确定
Var(L)
Var[vt
P(
Ax
)
1
v d
k
1
]
Var[v(k 1)(s1)
P
(
Ax
)
1
v d
k
1
]
Var[(vs1 P( Ax ) )vk1] d
记Z s
vs1
P( Ax d
)
，Z
k
vk 1
由于分数剩余寿命和整值剩余寿命相互独立，
(
Z
k
)
方差的确定
终身寿险场合有
E
(Z
2 k
)
2 Ax，Var(Zk
)
2 Ax
-
Ax
2
在分数期死亡服从均匀分布的假定下，有
E(Zs )
E
v
s-1
P( Ax )
d
i
P( Ax ) d
Var(Zs
)
Var
v
s-1
P( Ax d
)
Var (v s -1 )

• 以例5.8进行讲解，每年的净保费等于133.07元，每年的 毛保费等于178.47元，也就是说每年缴纳的毛保费里面有 45.4元是覆盖费用的费用保费。但实际上第一年的真实费 用等于：
40.5+205+78%178.47=279.71
• 第一年收取的费用45.4元是完全不够支付第一年的真实费 用的。费用不够的部分是由保险公司现行垫付。这就产生 了寿险产品的新业务压力（new business strain）。也就 是说寿险公司只要新卖出一份保险产品，第一年就要承担 初年费用不够的资金压力。
毛保费的构成图示
经营费用
• 所谓经营费用是指保险公司支出的除了风险赔付之外, 其他维持 保险公司正常运作的所有费用支出的统称。
• 经营费用包括管理费用和佣金两大部分, 其中, 管理费用通常由 投资费用和保险费用两部分构成。
– 投资费用包括与投资相关的分析、 购买、 销售及服务成本。 由 于这些费用直接与投资收入的产生有关, 所以投资费用通常从总投 资收入中扣除, 在传统寿险产品保费计算时通常不单独考虑。
缴费频率与赔付频率不一致时， 期缴净保费的厘定
• 实务中, 有时保费的缴纳频率会和赔付的给付频率不一致
– 比如有可能保费每年期初缴纳, 但死亡即刻给付; – 再比如保费每年缴纳m 次, 而死亡年末赔付或死亡即刻赔付。
• 这时，期缴净保费的厘定, 通常需要借助不同频率之间精 算函数的变换来实现。
例5.6
未来损失变量
• 未来损失变量（Future Loss），t时刻的未来损失变量记作Lt
Lt =未来支出贴现到t 时刻的现值 - 未来收入贴现到t 时刻的现值
– 如果Lt >0, 意味着对保险人而言未来收不抵支, 将会产生亏损 (loss) – 如果Lt <0, 意味着对保险人而言未来收入会大于支出, 将会产生利润

1
1
延期m年n年两全险
m|
Ax:n
m|
A
1 x:n
m| Ax:n Ax:m Ax m:n
1
1
例.已知: 计算20| Ax
1) 2.5%; 2)死亡力恒定; 3) e x 10.0.
0
7. 递增寿险 假定赔付金额为剩余寿命的线性递增函数 一年递增一次（n年定期寿险）
趸缴净保费
1 x:m
A
1 x:m n
A
1 x m:n
A x:m
1
( x) 岁的人，保额1元，延期m年n年生存险 假定：
T mn 0, ZT bT vT m n v , T mn
趸缴净保费
m|
Ax:n E ( Z ) v
1
mn
m n px A x:m Ax m:n m Ex n Ex m
基本函数关系
0, T n 0 , T n bT ZT bT vT n 1 , T n v , T n 趸缴净保费 1 n n 1
Ax:n ( Ax:n ) E(ZT ) v n px e
n px
随机变量现值方差
Var ( Z ) E ( Z 2 ) E 2 ( Z ) v 2 n n px (v n n px ) 2 v n px n qx A ( A )
净均衡原理 保险人收取的净保费应该恰好等于未来支出的保险赔付金。 （Arrow:风险转移公平原则） 趸缴纯保费=未来保险金给付的精算现值 死亡赔付方式：（1）死亡即刻赔付；（2）死亡年末赔付。
第一节 连续型寿险的趸缴纯保费
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任 范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予 保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔 方式。 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死 亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时 期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。

寿险精算 第三讲 人。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！

趸缴纯保费的厘定
符号： 厘定
m
Ax:n
Ax m:n
0
m
m +n
(x )
m
( x m)
Ax:n
m
A
1 x:n
mA
1 x:n
A
1 x:m
Ax m:n
现值随机变量的方差
3、延期终身寿险
定义
0 m
(x 假定： ) 岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险 基本函数关系
vt v t , t 0 1 , t m bt 0 , t m
v t , t m zt bt vt 0 , t m
趸缴纯保费的厘定
符号： 厘定：
人寿保险的分类
受益金额是否恒定
定额保险 变额保险
保障标的的不同
人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险
保单签约日和保障期 起始日是否同时进行
非延期保险 延期保险
保障期是否有限
定期寿险 终身寿险
人寿保险的性质
保障的长期性
这使得从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为不容忽 视的因素。
趸缴纯保费的厘定
符号： Ax:n 厘定
记：n年定期寿险现值随机变量为 z1 n年定期生存险现值随机变量为 z2 n年定期两全险现值随机变量为 z 3 已知 z3 z1 z2
则
E ( z3 ) E ( z1 ) E ( z2 ) A x:n A A
1 x:n
1 x:n
t t
px x t dt
现值随机变量的方差
方差公式
Var ( zt ) E ( z ) E ( zt ) e2 t fT (t )dt E ( zt )2

解：
fT
Z 0,
k n, n 1,
精算现值以 A1 表示，有 x:n
n1
A1 E(Z ) x:n
vk1 k qx
k 0
Z的方差为
其中
Var(Z ) 2 A1 ( A1 )2
x:n
x:n
n1
2 A1 E(Z 2 ) x:n
v2(k 1) k qx
10
e t
fT
(t)dt

e0.06t 0.04e0.04t dt
10
0.04e0.1tdt 0.4e1（万元） 10
2.定期寿险
1单位元死亡即付n年定期寿险的精算现值为
A1 x:n

n 0
vt
fT
(t)dt

n 0
vt
t
px
x t dt
①在死亡均匀分布假设下，有
k 0
qx

1 lx
x 1
d xk v k 1
k 0
●赔付现值随机变量的方差：
Var(Z ) E(Z 2 ) [E(Z )]2


E(Z 2)
v2(k1) k qx
e q 2 (k 1) kx
k 0
k 0
E(Z 2) 相当于以计算趸缴净保费利息力
A1 x :n j
k 1
j0
例：计算保险金额为10000元的下列保单，在 30岁签发时的趸缴净保费。假设死亡给付发生 在保单年度末，利率为6%。
（1）终身寿险
（2）30年定期寿险
（3）30年两全保险。
例：现年35岁的人购买了一张终身寿险保单。 该保单规定，被保险人在第1年内死亡，给付 1000元，以后每年的死亡赔付额以6%的增长 率递增。假设死亡给付发生在保单年度末，利 率为6%。试求其趸缴纯保费。

常见概念中英文单词对照(2)

定期人寿保险 终身人寿保险 两全保险 生存保险 延期保险 变额受益保险




Term life insurance Whole life insurance Endowment insurance Pure endowment insurance Deferred insurance Varying benefit insurance
人寿保险的分类

受益金额是否恒定
定额受益保险 变额受益保险

保障标的的不同


保单签约日和保障期 期始日是否同时进行

人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险 定期寿险 终身寿险

保障期是否有限

即期保险 延期保险
人寿保险的特点

保障的长期性

这使得从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为 不容忽视的因素。 人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的 生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。 这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量， 它依赖于被保险人剩余寿命分布。 这意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算 出平均赔付并可预测将来的风险。
主要险种的趸缴纯保费的厘定



终身寿险 n年期定期寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的终身寿险 延期m年的n年期的两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
1、终身寿险


定义 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任 范围内的死亡均给付保险金的险种。 假定： ( x ) 岁的人，投保保额bt=1元终身寿险 基本函数关系
力 和 fT(x)( t) 、 fX( t) 的关系是怎样的 x

函数为
0 , 0 t n Zt vn ,t n
• 定期生存险趸缴净保费
A 1 x:n
E(Zt )
n
vn
fx
(t)dt
vn
n
px
• 现时值方差
Var(Zt )
A 2 1 x：n
A1 x:n
2
其中：2
A1 x:n
=
v2n
n
px
例3.4
• （30）购买10年定期生存险，10年末生存给付1。假设复 利计息，年实质利率为5%，寿命服从（0,100）的de Moivre分布。请计算：
140 ln1.05
（3）对于定期寿险而言，赔付现时值是一个分段函数，因 为 v10=1.0510 0.6139 A310:10，也就是说只要是在10年内发生理赔的 被保险人他们所缴纳的趸缴净保费都小于赔付现时值，他们 保费不足的部分是由那些活过10年，没有发生任何赔付的被 保险人补齐的，即
Pr(Zt
(
x)
1
x 100
例3.2解
,0 x 100 ，所以
f30
(t)
1 70
, 0 t 70
且已知复利计息，年实质利率为5%，则 δ = ln(1+ i) = ln1.05
所以趸缴净保费为
A30 E(Zt )
e 70 t
1
e t dt =
0 70 70
0
1
1 1.0570 =
0.2832
• 赔付现值变量是未来寿命的单调减函数。未来寿命短的被保险 人, 由于贴现时期短,赔付现值会大于平均赔付成本。 反之, 未 来寿命长的被保险人, 由于贴现时期长, 赔付现值会小于平均赔 付成本。 本例中, 收支平衡的时间点出现在未来寿命为25.8577 年的时刻点上。未来寿命长于25.8577 年的被保险人（63%） 会补贴哪些未来寿命短于25.8577年的被保险人（37%）。

保险精算学在趸缴纯保费计算 中的具体应用
• 保险精算学在趸缴纯保费计算中的具体应用 • 生命表的应用：生命表是保险精算学的重要工具，用于计算寿 险产品的趸缴纯保费 • 利率假设的应用：利率假设是保险精算学的重要参数，用于计 算趸缴纯保费和保险公司的盈利水平 • 风险费率的确定：风险费率是保险精算学的重要指标，用于衡 量保险产品的风险程度和保险公司的承受能力
保险精算学面临的挑 战
Байду номын сангаас
• 保险精算学面临的挑战 • 数据质量：随着数据量的增加，数据质量的问题日益突出，如 何提高数据质量和处理能力是保险精算学面临的重要挑战 • 技术更新：保险精算学需要不断更新技术，如人工智能、机器 学习等，以适应保险行业的发展和变化 • 人才短缺：保险精算学需要大量的专业人才，如保险精算师、 数据分析师等，如何培养和提高人才素质是保险精算学面临的 重要挑战
趸缴纯保费的计算方法与公式
趸缴纯保费的计算方法
• 均衡保费法：根据保险精算学原理，将保险合同生效期 间的风险均衡分配到每个缴费期，计算趸缴纯保费 • 现值法：根据保险精算学原理，将保险合同生效期间的 未来收益现值与未来损失现值相等，计算趸缴纯保费
趸缴纯保费的计算公式
• 均衡保费法：趸缴纯保费 = (保险金额 × 风险费率) / 保 险期限 • 现值法：趸缴纯保费 = 保险合同生效期间的未来收益现 值 / (1 + 利率) ^ 保险期限
保险精算学在趸缴纯保费计算中的局限性
• 数据依赖：保险精算学计算趸缴纯保费需要大量数据支持，数据的质量和完整性影响计算 结果 • 假设影响：保险精算学计算趸缴纯保费需要依赖一定的假设，如利率假设、死亡率假设等， 假设的准确性影响计算结果 • 计算复杂：保险精算学计算趸缴纯保费涉及多种因素和公式，计算较为复杂，需要专业的 保险精算师进行操作

《寿险精算数学》
人寿保险的分类
--02趸缴纯保费
• 受益金额是否恒定 • 保障标的的不同 定额受益保险 – 人寿保险（狭义） 变额受益保险 – 生存保险 • 保单签约日和保障期期始日 – 两全保险 是否同时进行 • 保障期是否有限 – 非延期保险 – 定期寿险 – 延期保险 – 终身寿险
《寿险精算数学》
《寿险精算数学》
0． 1． 2．
--02趸缴纯保费
3. 4. …… n. …… y．
x岁
x 1
x2
xn
↑
x y岁
S
图 4-5
0．
1．
x 1
2．
x2
3．
x3
×
x y
↑
4．
x4
……
n．
x岁
xn岁
S
图 4-6
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费
2.1.2 两全保险
• n年期两全保险是由n 年期生存保险和n 年定期保险 组成，假设(x)投保离散型的保额为1单位的两全保 险，则其有关函数为：
《寿险精算数学》 定期寿险
• 则其有关函数为：
未来寿命 K(x) 给付数额 B 贴现系数 V 给付现值 Z 给付概率 p
--02趸缴纯保费
0 1
1 1
2 1
… …
n-1 1
v1
v2
v3
… … …
n 1
vn
v1
v2
1|
v3
2|
vn
n 1|
qx
qx
qx
qx
•
则其趸缴纯保费为： A
1 x:n
E ( z ) v k 1 k px qx k

0
n
（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费） 所以方差等价为
2 2 1 1 1 1 22 Var Var (( Z z ) ) A A ( ( A A ) ) Zt xx :n xx :n :n :n
例3.4(P62)

设
x S ( x) 1 100 i 0.1

寿险保费的构成－－总保费（营业保费）包括：
纯保费：用于保险给付 附加保费：用于保险公司经营费用
保费的缴纳方式和影响因素

保费缴纳方式


趸缴保费法：在保单生效日一次性支付将来保险 赔付金的期望现时值 自然保费法 均衡保费法 死亡率：预定死亡率 利率：预定利率 费用率：预定费用率

计算保费考虑的因素
人寿保险的分类

受益金额是否恒定
定额受益保险 变额受益保险

保障标的的不同


保单签约日和保障期 期始日是否同时进行

人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险 定期寿险 终身寿险

保障期是否有限

即期保险 延期保险
人寿保险的特点

保障的长期性

这使得从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为 不容忽视的因素。 人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的 生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。 这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量， 它依赖于被保险人剩余寿命分布。 这意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算 出平均赔付并可预测将来的风险。

（相当于利息力翻倍以后终身寿险的趸缴保费） 所以方差等价为
Var( z Zt ) Ax ( Ax )
2
2

A
1 30:10
v fT (t )dt e
t 0
10
10
t
0
1 10 t fT (t )dt 0 (1.1) dt 70
1 1 ( (1.1) t 70 ln1.1
10 0
) 0.092099
14
应用实例
解
2 1 A30:10
Var ( Z )
2 t
m
s p e m x s px m x m s ds 0

A
1 x:m
Axm
1 1 1 A A A x:m m x:n x m:n
m 1 A v p A A m x x:m Ax m:n m x:n xm:n
26
Actuarial Science
1 2 Var ( Z ) E(Z 2 ) ( E(Z ))2 2 A1 ( Ax:n ) x:n
2
2 ( k 1) e k px qx k A1 x:n k 0
n 1
30
应用实例
例 一个55岁的男性，投保5年期的定期保险， 保险金额为1000元，保险金在死亡的保单年度末给付 ，按中国人寿保险业经验生命表（1990~1993）（男 ）和利率6%计算趸缴纯保费。
e
0
10
fT (t )dt
10 0
1 1 2 2 Ax ( A ) :n x:n
1 1 2 t e 70 2
0.063803 (0.092099) 2
0.055321
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