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第5章 均衡纯保费与毛保费

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第四章：均衡纯保费与营业保费

第四章：均衡纯保费与营业保费

(m)
例 7．在 30 岁签发的某种人寿保单，要求 投保人限期 20 年每年年初均衡缴纳纯保 费，保单承诺：被保险人在 30～40 岁之间 死亡，立即提供保额 1000 元；被保险人在 40～50 岁之间死亡， 立即提供保额 2000 元； 被保险人在 50 岁以后死亡，死亡后立即提 供保额 3000 元。试用转换函数表达年缴均 衡纯保费的计算公式。
（2）未来保险金支付现值的期望=未来保费收入现值的期望 （3）趸缴纯保费=期缴纯保费的精算现值=保额的精算现值
第一节 全连续式寿险模型的期缴纯保费
*** 模型 ***
保险金死亡即付（保额为1） 保费按连续型生存年金方式缴纳
1、 全期缴费的普通终身寿险： x ) 购买， 年缴纯保费 P( Ax ) ( 损失函数：
n 年定期寿险
T
0
an ，K n
aK +1 ，K 0,1, 2,, n 1
1 Ax:n M x M x n 1 P ( Ax:n ) ax:n N x N xn
n 年期两全寿 n 险 限期 h 年缴费 T 的终身寿险 T
限期 h 年缴费 T n 年期两全寿 n 险
1 x:n
1 x:n
3、 n 年期两全寿险：
Px:n Ax:n dAx:n M x M x n Dx n ax:n 1 Ax:n N x N xn Ax:n dAx:n M x M x n Dx n ax:h 1 Ax:h N x N xh
解：设所求年缴纯保费为 P ，那么
1 1 30:20 1000 A30:10 200010 A30:10 3000 20 A30 Pa
h
Px:n
第五章均衡净保费和毛保费

第五章均衡净保费和毛保费


P1 x：n
A1 x：n
ax：n (M x M xn ) (Nx Nxn )
Px：n Ax：n ax：n (M x M xn Dxn ) (Nx Nxn )
h Px Ax ax：h M x (Nx Nxh )
h Px：n Ax：n ax：h (M x M xn Dxn ) (Nx Nxh )
l(T )
vt
P
(
Ax
)a t
(2)E(L)
0
Ax
P ( Ax )ax
0
P ( Ax )
Ax ax
(3)Var(L)
Var[vt
(1
P
)
P
]
(1
P
)2[2Ax
( Ax
)2
]
（ax ax
Ax
）2[2Ax
( Ax )2 ]
2 Ax ( Ax )2
(ax )2
常见险种的完全连续净均衡保费总结
P(A 1) A 1
x:n
x:n
ax：n
P( m
ax )
A1 x:m
axm
a x:m
例5.1
已知利息力为0.06，死亡力为0.04，求
(1)P ( Ax ) (2)Var(L)
例5.1答案
根据例4.1，已知ax 10, Ax 0.4， 2 Ax ( Ax )2 0.09 所以
(1)P( Ax )
常见险种的趸缴纯保费
纯寿险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付）
Ax
,
m Ax ,
A1 x:n
,
m n Ax
生存险趸缴纯保费（一次性生存受益期末支付， 生存年金受益期初支付）
A1 x:n
人身保险(第二版)中国人民大学出版社 各章节思考题答案

人身保险(第二版)中国人民大学出版社 各章节思考题答案

第一章思考题1、人身保险是以人的生命或身体作为保险标的、以人的生（生育）、老（衰老）、病（疾病）、残（残疾）、亡（死亡）等为保险事故的一种保险。

其基本内容是：投保人与保险人订立保险合同确立各自的权利义务，投保人向保险人缴纳一定数量的保险费；在保险期限内，当被保险人发生死亡、残疾、疾病等保险事故，或被保险人生存到满期时，保险人向被保险人或其受益人给付一定数量的保险金。

其定义的三个要点：（1）、人身保险的保险标的是人的生命或身体。

（2）人身保险的保险责任包括生、老、病、死、伤、残等各个方面，即人们在日常生活中可能遭受的意外伤害、疾病、衰老、死亡等各种不幸事故。

（3）人身保险合同的履行：除个别情况外，由于标的的无价性，人身保险的责任履行一般不能称为补偿或赔付，而只能称为给付。

2、由于人身保险权利义务关系所指向的是人的生命或身体（即保险标的），而人的生命和身体是无价的，不能以货币加以度量，因此，除个别情况外，人身保险的保险金额不能像财产保险那样有确定的标准，仅是就理论而言，是由保险双方当事人在保险合同订立之初按照投保方的需求度与可能性相一致的原则协商确定的。

人身保险的责任履行一般不能称为补偿或赔付，而只能称为给付，所以人身保险不是补偿性质，而是给付性质的。

3、损失的分担、风险的同质性以及大数定理是保险理论的三大基础。

人身保险作为保险的一种，其理论自然亦奠基于此。

（1）.损失的分担“损失的分担”是保险学理论的一个基本思想。

人身保险通过将众多面临人身危险的人集中起来，收缴保险费建立保险基金，对人身方面发生保险事故引起的经济责任实现分担。

单就人寿保险而言，所谓损失的分担也就是死亡成本的分担。

（2）.人身危险的同质性客观存在的各种危险在同样的境况、条件之下具有相同的发生或者不发生的可能性。

危险对每一个人而言是平等的，在条件相同的情况下，并不会偏爱或鄙视于谁，因此人们在分担损失之时也是平等的。

正是因为这个特性，人身危险可以成为保险危险，得到保险的保障。

寿险精算 第五讲 均衡纯保费

寿险精算 第五讲 均衡纯保费


]
Pr[(1 v)10000vK 1 1 1vK 1] Pr[((1 v)10000 1)vK 1 1]
Pr[vK 1
1
] Pr[(K 1) ln v ln(
1
)]
(1 v)10000 1)
(1 v)10000 1)
Pr[K 1 ln(
1
) / ln v] Pr[K ln(
• 厘定过程：
(1)
L
l(T
)
vt
P(
Ax
)a k
1
(2)E(L) 0 Ax P( Ax )ax
0
P( Ax )
Ax ax
Mx ， Nx
(3)Var(L)
(1
P )2[
2
Ax
( Ax
)2
]
• 在UDD 假设条件下:
Ax
i
Ax
P(
Ax
)
i
Ax ax
i
Px
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费
50.12
K 1
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费
EL
E
v
K
1
1
Px d
Px d
Ax
1
Px d
Px d
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费
（3）趸缴纯保费终身寿险 趸缴纯保费终身寿险，是在签单时一次将保费缴清的终
身寿险，为限期缴清的特殊情形
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费 第三章 均衡纯保费
§3.1 均衡纯保费计算的平衡原理 3.1.1 人寿保险模型的种类
完全离散净均衡保费
死亡年末给付
中国精算师《寿险精算》章节题库(第4章 均衡净保费——第6章 毛保费与修正准备金)【圣才出品】

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E．0.8
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【答案】B
【解析】
11．给定如下条件
则 δ 满足（ ）。 A．100δ2-17δ＋0.66=0 B．100δ2-16δ＋0.60=0 C．100δ2-15δ＋0.50=0 D．100δ2-15δ＋0.44=0 E．100δ2-14δ＋0.40=0 【答案】A 【解析】由已知，有：
A．-1.12 B．-0.6 C．-0.25 D．0.15 E．0.00 【答案】C 【解析】由已知，有：
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6．已知死亡在各个年龄中均匀分布，且满足：i=0.04，δ=0.0392，nEx=0.6，
=0.804
A．117.57 B．121.92 C．130.07 D．140.15 E．147.16 【答案】B 【解析】由已知，有 PrL（π）＞0＜0.5 而
是关于 k 的减函数，即 L（π）取满足条件的最高值时，k 须取 39，故
解得：π≥121.92
2．设
=0.042 ， 20P35=0.0299 ，A55=0.6099， 则
即
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从而 100δ2-17δ＋0.66=0。
12．对于普通终身寿险，设 k|qx=c（0.96）k＋1，k＝0，1，2，…。其中
，i=6%
则其年缴纯保费 Px=（ ）。
A．0.02199
B．0.03774
死亡是均匀分布的。计算完全连续保费
=（ ）。
A．0.597
B．9.598
C．0.599
D．0.600
E．0.601
《寿险精算讲义》第四章均衡纯保费

《寿险精算讲义》第四章均衡纯保费

（2）半连续式的年缴纯保费
答案
答案
全离散式分两次缴付的年缴纯保费计算 半连续式分两次缴付的年缴纯保费计算
例 4.5.2
对于（40）的人，投保5000元的全离散 式25年定期保险，用换算函数表和年利 率6%。在UDD假设下求：
（1）普通年缴纯保费 （2）季缴纯保费 （3）月缴纯保费
x xx
xa
x
终身寿险-普通
下面考察保险人损失L的方差
(3)Var
(
L)
Var
(v
K
1
Px
a K
1
)
Var(vK 1
Px
1 vK 1 d
)
Var(vK 1(1
Px d
)
Px d
)
(1 Px )2Var(vK 1) d
(1
Px d
)
2[
2
Ax
( Ax )2 ]
2 Ax ( Ax )2 (dax )2
60
【每年分m次缴费的年均纯保费】
在每年分m次缴付的年均纯保费P,每次 缴付纯保费为x元,其计算方法是:
用符号 P(xm)表示保险金额为一个单位的全
离散式普通终身寿险,且每年分m次缴付
的年均衡纯保费.m=2、4、12，故每次缴
纳的纯保费应该是
P(m) x
m
【每年分m次缴费的年均纯保费】
条件：在每一保单年度内，保费分m次缴纳。 终身寿险半连续式寿险为例
m年递延终身生存 保险
P1 x：n
A1 x：n
ax：n Dxn
(Nx Nxn)
P(m
ax
)
A1 x:m
axm
a x:m
Dxm N xm
净均衡保费与纯保费.

净均衡保费与纯保费.



条件：（x）死亡年末给付1单位终身人寿保险， 被保险人从保单生效起按年期初缴费。 厘定过程：
K 1 (1) L v K 1 Px a , K 0,1,2, Ax x a
x 0 Px (2) E ( L) 0 Ax Px a
2 Px 2 2 Ax ( Ax ) 2 2 (3)Var ( L) (1 ) [ Ax ( Ax ) ] x ) 2 d (da
常见险种的完全连续净均衡保费总结
险种
终身人寿保险 n年定期寿险
保费公式
P( Ax ) Ax ax
1 1 P ( Ax ) A ax： ： n x： n n
n年两全保险
h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险 n年生存保险 m年递延终身生存保险
P ( Ax： ) Ax： ax： n n n
第四章 净均衡保费与毛保费
第一节 保费简介
保费的构成
毛保费 （购买费用）
纯保费 （将来保单受益的精算现值）
附加费用 （与保单相关的费用的精算现值）
保费的分类

按保费缴纳的方式分：

一次性缴纳：趸缴（纯/毛）保费 以年金的方式缴纳：期缴（纯/毛）保费 只覆盖死亡的保险：纯寿险保费 只覆盖生存的保险：生存险保费 既覆盖死亡又覆盖生存的保险：两全险保费
P 6.478 P 0.3667 d P k 1 P 2 (2)Var ( L) E[(1 )v ] d d 1 P 2 1 P P P 2 (1 ) a4 12.36% 2 (1 ) a4 6% ( ) 0.17788 4 d 4 d d d
半连续净均衡年保费厘定 （终身寿险为例）
例4.1答案
均衡净保费和毛保费

均衡净保费和毛保费

h
P ( Ax ) Ax ax： h
P ( Ax： ) Ax： ax： n n h
h
P ( Ax:n1 ) Ax:n1 ax： n
P ( m ax ) Ax:1 ax m ax:m m
例5.1

已知利息力为0.06，死亡力为0.04，求
(1) P ( Ax ) (2)Var ( L)
n年生存保险
m年递延终身生存保险
x ) Ax:1 x:m Dx m N x m ( N x N x m ) P( m a a a m xm
例5.2

设一个0岁生命的整值剩余寿命服从概率 函数为 1
k
q0
4
k 0,1,2,3

在其死亡年末赔付1单位的保单，每年年 初缴付保费P。当保费按平衡原理决定时， 计算保险人亏损现值的期望值与方差 （i=6%）。
常见险种的完全连续净均衡保费总结
险种
终身人寿保险
n年定期寿险
保费公式
P( Ax ) Ax ax
1 1 P ( Ax ) A ax： ： n x： n n
n年两全保险
h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险 n年生存保险 m年递延终身生存保险
P ( Ax： ) Ax： ax： n n n
例5.2答案
k 1 (1 (1) L v k 1 Pa E ( L) 0 [(1
k 0 3
P k 1 P )v d d
P k 1 P 1 P P )v ]k q0 0 [(1 )a4 0.06 4 ] 0 d d 4 d d

按保险的种类分：

常见险种的趸缴纯保费
保险精算李秀芳1-5章习题答案

保险精算李秀芳1-5章习题答案

6.这题so easy就自己算吧
7.设一个人数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的生命表计算（取整）
（1）3年后群体中的预期生存人数（2）在40岁以前死亡的人数（3）在45-50之间挂的人
(1)l39=l36×3P36=l36(1-3q36)=1500×（1-0.0055）≈1492
（2）4d36=l36×4q36=1500×（0.005+0.00213）≈11
29.
第二章趸缴纯保费
1.设生存函数为 (0≤x≤100)，年利率 =0.10，计算(保险金额为1元)：(1)趸缴纯保费 的值。(2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z的方差Var(Z)。
2.设利力 ， ， ，求 。
5. 设 , , , 试计算：（1） （2）
6.试证在UDD假设条件下：(1) (2)
=397.02
第三章年金精算现值
1.设随机变量T＝T(x)的概率密度函数为 (t≥0)，利息强度为δ＝0.05 。(1)计算精算现值 (2)基金 足够用于实际支付年金的概率
2．设 , , 。试求：（1） ；（2） 。
3.设 ， 。试求 ：1） ；2） 。
5．某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。
13.设 ， ， ，…， ， ，求：1）人在70岁至80岁之间死亡的概率；2）30岁的人在70岁至80岁之间死亡的概率；3）30岁的人的取整平均余命。
18.
19.
20.
24.答：当年龄很小时，性别差异导致的死亡率差异基本不存在，因此此时不能用年龄倒退法。
27. 28.设选择期为10岁，请用生存人数表示概率5|3q[30]+3
解：定义X=1+Y,则X为x期签单的每期起初支付1元的生存年金的给付现值随机变量
第5章 均衡净保费和毛保费课件

第5章 均衡净保费和毛保费课件


险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险 n年生存保险 m年递延终身生存保险
保费公式
P( Ax ) Ax ax
P
(
A1 x：n
)
A1 x：n
ax：n
P( Ax：n ) Ax：n ax：n
h P( Ax ) Ax ax：h
h P( Ax：n ) Ax：n ax：h
常见险种的趸缴纯保费
纯寿险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付）
Ax
,
m Ax ,
A1 x:n
,
m n Ax
生存险趸缴纯保费（一次性生存受益期末支付， 生存年金受益期初支付）
A1 x:n
, ax ,
m ax
,
a x:n
, m n ax
两全保险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付， 生存受益期末支付）
（1）P ( A ) 35:10
（2）P( A ) 35:10
（3）P 35:10
例5.3答案
（1）P ( A ) 35:10
M 35 M 45 D45 N35 N45
(i
)(M 35
M
45 )
D45
( N 35
N 45
)
1 2
( D35
D45 )
1.0297(1577.6833 1339.5427) 6657.69 (188663.76 93953.92) 1 (12256.76 6657.69)
P(A 1) A 1
x:n
x:n
ax：n
P( m
ax )
A1 x:m
axm
a x:m
例5.1
已知利息力为0.06，死亡力为0.04，求
第五章纯保费和毛保费

第五章纯保费和毛保费

第五章纯保费和毛保费第一节保费简介一、保费的构成二、保费的分类1、按保费缴纳的方式分：一次性缴纳：趸缴（纯/毛）保费以年金的方式缴纳：期缴（纯/毛）保费2、按保险的种类分：只覆盖死亡的保险：纯寿险保费只覆盖生存的保险：生存险保费既覆盖死亡又覆盖生存的保险：两全险保费在前两章中，我们已经学过各险种场合趸缴纯保费的确定：（1）纯寿险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付）终身寿险趸缴纯保费：年延期终身寿险趸缴纯保费：年定期寿险趸缴纯保费：年延期年定期寿险趸缴纯保费：（2）生存险趸缴纯保费的确定（一次性生存受益期末支付，生存年金受益期初支付）年定期生存险趸缴纯保费：终身生存年金趸缴纯保费：年延期终身生存年金趸缴纯保费：年定期生存年金趸缴纯保费：年延期年定期生存年金趸缴纯保费：（3）两全险趸缴纯保费的确定（死亡受益死亡即刻支付，生存受益保险期没支付）年定期两全险趸缴纯保费：第二节净均衡保费一、净均衡保费与趸缴纯保费的关系1、纯保费厘定原则——平衡原则：保险人的潜在亏损均值为零。

L=给付金现值-纯保费现值E（L）=0E（给付金现值）=E（纯保费现值）2、净均衡保费与趸缴纯保费的关系E（趸缴纯保费现值）=E（净均衡保费现值）二、各险种净均衡保费的厘定1、完全连续净均衡年保费的厘定（1）终身寿险完全连续净均衡年保费的厘定Ø假定条件：死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起按年连续交付保费（给付连续，缴费也连续）Ø厘定过程：Ø（2） 常见险种完全连续净均衡年保费总结年定期寿险年两全保险年缴费终身人寿保险年缴费年两全保险年生存保险年递延终身生存保险2、 完全离散净均衡年保费的厘定（1） 终身寿险完全离散净均衡年保费的厘定Ø 假定条件： 死亡年末给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起每年年初交付保费（给付离散，缴费也离散） Ø 厘定过程：Ø（2）常见险种完全离散净均衡年保费的厘定年定期寿险年两全保险年缴费终身人寿保险年缴费年两全保险年生存保险年递延终身生存保险3、半连续纯年保费的厘定（1）终身寿险半连续净均衡年保费的厘定Ø假定条件：死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起每年年初交付保费（给付连续，缴费离散，这是实际中最常见的给付、缴费方式）Ø厘定过程：Ø（2）常见险种完全离散净均衡年保费的厘定年定期寿险年两全保险年缴费终身人寿保险年缴费年两全保险年生存保险年递延终身生存保险4、每年缴纳数次保费的纯保费的厘定Ø 终身寿险年缴 次保险假定条件： 死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起每年缴费 次，每期期初缴费（给付连续，缴费离散）Ø 厘定过程：第三节 毛保费 一、 保险费用简介1、定义：保险公司支出的除了保险责任范围内的保险金给付外，其它的维持保险公司正常运作的所有费用支出统称为经营费用。

第5章 均衡纯保费与毛保费


P k +1 P )v − d d
P k +1 P P P 1 )v − ]k q0 = 0 ⇒ [(1 + )a4 0.06 − 4 ] = 0 d d 4 d d
P = 6.478 ⇒ P = 0.3667 d P k +1 P 2 (2)Var ( L) = E[(1 + )v − ] d d P 2 P P P 2 1 1 = (1 + ) a4 12.36% − 2 (1 + ) a4 6% + ( ) = 0.17788 4 d 4 d d d ⇒
三、常见险种完全离散均衡纯保费总结
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险 n年生存保险 限期h年缴费延期m年 的终身生存年金
h
保费公式
&& Px = Ax a x = M x N x
&& n Px1： = A1： a x： = ( M x − M x + n ) ( N x − N x + n ) n xn
&& n Px： = Ax： a x： = ( M x − M x + n + Dx + n ) ( N x − N x + n ) n n
h
&& h Px = Ax a x： = M x ( N x − N x + h )
&& h Px： = Ax： a x： = ( M x − M x + n + Dx + n ) ( N x − N x + h ) n n
1 1 && n Px： = Ax： a x： = Dx + n ( N x − N x + n ) n n

人身保险各章节思考题答案

第一章思考题1、人身保险的定义与三个要点是什么？答：人身保险是以人的生命或身体作为保险标的、以人的生（生育）、老（衰老）、病（疾病）、残（残疾）、亡（死亡）等为保险事故的一种保险。

其基本内容是：投保人与保险人订立保险合同确立各自的权利义务，投保人向保险人缴纳一定数量的保险费；在保险期限内，当被保险人发生死亡、残疾、疾病等保险事故，或被保险人生存到满期时，保险人向被保险人或其受益人给付一定数量的保险金。

其定义的三个要点：（1）、人身保险的保险标的是人的生命或身体。

（2）人身保险的保险责任包括生、老、病、死、伤、残等各个方面，即人们在日常生活中可能遭受的意外伤害、疾病、衰老、死亡等各种不幸事故。

（3）人身保险合同的履行：除个别情况外，由于标的的无价性，人身保险的责任履行一般不能称为补偿或赔付，而只能称为给付。

2、简述人身保险的性质。

答：由于人身保险权利义务关系所指向的是人的生命或身体（即保险标的），而人的生命和身体是无价的，不能以货币加以度量，因此，除个别情况外，人身保险的保险金额不能像财产保险那样有确定的标准，仅是就理论而言，是由保险双方当事人在保险合同订立之初按照投保方的需求度与可能性相一致的原则协商确定的。

人身保险的责任履行一般不能称为补偿或赔付，而只能称为给付，所以人身保险不是补偿性质，而是给付性质的。

3、简述人身保险的原理。

答：损失的分担、风险的同质性以与大数定理是保险理论的三大基础。

人身保险作为保险的一种，其理论自然亦奠基于此。

（1）.损失的分担“损失的分担”是保险学理论的一个基本思想。

人身保险通过将众多面临人身危险的人集中起来，收缴保险费建立保险基金，对人身方面发生保险事故引起的经济责任实现分担。

单就人寿保险而言，所谓损失的分担也就是死亡成本的分担。

（2）.人身危险的同质性客观存在的各种危险在同样的境况、条件之下具有相同的发生或者不发生的可能性。

危险对每一个人而言是平等的，在条件相同的情况下，并不会偏爱或鄙视于谁，因此人们在分担损失之时也是平等的。

第6章(均衡净保费)


A35:35 0.062974, a35:35 14.8261, ( IA)35:35 1.325354.
1 1
l35 979738, l70 766107.
4、 用精算符号表示（25）购买如下终身寿 险的初始年保费：若被保险人在前10年内死 亡，则可得死亡保险金1万元；若被保险人 在10年后死亡，则可得死亡保险金2万元。 已知保费按年缴纳直至被保险人65岁，且前 10年每年缴纳的保费为10年后每年缴纳保费 的一半，死亡保险金于死亡年末给付。
例6：王某从25岁参加工作开始投保了从他 60岁退休时开始给付的延期生存年金，保 险金额为每月1000元，假设i=6%，保险费 从他25岁工作到60岁退休前按月缴付，求 月缴保费额。
6.2 比例净保费
在保险实践中，有些保单规定在保险赔 付时退还从死亡到下次预计缴费期间的净保 费，这种保费缴付方式称为比例保费。 年缴m次均衡 死亡赔 ＋ 比例退还保 ＝ 付现值 净保费现值 费的现值
例：（x）的n年定期寿险，如果被保险人在保险期 内死亡，除了赔付1万元外，还退还过去已缴净保费 的累积（不计利息）。假设保险赔付发生在死亡年 年末，保险费每年缴付一次，n年付清，计算年缴均 衡净保费。
补充作业: 1、（40）购买了一份死亡即时赔付10000元 的终身寿险保单，利率为6%。在死亡均匀分 布假设下，计算其年缴均衡净保费。已知
(m)
(1 (1
/(1
1 2m 1 2m
1
Px
)
Px
Px
{ m}
(m)
Px
{ m}
)
)
Px
( m)
2m
Px
( m)
6.3 退还保费保单的净保费 在保险实践中，有些保单规定在保险人 死亡时退还过去已缴净保费的累积，这种退 还通常有两种不同的规定，一种是不计息退 还已缴净保费的累积，一种是以规定的利息 累积退还过去已缴净保费部分。保险赔付额 是随被保险人死亡时间变动的变量。

《寿险精算讲义》第五章责任准备金


全离散式定期寿险
5.1.1
责任准备金实际上是保险人在时刻t的未来损失的期望值
5.2全离散式寿险模型责任准备金
5.2.1 过去法
(5.2.1)
5.2.1
全 离 散
解:
()
M P N N M M 30 0.0107947,
30
30
45
30
45 0.17766
P V 30
15 30
N D D 30
(
A x:n
)
x:t
t Ex
x:t
Ps x:t
t kx
其中 :
t kx
A1 x:t
t Ex
(Accumulated C os t of Insurance)
30
45
则该保单在第15个保单年度末的期末准备金是
V 1000
=1000 0.17766=177.66元
15 30
(2) (3)
例5.2.1答案
M P M M 20 30
30 0.0193412,
30
50
P N N M M 20
()
20 30 30
45
30
45
0.337524
V D D 15 30
年度末得死亡给付额为
b (j j 1
1, 2,
)
则在第k个保单年度末，保险人的未来损失是：
J
b v v k L
J 1
k J 1
h kh
h0
小结
记 kV 为第k个保单年度的期末责任准备金，则
kV
E[ k L]
[bk j1v j1
j
khvh]
q

第5章 均衡纯保费责任准备金


1．责任准备金
概念：所谓责任准备金，是指保险人为了平衡未来将发生的债务而提存的款项，是保险 人所欠被保险人的债务。未来会发生的债务包括：保险金的支付，保险合同解约的退保金， 以及保险人停止营业时将合同转移给其他保险人所需的转保费等。 2．责任准备金的计算 过去法（已缴保费推算法）：时刻t时的准备金=已缴纯保费在时刻t时的精算积累值－以 往保险利益在时刻t时的精算积累值； 未来法（未缴保费推算法）：时刻t时的准备金=未来保险利益在时刻t时的精算现值－未 缴纯保费在时刻t时的精算现值。 结论：过去法与未来法是等价的，这说明责任准备金实际上是保险人在时刻t时的未来损 失的期望值。在进行数值计算时，使用过去法还是未来法，有两条指导原则： （1）在持续时间超出缴费期时，倾向于使用未来法。此时，责任准备金简化为未来应付 保险金的精算现值； （2）在尚未发生保险金给付的缴费期内，倾向于使用过去法。此时，责任准备金简化为 过去纯保费的精算积累值。
☞ 终身寿险全期缴费的责任准备金 ①过去法：
k
V x Px x :k s
A x :k
k
1
Ex
Px x :k s
k
kx
k
1 Ex
[ Px a x :k A x :k ]
1
②未来法：
k
V x A x k Px a x k
☞ 证明：过去法与未来法的公式等价。
Px Ax ax ， Px a x A x
1
又 A x A x :k Px [ a x :k
k
k
E x A x k ， a x a x :k
1 k
k
E x aБайду номын сангаасxk
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（2）生存年金（在保险期限内的生存期间受益） 连续型生存年金：
a x， m | a x， a x:n |
m|
ax:n |
m|
m|
离散型生存年金（期初支付和期末支付）
&& && && a x， m| a x， a x:n | a x， m| a x， a x:n |
年付h次的生存年金
(h) x (h) x
第三节 完全连续年缴均衡纯保费的厘定
一、全期缴费终身人寿保险
条件：（x）死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单 生效起按年连续交付保费。（给付连续，缴费也连续） 记 P 表示以被保人生存为条件的年缴均衡纯保费，则有 厘定过程：
P ( Ax ) ⋅ a x
(x) 0 1 2
P(Ax )
T(x)=t T(x)
二、全期缴费定期寿险
条件：（x）死亡年末给付1单位的n年定期人寿保险， 被保险人从保单生效起按年期初缴费，年实质利率i。 此时均衡纯保费记为 1 Px:n | 厘定过程：
P
1 x :n |
&& ⋅ a x :n |
(x) 0
Px1:n | Px1:n Px1:n | |
1 2
Px1:n |
K K+1
例5.1.1 P99页
设 k | q x = c ( 0 . 96 ) k + 1 , k = 0 ,1, 2 ,...。其中， c = 0 . 04 / 0 . 96 ， i = 6 % ，试求 P x 和 Var ( L )。
2、限期缴费终身寿险
限期缴费终身寿险，指在规定的年限内， 按年缴费直至被保险人死亡或缴费期限届 满时停止。 条件：（x）死亡年末给付1单位终身人寿 保险，保费限期h年缴清，按年期初缴费。 此时，均衡纯保费记为： P
&&x 期缴保费收入精算现值 Px ⋅ a
(x) 0
Ax Px Px Px Px Px
K K+1 T(x)
1
2
保险理赔支出精算现值
T(x)=t K(x)=k
1
全期缴费的终身寿险均衡纯保费厘定过程
&& Px ⋅ a x
(x) 0
Ax Px Px Px Px Px
K K+1 T(x)
1
2
厘定过程：
&& (1) L = v K +1 − Px aK +1 , K = 0,1,2,L
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
年金和寿险关系
•以死亡年末给付的终身寿险和期初给付的 终身生存年金为例
&& ax
1 1 1 1 1
K K+1 T(x)=t
K +1
(x)
Ax
T(x)
1
1 − v K +1 1 − E (v 1) Ax − Ax − 1 &&x = E[aK +1 ] = E && = = 1) a = d E[ zk ] = d d d d
( &&( = d ( h ) a xh ) + Ax h )
二、均衡纯保费
均衡纯保费的含义 若保费的缴付以被保人的生存为条件，在 约定的缴费期内，从投保时刻起每期缴付相 等的金额，直至被保人死亡或约定的缴费期 界满为止。 特点：在生存的缴费期内，每时点缴付金额 相等。
均衡纯保费厘定原则
纯保费厘定原则——平衡原则：
保险人的潜在亏损均值为零，即E（L）=0。 L=给付金现值-纯保费现值 E（纯保费现值）=E（给付金现值）
均衡纯保费与趸缴纯保费的关系 E（均衡纯保费现值） =E（给付金现值） = 趸缴纯保费
对保险人而言： 期缴保费收入精算现值 保费收入精算现值： 趸缴和期缴 (x) 保险金给付精算现值： 保险理赔支出精算现值
k =0 3
P k +1 P 或 Var ( L ) = Var [(1 + )v − ] d d P 2 P 2 2 k +1 = (1 + ) Var (v ) = (1 + ) ( Ax − Ax2 ) d d P 2 1 1 = (1 + ) [ a 4 12.36% − ( a 4 6% ) 2 ] = 0.17788 d 4 16
& 由 1）变形得： 1 = d a&x + A x 2 1 − v K +1 1 Ax − Ax2 && 2) Var[aK +1 ] = Var = d 2 Var[ zk ] = d 2 d
&& 1 = da x + Ax = ia x + (1 + i ) Ax = δa x + Ax
δ
)−
P
δ
] = (1 +
P
δ
) 2 [ 2 Ax − ( Ax ) 2 ]
2 Ax − ( Ax ) 2 δ a x + Ax 2 2 2 = （ ）[ A x − ( A x ) ] = δa x (δ a x ) 2
例5.2.1（P104）
已知利息力为0.05，死亡力为0.04，求
(1) P ( Ax ) (2)Var ( L)
T(x)=t K(x)=k
1
dAx Mx Ax && (2) E ( L) = 0 ⇒ Ax − Px a x = 0 ⇒ Px = = = && a x 1 − Ax Nx
2 Px 2 2 Ax − ( Ax ) 2 (3)Var ( L) = (1 + ) [ Ax − ( Ax ) 2 ] = && d ( da x ) 2
Ax
1
完全连续年缴均衡纯保费的厘定（终身寿险）
P ( Ax ) ⋅ a x
(x) 0 1
P ( Ax ) ⋅ a t |
2
P(Ax )
T(x)=t
at | =
T(x)
1− v t
δ
Ax
1⋅ vt
1
（1） L = l (T ) = v t − P ( A x ) a t Ax ( 2 ) E ( L ) = 0 ⇒ Ax − P ( Ax ) a x = 0 ⇒ P ( Ax ) = ax ( 3 )Var ( L ) = Var [ v t (1 + P
Ax， m | Ax， A
1 x :n |
Ax1:n| m| A1:n| m| x
离散型寿险（死亡受益、死亡年末支付）
Ax， m | Ax， A1:n | x
生存险趸缴纯保费
（1）生存保险（一次性生存受益，期末支付）
Ax:n | = Ax:n |
1 1
m| Ax: n |
1
（2）生存年金：
常见险种的趸缴纯保费
三、常见险种完全离散均衡纯保费总结
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险 n年生存保险 限期h年缴费延期m年 的终身生存年金
h
保费公式
&& Px = Ax a x = M x N x
&& n Px1： = A1： a x： = ( M x − M x + n ) ( N x − N x + n ) n xn
Px
Px
Px
Px
Px
K K+1 T(x) T(x)=t K(x)=k
1
2
保险理赔支出精算现值
1
第二节
完全离散纯均衡纯保费厘定
一、终身寿险 1、全期缴费终身寿险 条件：（x）死亡年末给付1单位终身人寿保险，被保险人 从保单生效起按年期初缴费，年实质利率i。 记均衡纯保费为Px 精算等价原理的图示过程：
练习
设一个0岁生命的整值剩余寿命服从概率 函数为 1
k
q0 =
4
k = 0,1,2,3
在其死亡年末赔付1单位的保单，每年年 初缴付保费P。当保费按平衡原理决定时， 计算保险人亏损现值的期望值与方差 （i=6%）。
练习答案
&& (1) L = v k +1 − Pak +1 = (1 + E ( L) = 0 ⇒ ∑ [(1 +
按保费的构成分：
纯保费：保单受益的精算现值 毛保费：纯保费＋附加费用（与保费相关费用的精算现值）
按保费缴纳的方式分：
趸缴（纯/毛）保费：一次性缴纳 期缴（纯/毛）保费：按相等的时间间隔以被保人的生存为条 件的方式缴纳，如均衡纯保费
常见险种的趸缴纯保费
纯寿险趸缴纯保费 连续型寿险（死亡受益、死亡即刻支付）
P k +1 P )v − d d
P k +1 P P P 1 )v − ]k q0 = 0 ⇒ [(1 + )a4 0.06 − 4 ] = 0 d d 4 d d
P = 6.478 ⇒ P = 0.3667 d P k +1 P 2 (2)Var ( L) = E[(1 + )v − ] d d P 2 P P P 2 1 1 = (1 + ) a4 12.36% − 2 (1 + ) a4 6% + ( ) = 0.17788 4 d 4 d d d ⇒
h x
限期缴费终身寿险均衡纯保费的厘定
h
&& Px ⋅ a x:h |
Px h Px (x) 0 1
h h
Px 0 h-1 h
0
K K+1 T(x)
Ax
T(x)=t K(x)=k