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寿险精算 第三讲 人寿保险的趸缴纯保费

寿险精算 第三讲 人寿保险的趸缴纯保费


《寿险精算数学》
人寿保险的分类
--02趸缴纯保费
• 受益金额是否恒定 • 保障标的的不同 定额受益保险 – 人寿保险（狭义） 变额受益保险 – 生存保险 • 保单签约日和保障期期始日 – 两全保险 是否同时进行 • 保障期是否有限 – 非延期保险 – 定期寿险 – 延期保险 – 终身寿险
《寿险精算数学》
《寿险精算数学》
0． 1． 2．
--02趸缴纯保费
3. 4. …… n. …… y．
x岁
x 1
x2
xn
↑
x y岁
S
图 4-5
0．
1．
x 1
2．
x2
3．
x3
×
x y
↑
4．
x4
……
n．
x岁
xn岁
S
图 4-6
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费
2.1.2 两全保险
• n年期两全保险是由n 年期生存保险和n 年定期保险 组成，假设(x)投保离散型的保额为1单位的两全保 险，则其有关函数为：
《寿险精算数学》 定期寿险
• 则其有关函数为：
未来寿命 K(x) 给付数额 B 贴现系数 V 给付现值 Z 给付概率 p
--02趸缴纯保费
0 1
1 1
2 1
… …
n-1 1
v1
v2
v3
… … …
n 1
vn
v1
v2
1|
v3
2|
vn
n 1|
qx
qx
qx
qx
•
则其趸缴纯保费为： A
1 x:n
E ( z ) v k 1 k px qx k
CH2 年末支付趸交纯保费.ppt

CH2 年末支付趸交纯保费.ppt


当 S ＝1 时，即单位保险金对应的定期两全保险的给付预期现值(期限为 n ，年龄为 x )，称之为定期两全保险的单位预期现值，用 A 表示(注意没有上标“1”)。我
x: n
们可以根据给付现值及其概率表得到：
n2
A ＝ x: n
m | qx v m1 ＋ v n n1 p x
m0
(4.6)
由 n1 p x ＝ n1| q x ＋ n p x ，得：
m0
m0
令V ＝ v 2 ，如定期寿险的形式一样，对定期两全保险，其方差为：
2A －(A )2
x: n
x: n
这里如 4.5 一样，左上方的“2”表明，它应按 2i i2 作为利率来计算。
习题1：
设一个35岁的人投保5年期的两全保险，保险 金额为10000元，保险金在死亡的保单年度 末给付。按中国人寿保险业经验生命表 （1990-1993）（男女混合），年利率为6%， 计算其趸缴净保费。
8790.04
10000A20：5 2.5%
10000(A1 20:5 2.5%
A ) 1 20：5 2.5%
8841.58
（2）10000A 9431.99 20:5 6%
（3）10000A 8881.34 60:5 2.5%
（4）10000A 9404.59 60:5 6%
4. 延期寿险的趸缴纯保费
图 4-4 假定 y 处于第 3 年和第 4 年之间：即（ x ）字的人死于 x 3 岁和 x 4 岁 之间，寿险公司将在 x 4 岁年初（ x 3 岁末）支付保险金。
我们已经知道， K x 表示（ x ）的未来生存时间的整数部分，即（ x ）将在 K x 和 K x 1 之间死亡。在死亡年末给付的定期寿险可以描述为：若 K x ＜ n ，则在 K x 1 时给付 S ；若 K x ≥n，则没有给付（ K x 表示的（ x ）死亡之年年初，所以保险金 给付在 K x 1 时，而不在 K x 时；在图 4-4 中， K x ＝ 3，保险金在 4 时候给付）。 那么保险金给付现值可如下表示：
趸缴净保费的厘定

趸缴净保费的厘定

ln 0.5 Pr(0 z 0.5 ) Pr(v 0.5 ) Pr(t ) ln 0.5 0.04e 0.04t dt 0.17032 ln v ln v ln 0.5 44.25 0.5 0.0703 ln v t
2
记
2
Ax e2 t fT (t )dt
0

（相当于利息力翻倍以后求终身寿险的趸缴保费）
所以方差等价为
Var ( zt ) Ax ( Ax )
2
2
例3.2
设( x)投保终身寿险, 保险金额为1元, 签单时其未来寿命T的密度函数为 1 , 0 x 60 fT (t) 60 . , 其它 0 利息力为 ( 0). 计算（ 1）Ax (2)Var ( zt ) (3)满足P( z 0.9 ) 0.9的0.9 .
t

x
ln p ln(1 i )
fT (t )dt px x t dt
x
ln p t ln(1 i )
现值随机变量的方差
方差公式
Var ( zt ) E ( z ) E ( zt ) e
2 t 2 0

2 t
fT (t )dt E ( zt )
2
记
2
A
1 x:n
e2 t fT (t )dt
0
n
（相当于利息力翻倍以后求N年期寿险的趸缴保费）
所以方差等价为
Var( zt ) A ( A )
2 1 x:n
1 2 x:n
例3.3
1 100
设S ( x ) 1
,
0 x 100. 实质利率i 0.1. (2)Var ( zt )
人寿保险费率厘定

人寿保险费率厘定

8.3 人寿保险费率的厘定8.3.1 人寿保险概述人寿保险费=纯保险费+附加保险费 纯保险费包括危险保险费和储蓄保险费危险保险费用于当年保险金的支付，储蓄保险费用于弥补未来年份的赤字，附加保险费用于保险经营中的一切费用开支。

寿险保险的基本原则是按照精算等价原理计算的收支平衡原则，“收”指保险机构收取的总保费，“支”是指保险公司的保险金给付和支出的各项经营费用。

按缴费方法可分为（自然纯保险费、趸缴纯保险费和均衡纯保险费）自然纯保险费是以死亡率为缴费标准计算的保险费，按年收取，年龄越大死亡概率越大，缴费越高。

在符号1:x n A 中，令n=1，即得到1:1x A ，它是根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄的预定死亡率计算出来的该年度的死亡纯费率，1:11x x x nxd A vq i L ==+趸缴保险费是在投保之日起一次性缴清的保险费，计算时要考虑到货币的时间价值。

均衡保险费是指在某一期限内，投保人按固定数额缴纳的保险费。

8.3.2 利息利息是资金的使用成本，保险公司的利率假设是个关键因素，它影响到保险费率和保险基金的投资情况。

分为单利和复利 （1）单利 （利息不再支付利息）I P i n =⨯⨯利息(1)P i n =⨯+⨯本利和S（2）复利 （上一期的利息也在本期生息，利滚利）(1)n S P i =⨯+本利和 S P -利息I=（3）终值和现值终值又称将来值，是现在一定量现金在未来某一时点上的价值，即本利和。

现值又称本金，是指未来某一时点上的一定量现金折合到现在的价值。

按单利计算：(1)P i n =⨯+⨯终值，1i n=+⨯终值现值 按复利计算：(1)n P i =⨯+终值，(1)ni =+终值现值，贴现因子11v i =+ （4）年金年金是指在一定时间内按照一定的时间间隔有规则地收或付的款项。

按支付条件分为（确定年金和生存年金）； 按支付时间分为（期初付年金和期末付年金）； 按支付开始时间分为（即期年金和延期年金）期初付年金：以n 表示年金支付期间，用i 表示利率，设支付额为1，则年金的现值1nn v a d-=积累值公式(1)1n n i sd+-= ，可见，(1)n n n s a i =+ 若年金的支付发生在每期的期末，则年金的现值为：1nn v a i -=年金的积累值为：(1)1n n i s i+-=，可见，(1)n n n s a i =+期初付年金与期末付年金之间的关系：(1)n n s s i =+ ，(1)n n aa i =+ 8.3.3 生命表生命表是根据一定时期某一国家或地区的特定人群的有关生存、死亡的统计资料加以分析整理而形成的一种表格，它是寿险精算的数理基础，是厘定人寿保险纯保费的基本依据。

保险精算第二讲.

保险精算第二讲.

1
1
n 1
k 0
例3.5
在例3.2中，假设50岁的张某购买的是一份 30年 的两全保险，死亡年年 末给付， 保额为100000 元，求该保单的趸缴净 保费。
例3.5答案
1 100000 A50:30 100000 A50 100000 :30
A
1
50:30
20468 .70 100000 (1.08 ) 30 30 p50 20468 .70 100000 (1.08 ) 24985 .85 (元) 由例3.2,3.3和3.5可以看出： Ax:n Ax
k px qx k v k 1
k 0
4
d xk lx
四、延期m年终身寿险
对（x）的1单位元 m年延期终身寿险， 是从x m岁起到被保险人终身止 的1单位元保险，其现值随 机变量为： 0, Z k 1 v ,

k 0,1,2,...., m 1 k m, m 1, m 2,.....
1 65 t 保单精算现值为： 20000 A40＝20000 v t 1 t p x q x t
t 0
由生存函数可以看出：
t
p40 0 t 65
64
1 t 1 65 t 1 因此20000 A40＝20000 ( ) t 0 1.1 65 65 20000 64 1 t 1 ( ) t 0 1.1 65 65 1 1 20000 1.1 3070 .65(元） 1 65 1.1 1 1.1
x
例3.2答案
解：该生命表的最大年 龄时105 岁，所以t的取值范围是 0 到55岁。所求的赔付现值为 100000 A
第二章： 人寿保险的精算现值(趸缴纯保费)

第二章： 人寿保险的精算现值(趸缴纯保费)


fT
(t)
1（均匀分布） 70
A1 30:10
10 t
0
fT
(t)dt
10 (1 0.1)t 1 dt 1
0
70 70
10 (1.1)tdt 0.092099
0
A 2 1
（2） 30:10
10 2t
0
fT
(t)dt
1 70
10 (1.1)2tdt 0.063803
0
Var(Z) 2A1 (A1 )2 0.055321
A1 xm:n
A1 x:m
Ax
1 m:n
A1 x:m
A xm:n
例 3．设生存函数 s(x) 1 x , (0 x 100) ，年利率 i 0.1，保额 1。 100
计算：（1）
A1 30:10
（2）Var(Z )
解：（1）
fT
(t)
s(x t) s(x)
1 100
x
,
代入
x 30 ,
Ax E(T ) E( K S ) E( K 1S1)
E( K 1)E( S1) Ax E[(1 i)1S ]
S ~U (0,1) Ax
1(1 i)1s ds i
0
Ax
例1． 证明：在 UDD 假设下： A1 i A1
x:n
x:n
证明：
A1 x:n
n
t
0
t
px xt dt
（1）
m m px
n
t
0
t
pxmxmt dt
A1 x:m
A1 xm:n
A1
（2） m x:n
mn mn px
m m px n n pxm
(人寿保险的精算现值)

(人寿保险的精算现值)


1 n Ex
1 vn n px
(1 i)n
lx lxn
年龄
x
nE x
现时值
1
tE x
x+t
E n t x t
1
x+n 1 S
第二十九页，编辑于星期四：十六点 十七分。
4、n年定期两全保险
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人 即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在第n年末 支付保险金的保险。它等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。
趸缴纯保费厘定
A x :1 n E (z T ) v n n p x e n n p x
现值随机变量的方差：
Var(zT)v2nnpx(vnnpx)2
21
Ax:n
(Ax:1n)2
第二十八页，编辑于星期四：十六点 十七分。
相关公式及意义
(1) lx n Ex (1 i)n lxn
(2)
S
(3) Pr(zT 0.9) Pr(vT 0.9)
= Pr(T
ln v
ln 0.9 )
P(T
ln0.9
ln v
)
60 ln0.9
60
ln0.9 fT (t)dt ln v
lnv 0.9 60
ln0.9 6ln v 0.9 v6 e6
第二十六页，编辑于星期四：十六点 十七分。
3、n 年定期生存保险
假定： 岁的人，保额1元，n年定期两全保险
基本函(数x )关系
vt vvtn
, ,
tn tn
bt 1, t0
zTbTvT vvnT,,T Tnn
第三十页，编辑于星期四：十六点 十七分。
第二章趸缴纯保费1

第二章趸缴纯保费1



所以方差等价于
Var ( zt ) =
2 m
Ax − ( m Ax )
2
2－28
例2.3


假设（x）投保延期10年的终身寿险，保额 1元。保险金在死亡即刻赔付。 已知
δ = 0.06， S ( x ) = e

− 0.04 x
,x ≥ 0
求：
(1)
10
Ax
(2)Var(z t )
2－29
例2.3答案
vt = v n , t ≥ 0 ⎧1 , t ≥ n bt = ⎨ ⎩0 , t < n ⎧v n , t ≥ n ⇒ zt = bt vt = ⎨ ⎩0 , t < n
2－31
趸缴纯保费的厘定

符号： A 趸缴纯保费厘定
1 x:n
A
1 x:n
= E ( zt ) = v ⋅ n px = e
22
∫0 记 1 （相当于把 A x:n 中的 δ 换为 2δ 即可） 所以方差等价为：

A
1 x :n
=
n
e − 2 δ t f T (t ) dt
Var ( zt )= A
2
1 x:n
− (A )
1 x:n
2
2－19
例2.1

设
x S ( x) = 1 − 100 i = 0.1
, 0 ≤ x ≤ 100


保单签约日和保障期期始日是否同时进行
非延期保险 延期保险


保险标的的不同
人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险


保障期是否有限

定期寿险 终身寿险
第三章 人寿保险趸缴净保费的厘定

第三章 人寿保险趸缴净保费的厘定


w
记
2
A = ∫ e−2δt fT (t)dt x
0
w
方差等价公式
Var(zt ) = 2 A −(A )2 x x
投保终身寿险， 例.设(x)投保终身寿险，保险金额为 元。保险金在死亡即 设 投保终身寿险 保险金额为1元 刻赔付,利息力 已知签单时， 的剩余寿命的密度函数为 刻赔付 利息力δ 已知签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为
3. n年定期生存险 年定期生存险 定义：被保险人投保后生存至 年期满时 保险人在第n年 年期满时， 定义：被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第 年 末支付生存赔付金的险种。 末支付生存赔付金的险种。
(x 假定： 岁的人，保额1元 假定： )岁的人，保额 元，n年生存险 年生存险
基本函数关系
趸缴净保费的厘定 假定条件: 假定条件 假定一：同性别、同年龄、 假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余 寿命是独立同分布的。 寿命是独立同分布的。 假定二： 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进 行拟合。 行拟合。 假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。 假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。 将单个被保险人事故转化为一个同质总体的风险事故。 将单个被保险人事故转化为一个同质总体的风险事故。
0, t ≤ n 0 , t ≤ n bt = ⇒ zt = bvt = n t 1 , t >n v , t > n
趸缴净保费
A (A ) = E(zt ) = v ⋅n px = e ⋅n px
1 x:n n
1 x:n
−δn
随机变量现值方差
Var(zt ) = E(zt2 ) − E2 (zt ) = v2n ⋅n px −(vn ⋅n px )2
第二章 趸缴纯保费-10.8

第二章 趸缴纯保费-10.8

2 k 0

2( k 1)
k q x
exp (-2 (k 1)) k q x
k 0
Var (Z ) E(Z ) E(Z ) Ax ( Ax )
2 2 2
2
3 、 n 年定期生存保险
• n年定期生存保险定义：
– 被保险人投保后至少生存n年才支付保险金的险 种。
主要讨论按算术数理{n}递增和递减的情形

递增n年定期保险
• 基本函数关系 年龄为x岁的人，投保离散型的按算术数列递增
的 n年定期保险，即被保险人在第k+1个保单年
度内死亡，则给付k+1元的保险金（k=0,1,…n-1）
给付现值函数。相应的有关函数为
bk +1 k +1 vk +1 v k 1 , k 0,1, , n 1 Z bK+1vK+1 (K+1)v K 1
2.1 离散（死亡年末赔付）型 人寿保险趸缴纯保费的厘定
死亡年末赔付
• 死亡年末赔付的含义
– 死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生保 险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生 的当年年末给予保险赔付。 – 由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末， 所以死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距 保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整 值剩余寿命加1。这正好可以使用以整值年龄为刻 度的生命表所提供的生命表函数。所以死亡年末赔 付方式是保险精算师在厘定趸缴保费时通常先假定 的理赔方式。
• 被保障人群的大数性
– 这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算 出平均赔付并可预测将来的风险。

趸缴纯保费的厘定
• 假定条件:
人寿保险费率厘定

人寿保险费率厘定

人寿保险费率厘定8.3 人寿保险费率的厘定8.3.1 人寿保险概述人寿保险费=纯保险费+附加保险费纯保险费包括危险保险费和储蓄保险费危险保险费用于当年保险金的支付，储蓄保险费用于弥补未来年份的赤字，附加保险费用于保险经营中的一切费用开支。

寿险保险的基本原则是按照精算等价原理计算的收支平衡原则，“收”指保险机构收取的总保费，“支”是指保险公司的保险金给付和支出的各项经营费用。

按缴费方法可分为(自然纯保险费、趸缴纯保险费和均衡纯保险费)自然纯保险费是以死亡率为缴费标准计算的保险费，按年收取，年龄越大死亡概率越大，缴费越高。

1在符号A1中，令n=1，即得到，它是根据每一保险年度，Ax:nx:1每一被保险人当年年龄的预定死亡率计算出来的该年度的死亡纯费率，A1趸缴保险费是在投保之日起一次性缴清的保险费，计算时要考虑到货币的时间价值。

均衡保险费是指在某一期限内，投保人按固定数额缴纳的保险费。

8.3.2 利息利息是资金的使用成本，保险公司的利率假设是个关键因素，它影响到保险费率和保险基金的投资情况。

分为单利和复利(1)单利 (利息不再支付利息)利息本利和(2)复利 (上一期的利息也在本期生息，利滚利) 本利和利息(3)终值和现值终值又称将来值，是现在一定量现金在未来某一时点上的价值，即本利和。

现值又称本金，是指未来某一时点上的一定量现金折合到现在的价值。

按单利计算:终值，现值按复利计算:终值，现值(4)年金年金是指在一定时间内按照一定的时间间隔有规则地收或付的款项。

按支付条件分为(确定年金和生存年金);按支付时间分为(期初付年金和期末付年金);按支付开始时间分为(即期年金和延期年金)终值终值，贴现因子期初付年金:以n表示年金支付期间，用i表示利率，设支付额为1，则年金的现值a d积累值公式，可见，sd若年金的支付发生在每期的期末，则年金的现值为:年金的积累值为:，可见，期初付年金与期末付年金之间的关系:，a8.3.3 生命表生命表是根据一定时期某一国家或地区的特定人群的有关生存、死亡的统计资料加以分析整理而形成的一种表格，它是寿险精算的数理基础，是厘定人寿保险纯保费的基本依据。

第三章 寿险的趸缴净保费


1
1
延期m年n年两全险
m|
Ax:n
m|
A
1 x:n
m| Ax:n Ax:m Ax m:n
1
1
例.已知: 计算20| Ax
1) 2.5%; 2)死亡力恒定; 3) e x 10.0.
0
7. 递增寿险 假定赔付金额为剩余寿命的线性递增函数 一年递增一次（n年定期寿险）
趸缴净保费
1 x:m
A
1 x:m n
A
1 x m:n
A x:m
1
( x) 岁的人，保额1元，延期m年n年生存险 假定：
T mn 0, ZT bT vT m n v , T mn
趸缴净保费
m|
Ax:n E ( Z ) v
1
mn
m n px A x:m Ax m:n m Ex n Ex m
基本函数关系
0, T n 0 , T n bT ZT bT vT n 1 , T n v , T n 趸缴净保费 1 n n 1
Ax:n ( Ax:n ) E(ZT ) v n px e
n px
随机变量现值方差
Var ( Z ) E ( Z 2 ) E 2 ( Z ) v 2 n n px (v n n px ) 2 v n px n qx A ( A )
净均衡原理 保险人收取的净保费应该恰好等于未来支出的保险赔付金。 （Arrow:风险转移公平原则） 趸缴纯保费=未来保险金给付的精算现值 死亡赔付方式：（1）死亡即刻赔付；（2）死亡年末赔付。
第一节 连续型寿险的趸缴纯保费
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任 范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予 保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔 方式。 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死 亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时 期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。

保险精算人寿保险趸缴纯保费-PPT精品文档


常见概念中英文单词对照(2)

定期人寿保险 终身人寿保险 两全保险 生存保险 延期保险 变额受益保险




Term life insurance Whole life insurance Endowment insurance Pure endowment insurance Deferred insurance Varying benefit insurance
人寿保险的分类

受益金额是否恒定
定额受益保险 变额受益保险

保障标的的不同


保单签约日和保障期 期始日是否同时进行

人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险 定期寿险 终身寿险

保障期是否有限

即期保险 延期保险
人寿保险的特点

保障的长期性

这使得从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为 不容忽视的因素。 人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的 生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。 这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量， 它依赖于被保险人剩余寿命分布。 这意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算 出平均赔付并可预测将来的风险。
主要险种的趸缴纯保费的厘定



终身寿险 n年期定期寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的终身寿险 延期m年的n年期的两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
1、终身寿险


定义 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任 范围内的死亡均给付保险金的险种。 假定： ( x ) 岁的人，投保保额bt=1元终身寿险 基本函数关系
力 和 fT(x)( t) 、 fX( t) 的关系是怎样的 x
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n et
0
t
pxxt dt
现值随机变量的方差
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
n 0
e2t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 A1 x:n
n 0
e2t
fT
(t)dt
（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）
所以方差等价为
Var
(
zt
)
2A1 x:n
(A1 )2 x:n
定期人寿保险 终身人寿保险 两全保险 生存保ife insurance Whole life insurance Endowment insurance Pure endowment
insurance Deferred insurance Varying benefit
假定：(x) 岁的人，保额1元n年定期寿险
基本函数关系
vt vt , t 0
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
趸缴纯保费的厘定
符号：A1x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
n vt
0
t
pxxt dt
E(zt )
第二节
死亡即刻赔付 趸缴纯保费的厘定
死亡即刻赔付
死亡即刻赔付的含义
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生 保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发 生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合， 保险公司通常采用的理赔方式。
由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻， 所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距 保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩 余寿命。
基本符号
(x) —— 投保年龄 x 的人。
——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
趸缴纯保费的厘定
趸缴纯保费的定义
在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现 时值
趸缴纯保费的厘定
按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于
例2.1
设
S(x) 1 x 100
i 0.1
计算
（1）A1 30:10
, 0 x 100
(2)Var(zt )
例2.1答案
(1)
fT
(t)
S(x t) S(x)
1 100
x
A1 30:10
10 0
vt
f30 (t)dt
101.1t
1
dt
1
1.1t
0 10
0
70 70 ln1.1
主要险种的趸缴纯保费的厘定
n年期定期寿险 终身寿险 延期m年的终身寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的n年期的两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
1、n年定期寿险
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内 的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险。
0
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 Ax
0
e2 t
fT
(t)dt
所以方差等价为
0.092
（2）Var
(
zt
)
2A1 30:10
(A1 )2 30:10
101.12t 1 dt 0.0922
0
70
1
1.21t
0 10
0.0922 0.055
70 ln1.21
2、终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内 的死亡均给付保险金的险种。
假定：(x) 岁的人，保额1元终身寿险
保险赔付金额和赔付时间的不确定性
人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的 生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。 这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量， 它依赖于被保险人剩余寿命分布。
被保障人群的大数性
这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计 算出平均赔付并可预测将来的风险。
基本函数关系
vt vt , t 0 bt 1 , t 0
zt btvt vt , t 0
趸缴纯保费的厘定
符号：Ax
厘定：
Ax E(zt ) 0 zt fT (t)dt
0
vt
t
pxxt dt
0
e t
t
px xt dt
现值随机变量的方差
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
第二章
人寿保险趸缴纯保费的厘定
本章结构
人寿保险趸缴纯保费厘定原理 死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定 死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定 递归方程 计算基数
第二章中英文单词对照一
趸缴纯保费 精算现时值 死亡即刻赔付保险
死亡年末给付保险
定额受益保险
Net single premium
insurance
第一节
人寿保险 趸缴纯保费厘定的原理
人寿保险简介
什么是人寿保险
狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否 死亡作为保险标的的一种保险。
广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保 险标的的一种保险。它包括以保障期内被保 险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障 期内被保险人生存为标底的生存保险和两全 保险。
人寿保险的分类
受益金额是否恒定
定额受益保险 变额受益保险
保单签约日和保障期 期始日是否同时进行
非延期保险 延期保险
保障标的的不同
人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险
保障期是否有限
定期寿险 终身寿险
人寿保险的性质
保障的长期性
这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为 不容忽视的因素。
趸缴纯保费的厘定
假定条件:
假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保 险人的剩余寿命是独立同分布的。
假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合。
假定三：保险公司可以预测将来的投资受益 （即预定利率）。
纯保费厘定原理
原则
保费净均衡原则
解释
所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值 正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。 它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在 大数场合下，收费期望现时值等于支出期望 现时值
Actuarial present value
Insurances payable at the moment of death
Insurances payable at the end of the year of death
Level benefit insurance
第二章中英文单词对照二